Berita bintang
Formula kosinus 2 x. Identiti asas trigonometri
Penyelesaian yang paling mudah persamaan trigonometri.
Menyelesaikan persamaan trigonometri bagi sebarang tahap kerumitan akhirnya bermuara kepada penyelesaian persamaan trigonometri yang paling mudah. Dan dalam hal ini bulatan trigonometri sekali lagi ternyata menjadi pembantu terbaik.
Mari kita ingat semula definisi kosinus dan sinus.
Kosinus suatu sudut ialah absis (iaitu koordinat sepanjang paksi) suatu titik pada bulatan unit yang sepadan dengan putaran dengan sudut yang diberi.
Sinus suatu sudut ialah koordinat (iaitu koordinat sepanjang paksi) suatu titik pada bulatan unit yang sepadan dengan putaran melalui sudut tertentu.
Arah positif pergerakan pada bulatan trigonometri adalah lawan jam. Putaran 0 darjah (atau 0 radian) sepadan dengan titik dengan koordinat (1;0)
Kami menggunakan takrifan ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri mudah.
1. Selesaikan persamaan
Persamaan ini dipenuhi dengan semua nilai sudut putaran yang sepadan dengan titik pada bulatan yang ordinatnya sama dengan .
Mari kita tandakan titik dengan ordinat pada paksi ordinat:
Lukis garis mendatar selari dengan paksi-x sehingga ia bersilang dengan bulatan. Kami mendapat dua mata yang terletak pada bulatan dan mempunyai ordinat. Titik ini sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian:
Jika kita, meninggalkan titik yang sepadan dengan sudut putaran per radian, mengelilingi bulatan penuh, maka kita akan tiba pada titik yang sepadan dengan sudut putaran per radian dan mempunyai ordinat yang sama. Iaitu, sudut putaran ini juga memenuhi persamaan kami. Kita boleh membuat seberapa banyak revolusi "terbiar" yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Bilangan pusingan "terbiar" akan dilambangkan dengan huruf (atau). Memandangkan kita boleh membuat revolusi ini dalam kedua-dua arah positif dan negatif, (atau) boleh mengambil sebarang nilai integer.
Iaitu, siri pertama penyelesaian kepada persamaan asal mempunyai bentuk:
, , - set integer (1)
Begitu juga, siri kedua penyelesaian mempunyai bentuk:
, Di mana , . (2)
Seperti yang anda duga, siri penyelesaian ini adalah berdasarkan titik pada bulatan yang sepadan dengan sudut putaran dengan .
Kedua-dua siri penyelesaian ini boleh digabungkan menjadi satu entri:
Jika kita ambil (iaitu, walaupun) dalam entri ini, maka kita akan mendapat penyelesaian siri pertama.
Jika kita ambil (iaitu ganjil) dalam entri ini, maka kita mendapat penyelesaian siri kedua.
2. Sekarang mari kita selesaikan persamaan
Oleh kerana ini adalah absis titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan berputar melalui sudut, kami menandakan titik dengan absis pada paksi:
Lukis garis menegak selari dengan paksi sehingga ia bersilang dengan bulatan. Kami akan mendapat dua mata yang terletak pada bulatan dan mempunyai absis. Titik ini sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian. Ingat bahawa apabila bergerak mengikut arah jam kita mendapat sudut putaran negatif:
Mari kita tulis dua siri penyelesaian:
,
,
(Kita sampai ke titik yang dikehendaki dengan pergi dari bulatan penuh utama, iaitu.
Mari gabungkan dua siri ini menjadi satu entri:
3. Selesaikan persamaan
Garis tangen melalui titik dengan koordinat (1,0) bulatan unit selari dengan paksi OY
Mari kita tandakan titik di atasnya dengan ordinat sama dengan 1 (kita sedang mencari tangen yang sudutnya sama dengan 1):
Mari kita sambungkan titik ini kepada asal koordinat dengan garis lurus dan tandakan titik persilangan garis dengan bulatan unit. Titik persilangan garis lurus dan bulatan sepadan dengan sudut putaran pada dan :
Oleh kerana titik yang sepadan dengan sudut putaran yang memenuhi persamaan kita terletak pada jarak radian antara satu sama lain, kita boleh menulis penyelesaiannya dengan cara ini:
4. Selesaikan persamaan
Garisan kotangen melalui titik dengan koordinat bulatan unit selari dengan paksi.
