Berita bintang
Julat nilai yang boleh diterima ialah ODZ. (2019). Bagaimana untuk mencari domain fungsi matematik
Memutuskan pelbagai tugas, kita selalunya perlu melakukan transformasi ungkapan yang sama. Tetapi ia berlaku bahawa beberapa jenis transformasi boleh diterima dalam beberapa kes, tetapi tidak dalam yang lain. Bantuan penting dari segi pemantauan kebolehterimaan transformasi berterusan disediakan oleh ODZ. Mari kita lihat ini dengan lebih terperinci.
Intipati pendekatan adalah seperti berikut: ODZ pembolehubah untuk ungkapan asal dibandingkan dengan ODZ pembolehubah untuk ungkapan yang diperoleh hasil daripada transformasi yang sama, dan berdasarkan keputusan perbandingan, kesimpulan yang sesuai dibuat.
Secara umum, transformasi identiti boleh
- tidak mempengaruhi DL;
- membawa kepada pengembangan ODZ;
- membawa kepada penyempitan ODZ.
Mari kita menggambarkan setiap kes dengan contoh.
Pertimbangkan ungkapan x 2 +x+3·x, ODZ bagi pembolehubah x untuk ungkapan ini ialah set R. Sekarang mari kita lakukan transformasi serupa berikut dengan ungkapan ini - kita membentangkan istilah yang serupa, hasilnya ia akan mengambil bentuk x 2 +4·x. Jelas sekali, pembolehubah x bagi ungkapan ini juga merupakan set R. Oleh itu, transformasi yang dijalankan tidak mengubah DZ.
Jom teruskan. Mari kita ambil ungkapan x+3/x−3/x. Dalam kes ini, ODZ ditentukan oleh keadaan x≠0, yang sepadan dengan set (−∞, 0)∪(0, +∞) . Ungkapan ini juga mengandungi istilah yang serupa, selepas mengurangkan yang mana kita sampai pada ungkapan x, yang mana ODZ ialah R. Apa yang kita lihat: sebagai hasil daripada transformasi, ODZ telah dikembangkan (nombor sifar telah ditambahkan pada ODZ pembolehubah x untuk ungkapan asal).
Ia kekal untuk mempertimbangkan contoh menyempitkan julat nilai yang boleh diterima selepas transformasi. Mari kita ambil ungkapan 
. ODZ bagi pembolehubah x ditentukan oleh ketaksamaan (x−1)·(x−3)≥0, untuk penyelesaiannya adalah sesuai, sebagai contoh, hasilnya kita mempunyai (−∞, 1]∪∪; disunting oleh S. A. Teleyakovsky - 17- ed. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 ms: sakit - ISBN 978-5-09-019315-3.
Bagaimana untuk mencari domain fungsi? Pelajar sekolah menengah sering perlu menangani tugas ini.
Ibu bapa harus membantu anak-anak mereka memahami isu ini.
Menentukan fungsi.
Mari kita ingat istilah asas algebra. Dalam matematik, fungsi ialah kebergantungan satu pembolehubah pada yang lain. Kita boleh mengatakan bahawa ini adalah undang-undang matematik yang ketat yang menghubungkan dua nombor dengan cara tertentu.
Dalam matematik, apabila menganalisis formula, pembolehubah berangka digantikan dengan simbol abjad. Yang paling biasa digunakan ialah x (“x”) dan y (“y”). Pembolehubah x dipanggil argumen, dan pembolehubah y dipanggil pembolehubah bersandar atau fungsi x.
wujud pelbagai cara menetapkan kebergantungan pembolehubah.
Mari senaraikan mereka:
- Jenis analitikal.
- Pandangan jadual.
- Paparan grafik.
Kaedah analisis diwakili oleh formula. Mari kita lihat contoh: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Formula y=2x+3 adalah tipikal untuk fungsi linear. Menggantikan ke dalam formula yang diberikan nilai angka hujah, kita mendapat nilai y.
Kaedah jadual ialah jadual yang terdiri daripada dua lajur. Lajur pertama diperuntukkan untuk nilai X, dan dalam lajur seterusnya data pemain direkodkan.
Kaedah grafik dianggap paling visual. Graf ialah paparan set semua titik pada satah.
Untuk membina graf, sistem koordinat Cartesan digunakan. Sistem ini terdiri daripada dua garis serenjang. Segmen unit yang sama diletakkan pada paksi. Pengiraan dibuat dari titik pusat persilangan garis lurus.
