Persamaan yang kuadratik berkenaan dengan logaritma, dan teknik bukan piawai lain. Logaritma: contoh dan penyelesaian

Apakah logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apakah logaritma? Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma? Soalan-soalan ini mengelirukan ramai graduan. Secara tradisinya, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat difahami dan menakutkan. Terutamanya persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sudah tentu! Tidak percaya saya? baiklah. Kini, hanya dalam 10 - 20 minit anda:

1. Anda akan faham apa itu logaritma.

2. Belajar menyelesaikan keseluruhan kelas persamaan eksponen. Walaupun anda tidak pernah mendengar apa-apa tentang mereka.

3. Belajar mengira logaritma mudah.

Selain itu, untuk ini anda hanya perlu mengetahui jadual pendaraban dan cara menaikkan nombor kepada kuasa...

Saya rasa awak ada keraguan... Baik, okey, tandakan masanya! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala anda:

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Logaritma nombor positif b kepada asas a (a>0, a tidak sama dengan 1) ialah nombor c supaya a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Ambil perhatian bahawa logaritma nombor bukan positif tidak ditentukan. Di samping itu, asas logaritma mestilah nombor positif, tidak sama dengan 1. Sebagai contoh, jika kita kuasa dua -2, kita mendapat nombor 4, tetapi ini tidak bermakna logaritma kepada asas -2 daripada 4 adalah sama dengan 2.

Identiti logaritma asas

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Adalah penting bahawa skop definisi bahagian kanan dan kiri formula ini adalah berbeza. Bahagian kiri ditakrifkan hanya untuk b>0, a>0 dan a ≠ 1. Bahagian kanan ditakrifkan untuk mana-mana b, dan tidak bergantung pada a sama sekali. Oleh itu, penggunaan "identiti" logaritma asas apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan boleh membawa kepada perubahan dalam OD.

Dua akibat yang jelas dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Sesungguhnya, apabila menaikkan nombor a kepada kuasa pertama, kita mendapat nombor yang sama, dan apabila menaikkannya kepada kuasa sifar, kita mendapat satu.

Logaritma hasil darab dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memberi amaran kepada pelajar sekolah supaya tidak menggunakan formula ini secara tidak sengaja semasa menyelesaikan persamaan logaritma dan ketidaksamaan. Apabila menggunakannya "dari kiri ke kanan," ODZ mengecil, dan apabila bergerak dari jumlah atau perbezaan logaritma ke logaritma hasil atau hasil, ODZ mengembang.

Sesungguhnya, ungkapan log a (f (x) g (x)) ditakrifkan dalam dua kes: apabila kedua-dua fungsi adalah positif atau apabila f (x) dan g (x) kedua-duanya kurang daripada sifar.

Mengubah ungkapan ini kepada log jumlah a f (x) + log a g (x), kita terpaksa mengehadkan diri kita hanya kepada kes apabila f(x)>0 dan g(x)>0. Terdapat penyempitan kawasan nilai yang boleh diterima, dan ini secara kategorinya tidak boleh diterima, kerana ia boleh menyebabkan kehilangan penyelesaian. Masalah yang sama wujud untuk formula (6).

Darjah boleh diambil daripada tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin menggesa berhati-hati. Pertimbangkan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Bahagian kiri kesamaan jelas ditakrifkan untuk semua nilai f(x) kecuali sifar. Bahagian kanan hanya untuk f(x)>0! Dengan mengeluarkan darjah daripada logaritma, kami sekali lagi mengecilkan ODZ. Prosedur sebaliknya membawa kepada pengembangan julat nilai yang boleh diterima. Semua kenyataan ini terpakai bukan sahaja untuk kuasa 2, tetapi juga untuk mana-mana kuasa genap.

Formula untuk berpindah ke asas baru

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Kes yang jarang berlaku apabila ODZ tidak berubah semasa transformasi. Jika anda telah memilih asas c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), formula untuk berpindah ke pangkalan baharu adalah selamat sepenuhnya.

