Contoh berbilang terkecil. Gandaan sepunya terkecil LCM

Kalkulator dalam talian membolehkan anda mencari yang terbesar dengan cepat pembahagi biasa dan gandaan sepunya terkecil bagi dua atau sebarang nombor nombor lain.

Kalkulator untuk mencari GCD dan LCM

Cari GCD dan LOC

Menjumpai GCD dan LOC: 5806

Cara menggunakan kalkulator

• Masukkan nombor dalam medan input
• Jika anda memasukkan aksara yang salah, medan input akan diserlahkan dengan warna merah
• klik butang "Cari GCD dan LOC".

Bagaimana untuk memasukkan nombor

• Nombor dimasukkan dipisahkan oleh ruang, noktah atau koma
• Panjang nombor yang dimasukkan tidak terhad, jadi mencari GCD dan LCM bagi nombor panjang tidaklah sukar

Apakah GCD dan NOC?

Pembahagi sepunya terbesar beberapa nombor ialah integer semula jadi terbesar di mana semua nombor asal boleh dibahagikan tanpa baki. Pembahagi sepunya terbesar disingkatkan sebagai GCD.
Gandaan sepunya terkecil beberapa nombor ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan setiap nombor asal tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil disingkatkan sebagai NOC.

Bagaimana untuk menyemak bahawa nombor boleh dibahagikan dengan nombor lain tanpa baki?

Untuk mengetahui sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain tanpa baki, anda boleh menggunakan beberapa sifat kebolehbahagi nombor. Kemudian, dengan menggabungkannya, anda boleh menyemak kebolehpecahan sebahagian daripadanya dan gabungannya.

Beberapa tanda pembahagian nombor

1. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 2
Untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagikan dengan dua (sama ada genap), cukup untuk melihat digit terakhir nombor ini: jika ia sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka nombor itu adalah genap, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 2.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 2.
Penyelesaian: Kami melihat digit terakhir: 8 - ini bermakna nombor itu boleh dibahagikan dengan dua.

2. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 3
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 apabila jumlah digitnya boleh dibahagi dengan tiga. Oleh itu, untuk menentukan sama ada sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 3, anda perlu mengira jumlah digit dan menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan 3. Walaupun jumlah digit itu sangat besar, anda boleh mengulangi proses yang sama sekali lagi.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 3.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 3, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagi dengan tiga.

3. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 5
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah sifar atau lima.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 5.
Penyelesaian: lihat digit terakhir: 8 bermakna nombor itu TIDAK boleh dibahagikan dengan lima.

4. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 9
Tanda ini hampir sama dengan tanda boleh bahagi dengan tiga: nombor boleh dibahagi dengan 9 apabila jumlah digitnya boleh dibahagikan dengan 9.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 9.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 9, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagikan dengan sembilan.

Bagaimana untuk mencari GCD dan LCM bagi dua nombor

Bagaimana untuk mencari gcd dua nombor

Paling dengan cara yang mudah Mengira pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor ialah mencari semua pembahagi yang mungkin bagi nombor-nombor ini dan pilih yang terbesar daripadanya.

Mari kita pertimbangkan kaedah ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36):

1. Kami memfaktorkan kedua-dua nombor: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Kami mencari faktor sepunya, iaitu faktor yang kedua-dua nombor mempunyai: 1, 2 dan 2.
3. Kami mengira hasil darab faktor ini: 1 2 2 = 4 - ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 28 dan 36.

Bagaimana untuk mencari LCM bagi dua nombor

Terdapat dua cara yang paling biasa untuk mencari gandaan terkecil daripada dua nombor. Kaedah pertama ialah anda boleh menulis gandaan pertama bagi dua nombor, dan kemudian memilih antara mereka nombor yang akan menjadi biasa kepada kedua-dua nombor dan pada masa yang sama yang terkecil. Dan yang kedua ialah mencari gcd nombor ini. Mari kita pertimbangkan sahaja.

