I. V. Yakovlev | Bahan matematik | MathUs.ru

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik ialah jenis jujukan khas. Oleh itu, sebelum mentakrifkan janjang aritmetik (dan kemudian geometri), kita perlu membincangkan secara ringkas konsep penting bagi urutan nombor.

Susulan

Bayangkan peranti pada skrin yang nombor tertentu dipaparkan satu demi satu. Katakan 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Set nombor ini ialah contoh jujukan.

Definisi. Urutan nombor ialah satu set nombor di mana setiap nombor boleh diberikan nombor unik (iaitu, dikaitkan dengan nombor asli tunggal)1. Nombor dengan nombor n dipanggil penggal ke- urutan.

Jadi, dalam contoh di atas, nombor pertama ialah 2, ini ialah ahli pertama jujukan, yang boleh dilambangkan dengan a1; nombor lima mempunyai nombor 6 ialah sebutan kelima bagi jujukan, yang boleh dilambangkan dengan a5. sama sekali, penggal ke- jujukan dilambangkan dengan (atau bn, cn, dsb.).

Situasi yang sangat mudah ialah apabila sebutan ke-n bagi jujukan boleh ditentukan oleh beberapa formula. Sebagai contoh, formula an = 2n 3 menentukan urutan: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n menentukan urutan: 1; 1; 1; 1; : : :

Tidak setiap set nombor adalah urutan. Oleh itu, segmen bukan urutan; ia mengandungi nombor "terlalu banyak" untuk dinomborkan semula. Set R semua nombor nyata juga bukan urutan. Fakta ini dibuktikan dalam perjalanan analisis matematik.

Janjang aritmetik: definisi asas

Sekarang kita bersedia untuk menentukan janjang aritmetik.

Definisi. Janjang aritmetik ialah jujukan di mana setiap sebutan (bermula dari yang kedua) sama dengan jumlah sebutan sebelumnya dan beberapa nombor tetap (dipanggil perbezaan janjang aritmetik).

Sebagai contoh, urutan 2; 5; 8; sebelas; : : : ialah janjang aritmetik dengan sebutan pertama 2 dan beza 3. Urutan 7; 2; 3; 8; : : : ialah janjang aritmetik dengan sebutan pertama 7 dan beza 5. Urutan 3; 3; 3; : : : ialah janjang aritmetik dengan beza sama dengan sifar.

Takrif setara: jujukan an dipanggil janjang aritmetik jika perbezaan an+1 an ialah nilai malar (bebas daripada n).

Janjang aritmetik dipanggil meningkat jika perbezaannya positif, dan menurun jika perbezaannya negatif.

1 Berikut ialah definisi yang lebih ringkas: jujukan ialah fungsi yang ditakrifkan pada set nombor asli. Sebagai contoh, urutan nombor nyata ialah fungsi f: N ! R.

Secara lalai, jujukan dianggap tidak terhingga, iaitu, mengandungi bilangan nombor yang tidak terhingga. Tetapi tiada siapa yang mengganggu kita untuk mempertimbangkan urutan terhingga; sebenarnya, sebarang set nombor terhingga boleh dipanggil urutan terhingga. Sebagai contoh, urutan penamat ialah 1; 2; 3; 4; 5 terdiri daripada lima nombor.

Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik

Ia mudah untuk memahaminya janjang aritmetik ditentukan sepenuhnya oleh dua nombor: sebutan pertama dan perbezaan. Oleh itu, persoalan timbul: bagaimana, mengetahui sebutan pertama dan perbezaan, mencari sebutan arbitrari bagi janjang aritmetik?

Tidak sukar untuk mendapatkan formula yang diperlukan untuk sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. Biarkan an

janjang aritmetik dengan beza d. Kami ada:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Khususnya, kami menulis:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
dan kini menjadi jelas bahawa formula untuk a ialah:
an = a1 + (n 1)d:

Masalah 1. Dalam janjang aritmetik 2; 5; 8; sebelas; : : : cari formula bagi sebutan ke-n dan hitung sebutan keseratus.

Penyelesaian. Menurut formula (1) kita mempunyai:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Sifat dan tanda janjang aritmetik

Sifat janjang aritmetik. Dalam janjang aritmetik an untuk sebarang

Dalam erti kata lain, setiap ahli janjang aritmetik (bermula dari yang kedua) ialah min aritmetik ahli jirannya.

	Bukti. Kami ada:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

iaitu yang dikehendaki.