Mari kita tandakan titik dengan abscissa -1 pada garisan kotangen:
Mari kita sambungkan titik ini dengan asal garis lurus dan teruskan sehingga ia bersilang dengan bulatan. Garis lurus ini akan memotong bulatan pada titik yang sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian:
Oleh kerana titik-titik ini dipisahkan antara satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , kita boleh menulis penyelesaian umum persamaan ini seperti berikut:
Dalam contoh yang diberikan yang menggambarkan penyelesaian persamaan trigonometri termudah, nilai jadual digunakan fungsi trigonometri.
Walau bagaimanapun, jika sebelah kanan persamaan mengandungi nilai bukan jadual, maka kita menggantikan nilai tersebut ke dalam penyelesaian umum persamaan:
PENYELESAIAN KHAS:
Mari kita tandai titik-titik pada bulatan yang ordinatnya ialah 0:
Mari kita tandakan satu titik pada bulatan yang ordinatnya ialah 1:
Mari kita tandakan satu titik pada bulatan yang ordinatnya sama dengan -1:
Oleh kerana kebiasaan untuk menunjukkan nilai yang paling hampir dengan sifar, kami menulis penyelesaiannya seperti berikut:
Mari kita tandai titik-titik pada bulatan yang absisnya sama dengan 0:
5.
Mari kita tandai satu titik pada bulatan yang absisnya sama dengan 1:
Mari kita tandai satu titik pada bulatan yang absisnya sama dengan -1:
Dan contoh yang lebih kompleks:
1.
Sinus adalah sama dengan satu jika hujahnya sama dengan
Hujah sinus kita adalah sama, jadi kita dapat:
Mari bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan 3:
Jawapan:
2.
Kosinus adalah sifar jika hujah kosinus ialah
Hujah kosinus kita adalah sama dengan , jadi kita dapat:
Mari kita nyatakan , untuk melakukan ini kita mula-mula bergerak ke kanan dengan tanda yang bertentangan:
Mari permudahkan bahagian kanan:
Bahagikan kedua-dua belah dengan -2:
Ambil perhatian bahawa tanda di hadapan istilah tidak berubah, kerana k boleh mengambil sebarang nilai integer.
Jawapan:
Dan akhirnya, tonton pelajaran video "Memilih punca dalam persamaan trigonometri menggunakan bulatan trigonometri"
Ini menyimpulkan perbualan kami tentang menyelesaikan persamaan trigonometri mudah. Lain kali kita akan bercakap tentang bagaimana untuk membuat keputusan.
Hubungan antara fungsi trigonometri asas - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan kerana terdapat banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini menerangkan banyaknya formula trigonometri. Sesetengah formula menyambungkan fungsi trigonometri sudut yang sama, yang lain - fungsi sudut berganda, yang lain - membolehkan anda mengurangkan darjah, keempat - menyatakan semua fungsi melalui tangen sudut separuh, dsb.
Dalam artikel ini kami akan menyenaraikan mengikut susunan semua formula trigonometri asas, yang mencukupi untuk menyelesaikan sebahagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan hafalan dan penggunaan, kami akan mengumpulkannya mengikut tujuan dan memasukkannya ke dalam jadual.
Navigasi halaman.
Identiti asas trigonometri
asas identiti trigonometri mentakrifkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, serta konsep bulatan unit. Mereka membenarkan anda untuk menyatakan satu fungsi trigonometri dari segi yang lain.
Untuk penerangan terperinci tentang formula trigonometri ini, terbitan dan contoh penggunaannya, lihat artikel.
Formula pengurangan
Formula pengurangan ikut daripada sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, iaitu, ia mencerminkan sifat berkala fungsi trigonometri, sifat simetri, serta sifat anjakan oleh sudut tertentu. Formula trigonometri ini membolehkan anda beralih daripada bekerja dengan sudut sewenang-wenang kepada bekerja dengan sudut antara sifar hingga 90 darjah.