Jika kita memilih nombor b sebagai asas baru c, kita memperoleh satu kes khas yang penting bagi formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Beberapa contoh mudah dengan logaritma

Contoh 1. Kira: log2 + log50.
Penyelesaian. log2 + log50 = log100 = 2. Kami menggunakan jumlah formula logaritma (5) dan takrifan logaritma perpuluhan.

Contoh 2. Kira: lg125/lg5.
Penyelesaian. log125/log5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan formula untuk berpindah ke pangkalan baharu (8).

Jadual rumus berkaitan logaritma

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa ditambah (a b *a c = a b+c). Undang-undang matematik ini diterbitkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual eksponen integer. Merekalah yang berkhidmat untuk penemuan logaritma selanjutnya. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana anda perlu memudahkan pendaraban yang rumit dengan penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Dalam bahasa yang mudah dan mudah diakses.

Definisi dalam matematik

Logaritma ialah ungkapan dalam bentuk berikut: log a b=c, iaitu, logaritma sebarang nombor bukan negatif (iaitu, sebarang positif) “b” kepada asasnya “a” dianggap sebagai kuasa “c ” yang mana asas “a” mesti dinaikkan untuk akhirnya mendapat nilai "b". Mari analisa logaritma menggunakan contoh, katakan terdapat log ungkapan 2 8. Bagaimana untuk mencari jawapannya? Ia sangat mudah, anda perlu mencari kuasa supaya dari 2 kepada kuasa yang diperlukan anda mendapat 8. Selepas melakukan beberapa pengiraan di kepala anda, kami mendapat nombor 3! Dan itu benar, kerana 2 kepada kuasa 3 memberikan jawapan sebagai 8.

Jenis-jenis logaritma

Bagi kebanyakan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami makna umum mereka dan mengingati sifat dan beberapa peraturan mereka. Terdapat tiga jenis ungkapan logaritma yang berasingan:

1. Logaritma asli ln a, dengan asasnya ialah nombor Euler (e = 2.7).
2. Perpuluhan a, dengan asasnya ialah 10.
3. Logaritma sebarang nombor b kepada asas a>1.

Setiap daripada mereka diputuskan dengan cara yang standard, yang merangkumi penyederhanaan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, anda harus ingat sifatnya dan urutan tindakan apabila menyelesaikannya.

Peraturan dan beberapa sekatan

Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-kekangan yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak tertakluk kepada perbincangan dan merupakan kebenaran. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk membahagikan nombor dengan sifar, dan juga mustahil untuk mengekstrak punca genap nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturan mereka sendiri, berikutan anda boleh belajar bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:

• Asas "a" mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan itu akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" pada mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
• jika a > 0, kemudian a b >0, ternyata “c” juga mestilah lebih besar daripada sifar.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?

Sebagai contoh, tugasan diberikan untuk mencari jawapan kepada persamaan 10 x = 100. Ini sangat mudah, anda perlu memilih kuasa dengan menaikkan nombor sepuluh yang kita dapat 100. Ini, sudah tentu, adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita wakili ungkapan ini dalam bentuk logaritma. Kami mendapat log 10 100 = 2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktikalnya menumpu untuk mencari kuasa yang diperlukan untuk memasukkan asas logaritma untuk mendapatkan nombor yang diberikan.

Untuk menentukan nilai ijazah yang tidak diketahui dengan tepat, anda perlu belajar cara bekerja dengan jadual darjah. Ia kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai minda teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun untuk nilai yang besar anda memerlukan jadual darjah. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematik yang kompleks. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah nilai kuasa c yang nombor a dinaikkan. Di persimpangan, sel mengandungi nilai nombor yang merupakan jawapan (a c =b). Mari kita ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat mudah dan mudah sehinggakan humanis yang paling benar akan faham!

