កម្រិតដំបូង

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ. ទ្រឹស្តីលម្អិតជាមួយឧទាហរណ៍ (2019)

លំដាប់លេខ

ដូច្នេះ ចូរយើងអង្គុយចុះ ហើយចាប់ផ្តើមសរសេរលេខខ្លះ។ ឧទាហរណ៍:
អ្នកអាចសរសេរលេខណាមួយ ហើយវាអាចមានច្រើនតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត (ក្នុងករណីរបស់យើងមានពួកវា)។ មិនថាយើងសរសេរលេខប៉ុន្មានទេ យើងតែងតែអាចនិយាយបានថា មួយណាមុនគេ មួយណាជាលេខទីពីរ ហើយបន្តរហូតដល់លេខចុងក្រោយ នោះគឺយើងអាចដាក់លេខបាន។ នេះជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ៖

លំដាប់លេខ
ឧទាហរណ៍សម្រាប់លំដាប់របស់យើង៖

លេខដែលបានកំណត់គឺជាក់លាក់ចំពោះតែលេខមួយក្នុងលំដាប់។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត មិនមានលេខបីទីពីរនៅក្នុងលំដាប់នោះទេ។ លេខទីពីរ (ដូចជាលេខទី) គឺតែងតែដូចគ្នា។
លេខដែលមានលេខត្រូវបានគេហៅថាពាក្យទី 1 នៃលំដាប់។

ជាធម្មតាយើងហៅលំដាប់ទាំងមូលដោយអក្សរមួយចំនួន (ឧទាហរណ៍) ហើយសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះគឺជាអក្សរដូចគ្នាដែលមានសន្ទស្សន៍ស្មើនឹងចំនួនសមាជិកនេះ៖ .

ក្នុងករណីរបស់យើង៖

ឧបមាថាយើងមានលំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។
ឧទាហរណ៍:

ល។
លំដាប់លេខនេះត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការនព្វន្ធ។
ពាក្យ "វឌ្ឍនភាព" ត្រូវបានណែនាំដោយអ្នកនិពន្ធរ៉ូម៉ាំង Boethius នៅសតវត្សទី 6 ហើយត្រូវបានគេយល់ក្នុងន័យទូលំទូលាយថាជាលំដាប់លេខគ្មានកំណត់។ ឈ្មោះ "នព្វន្ធ" ត្រូវបានផ្ទេរពីទ្រឹស្តីនៃសមាមាត្របន្ត ដែលត្រូវបានសិក្សាដោយក្រិកបុរាណ។

នេះគឺជាលំដាប់លេខ ដែលសមាជិកនីមួយៗស្មើនឹងលេខមុនដែលបានបន្ថែមទៅលេខដូចគ្នា។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ និងត្រូវបានកំណត់។

ព្យាយាមកំណត់ថាតើលំដាប់លេខមួយណាជាដំណើរការនព្វន្ធ ហើយមួយណាមិនមែនជា៖

ក)
ខ)
គ)
ឃ)

យល់ទេ? ចូរយើងប្រៀបធៀបចម្លើយរបស់យើង៖
គឺវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ - ខ, គ។
មិន​មែនវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ - a, d ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅវឌ្ឍនភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យ () ហើយព្យាយាមស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យទី 1 របស់វា។ មាន ពីរវិធីស្វែងរកវា។

1. វិធីសាស្រ្ត

យើង​អាច​បន្ថែម​លេខ​ដំណើរ​ការ​ទៅ​តម្លៃ​មុន​រហូត​ដល់​យើង​ឈាន​ដល់​វគ្គ​ទី​មួយ​នៃ​ការ​វិវត្ត។ ជាការល្អដែលយើងមិនមានអ្វីច្រើនដើម្បីសង្ខេប - មានតែតម្លៃបីប៉ុណ្ណោះ៖

ដូច្នេះពាក្យទី 1 នៃដំណើរការនព្វន្ធដែលបានពិពណ៌នាគឺស្មើនឹង។

2. វិធីសាស្រ្ត

ចុះ​បើ​យើង​ត្រូវ​ការ​ស្វែង​រក​តម្លៃ​នៃ​ពាក្យ​ទី​មួយ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន? ការបូកសរុបនឹងចំណាយពេលលើសពីមួយម៉ោង ហើយវាមិនមែនជាការពិតដែលថាយើងនឹងមិនធ្វើខុសនៅពេលបន្ថែមលេខនោះទេ។
ជាការពិតណាស់ គណិតវិទូបានបង្កើតនូវវិធីមួយដែលវាមិនចាំបាច់ក្នុងការបន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅនឹងតម្លៃមុននោះទេ។ សូមក្រឡេកមើលរូបភាពដែលបានគូរឱ្យកាន់តែដិតដល់... ប្រាកដណាស់អ្នកបានកត់សម្គាល់ឃើញគំរូជាក់លាក់មួយរួចហើយ ពោលគឺ៖

ជាឧទាហរណ៍ សូមមើលថាតើតម្លៃនៃពាក្យទី th នៃដំណើរការនព្វន្ធនេះមានអ្វីខ្លះ៖


ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

ព្យាយាមស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយខ្លួនឯងតាមវិធីនេះ។

តើអ្នកបានគណនាទេ? ប្រៀបធៀបកំណត់ចំណាំរបស់អ្នកជាមួយចម្លើយ៖

សូមចំណាំថា អ្នកទទួលបានលេខដូចគ្នាទៅនឹងវិធីសាស្ត្រមុន នៅពេលដែលយើងបន្ថែមលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធជាបន្តបន្ទាប់ទៅតម្លៃមុន។
ចូរយើងព្យាយាម "ធ្វើឱ្យខ្លួនឯង" រូបមន្តនេះ។- តោះនាំនាងទៅ ទម្រង់ទូទៅហើយយើងទទួលបាន៖

សមីការវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។

ដំណើរការនព្វន្ធអាចកើនឡើង ឬថយចុះ។

ការកើនឡើង- វឌ្ឍនភាពដែលតម្លៃបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃលក្ខខណ្ឌគឺធំជាងពាក្យមុន។
ឧទាហរណ៍:

ចុះ- វឌ្ឍនភាពដែលតម្លៃបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃលក្ខខណ្ឌគឺតិចជាងតម្លៃមុន។
ឧទាហរណ៍:

រូបមន្តដែលបានទាញយកត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនានៃពាក្យទាំងការកើនឡើង និងបន្ថយនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
សូមពិនិត្យមើលវានៅក្នុងការអនុវត្ត។
យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្ដល់​ការ​វិវត្តនព្វន្ធ​ដែល​មាន​លេខ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ ចូរ​ពិនិត្យ​មើល​ថា​ចំនួន​ទី​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​នេះ​នឹង​ជា​អ្វី​ប្រសិន​បើ​យើង​ប្រើ​រូបមន្ត​របស់​យើង​ដើម្បី​គណនា​វា ៖

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក៖

ដូច្នេះហើយ យើងជឿជាក់ថារូបមន្តនេះដំណើរការទាំងការថយចុះ និងការកើនឡើងនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ព្យាយាមស្វែងរកពាក្យទី និងទី នៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធនេះដោយខ្លួនឯង។

តោះប្រៀបធៀបលទ្ធផល៖

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ

សូមឱ្យបញ្ហាស្មុគស្មាញ - យើងនឹងទាញយកទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរនិយាយថាយើងត្រូវបានផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម:
- វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ, ស្វែងរកតម្លៃ។
ងាយ​ស្រួល​អ្នក​និយាយ​ហើយ​ចាប់​ផ្ដើម​រាប់​តាម​រូបមន្ត​ដែល​អ្នក​ដឹង​រួច​ហើយ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ ah បន្ទាប់មក៖

ពិត​ជា​ត្រឹម​ត្រូវ។ វាប្រែថាយើងរកឃើញដំបូងបន្ទាប់មកបន្ថែមវាទៅលេខដំបូងហើយទទួលបានអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក។ ប្រសិនបើវឌ្ឍនភាពត្រូវបានតំណាងដោយតម្លៃតូច នោះមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញអំពីវាទេ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើយើងត្រូវបានផ្តល់លេខនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ? យល់ស្រប មានលទ្ធភាពនៃកំហុសក្នុងការគណនា។
ឥឡូវនេះគិតថាតើវាអាចទៅរួចក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះក្នុងជំហានមួយដោយប្រើរូបមន្តណាមួយដែរឬទេ? បាទ/ចាស៎ ហើយនោះជាអ្វីដែលយើងនឹងព្យាយាមបញ្ចេញនៅពេលនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីពាក្យដែលត្រូវការនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធដូចដែលរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកវាត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង - នេះគឺជារូបមន្តដូចគ្នាដែលយើងបានមកពីដំបូង:
, បន្ទាប់មក៖

• រយៈពេលមុននៃវឌ្ឍនភាពគឺ៖
• រយៈពេលបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាពគឺ៖

ចូរសង្ខេបលក្ខខណ្ឌមុន និងបន្តបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាព៖

វាប្រែថាផលបូកនៃពាក្យមុន និងបន្តបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាពគឺជាតម្លៃទ្វេរនៃពាក្យវឌ្ឍនភាពដែលស្ថិតនៅចន្លោះពួកវា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងតម្លៃដែលបានស្គាល់ពីមុន និងបន្តបន្ទាប់ អ្នកត្រូវបន្ថែមពួកវា និងចែកដោយ។

ត្រូវហើយ យើងទទួលបានលេខដូចគ្នា។ តោះធានាសម្ភារៈ។ គណនាតម្លៃសម្រាប់វឌ្ឍនភាពដោយខ្លួនឯង វាមិនពិបាកទាល់តែសោះ។

ល្អ​ណាស់! អ្នកដឹងស្ទើរតែទាំងអស់អំពីវឌ្ឍនភាព! វានៅសល់ដើម្បីរកឱ្យឃើញនូវរូបមន្តតែមួយគត់ដែលយោងទៅតាមរឿងព្រេងត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលដោយអ្នកគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតគ្រប់ពេលគឺ "ស្តេចនៃគណិតវិទូ" - Karl Gauss ...

នៅពេល Carl Gauss មានអាយុ 9 ឆ្នាំ គ្រូបង្រៀនម្នាក់ដែលមមាញឹកពិនិត្យការងាររបស់សិស្សនៅក្នុងថ្នាក់ផ្សេងទៀត បានចាត់ភារកិច្ចដូចខាងក្រោមនៅក្នុងថ្នាក់៖ “រាប់ចំនួនសរុបនៃចំនួនធម្មជាតិទាំងអស់ពី (យោងតាមប្រភពផ្សេងទៀតទៅ) រួមបញ្ចូល។ ស្រមៃមើលការភ្ញាក់ផ្អើលរបស់គ្រូ នៅពេលដែលសិស្សរបស់គាត់ម្នាក់ (នេះគឺជា Karl Gauss) មួយនាទីក្រោយមកបានផ្តល់ចម្លើយត្រឹមត្រូវចំពោះកិច្ចការនេះ ខណៈដែលមិត្តរួមថ្នាក់របស់ Dardevil ភាគច្រើន បន្ទាប់ពីការគណនាយ៉ាងយូរបានទទួលលទ្ធផលខុស...

Young Carl Gauss បានកត់សម្គាល់នូវគំរូជាក់លាក់មួយដែលអ្នកអាចកត់សម្គាល់បានយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ។
ឧបមាថាយើងមានការវិវត្តនព្វន្ធដែលមានពាក្យ -th៖ យើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យទាំងនេះនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចបូកសរុបតម្លៃទាំងអស់ដោយដៃ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើកិច្ចការតម្រូវឱ្យស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា ដូចដែល Gauss កំពុងស្វែងរក?

ចូរ​យើង​ពណ៌នា​អំពី​ការ​វិវត្ត​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​យើង។ សូមក្រឡេកមើលឱ្យកាន់តែដិតដល់នូវលេខដែលបានបន្លិច ហើយព្យាយាមធ្វើប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាផ្សេងៗជាមួយពួកគេ។


តើអ្នកបានសាកល្បងវាទេ? តើអ្នកបានកត់សម្គាល់អ្វី? ត្រូវហើយ! ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា

ឥឡូវប្រាប់ខ្ញុំតើមានគូបែបនេះសរុបប៉ុន្មានក្នុងដំណើរការដែលបានផ្តល់ឱ្យយើង? ជាការពិតណាស់ ពាក់កណ្តាលនៃលេខទាំងអស់ នោះគឺ។
ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថាផលបូកនៃពាក្យពីរនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើគ្នា ហើយគូស្រដៀងគ្នាគឺស្មើគ្នា យើងទទួលបានថាផលបូកសរុបគឺស្មើនឹង៖
.
ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយនឹងមានៈ

ក្នុង​បញ្ហា​ខ្លះ​យើង​មិន​ស្គាល់​ពាក្យ​ទី​ទេ ប៉ុន្តែ​យើង​ដឹង​ពី​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​វិវត្តន៍។ ព្យាយាមជំនួសរូបមន្តនៃពាក្យទី ទៅជារូបមន្តផលបូក។
តើអ្នកទទួលបានអ្វីខ្លះ?

