Tokio matematinės analizės objekto kaip funkcijos tyrimas turi didelę reikšmę prasmė ir kitose mokslo srityse. Pavyzdžiui, atliekant ekonominę analizę, nuolat reikia įvertinti elgesį funkcijas pelną, būtent nustatyti jo didžiausią prasmė ir sukurti strategiją, kaip tai pasiekti.

Instrukcijos

Bet kokio elgesio tyrimas visada turėtų prasidėti apibrėžimo srities paieška. Dažniausiai pagal konkrečios problemos sąlygas reikia nustatyti didžiausią prasmė funkcijas arba per visą šią sritį, arba per tam tikrą jos intervalą su atviromis arba uždaromis sienomis.

Remiantis , didžiausias yra prasmė funkcijas y(x0), kuriame bet kuriam apibrėžimo srities taškui galioja nelygybė y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Grafiškai šis taškas bus didžiausias, jei argumentų reikšmės bus išdėstytos išilgai abscisių ašies, o pati funkcija – išilgai ordinačių ašies.

Norėdami nustatyti didžiausią prasmė funkcijas, vadovaukitės trijų žingsnių algoritmu. Atkreipkite dėmesį, kad turite mokėti dirbti su vienpusiais ir , taip pat apskaičiuoti išvestinę. Taigi, tebūnie duota kokia nors funkcija y(x) ir reikia rasti jos didžiausią prasmė tam tikru intervalu su ribinėmis vertėmis A ir B.

Sužinokite, ar šis intervalas patenka į apibrėžimo sritį funkcijas. Norėdami tai padaryti, turite jį rasti, atsižvelgdami į visus galimus apribojimus: trupmenos buvimą išraiškoje, kvadratinė šaknis ir tt Apibrėžimo sritis yra argumentų reikšmių rinkinys, kuriam funkcija turi prasmę. Nustatykite, ar duotas intervalas yra jo poaibis. Jei taip, pereikite prie kito žingsnio.

Raskite išvestinę funkcijas ir išspręskite gautą lygtį prilygindami išvestinę nuliui. Taip gausite vadinamųjų vertes stacionarūs taškai. Įvertinkite, ar bent vienas iš jų priklauso intervalui A, B.

Trečiame etape apsvarstykite šiuos taškus ir pakeiskite jų reikšmes į funkciją. Atsižvelgdami į intervalo tipą, atlikite šiuos papildomus veiksmus. Jei yra [A, B] formos atkarpa, ribos taškai įtraukiami į intervalą, tai nurodoma skliausteliuose. Apskaičiuokite vertes funkcijas jei x = A ir x = B. Jei intervalas atviras (A, B), ribinės reikšmės yra pradurtos, t.y. į jį neįtraukti. Išspręskite x→A ir x→B vienpuses ribas. Kombinuotas [A, B) arba (A, B) formos intervalas, kurio viena riba priklauso, o kita - ne. Raskite vienpusę ribą, nes x linkusi į pradurtą reikšmę, ir pakeiskite kitą į Begalinis dvipusis intervalas (-∞, +∞) arba vienpusis begalinis intervalas formos: , (-∞, B). Realiosioms riboms A ir B elkitės pagal jau aprašytus principus ir begaliniai, ieškokite atitinkamai x→-∞ ir x→+∞ ribų.

Užduotis šiame etape

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė

Didžiausia funkcijos reikšmė yra didžiausia, mažiausia reikšmė yra mažiausia iš visų jos reikšmių.

Funkcija gali turėti tik vieną didžiausią ir tik vieną mažiausią reikšmę arba gali neturėti jokios. Didžiausių ir mažiausių nuolatinių funkcijų reikšmių radimas grindžiamas šiomis šių funkcijų savybėmis:

1) Jei tam tikrame intervale (baigtiniame arba begaliniame) funkcija y=f(x) yra tolydi ir turi tik vieną ekstremumą ir jei tai yra didžiausia (minimali), tada ji bus didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė šiame intervale.

2) Jei funkcija f(x) yra tolydi tam tikrame intervale, tai ji būtinai turi didžiausią ir mažiausia vertė. Šios vertės pasiekiamos ekstremaliuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje, arba šios atkarpos ribose.

Norint rasti didžiausias ir mažiausias segmento vertes, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1. Raskite išvestinę.

