Büyük kesirler nasıl azaltılır? Cebirsel kesirlerin azaltılması: kurallar, örnekler

27.09.2019

Bir kesirin nasıl azaltılacağını bilmeden ve bu tür örnekleri çözme konusunda istikrarlı bir beceriye sahip olmadan, okulda cebir çalışmak çok zordur. Ne kadar ileri giderseniz, kesirleri azaltma konusundaki temel bilginize o kadar müdahale eder. yeni bilgi. Önce kuvvetler ortaya çıkar, sonra faktörler ortaya çıkar ve bunlar daha sonra polinom haline gelir.

Burada kafanızın karışmasını nasıl önleyebilirsiniz? Önceki konulardaki becerileri iyice pekiştirin ve yıldan yıla daha karmaşık hale gelen bir kesirin nasıl azaltılacağına ilişkin bilgiye yavaş yavaş hazırlanın.

Temel bilgi

Onlar olmadan hiçbir seviyedeki görevlerle baş edemezsiniz. Anlamak için ikisini anlamalısınız basit anlar. Birincisi: yalnızca faktörleri azaltabilirsiniz. Bu nüansın, pay veya paydada polinomlar göründüğünde çok önemli olduğu ortaya çıkar. O zaman çarpanın nerede olduğunu ve toplamanın nerede olduğunu açıkça ayırt etmeniz gerekir.

İkinci nokta, herhangi bir sayının faktörler biçiminde temsil edilebileceğini söylüyor. Üstelik azaltmanın sonucu, payı ve paydası artık azaltılamayan bir kesirdir.

Ortak kesirleri azaltma kuralları

Öncelikle payın paydaya bölünüp bölünemediğini veya tam tersini kontrol etmelisiniz. O zaman azaltılması gereken tam da bu sayıdır. Bu en basit seçenektir.

İkincisi ise analiz dış görünüş sayılar. Her ikisi de bir veya daha fazla sıfırla bitiyorsa 10, 100 veya bin kısaltılabilir. Burada sayıların çift olup olmadığını görebilirsiniz. Cevabınız evet ise, güvenli bir şekilde ikiye bölebilirsiniz.

Bir kesri azaltmanın üçüncü kuralı pay ve paydayı asal çarpanlara ayırmaktır. Şu anda sayıların bölünebilirlik işaretleri hakkındaki tüm bilginizi aktif olarak kullanmanız gerekiyor. Bu ayrıştırma sonrasında geriye tekrar edenlerin tümünü bulup çarpmak ve elde edilen sayıyla azaltmak kalıyor.

Bir kesirde cebirsel bir ifade varsa ne olur?

İlk zorlukların ortaya çıktığı yer burasıdır. Çünkü faktörlerle aynı olabilecek terimlerin ortaya çıktığı yer burasıdır. Bunları gerçekten azaltmak istiyorum ama yapamıyorum. Cebirsel bir kesri indirgemeden önce, çarpanları olacak şekilde dönüştürülmesi gerekir.

Bunu yapmak için birkaç adımı uygulamanız gerekecektir. Bunların hepsini gözden geçirmeniz gerekebilir, ya da belki ilki size uygun bir seçenek sunacaktır.

Pay ve paydanın veya bunlardaki herhangi bir ifadenin işarete göre farklı olup olmadığını kontrol edin. Bu durumda, eksi bir tanesini parantezlerin dışına çıkarmanız yeterlidir. Bu azaltılabilecek eşit faktörler üretir.

Ortak faktörü polinomdan parantezlerin dışına çıkarmanın mümkün olup olmadığına bakın. Belki bu, kısaltılabilen bir parantezle sonuçlanacak veya tek terimli bir sayı kaldırılacaktır.

Daha sonra onlara ortak bir faktör eklemek için tek terimlileri gruplandırmaya çalışın. Bundan sonra azaltılabilecek faktörlerin ortaya çıkabileceği veya yine ortak unsurların basamaklanmasının tekrarlanabileceği ortaya çıkabilir.

Kısaltılmış çarpma formüllerini yazılı olarak değerlendirmeye çalışın. Onların yardımıyla polinomları kolayca faktörlere dönüştürebilirsiniz.

Üssü olan kesirlerle işlem sırası

Bir kesrin kuvvetlerle nasıl azaltılacağı sorusunu kolayca anlamak için, onlarla ilgili temel işlemleri tam olarak hatırlamanız gerekir. Bunlardan ilki güçlerin çarpımı ile ilgilidir. Bu durumda bazlar aynı ise göstergelerin eklenmesi gerekir.