Secara umumnya, janjang aritmetik a memenuhi kesamaan

a n = a n k+ a n+k

untuk sebarang n > 2 dan sebarang k semula jadi< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ternyata formula (2) bukan sahaja perlu, tetapi juga keadaan yang mencukupi bahawa jujukan itu ialah janjang aritmetik.

Tanda janjang aritmetik. Jika kesamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka urutan an ialah janjang aritmetik.

Bukti. Mari kita tulis semula formula (2) seperti berikut:

a na n 1= a n+1a n:

Daripada ini kita dapat melihat bahawa beza an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini bermakna jujukan an ialah janjang aritmetik.

Sifat dan tanda janjang aritmetik boleh dirumuskan dalam bentuk satu pernyataan; Untuk kemudahan, kami akan melakukan ini untuk tiga nombor (ini adalah situasi yang sering berlaku dalam masalah).

Pencirian janjang aritmetik. Tiga nombor a, b, c membentuk janjang aritmetik jika dan hanya jika 2b = a + c.

Masalah 2. (MSU, Fakulti Ekonomi, 2007) Tiga nombor 8x, 3 x2 dan 4 dalam susunan yang ditunjukkan membentuk janjang aritmetik yang menurun. Cari x dan nyatakan perbezaan janjang ini.

Penyelesaian. Dengan sifat janjang aritmetik kita mempunyai:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Jika x = 1, maka kita mendapat janjang menurun sebanyak 8, 2, 4 dengan perbezaan 6. Jika x = 5, maka kita mendapat janjang meningkat sebanyak 40, 22, 4; kes ini tidak sesuai.

Jawapan: x = 1, bezanya ialah 6.

Jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik

Legenda mengatakan bahawa pada suatu hari guru memberitahu kanak-kanak untuk mencari jumlah nombor dari 1 hingga 100 dan duduk diam-diam untuk membaca surat khabar. Namun, dalam beberapa minit, seorang budak lelaki berkata bahawa dia telah menyelesaikan masalah itu. Ia adalah Karl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, kemudiannya salah seorang ahli matematik terhebat dalam sejarah.

Idea Little Gauss adalah seperti berikut. biarlah

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Mari tulis jumlah ini dalam susunan terbalik:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dan tambah dua formula ini:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Setiap sebutan dalam kurungan adalah bersamaan dengan 101, dan jumlahnya terdapat 100 sebutan sedemikian. Oleh itu

2S = 101 100 = 10100;

Kami menggunakan idea ini untuk mendapatkan formula jumlah

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Pengubahsuaian berguna formula (3) diperoleh jika kita menggantikan formula sebutan ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:

		2a1 + (n 1)d

Masalah 3. Cari hasil tambah semua nombor tiga digit positif yang boleh dibahagi dengan 13.

Penyelesaian. Nombor tiga digit yang merupakan gandaan 13 membentuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama ialah 104 dan bezanya ialah 13; Sebutan ke-n janjang ini mempunyai bentuk:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Mari kita ketahui berapa banyak istilah yang terkandung dalam perkembangan kita. Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan ketidaksamaan:

sebuah 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

Jadi, terdapat 69 ahli dalam perkembangan kami. Menggunakan formula (4) kita dapati jumlah yang diperlukan:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Jumlah janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari asas kepada agak kukuh.

Pertama, mari kita fahami maksud dan formula jumlahnya. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah itu semudah moo. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua istilahnya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula datang untuk menyelamatkan.

Formula untuk jumlahnya adalah mudah:

Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan membersihkan banyak perkara.

S n - jumlah janjang aritmetik. Hasil penambahan semua orang ahli, dengan pertama Oleh terakhir. Ia penting. Mereka menambah tepat Semua ahli berturut-turut, tanpa ponteng atau ponteng. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan kelima hingga kedua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)

a 1 - pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.

a n- terakhir ahli kemajuan. Nombor terakhir siri ini. Nama yang tidak begitu biasa, tetapi apabila digunakan pada jumlah itu, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n - nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan istilah tambahan.

Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Soalan rumit: ahli mana yang akan menjadi yang terakhir jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?)

Untuk menjawab dengan yakin, anda perlu memahami makna asas janjang aritmetik dan... baca tugasan dengan teliti!)

Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah muktamad, tertentu langsung tidak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira sama ada perkembangan diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: satu siri nombor, atau formula untuk sebutan ke-n.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya... Tetapi tidak mengapa, dalam contoh di bawah kami mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugasan pada jumlah janjang aritmetik.