ល្អ​ណាស់! ឥឡូវសូមត្រលប់ទៅបញ្ហាដែលត្រូវបានសួរទៅលោក Carl Gauss៖ គណនាដោយខ្លួនឯងថាតើផលបូកនៃលេខដែលចាប់ផ្តើមពីលេខ th គឺស្មើនិងផលបូកនៃលេខដែលចាប់ផ្តើមពី th ។

តើអ្នកទទួលបានប៉ុន្មាន?
Gauss បានរកឃើញថាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌគឺស្មើគ្នា និងផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ។ នោះជាអ្វីដែលអ្នកសម្រេចចិត្ត?

តាមពិត រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Diophantus នៅសតវត្សរ៍ទី 3 ហើយពេញមួយរយៈពេលនេះ មនុស្សដែលមានប្រាជ្ញាបានប្រើប្រាស់ពេញលេញនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ជាឧទាហរណ៍ សូមស្រមៃគិតអំពីអេហ្ស៊ីបបុរាណ និងគម្រោងសាងសង់ដ៏ធំបំផុតនៅសម័យនោះ ពោលគឺការសាងសង់ពីរ៉ាមីត... រូបភាពបង្ហាញពីផ្នែកម្ខាងរបស់វា។

អ្នក​និយាយ​ថា​ការ​រីក​ចម្រើន​នៅ​ទី​នេះ​នៅ​ឯ​ណា? សូមក្រឡេកមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ហើយស្វែងរកគំរូក្នុងចំនួនប្លុកខ្សាច់ក្នុងជួរនីមួយៗនៃជញ្ជាំងពីរ៉ាមីត។


ហេតុអ្វីបានជាការវិវត្តនព្វន្ធ? គណនាចំនួនប្លុកដែលត្រូវការដើម្បីសាងសង់ជញ្ជាំងមួយ ប្រសិនបើឥដ្ឋប្លុកត្រូវបានដាក់នៅមូលដ្ឋាន។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកនឹងមិនរាប់ទេ ខណៈពេលដែលរំកិលម្រាមដៃរបស់អ្នកឆ្លងកាត់ម៉ូនីទ័រ តើអ្នកចាំរូបមន្តចុងក្រោយ និងអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលយើងបាននិយាយអំពីការវិវត្តនព្វន្ធទេ?

ក្នុងករណីនេះការវិវត្តមើលទៅដូចនេះ: .
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចំនួនពាក្យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរជំនួសទិន្នន័យរបស់យើងទៅជារូបមន្តចុងក្រោយ (គណនាចំនួនប្លុកតាម 2 វិធី)។

វិធីសាស្រ្ត 1 ។

វិធីសាស្រ្ត 2 ។

ហើយឥឡូវនេះអ្នកអាចគណនានៅលើម៉ូនីទ័រ: ប្រៀបធៀបតម្លៃដែលទទួលបានជាមួយនឹងចំនួនប្លុកដែលមាននៅក្នុងពីរ៉ាមីតរបស់យើង។ យល់ទេ? ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកបានស្ទាត់ជំនាញផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទី n នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
ជាការពិតណាស់ អ្នកមិនអាចសង់ពីរ៉ាមីតពីប្លុកនៅមូលដ្ឋានបានទេ ប៉ុន្តែមកពី? ព្យាយាមគណនាចំនួនឥដ្ឋខ្សាច់ដែលត្រូវការដើម្បីសាងសង់ជញ្ជាំងដែលមានលក្ខខណ្ឌនេះ។
តើអ្នកបានគ្រប់គ្រងទេ?
ចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវគឺប្លុក៖

ការបណ្តុះបណ្តាល

ភារកិច្ច:

1. Masha ទទួលបានរូបរាងសម្រាប់រដូវក្តៅ។ ជារៀងរាល់ថ្ងៃនាងបង្កើនចំនួន squats ដោយ។ តើ Masha នឹងធ្វើ Squats ប៉ុន្មានដងក្នុងមួយសប្តាហ៍ ប្រសិនបើនាង Squats នៅវគ្គបណ្តុះបណ្តាលដំបូង?
2. តើអ្វីជាផលបូកនៃចំនួនសេសទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុង។
3. នៅពេលរក្សាទុកឈើ អ្នកកាប់ឈើជង់វាតាមរបៀបដែលនីមួយៗ ស្រទាប់ខាងលើមានកំណត់ហេតុតិចជាងមួយសន្លឹកមុន។ តើ​ឈើ​មួយ​ដុំ​មាន​ប៉ុន្មាន​ដុំ បើ​គ្រឹះ​កំបោរ​គឺ​ឈើ?

ចម្លើយ៖

1. ចូរយើងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ក្នុងករណី​នេះ
   (សប្តាហ៍ = ថ្ងៃ) ។

   ចម្លើយ៖ក្នុងរយៈពេលពីរសប្តាហ៍ Masha គួរតែធ្វើ squats ម្តងក្នុងមួយថ្ងៃ។

2. លេខសេសទីមួយ លេខចុងក្រោយ។
   ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។
   ចំនួននៃលេខសេសគឺពាក់កណ្តាល ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សូមពិនិត្យមើលការពិតនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកពាក្យទី 1 នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖

   លេខមានលេខសេស។
   ចូរជំនួសទិន្នន័យដែលមានទៅក្នុងរូបមន្ត៖

   ចម្លើយ៖ផលបូកនៃចំនួនសេសទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងគឺស្មើគ្នា។

3. ចូរយើងចងចាំពីបញ្ហាអំពីសាជីជ្រុង។ សម្រាប់ករណីរបស់យើង a ចាប់តាំងពីស្រទាប់ខាងលើនីមួយៗត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយកំណត់ហេតុមួយ បន្ទាប់មកសរុបមានស្រទាប់ជាច្រើន នោះគឺ។
   ចូរជំនួសទិន្នន័យទៅក្នុងរូបមន្ត៖

   ចម្លើយ៖មានឈើប្រណិតនៅក្នុងឡ។

ចូរសរុបមក

1. - លំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។ វាអាចកើនឡើងឬថយចុះ។
2. ការស្វែងរករូបមន្តពាក្យទី 1 នៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរដោយរូបមន្ត - តើចំនួនលេខនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនៅឯណា។
3. ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ- - តើចំនួនលេខដែលកំពុងដំណើរការនៅឯណា។
4. ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធអាចរកបានតាមពីរវិធី៖
   
   តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ កម្រិតមធ្យម

លំដាប់លេខ

តោះអង្គុយចុះ ហើយចាប់ផ្តើមសរសេរលេខខ្លះ។ ឧទាហរណ៍:

អ្នក​អាច​សរសេរ​លេខ​ណាមួយ ហើយ​អាច​មាន​ច្រើន​តាម​ចិត្ត​អ្នក​។ ប៉ុន្តែយើងតែងតែអាចនិយាយបានថា មួយណាមុនគេ មួយណាទីពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើនោះ គឺយើងអាចដាក់លេខបាន។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ។

លំដាប់លេខគឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​លេខ ដែល​នីមួយៗ​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​លេខ​តែ​មួយ​គត់។

ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខនីមួយៗអាចភ្ជាប់ជាមួយនឹងលេខធម្មជាតិជាក់លាក់មួយ និងលេខតែមួយគត់។ ហើយយើងនឹងមិនកំណត់លេខនេះទៅលេខផ្សេងទៀតពីសំណុំនេះទេ។

លេខដែលមានលេខត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកទី 1 នៃលំដាប់។

ជាធម្មតាយើងហៅលំដាប់ទាំងមូលដោយអក្សរមួយចំនួន (ឧទាហរណ៍) ហើយសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះគឺជាអក្សរដូចគ្នាដែលមានសន្ទស្សន៍ស្មើនឹងចំនួនសមាជិកនេះ៖ .

វាងាយស្រួលណាស់ប្រសិនបើពាក្យទី 1 នៃលំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍រូបមន្ត

កំណត់​លំដាប់​:

ហើយរូបមន្តមានលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ (ពាក្យទីមួយនៅទីនេះគឺស្មើគ្នា ហើយភាពខុសគ្នាគឺ)។ ឬ (, ភាពខុសគ្នា) ។

រូបមន្តទី 3

យើង​ហៅ​រូបមន្ត​ដែល​កើតឡើង​ដដែលៗ ដែល​ដើម្បី​ស្វែងយល់​ពី​ពាក្យ​ទី​មួយ អ្នកត្រូវ​ដឹង​ពាក្យ​មុន ឬ​ច្រើន​មុនៗ៖

ដើម្បីស្វែងរកឧទាហរណ៍ពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពដោយប្រើរូបមន្តនេះយើងនឹងត្រូវគណនាលេខប្រាំបួនមុន។ ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យវា។ បន្ទាប់មក៖

តើវាច្បាស់ទេថា តើរូបមន្តជាអ្វី?

នៅក្នុងបន្ទាត់នីមួយៗដែលយើងបន្ថែមទៅ គុណនឹងចំនួនមួយចំនួន។ មួយ​ណា? សាមញ្ញណាស់៖ នេះគឺជាចំនួនដកសមាជិកបច្ចុប្បន្ន៖

ឥឡូវនេះកាន់តែងាយស្រួលហើយមែនទេ? យើងពិនិត្យ៖

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ សូមស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ហើយស្វែងរកពាក្យទីរយ។

ដំណោះស្រាយ៖

ពាក្យទីមួយគឺស្មើគ្នា។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា? នេះជាអ្វី៖

(ហេតុ​នេះ​ហើយ​បាន​ជា​គេ​ហៅ​ថា ភាព​ខុស​គ្នា ព្រោះ​វា​ស្មើ​នឹង​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ពាក្យ​បន្តបន្ទាប់​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន)។

ដូច្នេះរូបមន្ត៖

បន្ទាប់មកពាក្យទីរយស្មើនឹង៖

តើផលបូកនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពីទៅអ្វី?

យោងតាមរឿងព្រេង។ គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យ Karl Gauss ក្នុងនាមជាក្មេងប្រុសអាយុ 9 ឆ្នាំបានគណនាចំនួននេះក្នុងរយៈពេលពីរបីនាទី។ គាត់បានកត់សម្គាល់ឃើញថា ផលបូកនៃលេខទីមួយ និងលេខចុងក្រោយគឺស្មើគ្នា ផលបូកនៃលេខទីពីរ និងចុងក្រោយគឺដូចគ្នា ផលបូកនៃលេខទីបី និងលេខ 3 ពីចុងបញ្ចប់គឺដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ។ សរុប​មាន​ប៉ុន្មាន​គូ​ហ្នឹង? នោះ​ជា​ការ​ត្រឹមត្រូវ, ពិត​ជា​ពាក់​ក​ណ្តា​ល​នៃ​ចំនួន​ទាំង​អស់, នោះ​គឺ. ដូច្នេះ

រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយនឹងមានៈ

ឧទាហរណ៍៖
រកផលបូកនៃគុណពីរខ្ទង់ទាំងអស់។

ដំណោះស្រាយ៖

លេខបែបនេះដំបូងគឺនេះ។ លេខបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានទទួលដោយការបន្ថែមទៅលេខមុន។ ដូច្នេះ លេខដែលយើងចាប់អារម្មណ៍បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា។

រូបមន្តនៃពាក្យទី 1 សម្រាប់វឌ្ឍនភាពនេះ៖

តើ​មាន​ពាក្យ​ប៉ុន្មាន​នៅ​ក្នុង​ការ​រីក​ចម្រើន បើ​ពាក្យ​ទាំង​អស់​ត្រូវ​មាន​ពីរ​ខ្ទង់?

