Teorem pembahagi dua segi tiga tentang sifat pembahagi dua. Pembahagi bagi segi tiga. Teori terperinci dengan contoh (2019)

29.09.2019

Apakah pembahagi dua sudut bagi segi tiga? Apabila menjawab soalan ini, tikus terkenal yang berlari mengelilingi sudut dan membahagikan sudut menjadi dua keluar dari mulut sesetengah orang." Jika jawapannya sepatutnya "lucu," maka mungkin ia betul. Tetapi dengan titik saintifik Dari perspektif, jawapan kepada soalan ini sepatutnya berbunyi seperti ini: bermula pada bucu sudut dan membahagikan yang kedua kepada dua bahagian yang sama." Dalam geometri, angka ini juga dianggap sebagai segmen pembahagi dua sebelum persilangan dengan sisi bertentangan segi tiga. Ini bukan pendapat yang salah. Tetapi apakah lagi yang diketahui tentang pembahagi dua sudut, selain definisinya?

Seperti mana-mana lokus titik geometri, ia mempunyai ciri tersendiri. Yang pertama adalah, sebaliknya, bukan tanda, tetapi teorem, yang boleh dinyatakan secara ringkas seperti berikut: "Jika sisi yang bertentangan dengannya dibahagikan kepada dua bahagian oleh pembahagi dua, maka nisbahnya akan sepadan dengan nisbah sisi segitiga besar."

Sifat kedua yang ada padanya: titik persilangan pembahagi dua semua sudut dipanggil insenter.

Tanda ketiga: pembahagi dua sudut dalaman dan dua sudut luaran segitiga bersilang di tengah salah satu daripada tiga bulatan bertulis.

Sifat keempat pembahagi dua sudut segitiga ialah jika setiap daripadanya adalah sama, maka yang kedua ialah sama kaki.

Tanda kelima juga melibatkan segi tiga sama kaki dan merupakan garis panduan utama untuk pengecamannya dalam lukisan oleh pembahagi dua, iaitu: dalam segi tiga sama kaki ia berfungsi sebagai median dan ketinggian secara serentak.

Pembahagi dua sudut boleh dibina menggunakan kompas dan pembaris:

Peraturan keenam menyatakan bahawa adalah mustahil untuk membina segitiga menggunakan yang kedua hanya dengan pembahagi dua yang sedia ada, sama seperti mustahil untuk membina dengan cara ini penggandaan kubus, kuasa dua bulatan dan triseksi sudut. Tegasnya, ini adalah semua sifat pembahagi dua sudut bagi segitiga.

Jika anda membaca perenggan sebelumnya dengan teliti, maka mungkin anda berminat dengan satu frasa. "Apakah keratan tiga sudut?" - anda mungkin akan bertanya. Trisector adalah sedikit serupa dengan pembahagi dua, tetapi jika anda melukis yang terakhir, sudut akan dibahagikan kepada dua bahagian yang sama, dan apabila membina trisection, ia akan dibahagikan kepada tiga. Sememangnya, pembahagi dua sudut lebih mudah diingat, kerana bahagian tiga tidak diajar di sekolah. Tetapi demi kesempurnaan, saya akan memberitahu anda tentangnya juga.

Trisektor, seperti yang telah saya katakan, tidak boleh dibina hanya dengan kompas dan pembaris, tetapi ia boleh dibuat menggunakan peraturan Fujita dan beberapa lengkung: siput Pascal, kuadratriks, konkoid Nicomedes, bahagian kon,

Masalah pada keratan tiga sudut diselesaikan dengan mudah menggunakan nevsis.

Dalam geometri terdapat teorem tentang trisektor sudut. Ia dipanggil teorem Morley. Dia menyatakan bahawa titik persilangan trisektor setiap sudut yang terletak di tengah akan menjadi bucu

Segitiga hitam kecil di dalam yang besar akan sentiasa sama sisi. Teorem ini ditemui oleh saintis British Frank Morley pada tahun 1904.