İkincisi bölünmedir. Yine aynı nedenlere sahip olanlar için göstergelerin çıkarılması gerekecektir. Üstelik temettüdeki sayıdan çıkarmanız gerekir, tersi değil.

Üçüncüsü ise üstelleştirmedir. Bu durumda göstergeler çoğalır.

Başarılı bir azaltma aynı zamanda güçleri eşit tabanlara indirme yeteneğini de gerektirecektir. Yani dördün ikinin karesi olduğunu görmek. Veya 27 - üçün küpü. Çünkü 9'un karesi ve 3'ün küpünü küçültmek zordur. Ancak ilk ifadeyi (3 2) 2 olarak dönüştürürsek indirgeme başarılı olacaktır.

Bölüm ve kesrin payı ve paydası ortak bölen , birinden farklı olarak adlandırılır bir fraksiyonu azaltmak.

Ortak bir kesri azaltmak için payını ve paydasını aynı doğal sayıya bölmeniz gerekir.

Bu sayı, verilen kesrin pay ve paydasının en büyük ortak bölenidir.

Aşağıdakiler mümkündür karar kayıt formları Ortak kesirlerin azaltılmasına ilişkin örnekler.

Öğrenci herhangi bir kayıt biçimini seçme hakkına sahiptir.

Örnekler. Kesirleri basitleştirin.

Kesri 3'e düşürün (payını 3'e bölün;

paydayı 3'e bölün).

Kesri 7'ye kadar azaltın.

Kesrin payında ve paydasında belirtilen eylemleri gerçekleştiriyoruz.

Ortaya çıkan fraksiyon 5 oranında azaltılır.

Bu kesri azaltalım 4) Açık 5.7³- pay ve paydanın ortak faktörlerinden oluşan, en küçük üslü kuvvete alınan pay ve paydanın en büyük ortak böleni (GCD).

Bu kesrin payını ve paydasını asal çarpanlara ayıralım.

Şunu elde ederiz: 756=2²·3³·7 Ve 1176=2³·3·7².

Kesrin pay ve paydasının GCD'sini (en büyük ortak bölen) belirleyin 5) .

Bu, en düşük üslerle alınan ortak faktörlerin çarpımıdır.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Bu kesrin payını ve paydasını gcd'lerine, yani. 2²·3·7 indirgenemez bir kesir elde ederiz 9/14 .

Veya pay ve paydanın ayrıştırılmasını, kuvvet kavramını kullanmadan asal çarpanların çarpımı şeklinde yazmak ve daha sonra pay ve paydadaki aynı faktörlerin üzerini çizerek kesri azaltmak mümkündü. Hiçbir özdeş faktör kalmadığında, kalan faktörleri payda ayrı ayrı, paydada ayrı ayrı çarparız ve elde edilen kesri yazarız. 9/14 .

Ve nihayet bu oranı azaltmak mümkün oldu 5) kademeli olarak, kesrin hem payına hem de paydasına sayıları bölme işaretleri uygulayarak. Şöyle düşünelim: sayılar 756 Ve 1176 sonu çift sayıyla bitiyor, yani her ikisi de bölünebilir 2 . Kesri azaltıyoruz 2 . Yeni kesrin payı ve paydası sayılardır 378 Ve 588 ayrıca bölünmüş 2 . Kesri azaltıyoruz 2 . sayısının olduğunu fark ediyoruz. 294 - eşit ve 189 tektir ve 2'ye indirilmesi artık mümkün değildir. Sayıların bölünebilirliğini kontrol edelim 189 Ve 294 Açık 3 .

(1+8+9)=18 3'e bölünür ve (2+9+4)=15 3'e bölünür, dolayısıyla sayıların kendisi 189 Ve 294 bölünmüştür 3 . Kesri azaltıyoruz 3 . Daha öte, 63 3'e bölünebilir ve 98 - HAYIR. Şimdi diğer asal faktörlere bakalım. Her iki sayı da bölünebilir 7 . Kesri azaltıyoruz 7 ve indirgenemez kesri elde ederiz 9/14 .

Bu yazıda nasıl yapılacağına ayrıntılı olarak bakacağız. kesirlerin azaltılması. Öncelikle kesrin azaltılması denilen şeye değinelim. Bundan sonra indirgenebilir bir kesrin indirgenemez forma indirgenmesinden bahsedelim. Daha sonra kesirleri azaltma kuralını elde edeceğiz ve son olarak bu kuralın uygulanmasına ilişkin örnekleri ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Bir kesri azaltmak ne anlama gelir?