ងាយស្រួលណាស់៖ ។

រយៈពេលចុងក្រោយនៃការវិវត្តនឹងស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកផលបូក៖

ចម្លើយ៖ ។

ឥឡូវសម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

1. ជារៀងរាល់ថ្ងៃអត្តពលិករត់បានច្រើនម៉ែត្រជាងថ្ងៃមុន។ តើ​គាត់​នឹង​រត់​ប៉ុន្មាន​គីឡូម៉ែត្រ​ក្នុង​មួយ​សប្តាហ៍ បើ​គាត់​រត់​គីឡូម៉ែត្រ​ក្នុង​ថ្ងៃ​ដំបូង?
2. អ្នក​ជិះ​កង់​ធ្វើ​ដំណើរ​ច្រើន​គីឡូម៉ែត្រ​ជា​រៀង​រាល់​ថ្ងៃ​ជាង​ថ្ងៃ​មុន។ នៅថ្ងៃដំបូងគាត់បានធ្វើដំណើរគីឡូម៉ែត្រ។ តើគាត់ត្រូវធ្វើដំណើរប៉ុន្មានថ្ងៃដើម្បីគ្របដណ្តប់មួយគីឡូម៉ែត្រ? តើគាត់នឹងធ្វើដំណើរប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រក្នុងថ្ងៃចុងក្រោយនៃការធ្វើដំណើររបស់គាត់?
3. តម្លៃទូទឹកកកនៅក្នុងហាងមួយមានការថយចុះចំនួនដូចគ្នាជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ កំណត់ថាតើតម្លៃទូរទឹកកកបានធ្លាក់ចុះប៉ុន្មានក្នុងមួយឆ្នាំ ប្រសិនបើដាក់លក់សម្រាប់រូប្លិ ប្រាំមួយឆ្នាំក្រោយមកវាត្រូវបានលក់ក្នុងតម្លៃរូប្លិ។

ចម្លើយ៖

1. អ្វីដែលសំខាន់បំផុតនៅទីនេះគឺត្រូវទទួលស្គាល់ការវិវត្តនព្វន្ធ និងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ (សប្តាហ៍ = ថ្ងៃ) ។ អ្នកត្រូវកំណត់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនេះ៖
   .
   ចម្លើយ៖
2. នៅទីនេះវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: , ត្រូវតែត្រូវបានរកឃើញ។
   ជាក់ស្តែង អ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តបូកដូចក្នុងបញ្ហាមុន៖
   .
   ជំនួសតម្លៃ៖

   ឫសច្បាស់មិនសមទេ ដូច្នេះចម្លើយគឺ។
   ចូរយើងគណនាផ្លូវដែលបានធ្វើដំណើរនៅថ្ងៃចុងក្រោយដោយប្រើរូបមន្តនៃពាក្យទី៖
   (គ.ម)។
   ចម្លើយ៖

3. បានផ្តល់ឱ្យ: . ស្វែងរក៖ ។
   វាមិនងាយស្រួលជាងនេះទេ៖
   (ជូត) ។
   ចម្លើយ៖

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ សង្ខេបអំពីរឿងសំខាន់

នេះគឺជាលំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។

ការវិវត្តនព្វន្ធអាចកើនឡើង () និងថយចុះ () ។

ឧទាហរណ៍:

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ

ត្រូវបានសរសេរដោយរូបមន្ត ដែលចំនួនលេខកំពុងដំណើរការ។

ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ

វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកងាយស្រួលស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាព ប្រសិនបើពាក្យដែលនៅជិតខាងរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ - តើចំនួនលេខនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនៅឯណា។

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធ

មានវិធីពីរយ៉ាងដើម្បីស្វែងរកបរិមាណ៖

តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។

តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។

មែនហើយ ប្រធានបទគឺចប់ហើយ។ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានបន្ទាត់ទាំងនេះ វាមានន័យថាអ្នកពិតជាឡូយណាស់។

ពីព្រោះមនុស្សតែ 5% ប៉ុណ្ណោះដែលអាចធ្វើជាម្ចាស់អ្វីមួយដោយខ្លួនឯងបាន។ ហើយ​បើ​អ្នក​អាន​ដល់​ចប់ នោះ​អ្នក​ស្ថិត​ក្នុង​៥%​នេះ!

ឥឡូវនេះអ្វីដែលសំខាន់បំផុត។

អ្នក​បាន​យល់​ទ្រឹស្តី​លើ​ប្រធានបទ​នេះ​ហើយ។ ហើយខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតថានេះ ... នេះគឺអស្ចារ្យណាស់! អ្នក​គឺ​ល្អ​ជាង​មិត្ត​ភក្តិ​របស់​អ្នក​ភាគ​ច្រើន​រួច​ទៅ​ហើយ។

បញ្ហាគឺថានេះប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ...

ដើម្បីអ្វី?

ដើម្បីជោគជ័យ ឆ្លងកាត់ការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមសម្រាប់ការចូលរៀននៅមហាវិទ្យាល័យតាមថវិកា និងសំខាន់បំផុតសម្រាប់ជីវិត។

ខ្ញុំនឹងមិនបញ្ចុះបញ្ចូលអ្នកពីអ្វីទេ ខ្ញុំគ្រាន់តែនិយាយរឿងមួយ...

មនុស្សដែលទទួលបាន ការអប់រំល្អ។រកបានច្រើនជាងអ្នកដែលមិនបានទទួល។ នេះគឺជាស្ថិតិ។

ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជារឿងសំខាន់ទេ។

រឿងចំបងគឺថាពួកគេកាន់តែសប្បាយរីករាយ (មានការសិក្សាបែបនេះ) ។ ប្រហែលជាដោយសារឱកាសជាច្រើនបើកមុនពួកគេ ហើយជីវិតកាន់តែភ្លឺ? មិនដឹង...

តែគិតខ្លួនឯង...

តើវាត្រូវការអ្វីខ្លះដើម្បីប្រាកដថា ប្រសើរជាងអ្នកផ្សេងទៀតនៅលើការប្រឡង Unified State ហើយនៅទីបំផុត ... រីករាយជាង?

ទទួលបានដៃរបស់អ្នកដោយការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទនេះ។

អ្នក​នឹង​មិន​ត្រូវ​បាន​គេ​សួរ​រក​ទ្រឹស្ដី​អំឡុង​ពេល​ប្រឡង។

អ្នក​នឹង​ត្រូវការ ដោះស្រាយបញ្ហាប្រឈមនឹងពេលវេលា.

ហើយប្រសិនបើអ្នកមិនបានដោះស្រាយវា (ច្រើន!) អ្នកច្បាស់ជាមានកំហុសឆ្គងនៅកន្លែងណាមួយ ឬជាធម្មតានឹងមិនមានពេល។

វាដូចជានៅក្នុងកីឡា - អ្នកត្រូវធ្វើវាម្តងទៀតច្រើនដងដើម្បីឈ្នះប្រាកដ។

ស្វែងរកការប្រមូលនៅកន្លែងណាដែលអ្នកចង់បាន ចាំបាច់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ, ការវិភាគលម្អិត ហើយសម្រេចចិត្ត សម្រេចចិត្ត!

អ្នកអាចប្រើភារកិច្ចរបស់យើង (ជាជម្រើស) ហើយយើងសូមណែនាំពួកគេ។

ដើម្បីទទួលបានការប្រើប្រាស់ការងាររបស់យើងកាន់តែប្រសើរ អ្នកត្រូវជួយពន្យារអាយុជីវិតនៃសៀវភៅសិក្សា YouClever ដែលអ្នកកំពុងអានបច្ចុប្បន្ន។

យ៉ាងម៉េច? មានជម្រើសពីរ៖

1. ដោះសោកិច្ចការដែលលាក់ទាំងអស់នៅក្នុងអត្ថបទនេះ - 299 ជូត។
2. ដោះសោការចូលប្រើកិច្ចការលាក់កំបាំងទាំងអស់នៅក្នុងអត្ថបទទាំង 99 នៃសៀវភៅសិក្សា - 999 ជូត។

បាទ/ចាស យើងមានអត្ថបទបែបនេះចំនួន 99 នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់យើង ហើយការចូលទៅកាន់កិច្ចការទាំងអស់ ហើយអត្ថបទដែលលាក់ទាំងអស់នៅក្នុងពួកវាអាចបើកបានភ្លាមៗ។

ក្នុងករណីទីពីរ យើងនឹងផ្តល់ឱ្យអ្នក។ក្លែងធ្វើ "បញ្ហា 6000 ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ សម្រាប់ប្រធានបទនីមួយៗ នៅគ្រប់កម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញ។" វាពិតជាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការលើកដៃដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទណាមួយ។

តាមពិតទៅ នេះគឺច្រើនជាងការក្លែងធ្វើ - កម្មវិធីបណ្តុះបណ្តាលទាំងមូល។ បើចាំបាច់ អ្នកក៏អាចប្រើវាដោយឥតគិតថ្លៃផងដែរ។

ការចូលប្រើអត្ថបទ និងកម្មវិធីទាំងអស់ត្រូវបានផ្តល់ជូនសម្រាប់រយៈពេលទាំងមូលនៃអត្ថិភាពនៃគេហទំព័រ។

សរុបសេចក្តី...

ប្រសិនបើអ្នកមិនចូលចិត្តកិច្ចការរបស់យើង ស្វែងរកអ្នកដទៃ។ កុំឈប់នៅទ្រឹស្តី។

"យល់" និង "ខ្ញុំអាចដោះស្រាយ" គឺជាជំនាញខុសគ្នាទាំងស្រុង។ អ្នកត្រូវការទាំងពីរ។

ស្វែងរកបញ្ហា ហើយដោះស្រាយវា!

មុនពេលយើងចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត បញ្ហានៃដំណើរការនព្វន្ធចូរយើងពិចារណាថាតើលំដាប់លេខជាអ្វី ពីព្រោះការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាករណីពិសេសនៃលំដាប់លេខ។

លំដាប់លេខគឺជាសំណុំលេខ ដែលធាតុនីមួយៗមានរៀងៗខ្លួន លេខ​សម្គាល់ . ធាតុនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃលំដាប់។ លេខ​ស៊េរី​នៃ​ធាតុ​លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​លិបិក្រម​មួយ​:

ធាតុដំបូងនៃលំដាប់;

ធាតុទីប្រាំនៃលំដាប់;

- ធាតុ "ទី" នៃលំដាប់, i.e. ធាតុ "ឈរក្នុងជួរ" នៅលេខ n ។

មានទំនាក់ទំនងរវាងតម្លៃនៃធាតុលំដាប់មួយ និងលេខលំដាប់របស់វា។ ដូច្នេះ យើងអាចពិចារណាលំដាប់មួយជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់ជាលេខលំដាប់នៃធាតុនៃលំដាប់។ ម្យ៉ាង​ទៀត យើង​អាច​និយាយ​បែប​នោះ។ លំដាប់គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ៖

លំដាប់អាចត្រូវបានកំណត់តាមបីវិធី៖

1 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើតារាង។ក្នុងករណីនេះ យើងគ្រាន់តែកំណត់តម្លៃនៃសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់។

ជាឧទាហរណ៍ នរណាម្នាក់បានសម្រេចចិត្តទទួលយកការគ្រប់គ្រងពេលវេលាផ្ទាល់ខ្លួន ហើយចាប់ផ្តើមជាមួយនឹង រាប់ថាតើគាត់ចំណាយពេលប៉ុន្មាននៅលើ VKontakte ក្នុងមួយសប្តាហ៍។ តាមរយៈការកត់ត្រាពេលវេលានៅក្នុងតារាង គាត់នឹងទទួលបានលំដាប់ដែលមានធាតុប្រាំពីរ៖

ជួរទីមួយនៃតារាងបង្ហាញពីចំនួនថ្ងៃនៃសប្តាហ៍ទីពីរ - ពេលវេលាគិតជានាទី។ យើងឃើញថា នោះគឺនៅថ្ងៃច័ន្ទ នរណាម្នាក់បានចំណាយពេល 125 នាទីនៅលើ VKontakte នោះគឺនៅថ្ងៃព្រហស្បតិ៍ - 248 នាទី ហើយនោះគឺនៅថ្ងៃសុក្រត្រឹមតែ 15 ប៉ុណ្ណោះ។

2 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្តពាក្យទី n ។

ក្នុងករណីនេះការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃធាតុលំដាប់មួយនៅលើលេខរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយផ្ទាល់នៅក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តមួយ។

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក

ដើម្បី​រក​តម្លៃ​នៃ​ធាតុ​លំដាប់​ដោយ​លេខ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ យើង​ជំនួស​លេខ​ធាតុ​ទៅ​ក្នុង​រូបមន្ត​នៃ​ពាក្យ​ទី n ។

យើងធ្វើដូចគ្នាប្រសិនបើយើងត្រូវការស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានគេស្គាល់។ យើងជំនួសតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ទៅក្នុងសមីការអនុគមន៍៖

ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ , នោះ។

ខ្ញុំសូមកត់សម្គាល់ម្តងទៀតថា នៅក្នុងលំដាប់មួយ មិនដូចមុខងារលេខតាមអំពើចិត្តទេ អាគុយម៉ង់អាចគ្រាន់តែជាលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។

3 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃលេខសមាជិកលំដាប់ n លើតម្លៃនៃសមាជិកពីមុន។ ក្នុងករណីនេះវាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងដើម្បីដឹងតែចំនួនសមាជិកនៃលំដាប់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា។ យើងត្រូវបញ្ជាក់សមាជិកដំបូង ឬសមាជិកពីរបីនាក់ដំបូងនៃលំដាប់។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាតាមលំដាប់លំដោយ ,

យើងអាចស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកលំដាប់ នៅក្នុងលំដាប់ចាប់ផ្តើមពីទីបី៖

នោះ​គឺ​រាល់​ពេល​ដើម្បី​រក​តម្លៃ​នៃ​ពាក្យ​ទី n នៃ​លំដាប់ យើង​ត្រឡប់​ទៅ​លេខ​ពីរ​មុន​វិញ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់លំដាប់មួយត្រូវបានគេហៅថា កើតឡើងវិញ។, មកពីពាក្យឡាតាំង កើតឡើងវិញ- ត្រឡប់មកវិញ។

ឥឡូវនេះយើងអាចកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធមួយ។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាករណីពិសេសសាមញ្ញនៃលំដាប់លេខ។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ គឺ​ជា​លំដាប់​លេខ ដែល​សមាជិក​នីមួយៗ​ដែល​ចាប់​ផ្ដើម​ពី​លេខ​ពីរ គឺ​ស្មើ​នឹង​លេខ​មុន​ដែល​បាន​បន្ថែម​ទៅ​លេខ​ដូច​គ្នា។

លេខត្រូវបានហៅ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចជាវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹងសូន្យ។

ប្រសិនបើ title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} កើនឡើង.

ឧទាហរណ៍ ២; ៥; ៨; ដប់មួយ;...

ប្រសិនបើ នោះពាក្យនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺតិចជាងពាក្យមុន ហើយការវិវត្តគឺ ថយចុះ.

ឧទាហរណ៍ ២; -1; -៤; -៧;...

