Apabila belajar algebra dalam sekolah menengah(darjah 9) satu daripada topik penting ialah kajian tentang jujukan nombor, yang merangkumi janjang - geometri dan aritmetik. Dalam artikel ini kita akan melihat janjang aritmetik dan contoh dengan penyelesaian.

Apakah janjang aritmetik?

Untuk memahami perkara ini, adalah perlu untuk menentukan perkembangan yang dimaksudkan, serta menyediakan formula asas yang akan digunakan kemudian dalam menyelesaikan masalah.

Adalah diketahui bahawa dalam beberapa janjang algebra sebutan pertama adalah sama dengan 6, dan sebutan ke-7 adalah sama dengan 18. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan dan memulihkan jujukan ini kepada sebutan ke-7.

Mari kita gunakan formula untuk menentukan istilah yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Mari kita gantikan data yang diketahui dari keadaan ke dalamnya, iaitu, nombor a 1 dan 7, kita ada: 18 = 6 + 6 * d. Daripada ungkapan ini anda boleh mengira perbezaan dengan mudah: d = (18 - 6) /6 = 2. Oleh itu, kami telah menjawab bahagian pertama masalah.

Untuk memulihkan urutan kepada sebutan ke-7, anda harus menggunakan definisi janjang algebra, iaitu a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d dan seterusnya. Akibatnya, kami memulihkan keseluruhan urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Contoh No. 3: membuat janjang

Mari kita rumitkan lagi keadaan yang lebih kuat tugasan. Sekarang kita perlu menjawab persoalan bagaimana untuk mencari janjang aritmetik. Contoh berikut boleh diberikan: dua nombor diberikan, contohnya - 4 dan 5. Ia adalah perlu untuk mencipta janjang algebra supaya tiga lagi sebutan diletakkan di antara ini.

Sebelum anda mula menyelesaikan masalah ini, anda perlu memahami tempat yang akan diduduki oleh nombor yang diberikan dalam perkembangan masa depan. Oleh kerana akan ada tiga lagi istilah di antara mereka, maka 1 = -4 dan 5 = 5. Setelah menetapkan ini, kita beralih kepada masalah, yang serupa dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk istilah ke-n kita menggunakan formula, kita dapat: a 5 = a 1 + 4 * d. Daripada: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Apa yang kami dapat di sini bukanlah nilai integer perbezaan, tetapi ia adalah nombor rasional, jadi formula untuk janjang algebra kekal sama.

Sekarang mari kita tambahkan perbezaan yang ditemui pada 1 dan pulihkan istilah janjang yang hilang. Kami mendapat: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, yang bertepatan dengan keadaan masalah.

Contoh No. 4: penggal pertama janjang

Mari kita teruskan memberi contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian. Dalam semua masalah sebelumnya, nombor pertama janjang algebra diketahui. Sekarang mari kita pertimbangkan masalah jenis yang berbeza: biarkan dua nombor diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Ia adalah perlu untuk mencari nombor yang jujukan ini bermula.

Formula yang digunakan setakat ini menganggap pengetahuan tentang a 1 dan d. Dalam pernyataan masalah, tiada apa yang diketahui tentang nombor ini. Namun begitu, kami akan menulis ungkapan untuk setiap istilah mengenai maklumat yang tersedia: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami menerima dua persamaan di mana terdapat 2 kuantiti yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini bermakna bahawa masalah dikurangkan kepada menyelesaikan sistem persamaan linear.

Cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem ini ialah dengan menyatakan 1 dalam setiap persamaan dan kemudian membandingkan ungkapan yang terhasil. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Menyamakan ungkapan ini, kita dapat: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dari mana perbezaan d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (hanya 3 tempat perpuluhan diberikan).

Mengetahui d, anda boleh menggunakan mana-mana daripada 2 ungkapan di atas untuk 1. Contohnya, pertama: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Jika anda mempunyai keraguan tentang hasil yang diperoleh, anda boleh menyemaknya, sebagai contoh, tentukan penggal ke-43 perkembangan, yang dinyatakan dalam syarat. Kami mendapat: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Ralat kecil adalah disebabkan fakta bahawa pembundaran kepada perseribu telah digunakan dalam pengiraan.