Untuk mengira LCM, anda perlu mengira hasil darab nombor asal dan kemudian membahagikannya dengan GCD yang ditemui sebelum ini. Mari kita cari LCM untuk nombor 28 dan 36 yang sama:

1. Cari hasil darab nombor 28 dan 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), seperti yang telah diketahui, adalah sama dengan 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Mencari GCD dan LCM untuk beberapa nombor

Pembahagi sepunya terbesar boleh didapati untuk beberapa nombor, bukan hanya dua. Untuk melakukan ini, nombor yang ditemui untuk pembahagi sepunya terbesar diuraikan kepada faktor perdana, kemudian hasil darab faktor perdana sepunya nombor ini ditemui. Anda juga boleh menggunakan hubungan berikut untuk mencari gcd beberapa nombor: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Hubungan yang serupa digunakan untuk gandaan sepunya terkecil: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Contoh: cari GCD dan LCM untuk nombor 12, 32 dan 36.

1. Mula-mula, mari kita memfaktorkan nombor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Mari cari faktor sepunya: 1, 2 dan 2.
3. Produk mereka akan memberikan GCD: 1·2·2 = 4
4. Sekarang mari kita cari LCM: untuk melakukan ini, mari kita cari LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Untuk mencari LCM bagi ketiga-tiga nombor, anda perlu mencari GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Tetapi banyak nombor asli juga boleh dibahagikan dengan nombor asli yang lain.

Sebagai contoh:

Nombor 12 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12;

Nombor 36 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12, dengan 18, dengan 36.

Nombor yang nombor itu boleh dibahagikan dengan keseluruhan (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) dipanggil pembahagi nombor. Pembahagi nombor asli a- inilah keadaannya nombor asli, yang membahagikan nombor yang diberikan a tanpa jejak. Nombor asli yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi dipanggil komposit .

Sila ambil perhatian bahawa nombor 12 dan 36 mempunyai faktor sepunya. Nombor-nombor ini ialah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembahagi terbesar bagi nombor ini ialah 12. Pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor ini a Dan b- ini ialah nombor di mana kedua-dua nombor yang diberi dibahagikan tanpa baki a Dan b.

Gandaan sepunya beberapa nombor ialah nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini. Sebagai contoh, nombor 9, 18 dan 45 mempunyai gandaan sepunya 180. Tetapi 90 dan 360 juga adalah gandaan sepunya mereka. Di antara semua gandaan sepunya sentiasa ada yang terkecil, dalam dalam kes ini ini ialah 90. Nombor ini dipanggil yang paling kecilberbilang sepunya (CMM).

LCM sentiasa nombor asli yang mesti lebih besar daripada nombor terbesar yang ditakrifkan.

Gandaan sepunya terkecil (LCM). Hartanah.

Komutatif:

pergaulan:

Khususnya, jika dan ialah nombor koprima, maka:

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer m Dan n ialah pembahagi semua gandaan sepunya yang lain m Dan n. Selain itu, set gandaan sepunya m, n bertepatan dengan set gandaan LCM( m, n).

Asimtotik untuk boleh dinyatakan dalam beberapa fungsi teori nombor.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan:

Ini berikutan daripada definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Apa yang berikut daripada undang-undang pengedaran nombor perdana.

Mencari gandaan sepunya terkecil (LCM).

NOC( a, b) boleh dikira dalam beberapa cara:

1. Jika pembahagi sepunya terbesar diketahui, anda boleh menggunakan sambungannya dengan LCM:

2. Biarkan penguraian kanonik kedua-dua nombor menjadi faktor perdana diketahui:

di mana p 1 ,...,p k- pelbagai nombor perdana, dan d 1 ,...,d k Dan e 1 ,...,e k— integer bukan negatif (ia boleh menjadi sifar jika perdana sepadan tiada dalam pengembangan).

Kemudian NOC ( a,b) dikira dengan formula:

Dalam erti kata lain, penguraian LCM mengandungi semua faktor perdana yang termasuk dalam sekurang-kurangnya satu daripada penguraian nombor. a, b, dan yang terbesar daripada dua eksponen pengganda ini diambil.

Contoh:

Mengira gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor boleh dikurangkan kepada beberapa pengiraan berurutan bagi LCM bagi dua nombor:

peraturan. Untuk mencari LCM bagi satu siri nombor, anda memerlukan:

- menguraikan nombor kepada faktor perdana;

- pindahkan penguraian terbesar (hasil daripada faktor bilangan terbesar yang diberikan) kepada faktor produk yang diingini, dan kemudian tambah faktor daripada penguraian nombor lain yang tidak muncul dalam nombor pertama atau muncul di dalamnya lebih sedikit kali;

— hasil darab faktor perdana akan menjadi LCM nombor yang diberikan.