ប្រសិនបើ នោះលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពគឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា ហើយការវិវត្តគឺ ស្ថានី.

ឧទាហរណ៍ ២;២;២;២;...

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

តោះមើលគំនូរ។

យើងឃើញនោះ។

និងក្នុងពេលតែមួយ

បន្ថែមភាពស្មើគ្នាទាំងពីរនេះ យើងទទួលបាន៖

.

ចូរបែងចែកភាពស្មើគ្នានៃភាគីទាំងពីរដោយ 2:

ដូច្នេះ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនពីរដែលនៅជិតគ្នា៖

លើសពីនេះទៅទៀតចាប់តាំងពី

និងក្នុងពេលតែមួយ

, នោះ។

, ហើយ​ដូច្នេះ

ពាក្យនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ចាប់ផ្តើមដោយ title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

រូបមន្តនៃពាក្យទី។

យើងឃើញថាលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធបំពេញទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

ជា​ចុងក្រោយ

យើងទទួលបាន រូបមន្តនៃពាក្យទី 9 ។

សំខាន់!សមាជិកណាមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរយៈ និង។ ដោយដឹងពីពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ អ្នកអាចរកឃើញពាក្យណាមួយរបស់វា។

ផលបូកនៃពាក្យ n នៃដំណើរការនព្វន្ធ។

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធតាមអំពើចិត្ត ផលបូកនៃពាក្យដែលស្មើគ្នាពីចំនួនខ្លាំងគឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក៖

ពិចារណាការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយ n លក្ខខណ្ឌ។ អនុញ្ញាតឱ្យផលបូកនៃ n លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនេះស្មើនឹង .

ចូរ​រៀបចំ​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​ជា​មុន​សិន​តាម​លំដាប់​លេខ​ឡើង ហើយ​បន្ទាប់​មក​តាម​លំដាប់​ចុះ៖

តោះបន្ថែមជាគូ៖

ផលបូកក្នុងតង្កៀបនីមួយៗគឺ ចំនួនគូគឺ n ។

យើង​ទទួល​បាន:

ដូច្នេះ ផលបូកនៃពាក្យ n នៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

ចូរយើងពិចារណា ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការវិវត្តនព្វន្ធ.

1 . លំដាប់​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​រូបមន្ត​នៃ​ពាក្យ​ទី​៩៖ . បង្ហាញថាលំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរយើងបង្ហាញថាភាពខុសគ្នារវាងពាក្យដែលនៅជាប់គ្នានៃលំដាប់គឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា។

យើងបានរកឃើញថាភាពខុសគ្នារវាងសមាជិកពីរដែលនៅជាប់គ្នានៃលំដាប់មិនអាស្រ័យលើចំនួនរបស់ពួកគេ ហើយជាចំនួនថេរ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ លំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

2 . ដែលបានផ្តល់ឱ្យការវិវត្តនព្វន្ធ -31; -២៧;...

ក) ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌចំនួន ៣១ នៃដំណើរការ។

ខ) កំណត់ថាតើលេខ 41 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការវិវត្តនេះ។

ក)យើង​ឃើញ​ថា​;

ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 សម្រាប់ការរីកចម្រើនរបស់យើង។

ជាទូទៅ

ក្នុងករណីរបស់យើង។ , នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជារឿងសាមញ្ញ។ ទាំងក្នុងន័យ និងរូបមន្ត។ ប៉ុន្តែមានកិច្ចការគ្រប់ប្រភេទលើប្រធានបទនេះ។ ពីមូលដ្ឋានទៅរឹង។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់ពីអត្ថន័យ និងរូបមន្តនៃបរិមាណ។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ភាពរីករាយរបស់អ្នកផ្ទាល់។ ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបន្ថែមពាក្យទាំងអស់របស់វាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងនេះមានតិចតួច អ្នកអាចបន្ថែមដោយគ្មានរូបមន្តណាមួយឡើយ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានច្រើន ឬច្រើន... ការបន្ថែមគឺរំខាន។) ក្នុងករណីនេះ រូបមន្តមកជួយសង្គ្រោះ។

រូបមន្តសម្រាប់បរិមាណគឺសាមញ្ញ៖

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើអក្សរប្រភេទណាដែលត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្ត។ នេះនឹងជម្រះរឿងជាច្រើន។

ស - ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ លទ្ធផលបន្ថែម គ្រប់គ្នាសមាជិក, ជាមួយ ដំបូងដោយ ចុងក្រោយ។វាមានសារៈសំខាន់ណាស់។ ពួកគេបន្ថែមយ៉ាងពិតប្រាកដ ទាំងអស់។សមាជិកជាប់ៗគ្នា ដោយមិនរំលង ឬរំលង។ ហើយច្បាស់ណាស់ចាប់ផ្តើមពី ដំបូង។នៅក្នុងបញ្ហាដូចជាការស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យទីបី និងទីប្រាំបី ឬផលបូកនៃពាក្យទី 5 ដល់ទី 20 ការអនុវត្តន៍រូបមន្តដោយផ្ទាល់នឹងខកចិត្ត។ )

ក ១ - ដំបូងសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់នៅទីនេះ វាសាមញ្ញ ដំបូងលេខជួរ។

មួយ n- ចុងក្រោយសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ លេខចុងក្រោយនៃស៊េរី។ មិន​មែន​ជា​ឈ្មោះ​ដែល​ធ្លាប់​ស្គាល់​នោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​នៅ​ពេល​ដែល​បាន​អនុវត្ត​ទៅ​នឹង​ចំនួន​នេះ​គឺ​សមរម្យ​ណាស់។ បន្ទាប់មកអ្នកនឹងឃើញដោយខ្លួនឯង។

ន - ចំនួនសមាជិកចុងក្រោយ។ វាជាការសំខាន់ក្នុងការយល់ថានៅក្នុងរូបមន្តលេខនេះ។ ស្របគ្នានឹងចំនួនពាក្យបន្ថែម។

ចូរយើងកំណត់គំនិត ចុងក្រោយសមាជិក មួយ n. សំណួរពិបាក៖ តើសមាជិកមួយណានឹងក្លាយជា ចុងក្រោយប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ គ្មានទីបញ្ចប់វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ?)

ដើម្បីឆ្លើយដោយទំនុកចិត្ត អ្នកត្រូវយល់ពីអត្ថន័យបឋមនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ហើយ... អានកិច្ចការដោយប្រុងប្រយ័ត្ន!)

ក្នុងកិច្ចការស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យចុងក្រោយតែងតែលេចឡើង (ដោយផ្ទាល់ ឬដោយប្រយោល)។ ដែលគួរតែត្រូវបានកំណត់។បើមិនដូច្នេះទេ ចំនួនចុងក្រោយជាក់លាក់ ជាធម្មតាមិនមានទេ។ចំពោះដំណោះស្រាយវាមិនមានបញ្ហាថាតើការវិវត្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ: កំណត់ឬគ្មានកំណត់។ វាមិនមានបញ្ហាថាតើវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរបៀបណា៖ ស៊េរីនៃលេខ ឬរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ។

អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺត្រូវយល់ថារូបមន្តដំណើរការពីពាក្យដំបូងនៃការវិវត្តទៅជាពាក្យដែលមានលេខ ន.តាមពិតឈ្មោះពេញនៃរូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ ផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ចំនួននៃសមាជិកដំបូងបំផុតទាំងនេះ i.e. នត្រូវបានកំណត់ដោយភារកិច្ច។ នៅក្នុងកិច្ចការមួយ ពត៌មានដ៏មានតម្លៃទាំងអស់នេះត្រូវបានអ៊ិនគ្រីបជាញឹកញាប់ បាទ... ប៉ុន្តែកុំខ្វល់អី នៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងបង្ហាញពីអាថ៌កំបាំងទាំងនេះ។ )

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការលើផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ជា​ដំបូងបង្អស់, ព័ត៌មានមានប្រយោជន៍:

ការលំបាកចម្បងក្នុងកិច្ចការដែលពាក់ព័ន្ធនឹងផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ គឺស្ថិតនៅក្នុងការកំណត់ត្រឹមត្រូវនៃធាតុនៃរូបមន្ត។

អ្នកសរសេរភារកិច្ចអ៊ិនគ្រីបធាតុដូចគ្នាទាំងនេះជាមួយ ការស្រមើលស្រមៃគ្មានព្រំដែន.) រឿងសំខាន់នៅទីនេះគឺមិនត្រូវខ្លាចទេ។ ការយល់ដឹងអំពីខ្លឹមសារនៃធាតុ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបកស្រាយពួកវាដោយសាមញ្ញ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនដោយលំអិត។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងកិច្ចការដែលផ្អែកលើ GIA ពិតប្រាកដ។

1. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌ: a n = 2n-3.5 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យ 10 ដំបូងរបស់វា។

ការងារ​ល្អ. ងាយស្រួល) ដើម្បីកំណត់បរិមាណដោយប្រើរូបមន្ត តើយើងត្រូវដឹងអ្វីខ្លះ? សមាជិកដំបូង ក ១, អាណត្តិចុងក្រោយ មួយ nបាទចំនួនសមាជិកចុងក្រោយ ន.

តើខ្ញុំអាចទទួលបានលេខសមាជិកចុងក្រោយនៅឯណា? ន? បាទ, នៅទីនោះ, នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ! វានិយាយថា៖ រកផលបូក សមាជិក 10 នាក់ដំបូង។អញ្ចឹងតើវានឹងនៅជាមួយលេខអ្វី? ចុងក្រោយ,សមាជិកទីដប់?) អ្នកនឹងមិនជឿទេ លេខរបស់គាត់គឺលេខដប់!) ដូច្នេះ ជំនួសឱ្យ មួយ nយើងនឹងជំនួសរូបមន្ត មួយ 10ហើយជំនួសវិញ។ ន- ដប់។ ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត ចំនួនសមាជិកចុងក្រោយត្រូវគ្នានឹងចំនួនសមាជិក។

វានៅសល់ដើម្បីកំណត់ ក ១និង មួយ 10. នេះត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។ មិនដឹងធ្វើម៉េច? ចូលរៀនមេរៀនមុន បើគ្មានវាគ្មានផ្លូវទេ។

ក ១= 2 1 − 3.5 = −1.5

មួយ 10=2·10 - 3.5 =16.5

ស = ស ១០.

យើងបានរកឃើញអត្ថន័យនៃធាតុទាំងអស់នៃរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺត្រូវជំនួសពួកគេ ហើយរាប់៖

នោះ​ហើយ​ជា​វា។ ចម្លើយ៖ ៧៥ ។

កិច្ចការមួយទៀតផ្អែកលើ GIA ។ ស្មុគស្មាញបន្តិច៖

2. ផ្តល់ការវិវត្តនព្វន្ធ (a n) ភាពខុសគ្នានៃលេខ 3.7; a 1 = 2.3 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 15 លក្ខខណ្ឌដំបូងរបស់វា។

យើងសរសេររូបមន្តបូកភ្លាមៗ៖

រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យណាមួយដោយលេខរបស់វា។ យើងស្វែងរកការជំនួសដ៏សាមញ្ញមួយ៖

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

វានៅសល់ដើម្បីជំនួសធាតុទាំងអស់ទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយគណនាចម្លើយ៖

ចម្លើយ៖ ៤២៣ ។

ដោយវិធីនេះប្រសិនបើនៅក្នុងរូបមន្តបូកជំនួសឱ្យ មួយ nយើងគ្រាន់តែជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n ហើយទទួលបាន៖

ចូរយើងធ្វើបទបង្ហាញស្រដៀងគ្នា និងទទួលបានរូបមន្តថ្មីសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញវាមិនត្រូវបានទាមទារនៅទីនេះទេ។ អាណត្តិទី មួយ n. នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួន រូបមន្តនេះជួយបានច្រើន បាទ... អ្នកអាចចងចាំរូបមន្តនេះ។ ឬអ្នកអាចបង្ហាញវានៅពេលត្រឹមត្រូវ ដូចជានៅទីនេះ។ យ៉ាងណាមិញ អ្នកតែងតែត្រូវចងចាំរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងរូបមន្តសម្រាប់លេខទី )។

ឥឡូវនេះភារកិច្ចនៅក្នុងទម្រង់នៃការអ៊ិនគ្រីបខ្លី):

3. រកផលបូកនៃលេខពីរខ្ទង់វិជ្ជមានទាំងអស់ដែលជាគុណនឹងបី។

វ៉ោ​វ! មិន​ថា​សមាជិក​ដំបូង ឬ​ចុង​ក្រោយ​របស់​អ្នក ឬ​ការ​រីក​ចម្រើន​ទាល់​តែ​សោះ... រស់​យ៉ាង​ណា!?

អ្នកនឹងត្រូវគិតដោយក្បាលរបស់អ្នក ហើយដកធាតុទាំងអស់នៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធចេញពីលក្ខខណ្ឌ។ យើងដឹងថាលេខពីរខ្ទង់ជាអ្វី។ ពួកវាមានពីរលេខ។) តើលេខពីរខ្ទង់នឹងទៅជាយ៉ាងណា ដំបូង? 10, សន្មត់។) ក រឿងចុងក្រោយលេខពីរខ្ទង់? 99 ពិតណាស់! លេខបីខ្ទង់នឹងតាមគាត់...

