Permudahkan kalkulator dalam talian dengan penyelesaian. Persamaan dalam talian

Mari kita pertimbangkan topik mengubah ekspresi dengan kuasa, tetapi mula-mula mari kita memikirkan beberapa transformasi yang boleh dilakukan dengan mana-mana ungkapan, termasuk yang berkuasa. Kami akan belajar membuka kurungan, membawa istilah yang serupa, bekerja dengan asas dan eksponen, gunakan sifat darjah.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apakah ungkapan kuasa?

Dalam kursus sekolah, beberapa orang menggunakan frasa "ungkapan yang kuat," tetapi istilah ini sentiasa dijumpai dalam koleksi untuk persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersatu. Dalam kebanyakan kes, frasa menunjukkan ungkapan yang mengandungi darjah dalam entrinya. Inilah yang akan kita cerminkan dalam definisi kita.

Definisi 1

Ekspresi kuasa adalah ungkapan yang mengandungi kuasa.

Mari kita berikan beberapa contoh ungkapan kuasa, bermula dengan kuasa dengan eksponen semula jadi dan berakhir dengan kuasa dengan eksponen sebenar.

Ungkapan kuasa termudah boleh dianggap kuasa nombor dengan eksponen semula jadi: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Dan juga kuasa dengan eksponen sifar: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Dan darjah dengan integer kuasa negatif: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Adalah lebih sukar untuk bekerja dengan ijazah yang mempunyai eksponen rasional dan tidak rasional: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Penunjuk boleh menjadi pembolehubah 3 x - 54 - 7 3 x - 58 atau logaritma x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Kami telah menangani persoalan apakah itu ungkapan kuasa. Sekarang mari kita mula menukarnya.

Jenis utama transformasi ekspresi kuasa

Pertama sekali, kita akan melihat transformasi identiti asas ekspresi yang boleh dilakukan dengan ekspresi kuasa.

Contoh 1

Kira nilai ungkapan kuasa 2 3 (4 2 − 12).

Penyelesaian

Kami akan melaksanakan semua transformasi dengan mematuhi perintah tindakan. DALAM dalam kes ini Kami akan mulakan dengan melakukan tindakan dalam kurungan: kami akan menggantikan darjah dengan nilai digital dan mengira perbezaan dua nombor. Kami ada 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Apa yang perlu kita lakukan ialah menggantikan ijazah 2 3 maksudnya 8 dan mengira produk 8 4 = 32. Inilah jawapan kami.

Jawapan: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Contoh 2

Permudahkan ungkapan dengan kuasa 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Penyelesaian

Ungkapan yang diberikan kepada kami dalam pernyataan masalah mengandungi istilah serupa yang boleh kami berikan: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Jawapan: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Contoh 3

Ungkapkan ungkapan dengan kuasa 9 - b 3 · π - 1 2 sebagai hasil darab.

Penyelesaian

Mari kita bayangkan nombor 9 sebagai satu kuasa 3 2 dan gunakan formula pendaraban yang disingkatkan:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Jawapan: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Sekarang mari kita beralih kepada analisis transformasi identiti yang boleh digunakan secara khusus untuk ekspresi kuasa.

Bekerja dengan asas dan eksponen

Darjah dalam asas atau eksponen boleh mempunyai nombor, pembolehubah dan beberapa ungkapan. Sebagai contoh, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Dan . Bekerja dengan rekod sedemikian adalah sukar. Adalah lebih mudah untuk menggantikan ungkapan dalam asas darjah atau ungkapan dalam eksponen dengan ungkapan yang sama.

Transformasi darjah dan eksponen dijalankan mengikut peraturan yang kita ketahui secara berasingan antara satu sama lain. Perkara yang paling penting ialah transformasi menghasilkan ungkapan yang sama dengan yang asal.

Tujuan transformasi adalah untuk memudahkan ungkapan asal atau mendapatkan penyelesaian kepada masalah tersebut. Sebagai contoh, dalam contoh yang kami berikan di atas, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 anda boleh mengikuti langkah-langkah untuk pergi ke ijazah 4 , 1 1 , 3 . Dengan membuka kurungan, kita boleh mengemukakan istilah yang serupa dengan asas kuasa (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) dan dapatkan lebih banyak ekspresi kuasa jenis mudah a 2 (x + 1).

Menggunakan Degree Properties

Sifat kuasa, yang ditulis dalam bentuk persamaan, adalah salah satu alat utama untuk mengubah ungkapan dengan kuasa. Kami membentangkan di sini yang utama, dengan mengambil kira itu a Dan b- ini adalah mana-mana nombor positif, A r Dan s- nombor nyata arbitrari:

Definisi 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Dalam kes di mana kita berhadapan dengan eksponen semula jadi, integer, positif, sekatan pada nombor a dan b boleh menjadi kurang ketat. Jadi, sebagai contoh, jika kita mempertimbangkan kesaksamaan a m · a n = a m + n, Di mana m Dan n – integer, maka ia akan menjadi benar untuk mana-mana nilai a, baik positif dan negatif, serta untuk a = 0.

Anda boleh menggunakan sifat kuasa tanpa sekatan dalam kes di mana asas kuasa adalah positif atau mengandungi pembolehubah, kawasan nilai yang boleh diterima yang mana asas di atasnya menerima sahaja nilai positif. Malah, dalam kurikulum sekolah dalam matematik, tugas pelajar ialah memilih sifat yang sesuai dan mengaplikasikannya dengan betul.

Semasa bersiap sedia untuk memasuki universiti, anda mungkin menghadapi masalah di mana penggunaan hartanah yang tidak tepat akan membawa kepada penyempitan DL dan kesukaran lain untuk diselesaikan. Dalam bahagian ini kita akan meneliti hanya dua kes sedemikian. Maklumat lanjut mengenai subjek boleh didapati dalam topik "Menukar ungkapan menggunakan sifat kuasa".

Contoh 4

Bayangkan ungkapannya a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 dalam bentuk kuasa dengan asas a.

Penyelesaian

Pertama, kita menggunakan sifat eksponen dan mengubah faktor kedua menggunakannya (a 2) − 3. Kemudian kita menggunakan sifat pendaraban dan pembahagian kuasa dengan asas yang sama:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 3 , 5 − 5) = a 2 .

Jawapan: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformasi ungkapan kuasa mengikut sifat kuasa boleh dilakukan dari kiri ke kanan dan dalam arah yang bertentangan.