Sıradan kesirlerin indirgenebilir ve indirgenemez kesirlere bölündüğünü biliyoruz. İndirgenebilir kesirlerin indirgenebileceğini, ancak indirgenemez kesirlerin indirgenemeyeceğini isimlerinden tahmin edebilirsiniz.

Bir kesri azaltmak ne demektir? Kesri azalt- bu, payını ve paydasını pozitif ve birden farklı olanlarına bölmek anlamına gelir. Bir kesirin azaltılması sonucunda pay ve paydası daha küçük olan yeni bir kesir elde edileceği ve kesirin temel özelliği nedeniyle ortaya çıkan kesirin orijinal kesire eşit olacağı açıktır.

Mesela azaltalım ortak kesir Payını ve paydasını 2'ye bölerek 8/24'ü buluruz. Yani 8/24 kesrini 2'ye indirelim. 8:2=4 ve 24:2=12 olduğundan, bu indirgeme 4/12 kesiriyle sonuçlanır, bu da orijinal kesir olan 8/24'e eşittir (bkz. eşit ve eşit olmayan kesirler). Sonuç olarak elimizde.

Sıradan kesirlerin indirgenemez forma indirgenmesi

Tipik olarak bir fraksiyonu azaltmanın nihai amacı, orijinal indirgenebilir fraksiyona eşit bir indirgenemez fraksiyon elde etmektir. Bu amaca, orijinal indirgenebilir kesirin pay ve paydaya indirgenmesiyle ulaşılabilir. Böyle bir indirgemenin sonucunda her zaman indirgenemez bir kesir elde edilir. Aslında bir kısmı indirgenemez olduğu bilindiğinden Ve - . Burada bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin, bu kesrin azaltılabileceği en büyük sayı olduğunu söyleyeceğiz.

Bu yüzden, Ortak bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek orijinal indirgenebilir fraksiyonun pay ve paydasının gcd'lerine bölünmesinden oluşur.

8/24 kesrine geri döndüğümüz ve bunu 8 ve 24 sayılarının 8'e eşit olan en büyük ortak bölenine indirgediğimiz bir örneğe bakalım. 8:8=1 ve 24:8=3 olduğundan indirgenemez kesir 1/3'e geliyoruz. Bu yüzden, .

"Bir kesri azaltmak" ifadesinin çoğunlukla orijinal kesri indirgenemez formuna indirgemek anlamına geldiğini unutmayın. Başka bir deyişle, bir kesri azaltmak çoğu zaman pay ve paydayı (herhangi bir ortak faktör yerine) en büyük ortak faktöre bölmek anlamına gelir.

Bir kesir nasıl azaltılır? Kesirleri azaltma kuralları ve örnekleri

Geriye kalan tek şey, belirli bir kesirin nasıl azaltılacağını açıklayan kesirleri azaltma kuralına bakmaktır.

Kesirleri azaltma kuralı iki adımdan oluşur:

öncelikle kesrin pay ve paydasının gcd'si bulunur;
ikinci olarak, kesrin payı ve paydası, orijinaline eşit indirgenemez bir kesir veren gcd'lerine bölünür.

Hadi halledelim bir kesri azaltma örneği belirtilen kurala göre.

Örnek.

182/195 fraksiyonunu azaltın.

Çözüm.

Bir kesri azaltma kuralının öngördüğü her iki adımı da uygulayalım.

İlk önce GCD(182, 195)'i buluyoruz. Öklid algoritmasını kullanmak en uygunudur (bkz.): 195=182·1+13, 182=13·14, yani GCD(182, 195)=13.

Şimdi 182/195 kesirinin pay ve paydasını 13'e böleriz ve orijinal kesre eşit olan indirgenemez kesir 14/15'i elde ederiz. Bu, fraksiyonun azaltılmasını tamamlar.

Kısaca çözüm şu şekilde yazılabilir: .

Cevap:

Kesirleri azaltmayı burada bitirebiliriz. Ancak resmi tamamlamak için, genellikle kolay durumlarda kullanılan kesirleri azaltmanın iki yoluna daha bakalım.

Bazen kesrin pay ve paydasının indirgenmesi zor değildir. Bu durumda bir kesri azaltmak çok basittir: pay ve paydadaki tüm ortak faktörleri kaldırmanız yeterlidir.

Pay ve paydanın tüm ortak asal faktörlerinin çarpımı, en büyük ortak bölenlerine eşit olduğundan, bu yöntemin doğrudan kesirleri azaltma kuralından kaynaklandığını belirtmekte fayda var.

Örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

Kesiri 360/2 940 azaltın.