Contoh No. 5: jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan penyelesaian untuk jumlah janjang aritmetik.

Biarkan janjang berangka bagi bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana untuk mengira jumlah 100 nombor ini?

Terima kasih kepada perkembangan teknologi komputer, adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini, iaitu, menambah semua nombor secara berurutan, yang akan dilakukan oleh komputer sebaik sahaja seseorang menekan kekunci Enter. Walau bagaimanapun, masalah itu boleh diselesaikan secara mental jika anda memberi perhatian bahawa siri nombor yang dibentangkan adalah janjang algebra, dan perbezaannya adalah sama dengan 1. Menggunakan formula untuk jumlah, kita mendapat: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah ini dipanggil "Gaussian" kerana pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, dapat menyelesaikannya di kepalanya dalam beberapa saat. Budak itu tidak tahu formula untuk jumlah janjang algebra, tetapi dia perasan bahawa jika anda menambah nombor di hujung urutan secara berpasangan, anda sentiasa mendapat keputusan yang sama, iaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan kerana jumlah ini akan menjadi tepat 50 (100/2), maka untuk mendapatkan jawapan yang betul sudah cukup untuk mendarabkan 50 dengan 101.

Contoh No. 6: jumlah sebutan dari n hingga m

Lagi satu contoh tipikal jumlah janjang aritmetik adalah seperti berikut: diberi satu siri nombor: 3, 7, 11, 15, ..., anda perlu mencari jumlah sebutannya dari 8 hingga 14 akan sama dengan.

Masalah diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan mencari istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Oleh kerana terdapat beberapa istilah, kaedah ini tidak begitu intensif buruh. Namun begitu, adalah dicadangkan untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan kaedah kedua, iaitu lebih universal.

Ideanya adalah untuk mendapatkan formula bagi jumlah janjang algebra antara sebutan m dan n, dengan n > m ialah integer. Untuk kedua-dua kes, kami menulis dua ungkapan untuk jumlah:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Oleh kerana n > m, adalah jelas bahawa jumlah ke-2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir bermakna jika kita mengambil perbezaan antara jumlah ini dan menambah istilah a m kepadanya (dalam kes mengambil perbezaan, ia ditolak daripada jumlah S n), kita akan memperoleh jawapan yang diperlukan untuk masalah itu. Kami mempunyai: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ia adalah perlu untuk menggantikan formula untuk a n dan a m ke dalam ungkapan ini. Kemudian kita dapat: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula yang terhasil agak rumit, walau bagaimanapun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kes kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Menggantikan nombor ini, kita mendapat: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat daripada penyelesaian di atas, semua masalah adalah berdasarkan pengetahuan tentang ungkapan untuk sebutan ke-n dan formula untuk jumlah set sebutan pertama. Sebelum mula menyelesaikan mana-mana masalah ini, disyorkan agar anda membaca dengan teliti syarat itu, memahami dengan jelas apa yang anda perlu cari, dan hanya kemudian meneruskan penyelesaiannya.

Petua lain ialah berusaha untuk kesederhanaan, iaitu, jika anda boleh menjawab soalan tanpa menggunakan pengiraan matematik yang rumit, maka anda perlu berbuat demikian, kerana dalam kes ini kemungkinan membuat kesilapan adalah kurang. Sebagai contoh, dalam contoh janjang aritmetik dengan penyelesaian No. 6, seseorang boleh berhenti pada formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan bahagikan masalah keseluruhan kepada subtugas yang berasingan (V dalam kes ini cari dahulu sebutan a n dan a m).

Jika anda mempunyai keraguan tentang keputusan yang diperoleh, adalah disyorkan untuk menyemaknya, seperti yang dilakukan dalam beberapa contoh yang diberikan. Kami mengetahui cara mencari janjang aritmetik. Jika anda memikirkannya, ia tidak begitu sukar.

Janjang aritmetik namakan urutan nombor (istilah janjang)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan istilah baru, yang juga dipanggil perbezaan langkah atau kemajuan.

