Építkezés be negatív fokozat– a matematika egyik alapeleme, amellyel gyakran találkozunk algebrai feladatok megoldása során. Az alábbiakban részletes utasításokat talál.

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - elmélet

Ha egy számot közönséges hatványra emelünk, az értékét többszörösére szorozzuk. Például 3 3 = 3×3×3 = 27. Negatív törttel ennek az ellenkezője igaz. A képlet általános alakja a következő lesz: a -n = 1/a n. Így egy szám negatív hatványra emeléséhez el kell osztani egyet a megadott számmal, de pozitív hatványra.

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - példák közönséges számokra

A fenti szabályt szem előtt tartva oldjunk meg néhány példát.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Válasz: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Válasz -4 -2 = 1/16.

De miért ugyanaz a válasz az első és a második példában? A helyzet az, hogy ha egy negatív számot páros hatványra emelünk (2, 4, 6 stb.), az előjel pozitív lesz. Ha páros lenne a fok, akkor maradna a mínusz:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Hogyan emeljünk számokat 0-ról 1-re negatív hatványra

Ne feledje, hogy ha egy 0 és 1 közötti számot pozitív hatványra emel, az érték a hatvány növekedésével csökken. Tehát például 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

3. példa: Számíts ki 0,5 -2
Megoldás: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Válasz: 0,5 -2 = 4

Elemzés (műveletek sorrendje):

• A 0,5-ös tizedes tört átváltása 1/2-es törtté. Könnyebb így.
  Emelje fel 1/2-ét negatív hatványra. 1/(2) -2. Elosztjuk 1-et 1/(2) 2-vel, így kapjuk 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4. példa: Számíts ki 0,5 -3
Megoldás: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5. példa: -0,5 -3 kiszámítása
Megoldás: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Válasz: -0,5 -3 = -8

A 4. és 5. példa alapján több következtetést is levonhatunk:

• Egy 0-tól 1-ig terjedő tartományba eső pozitív szám esetén (4. példa), negatív hatványra emelve, hogy a hatvány páros vagy páratlan, nem számít, a kifejezés értéke pozitív lesz. Ugyanakkor, mint több fokozat, annál nagyobb az érték.
• A 0-tól 1-ig terjedő tartományba eső negatív számok esetén (5. példa), negatív hatványra emelve, nem számít, hogy a hatvány páros vagy páratlan, a kifejezés értéke negatív lesz. Ebben az esetben minél magasabb a fokozat, annál alacsonyabb az érték.

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - törtszám formájában megjelenő hatványt

Az ilyen típusú kifejezések a következő formájúak: a -m/n, ahol a szabályos szám, m a fokszám számlálója, n a fokozat nevezője.

Nézzünk egy példát:
Számítsd ki: 8 -1/3

Megoldás (műveletek sorrendje):

• Emlékezzünk a szám negatív hatványra emelésének szabályára. A következőt kapjuk: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Figyeljük meg, hogy a nevezőben a 8-as szám törthatványban van. A törthatvány kiszámításának általános formája a következő: a m/n = n √8 m.
• Így 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). A nyolc kockagyökét kapjuk, ami egyenlő 2-vel. Innen 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Válasz: 8 -1/3 = 2

Az iskolából mindannyian ismerjük a hatványozás szabályát: bármely N kitevővel rendelkező szám egyenlő azzal az eredménnyel, hogy ezt a számot megszorozzuk önmagával N számú alkalommal. Más szóval, 7 3 hatványára 7 szorozva önmagával háromszor, azaz 343. Egy másik szabály az, hogy ha bármilyen mennyiséget 0 hatványra emelünk, akkor egyet adunk, a negatív mennyiség emelése pedig a szokásos emelés eredménye. a hatvány, ha páros, és ugyanez az eredmény mínusz előjellel, ha páratlan.

A szabályok arra is választ adnak, hogyan lehet egy számot negatív hatványra emelni. Ehhez építeni kell a szokásos módon a mutató modulonkénti szükséges értékét, majd elosztjuk az egységet az eredménnyel.

Ezekből a szabályokból világossá válik, hogy a nagy mennyiséget jelentő valódi feladatok elvégzéséhez szükséges a jelenléte technikai eszközöket. Manuálisan megszorozhatja saját magával a számok maximumát húsz-harmincig, majd legfeljebb háromszor vagy négyszer. Arról nem is beszélve, hogy el kell osztani egyet az eredménnyel. Ezért azoknak, akiknek nincs kéznél speciális mérnöki számológépük, elmondjuk, hogyan lehet egy számot negatív hatványra emelni az Excelben.

Problémamegoldás Excelben

A hatványozással kapcsolatos problémák megoldásához az Excel két lehetőség egyikét teszi lehetővé.

Az első egy szabványos „fedél” jellel ellátott képlet használata. Írja be a következő adatokat a munkalap celláiba:

Ugyanígy bármely hatványra emelheti a kívánt értéket - negatív, tört. Végezzük el a következő lépéseket, és válaszoljunk arra a kérdésre, hogyan emeljünk egy számot negatív hatványra. Példa:

A =B2^-C2 közvetlenül a képletben javítható.