Mana-mana dua atau lebih nombor asli mempunyai LCM mereka sendiri. Jika nombor bukan gandaan antara satu sama lain atau tidak mempunyai faktor yang sama dalam pengembangan, maka LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor ini.

Faktor perdana nombor 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (nombor 21), hasil darab (84) akan nombor terkecil, yang boleh dibahagi dengan 21 dan 28.

Faktor perdana bagi nombor terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 daripada nombor 25, hasil darab 150 yang terhasil adalah lebih besar daripada nombor terbesar 30 dan boleh dibahagikan dengan semua nombor yang diberi tanpa baki. ini produk paling sedikit daripada yang mungkin (150, 250, 300...), yang mana semua nombor yang diberikan adalah gandaan.

Nombor 2,3,11,37 ialah nombor perdana, jadi LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor yang diberikan.

peraturan. Untuk mengira LCM nombor perdana, anda perlu mendarab semua nombor ini bersama-sama.

Pilihan lain:

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM) beberapa nombor yang anda perlukan:

1) mewakili setiap nombor sebagai hasil darab faktor perdananya, contohnya:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan kuasa semua faktor utama:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembahagi utama (pendarab) bagi setiap nombor ini;

4) pilih tahap terbesar setiap daripada mereka, yang terdapat dalam semua pengembangan nombor ini;

5) gandakan kuasa ini.

Contoh. Cari LCM nombor: 168, 180 dan 3024.

Penyelesaian. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kami menulis darjah terhebat semua pembahagi utama dan darabkannya:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Nombor kedua: b=

Pemisah seribu Tanpa pemisah ruang "´

Keputusan:

gcd pembahagi sepunya terbesar( a,b)=6

Gandaan sepunya terkecil LCM( a,b)=468

Nombor asli terbesar yang boleh dibahagikan tanpa baki dengan nombor a dan b dipanggil pembahagi sepunya terbesar(GCD) nombor ini. Ditandakan dengan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).

Gandaan sepunya terkecil KPK bagi dua integer a dan b ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan a dan b tanpa baki. Ditandakan LCM(a,b), atau lcm(a,b).

Integer a dan b dipanggil saling perdana, jika mereka tidak mempunyai pembahagi sepunya selain daripada +1 dan −1.

Pembahagi sepunya terbesar

Biar dua diberi nombor positif a 1 dan a 2 1). Ia diperlukan untuk mencari pembahagi sepunya nombor ini, i.e. cari nombor sedemikian λ , yang membahagi nombor a 1 dan a 2 pada masa yang sama. Mari kita terangkan algoritma.

1) Dalam artikel ini, perkataan nombor akan difahami sebagai integer.

biarlah a 1 ≥ a 2 dan biarkan

di mana m 1 , a 3 ialah beberapa integer, a 3 <a 2 (baki bahagian a 1 setiap a 2 sepatutnya kurang a 2).

Mari kita berpura-pura itu λ membahagikan a 1 dan a 2 kemudian λ membahagikan m 1 a 2 dan λ membahagikan a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pernyataan 2 artikel "Kebolehbahagiaan nombor. Ujian kebolehbahagiaan"). Ia berikutan bahawa setiap pembahagi biasa a 1 dan a 2 ialah pembahagi biasa a 2 dan a 3. Begitu juga sebaliknya jika λ pembahagi biasa a 2 dan a 3 kemudian m 1 a 2 dan a 1 =m 1 a 2 +a 3 juga boleh dibahagikan dengan λ . Oleh itu pembahagi biasa a 2 dan a 3 juga merupakan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 3 <a 2 ≤a 1, maka kita boleh mengatakan bahawa penyelesaian kepada masalah mencari pembahagi sepunya nombor a 1 dan a 2 dikurangkan kepada masalah yang lebih mudah untuk mencari pembahagi sepunya nombor a 2 dan a 3 .