Contoh 5

Cari nilai ungkapan kuasa 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Penyelesaian

Jika kita menerapkan kesamarataan (a · b) r = a r · b r, dari kanan ke kiri, kita mendapat hasil darab bentuk 3 · 7 1 3 · 21 2 3 dan kemudian 21 1 3 · 21 2 3 . Mari tambahkan eksponen apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Terdapat cara lain untuk melakukan transformasi:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Jawapan: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Contoh 6

Diberi ungkapan kuasa a 1, 5 − a 0, 5 − 6, masukkan pembolehubah baharu t = a 0.5.

Penyelesaian

Cuba kita bayangkan ijazah a 1, 5 Bagaimana a 0.5 3. Menggunakan sifat darjah kepada darjah (a r) s = a r · s dari kanan ke kiri dan kita dapat (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Anda boleh dengan mudah memperkenalkan pembolehubah baharu ke dalam ungkapan yang terhasil t = a 0.5: kita mendapatkan t 3 − t − 6.

Jawapan: t 3 − t − 6 .

Menukar pecahan yang mengandungi kuasa

Kami biasanya berurusan dengan dua versi ungkapan kuasa dengan pecahan: ungkapan itu mewakili pecahan dengan kuasa atau mengandungi pecahan sedemikian. Semua penjelmaan asas pecahan boleh digunakan untuk ungkapan tersebut tanpa sekatan. Mereka boleh dikurangkan, dibawa ke penyebut baru, atau dikerjakan secara berasingan dengan pengangka dan penyebut. Mari kita gambarkan ini dengan contoh.

Contoh 7

Permudahkan ungkapan kuasa 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Penyelesaian

Kami berurusan dengan pecahan, jadi kami akan melakukan transformasi dalam kedua-dua pengangka dan penyebut:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Letakkan tanda tolak di hadapan pecahan untuk menukar tanda penyebut: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Jawapan: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Pecahan yang mengandungi kuasa dikurangkan kepada penyebut baru dengan cara yang sama seperti pecahan rasional. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari faktor tambahan dan mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengannya. Ia adalah perlu untuk memilih faktor tambahan sedemikian rupa sehingga ia tidak pergi ke sifar untuk sebarang nilai pembolehubah daripada pembolehubah ODZ untuk ungkapan asal.

Contoh 8

Kurangkan pecahan kepada penyebut baru: a) a + 1 a 0, 7 kepada penyebut a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 kepada penyebut x + 8 · y 1 2 .

Penyelesaian

a) Mari kita pilih faktor yang membolehkan kita mengurangkan kepada penyebut baru. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, oleh itu, sebagai faktor tambahan kami akan ambil a 0, 3. Julat nilai yang dibenarkan pembolehubah a termasuk set semua positif nombor nyata. Ijazah dalam bidang ini a 0, 3 tidak pergi ke sifar.

Mari kita darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Mari kita perhatikan penyebutnya:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Mari kita darabkan ungkapan ini dengan x 1 3 + 2 · y 1 6, kita mendapat hasil tambah kubus x 1 3 dan 2 · y 1 6, i.e. x + 8 · y 1 2 . Ini adalah penyebut baharu kami yang mana kami perlu mengurangkan pecahan asal.

Beginilah kami mendapati faktor tambahan x 1 3 + 2 · y 1 6 . Mengenai julat nilai pembolehubah yang dibenarkan x Dan y ungkapan x 1 3 + 2 y 1 6 tidak lenyap, oleh itu, kita boleh mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengannya:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Jawapan: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Contoh 9

Kurangkan pecahan: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Penyelesaian

a) Kami menggunakan penyebut sepunya terbesar (GCD), yang mana kami boleh mengurangkan pengangka dan penyebut. Untuk nombor 30 dan 45 ialah 15. Kita juga boleh membuat pengurangan sebanyak x0.5+1 dan pada x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Kita mendapatkan:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Di sini kehadiran faktor yang sama tidak jelas. Anda perlu melakukan beberapa transformasi untuk mendapatkan faktor yang sama dalam pengangka dan penyebut. Untuk melakukan ini, kami mengembangkan penyebut menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Jawapan: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Operasi asas dengan pecahan termasuk menukar pecahan kepada penyebut baharu dan mengurangkan pecahan. Kedua-dua tindakan dilakukan dengan mematuhi beberapa peraturan. Apabila menambah dan menolak pecahan, pecahan dikurangkan dahulu kepada penyebut biasa, selepas itu operasi (penambahan atau penolakan) dijalankan dengan pengangka. Penyebutnya tetap sama. Hasil daripada tindakan kita ialah pecahan baru, pengangkanya adalah hasil darab dari pengangka, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebut.

Contoh 10

Lakukan langkah x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Penyelesaian

Mari kita mulakan dengan menolak pecahan yang ada dalam kurungan. Mari kita bawa mereka kepada penyebut biasa:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Mari kita tolak pembilang:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Sekarang kita darabkan pecahan:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Mari kita kurangkan dengan kuasa x 1 2, kita dapat 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Selain itu, anda boleh memudahkan ungkapan kuasa dalam penyebut menggunakan formula perbezaan kuasa dua: kuasa dua: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Jawapan: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Contoh 11

Permudahkan ungkapan undang-undang kuasa x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Penyelesaian

Kita boleh mengurangkan pecahan dengan (x 2 , 7 + 1) 2. Kami mendapat pecahan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Mari teruskan mengubah kuasa x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Kini anda boleh menggunakan sifat pembahagian kuasa dengan asas yang sama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Kami bergerak dari hasil kali terakhir ke pecahan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Jawapan: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Dalam kebanyakan kes, lebih mudah untuk memindahkan faktor dengan eksponen negatif dari pengangka ke penyebut dan belakang, menukar tanda eksponen. Tindakan ini membolehkan anda memudahkan keputusan selanjutnya. Mari kita berikan contoh: ungkapan kuasa (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 boleh digantikan dengan x 3 · (x + 1) 0, 2.

Menukar ungkapan dengan akar dan kuasa

Dalam masalah terdapat ungkapan kuasa yang mengandungi bukan sahaja kuasa dengan eksponen pecahan, tetapi juga akar. Adalah dinasihatkan untuk mengurangkan ungkapan sedemikian hanya kepada akar atau hanya kepada kuasa. Pergi untuk ijazah adalah lebih baik kerana mereka lebih mudah untuk bekerja. Peralihan ini lebih disukai apabila ODZ pembolehubah untuk ungkapan asal membolehkan anda menggantikan akar dengan kuasa tanpa perlu mengakses modulus atau membahagikan ODZ kepada beberapa selang.

Contoh 12

Nyatakan ungkapan x 1 9 · x · x 3 6 sebagai kuasa.

Penyelesaian

Julat nilai pembolehubah yang dibenarkan x ditakrifkan oleh dua ketaksamaan x ≥ 0 dan x x 3 ≥ 0, yang mentakrifkan set [ 0 , + ∞) .