Pertama sekali, maklumat yang berguna:

Kesukaran utama dalam tugasan yang melibatkan jumlah janjang aritmetik terletak pada penentuan yang betul bagi unsur-unsur formula.

Penulis tugasan menyulitkan elemen yang sama ini dengan imaginasi tanpa batas.) Perkara utama di sini adalah untuk tidak takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup untuk menguraikannya. Mari lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertamanya.

Syabas. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menggunakan formula, apakah yang perlu kita ketahui? Ahli pertama a 1, terma akhir a n, ya nombor ahli terakhir n.

Di mana saya boleh mendapatkan nombor ahli terakhir? n? Ya, di sana, dengan syarat! Ia berkata: cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, nombor apa yang akan ada? terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n Kami akan menggantikan ke dalam formula a 10, dan sebaliknya n- sepuluh. Saya ulangi, bilangan ahli terakhir bertepatan dengan bilangan ahli.

Ia kekal untuk menentukan a 1 Dan a 10. Ini mudah dikira menggunakan formula untuk sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukan ini? Hadiri pelajaran sebelumnya, tanpa ini tidak mungkin.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

Kami telah mengetahui maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Yang tinggal hanyalah menggantikannya dan mengira:

Itu sahaja. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 =2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertamanya.

Kami segera menulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kita mencari nilai sebarang istilah dengan nombornya. Kami mencari penggantian mudah:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Ia kekal untuk menggantikan semua elemen ke dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n Kami hanya menggantikan formula untuk sebutan ke-n dan dapatkan:

Mari kita bentangkan yang serupa dan dapatkan formula baharu untuk jumlah sebutan bagi janjang aritmetik:

Seperti yang anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini a n. Dalam sesetengah masalah formula ini banyak membantu, ya... Anda boleh ingat formula ini. Atau anda boleh memaparkannya pada masa yang betul, seperti di sini. Lagipun, anda perlu sentiasa ingat formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n.)

Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):

3. Cari hasil tambah semua nombor dua digit positif yang merupakan gandaan tiga.

Wah! Baik ahli pertama anda, mahupun terakhir anda, mahupun kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan mengeluarkan semua unsur jumlah janjang aritmetik daripada keadaan. Kita tahu apa itu nombor dua digit. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit pertama? 10, mungkin.) A perkara terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya...

Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika anda menambah 2 atau 4 pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi boleh dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik: d = 3. Ia akan berguna!)

Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:

Apakah nombor itu? n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut... Nombor sentiasa berturut-turut, tetapi ahli kami melompat melebihi tiga. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh menuliskan janjang, keseluruhan siri nombor, dan mengira bilangan ahli dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang berfikir. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika kita menggunakan formula untuk masalah kita, kita dapati bahawa 99 ialah sebutan ketiga puluh bagi janjang itu. Itu. n = 30.

Mari kita lihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:

Kami melihat dan bergembira.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan dari penyata masalah untuk mengira jumlahnya:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Yang tinggal hanyalah aritmetik asas. Kami menggantikan nombor ke dalam formula dan mengira:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki popular:

4. Diberi janjang aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari hasil tambah sebutan dari kedua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat formula untuk jumlah dan... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlah dari yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, sudah tentu, menulis keseluruhan perkembangan dalam satu siri, dan menambah istilah dari 20 hingga 34. Tetapi... entah bagaimana ia bodoh dan mengambil masa yang lama, bukan?)

Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Mari bahagikan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan menjadi dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dari dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya dengan jumlah syarat bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Daripada ini kita dapat melihat bahawa mencari jumlah S 20-34 boleh dilakukan dengan penolakan mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama ahli, i.e. formula jumlah standard agak terpakai kepada mereka. Mari kita mulakan?

Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada penyataan masalah:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah bagi 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengira mereka menggunakan formula untuk sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:

a 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

a 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

Tiada apa yang tinggal. Daripada jumlah 34 sebutan, tolak jumlah 19 sebutan:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jawapan: 262.5

Satu nota penting! Terdapat helah yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira sesuatu yang nampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil yang lengkap. "Tipuan dengan telinga anda" semacam ini sering menyelamatkan anda dalam masalah jahat.)

Dalam pelajaran ini kita melihat masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

Nasihat praktikal:

Apabila menyelesaikan sebarang masalah yang melibatkan jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.

