Terokai fungsi dan bina graf skematiknya. Contoh kajian fungsi lengkap dalam talian

Arahan

Cari domain bagi fungsi tersebut. Sebagai contoh, fungsi sin(x) ditakrifkan sepanjang keseluruhan selang dari -∞ hingga +∞, dan fungsi 1/x ditakrifkan daripada -∞ hingga +∞, kecuali untuk titik x = 0.

Kenal pasti kawasan kesinambungan dan titik ketakselanjaran. Biasanya fungsi adalah berterusan di rantau yang sama di mana ia ditakrifkan. Untuk mengesan ketakselanjaran, seseorang mesti mengira apabila hujah menghampiri titik terpencil dalam domain definisi. Sebagai contoh, fungsi 1/x cenderung kepada infiniti apabila x→0+, dan tolak infiniti apabila x→0-. Ini bermakna pada titik x = 0 ia mempunyai ketakselanjaran jenis kedua.
Jika had pada titik ketakselanjaran adalah terhingga, tetapi tidak sama, maka ini adalah ketakselanjaran jenis pertama. Jika ia adalah sama, maka fungsi itu dianggap berterusan, walaupun ia tidak ditakrifkan pada titik terpencil.

Cari asimtot menegak, jika ada. Pengiraan dari langkah sebelumnya akan membantu anda di sini, kerana asimtot menegak hampir selalu terletak pada titik ketakselanjaran jenis kedua. Walau bagaimanapun, kadangkala bukan titik individu yang dikecualikan daripada domain definisi, tetapi keseluruhan selang titik, dan kemudian asimtot menegak boleh terletak di tepi selang ini.

Semak sama ada fungsi mempunyai sifat khas: genap, ganjil dan berkala.
Fungsi ini akan menjadi walaupun untuk mana-mana x dalam domain f(x) = f(-x). Contohnya, cos(x) dan x^2 - malah berfungsi.

Kekalaan ialah sifat yang mengatakan bahawa terdapat nombor T tertentu, dipanggil tempoh, yang bagi mana-mana x f(x) = f(x + T). Sebagai contoh, semua yang utama fungsi trigonometri(sinus, kosinus, tangen) - berkala.

Cari mata. Untuk melakukan ini, hitung derivatif fungsi yang diberikan dan cari nilai x tersebut di mana ia menjadi sifar. Sebagai contoh, fungsi f(x) = x^3 + 9x^2 -15 mempunyai terbitan g(x) = 3x^2 + 18x, yang lenyap pada x = 0 dan x = -6.

Untuk menentukan titik ekstrem mana yang maksima dan yang mana minima, jejaki perubahan dalam tanda terbitan pada sifar yang ditemui. g(x) menukar tanda daripada tambah pada titik x = -6, dan pada titik x = 0 kembali daripada tolak kepada tambah. Akibatnya, fungsi f(x) mempunyai minimum pada titik pertama dan minimum pada titik kedua.

Oleh itu, anda juga telah menemui kawasan monotonisitas: f(x) meningkat secara monoton pada selang -∞;-6, menurun secara monoton pada -6;0 dan meningkat semula pada 0;+∞.

Cari terbitan kedua. Akarnya akan menunjukkan di mana graf fungsi yang diberikan akan menjadi cembung dan di mana ia akan menjadi cekung. Sebagai contoh, terbitan kedua bagi fungsi f(x) ialah h(x) = 6x + 18. Ia pergi ke sifar pada x = -3, menukar tanda dari tolak kepada tambah. Akibatnya, graf f(x) sebelum titik ini akan menjadi cembung, selepasnya - cekung, dan titik ini sendiri akan menjadi titik infleksi.

Sesuatu fungsi mungkin mempunyai asimtot lain selain yang menegak, tetapi hanya jika domain definisinya termasuk . Untuk mencarinya, hitung had bagi f(x) apabila x→∞ atau x→-∞. Jika ia adalah terhingga, maka anda telah menemui asimtot mendatar.

Asimtot oblik ialah garis lurus dalam bentuk kx + b. Untuk mencari k, hitung had f(x)/x sebagai x→∞. Untuk mencari b - had (f(x) – kx) bagi x→∞ yang sama.