A második lehetőség a kész „Fok” függvény használata, amely két szükséges argumentumot vesz igénybe - egy számot és egy kitevőt. Használatának megkezdéséhez tegye be az egyenlőségjelet (=) bármely szabad cellába, amely a képlet kezdetét jelzi, és írja be a fenti szavakat. Nincs más hátra, mint kijelölni két cellát, amelyek részt vesznek a műveletben (vagy manuálisan megadni bizonyos számokat), és megnyomni az Enter billentyűt. Nézzünk meg néhányat egyszerű példák.

			Képlet	Eredmény
			FOK(B2;C2)
			FOK(B3;C3)	0,002915

Amint látja, nincs semmi bonyolult abban, hogyan lehet egy számot negatív és reguláris hatványra emelni az Excel használatával. Végül is a probléma megoldásához használhatja az ismerős „fedél” szimbólumot és a program beépített funkcióját, amely könnyen megjegyezhető. Ez egy határozott plusz!

Térjünk tovább a továbbiakra összetett példák. Emlékezzünk arra a szabályra, hogy hogyan kell egy számot negatív törthatványra emelni, és látni fogjuk, hogy ez a probléma nagyon könnyen megoldható Excelben.

Törtmutatók

Röviden, a tört kitevővel rendelkező szám kiszámításának algoritmusa a következő.

1. A tört átváltása helyesre vagy helytelen tört.
2. Emeljük fel a számunkat a kapott átváltott tört számlálójára.
3. Az előző bekezdésben kapott számból számítsuk ki a gyököt azzal a feltétellel, hogy a gyök kitevője lesz az első lépésben kapott tört nevezője.

Egyetért azzal, hogy az ilyen számítások még kis számokkal és megfelelő törtekkel történő műveletek esetén is sok időt vehetnek igénybe. Még jó, hogy az Excel táblázatkezelőt nem érdekli, hogy milyen szám milyen fokozatra van emelve. Próbálja meg megoldani a munkahelyén Excel lap következő példa:

A fenti szabályok segítségével ellenőrizheti és megbizonyosodhat arról, hogy a számítás helyesen történt-e.

Cikkünk végén táblázat formájában képletekkel és eredményekkel mutatunk be számos példát arra, hogyan lehet egy számot negatív hatványra emelni, valamint számos példát törtszámokkal és hatványokkal való műveletekre.

Példa táblázat

Tekintse meg az alábbi példákat az Excel-munkalapon. Ahhoz, hogy minden megfelelően működjön, vegyes hivatkozást kell használnia a képlet másolásakor. Rögzítse az emelendő számot tartalmazó oszlop számát és a mutatót tartalmazó sor számát. A képletnek így kell kinéznie: "=$B4^C$3."

Szám/fok

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a pozitív számok (még a nem egész számok is) probléma nélkül számíthatók bármely kitevőre. Nincs probléma a számok egész számokra emelésével. De egy negatív szám törthatványra emelése hibának bizonyul, mivel lehetetlen betartani a cikkünk elején jelzett szabályt a negatív számok emeléséről, mivel a paritás kizárólag az EGÉSZ szám jellemzője.

Mint tudják, a matematikában nem csak pozitív számok vannak, hanem negatívak is. Ha a pozitív erőkkel való ismerkedés a négyzet területének meghatározásával kezdődik, akkor a negatív erőkkel minden valamivel bonyolultabb.

Ezt tudnod kell:

1. A szám felemelésével természetes fok egy szám (a cikkben a szám és a számjegyekvivalens fogalmát fogjuk figyelembe venni) önmagával olyan mértékben, mint a kitevő szorzásának nevezzük (a jövőben párhuzamosan és egyszerűen a kitevő szót fogjuk használni). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. BAN BEN Általános nézetígy néz ki: m^n = m*m*m*…*m (n-szer).
2. Figyelembe kell venni, hogy ha egy negatív számot természetes hatványra emelünk, az akkor lesz pozitív, ha a kitevő páros.
3. Ha egy számot 0 kitevőre emelünk, akkor egyet adunk, feltéve, hogy nem egyenlő nullával. A nullától a nulláig terjedő teljesítmény definiálatlannak minősül. 17^0 = 1.
4. Ha egy számból kivonjuk egy bizonyos fok gyökét, akkor olyan számot találunk, amelyet a megfelelő kitevőre emelve a kívánt értéket kapjuk. Tehát a 125 kockagyöke 5, mivel 5^3 = 125.
5. Ha egy számot pozitív törthatványra akarunk emelni, akkor a számot a nevező kitevőjére kell emelni, és ki kell vonni belőle a számláló kitevőjének gyökét. 6^5/7 = a 6*6*6*6*6 szorzat hetedik gyöke.
6. Ha egy számot negatív kitevőre kell emelni, akkor meg kell találni az adott szám inverzét. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Modulo nulla szám egyre emelése negatív hatványra

Először is emlékeznünk kell mi az a modul. Ez a távolság a koordinátavonalon az általunk választott értéktől az origóig (a koordinátavonal nullája). Értelemszerűen ez soha nem lehet negatív.

Az érték nagyobb, mint nulla

Ha egy számjegy értéke nulla és egy között van, akkor egy negatív mutató magának a számjegynek a növekedését jelzi. Ez azért történik, mert a nevező csökken, miközben pozitív marad.