Formula untuk penggal ke-n:

Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari dan ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.

5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.

Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah 24 sebutan pertamanya.

Luar biasa?) Ini adalah formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, masalah seperti itu sering dijumpai di Akademi Sains Negeri.

7. Vasya menyimpan wang untuk percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang kegemaran saya (diri saya) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Belanja 500 rubel pada hari pertama, dan pada setiap hari berikutnya belanjakan 50 rubel lebih daripada yang sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Adakah ia sukar?) Adakah ia akan membantu? formula tambahan daripada tugasan 2.

Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Janjang aritmetik namakan urutan nombor (istilah janjang)

Di mana setiap istilah berikutnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan istilah baru, yang juga dipanggil perbezaan langkah atau kemajuan.

Oleh itu, dengan menyatakan langkah janjang dan sebutan pertamanya, anda boleh mencari mana-mana elemennya menggunakan formula

Sifat sesuatu janjang aritmetik

1) Setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari nombor kedua, ialah min aritmetik ahli janjang sebelumnya dan seterusnya

Begitu juga sebaliknya. Jika min aritmetik bagi sebutan ganjil (genap) bersebelahan bagi sesuatu janjang adalah sama dengan sebutan yang berada di antaranya, maka jujukan nombor ini ialah janjang aritmetik. Menggunakan pernyataan ini, sangat mudah untuk menyemak sebarang urutan.

Juga, dengan sifat janjang aritmetik, formula di atas boleh digeneralisasikan kepada yang berikut

Ini mudah untuk disahkan jika anda menulis syarat di sebelah kanan tanda sama

Ia sering digunakan dalam amalan untuk memudahkan pengiraan dalam masalah.

2) Jumlah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik dikira menggunakan formula

Ingat dengan baik formula untuk jumlah janjang aritmetik; ia amat diperlukan dalam pengiraan dan sering dijumpai dalam situasi kehidupan yang mudah.

3) Jika anda perlu mencari bukan jumlah keseluruhan, tetapi sebahagian daripada jujukan bermula dari sebutan ke-knya, maka formula jumlah berikut akan berguna kepada anda

4) Kepentingan praktikal ialah mencari hasil tambah n sebutan suatu janjang aritmetik bermula dari nombor k. Untuk melakukan ini, gunakan formula

Ini menyimpulkan bahan teori dan meneruskan kepada menyelesaikan masalah biasa dalam amalan.

Contoh 1. Cari sebutan keempat puluh janjang aritmetik 4;7;...

Penyelesaian:

Mengikut syarat yang kita ada

Mari tentukan langkah kemajuan

Menggunakan formula yang terkenal, kita dapati sebutan keempat puluh janjang itu

Contoh 2. Janjang aritmetik diberikan oleh sebutan ketiga dan ketujuhnya. Cari sebutan pertama janjang itu dan hasil tambah sepuluh.

Penyelesaian:

Mari kita tuliskan unsur-unsur janjang yang diberikan menggunakan formula

Kami menolak yang pertama daripada persamaan kedua, sebagai hasilnya kami dapati langkah kemajuan

Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan untuk mencari sebutan pertama janjang aritmetik

Kami mengira jumlah sepuluh sebutan pertama janjang itu

Tanpa menggunakan pengiraan yang rumit, kami menemui semua kuantiti yang diperlukan.

Contoh 3. Janjang aritmetik diberikan oleh penyebut dan salah satu sebutannya. Cari sebutan pertama janjang itu, hasil tambah 50 sebutannya bermula daripada 50 dan hasil tambah 100 yang pertama.

Penyelesaian:

Mari kita tuliskan formula untuk unsur keseratus janjang itu

dan cari yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kita dapati sebutan ke-50 janjang itu

Mencari hasil tambah bahagian janjang itu

dan jumlah 100 yang pertama

Jumlah kemajuan ialah 250.

Contoh 4.

Cari bilangan sebutan bagi suatu janjang aritmetik jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Penyelesaian:

Mari kita tulis persamaan dalam sebutan sebutan pertama dan langkah janjang dan tentukannya

Kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula jumlah untuk menentukan bilangan istilah dalam jumlah itu

Kami melakukan pemudahan

dan selesaikan persamaan kuadratik

Daripada dua nilai yang ditemui, hanya nombor 8 yang sesuai dengan keadaan masalah. Oleh itu, jumlah lapan sebutan pertama janjang itu ialah 111.