Persamaan dan ketaksamaan

Ternyata dalam keadaan tertentu eksponen adalah logaritma. Oleh itu, sebarang ungkapan berangka matematik boleh ditulis sebagai kesamaan logaritma. Sebagai contoh, 3 4 =81 boleh ditulis sebagai asas 3 logaritma 81 bersamaan dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kuasa negatif peraturannya adalah sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapat log 2 (1/32) = -5. Salah satu bahagian matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan melihat contoh dan penyelesaian persamaan di bawah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Sekarang mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.

Ungkapan berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ungkapan dua kuantiti dibandingkan: logaritma nombor yang dikehendaki kepada asas dua adalah lebih besar daripada nombor tiga.

Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contohnya, logaritma 2 x = √9) membayangkan satu atau lebih jawapan khusus. nilai berangka, manakala apabila menyelesaikan ketaksamaan, kedua-dua julat nilai yang dibenarkan dan titik putus fungsi ini ditentukan. Akibatnya, jawapannya bukanlah satu set nombor individu yang mudah, seperti dalam jawapan kepada persamaan, tetapi siri berterusan atau set nombor.

Teorem asas tentang logaritma

Apabila menyelesaikan tugas primitif mencari nilai logaritma, sifatnya mungkin tidak diketahui. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan melihat contoh persamaan kemudian; mari kita lihat setiap sifat dengan lebih terperinci.

1. Identiti utama kelihatan seperti ini: a logaB =B. Ia terpakai hanya apabila a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar daripada sifar.
2. Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam kes ini prasyarat ialah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, kemudian a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kami memperoleh bahawa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat bagi darjah ), dan kemudian mengikut takrifan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, iaitu apa yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem dalam bentuk formula mengambil bentuk berikut: log a q b n = n/q log a b.

Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma." Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik adalah berdasarkan postulat semula jadi. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b = t, ternyata a t =b. Jika kita menaikkan kedua-dua bahagian kepada kuasa m: a tn = b n ;

tetapi oleh kerana a tn = (a q) nt/q = b n, oleh itu log a q b n = (n*t)/t, kemudian log a q b n = n/q log a b. Teorem terbukti.

Contoh masalah dan ketidaksamaan

Jenis masalah yang paling biasa pada logaritma ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Ia ditemui dalam hampir semua buku masalah, dan juga merupakan bahagian yang diperlukan dalam peperiksaan matematik. Untuk memasuki universiti atau lulus peperiksaan masuk dalam matematik, anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas tersebut dengan betul.

Malangnya, tiada pelan atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, tetapi peraturan tertentu boleh digunakan untuk setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. Pertama sekali, anda harus mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau membawa kepada penampilan umum. Anda boleh memudahkan ungkapan logaritma panjang jika anda menggunakan sifatnya dengan betul. Jom kenali mereka dengan cepat.

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, kita mesti menentukan jenis logaritma yang kita ada: ungkapan contoh mungkin mengandungi logaritma asli atau satu perpuluhan.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa mereka perlu menentukan kuasa yang mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma semula jadi, anda perlu memohon identiti logaritma atau harta benda mereka. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritma pelbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Penyelesaian

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem asas tentang logaritma.

1. Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan yang perlu dikembangkan sangat penting nombor b kepada faktor yang lebih mudah. Sebagai contoh, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawapannya ialah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - seperti yang anda lihat, menggunakan sifat keempat kuasa logaritma, kami berjaya menyelesaikan ungkapan yang kelihatan rumit dan tidak dapat diselesaikan. Anda hanya perlu memfaktorkan asas dan kemudian mengambil nilai eksponen daripada tanda logaritma.

Tugasan daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu

Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu (peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah). Biasanya, tugasan ini hadir bukan sahaja dalam bahagian A (bahagian ujian paling mudah dalam peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling kompleks dan banyak). Peperiksaan memerlukan pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semulajadi".

Contoh dan penyelesaian kepada masalah diambil dari rasmi Pilihan Peperiksaan Negeri Bersatu. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.