Untuk mengkaji sepenuhnya fungsi dan memplot grafnya, disyorkan untuk menggunakan skema berikut:

1) cari domain takrifan fungsi;

2) cari titik ketakselanjaran fungsi dan asimtot menegak (jika wujud);

3) menyiasat kelakuan fungsi pada infiniti, cari asimtot mendatar dan serong;

4) memeriksa fungsi untuk pariti (keanehan) dan periodicity (untuk fungsi trigonometri);

5) cari keterlaluan dan selang kemonotonan fungsi;

6) tentukan selang kecembungan dan titik infleksi;

7) cari titik persilangan dengan paksi koordinat, dan, jika boleh, beberapa titik tambahan yang menjelaskan graf.

Kajian fungsi dijalankan serentak dengan pembinaan grafnya.

Contoh 9 Terokai fungsi dan bina graf.

1. Skop definisi: ;

2. Fungsi mengalami ketakselanjaran pada titik
,
;

Kami memeriksa fungsi untuk kehadiran asimtot menegak.

;
,
─ asimtot menegak.

;
,
─ asimtot menegak.

3. Kami memeriksa fungsi untuk kehadiran asimtot serong dan mendatar.

Lurus
─ asimtot serong, jika
,
.

,
.

Lurus
─ asimtot mendatar.

4. Fungsinya genap kerana
. Pariti fungsi menunjukkan simetri graf berbanding paksi ordinat.

5. Cari selang monotonicity dan extrema bagi fungsi tersebut.

Mari cari titik kritikal, i.e. titik di mana terbitan adalah 0 atau tidak wujud:
;
. Kami mempunyai tiga mata
;

. Titik ini membahagikan keseluruhan paksi sebenar kepada empat selang. Mari kita tentukan tanda-tandanya pada setiap daripada mereka.

Pada selang (-∞; -1) dan (-1; 0) fungsi bertambah, pada selang (0; 1) dan (1; +∞) ─ ia berkurang. Apabila melalui sesuatu titik
tanda perubahan terbitan daripada tambah kepada tolak, oleh itu, pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum
.

6. Cari selang titik cembung dan titik lengkuk.

Mari cari titik di mana ialah 0, atau tidak wujud.

tidak mempunyai akar sebenar.
,
,

mata
Dan
bahagikan paksi sebenar kepada tiga selang. Mari kita tentukan tanda itu pada setiap selang waktu.

Oleh itu, lengkung pada selang
Dan
cembung ke bawah, pada selang (-1;1) cembung ke atas; tiada titik infleksi, kerana fungsinya adalah pada titik
Dan
tidak ditentukan.

7. Cari titik persilangan dengan paksi.

Dengan gandar
graf fungsi bersilang pada titik (0; -1), dan dengan paksi
graf tidak bersilang, kerana pengangka bagi fungsi ini tidak mempunyai punca sebenar.

Graf bagi fungsi yang diberikan ditunjukkan dalam Rajah 1.

Rajah 1 ─ Graf fungsi

Aplikasi konsep terbitan dalam ekonomi. Fungsi keanjalan

Untuk mengkaji proses ekonomi dan menyelesaikan masalah gunaan lain, konsep keanjalan fungsi sering digunakan.

Definisi. Fungsi keanjalan
dipanggil had nisbah kenaikan relatif fungsi kepada kenaikan relatif pembolehubah di
, . (VII)

Keanjalan fungsi menunjukkan kira-kira berapa peratus fungsi itu akan berubah
apabila pembolehubah bebas berubah sebanyak 1%.

Fungsi keanjalan digunakan dalam analisis permintaan dan penggunaan. Jika keanjalan permintaan (dalam nilai mutlak)
, maka permintaan dianggap anjal jika
─ neutral jika
─ tidak anjal berbanding harga (atau pendapatan).

Contoh 10 Kira keanjalan fungsi itu
dan cari nilai indeks keanjalan bagi = 3.

Penyelesaian: mengikut formula (VII), keanjalan fungsi ialah:

Biarkan x=3, kemudian
.Ini bermakna jika pembolehubah bebas meningkat sebanyak 1%, maka nilai pembolehubah bersandar akan meningkat sebanyak 1.42%.