Rasional untuk formula ini, peraturan mnemonik untuk menghafalnya dan contoh aplikasinya boleh dikaji dalam artikel.
Formula tambahan
Formula penambahan trigonometri tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri hasil tambah atau beza dua sudut dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi sudut tersebut. Rumus ini berfungsi sebagai asas untuk mendapatkan formula trigonometri berikut.
Formula untuk double, triple, dsb. sudut
Formula untuk double, triple, dsb. sudut (ia juga dipanggil formula berbilang sudut) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi dua, tiga, dsb. sudut () dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi satu sudut. Derivasi mereka adalah berdasarkan formula penambahan.
Maklumat yang lebih terperinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dsb. sudut
Formula separuh sudut
Formula separuh sudut tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi separuh sudut dinyatakan dalam sebutan kosinus bagi sudut keseluruhan. Rumus trigonometri ini mengikut daripada rumus sudut berganda.
Kesimpulan dan contoh aplikasi mereka boleh didapati dalam artikel.
Formula pengurangan darjah
Formula trigonometri untuk mengurangkan darjah bertujuan untuk memudahkan peralihan daripada darjah semula jadi fungsi trigonometri kepada sinus dan kosinus hingga darjah pertama, tetapi berbilang sudut. Dalam erti kata lain, ia membolehkan anda mengurangkan kuasa fungsi trigonometri kepada yang pertama.
Formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri
Tujuan utama formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri adalah untuk pergi ke hasil darab fungsi, yang sangat berguna apabila memudahkan ungkapan trigonometri. Formula ini juga digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, kerana ia membolehkan anda memfaktorkan jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus.
Formula untuk hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus
Peralihan daripada hasil darab fungsi trigonometri kepada jumlah atau perbezaan dijalankan menggunakan formula hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus.
Hak cipta oleh pelajar pandai
Hak cipta terpelihara.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tiada bahagian daripada www.site, termasuk bahan dalaman Dan reka bentuk luaran, tidak boleh diterbitkan semula dalam sebarang bentuk atau digunakan tanpa kebenaran bertulis terlebih dahulu daripada pemegang hak cipta.
Konsep sinus (), kosinus (), tangen (), kotangen () berkait rapat dengan konsep sudut. Untuk memahami ini dengan baik, pada pandangan pertama, konsep yang kompleks(yang menyebabkan keadaan seram pada ramai pelajar sekolah), dan untuk memastikan bahawa "syaitan tidak seram seperti yang dilukis," mari kita mulakan dari awal lagi dan fahami konsep sudut.
Konsep sudut: radian, darjah
Jom tengok gambar. Vektor telah "berpusing" relatif kepada titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran putaran ini berbanding dengan kedudukan awal adalah sudut.
Apa lagi yang anda perlu tahu tentang konsep sudut? Sudah tentu, unit sudut!
Sudut, dalam kedua-dua geometri dan trigonometri, boleh diukur dalam darjah dan radian.
Sudut (satu darjah) dipanggil sudut pusat dalam bulatan, berdasarkan lengkok bulat yang sama dengan sebahagian daripada bulatan. Oleh itu, keseluruhan bulatan terdiri daripada "kepingan" lengkok bulat, atau sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama.
Iaitu, rajah di atas menunjukkan sudut yang sama dengan, iaitu, sudut ini terletak pada lengkok bulat sebesar lilitan.
Sudut dalam radian ialah sudut pusat dalam bulatan yang dicangkum oleh lengkok bulat yang panjangnya sama dengan jejari bulatan. Nah, adakah anda memikirkannya? Jika tidak, mari kita fikirkan daripada lukisan itu.
Jadi, angka itu menunjukkan sudut yang sama dengan radian, iaitu, sudut ini terletak pada lengkok bulat, yang panjangnya sama dengan jejari bulatan (panjangnya sama dengan panjang atau jejarinya sama dengan panjang lengkok). Oleh itu, panjang lengkok dikira dengan formula:
Di manakah sudut pusat dalam radian.