Nézzünk példákat:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Sőt, minél nagyobb a mutató modulja, annál aktívabban növekszik az ábra. Mivel a nevező nullára hajlik, maga a tört plusz a végtelen.

Az érték kisebb, mint nulla

Most nézzük meg, hogyan lehet negatív hatványra emelni, ha a szám nullánál kisebb. Az elv ugyanaz, mint az előző részben, de itt a mutató előjele számít.

Nézzük még egyszer a példákat:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

BAN BEN ebben az esetben, ezt látjuk modul folyamatosan növekszik, de az előjel attól függ, hogy a mutató páros vagy páratlan.

Tudni kell, hogy ha egy egységet építünk, az mindig önmaga marad. Ha egy számot mínusz egyre kell emelni, akkor páros kitevővel eggyel, páratlan kitevővel pedig mínusz egy marad.

Negatív egész hatványra emelés, ha a modulus nagyobb egynél

Azoknál a számoknál, amelyek modulusa nagyobb egynél, megvannak a maga cselekvési sajátosságai. Először is át kell konvertálnia a tört teljes részét a számlálóba, azaz át kell alakítani egy nem megfelelő törtté. Ha van decimális, akkor normálra kell konvertálni. Ez a következőképpen történik:

• 6 egész szám 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Most nézzük meg, hogyan emelhetünk egy számot negatív hatványra ilyen feltételek mellett. Már a fentiekből sejthetjük, hogy mire számíthatunk a számítások eredményéből. Mivel az egyszerűsítések során a dupla tört invertálódik, az ábra modulja minél gyorsabban csökken, minél nagyobb a kitevő modulja.

Először is nézzük meg azt a helyzetet, amikor a feladatban megadott szám pozitív.

Először is világossá válik, hogy a végeredmény nagyobb lesz nullánál, mert két pozitív elosztása mindig pozitívat ad. Nézzünk még egyszer példákat ennek végrehajtására:

• 6 egész szám 1/20 a mínusz ötödik hatványig = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Mint látható, a tettek nem okoznak különösebb nehézséget, és minden kezdeti feltételezésünk igaznak bizonyult.

Most térjünk rá a negatív számjegy esetére.

Először is feltételezhetjük, hogy ha a mutató páros, akkor az eredmény pozitív, ha a mutató páratlan, akkor az eredmény negatív lesz. Ebben a részben minden korábbi számításunkat most érvényesnek tekintjük. Nézzünk még egyszer példákat:

• -3 egész 1/2 a mínusz hatodik hatványig = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Így minden érvelésünk helyesnek bizonyult.

Konstrukció negatív törtkitevő esetén

Itt emlékeznie kell arra, hogy létezik ilyen konstrukció a nevező hatványának gyökének kivonása egy számból a számláló hatványába. Minden korábbi érvelésünk ezúttal igaz marad. Magyarázzuk meg cselekedeteinket egy példával:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Ebben az esetben szem előtt kell tartania a gyökerek kitermelését magas szint csak speciálisan kiválasztott formában lehetséges, és nagy valószínűséggel pontos számításokkal nem fog tudni megszabadulni a gyök jelétől (négyzetgyök, köbgyök stb.).

Ennek ellenére, miután részletesen tanulmányozta az előző fejezeteket, ne számítson nehézségekre az iskolai számításokban.

Megjegyzendő, hogy e fejezet leírása azt is tartalmazza konstrukció szándékosan irracionális mutatóval, például ha a mutató egyenlő mínusz PI-vel. A fent leírt elvek szerint kell eljárnia. A számítások azonban ilyen esetekben olyan bonyolulttá válnak, hogy csak nagy teljesítményű elektronikus számítógépek képesek rá.

Következtetés

Az általunk tanulmányozott cselekvés az egyik legtöbb a legösszetettebb feladatokat a matematikában(különösen tört-racionális vagy irracionális jelentés esetén). Azonban részletesen és lépésről lépésre tanulmányozva ezeket az utasításokat, ezt teljesen automatikusan, minden probléma nélkül megtanulhatja.

Ebben az anyagban megvizsgáljuk, mi a szám hatványa. Az alapdefiníciók mellett megfogalmazzuk, hogy milyen hatványok vannak természetes, egész, racionális és irracionális kitevővel. Mint mindig, minden fogalmat példaproblémákkal illusztrálunk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Először is fogalmazzuk meg a fokozat alapvető definícióját természetes kitevővel. Ehhez emlékeznünk kell a szorzás alapvető szabályaira. Előzetesen tisztázzuk, hogy egyelőre mi fogunk alapul venni valós szám(a betűvel jelölje), indikátorként pedig természetes (n betűvel jelölje).

1. definíció

Egy n természetes kitevővel rendelkező a szám hatványa az n-edik számú tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő az a számmal. A diploma így van írva: a n, és képlet formájában összetétele a következőképpen ábrázolható:

Például, ha a kitevő 1, az alap pedig a, akkor az a első hatványa így lesz felírva egy 1. Tekintettel arra, hogy a a faktor értéke, 1 pedig a faktorok száma, arra következtethetünk a 1 = a.

Általánosságban elmondhatjuk, hogy a diploma kényelmes rögzítési forma nagy mennyiség egyenlő tényezők. Tehát az űrlap feljegyzése 8 8 8 8-re rövidíthető 8 4 . Hasonló módon a termék segít elkerülni, hogy nagyszámú kifejezést írjunk (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Erről már szó volt a természetes számok szorzásának szentelt cikkben.