Çözüm.

Pay ve paydayı basit çarpanlara ayıralım: 360=2·2·2·3·3·5 ve 2,940=2·2·3·5·7·7. Böylece, .

Şimdi pay ve paydadaki ortak çarpanlardan kurtuluyoruz; kolaylık olması açısından bunların üzerini çiziyoruz: .

Son olarak kalan çarpanları çarpıyoruz: ve kesrin indirgenmesi tamamlanıyor.

İşte çözümün kısa bir özeti: .

Cevap:

Sıralı indirgeme içeren bir kesri azaltmanın başka bir yolunu düşünelim. Burada, her adımda kesir, pay ve paydanın bazı ortak bölenleri tarafından azaltılır; bu, ya açık ya da kullanılarak kolayca belirlenebilir.

İlk bakışta cebirsel kesirler çok karmaşık görünebilir ve hazırlıksız bir öğrenci bunlarla hiçbir şey yapılamayacağını düşünebilir. Değişkenlerin, sayıların ve hatta derecelerin birikmesi korkuyu uyandırır. Ancak olağan olanı azaltmak için (örneğin 15/25) ve cebirsel kesirler aynı kurallar kullanılmaktadır.

Adımlar

Kesirlerin Azaltılması

ile aktivitelere göz atın basit kesirler. Adi ve cebirsel kesirlerle işlemler benzerdir. Örneğin 15/35 kesrini ele alalım. Bu kesri basitleştirmek için şunları yapmalısınız: ortak böleni bul. Her iki sayı da beşe bölünebilir, dolayısıyla pay ve paydada 5'i yalnız bırakabiliriz:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Şimdi yapabilirsin ortak faktörleri azaltın yani pay ve paydada 5'in üzerini çizin. Sonuç olarak basitleştirilmiş kesri elde ederiz 3/7 . İÇİNDE cebirsel ifadeler ortak faktörler sıradan olanlarla aynı şekilde tahsis edilir. İÇİNDE önceki örnek 15 kişiden 5'ini kolayca tespit edebildik; aynı prensip daha fazlası için de geçerlidir karmaşık ifadeler 15x – 5 gibi. Ortak çarpanı bulalım. İÇİNDE bu durumda Her iki terim de (15x ve -5) 5'e bölünebildiği için bu 5 olacaktır. Daha önce olduğu gibi, ortak çarpanı ayırın ve taşıyın sol.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Her şeyin doğru olup olmadığını kontrol etmek için parantez içindeki ifadeyi 5 ile çarpmanız yeterlidir; sonuç, ilk baştakiyle aynı sayılar olacaktır. Karmaşık üyeler, basit olanlarla aynı şekilde izole edilebilir. Sıradan kesirlerle aynı prensipler cebirsel kesirler için de geçerlidir. Bu, bir kesri azaltmanın en kolay yoludur. Aşağıdaki kesri göz önünde bulundurun:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Hem payın (üstte) hem de paydanın (altta) bir terim (x+2) içerdiğini, dolayısıyla 15/35 kesirindeki ortak faktör 5 ile aynı şekilde azaltılabileceğini unutmayın:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Sonuç olarak basitleştirilmiş bir ifade elde ederiz: (x-3)/(x+10)

Cebirsel kesirlerin azaltılması

Paydaki, yani kesrin en üstündeki ortak faktörü bulun. Cebirsel bir kesri azaltırken ilk adım her iki tarafı da basitleştirmektir. Pay ile başlayın ve onu mümkün olduğu kadar çok parçaya ayırmaya çalışın. daha büyük sayıçarpanlar. Bu bölümde aşağıdaki kesri göz önünde bulundurun:

9x-3 15x+6

Pay ile başlayalım: 9x – 3. 9x ve -3 için ortak çarpan 3 sayısıdır. Sıradan sayılarda olduğu gibi 3'ü parantez dışına alalım: 3 * (3x-1). Bu dönüşümün sonucu aşağıdaki kesirdir:

3(3x-1) 15x+6

Paydaki ortak faktörü bulun. Yukarıdaki örneğe devam edelim ve paydayı yazalım: 15x+6. Daha önce olduğu gibi, her iki parçanın da hangi sayıya bölünebildiğini bulalım. Ve bu durumda ortak çarpan 3 olduğundan şunu yazabiliriz: 3 * (5x +2). Kesri aşağıdaki biçimde yeniden yazalım:

3(3x-1) 3(5x+2)