Nah, mengetahui perkara ini, bolehkah anda menjawab berapa banyak radian yang terkandung dalam sudut yang diterangkan oleh bulatan? Ya, untuk ini anda perlu mengingati formula untuk lilitan. Inilah dia:
Nah, sekarang mari kita kaitkan kedua-dua formula ini dan mendapati bahawa sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama. Iaitu, dengan mengaitkan nilai dalam darjah dan radian, kita mendapatnya. Masing-masing, . Seperti yang anda lihat, tidak seperti "darjah", perkataan "radian" ditinggalkan, kerana unit ukuran biasanya jelas daripada konteks.
Berapakah jumlah radian yang ada? betul!
faham? Kemudian teruskan dan betulkan:
Mengalami kesukaran? lepas tu tengok jawapan:
Segitiga kanan: sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut
Jadi, kami mengetahui konsep sudut. Tetapi apakah sinus, kosinus, tangen, dan kotangen bagi sudut? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, segi tiga tepat akan membantu kami.
Apakah sisi segi tiga tepat dipanggil? Betul, hipotenus dan kaki: hipotenus ialah sisi yang terletak bertentangan sudut tepat(dalam contoh kami ini adalah sebelah); kaki adalah dua sisi yang tinggal dan (yang bersebelahan dengan sudut kanan), dan jika kita menganggap kaki relatif kepada sudut, maka kaki adalah kaki yang bersebelahan, dan kaki adalah sebaliknya. Jadi, sekarang mari kita jawab soalan: apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut?
Sinus sudut- ini ialah nisbah kaki bertentangan (jauh) kepada hipotenus.
Dalam segitiga kami.
Kosinus sudut- ini ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan hipotenus.
Dalam segitiga kami.
Tangen sudut- ini ialah nisbah sisi yang bertentangan (jauh) dengan yang bersebelahan (dekat).
Dalam segitiga kami.
Kotangen sudut- ini adalah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).
Dalam segitiga kami.
Definisi ini adalah perlu ingat! Untuk menjadikannya lebih mudah untuk mengingati kaki mana yang hendak dibahagikan kepada apa, anda perlu memahami dengan jelasnya tangen Dan kotangen hanya kaki duduk, dan hipotenus hanya muncul di dalam resdung Dan kosinus. Dan kemudian anda boleh membuat rangkaian persatuan. Sebagai contoh, yang ini:
Kosinus→sentuh→sentuh→bersebelahan;
Cotangent→sentuh→sentuh→bersebelahan.
Pertama sekali, anda perlu ingat bahawa sinus, kosinus, tangen dan kotangen kerana nisbah sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi ini (pada sudut yang sama). Jangan percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:
Pertimbangkan, sebagai contoh, kosinus sudut. Mengikut definisi, dari segi tiga: , tetapi kita boleh mengira kosinus sudut daripada segi tiga: . Anda lihat, panjang sisi adalah berbeza, tetapi nilai kosinus satu sudut adalah sama. Oleh itu, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bergantung semata-mata pada magnitud sudut.
Jika anda memahami takrifannya, teruskan dan satukan definisi tersebut!
Untuk segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, kita dapati.
Nah, adakah anda mendapatnya? Kemudian cuba sendiri: hitung yang sama untuk sudut.
Bulatan unit (trigonometri).
Memahami konsep darjah dan radian, kami menganggap bulatan dengan jejari sama dengan. Bulatan sedemikian dipanggil bujang. Ia akan sangat berguna apabila mempelajari trigonometri. Oleh itu, mari kita lihat dengan lebih terperinci.
Seperti yang anda lihat, bulatan ini dibina dalam sistem koordinat Cartesan. Jejari bulatan adalah sama dengan satu, manakala pusat bulatan terletak pada asal koordinat, kedudukan awal vektor jejari ditetapkan di sepanjang arah positif paksi (dalam contoh kita, ini adalah jejari).