Pembolehubah bebas ditunjukkan pada garis mendatar. Ia dipanggil paksi absis. Garis menegak (paksi-y) memaparkan nilai berangka pembolehubah bersandar. Titik ditanda pada persilangan serenjang dengan paksi ini. Dengan menyambungkan titik antara satu sama lain, kita mendapat garis yang kukuh. Ia adalah asas jadual.
Jenis kebergantungan boleh ubah
Definisi.
Secara umum, pergantungan dibentangkan sebagai persamaan: y=f(x). Daripada rumus itu, bagi setiap nilai nombor x terdapat nombor y tertentu. Nilai permainan, yang sepadan dengan nombor x, dipanggil nilai fungsi.
Semua nilai yang mungkin yang diperoleh pembolehubah bebas membentuk domain definisi fungsi. Sehubungan itu, keseluruhan set nombor pembolehubah bersandar menentukan julat nilai fungsi. Domain definisi ialah semua nilai hujah yang f(x) masuk akal.
Tugas awal dalam mempelajari hukum matematik ialah mencari domain definisi. Istilah ini mesti ditakrifkan dengan betul. Jika tidak, semua pengiraan selanjutnya akan menjadi sia-sia. Lagipun, isipadu nilai dibentuk berdasarkan unsur-unsur set pertama.
Skop fungsi bergantung secara langsung pada kekangan. Had disebabkan oleh ketidakupayaan untuk melakukan operasi tertentu. Terdapat juga had untuk penggunaan nilai berangka.
Sekiranya tiada sekatan, domain definisi ialah keseluruhan ruang nombor. Tanda infiniti mempunyai simbol angka lapan mendatar. Seluruh set nombor ditulis seperti ini: (-∞; ∞).
Dalam kes tertentu, set data terdiri daripada beberapa subset. Skop selang atau ruang berangka bergantung pada jenis hukum perubahan parameter.
Berikut ialah senarai faktor yang mempengaruhi sekatan:
- perkadaran songsang;
- akar aritmetik;
- eksponenisasi;
- pergantungan logaritma;
- bentuk trigonometri.
Sekiranya terdapat beberapa elemen sedemikian, maka pencarian sekatan dibahagikan untuk setiap daripada mereka. Masalah terbesar ialah mengenal pasti titik kritikal dan jurang. Penyelesaian kepada masalah ini adalah dengan menyatukan semua subset berangka.
Set dan subset nombor
Mengenai set.
Domain definisi dinyatakan sebagai D(f), dan tanda kesatuan diwakili oleh simbol ∪. Semua selang berangka disertakan dalam kurungan. Jika sempadan tapak tidak termasuk dalam set, maka kurungan separuh bulatan diletakkan. Jika tidak, apabila nombor dimasukkan dalam subset, kurungan segi empat sama digunakan.
Perkadaran songsang dinyatakan dengan formula y=k/x. Graf fungsi ialah garis lengkung yang terdiri daripada dua cabang. Ia biasanya dipanggil hiperbola.
Oleh kerana fungsi itu dinyatakan sebagai pecahan, mencari domain definisi datang kepada menganalisis penyebut. Umum mengetahui bahawa dalam matematik pembahagian dengan sifar adalah dilarang. Menyelesaikan masalah datang kepada menyamakan penyebut kepada sifar dan mencari punca.
Berikut ialah contoh:
Diberi: y=1/(x+4). Cari domain definisi.
- Kami menyamakan penyebut dengan sifar.
x+4=0 - Mencari punca persamaan.
x=-4 - Kami mentakrifkan set semua kemungkinan nilai hujah.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)
Jawapan: Domain bagi fungsi ialah semua nombor nyata kecuali -4.
Nilai nombor di bawah tanda punca kuasa dua tidak boleh negatif. Dalam kes ini, mentakrifkan fungsi dengan punca dikurangkan kepada menyelesaikan ketaksamaan. Ungkapan radikal mestilah lebih besar daripada sifar.
Kawasan penentuan akar berkaitan dengan pariti penunjuk akar. Jika penunjuk boleh dibahagikan dengan 2, maka ungkapan itu masuk akal hanya jika ia nilai positif. Nombor ganjil penunjuk menunjukkan kebolehterimaan sebarang nilai ungkapan radikal: positif dan negatif.
Ketaksamaan diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan. Hanya ada satu perbezaan. Selepas mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan nombor negatif tanda itu harus diterbalikkan.
Jika punca kuasa dua adalah dalam penyebut, maka syarat tambahan mesti dikenakan. Nilai nombor tidak boleh sifar. Ketaksamaan bergerak ke dalam kategori ketidaksamaan yang ketat.
