Pergerakan putaran. Pecutan sentripetal - terbitan formula dan aplikasi praktikal

Objek yang bergerak dalam orbit bulat jejari r dengan kelajuan tangen seragam u ialah vektor halaju v, yang magnitudnya tetap, tetapi arahnya sentiasa berubah. Ia berikutan bahawa objek mesti mempunyai pecutan, kerana (vektor) ialah kadar perubahan kelajuan (vektor), dan kelajuan (vektor) sememangnya berbeza dalam masa.

Katakan objek sedang bergerak dari satu titik P to the point Q antara masa t Dan, t + δ t seperti yang ditunjukkan dalam gambar di atas. Mari kita anggap lagi bahawa objek diputar oleh δθ radian dalam tempoh masa ini. Vektor, seperti yang ditunjukkan dalam rajah, adalah sama dengan vektor. Di samping itu, sudut antara vektor dan ini δθ . Vektor mewakili perubahan dalam vektor halaju, δ v, antara masa t Dan t + δ t. Daripada ini jelas bahawa vektor ini diarahkan ke arah pusat bulatan. Daripada trigonometri piawai, panjang vektor ialah:

Walau bagaimanapun, pada sudut yang kecil dosa θ ≃ θ , dengan syarat θ diukur dalam radian. Oleh itu,

δv ≃ v δθ.

di mana ialah halaju sudut objek dalam radian sesaat. Oleh itu, objek bergerak dalam orbit bulat dengan jejari r, pada kelajuan tangen seragam v, dan halaju sudut seragam, mempunyai pecutan yang diarahkan ke arah pusat bulatan - iaitu, pecutan sentripetal- saiz:

Mari kita anggap bahawa badan dengan jisim m, dilekatkan pada hujung kabel, panjang r, dan berputar dalam cara yang badan menggambarkan bulatan mendatar jejari r, dengan kelajuan tangen seragam v. Seperti yang baru kita pelajari, jasad mempunyai pecutan sentripetal magnitud . Oleh itu, badan mengalami daya sentripetal

Apa yang memberi kuasa ini? Okay, dalam contoh ini, daya disediakan oleh ketegangan pada kabel. Oleh itu, .

Mari kita anggap bahawa kabel adalah sedemikian rupa sehingga ia pecah apabila voltan di dalamnya melebihi nilai kritikal tertentu. Ia berikutan bahawa ada kelajuan maksimum, yang mana badan boleh bergerak, iaitu:

Jika v melebihi vmax, kabel akan putus. Sebaik sahaja kabel putus, badan tidak lagi mengalami daya sentripetal, jadi ia akan bergerak dengan laju vmax sepanjang garis lurus yang bertangen dengan orbit bulat yang sedia ada.

Membolehkan kita wujud di planet ini. Bagaimanakah kita boleh memahami apa itu pecutan sentripetal? Definisi ini kuantiti fizikal dibentangkan di bawah.

Pemerhatian

Contoh paling mudah bagi pecutan jasad yang bergerak dalam bulatan boleh diperhatikan dengan memutarkan batu pada tali. Anda menarik tali, dan tali menarik batu ke arah tengah. Pada setiap saat, tali memberikan sejumlah pergerakan ke batu, dan setiap kali ke arah yang baru. Anda boleh bayangkan pergerakan tali itu sebagai satu siri tersentak yang lemah. Jerk - dan tali berubah arah, jerk lain - perubahan lain, dan seterusnya dalam bulatan. Jika anda tiba-tiba melepaskan tali, jerking akan berhenti, dan dengan itu perubahan arah kelajuan akan berhenti. Batu akan bergerak mengikut arah tangen kepada bulatan. Persoalannya timbul: "Dengan pecutan apakah badan akan bergerak pada masa ini?"

Formula untuk pecutan sentripetal

Pertama sekali, perlu diperhatikan bahawa pergerakan badan dalam bulatan adalah kompleks. Batu mengambil bahagian dalam dua jenis gerakan secara serentak: di bawah pengaruh daya ia bergerak ke arah pusat putaran, dan pada masa yang sama sepanjang tangen ke bulatan, bergerak dari pusat ini. Menurut Hukum Kedua Newton, daya yang menahan batu pada tali diarahkan ke arah pusat putaran sepanjang tali. Vektor pecutan juga akan diarahkan ke sana.