Jika a 3 ≠0, maka kita boleh bahagi a 2 pada a 3. Kemudian

,

di mana m 1 dan a 4 ialah beberapa integer, ( a 4 baki daripada bahagian a 2 pada a 3 (a 4 <a 3)). Dengan alasan yang sama kita sampai pada kesimpulan bahawa pembahagi sepunya nombor a 3 dan a 4 bertepatan dengan pembahagi sepunya nombor a 2 dan a 3, dan juga dengan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... ialah nombor yang sentiasa berkurangan, dan kerana terdapat bilangan integer terhingga antara a 2 dan 0, kemudian pada beberapa langkah n, baki bahagian a n pada a n+1 akan sama dengan sifar ( a n+2 =0).

.

Setiap pembahagi biasa λ nombor a 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor a 2 dan a 3 , a 3 dan a 4 , .... a n dan a n+1 . Sebaliknya juga benar, pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 juga pembahagi nombor a n−1 dan a n , .... , a 2 dan a 3 , a 1 dan a 2. Tetapi pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 ialah nombor a n+1 , kerana a n dan a n+1 boleh dibahagikan dengan a n+1 (ingat itu a n+2 =0). Oleh itu a n+1 juga merupakan pembahagi nombor a 1 dan a 2 .

Perhatikan bahawa nombor a n+1 ialah pembahagi nombor terbesar a n dan a n+1 , sejak pembahagi terbesar a n+1 ialah dirinya sendiri a n+1 . Jika a n+1 boleh diwakili sebagai hasil darab integer, maka nombor ini juga pembahagi biasa nombor a 1 dan a 2. Nombor a n+1 dipanggil pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 .

Nombor a 1 dan a 2 boleh sama ada nombor positif atau negatif. Jika salah satu nombor adalah sama dengan sifar, maka pembahagi sepunya terbesar bagi nombor ini akan sama dengan nilai mutlak nombor lain. Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor sifar tidak ditentukan.

Algoritma di atas dipanggil Algoritma Euclidean untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua integer.

Contoh mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor

Cari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor 630 dan 434.

• Langkah 1. Bahagikan nombor 630 dengan 434. Bakinya ialah 196.
• Langkah 2. Bahagikan nombor 434 dengan 196. Bakinya ialah 42.
• Langkah 3. Bahagikan nombor 196 dengan 42. Bakinya ialah 28.
• Langkah 4. Bahagikan nombor 42 dengan 28. Bakinya ialah 14.
• Langkah 5. Bahagikan nombor 28 dengan 14. Bakinya ialah 0.

Dalam langkah 5, baki pembahagian ialah 0. Oleh itu, pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 630 dan 434 ialah 14. Perhatikan bahawa nombor 2 dan 7 juga merupakan pembahagi bagi nombor 630 dan 434.

Nombor koprima

Definisi 1. Biarkan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 sama dengan satu. Kemudian nombor ini dipanggil nombor koprima, tidak mempunyai pembahagi biasa.

Teorem 1. Jika a 1 dan a 2 nombor koprima, dan λ beberapa nombor, kemudian mana-mana pembahagi sepunya nombor λa 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor biasa λ Dan a 2 .

Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclidean untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 (lihat di atas).

.

Daripada syarat-syarat teorem ia mengikuti bahawa pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 dan oleh itu a n dan a n+1 ialah 1. Iaitu a n+1 =1.

Mari kita darabkan semua kesamaan ini dengan λ , Kemudian

.

Biar pembahagi biasa a 1 λ Dan a 2 ya δ . Kemudian δ disertakan sebagai pengganda dalam a 1 λ , m 1 a 2 λ dan dalam a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (lihat "Kebolehbahagiaan nombor", Pernyataan 2). Selanjutnya δ disertakan sebagai pengganda dalam a 2 λ Dan m 2 a 3 λ , dan, oleh itu, merupakan faktor dalam a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Menaakul dengan cara ini, kami yakin bahawa δ disertakan sebagai pengganda dalam a n−1 λ Dan m n−1 a n λ , dan oleh itu dalam a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Kerana a n+1 =1, maka δ disertakan sebagai pengganda dalam λ . Oleh itu bilangan δ ialah pembahagi sepunya bagi nombor λ Dan a 2 .

Mari kita pertimbangkan kes khas Teorem 1.

Akibat 1. biarlah a Dan c Nombor perdana adalah relatif b. Kemudian produk mereka ac ialah nombor perdana berkenaan dengan b.

sungguh. Daripada Teorem 1 ac Dan b mempunyai pembahagi sepunya yang sama seperti c Dan b. Tetapi nombor c Dan b agak mudah, i.e. mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Kemudian ac Dan b juga mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Oleh itu ac Dan b saling sederhana.