Fungsi logaritma dan trigonometri
Bentuk logaritma masuk akal apabila nombor positif. Oleh itu, domain definisi fungsi logaritma serupa dengan fungsi punca kuasa dua, kecuali sifar.
Mari kita pertimbangkan contoh pergantungan logaritma: y=log(2x-6). Cari domain definisi.
- 2x-6>0
- 2x>6
- x>6/2
Jawapan: (3; +∞).
Domain takrifan y=sin x dan y=cos x ialah set semua nombor nyata. Terdapat sekatan untuk tangen dan kotangen. Mereka dikaitkan dengan pembahagian dengan kosinus atau sinus sudut.
Tangen suatu sudut ditentukan oleh nisbah sinus kepada kosinus. Mari kita nyatakan nilai sudut di mana nilai tangen tidak wujud. Fungsi y=tg x masuk akal untuk semua nilai hujah kecuali x=π/2+πn, n∈Z.
Domain takrifan fungsi y=ctg x ialah keseluruhan set nombor nyata, tidak termasuk x=πn, n∈Z. Jika hujah adalah sama dengan nombor π atau gandaan π, sinus sudut adalah sifar. Pada titik ini (asimtot) kotangen tidak boleh wujud.
Tugas pertama untuk mengenal pasti domain definisi bermula dalam pelajaran di gred ke-7. Apabila mula-mula diperkenalkan kepada bahagian algebra ini, pelajar harus memahami topik dengan jelas.
Perlu diingatkan bahawa istilah ini akan menemani pelajar sekolah, dan kemudian pelajar, sepanjang tempoh pengajian.
Mula-mula, mari belajar cara mencari domain takrifan jumlah fungsi. Adalah jelas bahawa fungsi sedemikian masuk akal untuk semua nilai pembolehubah yang mana semua fungsi yang membentuk jumlah itu masuk akal. Oleh itu, tidak ada keraguan tentang kesahihan pernyataan berikut:
Jika fungsi f ialah hasil tambah n fungsi f 1, f 2, …, f n, iaitu fungsi f diberikan oleh formula y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), maka domain takrifan fungsi f ialah persilangan domain takrifan fungsi f 1, f 2, ..., f n. Mari kita tulis ini sebagai .
Mari kita bersetuju untuk terus menggunakan entri yang serupa dengan yang terakhir, yang kami maksudkan ditulis di dalam pendakap kerinting, atau pemenuhan serentak sebarang syarat. Ini mudah dan secara semula jadi bergema dengan maksud sistem.
Contoh.
Fungsi y=x 7 +x+5+tgx diberikan, dan kita perlu mencari domain definisinya.
Penyelesaian.
Fungsi f diwakili oleh jumlah empat fungsi: f 1 - fungsi kuasa dengan eksponen 7, f 2 - fungsi kuasa dengan eksponen 1, f 3 - fungsi malar dan f 4 - fungsi tangen.
Melihat jadual kawasan untuk menentukan utama fungsi asas, kita dapati bahawa D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , dan domain bagi takrif tangen ialah set semua nombor nyata kecuali nombor 
.
Domain takrifan fungsi f ialah persilangan domain takrifan fungsi f 1, f 2, f 3 dan f 4. Agak jelas bahawa ini adalah set semua nombor nyata, kecuali nombor .
Jawapan:
set semua nombor nyata kecuali .
Mari kita teruskan untuk mencari domain takrifan hasil darab fungsi. Untuk kes ini, peraturan serupa digunakan:
Jika fungsi f ialah hasil darab n fungsi f 1, f 2, ..., f n, iaitu fungsi f diberikan oleh formula y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), maka domain takrifan fungsi f ialah persilangan domain takrifan fungsi f 1, f 2, ..., f n. Jadi, .
Ini boleh difahami, dalam kawasan yang dinyatakan semua fungsi produk ditakrifkan, dan oleh itu fungsi f itu sendiri.
Contoh.
Y=3·arctgx·lnx .
Penyelesaian.
Struktur sebelah kanan formula yang mentakrifkan fungsi boleh dianggap sebagai f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), di mana f 1 ialah fungsi malar, f 2 ialah fungsi arctangent, dan f 3 ialah fungsi logaritma dengan asas e.
Kita tahu bahawa D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) dan D(f 3)=(0, +∞) . Kemudian 
.
Jawapan:
Domain takrifan fungsi y=3·arctgx·lnx ialah set semua nombor positif nyata.