Mari kita andaikan bahawa selepas beberapa ketika batu kita, bergerak secara seragam dengan kelajuan V, sampai dari titik A ke titik B. Mari kita andaikan bahawa pada masa apabila jasad itu melintasi titik B, daya sentripetal berhenti bertindak ke atasnya. Kemudian, dalam satu tempoh masa, ia akan sampai ke titik K. Ia terletak pada tangen. Jika pada masa yang sama hanya daya sentripetal yang bertindak ke atas jasad, maka semasa masa t, bergerak dengan pecutan yang sama, ia akan berakhir di titik O, yang terletak pada garis lurus yang mewakili diameter bulatan. Kedua-dua segmen adalah vektor dan mematuhi peraturan penambahan vektor. Hasil daripada menjumlahkan kedua-dua pergerakan ini dalam tempoh masa t, kita memperoleh pergerakan yang terhasil sepanjang lengkok AB.

Jika selang masa t diambil untuk diabaikan kecil, maka lengkok AB akan berbeza sedikit daripada kord AB. Oleh itu, adalah mungkin untuk menggantikan pergerakan sepanjang arka dengan pergerakan sepanjang kord. Dalam kes ini, pergerakan batu sepanjang kord akan mematuhi undang-undang pergerakan rectilinear, iaitu jarak AB yang dilalui akan sama dengan hasil darab kelajuan batu dan masa pergerakannya. AB = V x t.

Mari kita nyatakan pecutan sentripetal yang dikehendaki oleh huruf a. Kemudian laluan yang dilalui hanya di bawah pengaruh pecutan sentripetal boleh dikira menggunakan formula gerakan dipercepatkan secara seragam:

Jarak AB adalah sama dengan hasil darab kelajuan dan masa, iaitu AB = V x t,

AO - dikira lebih awal menggunakan formula gerakan dipercepat secara seragam untuk bergerak dalam garis lurus: AO = pada 2 / 2.

Menggantikan data ini ke dalam formula dan mengubahnya, kami mendapat formula yang ringkas dan elegan untuk pecutan sentripetal:

Dalam perkataan, ini boleh dinyatakan seperti berikut: pecutan sentripetal jasad yang bergerak dalam bulatan adalah sama dengan hasil bagi halaju linear kuasa dua dengan jejari bulatan sepanjang badan berputar. Daya sentripetal dalam kes ini akan kelihatan seperti gambar di bawah.

Halaju sudut

Halaju sudut adalah sama dengan halaju linear dibahagikan dengan jejari bulatan. Pernyataan sebaliknya juga benar: V = ωR, dengan ω ialah halaju sudut

Jika kita menggantikan nilai ini ke dalam formula, kita boleh mendapatkan ungkapan untuk pecutan emparan untuk halaju sudut. Ia akan kelihatan seperti ini:

Pecutan tanpa mengubah kelajuan

Namun, mengapakah jasad dengan pecutan yang diarahkan ke pusat tidak bergerak lebih laju dan bergerak lebih dekat ke pusat putaran? Jawapannya terletak pada rumusan pecutan. Fakta menunjukkan bahawa gerakan bulat adalah nyata, tetapi untuk mengekalkannya memerlukan pecutan yang diarahkan ke pusat. Di bawah pengaruh daya yang disebabkan oleh pecutan ini, perubahan dalam jumlah gerakan berlaku, akibatnya trajektori gerakan sentiasa melengkung, sepanjang masa mengubah arah vektor halaju, tetapi tanpa mengubah nilai mutlaknya. . Bergerak dalam bulatan, batu kita yang telah lama menderita meluru masuk, jika tidak, ia akan terus bergerak secara tangen. Setiap saat, berjalan secara tangen, batu itu tertarik ke tengah, tetapi tidak jatuh ke dalamnya. Satu lagi contoh pecutan sentripetal ialah pemain ski air yang membuat bulatan kecil di atas air. Sosok atlet itu condong; dia kelihatan jatuh, terus bergerak dan condong ke hadapan.

Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa pecutan tidak meningkatkan kelajuan badan, kerana halaju dan vektor pecutan adalah berserenjang antara satu sama lain. Ditambah pada vektor halaju, pecutan hanya mengubah arah pergerakan dan mengekalkan badan dalam orbit.

Melebihi faktor keselamatan

Dalam eksperimen sebelum ini kami berhadapan dengan tali yang sempurna yang tidak putus. Tetapi katakan tali kami adalah yang paling biasa, dan anda juga boleh mengira daya selepas itu ia hanya akan putus. Untuk mengira daya ini, cukup untuk membandingkan kekuatan tali dengan beban yang dialaminya semasa putaran batu. Dengan memutarkan batu pada kelajuan yang lebih tinggi, anda memberikan kepadanya jumlah gerakan yang lebih besar, dan oleh itu pecutan yang lebih besar.

Dengan diameter tali jut kira-kira 20 mm, kekuatan tegangannya adalah kira-kira 26 kN. Perlu diperhatikan bahawa panjang tali tidak muncul di mana-mana. Dengan memutarkan beban 1 kg pada tali dengan jejari 1 m, kita boleh mengira bahawa kelajuan linear yang diperlukan untuk memecahkannya ialah 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Oleh itu, kelajuan yang berbahaya kepada melebihi akan sama dengan √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

Graviti

Apabila mempertimbangkan eksperimen, kami mengabaikan kesan graviti, kerana pada kelajuan tinggi itu pengaruhnya boleh diabaikan. Tetapi anda boleh perhatikan bahawa apabila melepaskan tali panjang, badan menggambarkan trajektori yang lebih kompleks dan secara beransur-ansur menghampiri tanah.

Badan angkasa

Jika kita memindahkan undang-undang gerakan bulat ke angkasa lepas dan menerapkannya pada pergerakan benda angkasa, kita boleh menemui semula beberapa formula yang sudah lama dikenali. Sebagai contoh, daya tarikan jasad ke Bumi diketahui dengan formula:

Dalam kes kami, faktor g ialah pecutan sentripetal yang sama yang diperoleh daripada formula sebelumnya. Hanya dalam kes ini, peranan batu akan dimainkan oleh badan angkasa yang tertarik ke Bumi, dan peranan tali akan dimainkan oleh daya graviti. Faktor g akan dinyatakan dalam sebutan jejari planet kita dan kelajuan putarannya.

Keputusan

Intipati pecutan sentripetal adalah kerja keras dan tidak berterima kasih untuk mengekalkan jasad yang bergerak di orbit. Terdapat kes paradoks apabila pecutan berterusan badan tidak mengubah kelajuannya. Bagi minda yang tidak terlatih, kenyataan seperti itu agak paradoks. Namun begitu, kedua-duanya apabila mengira gerakan elektron di sekeliling nukleus, dan apabila mengira kelajuan putaran bintang di sekeliling lubang hitam, pecutan sentripetal memainkan peranan penting.

Membolehkan kita wujud di planet ini. Bagaimanakah kita boleh memahami apa itu pecutan sentripetal? Takrifan kuantiti fizik ini dibentangkan di bawah.

Pemerhatian

Contoh paling mudah bagi pecutan jasad yang bergerak dalam bulatan boleh diperhatikan dengan memutarkan batu pada tali. Anda menarik tali, dan tali menarik batu ke arah tengah. Pada setiap saat, tali memberikan sejumlah pergerakan ke batu, dan setiap kali ke arah yang baru. Anda boleh bayangkan pergerakan tali itu sebagai satu siri tersentak yang lemah. Jerk - dan tali berubah arah, jerk lain - perubahan lain, dan seterusnya dalam bulatan. Jika anda tiba-tiba melepaskan tali, jerking akan berhenti, dan dengan itu perubahan arah kelajuan akan berhenti. Batu akan bergerak mengikut arah tangen kepada bulatan. Persoalannya timbul: "Dengan pecutan apakah badan akan bergerak pada masa ini?"