Akibat 2. biarlah a Dan b nombor koprima dan biarkan b membahagikan ak. Kemudian b membahagikan dan k.

sungguh. Dari syarat kelulusan ak Dan b mempunyai pembahagi biasa b. Berdasarkan Teorem 1, b mestilah pembahagi biasa b Dan k. Oleh itu b membahagikan k.

Corollary 1 boleh digeneralisasikan.

Akibat 3. 1. Biarkan nombor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m adalah relatif perdana kepada nombor b. Kemudian a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, hasil darab nombor ini adalah relatif perdana kepada nombor itu b.

2. Mari kita mempunyai dua baris nombor

supaya setiap nombor dalam siri pertama adalah perdana dalam nisbah setiap nombor dalam siri kedua. Kemudian produk

Anda perlu mencari nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini.

Jika suatu nombor boleh dibahagi dengan a 1, maka ia mempunyai bentuk sa 1 di mana s beberapa nombor. Jika q ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2, kemudian

di mana s 1 ialah beberapa integer. Kemudian

ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1 dan a 2 .

a 1 dan a 2 adalah relatif perdana, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 dan a 2:

Kita perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.

Daripada perkara di atas ia mengikuti bahawa sebarang gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 mestilah gandaan nombor ε Dan a 3 dan belakang. Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε Dan a 3 ya ε 1 . Seterusnya, gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mestilah gandaan nombor ε 1 dan a 4 . Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε 1 dan a 4 ya ε 2. Oleh itu, kami mendapati bahawa semua gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m bertepatan dengan gandaan nombor tertentu ε n, yang dipanggil gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberi.

Dalam kes khas apabila nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah relatif perdana, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 , a 2, seperti yang ditunjukkan di atas, mempunyai bentuk (3). Seterusnya, sejak a 3 perdana berhubung dengan nombor a 1 , a 2 kemudian a 3 nombor perdana a 1 · a 2 (Korol 1). Bermaksud gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1 ,a 2 ,a 3 ialah nombor a 1 · a 2 · a 3. Menaakul dengan cara yang sama, kita sampai pada kenyataan berikut.

Kenyataan 1. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah sama dengan produk mereka a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Kenyataan 2. Sebarang nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m juga boleh dibahagikan dengan hasil keluarannya a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Gandaan sepunya

Ringkasnya, sebarang integer yang boleh dibahagi dengan setiap nombor yang diberi ialah gandaan sepunya diberi integer.

Anda boleh mencari gandaan sepunya bagi dua atau lebih integer.

Contoh 1

Kira gandaan sepunya dua nombor: $2$ dan $5$.

Penyelesaian.

Mengikut definisi, gandaan sepunya $2$ dan $5$ ialah $10$, kerana ia adalah gandaan nombor $2$ dan nombor $5$:

Gandaan sepunya bagi nombor $2$ dan $5$ juga akan menjadi nombor $–10, 20, –20, 30, –30$, dsb., kerana kesemuanya dibahagikan kepada nombor $2$ dan $5$.

Nota 1

Sifar ialah gandaan sepunya bagi sebarang bilangan integer bukan sifar.

Mengikut sifat kebolehbahagi, jika nombor tertentu ialah gandaan sepunya beberapa nombor, maka nombor berlawanan dalam tanda juga akan menjadi gandaan sepunya bagi nombor yang diberikan. Ini dapat dilihat daripada contoh yang dipertimbangkan.

Untuk integer tertentu, anda sentiasa boleh mencari gandaan sepunya mereka.

Contoh 2

Kira gandaan sepunya $111$ dan $55$.

Penyelesaian.

Mari kita darabkan nombor yang diberikan: $111\div 55=6105$. Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa nombor $6105$ boleh dibahagikan dengan nombor $111$ dan nombor $55$:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

Oleh itu, $6105$ ialah gandaan sepunya bagi $111$ dan $55$.

Jawab: Gandaan sepunya $111$ dan $55$ ialah $6105$.