Hogyan kell helyesen olvasni a diplomabejegyzést? Az általánosan elfogadott lehetőség „a n hatványára”. Vagy azt is mondhatja, hogy „a n-edik hatványa” vagy „anth hatvány”. Ha mondjuk a példában találkoztunk a bejegyzéssel 8 12 , olvashatjuk a "8-at a 12. hatványra", a "8-at a 12-es hatványra" vagy a "8-as 12. hatványát".

A számok második és harmadik hatványának megvan a maga ismert neve: négyzet és kocka. Ha látjuk a második hatványt, például a 7-es számot (7 2), akkor azt mondhatjuk, hogy „7 négyzet” vagy „a 7-es négyzet”. Hasonlóképpen a harmadik fokozat így hangzik: 5 3 - ez az „5-ös szám kocka” vagy „5 kocka”. Használhatja azonban a „második/harmadik hatványig” szabványos megfogalmazást is, ez nem lesz hiba.

1. példa

Nézzünk egy példát egy természetes kitevővel rendelkező fokra: for 5 7 öt lesz az alap, a hét pedig a kitevő.

Az alapnak nem kell egész számnak lennie: a fokhoz (4 , 32) 9 az alap a 4-es, 32-es tört lesz, a kitevő pedig kilenc. Ügyeljen a zárójelekre: ez a jelölés minden olyan hatványra vonatkozik, amelynek alapja eltér a természetes számoktól.

Például: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Mire való a zárójel? Segítenek elkerülni a számítási hibákat. Tegyük fel, hogy két bejegyzésünk van: (− 2) 3 És − 2 3 . Ezek közül az első negatív szám mínusz kettőt jelent három természetes kitevőjű hatványra emelve; a második a fok ellentétes értékének megfelelő szám 2 3 .

Néha a könyvekben egy szám erejének kissé eltérő írásmódja található - a^n(ahol a az bázis és n a kitevő). Vagyis a 4^9 ugyanaz, mint 4 9 . Abban az esetben, ha n többjegyű szám, zárójelben szerepel. Például 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . De mi a jelölést fogjuk használni a n mint gyakoribb.

Könnyű kitalálni, hogyan kell kiszámítani egy természetes kitevő értékét a definíciójából: csak n-edszer kell szorozni. Erről bővebben egy másik cikkünkben írtunk.

A fok fogalma egy másik matematikai fogalom inverze - egy szám gyökere. Ha ismerjük a hatvány és a kitevő értékét, ki tudjuk számítani az alapját. A végzettségnek van néhány konkrét tulajdonsága, amelyek hasznosak a problémák megoldásához, amelyeket külön anyagban tárgyaltunk.

A kitevők nemcsak természetes számokat tartalmazhatnak, hanem általában bármilyen egész értéket, beleértve a negatívokat és a nullákat is, mivel ezek is az egész számok halmazához tartoznak.

2. definíció

Egy pozitív egész kitevővel rendelkező szám hatványa képletként ábrázolható: .

Ebben az esetben n bármely pozitív egész szám.

Értsük meg a nulla fok fogalmát. Ehhez olyan megközelítést alkalmazunk, amely figyelembe veszi az egyenlő bázisú hatványok hányados tulajdonságát. Így van megfogalmazva:

3. definíció

Egyenlőség a m: a n = a m − n igaz lesz a következő feltételek mellett: m és n természetes számok, m< n , a ≠ 0 .

Az utolsó feltétel azért fontos, mert elkerüli a nullával való osztást. Ha m és n értéke egyenlő, akkor a következő eredményt kapjuk: a n: a n = a n − n = a 0

De ugyanakkor a n: a n = 1 hányados egyenlő számok a nés a. Kiderül, hogy bármely nem nulla szám nulla hatványa egyenlő eggyel.

Az ilyen bizonyítás azonban nem vonatkozik a nulla a nulladik hatványra. Ehhez szükségünk van a hatványok egy másik tulajdonságára - az egyenlő bázisú erők szorzataira. Ez így néz ki: a m · a n = a m + n .

Ha n egyenlő 0-val, akkor a m · a 0 = a m(ez az egyenlőség is ezt bizonyítja számunkra a 0 = 1). De ha és egyenlő nullával, akkor egyenlőségünk formát ölt 0 m · 0 0 = 0 m, Ez igaz lesz n bármely természetes értékére, és nem mindegy, hogy pontosan mekkora a fokérték 0 0 , azaz bármely számmal egyenlő lehet, és ez nem befolyásolja az egyenlőség pontosságát. Ezért az űrlap jelölése 0 0 nincs saját különleges jelentése, és nem is tulajdonítjuk neki.

Ha szükséges, ez könnyen ellenőrizhető a 0 = 1 fok tulajdonsághoz konvergál (a m) n = a m n feltéve, hogy a fokozat alapja nem nulla. Így bármely nullától eltérő szám hatványa nulla kitevővel egy.

2. példa

Nézzünk egy példát konkrét számokkal: Tehát, 5 0 - Mértékegység, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , és az érték 0 0 határozatlan.