Oleh itu, dengan menyatakan langkah janjang dan sebutan pertamanya, anda boleh mencari mana-mana elemennya menggunakan formula

Sifat sesuatu janjang aritmetik

1) Setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari nombor kedua, ialah min aritmetik ahli janjang sebelumnya dan seterusnya

Begitu juga sebaliknya. Jika min aritmetik bagi sebutan ganjil (genap) bersebelahan bagi sesuatu janjang adalah sama dengan sebutan yang berada di antaranya, maka jujukan nombor ini ialah janjang aritmetik. Menggunakan pernyataan ini, sangat mudah untuk menyemak sebarang urutan.

Juga, dengan sifat janjang aritmetik, formula di atas boleh digeneralisasikan kepada yang berikut

Ini mudah untuk disahkan jika anda menulis syarat di sebelah kanan tanda sama

Ia sering digunakan dalam amalan untuk memudahkan pengiraan dalam masalah.

2) Jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik dikira menggunakan formula

Ingat dengan baik formula untuk jumlah janjang aritmetik; ia amat diperlukan dalam pengiraan dan sering dijumpai dalam situasi kehidupan yang mudah.

3) Jika anda perlu mencari bukan jumlah keseluruhan, tetapi sebahagian daripada jujukan bermula dari sebutan ke-knya, maka formula jumlah berikut akan berguna kepada anda

4) Kepentingan praktikal ialah mencari hasil tambah n sebutan suatu janjang aritmetik bermula dari nombor k. Untuk melakukan ini, gunakan formula

Ini menyimpulkan bahan teori dan meneruskan kepada menyelesaikan masalah biasa dalam amalan.

Contoh 1. Cari sebutan keempat puluh janjang aritmetik 4;7;...

Penyelesaian:

Mengikut syarat yang kita ada

Mari tentukan langkah kemajuan

Menggunakan formula yang terkenal, kita dapati sebutan keempat puluh janjang itu

Contoh 2.

Penyelesaian:

Janjang aritmetik diberikan oleh sebutan ketiga dan ketujuhnya. Cari sebutan pertama janjang itu dan hasil tambah sepuluh.

Mari kita tuliskan unsur-unsur janjang yang diberikan menggunakan formula

Kami menolak yang pertama daripada persamaan kedua, sebagai hasilnya kami dapati langkah kemajuan

Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan untuk mencari sebutan pertama janjang aritmetik

Kami mengira jumlah sepuluh sebutan pertama janjang itu

Tanpa menggunakan pengiraan yang rumit, kami mendapati semua kuantiti yang diperlukan.

Penyelesaian:

Contoh 3. Janjang aritmetik diberikan oleh penyebut dan salah satu sebutannya. Cari sebutan pertama janjang itu, hasil tambah 50 sebutannya bermula daripada 50 dan hasil tambah 100 yang pertama.

Mari kita tuliskan formula untuk unsur keseratus janjang itu

dan cari yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kita dapati sebutan ke-50 janjang itu

Mencari hasil tambah bahagian janjang itu

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah kemajuan ialah 250.

Contoh 4.

Cari bilangan sebutan bagi suatu janjang aritmetik jika:

Penyelesaian:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Mari kita tulis persamaan dalam sebutan sebutan pertama dan langkah janjang dan tentukannya

Kami menggantikan nilai yang diperolehi ke dalam formula jumlah untuk menentukan bilangan istilah dalam jumlah itu

Kami melakukan pemudahan

Daripada dua nilai yang ditemui, hanya nombor 8 yang sesuai dengan keadaan masalah. Oleh itu, jumlah lapan sebutan pertama janjang itu ialah 111.

Contoh 5.

Selesaikan persamaan

1+3+5+...+x=307.

Penyelesaian: Persamaan ini ialah jumlah janjang aritmetik. Mari kita tulis penggal pertamanya dan cari perbezaan dalam janjangnya

Sebelum kita mula membuat keputusan masalah janjang aritmetik, mari kita pertimbangkan apa itu jujukan nombor, kerana janjang aritmetik ialah kes khas bagi jujukan nombor.