Tetapi, seperti yang telah kita lihat dari contoh sebelumnya, gandaan sepunya ini bukanlah satu. Gandaan sepunya lain ialah $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$, dsb. Oleh itu, kami sampai pada kesimpulan berikut:

Nota 2

Mana-mana set integer mempunyai bilangan gandaan sepunya yang tidak terhingga.

Dalam amalan, mereka terhad kepada mencari gandaan sepunya bagi nombor integer (semula jadi) positif sahaja, kerana set gandaan nombor tertentu dan bertepatan dengan lawannya.

Menentukan Gandaan Sepunya Terkecil

Daripada semua gandaan nombor yang diberikan, gandaan sepunya terkecil (LCM) digunakan paling kerap.

Definisi 2

Gandaan sepunya paling kurang positif bagi integer yang diberi ialah gandaan sepunya terkecil nombor-nombor ini.

Contoh 3

Kirakan LCM bagi nombor $4$ dan $7$.

Penyelesaian.

Kerana nombor ini tidak mempunyai pembahagi sepunya, maka $LCM(4,7)=28$.

Jawab: $NOK (4,7)=28$.

Mencari NOC melalui GCD

Kerana terdapat hubungan antara LCM dan GCD, dengan bantuannya anda boleh mengira LCM bagi dua integer positif:

Nota 3

Contoh 4

Hitung LCM bagi nombor $232$ dan $84$.

Penyelesaian.

Mari gunakan formula untuk mencari LCM melalui GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Mari cari GCD bagi nombor $232$ dan $84$ menggunakan algoritma Euclidean:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Itu. $GCD(232, 84)=4$.

Mari cari $LCC (232, 84)$:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Jawab: $NOK (232.84)=$4872.

Contoh 5

Kira $LCD(23, 46)$.

Penyelesaian.

Kerana $46$ boleh dibahagi dengan $23$, kemudian $gcd (23, 46)=23$. Mari cari LOC:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Jawab: $NOK (23.46)=$46.

Oleh itu, seseorang boleh merumuskan peraturan:

Nota 4

Ungkapan dan masalah matematik memerlukan banyak pengetahuan tambahan. NOC adalah salah satu yang utama, terutamanya sering digunakan dalam Topik ini dipelajari di sekolah menengah, dan ia tidak begitu sukar untuk memahami bahan; seseorang yang biasa dengan kuasa dan jadual pendaraban tidak akan mengalami kesukaran untuk mengenal pasti nombor yang diperlukan dan menemui hasil.

Definisi

Gandaan sepunya ialah nombor yang boleh dibahagikan sepenuhnya kepada dua nombor pada masa yang sama (a dan b). Selalunya, nombor ini diperoleh dengan mendarab nombor asal a dan b. Nombor mesti boleh dibahagi dengan kedua-dua nombor sekaligus, tanpa sisihan.

NOC ialah nama pendek yang diterima pakai untuk sebutan itu, yang dikumpulkan daripada huruf pertama.

Cara-cara untuk mendapatkan nombor

Kaedah mendarab nombor tidak selalunya sesuai untuk mencari LCM; ia lebih sesuai untuk nombor satu digit atau dua digit mudah. Adalah menjadi kebiasaan untuk membahagikan kepada faktor; semakin besar bilangannya, semakin banyak faktor yang akan ada.

Contoh #1

Untuk contoh paling mudah, sekolah biasanya menggunakan nombor perdana, satu atau dua digit. Sebagai contoh, anda perlu menyelesaikan tugasan berikut, cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 7 dan 3, penyelesaiannya agak mudah, hanya darabkannya. Akibatnya, terdapat nombor 21, tidak ada nombor yang lebih kecil.

Contoh No. 2

Versi kedua tugas adalah lebih sukar. Nombor 300 dan 1260 diberikan, mencari LOC adalah wajib. Untuk menyelesaikan masalah, tindakan berikut diandaikan:

Penguraian nombor pertama dan kedua kepada faktor mudah. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Tahap pertama selesai.

Peringkat kedua melibatkan bekerja dengan data yang telah diperolehi. Setiap nombor yang diterima mesti mengambil bahagian dalam mengira keputusan akhir. Bagi setiap faktor, bilangan kejadian terbesar diambil daripada nombor asal. LCM ialah nombor umum, jadi faktor nombor mesti diulang di dalamnya, setiap satu, malah yang terdapat dalam satu salinan. Kedua-dua nombor awal mengandungi nombor 2, 3 dan 5, dalam kuasa yang berbeza; 7 hanya terdapat dalam satu kes.