Marilah kita fokus secara berasingan pada mencari domain takrifan fungsi yang diberikan oleh formula y=C·f(x), dengan C ialah beberapa nombor nyata. Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa domain takrifan fungsi ini dan domain takrifan fungsi f bertepatan. Sesungguhnya, fungsi y=C·f(x) ialah hasil darab fungsi malar dan fungsi f. Domain bagi fungsi malar ialah set semua nombor nyata, dan domain bagi fungsi f ialah D(f) . Maka domain takrifan bagi fungsi y=C f(x) ialah 
, itulah yang perlu ditunjukkan.
Jadi, domain takrifan fungsi y=f(x) dan y=C·f(x), dengan C ialah beberapa nombor nyata, bertepatan. Sebagai contoh, domain punca ialah , menjadi jelas bahawa D(f) ialah set semua x daripada domain fungsi f 2 yang mana f 2 (x) termasuk dalam domain fungsi f 1 .
Oleh itu, domain definisi fungsi kompleks y=f 1 (f 2 (x)) ialah persilangan dua set: set semua x yang x∈D(f 2) dan set semua x sedemikian yang f 2 (x)∈D(f 1) . Iaitu, dalam notasi yang telah kami pakai 
(ini pada asasnya adalah sistem ketidaksamaan).
Mari lihat beberapa contoh penyelesaian. Kami tidak akan menerangkan proses secara terperinci, kerana ini di luar skop artikel ini.
Contoh.
Cari domain takrifan bagi fungsi y=lnx 2 .
Penyelesaian.
Fungsi asal boleh diwakili sebagai y=f 1 (f 2 (x)), di mana f 1 ialah logaritma dengan asas e, dan f 2 ialah fungsi kuasa dengan eksponen 2.
Beralih kepada domain takrifan fungsi asas utama yang diketahui, kita mempunyai D(f 1)=(0, +∞) dan D(f 2)=(−∞, +∞) .
Kemudian 
Jadi kami mendapati domain takrifan fungsi yang kami perlukan, ia adalah set semua nombor nyata kecuali sifar.
Jawapan:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Contoh.
Apakah domain bagi sesuatu fungsi 
?
Penyelesaian.
Fungsi ini adalah kompleks, ia boleh dianggap sebagai y=f 1 (f 2 (x)), di mana f 1 ialah fungsi kuasa dengan eksponen, dan f 2 ialah fungsi arcsine, dan kita perlu mencari domain definisinya.
Mari lihat apa yang kita tahu: D(f 1)=(0, +∞) dan D(f 2)=[−1, 1] . Ia kekal untuk mencari persilangan set nilai x supaya x∈D(f 2) dan f 2 (x)∈D(f 1) : 
Untuk arcsinx>0, ingat sifat-sifat fungsi arcsine. Lengkok meningkat di seluruh domain definisi [−1, 1] dan pergi ke sifar pada x=0, oleh itu, arcsinx>0 untuk sebarang x dari selang (0, 1] .
Mari kembali ke sistem: 
Oleh itu, domain takrifan fungsi yang diperlukan ialah separuh selang (0, 1).
Jawapan:
(0, 1] .
Sekarang mari kita beralih kepada fungsi yang kompleks Pandangan umum y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Domain takrifan fungsi f dalam kes ini didapati sebagai 
.
Contoh.
Cari domain bagi suatu fungsi 
.
Penyelesaian.
Fungsi kompleks yang diberikan boleh ditulis sebagai y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), dengan f 1 – sin, f 2 – fungsi punca darjah empat, f 3 – log.
Kita tahu bahawa D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=- ∞; + ∞[ .
Contoh 1. Cari domain fungsi y = 2 .
Penyelesaian. Domain takrifan fungsi tidak ditunjukkan, yang bermaksud bahawa berdasarkan takrifan di atas, domain semula jadi takrifan dimaksudkan. Ungkapan f(x) = 2 ditakrifkan untuk sebarang nilai sebenar x, oleh itu, fungsi ini ditakrifkan pada keseluruhan set R nombor nyata.
Oleh itu, dalam lukisan di atas, garis nombor dilorekkan sepanjang jalan dari tolak infiniti kepada tambah infiniti.
Kawasan definisi akar n ijazah ke
Dalam kes apabila fungsi diberikan oleh formula dan n- nombor asli:
Contoh 2. Cari domain bagi suatu fungsi .
Penyelesaian. Seperti berikut daripada takrifan, punca darjah genap masuk akal jika ungkapan radikal bukan negatif, iaitu jika - 1 ≤ x≤ 1. Oleh itu, domain takrifan fungsi ini ialah [- 1; 1] .