Pada set ini kita mempunyai hak untuk beralih dari akar kepada kuasa:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Menggunakan sifat kuasa, kami memudahkan ekspresi kuasa yang terhasil.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Jawapan: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Menukar kuasa dengan pembolehubah dalam eksponen

Transformasi ini agak mudah dibuat jika anda menggunakan sifat-sifat ijazah dengan betul. Sebagai contoh, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Kita boleh menggantikan dengan hasil darab kuasa, eksponennya ialah hasil tambah beberapa pembolehubah dan nombor. Di sebelah kiri, ini boleh dilakukan dengan istilah pertama dan terakhir di sebelah kiri ungkapan:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Sekarang mari kita bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan 7 2 x. Ungkapan ini untuk pembolehubah x hanya mengambil nilai positif:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Mari kita kurangkan pecahan dengan kuasa, kita dapat: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Akhir sekali, nisbah kuasa dengan eksponen yang sama digantikan dengan kuasa nisbah, menghasilkan persamaan 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, yang bersamaan dengan 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Mari kita perkenalkan pembolehubah baru t = 5 7 x, yang mengurangkan penyelesaian persamaan eksponen asal kepada penyelesaian persamaan kuadratik 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Menukar ungkapan dengan kuasa dan logaritma

Ungkapan yang mengandungi kuasa dan logaritma juga terdapat dalam masalah. Contoh ungkapan tersebut ialah: 1 4 1 - 5 · log 2 3 atau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformasi ungkapan tersebut dilakukan menggunakan pendekatan dan sifat logaritma yang dibincangkan di atas, yang kami bincangkan secara terperinci dalam topik "Transformasi ungkapan logaritma".

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Mana-mana bahasa boleh menyatakan maklumat yang sama dalam perkataan yang berbeza dan revolusi. Bahasa matematik tidak terkecuali. Tetapi ungkapan yang sama boleh ditulis secara sama dengan cara yang berbeza. Dan dalam beberapa situasi, salah satu entri adalah lebih mudah. Kita akan bercakap tentang memudahkan ungkapan dalam pelajaran ini.

Orang ramai berkomunikasi perbezaan bahasa. Bagi kami, perbandingan penting ialah pasangan "Bahasa Rusia - bahasa matematik". Maklumat yang sama boleh disampaikan dalam bahasa yang berbeza. Tetapi, selain ini, ia boleh disebut dengan cara yang berbeza dalam satu bahasa.

Contohnya: "Petya berkawan dengan Vasya", "Vasya berkawan dengan Petya", "Petya dan Vasya berkawan". Berkata berbeza, tetapi perkara yang sama. Daripada mana-mana frasa ini kita akan faham apa yang kita bincangkan.

Mari kita lihat frasa ini: "Anak lelaki Petya dan budak lelaki Vasya adalah kawan." Kami faham apa yang kami maksudkan kita bercakap tentang. Walau bagaimanapun, kami tidak suka bunyi frasa ini. Tidak bolehkah kita permudahkan, katakan perkara yang sama, tetapi lebih mudah? "Boy and boy" - anda boleh katakan sekali: "Boys Petya dan Vasya adalah kawan."

"Lelaki"... Bukankah jelas dari nama mereka bahawa mereka bukan perempuan? Kami mengeluarkan "lelaki": "Petya dan Vasya adalah kawan." Dan perkataan "kawan" boleh digantikan dengan "kawan": "Petya dan Vasya adalah kawan." Akibatnya, frasa pertama, panjang, hodoh digantikan dengan pernyataan setara yang lebih mudah untuk disebut dan lebih mudah difahami. Kami telah memudahkan frasa ini. Memudahkan bermaksud mengatakannya dengan lebih ringkas, tetapi tidak kehilangan atau memutarbelitkan maksudnya.

Dalam bahasa matematik, lebih kurang perkara yang sama berlaku. Satu dan perkara yang sama boleh dikatakan, ditulis secara berbeza. Apakah yang dimaksudkan untuk memudahkan ungkapan? Ini bermakna bahawa untuk ungkapan asal terdapat banyak ungkapan yang setara, iaitu, yang bermaksud perkara yang sama. Dan daripada semua jenis ini, kita mesti memilih yang paling mudah, pada pendapat kita, atau yang paling sesuai untuk tujuan kita selanjutnya.

Sebagai contoh, pertimbangkan ungkapan berangka . Ia akan bersamaan dengan .

Ia juga akan bersamaan dengan dua yang pertama: .

Ternyata kami telah mempermudahkan ungkapan kami dan menemui ungkapan setara terpendek.

Untuk ungkapan berangka, anda sentiasa perlu melakukan segala-galanya dan mendapatkan ungkapan yang setara sebagai nombor tunggal.

Mari kita lihat contoh ungkapan literal . Jelas sekali, ia akan menjadi lebih mudah.

Apabila memudahkan ungkapan literal, adalah perlu untuk melakukan semua tindakan yang mungkin.

Adakah ia sentiasa perlu untuk memudahkan ungkapan? Tidak, kadang-kadang lebih mudah untuk kita mempunyai entri yang setara tetapi lebih panjang.

Contoh: anda perlu menolak nombor daripada nombor.

Ia adalah mungkin untuk mengira, tetapi jika nombor pertama diwakili oleh tatatanda yang setara: , maka pengiraan akan menjadi serta-merta: .

Iaitu, ungkapan yang dipermudahkan tidak selalunya bermanfaat untuk kita untuk pengiraan selanjutnya.

Namun begitu, selalunya kita dihadapkan dengan tugasan yang kelihatan seperti "memudahkan ungkapan."

Permudahkan ungkapan: .

Penyelesaian

1) Lakukan tindakan dalam kurungan pertama dan kedua: .

2) Mari kita mengira produk: .

Jelas sekali, ungkapan terakhir mempunyai bentuk yang lebih mudah daripada yang awal. Kami telah memudahkannya.

Untuk memudahkan ungkapan, ia mesti digantikan dengan yang setara (sama).

Untuk menentukan ungkapan setara yang anda perlukan:

1) melakukan semua tindakan yang mungkin,

2) menggunakan sifat tambah, tolak, darab dan bahagi untuk memudahkan pengiraan.

Sifat penambahan dan penolakan:

1. Sifat komutatif penambahan: penyusunan semula terma tidak mengubah jumlah.

2. Sifat gabungan penambahan: untuk menambah nombor ketiga kepada hasil tambah dua nombor, anda boleh menambah jumlah nombor kedua dan ketiga kepada nombor pertama.