Berikut ialah berapa banyak yang boleh anda pelajari tentang membahagi sudut: Trisektor dan pembahagi dua sudut sentiasa memerlukan penjelasan terperinci. Tetapi di sini diberikan banyak definisi yang belum saya dedahkan: siput Pascal, conchoid Nicomedes, dll. Yakinlah, banyak lagi yang perlu ditulis tentang mereka.

Sudut pedalaman segitiga dipanggil pembahagi dua segi tiga.
Pembelah dua bagi sudut segi tiga juga difahamkan sebagai segmen antara bucunya dan titik persilangan pembahagi dua dengan sisi bertentangan segi tiga itu.
Teorem 8. Tiga pembahagi dua segi tiga bersilang pada satu titik.
Sesungguhnya, mari kita pertimbangkan dahulu titik P persilangan dua pembahagi dua, contohnya AK 1 dan VK 2. Titik ini adalah sama jauh dari sisi AB dan AC, kerana ia terletak pada pembahagi dua sudut A, dan sama jauh dari sisi AB dan BC, sebagai milik pembahagi dua sudut B. Ini bermakna ia adalah sama jauh dari sisi AC dan BC dan dengan itu tergolong dalam pembahagi pembahagi ketiga CK 3, iaitu pada titik P ketiga-tiga pembahagi dua bersilang.
Sifat pembahagi dua sudut dalam dan luar segi tiga
Teorem 9. Pembahagi bagi sudut pedalaman segitiga membahagikan sisi bertentangan kepada bahagian yang berkadar dengan sisi bersebelahan.
Bukti. Mari kita pertimbangkan segi tiga ABC dan pembahagi dua sudutnya B. Mari kita lukis melalui bucu C satu garis lurus CM, selari dengan pembahagi dua BC, sehingga ia bersilang pada titik M dengan kesinambungan sisi AB. Oleh kerana VC ialah pembahagi dua sudut ABC, maka ∠ ABC = ∠ KBC. Selanjutnya, ∠ АВК=∠ ВСМ, sebagai sudut sepadan untuk garis selari, dan ∠ КВС=∠ ВСМ, sebagai sudut bersilang untuk garis selari. Oleh itu ∠ ВСМ=∠ ВМС, dan oleh itu segitiga ВСМ ialah sama kaki, oleh itu ВС=ВМ. Menurut teorem tentang garis selari yang bersilang dengan sisi sudut, kita mempunyai AK: K C=AB:VM=AB:BC, yang mana perlu dibuktikan.
Teorem 10 Pembahagi dua sudut luar B segi tiga ABC mempunyai sifat yang serupa: segmen AL dan CL dari bucu A dan C ke titik L persilangan pembahagi dua dengan kesinambungan sisi AC adalah berkadar dengan sisi segi tiga: AL: C.L.=AB:BC.
Sifat ini dibuktikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya: dalam rajah garis bantu SM dilukis selari dengan pembahagi dua BL. Sudut BMC dan BC adalah sama, yang bermaksud bahawa sisi BM dan BC bagi segi tiga BMC adalah sama. Dari mana kita sampai pada kesimpulan AL:CL=AB:BC.

Teorem d4. (formula pertama untuk pembahagi dua bahagian): Jika dalam segi tiga ABC segmen AL ialah pembahagi dua sudut A, kemudian AL? = AB·AC - LB·LC.

Bukti: Biarkan M ialah titik persilangan garis AL dengan bulatan yang dihadkan pada segi tiga ABC (Rajah 41). Sudut BAM adalah sama dengan sudut MAC mengikut keadaan. Sudut BMA dan BCA adalah kongruen seperti sudut tersurat yang dicangkum oleh kord yang sama. Ini bermakna segitiga BAM dan LAC adalah serupa dalam dua sudut. Oleh itu, AL: AC = AB: AM. Jadi AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Itu yang perlu dibuktikan. Nota: untuk teorem tentang segmen kord bersilang dalam bulatan dan tentang sudut tersurat, lihat bulatan topik dan bulatan.