Urutan nombor ialah set nombor, setiap elemen mempunyai sendiri nombor siri . Unsur-unsur set ini dipanggil ahli jujukan. Nombor siri unsur jujukan ditunjukkan oleh indeks:

Elemen pertama urutan;

Elemen kelima jujukan;

- unsur "n" bagi jujukan, i.e. elemen "berdiri dalam barisan" pada nombor n.

Terdapat hubungan antara nilai unsur jujukan dan nombor jujukannya. Oleh itu, kita boleh menganggap jujukan sebagai fungsi yang hujahnya ialah nombor ordinal bagi unsur jujukan. Dalam erti kata lain, kita boleh mengatakan bahawa urutan adalah fungsi hujah semula jadi:

Urutan boleh ditetapkan dalam tiga cara:

1 . Urutan boleh ditentukan menggunakan jadual. Dalam kes ini, kami hanya menetapkan nilai setiap ahli jujukan.

Sebagai contoh, Seseorang memutuskan untuk mengambil pengurusan masa peribadi, dan untuk memulakan, hitung berapa banyak masa yang dia habiskan di VKontakte sepanjang minggu. Dengan merekodkan masa dalam jadual, dia akan menerima urutan yang terdiri daripada tujuh elemen:

Baris pertama jadual menunjukkan bilangan hari dalam seminggu, yang kedua - masa dalam minit. Kami melihat bahawa, iaitu, pada hari Isnin Seseorang menghabiskan 125 minit di VKontakte, iaitu, pada hari Khamis - 248 minit, dan, iaitu, pada hari Jumaat hanya 15.

2 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula sebutan ke-n.

Dalam kes ini, pergantungan nilai unsur jujukan pada nombornya dinyatakan secara langsung dalam bentuk formula.

Contohnya, jika , maka

Untuk mencari nilai unsur jujukan dengan nombor tertentu, kami menggantikan nombor unsur ke dalam formula sebutan ke-n.

Kita melakukan perkara yang sama jika kita perlu mencari nilai fungsi jika nilai hujah diketahui. Kami menggantikan nilai hujah ke dalam persamaan fungsi:

Jika, sebagai contoh, , Itu

Biar saya perhatikan sekali lagi bahawa dalam urutan, tidak seperti fungsi berangka arbitrari, hujah hanya boleh menjadi nombor asli.

3 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula yang menyatakan pergantungan nilai jujukan nombor ahli n pada nilai ahli sebelumnya.

Dalam kes ini, tidak cukup untuk kita hanya mengetahui nombor ahli jujukan untuk mencari nilainya. Kita perlu menentukan ahli pertama atau beberapa ahli pertama jujukan. ,

Sebagai contoh, pertimbangkan urutan Kita boleh mencari nilai ahli jujukan satu persatu

, bermula dari yang ketiga: Iaitu, setiap kali, untuk mencari nilai sebutan ke-n bagi jujukan, kita kembali kepada dua sebelumnya. Kaedah untuk menentukan urutan ini dipanggil berulang , daripada perkataan Latin berulang

- kembali.

Janjang aritmetik Sekarang kita boleh menentukan janjang aritmetik. Janjang aritmetik ialah kes khas yang mudah bagi jujukan nombor.

ialah urutan berangka, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya ditambah kepada nombor yang sama. Nombor dipanggil perbezaan janjang aritmetik

. Perbezaan janjang aritmetik boleh positif, negatif atau sama dengan sifar.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Jika title="d>0.

semakin meningkat

Sebagai contoh, 2; 5; 8; 11;... Jika , maka setiap sebutan janjang aritmetik adalah kurang daripada yang sebelumnya, dan janjangnya adalah.

semakin berkurangan

Sebagai contoh, 2; -1; -4; -7;... Jika , maka semua sebutan janjang adalah sama dengan nombor yang sama, dan janjangnya ialah.

pegun

Contohnya, 2;2;2;2;...

Sifat utama janjang aritmetik:

Jom tengok gambar.

Kita nampak itu

, dan pada masa yang sama

.

Menambah dua kesamaan ini, kita dapat:

Bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan 2:

Jadi, setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik bagi dua yang berjiran:

Kita nampak itu

Lebih-lebih lagi, sejak

, Itu

, dan oleh itu">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Setiap sebutan janjang aritmetik, bermula dengan tajuk="k>l

Formula penggal ke.