គុណនឹងបី... ហ៊ឹម... ទាំងនេះជាលេខដែលចែកដោយបី នៅទីនេះ! ដប់មិនបែងចែកដោយបី 11 មិនបែងចែក ... 12 ... បែងចែក! ដូច្នេះមានអ្វីមួយកំពុងលេចចេញមក។ អ្នក​អាច​សរសេរ​ស៊េរី​រួច​ហើយ​តាម​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​បញ្ហា៖

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

តើ​ស៊េរី​នេះ​នឹង​ក្លាយ​ជា​ដំណើរការ​នព្វន្ធ​ឬ? ប្រាកដណាស់! ពាក្យនីមួយៗខុសគ្នាពីពាក្យមុនដោយបីយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែម 2 ឬ 4 ទៅពាក្យមួយ និយាយថា លទ្ធផល ឧ។ លេខថ្មីលែងចែកដោយ 3 ទៀតហើយ។ អ្នកអាចកំណត់ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធបានភ្លាមៗ៖ d = ៣.វានឹងមានប្រយោជន៍!)

ដូច្នេះ យើងអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាពនូវប៉ារ៉ាម៉ែត្រវឌ្ឍនភាពមួយចំនួន៖

តើលេខនឹងជាអ្វី? នសមាជិកចុងក្រោយ? អ្នកណាដែលគិតថាលេខ 99 ខុសធ្ងន់ធ្ងរ... លេខតែងតែជាប់ៗគ្នា ប៉ុន្តែសមាជិករបស់យើងលោតលើសពីបី។ ពួកគេមិនត្រូវគ្នា។

មានដំណោះស្រាយពីរនៅទីនេះ។ មធ្យោបាយមួយគឺសម្រាប់ការឧស្សាហ៍ព្យាយាម។ អ្នក​អាច​សរសេរ​ការ​វិវត្តន៍ ស៊េរី​លេខ​ទាំង​មូល និង​រាប់​ចំនួន​សមាជិក​ដោយ​ម្រាមដៃ​របស់​អ្នក។) វិធី​ទី​ពីរ​គឺ​សម្រាប់​អ្នក​គិត​ពិចារណា។ អ្នកត្រូវចាំរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0 ។ ប្រសិនបើយើងអនុវត្តរូបមន្តទៅនឹងបញ្ហារបស់យើង យើងឃើញថា 99 គឺជាពាក្យទី 30 នៃការវិវត្តន៍។ ទាំងនោះ។ n = 30 ។

សូមក្រឡេកមើលរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

យើងមើលហើយរីករាយ។) យើងបានដកចេញពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលចាំបាច់ដើម្បីគណនាចំនួន:

ក ១= 12.

មួយ 30= 99.

ស = ស ៣០.

នៅសល់ទាំងអស់គឺជានព្វន្ធបឋម។ យើងជំនួសលេខទៅក្នុងរូបមន្ត ហើយគណនា៖

ចម្លើយ៖ ១៦៦៥

ប្រភេទល្បែងផ្គុំរូបដ៏ពេញនិយមមួយទៀត៖

4. ទទួលបានវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ៖

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

រកផលបូកនៃពាក្យពីម្ភៃទៅសាមសិបបួន។

យើង​មើល​រូបមន្ត​ចំនួន​នោះ​ហើយ... យើង​ពិបាក​ចិត្ត។) រូបមន្ត​ខ្ញុំ​សូម​រំលឹក​អ្នក​គណនា​ចំនួន ពីដំបូងសមាជិក។ ហើយនៅក្នុងបញ្ហាអ្នកត្រូវគណនាផលបូក ចាប់តាំងពីទសវត្សរ៍ទី 20 ...រូបមន្តនឹងមិនដំណើរការទេ។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ អ្នក​អាច​សរសេរ​ដំណើរ​ការ​ទាំង​មូល​ជា​ស៊េរី ហើយ​បន្ថែម​ពាក្យ​ពី 20 ទៅ 34។ ប៉ុន្តែ... វា​ជា​រឿង​ឆោត​ល្ងង់ ហើយ​ចំណាយ​ពេល​យូរ​មែន​ទេ?)

មានដំណោះស្រាយឆើតឆាយជាង។ ចូរបែងចែកស៊េរីរបស់យើងជាពីរផ្នែក។ ផ្នែកទីមួយនឹងមាន ចាប់ពីពាក្យទីមួយដល់ទីដប់ប្រាំបួន។ផ្នែកទីពីរ - ពីម្ភៃទៅសាមសិបបួន។វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងគណនាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកទីមួយ ស ១-១៩ចូរបន្ថែមវាជាមួយនឹងផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកទីពីរ ស ២០-៣៤យើងទទួលបានផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពពីពាក្យទីមួយដល់សាមសិបបួន ស ១-៣៤. ដូចនេះ៖

ស ១-១៩ + ស ២០-៣៤ = ស ១-៣៤

ពីនេះយើងអាចឃើញថារកផលបូក ស ២០-៣៤អាចត្រូវបានធ្វើដោយការដកសាមញ្ញ

ស ២០-៣៤ = ស ១-៣៤ - ស ១-១៩

បរិមាណទាំងពីរនៅខាងស្តាំត្រូវបានពិចារណា ពីដំបូងសមាជិក, i.e. រូបមន្តផលបូកស្តង់ដារគឺអាចអនុវត្តបានចំពោះពួកគេ។ តោះ​ចាប់ផ្តើម?

យើងដកប៉ារ៉ាម៉ែត្រវឌ្ឍនភាពចេញពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា៖

d = 1.5 ។

ក ១= -21,5.

ដើម្បីគណនាផលបូកនៃពាក្យ 19 និង 34 ដំបូង យើងនឹងត្រូវការពាក្យទី 19 និង 34 ។ យើងគណនាពួកវាដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ដូចក្នុងបញ្ហាទី 2៖

មួយ 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

មួយ ៣៤= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

មិនមានអ្វីនៅសល់ទេ។ ពីផលបូកនៃពាក្យ 34 ដកផលបូកនៃ 19 ឃ្លា៖

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

ចម្លើយ៖ ២៦២.៥

ចំណាំសំខាន់មួយ! មានល្បិចមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ជំនួសឱ្យការគណនាដោយផ្ទាល់ អ្វីដែលអ្នកត្រូវការ (ស ២០-៣៤)យើងបានរាប់ អ្វីមួយដែលហាក់ដូចជាមិនត្រូវការ - S 1-19 ។ហើយបន្ទាប់មកពួកគេបានកំណត់ ស ២០-៣៤បោះចោលអ្វីដែលមិនចាំបាច់ចេញពីលទ្ធផលពេញលេញ។ ប្រភេទនៃ "ក្លែងបន្លំត្រចៀករបស់អ្នក" ជារឿយៗជួយសង្រ្គោះអ្នកក្នុងបញ្ហាអាក្រក់។ )

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានពិនិត្យមើលបញ្ហាដែលវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តពីរបី។ )

ដំបូន្មានជាក់ស្តែង:

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយដែលទាក់ទងនឹងផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យសរសេរភ្លាមៗនូវរូបមន្តសំខាន់ៗពីរពីប្រធានបទនេះ។

រូបមន្ត​សម្រាប់​ពាក្យ​ទី​៩៖

រូបមន្តទាំងនេះនឹងប្រាប់អ្នកភ្លាមៗអំពីអ្វីដែលត្រូវរកមើល និងក្នុងទិសដៅអ្វីដែលត្រូវគិត ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។ ជួយ

ហើយឥឡូវនេះភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

5. រកផលបូកនៃលេខពីរខ្ទង់ទាំងអស់ដែលមិនត្រូវបានបែងចែកដោយបី។

ឡូយ?) ព័ត៌មានជំនួយត្រូវបានលាក់នៅក្នុងកំណត់ចំណាំចំពោះបញ្ហា 4. ជាការប្រសើរណាស់ បញ្ហាទី 3 នឹងជួយ។

6. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌ: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 24 លក្ខខណ្ឌដំបូងរបស់វា។

មិនធម្មតា?) នេះគឺជារូបមន្តដែលកើតឡើងដដែលៗ។ អ្នកអាចអានអំពីវានៅក្នុងមេរៀនមុន។ កុំព្រងើយកន្តើយចំពោះតំណភ្ជាប់នេះ បញ្ហាបែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងបណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្ររដ្ឋ។

7. Vasya បានសន្សំប្រាក់សម្រាប់ថ្ងៃឈប់សម្រាក។ ជាច្រើនដូចជា 4550 rubles! ហើយខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តផ្តល់ឱ្យមនុស្សជាទីស្រលាញ់របស់ខ្ញុំ (ខ្លួនឯង) ពីរបីថ្ងៃនៃសុភមង្គល) ។ រស់នៅស្អាតដោយមិនបដិសេធខ្លួនឯងអ្វីទាំងអស់។ ចំណាយ 500 រូប្លិ៍នៅថ្ងៃដំបូងហើយនៅថ្ងៃបន្ទាប់នីមួយៗចំណាយ 50 រូប្លិ៍ច្រើនជាងថ្ងៃមុន! រហូតដល់លុយអស់។ តើ Vasya មានសុភមង្គលប៉ុន្មានថ្ងៃ?

តើវាពិបាកទេ?) តើវាអាចជួយបានទេ? រូបមន្តបន្ថែមពីកិច្ចការទី 2 ។

ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): 7, 3240, 6 ។

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ តោះរៀនដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

បាទ/ចាស៎៖ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធមិនមែនជារបស់លេងសម្រាប់អ្នកទេ :)

ជាការប្រសើរណាស់, មិត្តភក្តិ, ប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះ, បន្ទាប់មក cap-proof ខាងក្នុងប្រាប់ខ្ញុំថាអ្នកមិនទាន់ដឹងថាអ្វីដែលជាការវិវត្តនព្វន្ធនោះទេប៉ុន្តែអ្នកពិតជា (ទេដូចជាថា: SOOOOO!) ចង់ដឹង។ ដូច្នេះ ខ្ញុំ​នឹង​មិន​ធ្វើ​ទារុណកម្ម​អ្នក​ជាមួយ​នឹង​ការ​ណែនាំ​វែង​ឆ្ងាយ​ទេ ហើយ​នឹង​ទទួល​បាន​ត្រង់​ចំណុច។

ជាដំបូងឧទាហរណ៍ពីរបី។ សូមក្រឡេកមើលសំណុំលេខមួយចំនួន៖

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\2\sqrt(2);\3\sqrt(2);...$

តើឈុតទាំងអស់នេះមានអ្វីដូចគ្នា? នៅ glance ដំបូង, គ្មានអ្វី។ ប៉ុន្តែតាមពិតមានអ្វីមួយ។ ពោលគឺ៖ រាល់ ធាតុបន្ទាប់ខុសពីលេខមុនដោយលេខដូចគ្នា។.

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។ សំណុំទីមួយគឺគ្រាន់តែជាលេខជាប់គ្នា លេខបន្ទាប់នីមួយៗគឺមួយច្រើនជាងលេខមុន។ ក្នុងករណីទី 2 ភាពខុសគ្នារវាងលេខដែលនៅជាប់គ្នាគឺប្រាំរួចទៅហើយប៉ុន្តែភាពខុសគ្នានេះនៅតែថេរ។ ក្នុងករណីទីបីមានឫសទាំងមូល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, និង $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ហើយក្នុងករណីនេះ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគ្រាន់តែកើនឡើង $\sqrt(2)$ (ហើយកុំខ្លាចថាចំនួននេះមិនសមហេតុផល)។

ដូច្នេះ៖ លំដាប់ទាំងអស់នោះត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរឹងមួយ៖

និយមន័យ។ លំដាប់នៃលេខដែលលេខបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការនព្វន្ធ។ ចំនួន​ដែល​លេខ​ខុស​គ្នា​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន ហើយ​ច្រើន​តែ​បង្ហាញ​ដោយ​អក្សរ $d$។

កំណត់សម្គាល់៖ $\left(((a)_(n)) \right)$ គឺជាការវិវត្តខ្លួនវា $d$ គឺជាភាពខុសគ្នារបស់វា។

ហើយគ្រាន់តែជាកំណត់ចំណាំសំខាន់ៗពីរបីប៉ុណ្ណោះ។ ទីមួយ ការវិវឌ្ឍន៍ត្រូវបានពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ បានបញ្ជាលំដាប់លេខ៖ ពួកគេត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យអានយ៉ាងតឹងរ៉ឹងតាមលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរ - ហើយគ្មានអ្វីផ្សេងទៀតទេ។ លេខមិនអាចរៀបចំឡើងវិញ ឬប្តូរបានទេ។

ទីពីរ លំដាប់​ខ្លួន​វា​អាច​មាន​កំណត់ ឬ​គ្មាន​កំណត់។ ឧទាហរណ៍ សំណុំ (1; 2; 3) គឺច្បាស់ជាដំណើរការនព្វន្ធកំណត់។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកសរសេរអ្វីមួយនៅក្នុងវិញ្ញាណ (1; 2; 3; 4; ... ) - នេះគឺជាការវិវឌ្ឍន៍គ្មានទីបញ្ចប់រួចទៅហើយ។ ពងក្រពើ​បន្ទាប់​ពី​ទាំង​បួន​ហាក់​ដូច​ជា​បង្ហាញ​ថា​មាន​ចំនួន​ច្រើន​ទៀត​ដែល​នឹង​មក​ដល់។ ច្រើនឥតកំណត់ ជាឧទាហរណ៍។ :)