A nulla fok után már csak azt kell kitalálni, hogy mi a negatív fok. Ehhez az egyenlő bázisú hatványok szorzatának ugyanaz a tulajdonsága kell, mint amit fentebb már használtunk: a m · a n = a m + n.

Vezessük be a feltételt: m = − n, akkor a nem lehet egyenlő nullával. Ebből következik, hogy a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Kiderül, hogy egy n és a−n kölcsönösen reciprok számaink vannak.

Ennek eredményeként a negatív teljes hatvány a nem más, mint az 1 a n tört.

Ez a megfogalmazás megerősíti, hogy egy egész szám negatív kitevőjű fokra ugyanazok a tulajdonságok érvényesek, mint a természetes kitevővel rendelkező fokoknál (feltéve, hogy az alap nem egyenlő nullával).

3. példa

Egy a hatvány negatív egész kitevőjű n 1 a n törtként ábrázolható. Így a - n = 1 a n tárgya a ≠ 0és n – bármely természetes szám.

Konkrét példákkal illusztráljuk elképzelésünket:

4. példa

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

A bekezdés utolsó részében megpróbálunk mindent, ami elhangzott, világosan ábrázolni egy képletben:

4. definíció

Egy z természetes kitevővel rendelkező szám hatványa: a z = a z, e l-vel és z-vel - pozitív egész 1, z = 0 és a ≠ 0, (z = 0 és a = 0 esetén az eredmény 0 0, a a 0 0 kifejezés értékei nincsenek definiálva) 1 a z, ha és z negatív egész szám és a ≠ 0 (ha z negatív egész szám és a = 0, akkor 0 z, egoz az érték meghatározatlan)

Mik azok a hatványok racionális kitevővel?

Olyan eseteket vizsgáltunk, amikor a kitevő egész számot tartalmaz. Egy számot azonban akkor is emelhet hatványra, ha a kitevője törtszámot tartalmaz. Ezt racionális kitevővel rendelkező hatványnak nevezzük. Ebben a részben bebizonyítjuk, hogy ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a többi erő.

Mi történt racionális számok? Változatukban az egész és törtszámok, míg a törtszámok közönséges törtként (pozitív és negatív egyaránt) ábrázolhatók. Fogalmazzuk meg egy a szám hatványának definícióját m / n törtkitevővel, ahol n természetes szám, m pedig egész szám.

Van valamilyen fokunk a m ​​n törtkitevővel. Ahhoz, hogy a hatványhatalom érvényesüljön, az a m n n = a m n · n = a m egyenlőségnek igaznak kell lennie.

Tekintettel az n-edik gyök definíciójára és arra, hogy a m n n = a m, akkor elfogadhatjuk az a m n = a m n feltételt, ha az m n értelmes m, n és a megadott értékeire.

Az egész kitevőjű fok fenti tulajdonságai a m n = a m n feltétel mellett igazak lesznek.

Érvelésünk fő következtetése a következő: egy bizonyos a szám m / n törtkitevőjű hatványa az a szám n-edik gyöke az m hatványhoz. Ez akkor igaz, ha adott m, n és a érték esetén az a m n kifejezés értelmes marad.

1. Korlátozhatjuk a fokalap értékét: vegyünk a-t, amely m pozitív értékei esetén nagyobb vagy egyenlő 0-val, negatív értékek esetén pedig szigorúan kisebb (mivel m ≤ 0 kapunk 0 m, de ilyen fokozat nincs meghatározva). Ebben az esetben a tört kitevővel rendelkező fok meghatározása így fog kinézni:

Egy m/n törtkitevőjű hatvány valamilyen a pozitív számra az m hatványra emelt a n-edik gyöke. Ez egy képlet formájában fejezhető ki:

Nulla bázisú hatvány esetén ez a rendelkezés is megfelelő, de csak akkor, ha a kitevője pozitív szám.

A hatvány nulla bázissal és m/n tört pozitív kitevővel fejezhető ki

0 m n = 0 m n = 0, feltéve, hogy m pozitív egész szám, n pedig természetes szám.

Negatív arány esetén m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Egy pontot jegyezzünk meg. Mivel bevezettük azt a feltételt, hogy a nullánál nagyobb vagy egyenlő, néhány esetet elvetettünk.

Az a m n kifejezés néha még mindig értelmes a és néhány m negatív értékére. Így a helyes bejegyzések: (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, amelyekben az alap negatív.

2. A második megközelítés az a m n gyökér külön-külön figyelembe vétele páros és páratlan kitevővel. Ekkor még egy feltételt kell bevezetnünk: az a fokot, amelynek kitevőjében van egy redukálható közönséges tört, annak a foknak tekintjük, amelynek kitevőjében ott van a megfelelő irreducibilis tört. Később elmagyarázzuk, miért van szükségünk erre a feltételre, és miért olyan fontos. Így ha rendelkezünk a m ​​· k n · k jelöléssel, akkor azt a m n-re redukálhatjuk, és egyszerűsíthetjük a számításokat.

Ha n páratlan szám és m értéke pozitív, a pedig tetszőleges nem negatív szám, akkor az m n-nek van értelme. Az a feltétele, hogy a ne legyen negatív, azért szükséges, mert a páros fokú gyöke nem vonható ki negatív számból. Ha m értéke pozitív, akkor a lehet negatív és nulla is, mert A páratlan gyök bármely valós számból felvehető.