Setiap titik pada bulatan sepadan dengan dua nombor: koordinat paksi dan koordinat paksi. Apakah nombor koordinat ini? Dan secara umum, apakah kaitan mereka dengan topik yang sedang dibincangkan? Untuk melakukan ini, kita perlu ingat tentang segi tiga tepat yang dianggap. Dalam rajah di atas, anda boleh melihat dua segi tiga tepat keseluruhan. Pertimbangkan segitiga. Ia adalah segi empat tepat kerana ia berserenjang dengan paksi.
Apakah segi tiga sama dengan? betul tu. Di samping itu, kita tahu bahawa jejari bulatan unit, yang bermaksud . Mari kita gantikan nilai ini ke dalam formula kita untuk kosinus. Inilah yang berlaku:
Apakah segi tiga sama dengan? Sudah tentu, ! Gantikan nilai jejari ke dalam formula ini dan dapatkan:
Jadi, bolehkah anda memberitahu apakah koordinat titik yang dimiliki oleh bulatan? Nah, tidak mungkin? Bagaimana jika anda menyedarinya dan hanya nombor? Koordinat yang manakah ia sepadan? Sudah tentu, koordinat! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Betul, koordinat! Oleh itu, tempoh.
Apakah itu dan sama dengan? Betul, mari kita gunakan takrifan yang sepadan bagi tangen dan kotangen dan dapatkannya, a.
Bagaimana jika sudut lebih besar? Sebagai contoh, seperti dalam gambar ini:
Apakah yang telah berubah dalam contoh ini? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, mari kita pusing lagi ke segi tiga tepat. Pertimbangkan segi tiga tegak: sudut (bersebelahan dengan sudut). Apakah nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu sudut? Betul, kami mematuhi takrifan fungsi trigonometri yang sepadan:
Nah, seperti yang anda lihat, nilai sinus sudut masih sepadan dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen kepada nisbah yang sepadan. Oleh itu, hubungan ini digunakan untuk sebarang putaran vektor jejari.
Telah disebutkan bahawa kedudukan awal vektor jejari adalah di sepanjang arah positif paksi. Setakat ini kita telah memutarkan vektor ini mengikut arah jam, tetapi apa yang berlaku jika kita memutarkannya mengikut arah jam? Tiada apa-apa yang luar biasa, anda juga akan mendapat sudut nilai tertentu, tetapi hanya ia akan menjadi negatif. Oleh itu, apabila memutarkan vektor jejari lawan jam, kita dapat sudut positif, dan apabila berputar mengikut arah jam - negatif.
Jadi, kita tahu bahawa seluruh revolusi vektor jejari di sekeliling bulatan ialah atau. Adakah mungkin untuk memutarkan vektor jejari ke atau ke? Sudah tentu anda boleh! Dalam kes pertama, oleh itu, vektor jejari akan membuat satu pusingan penuh dan berhenti pada kedudukan atau.
Dalam kes kedua, iaitu, vektor jejari akan membuat tiga pusingan penuh dan berhenti pada kedudukan atau.
Oleh itu, daripada contoh di atas kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut yang berbeza dengan atau (di mana ada sebarang integer) sepadan dengan kedudukan vektor jejari yang sama.
Rajah di bawah menunjukkan satu sudut. Imej yang sama sepadan dengan sudut, dsb. Senarai ini boleh diteruskan selama-lamanya. Semua sudut ini boleh ditulis dengan formula am atau (di mana terdapat sebarang integer)
Sekarang, mengetahui takrifan fungsi trigonometri asas dan menggunakan bulatan unit, cuba jawab apakah nilainya:
Berikut ialah bulatan unit untuk membantu anda:
Mengalami kesukaran? Kemudian mari kita fikirkan. Jadi kita tahu bahawa:
Dari sini, kami menentukan koordinat titik yang sepadan dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulakan mengikut urutan: sudut pada sepadan dengan titik dengan koordinat, oleh itu:
Tidak wujud;
Selanjutnya, mematuhi logik yang sama, kami mendapati bahawa sudut dalam sepadan dengan titik dengan koordinat, masing-masing. Mengetahui ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik yang sepadan. Cuba sendiri dahulu, dan kemudian semak jawapannya.