Teorem d5. (rumus kedua untuk pembahagi dua): Dalam segi tiga ABC dengan sisi AB=a, AC=b dan sudut A sama dengan 2? dan pembahagi dua l, kesaksamaan memegang:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

Bukti: Biarkan ABC ialah segi tiga yang diberi, AL pembahagi duanya (Rajah 42), a=AB, b=AC, l=AL. Kemudian S ABC = S ALB + S ALC. Oleh itu, absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin?·kos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Teorem telah terbukti.

Hari ini akan menjadi pelajaran yang sangat mudah. Kami akan mempertimbangkan hanya satu objek - pembahagi dua sudut - dan membuktikan sifatnya yang paling penting, yang akan sangat berguna kepada kami pada masa hadapan.

Jangan berehat sahaja: kadangkala pelajar yang ingin mendapatkan markah tinggi pada Peperiksaan Negeri Bersepadu atau Peperiksaan Negeri Bersepadu yang sama tidak dapat merumuskan definisi pembahagi dua dalam pelajaran pertama dengan tepat.

Dan daripada melakukan tugas yang sangat menarik, kami membuang masa untuk perkara yang mudah. Jadi baca, tonton, dan pakai. :)

Sebagai permulaan, soalan yang sedikit pelik: apakah sudut? Betul: sudut ialah dua sinar yang terpancar dari titik yang sama. Sebagai contoh:

Contoh sudut: akut, tumpul dan kanan

Seperti yang anda lihat dari gambar, sudut boleh menjadi akut, bodoh, lurus - tidak mengapa sekarang. Selalunya, untuk kemudahan, titik tambahan ditandakan pada setiap sinar dan mereka mengatakan bahawa di hadapan kita ialah sudut $AOB$ (ditulis sebagai $\angle AOB$).

Captain Obviousness nampaknya membayangkan bahawa sebagai tambahan kepada sinar $OA$ dan $OB$, ia sentiasa mungkin untuk menarik sekumpulan lebih banyak sinar dari titik $O$. Tetapi di antara mereka akan ada satu yang istimewa - dia dipanggil pembahagi dua.

Definisi. Pembahagi dua sudut ialah sinar yang keluar dari bucu sudut itu dan membelah sudut itu.

Untuk sudut di atas, pembahagi dua akan kelihatan seperti ini:

Contoh pembahagi dua bagi sudut akut, tumpul dan tegak

Oleh kerana dalam lukisan sebenar tidak selalunya jelas bahawa sinar tertentu (dalam kes kami ia adalah sinar $OM$) membelah sudut asal kepada dua sama, dalam geometri adalah kebiasaan untuk menandakan sudut yang sama dengan bilangan lengkok yang sama ( dalam lukisan kami ini ialah 1 lengkok untuk sudut akut, dua untuk tumpul, tiga untuk lurus).

Okay, kami telah menyelesaikan definisinya. Sekarang anda perlu memahami sifat-sifat yang ada pada pembahagi dua.

Sifat utama pembahagi dua sudut

Sebenarnya, pembahagi dua mempunyai banyak sifat. Dan kita pasti akan melihat mereka dalam pelajaran seterusnya. Tetapi ada satu helah yang perlu anda fahami sekarang:

Teorem. Pembahagi bagi suatu sudut ialah lokus titik yang sama jarak dari sisi sudut yang diberi.

Diterjemahkan daripada matematik ke bahasa Rusia, ini bermakna dua fakta sekaligus:

Mana-mana titik yang terletak pada pembahagi dua sudut tertentu berada pada jarak yang sama dari sisi sudut ini.
Dan sebaliknya: jika titik terletak pada jarak yang sama dari sisi sudut tertentu, maka ia dijamin terletak pada pembahagi dua sudut ini.

Sebelum membuktikan kenyataan ini, mari kita jelaskan satu perkara: apakah sebenarnya yang dipanggil jarak dari titik ke sisi sudut? Di sini penentuan lama yang baik tentang jarak dari titik ke garis akan membantu kita:

Definisi. Jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke garis ini.