Diberi log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis semula ungkapan, permudahkan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, dengan takrif logaritma kita mendapat bahawa 2x-1 = 2 4, oleh itu 2x = 17; x = 8.5.

• Adalah lebih baik untuk mengurangkan semua logaritma kepada asas yang sama supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
• Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh itu, apabila eksponen ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai tapaknya diambil sebagai pengganda, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentangnya tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Ramai pelajar terperangkap pada persamaan jenis ini. Pada masa yang sama, tugas itu sendiri tidak bermakna rumit - cukup untuk melakukan penggantian pembolehubah yang cekap, yang mana anda harus belajar mengenal pasti ungkapan yang stabil.

Sebagai tambahan kepada pelajaran ini, anda akan menemui kerja bebas yang agak besar, yang terdiri daripada dua pilihan dengan 6 masalah setiap satu.

Kaedah pengelompokan

Hari ini kita akan menganalisis dua persamaan logaritma, salah satunya tidak dapat diselesaikan terus dan memerlukan transformasi khas, dan yang kedua... walau bagaimanapun, saya tidak akan memberitahu anda semuanya sekaligus. Tonton video, muat turun karya bebas - dan belajar menyelesaikan masalah yang rumit.

Jadi, kumpulkan dan letakkan faktor sepunya daripada kurungan. Di samping itu, saya akan memberitahu anda apakah perangkap yang dibawa oleh domain definisi logaritma, dan bagaimana kenyataan kecil mengenai domain definisi boleh mengubah kedua-dua punca dan keseluruhan penyelesaian dengan ketara.

Mari kita mulakan dari kumpulan. Kita perlu menyelesaikan persamaan logaritma berikut:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Pertama sekali, ambil perhatian bahawa x 2 − 3x boleh difaktorkan:

log 2 x (x − 3)

Kemudian ingat formula yang indah:

log a fg = log a f + log a g

Hanya nota ringkas: formula ini berfungsi hebat apabila a, f dan g ialah nombor biasa. Tetapi apabila ia digantikan dengan fungsi, ungkapan ini tidak lagi sama. Bayangkan situasi hipotesis ini:

f< 0; g < 0

Dalam kes ini, produk fg akan menjadi positif, oleh itu, log a (fg) akan wujud, tetapi log a f dan log a g tidak akan wujud secara berasingan, dan kami tidak akan dapat melakukan transformasi sedemikian.

mengabaikan fakta ini akan membawa kepada penyempitan kawasan definisi dan, sebagai akibatnya, kepada kehilangan akar. Oleh itu, sebelum melakukan transformasi sedemikian, anda mesti memastikan terlebih dahulu bahawa fungsi f dan g adalah positif.

Dalam kes kami, semuanya mudah. Oleh kerana persamaan asal mengandungi log fungsi 2 x, maka x > 0 (lagipun, pembolehubah x berada dalam hujah). Terdapat juga log 2 (x − 3), jadi x − 3 > 0.

Oleh itu, dalam log fungsi 2 x (x − 3) setiap faktor akan lebih besar daripada sifar. Oleh itu, anda boleh menguraikan produk dengan selamat ke dalam jumlah:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

Pada pandangan pertama, nampaknya keadaan tidak menjadi lebih mudah. Sebaliknya: bilangan istilah hanya meningkat! Untuk memahami cara meneruskan, mari perkenalkan pembolehubah baharu:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a · b + 1 − a − b = 0

Sekarang mari kumpulkan penggal ketiga dengan penggal pertama:

(a · b − a ) + (1 − b ) = 0

a (1 b − 1) + (1 − b ) = 0

Ambil perhatian bahawa kedua-dua kurungan pertama dan kedua mengandungi b − 1 (dalam kes kedua, anda perlu mengeluarkan "tolak" daripada kurungan). Mari kita memfaktorkan pembinaan kita:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