3. Sifat menolak jumlah daripada nombor: untuk menolak jumlah daripada nombor, anda boleh menolak setiap sebutan secara berasingan.

Sifat darab dan bahagi

1. Sifat komutatif pendaraban: penyusunan semula faktor tidak mengubah hasil darab.

2. Sifat gabungan: untuk mendarab nombor dengan hasil darab dua nombor, anda boleh terlebih dahulu mendarabnya dengan faktor pertama, dan kemudian mendarab hasil darab dengan faktor kedua.

3. Sifat distributif pendaraban: untuk mendarab nombor dengan jumlah, anda perlu mendarabnya dengan setiap sebutan secara berasingan.

Mari kita lihat bagaimana kita sebenarnya melakukan pengiraan mental.

Kira:

Penyelesaian

1) Cuba kita bayangkan bagaimana

2) Mari kita bayangkan faktor pertama sebagai jumlah istilah bit dan lakukan pendaraban:

3) anda boleh bayangkan bagaimana dan melakukan pendaraban:

4) Gantikan faktor pertama dengan jumlah yang setara:

Undang-undang pengedaran juga boleh digunakan dalam sisi terbalik: .

Ikut langkah-langkah ini:

1) 2)

Penyelesaian

1) Untuk kemudahan, anda boleh menggunakan undang-undang pengedaran, tetapi gunakannya dalam arah yang bertentangan - keluarkan faktor sepunya daripada kurungan.

2) Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan

Ia adalah perlu untuk membeli linoleum untuk dapur dan lorong. Ruang dapur - , lorong - . Terdapat tiga jenis linoleum: untuk, dan rubel untuk. Berapakah kos bagi setiap tiga jenis linoleum? (Rajah 1)

nasi. 1. Ilustrasi untuk pernyataan masalah

Penyelesaian

Kaedah 1. Anda boleh mengetahui secara berasingan berapa banyak wang yang diperlukan untuk membeli linoleum untuk dapur, dan kemudian meletakkannya di lorong dan menambah produk yang dihasilkan.

Kuasa digunakan untuk memudahkan operasi mendarab nombor dengan sendirinya. Sebagai contoh, daripada menulis, anda boleh menulis 4 5 (\gaya paparan 4^(5))(Penjelasan untuk peralihan ini diberikan dalam bahagian pertama artikel ini). Ijazah memudahkan untuk menulis panjang atau ungkapan yang kompleks atau persamaan; kuasa juga mudah untuk menambah dan menolak, menghasilkan ungkapan atau persamaan yang dipermudahkan (contohnya, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\gaya paparan 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Catatan: jika anda perlu membuat keputusan persamaan eksponen(dalam persamaan sedemikian yang tidak diketahui adalah dalam eksponen), baca.

Langkah-langkah

Menyelesaikan masalah mudah dengan darjah

Darabkan asas kuasa dengan sendirinya dengan bilangan kali sama dengan penunjuk darjah. Jika anda perlu menyelesaikan masalah kuasa dengan tangan, tulis semula kuasa sebagai operasi pendaraban, di mana asas kuasa didarab dengan sendirinya. Contohnya, diberi ijazah 3 4 (\gaya paparan 3^(4)). Dalam kes ini, asas kuasa 3 mesti didarab dengan sendirinya 4 kali: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\gaya paparan 3*3*3*3). Berikut adalah contoh lain:

Pertama, darab dua nombor pertama. Sebagai contoh, 4 5 (\gaya paparan 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4*4*4*4*4). Jangan risau - proses pengiraan tidak begitu rumit seperti yang kelihatan pada pandangan pertama. Mula-mula darab dua empat yang pertama dan kemudian gantikannya dengan hasilnya. seperti ini:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\gaya paparan 4*4=16)

1. Darabkan hasil (16 dalam contoh kita) dengan nombor seterusnya. Setiap keputusan seterusnya akan meningkat secara berkadar. Dalam contoh kami, darabkan 16 dengan 4. Seperti ini:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\gaya paparan 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\gaya paparan 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\gaya paparan 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Teruskan mendarab hasil dua nombor pertama dengan nombor seterusnya sehingga anda mendapat jawapan akhir anda. Untuk melakukan ini, darab dua nombor pertama, dan kemudian darabkan hasil yang terhasil dengan nombor seterusnya dalam urutan. Kaedah ini sah untuk mana-mana ijazah. Dalam contoh kami, anda sepatutnya mendapat: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\gaya paparan 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Selesaikan masalah berikut. Semak jawapan anda menggunakan kalkulator.

   • 8 2 (\gaya paparan 8^(2))
   • 3 4 (\gaya paparan 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Pada kalkulator anda, cari kunci berlabel "exp" atau " x n (\displaystyle x^(n))", atau "^". Menggunakan kekunci ini anda akan menaikkan nombor kepada kuasa. Hampir mustahil untuk mengira ijazah dengan penunjuk besar secara manual (contohnya, ijazah 9 15 (\gaya paparan 9^(15))), tetapi kalkulator boleh mengatasi tugas ini dengan mudah. Dalam Windows 7, kalkulator standard boleh ditukar kepada mod kejuruteraan; Untuk melakukan ini, klik "Lihat" -> "Kejuruteraan". Untuk bertukar kepada mod biasa, klik "Lihat" -> "Biasa".

   • Semak jawapan anda menggunakan enjin carian(Google atau Yandex). Menggunakan kekunci "^" pada papan kekunci komputer anda, masukkan ungkapan ke dalam enjin carian, yang akan memaparkan jawapan yang betul serta-merta (dan mungkin mencadangkan ungkapan yang serupa untuk anda pelajari).

   Penambahan, penolakan, pendaraban kuasa

   1. Anda boleh menambah dan menolak darjah hanya jika mereka mempunyai asas yang sama. Jika anda perlu menambah kuasa dengan asas dan eksponen yang sama, maka anda boleh menggantikan operasi tambah dengan operasi pendaraban. Sebagai contoh, diberikan ungkapan 4 5 + 4 5 (\gaya paparan 4^(5)+4^(5)). Ingat bahawa ijazah 4 5 (\gaya paparan 4^(5)) boleh diwakili dalam bentuk 1 ∗ 4 5 (\gaya paparan 1*4^(5)); Oleh itu, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\gaya paparan 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(di mana 1 +1 =2). Iaitu, hitung bilangan darjah yang serupa, dan kemudian darabkan darjah itu dan nombor ini. Dalam contoh kami, naikkan 4 kepada kuasa kelima, dan kemudian darabkan hasil yang terhasil dengan 2. Ingat bahawa operasi tambah boleh digantikan dengan operasi pendaraban, contohnya, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Berikut adalah contoh lain:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\gaya paparan 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\gaya paparan 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\gaya paparan 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama, eksponen mereka ditambah (asas tidak berubah). Sebagai contoh, diberikan ungkapan x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dalam kes ini, anda hanya perlu menambah penunjuk, meninggalkan asas tidak berubah. Oleh itu, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Berikut ialah penjelasan visual tentang peraturan ini:

      Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, eksponen didarabkan. Sebagai contoh, ijazah diberikan. Oleh kerana eksponen didarab, maka (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\gaya paparan (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Maksud peraturan ini ialah anda mendarab dengan kuasa (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pada dirinya sendiri lima kali. seperti ini:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Oleh kerana asasnya adalah sama, eksponen hanya menambah: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Kuasa dengan eksponen negatif harus ditukar kepada pecahan (kuasa songsang). Tidak mengapa jika anda tidak tahu apa itu ijazah timbal balik. Jika anda diberi ijazah dengan eksponen negatif, mis. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), tulis darjah ini dalam penyebut pecahan (letak 1 dalam pengangka), dan jadikan eksponen positif. Dalam contoh kami: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Berikut adalah contoh lain:

      Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponen mereka ditolak (asas tidak berubah). Operasi bahagi adalah bertentangan dengan operasi darab. Sebagai contoh, diberikan ungkapan 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Kurangkan eksponen dalam penyebut daripada eksponen dalam pengangka (jangan ubah asas). Oleh itu, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\gaya paparan (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Kuasa dalam penyebut boleh ditulis seperti berikut: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\gaya paparan 4^(-2)). Ingat bahawa pecahan ialah nombor (kuasa, ungkapan) dengan eksponen negatif.

   4. Di bawah ialah beberapa ungkapan yang akan membantu anda belajar menyelesaikan masalah dengan eksponen. Ungkapan yang diberikan meliputi bahan yang dibentangkan dalam bahagian ini. Untuk melihat jawapannya, highlight sahaja ruang kosong selepas tanda sama.

      Menyelesaikan masalah dengan eksponen pecahan

      1. Kuasa dengan eksponen pecahan (contohnya, ) ditukar kepada operasi punca. Dalam contoh kami: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Di sini tidak kira apa nombor dalam penyebut eksponen pecahan. Sebagai contoh, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- ialah punca keempat bagi “x”, iaitu x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Jika eksponen ialah pecahan tak wajar, maka darjah tersebut boleh diuraikan kepada dua darjah untuk memudahkan penyelesaian masalah. Tidak ada yang rumit tentang ini - hanya ingat peraturan kuasa penggandaan. Sebagai contoh, ijazah diberikan. Tukar kuasa sedemikian kepada punca yang kuasanya sama dengan penyebut eksponen pecahan, dan kemudian naikkan punca ini kepada kuasa yang sama dengan pengangka bagi eksponen pecahan. Untuk melakukan ini, ingat itu 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Dalam contoh kami:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Sesetengah kalkulator mempunyai butang untuk mengira eksponen (anda mesti terlebih dahulu memasuki pangkalan, kemudian tekan butang, dan kemudian masukkan eksponen). Ia dilambangkan sebagai ^ atau x^y.
      4. Ingat bahawa sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri, sebagai contoh, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Selain itu, sebarang nombor yang didarab atau dibahagi dengan satu adalah sama dengan nombor itu sendiri, mis. 5 ∗ 1 = 5 (\gaya paparan 5*1=5) Dan 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Ketahui bahawa kuasa 0 0 tidak wujud (kuasa sedemikian tidak mempunyai penyelesaian). Jika anda cuba menyelesaikan ijazah sedemikian pada kalkulator atau pada komputer, anda akan menerima ralat. Tetapi ingat bahawa sebarang nombor kepada kuasa sifar ialah 1, sebagai contoh, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. DALAM matematik yang lebih tinggi, yang beroperasi dengan nombor khayalan: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=kosax+isinax), Di mana i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e ialah pemalar lebih kurang sama dengan 2.7; a ialah pemalar arbitrari. Bukti kesamarataan ini boleh didapati dalam mana-mana buku teks mengenai matematik yang lebih tinggi.

      Amaran

      • Apabila eksponen meningkat, nilainya meningkat dengan banyak. Jadi jika jawapan itu kelihatan salah kepada anda, ia sebenarnya betul. Anda boleh menyemak ini dengan merancang mana-mana fungsi eksponen cth 2 x .

§ 1 Konsep memudahkan ungkapan literal

Dalam pelajaran ini, kita akan membiasakan diri dengan konsep "istilah serupa" dan, menggunakan contoh, kita akan belajar cara melakukan pengurangan istilah yang serupa, dengan itu memudahkan ungkapan literal.

Mari kita ketahui maksud konsep "pemudahan". Perkataan “permudah” berasal daripada perkataan “permudahkan”. Memudahkan bermaksud membuat mudah, lebih ringkas. Oleh itu, untuk memudahkan ungkapan literal adalah untuk menjadikannya lebih pendek, dengan kuantiti minimum tindakan.

Pertimbangkan ungkapan 9x + 4x. Ini adalah ungkapan literal yang merupakan jumlah. Istilah di sini dibentangkan sebagai hasil darab nombor dan huruf. Faktor berangka istilah tersebut dipanggil pekali. Dalam ungkapan ini, pekali ialah nombor 9 dan 4. Sila ambil perhatian bahawa faktor yang diwakili oleh huruf adalah sama dalam kedua-dua sebutan jumlah ini.

Mari kita ingat hukum pengagihan pendaraban:

Untuk mendarab jumlah dengan nombor, anda boleh mendarab setiap sebutan dengan nombor itu dan menambah produk yang terhasil.

DALAM Pandangan umum ditulis seperti berikut: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Hukum ini adalah benar dalam kedua-dua arah ac + bc = (a + b) ∙ c

Mari kita gunakannya pada ungkapan literal kita: jumlah hasil darab 9x dan 4x adalah sama dengan hasil darab yang faktor pertamanya ialah sama dengan jumlah 9 dan 4, faktor kedua ialah x.

9 + 4 = 13, itu 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

Daripada tiga tindakan dalam ungkapan, hanya ada satu tindakan yang tinggal - pendaraban. Ini bermakna bahawa kami telah menjadikan ungkapan literal kami lebih mudah, i.e. dipermudahkannya.

§ 2 Pengurangan istilah yang serupa

Istilah 9x dan 4x berbeza hanya dalam pekalinya - istilah sedemikian dipanggil serupa. Bahagian huruf bagi istilah yang serupa adalah sama. Istilah yang sama juga termasuk nombor dan sebutan yang sama.