Sebagai contoh, pertimbangkan garis $l$ dan titik $A$ yang tidak terletak pada baris ini. Mari kita lukiskan serenjang dengan $AH$, dengan $H\in l$. Kemudian panjang serenjang ini ialah jarak dari titik $A$ ke garis lurus $l$.

Perwakilan grafik jarak dari titik ke garis

Oleh kerana sudut hanyalah dua sinar, dan setiap sinar adalah sekeping garis lurus, mudah untuk menentukan jarak dari titik ke sisi sudut. Ini hanyalah dua serenjang:

Tentukan jarak dari titik ke sisi sudut

Itu sahaja! Sekarang kita tahu apa itu jarak dan apa itu pembahagi dua. Oleh itu, kita boleh membuktikan harta utama.

Seperti yang dijanjikan, kami akan membahagikan bukti kepada dua bahagian:

1. Jarak dari titik pada pembahagi dua ke sisi sudut adalah sama

Pertimbangkan sudut arbitrari dengan bucu $O$ dan pembahagi dua belah $OM$:

Mari kita buktikan bahawa titik $M$ ini berada pada jarak yang sama dari sisi sudut.

Bukti. Mari kita lukis serenjang dari titik $M$ ke sisi sudut. Mari kita panggil mereka $M((H)_(1))$ dan $M((H)_(2))$:
Lukiskan serenjang pada sisi sudut
Dapat dua segi tiga tepat: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mereka mempunyai hipotenus sepunya $OM$ dan sudut yang sama:

$\sudut MO((H)_(1))=\sudut MO((H)_(2))$ mengikut keadaan (kerana $OM$ ialah pembahagi dua);

$\sudut M((H)_(1))O=\sudut M((H)_(2))O=90()^\circle $ mengikut pembinaan;

$\sudut OM((H)_(1))=\sudut OM((H)_(2))=90()^\circ -\sudut MO((H)_(1))$, sejak jumlah sudut tajam bagi segi tiga tegak sentiasa 90 darjah.

Akibatnya, segi tiga adalah sama di sisi dan dua sudut bersebelahan (lihat tanda kesamaan segi tiga). Oleh itu, khususnya, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, i.e. jarak dari titik $O$ ke sisi sudut memang sama. Q.E.D. :)

2. Jika jarak adalah sama, maka titik terletak pada pembahagi dua

Kini keadaan sudah terbalik. Biarkan sudut $O$ diberikan dan satu titik $M$ sama jarak dari sisi sudut ini:

Mari kita buktikan bahawa sinar $OM$ ialah pembahagi dua, i.e. $\sudut MO((H)_(1))=\sudut MO((H)_(2))$.

Bukti. Mula-mula, mari kita lukis sinar ini $OM$, jika tidak, tiada apa-apa untuk dibuktikan:
Mengalirkan rasuk $OM$ di dalam sudut
Sekali lagi kita mendapat dua segi tiga tepat: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Jelas sekali mereka adalah sama kerana:

Hypotenuse $OM$ - am;

Kaki $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ mengikut keadaan (lagipun, titik $M$ adalah sama jarak dari sisi sudut);

Kaki yang tinggal juga sama, kerana oleh teorem Pythagoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Oleh itu, segi tiga $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$ pada tiga sisi. Khususnya, sudutnya adalah sama: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Dan ini bermakna $OM$ ialah pembahagi dua.

Untuk menyimpulkan bukti, kami menandakan sudut sama yang terhasil dengan lengkok merah:
Pembahagi dua membelah sudut $\sudut ((H)_(1))O((H)_(2))$ kepada dua sama

Seperti yang anda lihat, tiada yang rumit. Kami telah membuktikan bahawa pembahagi dua sudut ialah lokus titik yang sama jarak dengan sisi sudut ini. :)

Memandangkan kita mempunyai lebih atau kurang memutuskan istilah, tiba masanya untuk meneruskan tahap baru. Dalam pelajaran seterusnya kita akan melihat sifat-sifat yang lebih kompleks bagi pembahagi dua dan mempelajari cara mengaplikasikannya untuk menyelesaikan masalah sebenar.