Contoh 11 Biarkan permintaan berfungsi berkenaan harga kelihatan seperti
, Di mana ─ pekali malar. Cari nilai penunjuk keanjalan fungsi permintaan pada harga x = 3 den. unit

Penyelesaian: hitung keanjalan fungsi permintaan menggunakan formula (VII)

Percaya
unit kewangan, kita dapat
. Ini bermakna bahawa pada harga
unit kewangan kenaikan 1% dalam harga akan menyebabkan penurunan 6% dalam permintaan, i.e. permintaan adalah anjal.

Jika masalah memerlukan kajian lengkap tentang fungsi f (x) = x 2 4 x 2 - 1 dengan pembinaan grafnya, maka kita akan mempertimbangkan prinsip ini secara terperinci.

Untuk menyelesaikan masalah jenis ini, anda harus menggunakan sifat dan graf utama fungsi asas. Algoritma penyelidikan merangkumi langkah-langkah berikut:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mencari domain definisi

Oleh kerana penyelidikan dijalankan ke atas domain takrifan fungsi, adalah perlu untuk bermula dengan langkah ini.

Contoh 1

Contoh yang diberikan melibatkan mencari sifar penyebut untuk mengecualikan mereka daripada ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Akibatnya, anda boleh mendapatkan akar, logaritma, dan sebagainya. Kemudian ODZ boleh dicari punca darjah genap jenis g (x) 4 dengan ketaksamaan g (x) ≥ 0, untuk logaritma log a g (x) dengan ketaksamaan g (x) > 0.

Mengkaji sempadan ODZ dan mencari asimtot menegak

Terdapat asimtot menegak pada sempadan fungsi, apabila had sebelah pada titik tersebut adalah tidak terhingga.

Contoh 2

Sebagai contoh, pertimbangkan titik sempadan sama dengan x = ± 1 2.

Maka adalah perlu untuk mengkaji fungsi untuk mencari had sebelah. Kemudian kita dapati bahawa: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ini menunjukkan bahawa had sebelah adalah tak terhingga, yang bermaksud garis lurus x = ± 1 2 ialah asimtot menegak graf.

Kajian tentang fungsi dan sama ada ia genap atau ganjil

Apabila keadaan y (- x) = y (x) dipenuhi, fungsi itu dianggap genap. Ini menunjukkan bahawa graf terletak secara simetri berkenaan dengan Oy. Apabila keadaan y (- x) = - y (x) dipenuhi, fungsi tersebut dianggap ganjil. Ini bermakna bahawa simetri adalah relatif kepada asal koordinat. Jika sekurang-kurangnya satu ketaksamaan tidak dipenuhi, kita memperoleh fungsi bentuk am.

Kesamaan y (- x) = y (x) menunjukkan bahawa fungsi itu genap. Apabila membina, adalah perlu untuk mengambil kira bahawa akan ada simetri berkenaan dengan Oy.

Untuk menyelesaikan ketaksamaan, selang peningkatan dan penurunan digunakan dengan keadaan f " (x) ≥ 0 dan f " (x) ≤ 0, masing-masing.

Definisi 1

Titik pegun- ini adalah titik yang menjadikan terbitan kepada sifar.

Mata kritikal- ini adalah titik dalaman dari domain definisi di mana terbitan fungsi adalah sama dengan sifar atau tidak wujud.

Apabila membuat keputusan, nota berikut mesti diambil kira:

• untuk selang ketaksamaan bertambah dan berkurangan sedia ada dalam bentuk f " (x) > 0, titik kritikal tidak termasuk dalam penyelesaian;
• titik di mana fungsi ditakrifkan tanpa terbitan terhingga mesti dimasukkan dalam selang peningkatan dan penurunan (contohnya, y = x 3, di mana titik x = 0 menjadikan fungsi ditakrifkan, terbitan mempunyai nilai infiniti pada ini. titik, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 termasuk dalam selang yang semakin meningkat);
• Untuk mengelakkan perselisihan faham, adalah disyorkan untuk menggunakan kesusasteraan matematik yang disyorkan oleh Kementerian Pendidikan.

Kemasukan titik kritikal dalam selang peningkatan dan penurunan jika ia memenuhi domain definisi fungsi.