ខ្ញុំ​ក៏​ចង់​កត់​សម្គាល់​ដែរ​ថា ការ​វិវត្ត​អាច​មាន​ការ​កើន​ឡើង ឬ​ថយ​ចុះ។ យើងបានឃើញការកើនឡើងរួចទៅហើយ - សំណុំដូចគ្នា (1; 2; 3; 4; ... ) ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការថយចុះវឌ្ឍនភាព៖

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\sqrt(5)-1;\sqrt(5)-2;\sqrt(5)-3;...$

មិនអីទេ មិនអីទេ៖ ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញពេក។ ប៉ុន្តែនៅសល់ ខ្ញុំគិតថាអ្នកយល់។ ដូច្នេះ យើងណែនាំនិយមន័យថ្មី៖

និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថា៖

1. ការកើនឡើងប្រសិនបើធាតុបន្ទាប់នីមួយៗធំជាងធាតុមុន;
2. បន្ថយប្រសិនបើ ផ្ទុយទៅវិញ ធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗគឺតិចជាងធាតុមុន។

លើសពីនេះទៀតមានអ្វីដែលគេហៅថា "ស្ថានី" លំដាប់ - ពួកគេមានលេខដដែលៗ។ ឧទាហរណ៍ (៣; ៣; ៣; ...)។

មានតែសំណួរមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសេសសល់៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសម្គាល់វឌ្ឍនភាពដែលកំពុងកើនឡើងពីការថយចុះមួយ? ជាសំណាងល្អ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅទីនេះអាស្រ័យតែលើសញ្ញានៃលេខ $d$, i.e. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ៖

1. ប្រសិនបើ $d \gt 0$ នោះដំណើរការកើនឡើង។
2. ប្រសិនបើ $d \lt 0$ នោះការវិវឌ្ឍន៍ជាក់ស្តែងនឹងថយចុះ។
3. ទីបំផុត មានករណី $d=0$ - ក្នុងករណីនេះ ដំណើរការទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលំដាប់ស្ថានី លេខដូចគ្នា។: (១; ១; ១; ១; ...) ។ល។

ចូរយើងព្យាយាមគណនាភាពខុសគ្នា $d$ សម្រាប់ការថយចុះចំនួនបីដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយកធាតុពីរដែលនៅជាប់គ្នា (ឧទាហរណ៍ទីមួយនិងទីពីរ) ហើយដកលេខនៅខាងឆ្វេងពីលេខនៅខាងស្តាំ។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$ ។

ដូចដែលយើងឃើញហើយ នៅក្នុងករណីទាំងបី ភាពខុសគ្នាពិតជាប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ហើយឥឡូវនេះ យើងបានរកឃើញនិយមន័យច្រើន ឬតិច វាជាពេលដែលត្រូវស្វែងយល់ថាតើការវិវឌ្ឍន៍ត្រូវបានពិពណ៌នា និងលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះដែលពួកគេមាន។

លក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាព និងរូបមន្តកើតឡើងវិញ។

ដោយសារ​ធាតុ​នៃ​លំដាប់​របស់​យើង​មិន​អាច​ត្រូវ​បាន​ប្តូរ​បាន នោះ​ពួក​វា​អាច​ត្រូវ​បាន​ដាក់​លេខ៖

\[\left(((a)_(n)) \\right)=\left\(((a)_(1)),\((a)_(2)),((a)_(3) )) ... \ ស្តាំ\)\]

ធាតុបុគ្គលនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ ពួកគេត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលេខ: សមាជិកទីមួយសមាជិកទីពីរ។ល។

លើសពីនេះ ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយ ពាក្យដែលនៅជិតខាងនៃវឌ្ឍនភាពគឺទាក់ទងគ្នាដោយរូបមន្ត៖

\[(((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

សរុបមក ដើម្បីស្វែងរកពាក្យ $n$th នៃវឌ្ឍនភាពមួយ អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យ $n-1$th និងភាពខុសគ្នា $d$។ រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថាកើតឡើងដដែលៗ ពីព្រោះដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចស្វែងរកលេខណាមួយបានដោយគ្រាន់តែស្គាល់លេខមុន (ហើយជាការពិត លេខមុនទាំងអស់)។ នេះគឺជាការរអាក់រអួលខ្លាំងណាស់ ដូច្នេះមានរូបមន្តដ៏ឈ្លាសវៃបន្ថែមទៀត ដែលកាត់បន្ថយការគណនាណាមួយទៅពាក្យដំបូង និងភាពខុសគ្នា៖

\[(((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1\right)d\]

អ្នកប្រហែលជាបានឆ្លងកាត់រូបមន្តនេះរួចហើយ។ ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់ឱ្យវានៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃសៀវភៅយោងនិងសៀវភៅដំណោះស្រាយ។ ហើយនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាគណិតវិទ្យាដែលសមរម្យណាមួយ វាគឺជាសៀវភៅទីមួយ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកអនុវត្តបន្តិច។

កិច្ចការទី 1 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$ ។

ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះ យើងដឹងពីពាក្យដំបូង $((a)_(1))=8$ និងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព $d=-5$។ ចូរប្រើរូបមន្តដែលទើបតែផ្តល់ឲ្យ ហើយជំនួស $n=1$, $n=2$ និង $n=3$៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1\right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1\right)d=((a)_(1))+d=8-5= ៣; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1\right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -២. \\ \end(តម្រឹម)\]

ចម្លើយ៖ (៨; ៣; −២)

អស់ហើយ! សូមចំណាំ៖ ដំណើរការរបស់យើងកំពុងថយចុះ។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ $n=1$ មិន​អាច​ជំនួស​បាន​ទេ - ពាក្យ​ដំបូង​ត្រូវ​បាន​គេ​ស្គាល់​រួច​ហើយ​សម្រាប់​យើង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ តាមរយៈការជំនួសការរួបរួម យើងត្រូវបានគេជឿជាក់ថា សូម្បីតែសម្រាប់ពាក្យទីមួយ រូបមន្តរបស់យើងដំណើរការ។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានធ្លាក់មកលេខនព្វន្ធ banal ។

កិច្ចការទី 2 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើពាក្យទីប្រាំពីររបស់វាស្មើនឹង −40 ហើយពាក្យទីដប់ប្រាំពីររបស់វាស្មើនឹង −50។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌបញ្ហានៅក្នុងពាក្យដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(តម្រឹម) \\ ស្តាំ។

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ ត្រូវ។\]

ខ្ញុំដាក់សញ្ញាប្រព័ន្ធព្រោះតម្រូវការទាំងនេះត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ឥឡូវ​សូម​កត់​សម្គាល់​ថា ប្រសិន​បើ​យើង​ដក​ទីមួយ​ចេញ​ពី​សមីការ​ទីពីរ (យើង​មាន​សិទ្ធិ​ធ្វើ​វា ដោយ​សារ​យើង​មាន​ប្រព័ន្ធ) យើង​ទទួល​បាន​វា៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \\right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(តម្រឹម)\]

នោះហើយជារបៀបដែលវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃការវិវត្ត! អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺត្រូវជំនួសលេខដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងទីមួយ៖

\\[\begin(ម៉ាទ្រីស) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \\ ចុះក្រោម \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ក)_(១))=-៤០+៦=-៣៤។ \\ \ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\]

ឥឡូវនេះ ដោយដឹងពីពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា វានៅតែត្រូវស្វែងរកពាក្យទីពីរ និងទីបី៖

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ក)_(៣))=((ក)_(១))+២d=-៣៤-២=-៣៦។ \\ \end(តម្រឹម)\]

រួចរាល់ហើយ! បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖ (−៣៤; −៣៥; −៣៦)

សូមកត់សម្គាល់ទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៃវឌ្ឍនភាពដែលយើងបានរកឃើញ៖ ប្រសិនបើយើងយកពាក្យ $n$th និង $m$th ហើយដកវាចេញពីគ្នាទៅវិញទៅមក យើងទទួលបានភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពគុណនឹងចំនួន $n-m$៖

\[(((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m\right)\]

សាមញ្ញ ប៉ុន្តែខ្លាំងណាស់ ទ្រព្យសម្បត្តិមានប្រយោជន៍ដែលអ្នកប្រាកដជាត្រូវដឹង - ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចបង្កើនល្បឿនដំណោះស្រាយនៃបញ្ហារីកចម្រើនជាច្រើន។ នេះជាឧទាហរណ៍ច្បាស់មួយអំពីរឿងនេះ៖

កិច្ចការទី 3 ។ ពាក្យទីប្រាំនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺ 8.4 ហើយពាក្យទីដប់របស់វាគឺ 14.4។ ស្វែងរកពាក្យទីដប់ប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ ចាប់តាំងពី $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ហើយយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(15))$ យើងកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោម៖

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ក)_(១០))-((ក)_(៥))=៥ឃ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ដូច្នេះ $5d=6$ ដែលយើងមាន៖

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ចម្លើយ៖ ២០.៤

អស់ហើយ! យើងមិនចាំបាច់បង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមីការណាមួយ ហើយគណនាពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នានោះទេ - អ្វីៗត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្រាន់តែពីរបីបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភេទបញ្ហាមួយទៀត - ការស្វែងរកពាក្យអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាននៃវឌ្ឍនភាព។ វាមិនមែនជារឿងសម្ងាត់ទេដែលថា ប្រសិនបើការវិវឌ្ឍន៍កើនឡើង ហើយពាក្យទីមួយរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន នោះមិនយូរមិនឆាប់ពាក្យវិជ្ជមាននឹងលេចឡើងនៅក្នុងវា។ ហើយផ្ទុយមកវិញ៖ លក្ខខណ្ឌនៃការថយចុះនៃដំណើរការនឹងឆាប់ឬក្រោយមកក្លាយជាអវិជ្ជមាន។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ វាមិនតែងតែអាចស្វែងរកពេលវេលានេះ "ឆ្ពោះទៅមុខ" ដោយឆ្លងកាត់ធាតុជាបន្តបន្ទាប់នោះទេ។ ជាញឹកញយ បញ្ហាត្រូវបានសរសេរតាមរបៀបដែលដោយមិនដឹងពីរូបមន្ត ការគណនានឹងយកក្រដាសជាច្រើនសន្លឹក—យើងគ្រាន់តែងងុយគេងខណៈពេលដែលយើងរកឃើញចម្លើយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះឱ្យបានលឿនជាងមុន។

កិច្ចការទី 4 ។ តើមានពាក្យអវិជ្ជមានប៉ុន្មាននៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ −38.5; −៣៥.៨; ...?

ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះ $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ពីកន្លែងដែលយើងរកឃើញភាពខុសគ្នាភ្លាមៗ៖

ចំណាំថាភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះការវិវត្តកើនឡើង។ ពាក្យ​ទីមួយ​គឺ​អវិជ្ជមាន ដូច្នេះ​នៅ​ពេល​ណាមួយ​យើង​នឹង​ជំពប់​ដួល​លើ​លេខ​វិជ្ជមាន។ សំណួរតែមួយគត់គឺនៅពេលណាដែលរឿងនេះនឹងកើតឡើង។

ចូរយើងព្យាយាមស្វែងយល់៖ រហូតដល់ពេលណា (ឧទាហរណ៍រហូតដល់អ្វី លេខធម្មជាតិ$n$) ភាពអវិជ្ជមាននៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានរក្សាទុក៖

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ ត្រឹមត្រូវ។ \\ & -385+27\cdot \left(n-1\right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max))=15. \\ \end(តម្រឹម)\]

បន្ទាត់ចុងក្រោយទាមទារការពន្យល់ខ្លះ។ ដូច្នេះយើងដឹងថា $n \lt 15\frac(7)(27)$ ។ ម៉្យាងវិញទៀត យើងពេញចិត្តចំពោះតែតម្លៃចំនួនគត់នៃចំនួន (លើសពីនេះទៅទៀត៖ $n\in \mathbb(N)$) ដូច្នេះចំនួនដែលអាចអនុញ្ញាតបានធំបំផុតគឺ $n=15$ ហើយក្នុងករណីណាក៏ដោយ 16 .