Jawapan:
Tidak wujud
Tidak wujud
Tidak wujud
Tidak wujud
Oleh itu, kita boleh membuat jadual berikut:
Tidak perlu mengingati semua nilai ini. Cukup untuk mengingati korespondensi antara koordinat titik pada bulatan unit dan nilai fungsi trigonometri:
Tetapi nilai-nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan dalam jadual di bawah, mesti diingat:
Jangan takut, sekarang kami akan tunjukkan satu contoh agak mudah untuk mengingati nilai yang sepadan:
Untuk menggunakan kaedah ini, adalah penting untuk mengingati nilai sinus untuk ketiga-tiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, agak mudah untuk memulihkan keseluruhan jadual - nilai kosinus dipindahkan mengikut anak panah, iaitu:
Mengetahui ini, anda boleh memulihkan nilai untuk. Pengangka " " akan sepadan dan penyebut " " akan sepadan. Nilai kotangen dipindahkan mengikut anak panah yang ditunjukkan dalam rajah. Jika anda memahami ini dan mengingati rajah dengan anak panah, maka sudah cukup untuk mengingati semua nilai dari jadual.
Koordinat titik pada bulatan
Adakah mungkin untuk mencari titik (koordinatnya) pada bulatan, mengetahui koordinat pusat bulatan, jejari dan sudut putarannya?
Sudah tentu anda boleh! Mari kita keluarkan formula am untuk mencari koordinat sesuatu titik.
Sebagai contoh, berikut ialah bulatan di hadapan kita:
Kami diberi bahawa titik adalah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan titik mengikut darjah.
Seperti yang dapat dilihat dari rajah, koordinat titik sepadan dengan panjang segmen. Panjang segmen sepadan dengan koordinat pusat bulatan, iaitu, ia adalah sama. Panjang segmen boleh dinyatakan menggunakan takrifan kosinus:
Kemudian kita mempunyai itu untuk koordinat titik.
Menggunakan logik yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik itu. Oleh itu,
Jadi, dalam Pandangan umum koordinat titik ditentukan oleh formula:
Koordinat pusat bulatan,
Jejari bulatan,
Sudut putaran jejari vektor.
Seperti yang anda lihat, untuk bulatan unit yang sedang kita pertimbangkan, formula ini dikurangkan dengan ketara, kerana koordinat pusat adalah sama dengan sifar dan jejari adalah sama dengan satu:
Baiklah, mari cuba formula ini dengan berlatih mencari titik pada bulatan?
1. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.
2. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.
3. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.
4. Titik ialah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.
5. Titik ialah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.
Menghadapi masalah mencari koordinat titik pada bulatan?
Selesaikan lima contoh ini (atau pandai menyelesaikannya) dan anda akan belajar mencarinya!
1.
Anda boleh perasan itu. Tetapi kita tahu apa yang sepadan dengan revolusi penuh titik permulaan. Oleh itu, titik yang diingini akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa beralih ke. Mengetahui ini, kami dapati koordinat titik yang diperlukan:
2. Bulatan unit berpusat pada satu titik, yang bermaksud kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:
Anda boleh perasan itu. Kita tahu apa yang sepadan dengan dua revolusi penuh titik permulaan. Oleh itu, titik yang diingini akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa beralih ke. Mengetahui ini, kami dapati koordinat titik yang diperlukan:
Sinus dan kosinus ialah nilai jadual. Kami mengingat kembali maknanya dan mendapat:
Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.
3. Bulatan unit berpusat pada satu titik, yang bermaksud kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:
Anda boleh perasan itu. Mari kita gambarkan contoh yang dipersoalkan dalam rajah:
Jejari membuat sudut sama dengan dan dengan paksi. Mengetahui bahawa nilai jadual kosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahawa kosinus di sini mengambil makna negatif, dan sinus adalah positif, kita mempunyai:
Contoh sedemikian dibincangkan dengan lebih terperinci apabila mengkaji formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri dalam topik.
Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.
4.