Dan sekarang mari kita ingat peraturan indah kita: produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Mari kita ingat apa itu b dan a. Kami mendapat dua persamaan logaritma mudah di mana yang tinggal hanyalah untuk menyingkirkan tanda log dan menyamakan hujah:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Kami mendapat dua punca, tetapi ini bukan penyelesaian kepada persamaan logaritma asal, tetapi hanya calon untuk jawapannya. Sekarang mari kita semak domain definisi. Untuk hujah pertama:

x > 0

Kedua-dua akar memenuhi keperluan pertama. Mari kita beralih kepada hujah kedua:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Tetapi di sini x = 2 tidak memuaskan hati kami, tetapi x = 5 sesuai dengan kami. Oleh itu, satu-satunya jawapan ialah x = 5.

Mari kita beralih kepada persamaan logaritma kedua. Pada pandangan pertama, ia lebih mudah. Walau bagaimanapun, dalam proses menyelesaikannya, kami akan mempertimbangkan perkara-perkara halus yang berkaitan dengan skop definisi, kejahilan yang ketara merumitkan kehidupan pelajar permulaan.

log 0.7 (x 2 − 6x + 2) = log 0.7 (7 − 2x)

Di hadapan kita adalah bentuk kanonik persamaan logaritma. Tidak perlu mengubah apa-apa - walaupun asasnya adalah sama. Oleh itu, kami hanya menyamakan hujah:

x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x

x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x 2 − 4x − 5 = 0

Apa yang ada di hadapan kita ialah persamaan kuadratik, ia boleh diselesaikan dengan mudah menggunakan formula Vieta:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Tetapi akar ini bukanlah jawapan muktamad. Ia adalah perlu untuk mencari domain definisi, kerana persamaan asal mengandungi dua logaritma, i.e. mengambil kira domain definisi adalah amat diperlukan.

Jadi, mari kita tulis domain definisi. Di satu pihak, hujah logaritma pertama mestilah lebih besar daripada sifar:

x 2 − 6x + 2 > 0

Sebaliknya, hujah kedua juga mestilah lebih besar daripada sifar:

7 − 2x > 0

Keperluan ini mesti dipenuhi serentak. Dan di sinilah keseronokan bermula. Sudah tentu, kita boleh menyelesaikan setiap ketaksamaan ini, kemudian memotongnya dan mencari domain bagi keseluruhan persamaan. Tetapi mengapa membuat hidup begitu sukar untuk diri sendiri?

Mari kita perhatikan satu kehalusan. Dengan menghapuskan tanda log, kami menyamakan hujah. Ia berikutan bahawa keperluan x 2 − 6x + 2 > 0 dan 7 − 2x > 0 adalah setara. Akibatnya, salah satu daripada dua ketidaksamaan boleh dihapuskan. Mari kita memotong bahagian yang paling sukar dan tinggalkan diri kita dengan ketaksamaan linear biasa:

−2x > −7

x< 3,5

Oleh kerana kami membahagikan kedua-dua bahagian dengan nombor negatif, tanda ketidaksamaan telah berubah.

Jadi, kami mendapati ODZ tanpa sebarang ketaksamaan kuadratik, diskriminasi dan persilangan. Sekarang yang tinggal hanyalah memilih akar yang terletak pada selang ini. Jelas sekali, hanya x = −1 akan sesuai dengan kita, kerana x = 5 > 3.5.

Kita boleh menulis jawapan: x = 1 ialah satu-satunya penyelesaian kepada persamaan logaritma asal.