Teorem. Pembahagi bagi sudut pedalaman segitiga membahagikan sisi bertentangan kepada bahagian yang berkadar dengan sisi bersebelahan.

Bukti. Pertimbangkan segi tiga ABC (Rajah 259) dan pembahagi dua sudutnya B. Lukis melalui bucu C satu garis lurus CM, selari dengan pembahagi dua BC, sehingga ia bersilang pada titik M dengan kesinambungan sisi AB. Oleh kerana BK ialah pembahagi dua sudut ABC, maka . Selanjutnya, sebagai sudut sepadan untuk garis selari, dan sebagai sudut bersilang untuk garis selari. Oleh itu dan oleh itu - isosceles, dari mana . Dengan teorem tentang garis selari yang bersilang dengan sisi sudut, kita ada dan dalam pandangan kita dapat , itulah yang perlu kita buktikan.

Pembelah dua bagi sudut luar B segi tiga ABC (Rajah 260) mempunyai sifat yang serupa: segmen AL dan CL dari bucu A dan C ke titik L persilangan pembahagi dua dengan kesinambungan sisi AC adalah berkadar dengan sisi segitiga:

Sifat ini dibuktikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya: dalam Rajah. 260 garis lurus tambahan SM dilukis selari dengan pembahagi dua BL. Pembaca sendiri akan yakin tentang kesamaan sudut VMS dan VSM, dan oleh itu sisi VM dan BC segitiga VMS, selepas itu perkadaran yang diperlukan akan diperolehi dengan serta-merta.

Kita boleh mengatakan bahawa pembahagi dua sudut luaran membahagikan sisi bertentangan kepada bahagian yang berkadar dengan sisi bersebelahan; anda hanya perlu bersetuju untuk membenarkan "pembahagian luaran" segmen.

Titik L terletak di luar segmen AC (pada sambungannya) membahagikannya secara luaran dalam hubungan jika Jadi, pembahagi dua sudut segitiga (dalam dan luar) membahagi sisi bertentangan (dalaman dan luaran) kepada bahagian yang berkadar dengan sisi bersebelahan.

Masalah 1. Sisi trapezoid adalah sama dengan 12 dan 15, tapaknya adalah sama dengan 24 dan 16. Cari sisi segitiga yang dibentuk oleh tapak besar trapezoid dan sisi lanjutannya.

Penyelesaian. Dalam tatatanda Rajah. 261 kita mempunyai perkadaran untuk segmen yang berfungsi sebagai kesinambungan sisi sisi, dari mana kita dapati dengan mudah. Dengan cara yang sama, kita menentukan sisi sisi kedua segitiga. Sisi ketiga bertepatan dengan tapak besar: .

Masalah 2. Tapak trapezium ialah 6 dan 15. Berapakah panjang ruas yang selari dengan tapak dan membahagi sisi dalam nisbah 1:2, mengira dari bucu tapak kecil itu?

Penyelesaian. Mari kita beralih kepada Rajah. 262, menggambarkan trapezoid. Melalui bucu C tapak kecil kita lukis garis selari dengan sisi AB, memotong segi empat selari dari trapezoid. Sejak , maka dari sini kita dapati . Oleh itu, keseluruhan segmen KL yang tidak diketahui adalah sama dengan Perhatikan bahawa untuk menyelesaikan masalah ini kita tidak perlu mengetahui sisi sisi trapezoid.

Masalah 3. Pembahagi dua sudut dalam B segi tiga ABC memotong sisi AC kepada segmen pada jarak berapakah dari bucu A dan C pembahagi dua sudut luar B akan memotong sambungan AC?