2. Raskite kritinius funkcijos taškus, kuriuose =0 arba neegzistuoja.

3. Raskite funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir atkarpos galuose ir pasirinkite iš jų didžiausią f max ir mažiausią f max.

Sprendžiant taikomąsias problemas, ypač optimizavimo, svarbu turi užduotis surasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes (visutinį maksimumą ir visuotinį minimumą) intervale X. Norint išspręsti tokias problemas, remiantis sąlyga, reikia pasirinkti nepriklausomą kintamąjį ir išreikšti tiriamą reikšmę per šis kintamasis. Tada raskite norimą didžiausią arba mažiausią gautos funkcijos reikšmę. Šiuo atveju iš uždavinio sąlygų nustatomas ir nepriklausomo kintamojo kitimo intervalas, kuris gali būti baigtinis arba begalinis.

Pavyzdys. Bakas, kurio viršutinė dalis yra atviro stačiakampio gretasienio formos su kvadratiniu dugnu, viduje turi būti skarduota skarda. Kokie turėtų būti bako matmenys, jei jo talpa yra 108 litrai? vandens, kad jo skardinimo kaina butu minimali?

Sprendimas. Rezervuaro dengimo skarda kaina bus minimali, jei, esant tam tikrai talpai, jo paviršiaus plotas yra minimalus. Pažymėkime a dm pagrindo kraštą, b dm bako aukštį. Tada jo paviršiaus plotas S lygus

IR

Gautas ryšys nustato santykį tarp rezervuaro paviršiaus ploto S (funkcija) ir pagrindo a kraštinės (argumentas). Panagrinėkime ekstremumo funkciją S. Raskime pirmąją išvestinę, prilyginkime ją nuliui ir išspręskime gautą lygtį:

Taigi a = 6. (a) > 0, jei a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ant intervalo.

Sprendimas: nurodyta funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje. Funkcijos išvestinė

Išvestinė už ir už . Apskaičiuokime funkcijų reikšmes šiuose taškuose:

.

Funkcijos reikšmės nurodyto intervalo galuose yra lygios. Vadinasi, didžiausia vertė funkcija lygi at , mažiausia funkcijos reikšmė lygi at .

Savęs patikrinimo klausimai

1. Suformuluokite „L'Hopital“ taisyklę, kaip atskleisti formos neapibrėžtumus. Sąrašas Įvairių tipų neapibrėžtumų, kuriems galima taikyti L'Hopital taisyklę.

2. Suformuluokite funkcijų didėjimo ir mažėjimo požymius.

3. Apibrėžkite funkcijos maksimumą ir minimumą.

4. Suformuluokite būtina sąlyga ekstremumo buvimas.

5. Kokios argumento reikšmės (kurie taškai) vadinamos kritinėmis? Kaip rasti šiuos taškus?

6. Kokie yra pakankami funkcijos ekstremumo egzistavimo požymiai? Nubrėžkite funkcijos tyrimo ekstremumu schemą naudojant pirmąją išvestinę.

7. Nubrėžkite funkcijos, esančios ekstremumu, tyrimo naudojant antrąją išvestinę schemą.

8. Apibrėžkite kreivės išgaubtą ir įgaubtą.

9. Kas vadinama funkcijos grafiko vingio tašku? Nurodykite šių taškų radimo būdą.

10. Suformuluokite reikiamus ir pakankamai ženklų kreivės išgaubimas ir įgaubimas tam tikrame segmente.

11. Apibrėžkite kreivės asimptotę. Kaip rasti funkcijos grafiko vertikaliąsias, horizontaliąsias ir įstriąsias asimptotes?

12. Nubrėžkite bendrą funkcijos tyrimo ir jos grafiko sudarymo schemą.

13. Suformuluokite taisyklę, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes duotame intervale.

Šiame straipsnyje kalbėsiu apie didžiausios ir mažiausios reikšmės paieškos algoritmas funkcijos, minimalūs ir didžiausi taškai.

Teoriškai tai mums tikrai bus naudinga išvestinė lentelė Ir diferenciacijos taisyklės. Viskas šioje plokštelėje:

Algoritmas ieškant didžiausios ir mažiausios reikšmės.

Man patogiau paaiškinti konkretus pavyzdys. Apsvarstykite:

Pavyzdys: Raskite didžiausią funkcijos y=x^5+20x^3–65x reikšmę atkarpoje [–4;0].