Sebagai contoh, dalam ungkapan 9a + 12 - 15 sebutan yang serupa ialah nombor 12 dan -15, dan dalam jumlah hasil darab 12 dan 6a, nombor 14 dan hasil darab 12 dan 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) sebutan sama yang diwakili oleh hasil darab 12 dan 6a.

Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa istilah yang pekalinya sama, tetapi faktor hurufnya berbeza, tidak serupa, walaupun kadangkala berguna untuk menggunakan hukum darab taburan kepadanya, sebagai contoh, jumlah hasil darab 5x dan 5y ialah sama dengan hasil darab nombor 5 dan hasil tambah x dan y

5x + 5y = 5(x + y).

Mari kita ringkaskan ungkapan -9a + 15a - 4 + 10.

Istilah yang sama dalam kes ini ialah sebutan -9a dan 15a, kerana ia hanya berbeza dalam pekalinya. Pengganda huruf mereka adalah sama, dan istilah -4 dan 10 juga serupa, kerana ia adalah nombor. Tambahkan istilah serupa:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Kami mendapat: 6a + 6.

Dengan menyederhanakan ungkapan, kami mendapati jumlah istilah yang serupa; dalam matematik ini dipanggil pengurangan istilah yang serupa.

Jika menambah istilah sedemikian sukar, anda boleh membuat perkataan untuknya dan menambah objek.

Sebagai contoh, pertimbangkan ungkapan:

Untuk setiap huruf kita mengambil objek kita sendiri: b-apple, c-pear, maka kita mendapat: 2 epal tolak 5 pear ditambah 8 pear.

Bolehkah kita menolak pear daripada epal? Sudah tentu tidak. Tetapi kita boleh menambah 8 pear kepada tolak 5 pear.

Mari kita kemukakan istilah serupa -5 pear + 8 pear. Istilah yang sama mempunyai bahagian huruf yang sama, jadi apabila membawa istilah yang sama, cukup untuk menambah pekali dan menambah bahagian huruf kepada hasilnya:

(-5 + 8) pear - anda mendapat 3 pear.

Kembali kepada ungkapan literal kami, kami mempunyai -5 s + 8 s = 3 s. Oleh itu, selepas membawa istilah yang serupa, kita memperoleh ungkapan 2b + 3c.

Oleh itu, dalam pelajaran ini anda membiasakan diri dengan konsep "istilah serupa" dan belajar cara memudahkan ungkapan huruf dengan mengurangkan istilah yang serupa.

Senarai literatur yang digunakan:

1. Matematik. darjah 6: rancangan pengajaran ke buku teks I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // pengarang-penyusun L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematik. Darjah 6: buku teks untuk pelajar institusi pendidikan. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematik. Darjah 6: buku teks untuk institusi pendidikan am/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov dan lain-lain/diedit oleh G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Akademi Sains Rusia, Akademi Pendidikan Rusia. M.: "Pencerahan", 2010.
4. Matematik. Darjah 6: pengajian untuk institusi pendidikan am/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. Matematik. darjah 6: buku teks/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Imej yang digunakan:

Nota PENTING!
1. Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Bagaimana untuk melakukan ini dalam penyemak imbas anda ditulis di sini:
2. Sebelum anda mula membaca artikel itu, perhatikan pelayar kami sepenuhnya sumber yang berguna Untuk

Kita sering mendengar ungkapan yang tidak menyenangkan ini: "mudahkan ungkapan." Biasanya kita melihat beberapa jenis raksasa seperti ini:

"Ia lebih mudah," kami berkata, tetapi jawapan sedemikian biasanya tidak berfungsi.

Sekarang saya akan mengajar anda untuk tidak takut dengan sebarang tugas sedemikian.

Lebih-lebih lagi, pada akhir pelajaran, anda sendiri akan memudahkan contoh ini kepada (hanya!) nombor biasa (ya, neraka dengan huruf ini).

Tetapi sebelum anda memulakan aktiviti ini, anda perlu boleh mengendalikan pecahan Dan polinomial faktor.

Oleh itu, jika anda belum melakukan ini sebelum ini, pastikan anda menguasai topik "" dan "".

Adakah anda telah membacanya? Jika ya, maka anda kini sudah bersedia.

Mari pergi! (Mari pergi!)

Operasi Permudah Ungkapan Asas

Sekarang mari kita lihat teknik asas yang digunakan untuk memudahkan ungkapan.

Yang paling mudah ialah

1. Membawa serupa

Apakah yang serupa? Anda mengambil ini dalam gred 7, apabila huruf dan bukannya nombor mula-mula muncul dalam matematik.

serupa- ini adalah istilah (monomial) dengan bahagian huruf yang sama.

Sebagai contoh, dalam jumlah, istilah yang serupa ialah dan.

Adakah awak ingat?

Berikan yang serupa- bermakna menambah beberapa istilah yang serupa antara satu sama lain dan mendapat satu istilah.

Bagaimanakah kita boleh menyusun huruf? - anda bertanya.

Ini sangat mudah difahami jika anda membayangkan bahawa huruf itu adalah sejenis objek.

Sebagai contoh, surat adalah kerusi. Kemudian apakah ungkapan itu sama dengan?

Dua kerusi ditambah tiga kerusi, berapakah bilangannya? Betul, kerusi: .

Sekarang cuba ungkapan ini: .

Untuk mengelakkan kekeliruan, biarkan huruf yang berbeza mewakili objek yang berbeza.

Sebagai contoh, - ialah (seperti biasa) kerusi, dan - ialah meja.

kerusi meja kerusi meja kerusi kerusi meja

Nombor yang mana huruf dalam sebutan tersebut didarab dipanggil pekali.

Sebagai contoh, dalam monomial pekali adalah sama. Dan di dalamnya adalah sama.

Jadi, peraturan untuk membawa yang serupa ialah:

Contoh:

Berikan yang serupa:

Jawapan:

2. (dan serupa, kerana, oleh itu, istilah ini mempunyai bahagian huruf yang sama).

2. Pemfaktoran

Ini biasanya bahagian terpenting dalam memudahkan ungkapan.

Selepas anda memberikan yang serupa, paling kerap ungkapan yang terhasil diperlukan memfaktorkan, iaitu dipersembahkan dalam bentuk produk.

Terutamanya ini penting dalam pecahan: lagipun, untuk dapat mengurangkan pecahan, Pengangka dan penyebut mesti diwakili sebagai hasil kali.

Anda telah melalui kaedah pemfaktoran ungkapan secara terperinci dalam topik "", jadi di sini anda hanya perlu mengingati apa yang anda pelajari.

Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh (anda perlu memfaktorkannya)

Contoh:

Penyelesaian:

3. Mengurangkan pecahan.

Nah, apa yang lebih menyenangkan daripada memotong sebahagian daripada pengangka dan penyebut dan membuangnya daripada hidup anda?

Itulah indahnya mengecilkan saiz.

Ia mudah:

Jika pengangka dan penyebut mengandungi faktor yang sama, ia boleh dikurangkan, iaitu, dikeluarkan daripada pecahan.

Peraturan ini mengikuti dari sifat asas pecahan:

Iaitu, intipati operasi pengurangan itu Kami membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor yang sama (atau dengan ungkapan yang sama).

Untuk mengurangkan pecahan yang anda perlukan:

1) pengangka dan penyebut memfaktorkan

2) jika pengangka dan penyebut mengandungi faktor biasa, mereka boleh dicoret.

Contoh:

Prinsipnya, saya rasa, jelas?

Saya ingin menarik perhatian anda kepada satu perkara kesilapan tipikal apabila berkontrak. Walaupun topik ini mudah, ramai orang melakukan semua yang salah, tidak memahaminya kurangkan- ini bermaksud bahagikan pengangka dan penyebut adalah nombor yang sama.

Tiada singkatan jika pengangka atau penyebut adalah jumlah.

Contohnya: kita perlu permudahkan.

Sesetengah orang melakukan ini: yang sama sekali salah.

Contoh lain: kurangkan.

"Paling bijak" akan melakukan ini:

Beritahu saya apa yang salah di sini? Nampaknya: - ini adalah pengganda, yang bermaksud ia boleh dikurangkan.

Tetapi tidak: - ini adalah faktor hanya satu sebutan dalam pengangka, tetapi pengangka itu sendiri secara keseluruhannya tidak difaktorkan.

Ini satu lagi contoh: .

Ungkapan ini difaktorkan, yang bermaksud anda boleh mengurangkannya, iaitu, bahagikan pengangka dan penyebut dengan, dan kemudian dengan:

Anda boleh membahagikannya dengan segera kepada:

Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, ingat Jalan mudah bagaimana untuk menentukan sama ada ungkapan difaktorkan:

Operasi aritmetik yang dilakukan terakhir apabila mengira nilai ungkapan ialah operasi "induk".

Iaitu, jika anda menggantikan beberapa (mana-mana) nombor dan bukannya huruf dan cuba mengira nilai ungkapan, maka jika tindakan terakhir ialah pendaraban, maka kita mempunyai produk (ungkapan difaktorkan).

Jika tindakan terakhir ialah penambahan atau penolakan, ini bermakna ungkapan itu tidak difaktorkan (dan oleh itu tidak boleh dikurangkan).

Untuk mengukuhkan ini, selesaikan sendiri beberapa contoh:

Contoh:

Penyelesaian:

4. Menambah dan menolak pecahan. Mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa.

Menambah dan menolak pecahan biasa ialah operasi biasa: kita mencari penyebut biasa, darab setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan tambah/tolak pengangka.

Mari kita ingat:

Jawapan:

1. Penyebut dan secara relatifnya prima, iaitu, mereka tidak mempunyai faktor sepunya. Oleh itu, LCM nombor ini adalah sama dengan produknya. Ini akan menjadi penyebut biasa:

2. Di sini penyebut biasa ialah:

3. Di sini, pertama sekali, kita menukar pecahan bercampur kepada pecahan tidak wajar, dan kemudian mengikut skema biasa:

Perkara yang sama sekali berbeza jika pecahan mengandungi huruf, contohnya:

Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah:

a) Penyebut tidak mengandungi huruf

Di sini semuanya adalah sama seperti pecahan berangka biasa: kita mencari penyebut biasa, darab setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan tambah/tolak pengangka:

Sekarang dalam pengangka anda boleh memberikan yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cuba sendiri:

Jawapan:

b) Penyebut mengandungi huruf

Mari kita ingat prinsip mencari penyebut biasa tanpa huruf:

· pertama sekali, kami menentukan faktor sepunya;

· kemudian kami menulis semua faktor sepunya satu demi satu;

· dan darabkannya dengan semua faktor bukan lazim yang lain.

Untuk menentukan faktor sepunya penyebut, kita terlebih dahulu memasukkannya ke dalam faktor perdana:

Mari kita tekankan faktor biasa:

Sekarang mari kita tuliskan faktor sepunya satu demi satu dan tambahkan padanya semua faktor tidak lazim (tidak digariskan):

Ini adalah penyebut biasa.

Mari kita kembali kepada huruf. Penyebut diberikan dengan cara yang sama:

· faktorkan penyebut;

· menentukan faktor sepunya (sama);

· tulis semua faktor sepunya sekali;

· darabkannya dengan semua faktor bukan sepunya yang lain.

Jadi, mengikut urutan:

1) faktorkan penyebut:

2) tentukan faktor sepunya (sama):

3) tulis semua faktor sepunya sekali dan darabkannya dengan semua faktor lain (tidak bergaris):

Jadi ada penyebut biasa di sini. Pecahan pertama mesti didarab dengan, yang kedua - dengan:

By the way, ada satu helah:

Sebagai contoh: .

Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semua dengan penunjuk yang berbeza. Penyebut biasa ialah:

ke tahap

ke tahap

ke tahap

ke tahap.

Mari kita rumitkan tugas:

Bagaimana untuk membuat pecahan mempunyai penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat asas pecahan:

Tiada tempat yang mengatakan bahawa nombor yang sama boleh ditolak (atau ditambah) daripada pengangka dan penyebut pecahan. Kerana ia tidak benar!

Lihat sendiri: ambil mana-mana pecahan, sebagai contoh, dan tambahkan beberapa nombor pada pengangka dan penyebut, contohnya, . Apa yang awak belajar?

Jadi, satu lagi peraturan yang tidak tergoyahkan:

Apabila anda mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, gunakan hanya operasi pendaraban!

Tetapi apa yang anda perlu darabkan untuk mendapatkan?

Jadi darab dengan. Dan darab dengan:

Kami akan memanggil ungkapan yang tidak boleh difaktorkan sebagai "faktor asas".

Sebagai contoh, - ini adalah faktor asas. - Sama. Tetapi tidak: ia boleh difaktorkan.

Bagaimana dengan ungkapan? Adakah ia rendah?

Tidak, kerana ia boleh difaktorkan:

(anda sudah membaca tentang pemfaktoran dalam topik “”).

Jadi, faktor asas di mana anda menguraikan ungkapan dengan huruf adalah analog daripada faktor mudah yang anda menguraikan nombor. Dan kita akan berurusan dengan mereka dengan cara yang sama.

Kita lihat bahawa kedua-dua penyebut mempunyai pengganda. Ia akan pergi ke penyebut biasa kepada darjah (ingat kenapa?).