Kami melihat bahawa sebutan janjang aritmetik memenuhi hubungan berikut:

dan akhirnya Kami dapat

rumus sebutan ke-n. PENTING!

Mana-mana ahli janjang aritmetik boleh dinyatakan melalui dan. Mengetahui sebutan pertama dan perbezaan janjang aritmetik, anda boleh menemui mana-mana istilahnya.

Jumlah n sebutan bagi suatu janjang aritmetik.

Dalam janjang aritmetik arbitrari, jumlah sebutan yang sama jarak dari yang melampau adalah sama antara satu sama lain:

Pertimbangkan suatu janjang aritmetik dengan n sebutan. Biarkan jumlah n sebutan janjang ini sama dengan .

Mari kita susun istilah janjang dahulu dalam tertib nombor menaik, dan kemudian dalam tertib menurun:

Mari tambah secara berpasangan:

Kami mendapat:

Jadi, jumlah n sebutan bagi suatu janjang aritmetik boleh didapati menggunakan rumus:

Mari kita pertimbangkan menyelesaikan masalah janjang aritmetik.

1 . Urutan diberikan oleh formula sebutan ke-n: . Buktikan bahawa jujukan ini ialah janjang aritmetik.

Mari kita buktikan bahawa perbezaan antara dua sebutan yang bersebelahan bagi jujukan adalah sama dengan nombor yang sama.

Kami mendapati bahawa perbezaan antara dua ahli urutan yang bersebelahan tidak bergantung pada nombor mereka dan adalah pemalar. Oleh itu, mengikut takrifan, jujukan ini ialah janjang aritmetik.

2 . Diberi janjang aritmetik -31; -27;...

a) Cari 31 sebutan janjang itu.

b) Tentukan sama ada nombor 41 termasuk dalam janjang ini.

A) Kami melihat bahawa;

Mari kita tulis formula untuk penggal ke-n untuk perkembangan kita.

Secara amnya

Dalam kes kita , Itulah sebabnya

Kami mendapat:

b) Katakan nombor 41 adalah ahli urutan. Jom cari nombor dia. Untuk melakukan ini, mari kita selesaikan persamaan:

Kami mendapat nilai semula jadi n, oleh itu, ya, nombor 41 adalah ahli janjang. Jika nilai n yang ditemui bukan nombor asli, maka kami akan menjawab bahawa nombor 41 BUKAN ahli janjang.

3 . a) Di antara nombor 2 dan 8, masukkan 4 nombor supaya mereka, bersama-sama nombor ini, membentuk janjang aritmetik.

b) Cari jumlah sebutan bagi janjang yang terhasil.

A) Mari masukkan empat nombor antara nombor 2 dan 8:

Kami mendapat janjang aritmetik dengan 6 ahli.

Mari cari perbezaan perkembangan ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula untuk sebutan ke-n:

Kini mudah untuk mencari makna nombor:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Jawapan: a) ya; b) 30

4. Trak itu mengangkut muatan batu hancur seberat 240 tan, meningkatkan kadar pengangkutan dengan bilangan tan yang sama setiap hari. Adalah diketahui bahawa 2 tan batu hancur diangkut pada hari pertama. Tentukan berapa tan batu hancur yang diangkut pada hari kedua belas jika semua kerja siap dalam 15 hari.

Mengikut keadaan masalah, jumlah batu hancur yang diangkut oleh lori meningkat dengan jumlah yang sama setiap hari. Oleh itu, kita berurusan dengan janjang aritmetik.

Mari kita rumuskan masalah ini dari segi janjang aritmetik.

Pada hari pertama, 2 tan batu hancur telah diangkut: a_1=2.

Semua kerja selesai dalam masa 15 hari: .

Trak itu mengangkut sekumpulan batu hancur seberat 240 tan:

Kita perlu mencari.

Pertama, mari kita cari perbezaan kemajuan. Mari kita gunakan formula untuk jumlah n sebutan suatu janjang.

Dalam kes kami:

Atau aritmetik ialah sejenis jujukan berangka tersusun, yang sifatnya dipelajari dalam kursus algebra sekolah. Artikel ini membincangkan secara terperinci persoalan bagaimana mencari jumlah janjang aritmetik.