1 žingsnis. Imame išvestinę.

Y" = (x^5 + 20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2 žingsnis. Ekstremalumo taškų paieška.

Ekstremalus taškas vadiname tuos taškus, kuriuose funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę.

Norėdami rasti ekstremumo taškus, funkcijos išvestinę turite prilyginti nuliui (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Dabar išsprendžiame šią bikvadratinę lygtį, o rastos šaknys yra mūsų ekstremumo taškai.

Tokias lygtis išsprendžiu pakeisdamas t = x^2, tada 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Sumažinkime lygtį 5, gausime: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 – 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadratas (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadratas (196)) / 2 = (-12 - 14) / 2 = -13

Atliekame atvirkštinį pakeitimą x^2 = t:

X_(1 ir 2) = ± kvadratas (1) = ±1
x_(3 ir 4) = ±sqrt(-13) (atmetame, negali būti neigiami skaičiai, nebent, žinoma, kalbame apie kompleksinius skaičius)

Iš viso: x_(1) = 1 ir x_(2) = -1 – tai mūsų ekstremumo taškai.

3 veiksmas. Nustatykite didžiausią ir mažiausią vertę.

Pakeitimo metodas.

Esant sąlygai, mums buvo suteiktas segmentas [b][–4;0]. Taškas x=1 į šį segmentą neįtrauktas. Taigi mes to nesvarstome. Bet be taško x=-1, mes taip pat turime atsižvelgti į kairiąją ir dešiniąją mūsų atkarpos ribas, ty taškus -4 ir 0. Norėdami tai padaryti, visus šiuos tris taškus pakeičiame pradine funkcija. Atkreipkite dėmesį, kad pirminis yra tas, kuris pateiktas sąlygoje (y=x^5+20x^3–65x), kai kurie žmonės pradeda jį pakeisti išvestiniu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044

Tai reiškia, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra [b]44 ir ji pasiekiama taške [b]-1, kuris vadinamas maksimaliu funkcijos tašku atkarpoje [-4; 0].

Nusprendėme ir gavome atsakymą, mes puikūs, galite atsipalaiduoti. Bet sustok! Ar nemanote, kad apskaičiuoti y(-4) yra kažkaip per sunku? Riboto laiko sąlygomis geriau naudoti kitą metodą, aš jį vadinu taip:

Per ženklų pastovumo intervalus.

Šie intervalai randami funkcijos išvestinei, tai yra mūsų bikvadratinei lygčiai.

Aš tai darau taip. Nupiešiu nukreiptą segmentą. Dedu taškus: -4, -1, 0, 1. Nepaisant to, kad 1 nėra įtrauktas į pateiktą segmentą, vis tiek reikia įsidėmėti, kad būtų galima teisingai nustatyti ženklo pastovumo intervalus. Paimkime kokį nors skaičių, daug kartų didesnį už 1, tarkime 100, ir mintyse pakeiskime jį į mūsų bikvadratinę lygtį 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Net ir nieko neskaičiuojant tampa akivaizdu, kad 100 taške funkcija turi pliuso ženklą. Tai reiškia, kad intervalams nuo 1 iki 100 jis turi pliuso ženklą. Eidami per 1 (einame iš dešinės į kairę), funkcija pakeis ženklą į minusą. Einant per tašką 0, funkcija išsaugos savo ženklą, nes tai tik atkarpos riba, o ne lygties šaknis. Perėjus per -1, funkcija vėl pakeis ženklą į pliusą.

Iš teorijos žinome, kad kur yra funkcijos išvestinė (ir mes tai nubrėžėme būtent jai) pakeičia ženklą iš pliuso į minusą (mūsų atveju taškas -1) funkcija pasiekia jo vietinis maksimumas (y(-1) = 44, kaip apskaičiuota anksčiau)šiame segmente (logiškai labai suprantama, funkcija nustojo didėti, nes pasiekė maksimumą ir pradėjo mažėti).

Atitinkamai, kur funkcijos išvestinė pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, pasiektas funkcijos lokalus minimumas. Taip, taip, mes taip pat nustatėme, kad vietinis minimalus taškas yra 1, o y(1) yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje, tarkime, nuo -1 iki +∞. Atminkite, kad tai tik VIETINIS MINIMALUMAS, ty minimumas tam tikrame segmente. Kadangi realusis (pasaulinis) funkcijos minimumas pasieks kažkur ten, ties -∞.