Foglaljuk össze a fenti definíciókat egy bejegyzésben:

Itt m/n irreducibilis törtet jelent, m tetszőleges egész számot, n pedig tetszőleges természetes számot jelent.

5. definíció

Bármely közönséges redukálható m · k n · k tört esetén a fokszám helyettesíthető a m n -nel.

Egy m / n törtkitevőjű a szám hatványa a következő esetekben fejezhető ki m n-ként: - bármely valós a esetén egész számok pozitív értékeket m és páratlan természeti értékek n. Példa: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Bármilyen nem nulla valós a, egész szám negatív értékeket m és n páratlan értékei, például 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Bármely nem negatív a, pozitív egész szám m és páros n esetén például 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Bármely pozitív a, negatív egész m és páros n esetén például 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Egyéb értékek esetén a törtkitevővel rendelkező fok nem kerül meghatározásra. Példák az ilyen fokozatokra: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Most magyarázzuk el a fent tárgyalt feltétel fontosságát: miért cserélünk le egy redukálható kitevővel rendelkező törtet egy irreducibilis kitevővel rendelkező törtre. Ha nem ezt tettük volna, akkor a következő helyzetek lettek volna, mondjuk 6/10 = 3/5. Akkor igaznak kell lennie (- 1) 6 10 = - 1 3 5, de - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, és (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Az általunk elsőként bemutatott, törtkitevős fokozat definíciója kényelmesebb a gyakorlatban, mint a második, ezért továbbra is ezt fogjuk használni.

6. definíció

Így egy m/n törtkitevőjű pozitív a szám hatványa 0 m n = 0 m n = 0. Negatív esetén a az a m n bejegyzésnek nincs értelme. Nulla hatványa pozitív törtkitevőkre m/n 0 m n = 0 m n = 0, negatív törtkitevőkre nem adjuk meg a nulla fokát.

Következtetésekben megjegyezzük, hogy bármilyen törtmutatót felírhat vegyes számként és tizedes törtként is: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Számításkor jobb a kitevőt helyettesíteni közönséges törtés továbbra is használjuk a fok definícióját tört kitevővel. A fenti példákhoz a következőket kapjuk:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mik az irracionális és valós kitevővel rendelkező hatványok?

Mik azok a valós számok? Halmazuk racionális és irracionális számokat is tartalmaz. Ezért ahhoz, hogy megértsük, mi az a fokszám valós kitevővel, meg kell határoznunk a racionális és irracionális kitevőkkel rendelkező fokokat. A racionálisakat fentebb már említettük. Lépésről lépésre foglalkozzunk az irracionális mutatókkal.

5. példa

Tegyük fel, hogy van egy a irracionális számunk és ennek decimális közelítéseinek sorozata a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Vegyük például az a = 1,67175331 értéket. . . , Akkor

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Közelítéssorozatokat társíthatunk a a a 0, a a 1, a a 2, fokú sorozatokhoz. . . . Ha emlékszel, mit mondtunk korábban a számok emeléséről racionális fok, akkor mi magunk is kiszámíthatjuk ezeknek a hatványoknak az értékét.

Vegyük például a = 3, akkor a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . stb.

A hatványsorozat egy számra redukálható, ami az a bázisú hatvány és a irracionális kitevő értéke lesz. Ennek eredményeként: 3 1, 67175331 formájú irracionális kitevővel rendelkező fokozat. . 6-os, 27-es számra csökkenthető.

7. definíció

Az a irracionális kitevővel rendelkező pozitív a szám hatványát a a -ként írjuk fel. Értéke az a a 0, a a 1, a a 2, sorozat határértéke. . . , ahol a 0 , a 1 , a 2 , . . . az a irracionális szám egymást követő decimális közelítései. Pozitív irracionális kitevőkre nullabázisú fok is meghatározható, 0 a = 0 Tehát, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. De ezt a negatívaknál nem lehet megtenni, mivel például a 0 - 5, 0 - 2 π érték nincs definiálva. Egy tetszőleges irracionális hatványra emelt egység például egység marad, és 1 2, 1 5 a 2-ben és 1-5 egyenlő lesz 1-gyel.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Első szint

Fokozat és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)

Miért van szükség diplomára? Hol lesz rájuk szüksége? Miért érdemes időt szánni ezek tanulmányozására?

Hogy mindent megtudjon a diplomákról, mire valók, hogyan hasznosíthatja tudását Mindennapi élet olvassa el ezt a cikket.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz sikeres teljesítés OGE vagy egységes államvizsga és felvétel álmai egyetemére.

Gyerünk... (Menjünk!)

Fontos jegyzet! Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja le a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a Cmd+R (Mac rendszeren) billentyűkombinációt.

ELSŐ SZINT

A hatványozás olyan matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent emberi nyelven fogok elmagyarázni, nagyon egyszerű példákon keresztül. Légy óvatos. A példák elemiek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindenkinek van két üveg kólája. Mennyi kóla van? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanaz a példa a kólával másképp is írható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben észrevették, hogy mind a nyolc embernek ugyanannyi kólásüvege van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Természetesen mindent megtehetsz lassabban, nehezebben és hibákkal! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És még egy, szebb:

Milyenek még? ravasz trükkök a számlákat lusta matematikusok találták ki? Jobb - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy a kettőtől az ötödik hatványhoz... És fejben oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Csak annyit kell tennie ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványainak táblázatában. Hidd el, ettől sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják másodfokúnak? négyzet számok, a harmadik pedig - kocka? Mit jelent? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük a szám négyzetével vagy második hatványával.