Kesimpulan daripada persamaan logaritma ini adalah seperti berikut:

1. Jangan takut untuk memfaktorkan logaritma, dan kemudian memfaktorkan faktor dengan jumlah logaritma. Walau bagaimanapun, ingat bahawa dengan membahagikan produk kepada jumlah dua logaritma, anda dengan itu mengecilkan skop definisi. Oleh itu, sebelum melakukan penukaran sedemikian, pastikan anda menyemak apakah keperluan skop. Selalunya, tiada masalah timbul, bagaimanapun sekali lagi Tidak salah untuk berada di pihak yang selamat.
2. Apabila menyingkirkan bentuk kanonik, cuba mengoptimumkan pengiraan. Khususnya, jika kita dikehendaki mempunyai f > 0 dan g > 0, tetapi dalam persamaan itu sendiri f = g, maka kita boleh memotong salah satu ketaksamaan dengan selamat, meninggalkan diri kita hanya yang paling mudah. Domain definisi dan jawapan tidak akan terjejas dalam apa jua cara, tetapi jumlah pengiraan akan dikurangkan dengan ketara.

Itu sahaja yang saya ingin beritahu anda tentang kumpulan itu :)

Kesilapan biasa semasa menyelesaikan

Hari ini kita akan melihat dua persamaan logaritma tipikal yang ramai pelajar tersandung. Menggunakan persamaan ini sebagai contoh, kita akan melihat apakah kesilapan yang paling kerap dilakukan dalam proses menyelesaikan dan mengubah ungkapan asal.

Persamaan rasional pecahan dengan logaritma

Perlu diperhatikan dengan segera bahawa ini adalah jenis persamaan yang agak berbahaya, di mana tidak selalu ada pecahan dengan logaritma di suatu tempat dalam penyebut. Namun, dalam proses transformasi pecahan sebegitu pasti akan timbul.

Pada masa yang sama, berhati-hati: semasa proses transformasi, domain asal takrifan logaritma boleh berubah dengan ketara!

Kami beralih kepada persamaan logaritma yang lebih ketat yang mengandungi pecahan dan pembolehubah asas. Untuk menyelesaikan lebih banyak dalam satu pelajaran pendek, saya tidak akan memberitahu anda teori asas. Mari terus ke tugas:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Melihat kepada persamaan ini, seseorang akan bertanya: “Apa kaitannya persamaan rasional pecahan? Di manakah pecahan dalam persamaan ini? Mari luangkan masa dan lihat dengan teliti setiap penggal.

Sebutan pertama: 4 log 25 (x − 1). Asas logaritma ialah nombor, tetapi hujah adalah fungsi pembolehubah x. Kami belum boleh berbuat apa-apa tentang perkara ini. Teruskan.

Istilah seterusnya ialah: log 3 27. Ingat bahawa 27 = 3 3. Oleh itu, kita boleh menulis semula keseluruhan logaritma seperti berikut:

log 3 27 = 3 3 = 3

Jadi penggal kedua hanya tiga. Sebutan ketiga: 2 log x − 1 5. Tidak semuanya mudah di sini sama ada: asas ialah fungsi, hujah ialah nombor biasa. Saya mencadangkan untuk membalikkan keseluruhan logaritma menggunakan formula berikut:

log a b = 1/log b a

Penjelmaan sedemikian hanya boleh dilakukan jika b ≠ 1. Jika tidak, logaritma yang muncul dalam penyebut pecahan kedua tidak akan wujud. Dalam kes kami b = 5, jadi semuanya ok:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Mari kita tulis semula persamaan asal dengan mengambil kira penjelmaan yang terhasil:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

Dalam penyebut pecahan kita mempunyai log 5 (x − 1), dan dalam sebutan pertama kita mempunyai log 25 (x − 1). Tetapi 25 = 5 2, jadi kita ambil persegi dari pangkal logaritma mengikut peraturan:

Dengan kata lain, kuasa di pangkal logaritma menjadi pecahan di hadapan. Dan ungkapan itu akan ditulis semula seperti ini:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Kami berakhir dengan persamaan panjang dengan sekumpulan logaritma yang sama. Mari perkenalkan pembolehubah baharu:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Tetapi ini ialah persamaan pecahan-rasional, yang boleh diselesaikan menggunakan algebra gred 8-9. Pertama, mari bahagikan semuanya dengan dua:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Terdapat segi empat tepat dalam kurungan. Mari runtuhkannya:

(t − 1) 2 /t = 0

Pecahan adalah sama dengan sifar apabila pengangkanya adalah sifar dan penyebutnya adalah bukan sifar. Jangan lupa fakta ini:

(t − 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

Mari kita ingat apa itu t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Kami menyingkirkan tanda log, menyamakan hujah mereka, dan dapatkan:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Semua. Masalah selesai. Tetapi mari kita kembali kepada persamaan asal dan ingat bahawa terdapat dua logaritma dengan pembolehubah x. Oleh itu, adalah perlu untuk menulis domain definisi. Oleh kerana x − 1 berada dalam hujah logaritma, ungkapan ini mestilah lebih besar daripada sifar:

x − 1 > 0

Sebaliknya, x − 1 yang sama juga terdapat di pangkalan, jadi ia mesti berbeza daripada kesatuan:

x − 1 ≠ 1

Dari sini kami membuat kesimpulan:

x > 1; x ≠ 2

Keperluan ini mesti dipenuhi serentak. Nilai x = 6 memenuhi kedua-dua keperluan, jadi x = 6 ialah penyelesaian akhir kepada persamaan logaritma.

Mari kita beralih kepada tugas kedua:

Mari luangkan masa sekali lagi dan lihat setiap penggal:

log 4 (x + 1) - tapaknya ialah empat. Ia adalah nombor biasa dan anda tidak perlu menyentuhnya. Tetapi kali terakhir kami menjumpai segi empat tepat di pangkalan, yang perlu dikeluarkan dari bawah tanda logaritma. Mari kita lakukan perkara yang sama sekarang:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Caranya ialah kita sudah mempunyai logaritma dengan pembolehubah x, walaupun dalam asas - ia adalah songsang logaritma yang baru kita temui:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Sebutan seterusnya ialah log 2 8. Ini adalah pemalar, kerana kedua-dua hujah dan asas mengandungi nombor biasa. Mari cari nilai:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan logaritma terakhir:

Sekarang mari kita tulis semula persamaan asal:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Mari kita bawa segala-galanya kepada penyebut yang sama:

Sekali lagi kita mempunyai persamaan rasional pecahan. Mari perkenalkan pembolehubah baharu:

t = log 2 (x + 1)

Mari kita tulis semula persamaan dengan mengambil kira pembolehubah baharu:

Berhati-hati: dalam langkah ini saya menukar syarat. Pengangka pecahan mengandungi kuasa dua selisih:

Seperti sebelumnya, pecahan sama dengan sifar apabila pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Kami telah menerima satu punca yang memenuhi semua keperluan, jadi kami kembali kepada pembolehubah x:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x = 15

Itu sahaja, kami telah menyelesaikan persamaan. Tetapi oleh kerana terdapat beberapa logaritma dalam persamaan asal, adalah perlu untuk menulis domain definisi.

Jadi, ungkapan x + 1 adalah dalam hujah logaritma. Oleh itu x + 1 > 0. Sebaliknya, x + 1 juga terdapat dalam tapak, i.e. x + 1 ≠ 1. Jumlah:

0 ≠ x > −1

Adakah akar yang ditemui memenuhi keperluan ini? Tidak dinafikan. Oleh itu, x = 15 ialah penyelesaian kepada persamaan logaritma asal.

Akhir sekali, saya ingin mengatakan perkara berikut: jika anda melihat persamaan dan memahami bahawa anda perlu menyelesaikan sesuatu yang kompleks dan tidak standard, cuba kenal pasti struktur stabil yang kemudiannya akan ditetapkan oleh pembolehubah lain. Jika sesetengah istilah tidak mengandungi pembolehubah x sama sekali, ia selalunya boleh dikira dengan mudah.

Itu sahaja yang saya ingin bincangkan hari ini. Saya harap pelajaran ini membantu anda dalam menyelesaikan persamaan logaritma kompleks. Tonton tutorial video lain, muat turun dan selesaikan kerja bebas, dan jumpa lagi dalam video seterusnya!