Apakah jenis perkembangan ini?

Sebelum beralih kepada soalan (bagaimana untuk mencari jumlah janjang aritmetik), adalah wajar memahami apa yang kita bincangkan.

Sebarang urutan nombor nyata, yang diperoleh dengan menambah (menolak) beberapa nilai daripada setiap nombor sebelumnya, dipanggil janjang algebra (aritmetik). Takrifan ini, apabila diterjemahkan ke dalam bahasa matematik, mengambil bentuk:

Di sini i ialah nombor siri bagi elemen baris a i. Oleh itu, mengetahui hanya satu nombor permulaan, anda boleh memulihkan keseluruhan siri dengan mudah. Parameter d dalam formula dipanggil perbezaan janjang.

Ia boleh ditunjukkan dengan mudah bahawa untuk siri nombor yang sedang dipertimbangkan persamaan berikut berlaku:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Iaitu, untuk mencari nilai elemen ke-n mengikut turutan, anda harus menambah perbezaan d pada elemen pertama a 1 n-1 kali.

Berapakah jumlah janjang aritmetik: formula

Sebelum memberikan formula untuk jumlah yang ditunjukkan, ia patut mempertimbangkan kes khas yang mudah. Kemajuan diberikan nombor asli dari 1 hingga 10, anda perlu mencari jumlahnya. Oleh kerana terdapat beberapa istilah dalam janjang (10), adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah secara langsung, iaitu, jumlahkan semua elemen mengikut tertib.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Satu perkara yang patut dipertimbangkan perkara yang menarik: oleh kerana setiap sebutan berbeza daripada yang seterusnya dengan nilai yang sama d = 1, maka penjumlahan berpasangan bagi yang pertama dengan yang kesepuluh, yang kedua dengan yang kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama. sungguh:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang anda lihat, terdapat hanya 5 daripada jumlah ini, iaitu, tepat dua kali kurang daripada bilangan unsur siri. Kemudian mendarabkan bilangan jumlah (5) dengan hasil setiap jumlah (11), anda akan sampai pada hasil yang diperoleh dalam contoh pertama.

Jika kita umumkan hujah-hujah ini, kita boleh menulis ungkapan berikut:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahawa tidak perlu sama sekali untuk menjumlahkan semua elemen dalam satu baris; cukup untuk mengetahui nilai a 1 dan yang terakhir a n , serta jumlah bilangan n istilah.

Adalah dipercayai bahawa Gauss adalah orang pertama yang memikirkan kesamarataan ini apabila dia mencari penyelesaian kepada masalah yang diberikan. guru sekolah tugasan: jumlahkan 100 integer pertama.

Jumlah unsur dari m hingga n: formula

Formula yang diberikan dalam perenggan sebelumnya menjawab persoalan bagaimana untuk mencari jumlah janjang aritmetik (elemen pertama), tetapi selalunya dalam masalah adalah perlu untuk menjumlahkan satu siri nombor di tengah-tengah janjang. Bagaimana untuk melakukan ini?

Cara paling mudah untuk menjawab soalan ini ialah dengan mengambil kira contoh berikut: biarlah perlu untuk mencari jumlah sebutan dari m-th hingga n-th. Untuk menyelesaikan masalah, anda harus membentangkan segmen yang diberikan dari m hingga n janjang dalam bentuk siri nombor baharu. Dalam ini perwakilan ke-m sebutan a m akan menjadi yang pertama, dan a n akan bernombor n-(m-1). Dalam kes ini, menggunakan formula standard untuk jumlah, ungkapan berikut akan diperolehi:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Contoh penggunaan formula

Mengetahui cara mencari jumlah janjang aritmetik, adalah wajar mempertimbangkan contoh mudah menggunakan formula di atas.