Contoh 5.

Selesaikan persamaan

1+3+5+...+x=307.

Penyelesaian: Persamaan ini ialah jumlah janjang aritmetik. Mari kita tulis penggal pertamanya dan cari perbezaan dalam janjangnya

Masalah tentang janjang aritmetik telah pun wujud pada zaman dahulu. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Jadi, dalam salah satu papirus Mesir Purba", yang mempunyai kandungan matematik - papirus Rhind (abad ke-19 SM) - mengandungi tugas berikut: membahagikan sepuluh sukat roti di antara sepuluh orang, dengan syarat perbezaan antara setiap satu daripada mereka adalah satu perlapan daripada sukatan."

Dan dalam karya matematik orang Yunani kuno terdapat teorem elegan yang berkaitan dengan janjang aritmetik. Oleh itu, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambah buku keempat belas kepada Elemen Euclid), merumuskan idea: "Dalam janjang aritmetik yang mempunyai bilangan sebutan genap, jumlah sebutan separuh ke-2 adalah lebih besar daripada jumlah sebutan yang pertama pada kuasa dua 1/2 nombor ahli."

Urutan itu dilambangkan dengan an. Nombor jujukan dipanggil ahlinya dan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri ahli ini (a1, a2, a3 ... berbunyi: "a 1", "a 2nd", "a 3rd" dan seterusnya).

Urutan boleh menjadi tidak terhingga atau terhingga.

Apakah janjang aritmetik? Dengan itu kita maksudkan yang diperoleh dengan menambah sebutan sebelumnya (n) dengan nombor d yang sama, iaitu perbezaan janjang.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan ini dianggap meningkat.

Janjang aritmetik dipanggil terhingga jika hanya beberapa sebutan pertamanya diambil kira. Pada sangat kuantiti yang besar ahli sudah menjadi kemajuan yang tidak berkesudahan.

Sebarang janjang aritmetik ditakrifkan oleh formula berikut:

an =kn+b, manakala b dan k ialah beberapa nombor.

Pernyataan yang bertentangan adalah benar: jika urutan diberikan oleh formula yang sama, maka ia adalah janjang aritmetik yang mempunyai sifat:

1. Setiap sebutan janjang ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya.
2. Berbalik: jika, bermula dari ke-2, setiap sebutan ialah min aritmetik bagi sebutan sebelumnya dan yang berikutnya, i.e. jika syarat dipenuhi, maka jujukan ini ialah janjang aritmetik. Kesaksamaan ini juga merupakan tanda kemajuan, itulah sebabnya ia biasanya dipanggil sifat ciri kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar: jujukan ialah janjang aritmetik hanya jika kesamaan ini benar untuk mana-mana sebutan jujukan, bermula dengan ke-2.

Sifat ciri bagi mana-mana empat nombor janjang aritmetik boleh dinyatakan dengan formula an + am = ak + al, jika n + m = k + l (m, n, k ialah nombor janjang).

Dalam janjang aritmetik, sebarang sebutan yang diperlukan (Nth) boleh didapati menggunakan formula berikut:

Contohnya: sebutan pertama (a1) dalam janjang aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan beza (d) adalah sama dengan empat. Anda perlu mencari sebutan keempat puluh lima janjang ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) membolehkan anda menentukan sebutan ke-n suatu janjang aritmetik melalui mana-mana sebutan ke-knya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah sebutan janjang aritmetik (bermaksud n sebutan pertama janjang terhingga) dikira seperti berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika sebutan pertama juga diketahui, maka formula lain adalah sesuai untuk pengiraan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah janjang aritmetik yang mengandungi n sebutan dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung kepada keadaan masalah dan data awal.

Siri semula jadi sebarang nombor, seperti 1,2,3,...,n,...- contoh paling mudah janjang aritmetik.

Sebagai tambahan kepada janjang aritmetik, terdapat juga janjang geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.

Sesetengah orang menganggap perkataan "kemajuan" dengan berhati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks daripada bahagian tersebut matematik yang lebih tinggi. Sementara itu, janjang aritmetik yang paling mudah ialah kerja meter teksi (di mana ia masih wujud). Dan memahami intipati (dan dalam matematik tidak ada yang lebih penting daripada "memahami intipati") bagi urutan aritmetik tidaklah begitu sukar, setelah menganalisis beberapa konsep asas.