Kawasan berlorek garis nombor dalam lukisan di atas ialah domain takrifan fungsi ini.
Domain fungsi kuasa
Domain fungsi kuasa dengan eksponen integer
Jika a- positif, maka domain takrifan fungsi ialah set semua nombor nyata, iaitu ]- ∞; + ∞[ ;
Jika a- negatif, maka domain takrifan fungsi ialah set ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , iaitu keseluruhan garis nombor kecuali sifar.
Dalam lukisan yang sepadan di atas, keseluruhan garis nombor dilorekkan, dan titik yang sepadan dengan sifar ditebuk keluar (ia tidak termasuk dalam domain definisi fungsi).
Contoh 3. Cari domain bagi suatu fungsi .
Penyelesaian. Sebutan pertama ialah kuasa integer x sama dengan 3, dan kuasa x dalam sebutan kedua boleh diwakili sebagai satu - juga integer. Akibatnya, domain takrifan fungsi ini ialah keseluruhan garis nombor, iaitu ]- ∞; + ∞[ .
Domain fungsi kuasa dengan eksponen pecahan
Dalam kes apabila fungsi diberikan oleh formula:
jika positif, maka domain takrifan fungsi ialah set 0; + ∞[ .
Contoh 4. Cari domain bagi suatu fungsi .
Penyelesaian. Kedua-dua istilah dalam ungkapan fungsi ialah fungsi kuasa dengan eksponen pecahan positif. Akibatnya, domain takrifan fungsi ini ialah set - ∞; + ∞[ .
Domain fungsi eksponen dan logaritma
Domain fungsi eksponen
Dalam kes apabila fungsi diberikan oleh formula, domain takrifan fungsi ialah keseluruhan garis nombor, iaitu ] - ∞; + ∞[ .
Domain fungsi logaritma
Fungsi logaritma ditakrifkan dengan syarat hujahnya adalah positif, iaitu domain takrifannya ialah set ]0; + ∞[ .
Cari domain fungsi itu sendiri dan kemudian lihat penyelesaiannya
Domain fungsi trigonometri
Domain Fungsi y= cos( x) - juga banyak R nombor nyata.
Domain Fungsi y= tg( x) - sekumpulan R
nombor nyata selain daripada nombor 
.
Domain Fungsi y= ctg( x) - sekumpulan R nombor nyata, kecuali nombor.
Contoh 8. Cari domain bagi suatu fungsi .
Penyelesaian. Fungsi luaran - logaritma perpuluhan dan domain takrifannya tertakluk kepada syarat domain takrifan fungsi logaritma secara umum. Maksudnya, hujahnya mesti positif. Hujah di sini ialah sinus "x". Memusingkan kompas khayalan di sekeliling bulatan, kita melihat bahawa keadaan itu berdosa x> 0 dilanggar apabila “x” bersamaan dengan sifar, “pi”, dua, didarab dengan “pi” dan secara amnya sama dengan hasil darab “pi” dan sebarang integer genap atau ganjil.
Oleh itu, domain takrifan fungsi ini diberikan oleh ungkapan
,
di mana k- integer.
Domain takrifan fungsi trigonometri songsang
Domain Fungsi y= arcsin( x) - set [-1; 1] .
Domain Fungsi y= arccos( x) - juga set [-1; 1] .
Domain Fungsi y= arctan( x) - sekumpulan R nombor nyata.
Domain Fungsi y= arcctg( x) - juga banyak R nombor nyata.
Contoh 9. Cari domain bagi suatu fungsi .
Penyelesaian. Mari kita selesaikan ketidaksamaan:
Oleh itu, kami memperoleh domain takrifan fungsi ini - segmen [- 4; 4] .
Contoh 10. Cari domain bagi suatu fungsi
.
Penyelesaian. Mari kita selesaikan dua ketaksamaan:
Penyelesaian kepada ketidaksamaan pertama:
Penyelesaian kepada ketidaksamaan kedua:
Oleh itu, kami memperoleh domain takrifan fungsi ini - segmen.
Skop pecahan
Jika fungsi diberikan oleh ungkapan pecahan di mana pembolehubah berada dalam penyebut pecahan, maka domain takrifan fungsi ialah set R nombor nyata, kecuali ini x, di mana penyebut pecahan menjadi sifar.
Contoh 11. Cari domain bagi suatu fungsi .
Penyelesaian. Dengan menyelesaikan kesamaan penyebut pecahan kepada sifar, kita dapati domain takrifan fungsi ini - set ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .
