Apabila mempelajari sebarang topik dalam kursus sekolah, anda boleh memilih masalah minimum tertentu, dan setelah menguasai kaedah untuk menyelesaikannya, pelajar akan dapat menyelesaikan sebarang masalah pada tahap keperluan program pada topik yang sedang dipelajari. Saya mencadangkan untuk mempertimbangkan masalah yang akan membolehkan anda melihat perkaitan antara topik individu dalam kursus matematik sekolah. Oleh itu, sistem tugasan yang disusun adalah cara yang berkesan pengulangan, generalisasi dan sistematisasi bahan pendidikan semasa menyediakan pelajar untuk peperiksaan.

Untuk lulus peperiksaan, adalah berguna untuk mempunyai maklumat tambahan tentang beberapa elemen segitiga. Mari kita pertimbangkan sifat median segi tiga dan masalah dalam penyelesaian yang mana sifat ini boleh digunakan. Tugasan yang dicadangkan melaksanakan prinsip pembezaan tahap. Semua tugasan dibahagikan secara bersyarat kepada peringkat (tahap ditunjukkan dalam kurungan selepas setiap tugasan).

Mari kita ingat beberapa sifat median segitiga

Harta 1. Buktikan bahawa median bagi segi tiga ABC, diambil dari bucu A, kurang daripada separuh jumlah sisi AB Dan A.C..

Bukti

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Harta 2. Median memotong segi tiga kepada dua kawasan yang sama.

Bukti

Mari kita lukis dari bucu B segi tiga ABC median BD dan ketinggian BE..gif" alt="Luas" width="82" height="46">!}

Oleh kerana segmen BD ialah median, maka

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Harta benda 4. Median segitiga membahagikan segitiga itu kepada 6 segi tiga sama.

Bukti

Mari kita buktikan bahawa luas setiap enam segi tiga di mana median membahagi segitiga ABC adalah sama dengan luas segi tiga ABC. Untuk melakukan ini, pertimbangkan, sebagai contoh, segi tiga AOF dan jatuhkan AK berserenjang dari bucu A ke garisan BF.

Disebabkan harta 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Harta 6. Median dalam segi tiga tepat yang dilukis daripada bucu sudut tepat, adalah sama dengan separuh hipotenus.

Bukti

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Akibat:1. Pusat bulatan yang dihadkan pada segi tiga tepat terletak di tengah hipotenus.

2. Jika dalam segitiga panjang median adalah sama dengan separuh panjang sisi yang dilukis, maka segitiga ini adalah bersudut tegak.

TUGASAN

Apabila menyelesaikan setiap masalah berikutnya, sifat terbukti digunakan.

№1 Topik: Menggandakan median. Kesukaran: 2+

Tanda dan sifat segi empat selari Gred: 8,9

keadaan

Pada penerusan median A.M. segi tiga ABC setiap mata M segmen ditangguhkan M.D., sama A.M.. Buktikan bahawa segi empat ABCC- segi empat selari.

Penyelesaian

Mari kita gunakan salah satu tanda segi empat selari. Diagonal bagi segi empat ABCC bersilang pada satu titik M dan bahagikannya kepada dua, jadi segi empat ABCC- segi empat selari.

Median ialah segmen yang dilukis dari bucu segitiga ke tengah sisi bertentangan, iaitu, ia membahagikannya kepada separuh pada titik persilangan. Titik di mana median bersilang sisi bertentangan dengan bucu dari mana ia muncul dipanggil tapak. Setiap median segitiga melalui satu titik, dipanggil titik persilangan. Formula untuk panjangnya boleh dinyatakan dalam beberapa cara.

Formula untuk menyatakan panjang median

• Selalunya dalam masalah geometri, pelajar perlu berurusan dengan segmen seperti median segitiga. Formula untuk panjangnya dinyatakan dari segi sisi:

di mana a, b dan c ialah sisi. Selain itu, c ialah sisi di mana median jatuh. Beginilah rupa formula paling ringkas. Median segitiga kadangkala diperlukan untuk pengiraan tambahan. Terdapat formula lain.

• Jika semasa pengiraan dua sisi segitiga dan sudut tertentu α yang terletak di antara mereka diketahui, maka panjang median segitiga itu, diturunkan ke sisi ketiga, akan dinyatakan seperti berikut.

Sifat asas

• Semua median mempunyai satu titik sepunya persilangan O dan dibahagikan dengannya dalam nisbah dua kepada satu, jika dikira dari bucu. Titik ini dipanggil pusat graviti segitiga.
• Median membahagikan segitiga kepada dua yang lain yang luasnya sama. Segitiga sedemikian dipanggil sama-luas.
• Jika anda melukis semua median, segitiga akan dibahagikan kepada 6 angka yang sama, yang juga akan menjadi segi tiga.
• Jika ketiga-tiga sisi segitiga adalah sama, maka setiap median juga akan menjadi ketinggian dan pembahagi dua, iaitu, berserenjang dengan sisi yang dilukis, dan membahagikan sudut dari mana ia timbul.
• Dalam segi tiga sama kaki, median yang diambil dari bucu yang bertentangan dengan sisi yang tidak sama dengan yang lain juga akan menjadi ketinggian dan pembahagi dua. Median yang dijatuhkan dari bucu lain adalah sama. Ini juga perlu dan keadaan yang mencukupi sama kaki.
• Jika segitiga ialah tapak piramid sekata, maka ketinggian yang diturunkan ke tapak ini diunjurkan ke titik persilangan semua median.

• Dalam segi tiga tepat, median yang dilukis ke sisi terpanjang adalah sama dengan separuh panjangnya.
• Biarkan O ialah titik persilangan bagi median segitiga itu. Formula di bawah adalah benar untuk mana-mana titik M.

• Median bagi segi tiga mempunyai sifat lain. Formula untuk segi empat sama panjangnya melalui segi empat sama sisi dibentangkan di bawah.

Sifat sisi yang median dilukis

• Jika anda menyambungkan mana-mana dua titik persilangan median dengan sisi di mana ia dijatuhkan, maka segmen yang terhasil akan menjadi garis tengah segitiga dan menjadi satu separuh daripada sisi segitiga yang tidak mempunyai titik sepunya.
• Pangkalan ketinggian dan median dalam segitiga, serta titik tengah segmen yang menghubungkan bucu segitiga dengan titik persilangan ketinggian, terletak pada bulatan yang sama.

Kesimpulannya, adalah logik untuk mengatakan bahawa salah satu segmen yang paling penting ialah median segitiga. Formulanya boleh digunakan untuk mencari panjang sisi yang lain.

Tahap pertama

Median. Panduan visual (2019)

1. Apakah median?

Ia sangat mudah!

Ambil segitiga:

Tandakan bahagian tengah pada salah satu sisinya.

Dan sambung ke puncak bertentangan!

Barisan yang terhasil dan terdapat median.

2. Sifat median.

Apa sifat yang baik adakah median mempunyai?

1) Mari kita bayangkan bahawa segitiga itu segi empat tepat. Ada perkara seperti itu, bukan?

Kenapa??? Apakah kaitan sudut tegak dengannya?

Mari lihat dengan teliti. Bukan segi tiga, tetapi... segi empat tepat. Kenapa awak tanya?

Tetapi anda berjalan di atas Bumi - adakah anda melihat bahawa ia adalah bulat? Tidak, sudah tentu, untuk melakukan ini, anda perlu melihat Bumi dari angkasa. Oleh itu, kita melihat segitiga kanan kita "dari ruang".

Mari kita lukis pepenjuru:

Adakah anda ingat bahawa pepenjuru segi empat tepat sama rata Dan kongsi titik persimpangan separuh? (Jika anda tidak ingat, lihat topik)

Ini bermakna separuh daripada pepenjuru kedua adalah milik kita median. Diagonal adalah sama, dan separuhnya, tentu saja, juga. Itu yang kita akan dapat

Kami tidak akan membuktikan kenyataan ini, tetapi untuk mempercayainya, fikirkan sendiri: adakah terdapat segi empat selari lain dengan pepenjuru yang sama selain daripada segi empat tepat? Sudah tentu tidak! Ini bermakna median boleh sama dengan separuh sisi sahaja dalam segi tiga tegak.

Mari lihat bagaimana harta ini membantu menyelesaikan masalah.

di sini, tugasan:
Ke sisi; . Dilukis dari atas median. Cari jika.

Hooray! Anda boleh menggunakan teorem Pythagoras! Lihat betapa hebatnya ia? Jika kita tidak tahu itu median sama dengan separuh sisi

Kami menggunakan teorem Pythagoras:

2) Dan sekarang marilah kita tidak mempunyai satu, tetapi keseluruhan tiga median! Bagaimana mereka berkelakuan?

Ingat sangat fakta penting:

Sukar? Tengok gambar:

Median dan bersilang pada satu titik.

Dan….(kami buktikan ini, tetapi buat masa ini Ingat!):

• - dua kali lebih banyak daripada;
• - dua kali lebih banyak daripada;
• - dua kali ganda daripada.

Dah penat ke belum? Adakah anda cukup kuat untuk contoh seterusnya? Sekarang kami akan menggunakan semua yang kami bincangkan!

Tugasan: Dalam segi tiga, median dan dilukis, yang bersilang pada satu titik. Cari jika

Mari kita cari menggunakan teorem Pythagoras:

Sekarang mari kita gunakan pengetahuan tentang titik persilangan median.

Mari kita takrifkannya. Segmen, a. Jika semuanya tidak jelas, lihat gambar.

Kami telah pun menemuinya.

Bermaksud, ; .

Dalam masalah kita ditanya tentang segmen.

Dalam notasi kami.

Jawab: .

Suka? Sekarang cuba gunakan pengetahuan anda tentang median sendiri!

MEDIAN. TAHAP PURATA

1. Median membahagikan sisi kepada dua.

Itu sahaja? Atau mungkin dia membahagikan sesuatu yang lain kepada separuh? Bayangkan itu!

2. Teorem: Median membahagikan luas kepada separuh.

kenapa? Mari kita ingat paling banyak bentuk mudah luas segi tiga.

Dan kami menggunakan formula ini dua kali!

Lihat, median dibahagikan kepada dua segi tiga: dan. Tetapi! Mereka mempunyai ketinggian yang sama - ! Hanya pada ketinggian ini ia jatuh ke tepi, dan pada - di sebelah sambungan. Yang menghairankan, ini juga berlaku: segi tiga berbeza, tetapi ketinggiannya sama. Dan sekarang kita akan menggunakan formula dua kali.

Apakah maksud ini? Tengok gambar. Sebenarnya, terdapat dua pernyataan dalam teorem ini. Adakah anda perasan ini?

Kenyataan pertama: median bersilang pada satu titik.

Pernyataan kedua: Titik persilangan median dibahagikan dalam nisbah, mengira dari bucu.

Mari kita cuba membongkar rahsia teorem ini:

Mari kita sambungkan titik dan. Apa yang berlaku?

Sekarang mari kita lukis satu lagi garis tengah: tandakan tengah - letakkan titik, tandakan tengah - letakkan titik.

Sekarang - garis tengah. Itu dia

1. selari;

Perasan apa-apa kebetulan? Kedua-duanya dan selari. Dan, dan.

Apa yang berikut daripada ini?

1. selari;

Sudah tentu, hanya untuk segi empat selari!

Ini bermakna ia adalah segi empat selari. Jadi apa? Mari kita ingat sifat segi empat selari. Sebagai contoh, apakah yang anda tahu tentang pepenjuru segi empat selari? Betul, mereka dibahagikan kepada separuh oleh titik persimpangan.

Mari lihat lukisan itu semula.

Iaitu, median dibahagikan dengan titik kepada tiga bahagian yang sama. Dan betul-betul sama.

Ini bermakna kedua-dua median dipisahkan oleh satu titik dalam nisbah, iaitu, dan.

Apakah yang akan berlaku kepada median ketiga? Mari kita kembali ke permulaan. Oh Tuhan?! Tidak, kini semuanya akan menjadi lebih pendek. Mari kita buang median dan lakukan median dan.

Sekarang bayangkan bahawa kita telah menjalankan penaakulan yang sama seperti untuk median dan. Selepas itu, apa?

Ternyata median akan membahagikan median dengan cara yang sama: dalam nisbah, mengira dari titik.

Tetapi berapa banyak mata yang boleh terdapat pada segmen yang membahagikannya dalam nisbah, mengira dari titik?

Sudah tentu, hanya satu! Dan kita telah pun melihatnya - itulah hakikatnya.

Apa yang berlaku akhirnya?

Median pasti berjaya! Ketiga-tiga median melaluinya. Dan semua orang berpecah dalam sikap, mengira dari atas.

Jadi kami menyelesaikan (membuktikan) teorem. Penyelesaiannya ternyata adalah segi empat selari yang duduk di dalam segitiga.

4. Formula untuk panjang median

Bagaimana untuk mencari panjang median jika sisi diketahui? Adakah anda pasti anda memerlukan ini? Jom buka rahsia yang dahsyat: Formula ini tidak begitu berguna. Tetapi tetap, kami akan menulisnya, tetapi kami tidak akan membuktikannya (jika anda berminat dengan bukti, lihat peringkat seterusnya).

Bagaimanakah kita boleh memahami mengapa ini berlaku?

Mari lihat dengan teliti. Bukan segi tiga, tetapi segi empat tepat.

Jadi mari kita pertimbangkan segi empat tepat.

Adakah anda perasan bahawa segi tiga kita betul-betul separuh daripada segi empat tepat ini?

Mari kita lukis pepenjuru

Adakah anda masih ingat bahawa pepenjuru bagi segi empat tepat adalah sama dan membahagi dua titik persilangan? (Jika anda tidak ingat, lihat topik)
Tetapi salah satu pepenjuru ialah hipotenus kita! Ini bermakna titik persilangan pepenjuru ialah tengah hipotenus. Ia dipanggil milik kita.

Ini bermakna separuh daripada pepenjuru kedua ialah median kita. Diagonal adalah sama, dan separuhnya, tentu saja, juga. Itu yang kita akan dapat

Lebih-lebih lagi, ini hanya berlaku dalam segi tiga tepat!

Kami tidak akan membuktikan kenyataan ini, tetapi untuk mempercayainya, fikirkan sendiri: adakah terdapat segi empat selari lain dengan pepenjuru yang sama, kecuali segi empat tepat? Sudah tentu tidak! Ini bermakna median boleh sama dengan separuh sisi sahaja dalam segi tiga tegak. Mari lihat bagaimana harta ini membantu menyelesaikan masalah.

Inilah tugasnya:

Ke sisi; . Median diambil dari bucu. Cari jika.

Hooray! Anda boleh menggunakan teorem Pythagoras! Lihat betapa hebatnya ia? Jika kita tidak tahu bahawa median adalah separuh sisi hanya dalam segi tiga tepat, tidak mungkin kita dapat menyelesaikan masalah ini. Dan sekarang kita boleh!

Kami menggunakan teorem Pythagoras:

MEDIAN. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

1. Median membahagikan sisi kepada dua.

2. Teorem: median membahagikan luas kepada separuh

4. Formula untuk panjang median

Teorem Converse: jika median adalah sama dengan separuh sisi, maka segitiga itu bersudut tegak dan median ini dilukis ke hipotenus.

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...

Untuk apa?

Untuk berjaya disiapkan Peperiksaan Negeri Bersatu, untuk kemasukan ke kolej mengikut bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.

Anda perlu menyelesaikan masalah melawan masa.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan mempunyai masa.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini - 299 gosok.
2. Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - 999 gosok.

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Dalam kes kedua kami akan memberi anda simulator "6000 masalah dengan penyelesaian dan jawapan, untuk setiap topik, pada semua peringkat kerumitan." Ia pasti akan mencukupi untuk menyelesaikan masalah pada mana-mana topik.

Malah, ini lebih daripada sekadar simulator - keseluruhan program latihan. Jika perlu, anda juga boleh menggunakannya secara PERCUMA.

Akses kepada semua teks dan program disediakan untuk KESELURUHAN tempoh kewujudan tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.

"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Segitiga ialah poligon dengan tiga sisi, atau garis putus tertutup dengan tiga pautan, atau rajah yang dibentuk oleh tiga segmen yang menghubungkan tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama (lihat Rajah 1).

Elemen penting segi tiga abc

Puncak – mata A, B, dan C;

parti – segmen a = BC, b = AC dan c = AB menghubungkan bucu;

Sudut – α, β, γ dibentuk oleh tiga pasang sisi. Sudut selalunya ditetapkan dengan cara yang sama seperti bucu, dengan huruf A, B dan C.

Sudut yang dibentuk oleh sisi segi tiga dan terletak di kawasan pedalamannya dipanggil sudut pedalaman, dan sudut yang bersebelahan dengannya ialah sudut bersebelahan segitiga itu (2, ms 534).

Ketinggian, median, pembahagi dua dan garis tengah segitiga

Sebagai tambahan kepada elemen utama dalam segitiga, segmen lain dengan sifat menarik juga dipertimbangkan: ketinggian, median, pembahagi dua dan garis tengah.

Ketinggian

Ketinggian segi tiga- ini adalah serenjang yang dijatuhkan dari bucu segitiga ke sisi bertentangan.

Untuk merancang ketinggian, anda mesti melakukan langkah berikut:

1) lukis garis lurus yang mengandungi salah satu sisi segitiga (jika ketinggian dilukis dari bucu sudut akut dalam segi tiga tumpul);

2) dari bucu yang terletak bertentangan dengan garis yang dilukis, lukiskan segmen dari titik ke garis ini, buat sudut 90 darjah dengannya.

Titik di mana ketinggian bersilang dengan sisi segi tiga dipanggil asas ketinggian (lihat Rajah 2).

Sifat ketinggian segi tiga

Dalam segi tiga tepat, ketinggian yang dilukis dari bucu sudut tepat membelahnya kepada dua segi tiga sama dengan segi tiga asal.

Dalam segi tiga akut, dua ketinggiannya memotong segi tiga yang serupa daripadanya.

Jika segi tiga itu akut, maka semua tapak ketinggian tergolong dalam sisi segi tiga, dan dalam segi tiga tumpul, dua ketinggian jatuh pada kesinambungan sisi.

Tiga ketinggian dalam segi tiga akut bersilang pada satu titik dan titik ini dipanggil pusat ortopusat segi tiga.

Median

Median(dari Latin mediana – “tengah”) - ini adalah segmen yang menghubungkan bucu segitiga dengan titik tengah sisi bertentangan (lihat Rajah 3).

Untuk membina median, anda mesti melakukan langkah-langkah berikut:

1) cari bahagian tengah sisi;

2) sambungkan titik yang merupakan bahagian tengah sisi segi tiga dengan bucu bertentangan dengan ruas.

Sifat median segi tiga

Median membahagikan segitiga kepada dua segi tiga yang sama luas.

Median segi tiga bersilang pada satu titik, yang membahagikan setiap satu daripadanya dalam nisbah 2:1, mengira dari puncak. Titik ini dipanggil Pusat graviti segi tiga.

Keseluruhan segitiga dibahagikan dengan mediannya kepada enam segi tiga sama.

Pembelah dua

Pembelah dua(dari bahasa Latin bis - dua kali dan seko - potong) ialah segmen garis lurus yang disertakan di dalam segitiga yang membelah dua sudutnya (lihat Rajah 4).

Untuk membina pembahagi dua, anda mesti melakukan langkah berikut:

1) membina sinar yang keluar dari bucu sudut dan membahagikannya kepada dua bahagian yang sama (pembahagi dua sudut);

2) cari titik persilangan pembahagi dua sudut segi tiga dengan sisi bertentangan;

3) pilih segmen yang menghubungkan puncak segi tiga dengan titik persilangan di sebelah bertentangan.

Sifat pembahagi dua segi tiga

Pembahagi bagi sudut segi tiga membahagi sisi bertentangan dalam nisbah yang sama dengan nisbah dua sisi yang bersebelahan.

Pembelah dua bagi sudut pedalaman segitiga bersilang pada satu titik. Titik ini dipanggil pusat bulatan bertulis.

Pembelah dua bagi sudut dalam dan luar adalah berserenjang.

Jika pembahagi dua sudut luar segi tiga memotong sambungan sisi bertentangan, maka ADBD=ACBC.

Bisektor satu dalaman dan dua sudut luar segi tiga bersilang pada satu titik. Titik ini ialah pusat salah satu daripada tiga lingkaran segi tiga ini.

Tapak pembahagi dua sudut dalam dan satu sudut luar segitiga terletak pada garis lurus yang sama jika pembahagi dua sudut luar itu tidak selari dengan sisi bertentangan segi tiga itu.

Jika pembahagi dua sudut luar segitiga tidak selari dengan sisi bertentangan, maka tapaknya terletak pada garis lurus yang sama.

1. Median membahagikan segitiga kepada dua segi tiga yang sama luas.

2. Median segi tiga bersilang pada satu titik, yang membahagi setiap satu daripadanya dalam nisbah 2:1, mengira dari bucu. Titik ini dipanggil Pusat graviti segi tiga.

3. Keseluruhan segitiga dibahagikan dengan mediannya kepada enam segi tiga sama.

Sifat pembahagi dua segi tiga

1. Pembahagi bagi suatu sudut ialah lokus titik yang sama jarak dari sisi sudut ini.

2. Pembelah dua sudut dalaman segi tiga membahagi sisi bertentangan kepada segmen yang berkadar dengan sisi bersebelahan: .

3. Titik persilangan pembahagi dua segi tiga ialah pusat bulatan yang tertulis dalam segi tiga ini.

Sifat ketinggian segi tiga

1. Dalam segi tiga tegak, altitud yang dilukis dari bucu sudut tepat membahagikannya kepada dua segi tiga sama dengan yang asal.

2. Dalam segi tiga akut, dua ketinggiannya memotong ketinggian yang serupa daripadanya segi tiga.

Sifat pembahagi dua serenjang bagi segi tiga

1. Setiap titik pembahagi dua serenjang dengan segmen adalah sama jarak dari hujung segmen ini. Sebaliknya juga benar: setiap titik yang sama jarak dari hujung segmen terletak pada pembahagi dua serenjang dengannya.

2. Titik persilangan pembahagi dua serenjang yang dilukis pada sisi segi tiga ialah pusat bulatan yang dihadkan pada segi tiga ini.

Sifat garis tengah segitiga

Garis tengah segitiga adalah selari dengan salah satu sisinya dan sama dengan separuh sisi itu.

Persamaan segi tiga

Dua segi tiga serupa jika salah satu daripada syarat berikut, dipanggil tanda persamaan:

· dua sudut satu segi tiga sama dengan dua sudut segitiga yang lain;

· dua sisi satu segi tiga adalah berkadar dengan dua sisi segitiga yang lain, dan sudut yang dibentuk oleh sisi ini adalah sama;

· tiga sisi satu segi tiga masing-masing berkadar dengan tiga sisi segitiga yang lain.

Dalam segi tiga yang serupa, garisan yang sepadan (ketinggian, median, pembahagi dua, dll.) adalah berkadar.

Teorem sinus

Teorem kosinus

a 2= b 2+ c 2- 2bc cos

Rumus luas segi tiga

1. Segitiga Percuma

a, b, c - sisi; - sudut antara sisi a Dan b; - separuh perimeter; R- jejari bulatan terhad; r- jejari bulatan bertulis; S- segi empat sama; h a - ketinggian ditarik ke sebelah a.

S = ah a

S = ab dosa

S = pr

2. Segitiga kanan

a, b - kaki; c- hipotenus; h c - ketinggian dilukis ke sisi c.

S = ch c S = ab

3. segi tiga sama sisi

segi empat

Sifat segi empat selari

· sisi bertentangan adalah sama;

· sudut bertentangan adalah sama;

· pepenjuru dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan;

· jumlah sudut yang bersebelahan dengan satu sisi ialah 180°;

Jumlah kuasa dua pepenjuru adalah sama dengan jumlah kuasa dua semua sisi:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Sisi empat ialah segi empat selari jika:

1. Dua sisi bertentangannya adalah sama dan selari.

2. Sisi bertentangan berpasangan sama.

3. Sudut bertentangan adalah sama berpasangan.

4. pepenjuru dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan.

Sifat trapezoid

· garis tengahnya selari dengan tapak dan sama dengan separuh jumlahnya;

· jika trapezoid adalah sama kaki, maka pepenjurunya adalah sama dan sudut di tapak adalah sama;

· jika trapezoid adalah isosceles, maka bulatan boleh diterangkan di sekelilingnya;

· jika jumlah tapak adalah sama dengan jumlah sisi, maka bulatan boleh ditulis di dalamnya.

Sifat Segiempat

pepenjuru adalah sama.

Jajaran selari ialah segi empat tepat jika:

1. Salah satu sudutnya lurus.

2. pepenjurunya adalah sama.

Sifat-sifat rombus

· semua sifat segi empat selari;

Diagonal adalah berserenjang;

Diagonal ialah pembahagi dua sudutnya.

1. Jajaran selari ialah rombus jika:

2. Dua sisi yang bersebelahan adalah sama.

3. pepenjurunya berserenjang.

4. Salah satu pepenjuru ialah pembahagi dua sudutnya.

Sifat segi empat sama

· semua penjuru petak adalah betul;

· pepenjuru segi empat sama adalah sama, saling berserenjang, titik persilangan membahagi dua dan membelah bucu segi empat sama.

Segi empat tepat ialah segi empat sama jika ia mempunyai ciri-ciri belah ketupat.

Formula asas

1. Sebarang segi empat cembung
d 1,d 2 - pepenjuru; - sudut di antara mereka; S- segi empat sama.

S = d 1 d 2 dosa