Mano nuomone, pirmasis metodas yra paprastesnis teoriškai, o antrasis – paprastesnis iš požiūrio taško aritmetines operacijas, bet daug sudėtingesnis teoriniu požiūriu. Juk kartais pasitaiko atvejų, kai eidama pro lygties šaknį funkcija nekeičia ženklo ir apskritai gali susipainioti su šiomis vietinėmis, globaliomis maksimumomis ir minimumais, nors vis tiek teks tai gerai įsisavinti, jei planuoji stoti į technikos universitetą (o kam dar laikyti profilinį vieningą valstybinį egzaminą ir išspręsti šią užduotį). Tačiau praktika ir tik praktika išmokys tokias problemas išspręsti kartą ir visiems laikams. Ir jūs galite treniruotis mūsų svetainėje. čia .

Jei turite klausimų ar kažkas neaišku, būtinai klauskite. Mielai jums atsakysiu ir pakeisiu bei papildysiu straipsnį. Atminkite, kad šią svetainę kuriame kartu!

Tegul funkcija y =f(X) yra nuolatinis intervale [ a, b]. Kaip žinoma, tokia funkcija šiame segmente pasiekia maksimalias ir minimalias reikšmes. Funkcija gali gauti šias reikšmes arba vidiniame atkarpos taške [ a, b] arba ant atkarpos ribos.

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente [ a, b] būtina:

1) suraskite kritinius funkcijos taškus intervale ( a, b);

2) apskaičiuokite funkcijos reikšmes rastuose kritiniuose taškuose;

3) apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose, tai yra, kada x=A ir x = b;

4) iš visų apskaičiuotų funkcijos reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

segmente.

Kritinių taškų paieška:

Šie taškai yra segmento viduje; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

taške x= 3 ir taške x= 0.

Išgaubtumo ir vingio taško funkcijos tyrimas.

Funkcija y = f (x) paskambino išgaubtas tarp (a, b) , jei jo grafikas yra po liestine, nubrėžta bet kuriame šio intervalo taške, ir yra vadinamas išgaubtas žemyn (įgaubtas), jei jo grafikas yra virš liestinės.

Taškas, per kurį išgaubtumas pakeičiamas įdubimu arba atvirkščiai, vadinamas Vingio taškas.

Išgaubtumo ir vingio taško tyrimo algoritmas:

1. Raskite antrosios rūšies kritinius taškus, tai yra taškus, kuriuose antroji išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.

2. Nubrėžkite kritinius taškus skaičių tiesėje, padalydami jį intervalais. Kiekviename intervale raskite antrosios išvestinės ženklą; jei , tada funkcija yra išgaubta į viršų, jei, tada funkcija yra išgaubta žemyn.

3. Jei, einant per antrosios rūšies kritinį tašką, ženklas pasikeičia ir šioje vietoje antroji išvestinė lygi nuliui, tai šis taškas yra vingio taško abscisė. Raskite jo ordinates.

Funkcijos grafiko asimptotės. Asimptotų funkcijos tyrimas.

Apibrėžimas. Funkcijos grafiko asimptote vadinama tiesiai, kuri turi savybę, kad atstumas nuo bet kurio grafiko taško iki šios linijos linkęs į nulį, nes taškas grafike neribotai juda nuo pradžios.

Yra trys asimptotų tipai: vertikaliai, horizontaliai ir nuožulniai.

Apibrėžimas. Tiesi linija vadinama vertikali asimptota funkcinė grafika y = f(x), jei bent viena iš vienpusių funkcijos ribų šiame taške yra lygi begalybei, tai yra

kur yra funkcijos nepertraukiamumo taškas, tai yra, ji nepriklauso apibrėžimo sričiai.

Pavyzdys.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – lūžio taškas.

Apibrėžimas. Tiesiai y =A paskambino horizontalioji asimptote funkcinė grafika y = f(x) adresu , jei

Pavyzdys.

Apibrėžimas. Tiesiai y =kx +b (k≠ 0) vadinamas įstrižinė asimptotė funkcinė grafika y = f(x) kur

Bendra funkcijų tyrimo ir grafikų sudarymo schema.