Faktornya adalah asas, dan mereka tidak mempunyai faktor sepunya, yang bermaksud bahawa pecahan pertama hanya perlu didarab dengannya:

Contoh yang lain:

Penyelesaian:

Sebelum anda mendarabkan penyebut ini dalam keadaan panik, anda perlu memikirkan cara memfaktorkannya? Kedua-duanya mewakili:

Hebat! Kemudian:

Contoh yang lain:

Penyelesaian:

Seperti biasa, mari kita memfaktorkan penyebutnya. Dalam penyebut pertama kita hanya meletakkannya daripada kurungan; dalam kedua - perbezaan segi empat sama:

Nampaknya tidak ada faktor biasa. Tetapi jika anda melihat dengan teliti, mereka adalah serupa... Dan memang benar:

Jadi mari kita tulis:

Iaitu, ternyata seperti ini: di dalam kurungan kami menukar istilah, dan pada masa yang sama tanda di hadapan pecahan berubah menjadi sebaliknya. Ambil perhatian, anda perlu melakukan ini dengan kerap.

Sekarang mari kita bawa ia kepada penyebut biasa:

faham? Jom semak sekarang.

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Jawapan:

5. Pendaraban dan pembahagian pecahan.

Nah, bahagian yang paling sukar sudah berakhir sekarang. Dan di hadapan kita adalah yang paling mudah, tetapi pada masa yang sama yang paling penting:

Prosedur

Apakah prosedur untuk mengira? ungkapan berangka? Ingat dengan mengira maksud ungkapan ini:

Adakah anda mengira?

Ia sepatutnya berfungsi.

Jadi, izinkan saya mengingatkan anda.

Langkah pertama ialah mengira darjah.

Yang kedua ialah pendaraban dan pembahagian. Sekiranya terdapat beberapa pendaraban dan pembahagian pada masa yang sama, ia boleh dilakukan dalam sebarang susunan.

Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan penolakan. Sekali lagi, dalam sebarang susunan.

Tetapi: ungkapan dalam kurungan dinilai mengikut giliran!

Jika beberapa kurungan didarab atau dibahagikan dengan satu sama lain, kita mula-mula mengira ungkapan dalam setiap kurungan, dan kemudian mendarab atau membahagikannya.

Bagaimana jika terdapat lebih banyak kurungan di dalam kurungan? Baiklah, mari kita fikirkan: beberapa ungkapan ditulis di dalam kurungan. Apabila mengira ungkapan, apakah yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, kira kurungan. Nah, kami memikirkannya: mula-mula kami mengira kurungan dalaman, kemudian segala-galanya.

Jadi, prosedur untuk ungkapan di atas adalah seperti berikut (tindakan semasa diserlahkan dengan warna merah, iaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):

Okay, semuanya mudah.

Tetapi ini tidak sama dengan ungkapan dengan huruf?

Tidak, ia sama! Hanya sebaliknya operasi aritmetik anda perlu melakukan algebra, iaitu, tindakan yang diterangkan dalam bahagian sebelumnya: membawa serupa, menambah pecahan, mengurangkan pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbezaan adalah tindakan pemfaktoran polinomial (kita sering menggunakan ini apabila bekerja dengan pecahan). Selalunya, untuk memfaktorkan, anda perlu menggunakan I atau hanya meletakkan faktor sepunya daripada kurungan.

Biasanya matlamat kami adalah untuk mewakili ungkapan sebagai produk atau hasil bagi.

Sebagai contoh:

Mari kita permudahkan ungkapan.

1) Pertama, kita permudahkan ungkapan dalam kurungan. Di sana kami mempunyai perbezaan pecahan, dan matlamat kami adalah untuk membentangkannya sebagai hasil atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan kepada penyebut biasa dan menambah:

Adalah mustahil untuk memudahkan lagi ungkapan ini; semua faktor di sini adalah asas (adakah anda masih ingat maksud ini?).

2) Kami mendapat:

Mendarab pecahan: apa yang lebih mudah.

3) Kini anda boleh memendekkan:

OK semuanya sudah berakhir Sekarang. Tidak ada yang rumit, bukan?

Contoh yang lain:

Permudahkan ungkapan.

Pertama, cuba selesaikan sendiri, dan kemudian lihat penyelesaiannya.

Penyelesaian:

Pertama sekali, mari kita tentukan susunan tindakan.

Mula-mula, mari kita tambah pecahan dalam kurungan, jadi daripada dua pecahan kita mendapat satu.

Kemudian kita akan melakukan pembahagian pecahan. Baiklah, mari kita tambahkan hasilnya dengan pecahan terakhir.

Saya akan menomborkan langkah-langkah secara skematik:

Akhirnya, saya akan memberi anda dua petua berguna:

1. Jika ada yang serupa, hendaklah dibawa segera. Walau apa pun yang serupa timbul di negara kita, adalah dinasihatkan untuk membawanya segera.

2. Perkara yang sama berlaku untuk mengurangkan pecahan: sebaik sahaja peluang untuk mengurangkan muncul, ia mesti diambil kesempatan. Pengecualian adalah untuk pecahan yang anda tambah atau tolak: jika ia kini mempunyai penyebut yang sama, maka pengurangan itu harus ditinggalkan untuk kemudian.

Berikut ialah beberapa tugasan untuk anda selesaikan sendiri:

Dan apa yang dijanjikan pada mulanya:

Jawapan:

Penyelesaian (ringkas):

Jika anda telah mengatasi sekurang-kurangnya tiga contoh pertama, maka anda telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

MENUKARKAN UNGKAPAN. RINGKASAN DAN FORMULA ASAS

Operasi penyederhanaan asas:

• Membawa serupa: untuk menambah (mengurangkan) istilah yang serupa, anda perlu menambah pekalinya dan menetapkan bahagian huruf.
• Pemfaktoran: meletakkan faktor sepunya daripada kurungan, menerapkannya, dsb.
• Mengurangkan pecahan: Pengangka dan penyebut pecahan boleh didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, yang tidak mengubah nilai pecahan.
  1) pengangka dan penyebut memfaktorkan
  2) jika pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya, ia boleh dicoret.

  PENTING: hanya pengganda boleh dikurangkan!

• Menambah dan menolak pecahan:
  ;
• Mendarab dan membahagi pecahan:
  ;

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...

Untuk apa?

Untuk berjaya disiapkan Peperiksaan Negeri Bersatu, untuk kemasukan ke kolej mengikut bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.

Anda perlu menyelesaikan masalah melawan masa.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan mempunyai masa.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini -
2. Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk KESELURUHAN hayat tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.

"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!