Definisi 2

Untuk menentukan selang kenaikan dan penurunan fungsi, adalah perlu untuk mencari:

• terbitan;
• titik kritikal;
• bahagikan domain definisi kepada selang menggunakan titik kritikal;
• tentukan tanda terbitan pada setiap selang, di mana + ialah peningkatan dan - ialah penurunan.

Contoh 3

Cari terbitan pada domain takrifan f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Penyelesaian

Untuk menyelesaikannya anda perlu:

• cari titik pegun, contoh ini mempunyai x = 0;
• cari sifar penyebutnya, contoh mengambil nilai sifar pada x = ± 1 2.

Kami meletakkan titik pada paksi nombor untuk menentukan terbitan pada setiap selang. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mengambil sebarang titik dari selang dan melakukan pengiraan. Jika hasilnya positif, kami menggambarkan + pada graf, yang bermaksud fungsi semakin meningkat, dan - bermakna ia semakin berkurangan.

Sebagai contoh, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, yang bermaksud bahawa selang pertama di sebelah kiri mempunyai tanda +. Pertimbangkan pada garis nombor.

Jawapan:

• fungsi meningkat pada selang - ∞; - 1 2 dan (- 1 2 ; 0 ] ;
• terdapat penurunan dalam selang [0; 1 2) dan 1 2 ; + ∞ .

Dalam rajah, menggunakan + dan -, kepositifan dan negatif fungsi digambarkan, dan anak panah menunjukkan penurunan dan peningkatan.

Titik ekstrem fungsi ialah titik di mana fungsi itu ditakrifkan dan melaluinya tanda perubahan terbitan.

Contoh 4

Jika kita mempertimbangkan contoh di mana x = 0, maka nilai fungsi di dalamnya adalah sama dengan f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Apabila tanda derivatif berubah dari + ke - dan melalui titik x = 0, maka titik dengan koordinat (0; 0) dianggap sebagai titik maksimum. Apabila tanda berubah dari - kepada +, kami memperoleh titik minimum.

Kecembungan dan kelenturan ditentukan dengan menyelesaikan ketaksamaan dalam bentuk f "" (x) ≥ 0 dan f "" (x) ≤ 0. Kurang biasa digunakan ialah nama convexity down bukannya concavity, dan convexity upward bukan convexity.

Definisi 3

Untuk menentukan selang lekuk dan cembung perlu:

• cari terbitan kedua;
• cari sifar bagi fungsi terbitan kedua;
• bahagikan kawasan definisi kepada selang dengan titik yang muncul;
• tentukan tanda selang.

Contoh 5

Cari terbitan kedua daripada domain definisi.

Penyelesaian

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Kita dapati sifar pengangka dan penyebut, di mana dalam contoh kita ada sifar penyebut x = ± 1 2

Sekarang anda perlu memplot titik pada garis nombor dan menentukan tanda terbitan kedua dari setiap selang. Kami dapat itu

Jawapan:

• fungsinya adalah cembung daripada selang - 1 2 ; 12 ;
• fungsinya adalah cekung daripada selang - ∞ ; - 1 2 dan 1 2; + ∞ .

Definisi 4

Titik infleksi– ini ialah titik dalam bentuk x 0 ; f (x 0) . Apabila ia mempunyai tangen kepada graf fungsi, maka apabila ia melalui x 0 fungsi bertukar tanda kepada sebaliknya.

Dalam erti kata lain, ini adalah titik di mana terbitan kedua melepasi dan menukar tanda, dan pada titik itu sendiri ia sama dengan sifar atau tidak wujud. Semua titik dianggap sebagai domain fungsi.

Dalam contoh, adalah jelas bahawa tiada titik infleksi, kerana derivatif kedua berubah tanda semasa melalui titik x = ± 1 2. Mereka, sebaliknya, tidak termasuk dalam skop definisi.

Mencari asimtot mendatar dan serong

Apabila mentakrifkan fungsi pada infiniti, anda perlu mencari asimtot mendatar dan serong.

Definisi 5

Asimtot serong digambarkan menggunakan garis lurus yang diberikan oleh persamaan y = k x + b, di mana k = lim x → ∞ f (x) x dan b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Untuk k = 0 dan b tidak sama dengan infiniti, kita dapati bahawa asimtot serong menjadi mendatar.