Formula untuk pecutan sentripetal

Pertama sekali, perlu diperhatikan bahawa pergerakan badan dalam bulatan adalah kompleks. Batu mengambil bahagian dalam dua jenis gerakan secara serentak: di bawah pengaruh daya ia bergerak ke arah pusat putaran, dan pada masa yang sama sepanjang tangen ke bulatan, bergerak dari pusat ini. Menurut Hukum Kedua Newton, daya yang menahan batu pada tali diarahkan ke arah pusat putaran sepanjang tali. Vektor pecutan juga akan diarahkan ke sana.

Mari kita andaikan bahawa selepas beberapa ketika batu kita, bergerak secara seragam dengan kelajuan V, sampai dari titik A ke titik B. Mari kita andaikan bahawa pada masa apabila jasad itu melintasi titik B, daya sentripetal berhenti bertindak ke atasnya. Kemudian, dalam satu tempoh masa, ia akan sampai ke titik K. Ia terletak pada tangen. Jika pada masa yang sama hanya daya sentripetal yang bertindak ke atas jasad, maka semasa masa t, bergerak dengan pecutan yang sama, ia akan berakhir di titik O, yang terletak pada garis lurus yang mewakili diameter bulatan. Kedua-dua segmen adalah vektor dan mematuhi peraturan penambahan vektor. Hasil daripada menjumlahkan kedua-dua pergerakan ini dalam tempoh masa t, kita memperoleh pergerakan yang terhasil sepanjang lengkok AB.

Jika selang masa t diambil untuk diabaikan kecil, maka lengkok AB akan berbeza sedikit daripada kord AB. Oleh itu, adalah mungkin untuk menggantikan pergerakan sepanjang arka dengan pergerakan sepanjang kord. Dalam kes ini, pergerakan batu di sepanjang kord akan mematuhi undang-undang gerakan rectilinear, iaitu, jarak AB yang dilalui akan sama dengan hasil darab kelajuan batu dan masa pergerakannya. AB = V x t.

Mari kita nyatakan pecutan sentripetal yang dikehendaki oleh huruf a. Kemudian laluan yang dilalui hanya di bawah pengaruh pecutan sentripetal boleh dikira menggunakan formula untuk gerakan dipercepatkan secara seragam:

Jarak AB adalah sama dengan hasil darab kelajuan dan masa, iaitu AB = V x t,

AO - dikira lebih awal menggunakan formula gerakan dipercepat secara seragam untuk bergerak dalam garis lurus: AO = pada 2 / 2.

Menggantikan data ini ke dalam formula dan mengubahnya, kami mendapat formula yang ringkas dan elegan untuk pecutan sentripetal:

Dalam perkataan, ini boleh dinyatakan seperti berikut: pecutan sentripetal jasad yang bergerak dalam bulatan adalah sama dengan hasil bagi halaju linear kuasa dua dengan jejari bulatan sepanjang badan berputar. Daya sentripetal dalam kes ini akan kelihatan seperti gambar di bawah.

Halaju sudut

Halaju sudut adalah sama dengan halaju linear dibahagikan dengan jejari bulatan. Pernyataan sebaliknya juga benar: V = ωR, dengan ω ialah halaju sudut

Jika kita menggantikan nilai ini ke dalam formula, kita boleh mendapatkan ungkapan untuk pecutan emparan untuk halaju sudut. Ia akan kelihatan seperti ini:

Pecutan tanpa mengubah kelajuan

Namun, mengapakah jasad dengan pecutan yang diarahkan ke pusat tidak bergerak lebih laju dan bergerak lebih dekat ke pusat putaran? Jawapannya terletak pada rumusan pecutan. Fakta menunjukkan bahawa gerakan bulat adalah nyata, tetapi untuk mengekalkannya memerlukan pecutan yang diarahkan ke pusat. Di bawah pengaruh daya yang disebabkan oleh pecutan ini, perubahan dalam jumlah gerakan berlaku, akibatnya trajektori gerakan sentiasa melengkung, sepanjang masa mengubah arah vektor halaju, tetapi tanpa mengubah nilai mutlaknya. . Bergerak dalam bulatan, batu kita yang telah lama menderita meluru masuk, jika tidak, ia akan terus bergerak secara tangen. Setiap saat, berjalan secara tangen, batu itu tertarik ke tengah, tetapi tidak jatuh ke dalamnya. Satu lagi contoh pecutan sentripetal ialah pemain ski air yang membuat bulatan kecil di atas air. Sosok atlet itu condong; dia kelihatan jatuh, terus bergerak dan condong ke hadapan.

Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa pecutan tidak meningkatkan kelajuan badan, kerana halaju dan vektor pecutan adalah berserenjang antara satu sama lain. Ditambah pada vektor halaju, pecutan hanya mengubah arah pergerakan dan mengekalkan badan dalam orbit.

Melebihi faktor keselamatan

Dalam eksperimen sebelum ini kami berhadapan dengan tali yang sempurna yang tidak putus. Tetapi katakan tali kami adalah yang paling biasa, dan anda juga boleh mengira daya selepas itu ia hanya akan putus. Untuk mengira daya ini, cukup untuk membandingkan kekuatan tali dengan beban yang dialaminya semasa putaran batu. Dengan memutarkan batu pada kelajuan yang lebih tinggi, anda memberikan kepadanya jumlah gerakan yang lebih besar, dan oleh itu pecutan yang lebih besar.

Dengan diameter tali jut kira-kira 20 mm, kekuatan tegangannya adalah kira-kira 26 kN. Perlu diperhatikan bahawa panjang tali tidak muncul di mana-mana. Dengan memutarkan beban 1 kg pada tali dengan jejari 1 m, kita boleh mengira bahawa kelajuan linear yang diperlukan untuk memecahkannya ialah 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Oleh itu, kelajuan yang berbahaya kepada melebihi akan sama dengan √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

Graviti

Apabila mempertimbangkan eksperimen, kami mengabaikan kesan graviti, kerana pada kelajuan tinggi itu pengaruhnya boleh diabaikan. Tetapi anda boleh perhatikan bahawa apabila melepaskan tali panjang, badan menggambarkan trajektori yang lebih kompleks dan secara beransur-ansur menghampiri tanah.

Badan angkasa

Jika kita memindahkan undang-undang gerakan bulat ke angkasa lepas dan menerapkannya pada pergerakan benda angkasa, kita boleh menemui semula beberapa formula yang sudah lama dikenali. Sebagai contoh, daya tarikan jasad ke Bumi diketahui dengan formula:

Dalam kes kami, faktor g ialah pecutan sentripetal yang sama yang diperoleh daripada formula sebelumnya. Hanya dalam kes ini, peranan batu akan dimainkan oleh badan angkasa yang tertarik ke Bumi, dan peranan tali akan dimainkan oleh daya graviti. Faktor g akan dinyatakan dalam sebutan jejari planet kita dan kelajuan putarannya.

Keputusan

Intipati pecutan sentripetal adalah kerja keras dan tidak berterima kasih untuk mengekalkan jasad yang bergerak di orbit. Kes paradoks diperhatikan apabila, dengan pecutan berterusan, jasad tidak mengubah nilai kelajuannya. Bagi minda yang tidak terlatih, kenyataan seperti itu agak paradoks. Namun begitu, kedua-duanya apabila mengira gerakan elektron di sekeliling nukleus, dan apabila mengira kelajuan putaran bintang di sekeliling lubang hitam, pecutan sentripetal memainkan peranan penting.

Apabila bergerak dalam bulatan dengan kelajuan linear malar υ, jasad mempunyai pecutan sentripetal yang berterusan menghala ke pusat bulatan.

a c = υ 2 /R, (18)

di mana R ialah jejari bulatan itu.

Terbitan formula untuk pecutan sentripetal

A-priory.