Urutan nombor matematik

Urutan berangka biasanya dipanggil satu siri nombor, setiap satu daripadanya mempunyai nombor sendiri.

a 1 ialah ahli pertama bagi jujukan;

dan 2 ialah sebutan kedua bagi jujukan;

dan 7 ialah ahli ketujuh bagi jujukan;

dan n ialah ahli ke-n bagi jujukan;

Walau bagaimanapun, tidak ada set nombor dan nombor sewenang-wenangnya yang menarik minat kami. Kami akan menumpukan perhatian kami pada jujukan berangka di mana nilai sebutan ke-n dikaitkan dengan nombor ordinalnya melalui hubungan yang boleh dirumuskan secara matematik dengan jelas. Dalam erti kata lain: nilai berangka nombor ke-n ialah beberapa fungsi n.

a ialah nilai ahli bagi jujukan berangka;

n ialah nombor sirinya;

f(n) ialah fungsi, di mana nombor ordinal dalam jujukan berangka n ialah hujah.

Definisi

Janjang aritmetik biasanya dipanggil jujukan berangka di mana setiap sebutan berikutnya adalah lebih besar (kurang) daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama. Formula bagi sebutan ke-n bagi jujukan aritmetik adalah seperti berikut:

a n - nilai ahli semasa janjang aritmetik;

a n+1 - formula nombor seterusnya;

d - perbezaan (nombor tertentu).

Adalah mudah untuk menentukan bahawa jika perbezaan adalah positif (d>0), maka setiap ahli berikutnya bagi siri yang sedang dipertimbangkan akan lebih besar daripada yang sebelumnya dan janjang aritmetik sedemikian akan meningkat.

Dalam graf di bawah adalah mudah untuk melihat mengapa urutan nombor dipanggil "meningkat".

Dalam kes di mana perbezaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai ahli yang ditentukan

Kadangkala adalah perlu untuk menentukan nilai sebarang sebutan arbitrari bagi suatu janjang aritmetik. Ini boleh dilakukan dengan mengira secara berurutan nilai semua ahli janjang aritmetik, bermula dari yang pertama hingga yang dikehendaki. Walau bagaimanapun, laluan ini tidak selalu boleh diterima jika, sebagai contoh, adalah perlu untuk mencari nilai penggal lima ribu atau lapan juta. Pengiraan tradisional akan mengambil banyak masa. Walau bagaimanapun, janjang aritmetik tertentu boleh dikaji menggunakan formula tertentu. Terdapat juga formula untuk sebutan ke-n: nilai sebarang sebutan janjang aritmetik boleh ditentukan sebagai hasil tambah sebutan pertama janjang dengan perbezaan janjang itu, didarab dengan bilangan sebutan yang dikehendaki, dikurangkan dengan satu.

Formula adalah universal untuk meningkatkan dan mengurangkan perkembangan.

Contoh pengiraan nilai istilah tertentu

Mari kita selesaikan masalah berikut untuk mencari nilai sebutan ke-n suatu janjang aritmetik.

Keadaan: terdapat janjang aritmetik dengan parameter:

Sebutan pertama bagi jujukan ialah 3;

Perbezaan dalam siri nombor ialah 1.2.

Tugasan: anda perlu mencari nilai 214 sebutan

Penyelesaian: untuk menentukan nilai istilah tertentu, kami menggunakan formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Menggantikan data daripada pernyataan masalah ke dalam ungkapan, kami mempunyai:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Jawapan: Sebutan ke-214 bagi jujukan itu bersamaan dengan 258.6.

Kelebihan kaedah pengiraan ini adalah jelas - keseluruhan penyelesaian mengambil masa tidak lebih daripada 2 baris.

Jumlah bilangan sebutan tertentu

Selalunya, dalam siri aritmetik tertentu, adalah perlu untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Untuk melakukan ini, anda juga tidak perlu mengira nilai setiap istilah dan kemudian menambahnya. Kaedah ini boleh digunakan jika bilangan istilah yang jumlahnya perlu dicari adalah kecil. Dalam kes lain, lebih mudah untuk menggunakan formula berikut.

Jumlah sebutan bagi janjang aritmetik dari 1 hingga n adalah sama dengan hasil tambah sebutan pertama dan ke-n, didarab dengan bilangan sebutan n dan dibahagikan dengan dua. Jika dalam formula nilai istilah ke-n digantikan dengan ungkapan dari perenggan sebelumnya artikel, kita dapat:

Contoh pengiraan

Sebagai contoh, mari kita selesaikan masalah dengan syarat berikut:

Sebutan pertama bagi jujukan ialah sifar;

Perbezaannya ialah 0.5.