Dalam erti kata lain, asimtot dianggap sebagai garis yang graf fungsi menghampiri pada infiniti. Ini memudahkan pembinaan pantas graf fungsi.

Jika tiada asimtot, tetapi fungsi ditakrifkan pada kedua-dua infiniti, adalah perlu untuk mengira had fungsi pada infiniti ini untuk memahami bagaimana graf fungsi akan bertindak.

Contoh 6

Mari kita pertimbangkan sebagai contoh itu

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ialah asimtot mendatar. Selepas memeriksa fungsi, anda boleh mula membinanya.

Mengira nilai fungsi pada titik perantaraan

Untuk menjadikan graf lebih tepat, adalah disyorkan untuk mencari beberapa nilai fungsi pada titik perantaraan.

Contoh 7

Daripada contoh yang kita pertimbangkan, adalah perlu untuk mencari nilai fungsi pada titik x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Oleh kerana fungsinya adalah genap, kita mendapat bahawa nilai-nilai bertepatan dengan nilai-nilai pada titik-titik ini, iaitu, kita mendapat x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Mari kita tulis dan selesaikan:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

Untuk menentukan maksima dan minima fungsi, titik infleksi, dan titik perantaraan, adalah perlu untuk membina asimtot. Untuk penetapan yang mudah, selang peningkatan, penurunan, kecembungan dan lekuk direkodkan. Jom tengok gambar di bawah.

Ia adalah perlu untuk melukis garis graf melalui titik yang ditanda, yang akan membolehkan anda mendekati asimtot dengan mengikuti anak panah.

Ini menyimpulkan penerokaan penuh fungsi. Terdapat kes membina beberapa fungsi asas yang mana transformasi geometri digunakan.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentangnya tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Jalankan kajian lengkap dan graf fungsi

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Skop fungsi. Oleh kerana fungsi itu ialah pecahan, kita perlu mencari sifar penyebutnya.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Kami mengecualikan satu-satunya titik x=1x=1 daripada domain definisi fungsi dan dapatkan:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Mari kita kaji kelakuan fungsi di sekitar titik ketakselanjaran. Mari cari had berat sebelah:

Oleh kerana hadnya adalah sama dengan infiniti, titik x=1x=1 ialah ketakselanjaran jenis kedua, garis lurus x=1x=1 ialah asimtot menegak.

3) Mari kita tentukan titik persilangan graf fungsi dengan paksi koordinat.

Mari kita cari titik persilangan dengan paksi ordinat OyOy, yang mana kita samakan x=0x=0:

Oleh itu, titik persilangan dengan paksi OyOy mempunyai koordinat (0;8)(0;8).

Mari kita cari titik persilangan dengan paksi absis OxOx, yang mana kita tetapkan y=0y=0:

Persamaan tidak mempunyai punca, jadi tiada titik persilangan dengan paksi OxOx.

Ambil perhatian bahawa x2+8>0x2+8>0 untuk mana-mana xx. Oleh itu, untuk x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) fungsi y>0y>0(mengambil nilai-nilai positif, graf berada di atas paksi-x), untuk x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) fungsi y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Fungsi ini bukan genap atau ganjil kerana:

5) Mari kita periksa fungsi untuk berkala. Fungsi ini tidak berkala, kerana ia adalah fungsi rasional pecahan.

6) Mari kita periksa fungsi untuk extrema dan monotonicity. Untuk melakukan ini, kami mencari derivatif pertama fungsi:

Mari kita samakan terbitan pertama kepada sifar dan cari titik pegun (di mana y′=0y′=0):

Kami mendapat tiga titik kritikal: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Mari kita bahagikan keseluruhan domain definisi fungsi kepada selang dengan titik ini dan tentukan tanda terbitan dalam setiap selang:

Untuk x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) terbitan y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Untuk x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) terbitan y′>0y′>0, fungsi bertambah pada selang ini.

Dalam kes ini, x=−2x=−2 ialah titik minimum setempat (fungsi menurun dan kemudian meningkat), x=4x=4 ialah titik maksimum setempat (fungsi meningkat dan kemudian berkurang).