Rajah 6 Terbitan formula untuk pecutan sentripetal

Dalam rajah, segi tiga yang dibentuk oleh vektor sesaran dan halaju adalah serupa. Mempertimbangkan itu == R dan == υ, daripada persamaan segi tiga kita dapati:

(20)

(21)

Mari letakkan asal koordinat di tengah bulatan dan pilih satah di mana bulatan itu terletak sebagai satah (x, y). Kedudukan titik pada bulatan pada bila-bila masa secara unik ditentukan oleh sudut kutub φ, diukur dalam radian (rad), dan

x = R cos(φ + φ 0), y = R sin(φ + φ 0), (22)

di mana φ 0 menentukan fasa awal (kedudukan awal titik pada bulatan pada masa sifar).

Dalam kes putaran seragam, sudut φ, diukur dalam radian, meningkat secara linear dengan masa:

φ = ωt, (23)

di mana ω dipanggil kekerapan kitaran (bulatan). Dimensi kekerapan kitaran: [ω] = c –1 = Hz.

Kekerapan kitaran adalah sama dengan jumlah sudut putaran (diukur dalam rad) per unit masa, jadi ia juga dipanggil halaju sudut.

Kebergantungan koordinat titik pada bulatan pada masa dalam kes putaran seragam dengan frekuensi tertentu boleh ditulis sebagai:

x= R cos(ωt + φ 0), (24)

y = R sin(ωt + φ 0).

Masa yang diperlukan untuk menyelesaikan satu revolusi dipanggil tempoh T.

Kekerapan ν = 1/T. (25)

Dimensi kekerapan: [ν] = s –1 = Hz.

Hubungan antara kekerapan kitaran dan tempoh dan kekerapan: 2π = ωT, dari mana

ω = 2π/T = 2πν. (26)

Hubungan antara kelajuan linear dan kelajuan sudut didapati daripada kesamaan:

2πR = υT, dari mana

υ = 2πR/T = ωR. (27)

Ungkapan untuk pecutan sentripetal boleh ditulis cara yang berbeza, menggunakan sambungan antara kelajuan, kekerapan dan tempoh:

a q = υ 2 /R = ω 2 R = 4π 2 ν 2 R = 4π 2 R/T 2 . (28)

4.6 Hubungan antara gerakan translasi dan putaran

Ciri kinematik asas gerakan dalam garis lurus dengan pecutan malar: sesaran s, kelajuan υ dan pecutan a. Ciri-ciri sepadan apabila bergerak dalam bulatan jejari R: anjakan sudut φ, halaju sudut ω dan pecutan sudut ε (sekiranya badan berputar pada kelajuan berubah-ubah).

Daripada pertimbangan geometri, hubungan berikut antara ciri-ciri ini timbul:

anjakan s → anjakan sudut φ = s/R;

kelajuan υ → kelajuan sudut ω = υ /R;

pecutan a→ pecutan sudut ε = a/R.

Semua formula untuk kinematik gerakan dipercepatkan secara seragam dalam garis lurus boleh ditukar menjadi formula untuk kinematik putaran dalam bulatan jika penggantian yang ditunjukkan dibuat. Sebagai contoh:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + a t → ω = ω 0 + ε t. (29a)

Hubungan antara halaju linear dan sudut sesuatu titik apabila berputar dalam bulatan boleh ditulis dalam bentuk vektor. Sesungguhnya, biarkan bulatan dengan pusatnya pada asalan terletak dalam satah (x, y). Pada bila-bila masa vektor dilukis dari asal ke titik pada bulatan di mana jasad terletak berserenjang dengan vektor halaju jasad , diarahkan tangen ke bulatan pada titik ini. Mari kita tentukan vektor , yang sama dalam nilai mutlak dengan halaju sudut ω dan diarahkan sepanjang paksi putaran dalam arah yang ditentukan oleh peraturan skru kanan: jika anda skru skru supaya arah putarannya bertepatan dengan arah putaran daripada titik sepanjang bulatan, maka arah pergerakan skru menunjukkan arah vektor . Kemudian sambungan antara tiga vektor yang saling berserenjang ,Dan boleh ditulis menggunakan hasil darab silang vektor.