Aynı terimleri kısaltın. Bu adımda kesri sadeleştirebilirsiniz. Pay ve paydadaki aynı terimleri iptal edin. Örneğimizde bu sayı 3'tür.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Kesirin sahip olduğunu belirleyin en basit hal. Pay ve paydada ortak çarpan kalmadığında kesir tamamen basitleştirilmiştir. Parantez içinde görünen terimleri iptal edemeyeceğinizi unutmayın; yukarıdaki örnekte, tam terimler (3x -1) ve (5x + 2) olduğundan, x'i 3x ve 5x'ten ayırmanın bir yolu yoktur. Bu nedenle kesir daha fazla basitleştirilemez ve son cevap aşağıdaki gibidir:

(3x-1)(5x+2)

Kesirleri kendi başınıza azaltma alıştırması yapın. En iyi yol yöntemi öğrenmek bağımsız karar görevler. Doğru cevaplar örneklerin altında verilmiştir.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Cevap:(x=13)

2x 2 -x 5x

Cevap:(2x-1)/5

Özel Hareketler

Negatif işaretini kesrin dışına yerleştirin. Diyelim ki size aşağıdaki kesir veriliyor:

3(x-4) 5(4-x)

(x-4) ve (4-x)'in "neredeyse" aynı olduğunu, ancak "tersine çevrilmiş" oldukları için hemen indirgenemeyeceklerini unutmayın. Ancak (x - 4) -1 * (4 - x) şeklinde yazılabileceği gibi (4 + 2x) de 2 * (2 + x) şeklinde yazılabilir. Buna "işaretin tersine çevrilmesi" denir.

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Artık aynı terimleri (4-x) azaltabilirsiniz:

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Böylece son cevabı alıyoruz: -3/5 . Kareler arasındaki farkı tanımayı öğrenin. Kareler farkı, (a 2 - b 2) ifadesinde olduğu gibi, bir sayının karesinin başka bir sayının karesinden çıkarılmasıdır. Tam karelerin farkı her zaman iki parçaya ayrılabilir: karşılık gelenlerin toplamı ve farkı Karekök. O zaman ifade aşağıdaki formu alacaktır:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Bu teknik arama yaparken çok faydalıdır genel üyeler cebirsel kesirlerde.

Bunu veya bu ifadeyi doğru şekilde çarpanlara ayırıp ayırmadığınızı kontrol edin. Bunu yapmak için faktörleri çarpın; sonuç aynı ifade olmalıdır.
Bir kesri tamamen basitleştirmek için daima en büyük çarpanları ayırın.

Bu yazıda bakacağız cebirsel kesirlerle temel işlemler:

kesirlerin azaltılması
kesirleri çarpma
kesirleri bölme

İle başlayalım cebirsel kesirlerin azaltılması.

Öyle görünüyor ki, algoritma bariz.

İle cebirsel kesirleri azaltın, gerek

1. Kesrin payını ve paydasını çarpanlarına ayırın.

2. Eşit faktörleri azaltın.

Ancak okul çocukları sıklıkla faktörleri değil terimleri “azaltmak” hatasına düşerler. Örneğin kesirleri "azaltarak" sonuç elde eden amatörler var ki bu elbette doğru değil.

Örneklere bakalım:

1. Kesri azaltın:

1. Toplamın karesi formülünü kullanarak payı, kareler farkı formülünü kullanarak paydayı çarpanlara ayıralım.

2. Pay ve paydayı şuna bölün:

2. Kesri azaltın:

1. Payı çarpanlarına ayıralım. Pay dört terim içerdiğinden gruplandırmayı kullanırız.

2. Paydayı çarpanlarına ayıralım. Gruplandırmayı da kullanabiliriz.

3. Elde ettiğimiz kesri yazalım ve aynı çarpanları azaltalım:

Cebirsel kesirlerin çarpılması.

Cebirsel kesirleri çarparken payı payla, paydayı da paydayla çarparız.

Önemli! Bir kesrin payını ve paydasını çarpmak için acele etmeye gerek yoktur. Paydaki kesirlerin paylarının çarpımını, paydadaki paydaların çarpımını yazdıktan sonra her faktörü çarpanlarına ayırıp kesri azaltmamız gerekiyor.

Örneklere bakalım:

3. Ifadeyi basitleştir:

1. Kesirlerin çarpımını yazalım: payda payların çarpımı, paydada da paydaların çarpımı:

2. Her parantezi çarpanlarına ayıralım:

Şimdi aynı faktörleri azaltmamız gerekiyor. ve ifadelerinin yalnızca işaret bakımından farklı olduğunu unutmayın: ve ilk ifadeyi ikinciye bölmenin sonucunda -1 elde ederiz.