Penyelesaian. Setiap pembahagi dua sudut B membahagikan AC dalam nisbah yang sama, tetapi satu secara dalaman dan satu lagi secara luaran. Mari kita nyatakan dengan L titik persilangan sambungan AC dan pembahagi dua sudut luar B. Oleh kerana AK Mari kita nyatakan jarak yang tidak diketahui AL pada masa itu dan kita akan mempunyai bahagian Penyelesaian yang memberikan kita jarak yang diperlukan

Lengkapkan lukisan itu sendiri.

Senaman

1. Trapezoid dengan tapak 8 dan 18 dibahagikan dengan garis lurus selari dengan tapak kepada enam jalur yang sama lebar. Cari panjang ruas lurus yang membahagikan trapezoid kepada jalur.

2. Perimeter segi tiga itu ialah 32. Pembahagi dua sudut A membahagikan sisi BC kepada bahagian yang sama dengan 5 dan 3. Cari panjang sisi segitiga itu.

3. Tapak segi tiga sama kaki ialah a, sisi ialah b. Cari panjang ruas yang menghubungkan titik persilangan pembahagi dua bucu tapak dengan sisi.

Pembahagi bagi segi tiga ialah segmen yang membahagikan sudut segitiga kepada dua sudut yang sama. Sebagai contoh, jika sudut segitiga ialah 120 0, maka dengan melukis pembahagi dua, kita akan membina dua sudut 60 0 setiap satu.

Dan kerana terdapat tiga sudut dalam segi tiga, tiga pembahagi dua boleh dilukis. Mereka semua mempunyai satu titik pemotongan. Titik ini ialah pusat bulatan yang tertulis dalam segi tiga. Dengan cara lain, titik persilangan ini dipanggil incenter bagi segi tiga.

Apabila dua pembahagi dua sudut dalam dan luar bersilang, sudut 90 0 diperoleh. Sudut luar dalam segi tiga sudut yang bersebelahan dengan sudut dalaman segi tiga.

nasi. 1. Segitiga yang mengandungi 3 pembahagi dua

Pembahagian pembahagi sebelah bertentangan menjadi dua segmen yang disambungkan ke sisi:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Titik pembahagi dua adalah sama jarak dari sisi sudut, yang bermaksud bahawa ia berada pada jarak yang sama dari sisi sudut. Iaitu, jika dari mana-mana titik pembahagi dua kita menjatuhkan serenjang ke setiap sisi sudut segitiga, maka serenjang ini akan sama..

Jika anda melukis median, pembahagi dua dan ketinggian dari satu bucu, maka median akan menjadi segmen terpanjang, dan ketinggian akan menjadi yang terpendek.

Beberapa sifat pembahagi dua

Dalam jenis segi tiga tertentu, pembahagi dua mempunyai sifat khas. Ini terpakai terutamanya pada segi tiga sama kaki. Angka ini mempunyai dua sisi yang sama, dan yang ketiga dipanggil pangkalan.

Jika anda melukis pembahagi dua daripada bucu sudut segi tiga sama kaki ke tapak, maka ia akan mempunyai sifat ketinggian dan median. Sehubungan itu, panjang pembahagi dua bertepatan dengan panjang median dan ketinggian.

Definisi:

Ketinggian- serenjang yang dilukis dari bucu segitiga ke sisi bertentangan.
Median– segmen yang menghubungkan bucu segitiga dan tengah sisi bertentangan.

nasi. 2. Pembahagi dua dalam segi tiga sama kaki

Ini juga terpakai kepada segi tiga sama sisi, iaitu, segitiga di mana ketiga-tiga sisi adalah sama.

Contoh tugasan

Dalam segi tiga ABC: BR ialah pembahagi dua, dengan AB = 6 cm, BC = 4 cm, dan RC = 2 cm. Tolak panjang sisi ketiga.

nasi. 3. Pembahagi dua dalam segi tiga

Penyelesaian:

Pembahagi dua membahagi sisi segi tiga dalam bahagian tertentu. Mari gunakan perkadaran ini dan nyatakan AR. Kemudian kita akan mencari panjang sisi ketiga sebagai hasil tambah segmen di mana sisi ini dibahagikan dengan pembahagi dua.