Sudut putaran jejari vektor (mengikut keadaan)
Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang sepadan, kami membina bulatan dan sudut unit:
Seperti yang anda lihat, nilai, iaitu, adalah positif, dan nilai, iaitu, adalah negatif. Mengetahui nilai jadual bagi fungsi trigonometri yang sepadan, kami memperoleh bahawa:
Mari gantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula kami dan cari koordinat:
Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.
5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula dalam bentuk umum, di mana
Koordinat pusat bulatan (dalam contoh kita,
Jejari bulatan (mengikut keadaan)
Sudut putaran jejari vektor (mengikut keadaan).
Mari kita gantikan semua nilai ke dalam formula dan dapatkan:
dan - nilai jadual. Mari kita ingat dan gantikannya ke dalam formula:
Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.
RINGKASAN DAN FORMULA ASAS
Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.
Kosinus sudut ialah nisbah kaki (dekat) bersebelahan dengan hipotenus.
Tangen sudut ialah nisbah sisi bertentangan (jauh) dengan sisi bersebelahan (dekat).
Kotangen suatu sudut ialah nisbah sisi bersebelahan (dekat) dengan sisi bertentangan (jauh).
Mari kita fahami konsep mudah: sinus dan kosinus dan pengiraan kosinus kuasa dua dan sinus kuasa dua.
Sinus dan kosinus dikaji dalam trigonometri (kajian segi tiga sudut tegak).
Oleh itu, pertama, mari kita ingat konsep asas segi tiga tepat:
Hipotenus- sisi yang sentiasa terletak bertentangan dengan sudut tepat (sudut 90 darjah). Hipotenus ialah sisi terpanjang bagi segi tiga sudut tegak.
Baki dua belah pihak segi tiga tepat dipanggil kaki.
Anda juga harus ingat bahawa tiga sudut dalam segitiga sentiasa ditambah sehingga 180°.
Sekarang mari kita beralih kepada kosinus dan sinus sudut alfa (∠α)(ini boleh dipanggil mana-mana sudut tidak langsung dalam segitiga atau digunakan sebagai sebutan x - "x", yang tidak mengubah intipati).
Sinus sudut alfa (sin ∠α)- ini adalah sikap bertentangan kaki (sisi bertentangan dengan sudut yang sepadan) dengan hipotenus. Jika anda melihat rajah, maka dosa ∠ABC = AC / BC
Kosinus sudut alfa (cos ∠α)- sikap bersebelahan ke sudut kaki ke hipotenus. Melihat semula rajah di atas, cos ∠ABC = AB / BC
Dan hanya sebagai peringatan: kosinus dan sinus tidak akan lebih besar daripada satu, kerana mana-mana gulungan lebih pendek daripada hipotenus (dan hipotenus ialah sisi terpanjang bagi mana-mana segi tiga, kerana sisi terpanjang terletak bertentangan dengan sudut terbesar dalam segi tiga) .
Kosinus kuasa dua, sinus kuasa dua
Sekarang mari kita beralih kepada yang utama rumus trigonometri: Kira kosinus kuasa dua dan sinus kuasa dua.
Untuk mengiranya, anda harus ingat identiti trigonometri asas:
sin 2 α + cos 2 α = 1(segiempat sinus ditambah kuasa dua kosinus satu sudut sentiasa sama dengan satu).
Daripada identiti trigonometri kita membuat kesimpulan tentang sinus:
sin 2 α = 1 - cos 2 α
sinus segi empat sama alfa adalah sama dengan satu tolak kosinus alfa sudut berganda dan bahagikan semua ini dengan dua.
sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2
Daripada identiti trigonometri kita membuat kesimpulan tentang kosinus:
cos 2 α = 1 - sin 2 α
atau versi formula yang lebih kompleks: kosinus segi empat sama alfa adalah sama dengan satu ditambah kosinus alfa sudut berganda dan juga membahagikan semuanya dengan dua.
cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Dua ini lebih formula kompleks kuasa dua sinus dan kuasa dua kosinus juga dipanggil "mengurangkan darjah bagi kuasa dua fungsi trigonometri." Itu. ada ijazah kedua, mereka menurunkannya kepada yang pertama dan pengiraan menjadi lebih mudah.