Mari cari nilai fungsi pada titik ini:

Oleh itu, titik minimum ialah (−2;4)(−2;4), titik maksimum ialah (4;−8)(4;−8).

7) Mari kita periksa fungsi untuk kinks dan convexity. Mari kita cari terbitan kedua bagi fungsi tersebut:

Mari kita samakan derivatif kedua kepada sifar:

Persamaan yang terhasil tidak mempunyai punca, jadi tiada titik infleksi. Selain itu, apabila x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 berpuas hati, iaitu, fungsi itu cekung, apabila x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) berpuas hati dengan y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Mari kita periksa kelakuan fungsi pada infiniti, iaitu, pada .

Oleh kerana hadnya tidak terhingga, tiada asimtot mendatar.

Mari cuba tentukan asimtot serong dalam bentuk y=kx+by=kx+b. Kami mengira nilai k,bk,b menggunakan formula yang diketahui:

Kami mendapati bahawa fungsi itu mempunyai satu asimtot serong y=−x−1y=−x−1.

9) Mata tambahan. Mari kita hitung nilai fungsi pada beberapa titik lain untuk membina graf dengan lebih tepat.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Berdasarkan data yang diperoleh, kita akan membina graf, menambahnya dengan asimtot x=1x=1 (biru), y=−x−1y=−x−1 (hijau) dan tandakan titik ciri (persilangan ungu dengan ordinat paksi, ekstrem oren, titik tambahan hitam):

Tugasan 4: Geometri, Masalah ekonomi (Saya tidak tahu apa, berikut adalah anggaran pilihan masalah dengan penyelesaian dan formula)

Contoh 3.23. a

Penyelesaian. x Dan y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Memandangkan x = a/4 ialah satu-satunya titik kritikal, mari kita periksa sama ada tanda derivatif berubah apabila melalui titik ini. Untuk xa/4 S " > 0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Contoh 3.24.

Penyelesaian.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22. Cari ekstrem bagi fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Penyelesaian. Oleh kerana f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), maka titik genting bagi fungsi x 1 = 2 dan x 2 = 3. Extrema hanya boleh berada di titik-titik ini Jadi seperti apabila melalui titik x 1 = 2 derivatif menukar tandanya daripada tambah kepada tolak, maka pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum. Apabila melalui titik x 2 = 3 derivatif menukar tandanya daripada tolak kepada tambah, oleh itu pada titik x 2 = 3 fungsi mempunyai minimum. Setelah mengira nilai fungsi pada titik
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita dapati ekstrema fungsi: maksimum f(2) = 14 dan minimum f(3) = 13.

Contoh 3.23. Ia adalah perlu untuk membina kawasan segi empat tepat berhampiran dinding batu supaya ia dipagari pada tiga sisi dengan dawai, dan sisi keempat bersebelahan dengan dinding. Untuk ini ada a meter linear mesh. Pada nisbah aspek apakah tapak tersebut mempunyai keluasan terbesar?

Penyelesaian. Mari kita nyatakan sisi platform dengan x Dan y. Luas tapak ialah S = xy. biarlah y- ini ialah panjang sisi yang bersebelahan dengan dinding. Kemudian, mengikut syarat, kesamaan 2x + y = mesti dipegang. Oleh itu y = a - 2x dan S = x(a - 2x), di mana
0 ≤ x ≤ a/2 (panjang dan lebar pad tidak boleh negatif). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pada x = a/4, dari mana
y = a - 2×a/4 =a/2. Memandangkan x = a/4 ialah satu-satunya titik kritikal, mari kita periksa sama ada tanda derivatif berubah apabila melalui titik ini. Untuk xa/4 S " > 0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Contoh 3.24. Ia diperlukan untuk mengeluarkan tangki silinder tertutup dengan kapasiti V=16p ≈ 50 m 3 . Apakah dimensi tangki yang sepatutnya (jejari R dan ketinggian H) supaya jumlah bahan yang paling sedikit digunakan untuk pembuatannya?

Penyelesaian. Jumlah luas permukaan silinder ialah S = 2pR(R+H). Kita tahu isipadu silinder V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Ini bermakna S(R) = 2p(R 2 +16/R). Kami mencari terbitan fungsi ini:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 untuk R 3 = 8, oleh itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Maklumat berkaitan.