Di bawah ialah urutan berangka, anda harus mencari jumlah sebutannya, bermula dari ke-5 dan berakhir dengan ke-12:

Nombor yang diberikan menunjukkan bahawa perbezaan d adalah sama dengan 3. Menggunakan ungkapan untuk unsur ke-n, anda boleh mencari nilai sebutan ke-5 dan ke-12 bagi janjang itu. Ternyata:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Mengetahui nilai nombor pada penghujung janjang algebra yang sedang dipertimbangkan, dan juga mengetahui nombor dalam siri yang mereka duduki, anda boleh menggunakan formula untuk jumlah yang diperolehi dalam perenggan sebelumnya. Ia akan menjadi:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Perlu diingat bahawa nilai ini boleh diperoleh secara berbeza: mula-mula cari jumlah 12 elemen pertama menggunakan formula piawai, kemudian hitung jumlah 4 elemen pertama menggunakan formula yang sama, kemudian tolak jumlah kedua daripada jumlah pertama.

Masalah tentang janjang aritmetik telah pun wujud pada zaman dahulu. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Jadi, dalam salah satu papirus Mesir Purba", yang mempunyai kandungan matematik - papirus Rhind (abad ke-19 SM) - mengandungi tugas berikut: membahagikan sepuluh sukat roti di antara sepuluh orang, dengan syarat perbezaan antara setiap satu daripada mereka adalah satu perlapan daripada sukatan."

Dan dalam karya matematik orang Yunani kuno terdapat teorem elegan yang berkaitan dengan janjang aritmetik. Oleh itu, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambah buku keempat belas kepada Elemen Euclid), merumuskan idea: "Dalam janjang aritmetik yang mempunyai bilangan sebutan genap, jumlah sebutan separuh ke-2 adalah lebih besar daripada jumlah sebutan yang pertama pada kuasa dua 1/2 nombor ahli."

Urutan itu dilambangkan dengan an. Nombor jujukan dipanggil ahlinya dan biasanya ditetapkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri ahli ini (a1, a2, a3 ... baca: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" dan seterusnya).

Urutan boleh menjadi tidak terhingga atau terhingga.

Apakah janjang aritmetik? Dengan itu kita maksudkan yang diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya (n) dengan nombor d yang sama, iaitu perbezaan janjang.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan ini dianggap meningkat.

Janjang aritmetik dipanggil terhingga jika hanya beberapa sebutan pertamanya diambil kira. Pada sangat kuantiti yang banyak ahli sudah menjadi kemajuan yang tidak berkesudahan.

Sebarang janjang aritmetik ditakrifkan oleh formula berikut:

an =kn+b, manakala b dan k ialah beberapa nombor.

Pernyataan yang bertentangan adalah benar: jika urutan diberikan oleh formula yang sama, maka ia adalah janjang aritmetik yang mempunyai sifat:

1. Setiap sebutan janjang ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan sebutan berikutnya.
2. Berbalik: jika, bermula dari ke-2, setiap sebutan ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya, i.e. jika syarat dipenuhi, maka jujukan ini ialah janjang aritmetik. Kesaksamaan ini juga merupakan tanda kemajuan, itulah sebabnya ia biasanya dipanggil sifat ciri kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar: jujukan ialah janjang aritmetik hanya jika kesamaan ini benar untuk mana-mana sebutan jujukan, bermula dengan ke-2.

Sifat ciri bagi mana-mana empat nombor janjang aritmetik boleh dinyatakan dengan formula an + am = ak + al, jika n + m = k + l (m, n, k ialah nombor janjang).

Dalam janjang aritmetik, sebarang sebutan yang diperlukan (Nth) boleh didapati menggunakan formula berikut:

Contohnya: sebutan pertama (a1) dalam janjang aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan beza (d) adalah sama dengan empat. Anda perlu mencari sebutan keempat puluh lima janjang ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) membolehkan kita menentukan penggal ke- suatu janjang aritmetik melalui mana-mana sebutan kthnya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah sebutan janjang aritmetik (bermaksud n sebutan pertama janjang terhingga) dikira seperti berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika sebutan pertama juga diketahui, maka formula lain sesuai untuk pengiraan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah janjang aritmetik yang mengandungi n sebutan dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung kepada keadaan masalah dan data awal.

Siri semula jadi sebarang nombor, seperti 1,2,3,...,n,...- contoh paling mudah janjang aritmetik.

Selain janjang aritmetik, terdapat juga janjang geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.