Untuk mengira keputusan akhir, anda perlu mengambil setiap nombor dalam kuasa terbesar yang diwakili ke dalam persamaan. Apa yang tinggal adalah untuk mendarab dan mendapatkan jawapan; jika diisi dengan betul, tugas itu sesuai dengan dua langkah tanpa penjelasan:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Itulah keseluruhan masalah, jika anda cuba mengira nombor yang diperlukan dengan pendaraban, maka jawapannya pasti tidak betul, kerana 300 * 1260 = 378,000.

Peperiksaan:

6300 / 300 = 21 - betul;

6300 / 1260 = 5 - betul.

Ketepatan keputusan yang diperoleh ditentukan dengan menyemak - membahagikan LCM dengan kedua-dua nombor asal; jika nombor itu adalah integer dalam kedua-dua kes, maka jawapannya adalah betul.

Apakah maksud NOC dalam matematik?

Seperti yang anda tahu, tidak ada satu pun fungsi yang tidak berguna dalam matematik, ini tidak terkecuali. Tujuan yang paling biasa bagi nombor ini adalah untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa. Apa yang biasa dipelajari di darjah 5-6 sekolah menengah. Ia juga merupakan pembahagi biasa untuk semua gandaan, jika keadaan sedemikian terdapat dalam masalah. Ungkapan sedemikian boleh mencari gandaan bukan sahaja dua nombor, tetapi juga nombor yang lebih besar - tiga, lima, dan seterusnya. Lebih banyak nombor, lebih banyak tindakan dalam tugas, tetapi kerumitan tidak meningkat.

Sebagai contoh, memandangkan nombor 250, 600 dan 1500, anda perlu mencari LCM biasa mereka:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - contoh ini menerangkan pemfaktoran secara terperinci, tanpa pengurangan.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Untuk mengarang ungkapan, adalah perlu untuk menyebut semua faktor, dalam kes ini 2, 5, 3 diberikan - untuk semua nombor ini adalah perlu untuk menentukan tahap maksimum.

Perhatian: semua faktor mesti dibawa ke tahap pemudahan lengkap, jika boleh, diuraikan ke tahap satu digit.

Peperiksaan:

1) 3000 / 250 = 12 - betul;

2) 3000 / 600 = 5 - benar;

3) 3000 / 1500 = 2 - betul.

Kaedah ini tidak memerlukan sebarang helah atau kebolehan tahap genius, semuanya mudah dan jelas.

Cara lain

Dalam matematik, banyak perkara disambungkan, banyak perkara boleh diselesaikan dengan dua atau lebih cara, begitu juga untuk mencari gandaan sepunya terkecil, LCM. Kaedah berikut boleh digunakan dalam kes nombor dua digit dan satu digit mudah. Jadual disusun di mana pendaraban dimasukkan secara menegak, pengganda secara mendatar, dan hasil darab ditunjukkan dalam sel bersilang lajur. Anda boleh mencerminkan jadual menggunakan garis, mengambil nombor dan menulis hasil pendaraban nombor ini dengan integer, dari 1 hingga infiniti, kadang-kadang 3-5 mata sudah cukup, nombor kedua dan seterusnya menjalani proses pengiraan yang sama. Semuanya berlaku sehingga gandaan sepunya ditemui.

Memandangkan nombor 30, 35, 42, anda perlu mencari LCM yang menyambungkan semua nombor:

1) Gandaan 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, dsb.

2) Gandaan 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, dsb.

3) Gandaan 42: 84, 126, 168, 210, 252, dsb.

Adalah ketara bahawa semua nombor adalah agak berbeza, satu-satunya nombor biasa di antara mereka ialah 210, jadi ia akan menjadi NOC. Di antara proses yang terlibat dalam pengiraan ini terdapat juga pembahagi sepunya terbesar, yang dikira mengikut prinsip yang sama dan sering ditemui dalam masalah jiran. Perbezaannya adalah kecil, tetapi agak ketara, LCM melibatkan pengiraan nombor yang dibahagikan dengan semua nilai awal yang diberikan, dan GCD melibatkan pengiraan nilai terbesar yang mana nombor asal dibahagikan.