Képzeljen el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete egy méter x egy méter. A medence a dachánál van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De... a medencének nincs feneke! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence alsó területét.

Egyszerűen kiszámolhatja az ujjával, hogy a medence alja méterenkénti kockákból áll. Ha egy méter méteres csempe van, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen csempét? A csempe nagy valószínűséggel cm-es lesz, és akkor megkínozzák az „ujjal számolva”. Akkor szorozni kell. Tehát a medence aljának egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét helyezünk. Szorozzuk meg, és kapunk csempéket ().

Észrevette, hogy a medencefenék területének meghatározásához ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot szorozzuk, használhatjuk a „hatványozás” technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb, és kevesebb a számítási hiba is. Az egységes államvizsga esetében ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második hatvány lesz (). Vagy azt is mondhatjuk, hogy harminc négyzet lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. valós példa

Íme egy feladat: számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másikon is. A számuk megszámlálásához meg kell szoroznia nyolcat nyolccal vagy... ha ezt észreveszi Sakktábla- ez egy négyzet, amelynek oldala van, akkor négyzetezhet nyolcat. Kapsz sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként -ban mérik köbméter. Váratlan, igaz?) Rajzolj egy medencét: egy méteres fenéket és egy méteres mélységet, és próbáld megszámolni, hogy hány méteres méteres kocka fér el a medencédben.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy... huszonkettő, huszonhárom... Hányat kaptál? Nem veszett el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal... Könnyebb, nem?

Most képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt is leegyszerűsítenék. Mindent egyetlen műveletre redukáltunk. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanaz a szám szorozódik meg önmagával... Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a diplomát. Tehát, amit egyszer megszámoltál az ujjaddal, azt egy művelettel megcsinálják: három kocka egyenlő. Így van írva: .

Csak az marad emlékezz a foktáblázatra. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, továbbra is számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat felmondók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, és nem azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden keresett millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden milliód megduplázódik minden év elején. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és „ujjal számolsz”, akkor nagyon szorgalmas ember vagy és... hülye. De nagy valószínűséggel pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kettő szorozva kettővel... a második évben - ami történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám szorozva van önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és az kapja meg ezeket a milliókat, aki a leggyorsabban tud számolni... Érdemes emlékezni a számok erejére, nem gondolod?

Valós példa #5

Van egy milliód. Minden év elején minden keresett millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű nem? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy évben? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatványhoz egyenlő egy millióval. Csak emlékezni kell arra, hogy a három-negyedik hatvány a vagy.

Most már tudod, hogy egy szám hatványra emelésével sokkal könnyebb lesz az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne keveredjen össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi az a kitevő? Nagyon egyszerű – ez a szám van a szám hatványának „tetején”. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen diplomaalap? Még egyszerűbb - ez a szám az alján található.

Íme egy rajz a jó mérethez.

Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezet érdekében... A „ ” bázissal és „ ” kitevővel rendelkező fokot „fokozatnak” kell olvasni, és a következőképpen írjuk:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok felsorolásakor használunk: egy, kettő, három... Amikor objektumokat számolunk, nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad”, vagy „nulla pont öt”. Ezek nem természetes számok. Szerinted milyen számok ezek?

Az olyan számok, mint a „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét” utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes számokat (vagyis mínusz előjellel felvetve) és a számokat. A nullát könnyű megérteni – ez az, amikor nincs semmi. Mit jelentenek a negatív („mínusz”) számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális szám. Hogyan keletkeztek, mit gondolsz? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nem rendelkeznek természetes számokkal a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok... Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden, ez egy végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg egy olyan fok fogalmát, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy önmagával szorozzuk:
3. Egy szám kockára bontása azt jelenti, hogy háromszor megszorozzuk önmagával:

Meghatározás. Egy szám természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:
.

A fokozatok tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk: mi az És ?

A-prioritás:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: szorzót adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény szorzó.

De definíció szerint ez egy kitevős szám hatványa, vagyis: , amit bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen biztos ugyanazok az okok!
Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

csak az erők szorzatára!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

2. ennyi egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen:

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni?

De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

Hatáskörében természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor működik.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Az 5) példában szintén nem minden olyan félelmetes, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége! Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a szabály érvényes lehet.

De hogyan kell ezt csinálni? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít nekünk.

Varázsütésre a kifejezések helyet cseréltek. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk.

De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Egész a természetes számokat, azok ellentéteit (vagyis a " " jellel felvetve) és a számot hívjuk.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Nézzünk most új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, tegyük fel magunknak a kérdést: miért van ez így?