Funkcijų tyrimo algoritmasy = f(x) :

1. Raskite funkcijos sritį D (y).

2. Raskite (jei įmanoma) grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis (jei x= 0 ir at y = 0).

3. Ištirkite funkcijos lygumą ir nelygumą ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritetas; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nelyginis).

4. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus.

6. Raskite funkcijos kraštutinumą.

7. Raskite funkcijos grafiko išgaubimo (įgaubtumo) ir vingio taškų intervalus.

8. Remdamiesi atliktais tyrimais, sukonstruokite funkcijos grafiką.

Pavyzdys. Ištirkite funkciją ir sukurkite jos grafiką.

1) D (y) =

x= 4 – lūžio taškas.

2) Kada x = 0,

(0; ‒ 5) – susikirtimo taškas su Oi.

At y = 0,

3) y(‒ x)= funkcija bendras vaizdas(nei lyginis, nei nelyginis).

4) Mes tiriame asimptotus.

a) vertikaliai

b) horizontaliai

c) suraskite pasvirusius asimptotus kur

‒pasviroji asimptotės lygtis

5) Šioje lygtyje nebūtina rasti funkcijos monotoniškumo intervalų.

6)

Šie kritiniai taškai padalija visą funkcijos apibrėžimo sritį į intervalą (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ir (10; +∞). Patogu gautus rezultatus pateikti šios lentelės forma.

Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente?

Už tai vadovaujamės gerai žinomu algoritmu:

1 . ODZ funkcijų paieška.

2 . Funkcijos išvestinės radimas

3 . Išvestinės prilyginimas nuliui

4 . Randame intervalus, per kuriuos išvestinė išlaiko savo ženklą, ir iš jų nustatome funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus:

Jei I intervale funkcijos išvestinė yra 0" title="f^(pirminis)(x)>0">, то функция !} per šį intervalą didėja.

Jei intervale I funkcijos išvestinė , tai funkcija per šį intervalą mažėja.

5 . Mes randame maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

IN maksimaliame funkcijos taške išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“.

IN minimalus funkcijos taškasišvestinė keičia ženklą iš "-" į "+".

6 . Funkcijos reikšmę randame segmento galuose,

• tada lyginame funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir maksimaliuose taškuose, ir pasirinkite didžiausią iš jų, jei reikia rasti didžiausią funkcijos reikšmę
• arba palyginkite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir minimaliuose taškuose, ir pasirinkite mažiausią iš jų, jei reikia rasti mažiausią funkcijos reikšmę

Tačiau priklausomai nuo to, kaip funkcija veikia segmente, šis algoritmas gali būti žymiai sumažintas.

Apsvarstykite funkciją . Šios funkcijos grafikas atrodo taip:

Pažvelkime į keletą problemų sprendimo pavyzdžių iš Atidarykite banką užduotys

1 . Užduotis B15 (Nr. 26695)

Ant segmento.

1. Funkcija apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms

Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendinių, o išvestinė yra teigiama visoms x reikšmėms. Vadinasi, funkcija didėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešiniajame intervalo gale, ty esant x=0.

Atsakymas: 5.

2 . Užduotis B15 (Nr. 26702)

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente.

1. ODZ funkcijos title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Išvestinė yra lygi nuliui ties , tačiau šiuose taškuose ji nekeičia ženklo:

Todėl title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} padidėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešinėje intervalo pabaigoje, ties .

Kad būtų akivaizdu, kodėl išvestinė nekeičia ženklo, išvestinės išraišką transformuojame taip:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Atsakymas: 5.

3. Užduotis B15 (Nr. 26708)

Raskite mažiausią funkcijos reikšmę segmente.

1. ODZ funkcijos: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Padėkime šios lygties šaknis ant trigonometrinio apskritimo.

Intervalą sudaro du skaičiai: ir

Pastatykime ženklus. Norėdami tai padaryti, nustatome išvestinės ženklą taške x=0: . Einant per taškus ir, išvestinė keičia ženklą.

Pavaizduokime funkcijos išvestinės ženklų kitimą koordinačių tiesėje:

Akivaizdu, kad taškas yra minimalus taškas (kuriame išvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“), o norint rasti mažiausią funkcijos reikšmę segmente, reikia palyginti funkcijos reikšmes minimalus taškas ir kairiajame atkarpos gale, .