កិច្ចការទី 5 ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ ។ ស្វែងរកចំនួននៃពាក្យវិជ្ជមានដំបូងនៃដំណើរការនេះ។

នេះពិតជាបញ្ហាដូចគ្នានឹងបញ្ហាមុនដែរ ប៉ុន្តែយើងមិនដឹង $((a)_(1))$ ទេ។ ប៉ុន្តែពាក្យដែលនៅជិតខាងត្រូវបានគេស្គាល់ថា: $((a)_(5))$ និង $((a)_(6))$ ដូច្នេះយើងអាចរកឃើញភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពយ៉ាងងាយស្រួល៖

លើសពីនេះទៀត ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញពាក្យទីប្រាំតាមរយៈទីមួយ និងភាពខុសគ្នាដោយប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវនេះយើងបន្តដោយការប្រៀបធៀបជាមួយកិច្ចការមុន។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើចំណុចអ្វីខ្លះនៅក្នុងលេខវិជ្ជមានលំដាប់របស់យើងនឹងបង្ហាញឡើង៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \\ gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(តម្រឹម)\]

ដំណោះស្រាយចំនួនគត់អប្បបរមាចំពោះវិសមភាពនេះគឺលេខ 56 ។

សូមចំណាំ៖ នៅក្នុងកិច្ចការចុងក្រោយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានធ្លាក់ចុះមកវិសមភាពដ៏តឹងរឹង ដូច្នេះជម្រើស $n=55$ នឹងមិនសមនឹងយើងទេ។

ឥឡូវ​នេះ​យើង​បាន​រៀន​ពី​របៀប​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​សាមញ្ញ​ហើយ សូម​បន្ត​ទៅ​កាន់​បញ្ហា​ស្មុគស្មាញ​បន្ថែម​ទៀត។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងសិក្សាពីទ្រព្យសម្បត្តិដ៏មានប្រយោជន៍មួយទៀតនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាច្រើន និងកោសិកាមិនស្មើគ្នានាពេលអនាគត។ :)

មធ្យមនព្វន្ធ និងការចូលបន្ទាត់ស្មើគ្នា

ចូរយើងពិចារណាពាក្យបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃការកើនឡើងនព្វន្ធ $\left(((a)_(n)) \right)$ ។ តោះព្យាយាមសម្គាល់ពួកវានៅលើបន្ទាត់លេខ៖

លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធនៅលើបន្ទាត់លេខ

ខ្ញុំបានសម្គាល់ពាក្យដែលបំពានដោយជាក់លាក់ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, និងមិនមែន $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\((a)_(3))$ ។ល។ ដោយសារតែច្បាប់ដែលខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកឥឡូវនេះដំណើរការដូចគ្នាសម្រាប់ "ផ្នែក" ណាមួយ។

ហើយច្បាប់គឺសាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងចងចាំរូបមន្តដដែលៗ ហើយសរសេរវាចុះសម្រាប់ពាក្យដែលបានសម្គាល់ទាំងអស់៖

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(តម្រឹម)\]

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមភាពទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញខុសគ្នា៖

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(តម្រឹម)\]

អញ្ចឹងតើអ្វីទៅ? ហើយការពិតថាពាក្យ $((a)_(n-1))$ និង $((a)_(n+1))$ ស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពី $((a)_(n))$ . ហើយចម្ងាយនេះគឺស្មើនឹង $d$។ ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបាននិយាយអំពីពាក្យ $((a)_(n-2))$ និង $((a)_(n+2))$ - ពួកគេក៏ត្រូវបានដកចេញពី $((a)_(n) ផងដែរ។ )$ នៅចម្ងាយដូចគ្នា ស្មើនឹង $2d$។ យើង​អាច​បន្ត​ការ​ផ្សាយ​ពាណិជ្ជកម្ម​ជា​បន្ត​ទៀត ប៉ុន្តែ​អត្ថន័យ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​យ៉ាង​ល្អ​ដោយ​រូបភាព

លក្ខខណ្ឌនៃការវិវត្តស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីចំណុចកណ្តាល

តើនេះមានន័យយ៉ាងណាចំពោះយើង? នេះមានន័យថា $((a)_(n))$ អាចត្រូវបានរកឃើញ ប្រសិនបើលេខដែលនៅជិតគ្នាត្រូវបានគេស្គាល់៖

\[(((a)_(n))=\frac((((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

យើងទទួលបានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ល្អមួយ៖ រាល់ពាក្យនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធគឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យជិតខាងរបស់វា! លើសពីនេះទៅទៀត៖ យើងអាចថយក្រោយពី $((a)_(n))$ របស់យើងទៅខាងឆ្វេង និងទៅស្តាំមិនមែនមួយជំហានទេ ប៉ុន្តែដោយជំហាន $k$ - ហើយរូបមន្តនឹងនៅតែត្រឹមត្រូវ៖

\[(((a)_(n))=\frac((((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

ទាំងនោះ។ យើងអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួល $((a)_(150))$ ប្រសិនបើយើងដឹង $((a)_(100))$ និង $((a)_(200))$ ព្រោះ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$។ នៅ glance ដំបូង, វាអាចហាក់ដូចជាថាការពិតនេះមិនបានផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វីដែលមានប្រយោជន៍។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង បញ្ហាជាច្រើនត្រូវបានកែសម្រួលយ៉ាងពិសេសដើម្បីប្រើមធ្យមនព្វន្ធ។ សូមក្រឡេកមើល៖

កិច្ចការទី 6 ។ ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃ $x$ ដែលលេខ $-6((x)^(2))$, $x+1$ និង $14+4((x)^(2))$ គឺជាលក្ខខណ្ឌជាប់គ្នានៃ ការវិវត្តនព្វន្ធ (តាមលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ) ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារលេខទាំងនេះគឺជាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពមួយ លក្ខខណ្ឌមធ្យមនព្វន្ធគឺពេញចិត្តសម្រាប់ពួកគេ៖ ធាតុកណ្តាល $x+1$ អាចត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុជិតខាង៖

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(២))+x-៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]

វាបានប្រែទៅជាបុរាណ សមីការ​ការ៉េ. ឫសរបស់វា៖ $x=2$ និង $x=-3$ គឺជាចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ −៣; ២.

កិច្ចការទី 7 ។ ស្វែងរកតម្លៃ $$ ដែលលេខ $-1;4-3;(()^(2))+1$ បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ (តាមលំដាប់នោះ)។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបង្ហាញពាក្យកណ្តាលម្តងទៀត តាមរយៈមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យជិតខាង៖

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \\ cdot 2 \\ ស្តាំ។ \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(២))-៧x+៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]

សមីការបួនជ្រុងម្តងទៀត។ ហើយម្តងទៀតមានឫសពីរ៖ $x=6$ និង $x=1$ ។

ចម្លើយ៖ ១; ៦.

ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកទទួលបានលេខដ៏ឃោរឃៅមួយចំនួន ឬអ្នកមិនប្រាកដទាំងស្រុងពីភាពត្រឹមត្រូវនៃចម្លើយដែលបានរកឃើញនោះ មានបច្ចេកទេសដ៏អស្ចារ្យមួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពិនិត្យមើល៖ តើយើងបានដោះស្រាយបញ្ហាត្រឹមត្រូវដែរឬទេ?

ចូរនិយាយថានៅក្នុងបញ្ហាលេខ 6 យើងបានទទួលចម្លើយ −3 និង 2 ។ តើយើងអាចពិនិត្យមើលដោយរបៀបណាថាចម្លើយទាំងនេះត្រឹមត្រូវ? ចូរយើងគ្រាន់តែដោតពួកវាទៅក្នុងស្ថានភាពដើម ហើយមើលថាមានអ្វីកើតឡើង។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងមានលេខបី ($-6()^(2))$, $+1$ និង $14+4(()^(2))$) ដែលត្រូវតែបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។ ចូរជំនួស $x=-3$៖

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៥០។ \end(តម្រឹម)\]

យើងទទួលបានលេខ −54; −២; 50 ដែលខុសគ្នាដោយ 52 គឺពិតជាការវិវត្តនព្វន្ធ។ រឿងដដែលនេះកើតឡើងសម្រាប់ $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៣០។ \end(តម្រឹម)\]

ការវិវត្តម្តងទៀត ប៉ុន្តែជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 27 ។ ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។ អ្នកដែលប្រាថ្នាអាចពិនិត្យមើលបញ្ហាទីពីរដោយខ្លួនឯង ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនិយាយភ្លាមៗ៖ អ្វីៗក៏ត្រឹមត្រូវនៅទីនោះដែរ។

ជាទូទៅ ពេលដោះស្រាយបញ្ហាចុងក្រោយ យើងបានជួបបញ្ហាមួយទៀត ការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដែលត្រូវចងចាំផងដែរ៖

ប្រសិនបើលេខបីដូចជាលេខ ទីពីរគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃលេខទីមួយ និងចុងក្រោយ នោះលេខទាំងនេះបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។

នៅពេលអនាគត ការយល់ដឹងអំពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើង "សាងសង់" តាមព្យញ្ជនៈនូវការវិវត្តចាំបាច់ដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ប៉ុន្តែមុនពេលយើងចូលរួមក្នុង "ការសាងសង់" បែបនេះយើងគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតមួយទៀតដែលកើតឡើងដោយផ្ទាល់ពីអ្វីដែលបានពិភាក្សារួចហើយ។

ការដាក់ជាក្រុម និងការបូកសរុបធាតុ

តោះត្រឡប់ទៅអ័ក្សលេខម្តងទៀត។ ចូរយើងកត់សំគាល់ថាមានសមាជិកមួយចំនួននៃវឌ្ឍនភាពរវាងនោះ ប្រហែលជា។ មាន​តម្លៃ​សមាជិក​ច្រើន​ទៀត៖

មានធាតុ 6 ដែលត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់លេខ

តោះព្យាយាមបង្ហាញ "កន្ទុយឆ្វេង" តាមរយៈ $((a)_(n))$ និង $d$ និង "កន្ទុយខាងស្តាំ" តាមរយៈ $((a)_(k))$ និង $d$ ។ វាសាមញ្ញណាស់៖

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវសូមចំណាំថាបរិមាណខាងក្រោមគឺស្មើគ្នា៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ស; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ស. \end(តម្រឹម)\]

និយាយឱ្យសាមញ្ញ ប្រសិនបើយើងពិចារណាថាជាធាតុចាប់ផ្តើមពីរនៃដំណើរការ ដែលសរុបស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួន $S$ ហើយបន្ទាប់មកចាប់ផ្តើមជំហានពីធាតុទាំងនេះទៅជា ភាគីផ្ទុយ(ឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមកឬផ្ទុយមកវិញដើម្បីផ្លាស់ទីទៅឆ្ងាយ) បន្ទាប់មក ផលបូកនៃធាតុដែលយើងនឹងជំពប់ដួលក៏នឹងស្មើគ្នាដែរ។$S$។ នេះអាចត្រូវបានតំណាងយ៉ាងច្បាស់បំផុតតាមក្រាហ្វិក៖

ការចូលបន្ទាត់ស្មើគ្នាផ្តល់បរិមាណស្មើគ្នា

ការយល់ដឹង ការពិតនេះ។នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាមូលដ្ឋានបន្ថែមទៀត កម្រិតខ្ពស់ការលំបាកជាងអ្វីដែលយើងបានពិចារណាខាងលើ។ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះ៖

កិច្ចការទី ៨ ។ កំណត់ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធដែលពាក្យទីមួយគឺ 66 ហើយផលគុណនៃពាក្យទីពីរ និងដប់ពីរគឺតូចបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន។

ដំណោះស្រាយ។ តោះសរសេរអ្វីទាំងអស់ដែលយើងដឹង៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min ។ \end(តម្រឹម)\]

ដូច្នេះ យើង​មិន​ដឹង​ពី​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ដំណើរ​ការ $d$ ទេ។ តាមពិតដំណោះស្រាយទាំងមូលនឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងជុំវិញភាពខុសគ្នា ចាប់តាំងពីផលិតផល $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ អាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2)) \\cdot ((a)_(12))=\left(66+d\right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ &=11 \\ cdot ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) ។ \end(តម្រឹម)\]

សម្រាប់អ្នកនៅក្នុងធុង៖ ខ្ញុំបានយកមេគុណសរុប 11 ចេញពីតង្កៀបទីពីរ។ ដូច្នេះផលិតផលដែលចង់បានគឺជាមុខងារបួនជ្រុងដែលទាក់ទងនឹងអថេរ $d$ ។ ដូច្នេះពិចារណាមុខងារ $f\left(d\right)=11\left(d+66\right)\left(d+6\right)$ - ក្រាហ្វរបស់វានឹងក្លាយជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកធាងឡើង ពីព្រោះ ប្រសិនបើយើងពង្រីកតង្កៀបយើងទទួលបាន៖

\[\begin(align) & f\left(d\right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(តម្រឹម)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមេគុណនៃពាក្យខ្ពស់បំផុតគឺ 11 - នេះគឺ លេខវិជ្ជមានដូច្នេះយើងពិតជាកំពុងដោះស្រាយជាមួយប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកធាង៖

កាលវិភាគ មុខងារបួនជ្រុង- ប៉ារ៉ាបូឡា

សូមចំណាំ៖ ប៉ារ៉ាបូឡានេះយកតម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅចំនុចកំពូលរបស់វាជាមួយនឹង abscissa $((d)_(0))$ ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចគណនា abscissa នេះដោយប្រើគ្រោងការណ៍ស្តង់ដារ (មានរូបមន្ត $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) ប៉ុន្តែវានឹងសមហេតុផលជាងក្នុងការកត់សម្គាល់។ ចំនុចកំពូលដែលចង់បានស្ថិតនៅលើអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា ដូច្នេះចំនុច $((d)_(0))$ គឺស្មើគ្នាពីឫសនៃសមីការ $f\left(d\right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11 \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) = ០; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(តម្រឹម)\]

នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំមិនប្រញាប់ពិសេសដើម្បីបើកតង្កៀប: នៅក្នុងទម្រង់ដើមរបស់ពួកគេឫសគឺងាយស្រួលណាស់ក្នុងការស្វែងរក។ ដូច្នេះ abscissa គឺស្មើនឹងមធ្យម លេខនព្វន្ធ−៦៦ និង −៦៖