Nézzünk egy bizonyos fokot egy alappal. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot vel, és ugyanazt kaptuk, mint volt - . Milyen számmal kell szorozni, hogy ne változzon semmi? Így van, rá. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt tetszőleges fokozattal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint bármely nulla hatványhoz tartozó szám, ennek is egyenlőnek kell lennie. Tehát ezek közül melyik igaz? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most nem csak osztani nullával, hanem nulla hatványra emelni sem.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Ahhoz, hogy megértsük, mi a negatív hatvány, tegyük úgy, mint legutóbb: szorozzunk meg egy normál számot ugyanazzal a számmal egy negatív hatványra:

Innentől kezdve egyszerűen kifejezheti, hogy mit keres:

Most bővítsük ki az eredményül kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzunk meg egy szabályt:

Egy negatív hatványú szám ugyanannak a pozitív hatványú számnak a reciproka. De ugyanakkor Az alap nem lehet null:(mert nem lehet vele osztani).

Összefoglaljuk:

I. A kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

II. A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel: .

III. A nullával nem egyenlő szám negatív hatványa azonos szám pozitív hatványának inverze: .

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák független megoldásokra:

Problémák elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de az egységes államvizsgán mindenre fel kell készülni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásaikat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan birkózik meg velük könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most mérlegeljük racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: minden, ami törtként ábrázolható, ahol és egész számok, és.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok", vegye figyelembe a törtet:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzünk a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th hatvány gyöke a hatványra emelés fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilvánvalóan ez a speciális eset bővíthető: .

Most hozzáadjuk a számlálót: mi az? A válasz könnyen megkapható a teljesítmény-teljesítmény szabály segítségével:

De lehet az alap bármilyen szám? Hiszen a gyökér nem vonható ki minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból még gyököket sem lehet kinyerni!

Ez azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

Egy szám más, redukálható törtként is ábrázolható, például vagy.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor leírhatod. De ha máshogy írjuk fel a mutatót, akkor megint bajba kerülünk: (vagyis egészen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében megfontoljuk csak pozitív alapkitevő tört kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A racionális kitevők nagyon hasznosak a kifejezések gyökeres transzformációjához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most jön a legnehezebb rész. Most kitaláljuk fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonsága itt pontosan ugyanaz, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, egy kivétellel

Hiszen definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionálisakat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel.

Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám;

...számot a nulladik hatványig- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám” , nevezetesen egy szám;

...fok negatív egész kitevővel- Mintha valami történt volna fordított folyamat", vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem elosztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY ELMEGYED! (ha megtanulod megoldani az ilyen példákat :))

Például:

Döntsd el magad:

Megoldások elemzése:

1. Kezdjük a hatvány hatványra emelésének szokásos szabályával:

Most nézd meg a mutatót. Nem emlékeztet semmire? Emlékezzünk vissza a négyzetek különbségének rövidített szorzásának képletére:

Ebben az esetben,

Kiderült, hogy:

Válasz: .

2. A kitevőben lévő törteket redukáljuk ugyanaz a tekintet: vagy mindkettő decimális, vagy mindkettő szabályos. Kapunk például:

Válasz: 16

3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — végzettség alapja;
• - kitevő.

Fok természetes indikátorral (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Fok egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

Építkezés a nulla fokig:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az negatív egész szám szám:

(mert nem lehet vele osztani).

Még egyszer a nullákról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Hatvány racionális kitevővel

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A fokozatok tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

A-prioritás:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen ugyanazoknak az okoknak kell lenniük. Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak a hatványok szorzatára vonatkozik!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Csoportosítsuk át ezt a munkát a következőképpen:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivetésének”. De ezt soha nem teheti meg összesen: !

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni? De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy milyennek kell lennie index fokon. De mi legyen az alap? Hatáskörében természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk (-vel), akkor - .

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. A következőket tudjuk megfogalmazni egyszerű szabályok:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. Negatív szám, beépített páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában szintén nem minden olyan félelmetes, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszünk, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap nullánál kisebb. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és elosztjuk őket egymással, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt megvizsgálnánk az utolsó szabályt, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezéseket:

Megoldások :

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége!

Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a 3. szabály alkalmazható lenne. De hogyan? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít nekünk.

Ha megszorozod, semmi sem változik, igaz? De most így alakul:

Varázsütésre a kifejezések helyet cseréltek. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk. De fontos emlékezni: Minden jel egyszerre változik! Nem helyettesítheti azzal, hogy csak egy olyan hátrányt változtat meg, amelyet nem szeretünk!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki és egyszerűsítsük a diploma fogalmát:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány betű van összesen? alkalommal szorzókkal – mire emlékeztet ez? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: Ott csak szorzók voltak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokszámaira vonatkozó információk mellett a fokozatot irracionális kitevővel elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (azaz , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel. Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám; a nulla hatványhoz tartozó szám úgymond önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív kitevővel - olyan, mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Ez inkább egy tisztán matematikai objektum, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

1. Emlékezzünk a négyzetek különbségére. Válasz: .
2. A törteket ugyanarra a formára redukáljuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapjuk például: .
3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

A SZEKCIÓ ÖSSZEFOGLALÁSA ÉS AZ ALAPKÉPLETEK

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Hatvány racionális kitevővel

fok, amelynek kitevője a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

fok, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

A fokozatok tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST MEGVAN A SZAVA...

Hogy tetszik a cikk? Írd le kommentbe, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk a diplomatulajdonságok használatával kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!