Masalahnya memerlukan penentuan jumlah terma siri dari 56 hingga 101.

Penyelesaian. Mari kita gunakan formula untuk menentukan jumlah kemajuan:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kami menentukan jumlah nilai 101 sebutan janjang dengan menggantikan syarat yang diberikan masalah kami ke dalam formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Jelas sekali, untuk mengetahui jumlah terma janjang dari ke-56 hingga ke-101, adalah perlu untuk menolak S 55 daripada S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Oleh itu, jumlah janjang aritmetik untuk contoh ini ialah:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Contoh aplikasi amali janjang aritmetik

Pada akhir artikel, mari kita kembali kepada contoh jujukan aritmetik yang diberikan dalam perenggan pertama - pengukur taksi (meter kereta teksi). Mari kita pertimbangkan contoh ini.

Menaiki teksi (termasuk 3 km perjalanan) berharga 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar pada kadar 22 rubel/km. Jarak perjalanan ialah 30 km. Kira kos perjalanan.

1. Mari kita buang 3 km pertama, yang harganya termasuk dalam kos pendaratan.

30 - 3 = 27 km.

2. Pengiraan selanjutnya tidak lebih daripada menghuraikan siri nombor aritmetik.

Nombor ahli - bilangan kilometer yang dilalui (tolak tiga yang pertama).

Nilai ahli ialah jumlah.

Istilah pertama dalam masalah ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.

Perbezaan kemajuan d = 22 r.

nombor yang kita minati ialah nilai sebutan (27+1) bagi janjang aritmetik - bacaan meter pada penghujung kilometer ke-27 ialah 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Pengiraan data kalendar untuk tempoh yang panjang sewenang-wenangnya adalah berdasarkan formula yang menerangkan jujukan berangka tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit bergantung secara geometri pada jarak jasad angkasa ke bintang. Selain itu, pelbagai siri nombor berjaya digunakan dalam statistik dan bidang gunaan matematik yang lain.

Satu lagi jenis urutan nombor ialah geometri

Janjang geometri dicirikan oleh kadar perubahan yang lebih besar berbanding janjang aritmetik. Bukan kebetulan bahawa dalam politik, sosiologi, dan perubatan, untuk menunjukkan kelajuan tinggi penyebaran fenomena tertentu, sebagai contoh, penyakit semasa wabak, mereka mengatakan bahawa proses itu berkembang dalam janjang geometri.

Sebutan N siri nombor geometri berbeza daripada yang sebelumnya kerana ia didarab dengan beberapa nombor tetap - penyebutnya, sebagai contoh, sebutan pertama ialah 1, penyebutnya bersamaan dengan 2, kemudian:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - nilai istilah semasa janjang geometri;

b n+1 - formula sebutan seterusnya bagi janjang geometri;

q ialah penyebut janjang geometri (nombor tetap).

Jika graf janjang aritmetik ialah garis lurus, maka janjang geometri melukis gambar yang sedikit berbeza:

Seperti dalam kes aritmetik, janjang geometri mempunyai formula untuk nilai sebutan arbitrari. Mana-mana sebutan ke-n suatu janjang geometri adalah sama dengan hasil darab sebutan pertama dan penyebut janjang kepada kuasa n dikurangkan dengan satu:

Contoh. Kami mempunyai janjang geometri dengan sebutan pertama sama dengan 3 dan penyebut janjang itu sama dengan 1.5. Mari cari sebutan ke-5 janjang itu

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Jumlah bilangan sebutan yang diberikan juga dikira menggunakan formula khas. Jumlah n sebutan pertama suatu janjang geometri adalah sama dengan perbezaan antara hasil darab sebutan ke-n janjang itu dan penyebutnya dan sebutan pertama janjang itu, dibahagikan dengan penyebut yang dikurangkan dengan satu:

Jika b n digantikan menggunakan formula yang dibincangkan di atas, nilai jumlah n sebutan pertama siri nombor yang sedang dipertimbangkan akan berbentuk:

Contoh. Janjang geometri bermula dengan sebutan pertama bersamaan dengan 1. Penyebutnya ditetapkan kepada 3. Mari cari hasil tambah bagi lapan sebutan pertama.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280