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

តើលេខដែលរកឃើញផ្តល់ឱ្យយើងអ្វីខ្លះ? ជាមួយវាផលិតផលដែលត្រូវការត្រូវចំណាយពេល តម្លៃតូចបំផុត។(ដោយវិធីនេះ យើងមិនដែលគណនា $((y)_(\min ))$ - នេះមិនត្រូវបានទាមទារពីយើងទេ)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះលេខនេះគឺជាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការដើម i.e. យើងបានរកឃើញចម្លើយ។ :)

ចម្លើយ៖ −៣៦

កិច្ចការទី 9 ។ រវាងលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac(1)(6)$ បញ្ចូលលេខបី ដូច្នេះ រួមជាមួយនឹងលេខទាំងនេះបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ដំណោះស្រាយ។ សំខាន់យើងត្រូវធ្វើលំដាប់លេខប្រាំ ដោយលេខទីមួយ និងលេខចុងក្រោយគេដឹងរួចហើយ។ ចូរសម្គាល់លេខដែលបាត់ដោយអថេរ $x$, $y$ និង $z$៖

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(-\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6)\right\ )\]

ចំណាំថាលេខ $y$ គឺជា "កណ្តាល" នៃលំដាប់របស់យើង - វាស្មើគ្នាពីលេខ $x$ និង $z$ និងពីលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac (1)(6)$។ ហើយប្រសិនបើពីលេខ $x$ និង $z$ យើងចូល ពេលនេះយើង​មិន​អាច​ទទួល​បាន $y$ នោះ​ទេ ស្ថានភាព​គឺ​ខុស​គ្នា​ជាមួយ​នឹង​ការ​បញ្ចប់​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន។ ចូរយើងចងចាំលេខនព្វន្ធ៖

ឥឡូវនេះ ដោយដឹងថា $y$ យើងនឹងរកឃើញលេខដែលនៅសល់។ ចំណាំថា $x$ ស្ថិតនៅចន្លោះលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $y=-\frac(1)(3)$ ដែលយើងទើបតែរកឃើញ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

ដោយប្រើហេតុផលស្រដៀងគ្នា យើងរកឃើញចំនួនដែលនៅសល់៖

រួចរាល់ហើយ! យើងបានរកឃើញលេខទាំងបី។ ចូរយើងសរសេរពួកវាក្នុងចំលើយតាមលំដាប់លំដោយ ដែលគួរបញ្ចូលរវាងលេខដើម។

ចម្លើយ៖ $-\frac(5)(12);\-\frac(1)(3);\-\frac(1)(4)$

កិច្ចការទី 10 ។ នៅចន្លោះលេខ 2 និង 42 សូមបញ្ចូលលេខជាច្រើនដែលរួមជាមួយនឹងលេខទាំងនេះបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើអ្នកដឹងថាផលបូកនៃលេខទីមួយ ទីពីរ និងចុងក្រោយនៃលេខដែលបានបញ្ចូលគឺ 56។

ដំណោះស្រាយ។ បញ្ហាស្មុគ្រស្មាញជាងនេះទៅទៀត ដែលទោះជាយ៉ាងណា វាត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ដូចគ្នានឹងបញ្ហាមុនៗដែរ - តាមរយៈមធ្យមនព្វន្ធ។ បញ្ហា​គឺ​យើង​មិន​ដឹង​ច្បាស់​ថា​ចំនួន​ប៉ុន្មាន​ត្រូវ​បញ្ចូល។ ដូច្នេះ ចូរ​យើង​សន្មត់​ឱ្យ​បាន​ច្បាស់​ថា​បន្ទាប់​ពី​បញ្ចូល​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង នោះ​នឹង​មាន​ចំនួន $n$ យ៉ាង​ពិត​ប្រាកដ ហើយ​លេខ​ដំបូង​គឺ 2 ហើយ​លេខ​ចុង​ក្រោយ​គឺ 42 ។ ក្នុងករណីនេះ ការ​វិវឌ្ឍនព្វន្ធ​ដែល​ត្រូវការ​អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ជា​ទម្រង់​៖

\\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(2;((a)_(2));((a)_(3));...;((( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[(((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56\]

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំណាំថាលេខ $((a)_(2))$ និង $((a)_(n-1))$ ត្រូវបានទទួលពីលេខ 2 និង 42 នៅគែមដោយមួយជំហានឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមក។ ឧ.. ទៅកណ្តាលនៃលំដាប់។ ហើយនេះមានន័យថា

\[(((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកកន្សោមដែលបានសរសេរខាងលើអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \\right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((ក)_(៣))=៥៦-៤៤=១២។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ដោយដឹងថា $((a)_(3))$ និង $((a)_(1))$ យើងអាចស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការបានយ៉ាងងាយស្រួល៖

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1\right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10 ព្រួញស្ដាំ d=5 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវស្វែងរកលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(តម្រឹម)\]

ដូច្នេះហើយនៅជំហានទី 9 យើងនឹងមកដល់ចុងខាងឆ្វេងនៃលំដាប់ - លេខ 42 ។ សរុបមកមានតែ 7 លេខប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបញ្ចូល: 7; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧.

ចម្លើយ៖ ៧; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧

បញ្ហានៃពាក្យជាមួយនឹងការវិវត្ត

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់ពិចារណាអំពីទំនាក់ទំនងមួយចំនួន កិច្ចការសាមញ្ញ. ជាការប្រសើរណាស់, សាមញ្ញដូចនោះ: សម្រាប់សិស្សភាគច្រើនដែលសិក្សាគណិតវិទ្យានៅសាលាហើយមិនបានអានអ្វីដែលត្រូវបានសរសេរខាងលើ, បញ្ហាទាំងនេះអាចហាក់ដូចជាពិបាក។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទាំងនេះគឺជាប្រភេទនៃបញ្ហាដែលលេចឡើងនៅក្នុង OGE និងការប្រលងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យា ដូច្នេះខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកគេ។

កិច្ចការទី 11 ។ ក្រុមនេះផលិតបាន 62 ផ្នែកក្នុងខែមករា ហើយក្នុងមួយៗ ខែក្រោយផលិត 14 ផ្នែកច្រើនជាងផ្នែកមុន។ តើក្រុមផលិតបានប៉ុន្មានផ្នែកក្នុងខែវិច្ឆិកា?

ដំណោះស្រាយ។ ជាក់ស្តែង ចំនួននៃផ្នែកដែលបានរាយបញ្ជីតាមខែនឹងតំណាងឱ្យការកើនឡើងនព្វន្ធ។ លើសពីនេះ៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1\right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

ខែវិច្ឆិកា គឺជាខែទី 11 នៃឆ្នាំ ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ដូច្នេះ 202 ផ្នែកនឹងត្រូវបានផលិតនៅក្នុងខែវិច្ឆិកា។

កិច្ចការទី 12 ។ សិក្ខាសាលាចងសៀវភៅបានចងសៀវភៅចំនួន 216 ក្បាលក្នុងខែមករា ហើយក្នុងខែបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ វាបានចងសៀវភៅចំនួន 4 ក្បាលច្រើនជាងកាលពីខែមុន។ តើសិក្ខាសាលាបានចងសៀវភៅប៉ុន្មានក្បាលក្នុងខែធ្នូ?

ដំណោះស្រាយ។ ដូចគ្នា​ទាំងអស់:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1\right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ខែធ្នូគឺជាខែចុងក្រោយនៃឆ្នាំទី 12 ដូច្នេះយើងកំពុងស្វែងរក $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

នេះគឺជាចម្លើយ - សៀវភៅចំនួន 260 ក្បាលនឹងត្រូវបានចងនៅខែធ្នូ។

ជាការប្រសើរណាស់, ប្រសិនបើអ្នកបានអានឆ្ងាយនេះ, ខ្ញុំប្រញាប់ដើម្បីអបអរសាទរអ្នក: អ្នកបានបញ្ចប់ដោយជោគជ័យ "វគ្គសិក្សារបស់អ្នកប្រយុទ្ធវ័យក្មេង" នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ។ អ្នកអាចបន្តទៅមេរៀនបន្ទាប់ដោយសុវត្ថិភាព ដែលយើងនឹងសិក្សារូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការ ក៏ដូចជាផលវិបាកសំខាន់ៗ និងមានប្រយោជន៍បំផុតពីវា។

បញ្ហា​លើ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​មាន​ស្រាប់​ហើយ​នៅ​សម័យ​បុរាណ។ ពួកគេ​បាន​បង្ហាញ​ខ្លួន​ហើយ​ទាមទារ​ដំណោះស្រាយ​ព្រោះ​ពួកគេ​មាន​តម្រូវការ​ជាក់ស្តែង។

ដូច្នេះនៅក្នុង papyri មួយ។ អេ​ស៊ី​ប​បុរាណ"ដែលមានមាតិកាគណិតវិទ្យា - ក្រដាស Rhind (សតវត្សទី 19 មុនគ។ ស។

ហើយនៅក្នុងស្នាដៃគណិតវិទ្យារបស់ក្រិកបុរាណមានទ្រឹស្ដីឆើតឆាយទាក់ទងនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ។ ដូច្នេះ Hypsicles of Alexandria (សតវត្សទី 2 ដែលបានចងក្រងបញ្ហាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើនហើយបានបន្ថែមសៀវភៅទី 14 ទៅក្នុង Euclid's Elements) បានបង្កើតគំនិតនេះថា: "នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធដែលមានលេខគូ ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃពាក់កណ្តាលទីពីរ។ គឺធំជាងផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃលេខ 1 នៅលើការ៉េ 1/2 ចំនួនសមាជិក។"

លំដាប់​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ដោយ ក. លេខ​នៃ​លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​សមាជិក​របស់​វា ហើយ​ជា​ធម្មតា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​អក្សរ​ដែល​មាន​សន្ទស្សន៍​ដែល​បង្ហាញ​ពី​លេខ​សៀរៀល​នៃ​សមាជិក​នេះ (a1, a2, a3 ... អាន៖ “a 1”, “a 2nd”, “a 3rd” ល​ល )។

លំដាប់អាចគ្មានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។

តើការវិវត្តនព្វន្ធជាអ្វី? ដោយវាយើងមានន័យថាមួយដែលទទួលបានដោយការបន្ថែមពាក្យមុន (n) ជាមួយនឹងលេខដូចគ្នា d ដែលជាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។

ប្រសិនបើ ឃ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 បន្ទាប់មកការវិវត្តនេះត្រូវបានគេចាត់ទុកថាកើនឡើង។

ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថា finite ប្រសិនបើមានតែពាក្យពីរបីដំបូងរបស់វាប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានយកមកពិចារណា។ នៅខ្លាំងណាស់ បរិមាណដ៏ច្រើន។សមាជិកគឺជាការរីកចម្រើនគ្មានទីបញ្ចប់រួចទៅហើយ។

ការវិវត្តនព្វន្ធណាមួយត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

a =kn+b ខណៈពេលដែល b និង k គឺជាលេខមួយចំនួន។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយគឺពិតទាំងស្រុង៖ ប្រសិនបើលំដាប់មួយត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តស្រដៀងគ្នា នោះវាពិតជាដំណើរការនព្វន្ធដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ៖

1. ពាក្យនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យមុន និងពាក្យបន្ទាប់។
2. Converse: ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 នោះពាក្យនីមួយៗគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យមុន និងមួយបន្ទាប់ ពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ នោះលំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។ សមភាពនេះក៏ជាសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពផងដែរ ដែលជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេហៅថាជាលក្ខណៈលក្ខណៈនៃវឌ្ឍនភាព។
   តាមរបៀបដូចគ្នា ទ្រឹស្តីបទដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺពិត៖ លំដាប់មួយគឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ លុះត្រាតែសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់លក្ខខណ្ឌណាមួយនៃលំដាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 ។

លក្ខណៈលក្ខណៈសម្រាប់លេខទាំងបួននៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត a + am = ak + al ប្រសិនបើ n + m = k + l (m, n, k គឺជាលេខវឌ្ឍនភាព) ។

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យចាំបាច់ណាមួយ (Nth) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍៖ ពាក្យទីមួយ (a1) ក្នុងដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និងស្មើនឹងបី ហើយភាពខុសគ្នា (d) គឺស្មើនឹងបួន។ អ្នកត្រូវស្វែងរកពាក្យទីសែសិបប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។ a45=1+4(45-1)=177

រូបមន្ត a = ak + d(n - k) អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ពាក្យទី n នៃដំណើរការនព្វន្ធតាមរយៈពាក្យ kth ណាមួយរបស់វា ផ្តល់ថាវាត្រូវបានគេស្គាល់។

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ (មានន័យថា n លក្ខខណ្ឌដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពកំណត់) ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

Sn = (a1+an) n/2 ។

ប្រសិនបើពាក្យទី 1 ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរនោះរូបមន្តមួយផ្សេងទៀតគឺងាយស្រួលសម្រាប់ការគណនា:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលមានពាក្យ n ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

ជម្រើសនៃរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា និងទិន្នន័យដំបូង។

ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខណាមួយដូចជា 1,2,3,...,n,...- ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។

បន្ថែមពីលើការវិវត្តនព្វន្ធ ក៏មានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រផងដែរ ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួន។