Açık bu ders bir doğrusal denklem sistemini çözme yöntemlerine bakacağız. Yüksek matematik dersinde, doğrusal denklem sistemlerinin hem ayrı görevler biçiminde, örneğin "Cramer formüllerini kullanarak sistemi çözün" hem de diğer problemleri çözme sırasında çözülmesi gerekir. Doğrusal denklem sistemleri yüksek matematiğin neredeyse tüm dallarında ele alınmalıdır.

İlk önce küçük bir teori. İçinde ne var bu durumda Matematiksel "doğrusal" kelimesinin kısaltması mı? Bu, sistemin denklemlerinin Tüm dahil edilen değişkenler birinci derecede: gibi süslü şeyler olmadan yalnızca matematik olimpiyatlarına katılanların memnun olduğu vb.

İÇİNDE yüksek matematik Değişkenleri belirlemek için yalnızca çocukluktan tanıdık harfler kullanılmaz.
Oldukça popüler bir seçenek, indeksli değişkenlerdir: .
Veya ilk harfler Latin alfabesi, küçük ve büyük:
Bulmak o kadar da nadir değil yunan harfleri: – birçok kişi tarafından “alfa, beta, gama” olarak bilinir. Ve ayrıca örneğin “mu” harfinin yer aldığı endekslerden oluşan bir set:

Bir veya daha fazla harf kümesinin kullanımı, yüksek matematiğin bir doğrusal denklem sistemiyle karşı karşıya olduğumuz bölümüne bağlıdır. Dolayısıyla, örneğin integralleri ve diferansiyel denklemleri çözerken karşılaşılan doğrusal denklem sistemlerinde, notasyonu kullanmak gelenekseldir.

Ancak değişkenler nasıl belirlenirse belirlensin, bir doğrusal denklem sistemini çözmenin ilkeleri, yöntemleri ve yöntemleri değişmez. Bu nedenle, eğer . Ve ne kadar komik görünse de, bu gösterimlere sahip bir doğrusal denklem sistemi de çözülebilir.

Makalenin oldukça uzun olacağına dair bir his var, bu yüzden küçük bir içindekiler tablosu. Yani, sıralı “bilgilendirme” şu şekilde olacaktır:

– Bir doğrusal denklem sistemini ikame yöntemini (“okul yöntemi”) kullanarak çözme;
– Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek;
– Sistemin Cramer formüllerini kullanarak çözümü;
– Ters matris kullanarak sistemi çözme;
– Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme.

Herkes okul matematik derslerinden doğrusal denklem sistemlerine aşinadır. Temel olarak tekrarla başlıyoruz.

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Bu yöntem"okul yöntemi" veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi olarak da adlandırılabilir. Mecazi anlamda "tamamlanmamış bir Gauss yöntemi" olarak da adlandırılabilir.

Örnek 1

Burada bize iki bilinmeyenli iki denklem sistemi veriliyor. Serbest terimlerin (5 ve 7 sayıları) denklemin sol tarafında bulunduğunu unutmayın. Genel olarak konuşursak, nerede oldukları önemli değil, solda veya sağda, sadece yüksek matematik problemlerinde genellikle bu şekilde konumlandırılırlar. Ve böyle bir kayıt gerekirse karışıklığa yol açmamalı, sistem her zaman "her zamanki gibi" yazılabilir: . Bir terimi bir bölümden diğerine taşırken işaretinin değişmesi gerektiğini unutmayın.

Bir doğrusal denklem sistemini çözmek ne anlama gelir? Bir denklem sistemini çözmek, çözümlerinin çoğunu bulmak anlamına gelir. Bir sistemin çözümü, içinde yer alan tüm değişkenlerin değerlerinin bir kümesidir, bu da sistemin HER denklemini doğru bir eşitliğe dönüştürür. Ayrıca sistem şu şekilde olabilir: ortak olmayan (çözümleri yok).Endişelenme, bu genel tanım=) Her c-we denklemini sağlayan tek bir “x” değerimiz ve bir “y” değerimiz olacak.

Var grafik yöntemi sınıfta bulunabilecek sistemin çözümü Bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Orada bahsetmiştim geometrik olarak iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi. Ama artık cebirin, sayıların-sayıların, eylem-eylemlerin çağı geldi.

Haydi karar verelim: ifade ettiğimiz ilk denklemden:
Ortaya çıkan ifadeyi ikinci denklemde değiştiririz:

Parantezleri açıp veriyoruz benzer terimler ve değeri bulun:

Sonra ne için dans ettiğimizi hatırlıyoruz:
Değerini zaten biliyoruz, geriye kalan tek şey bulmak:

Cevap:

HERHANGİ bir denklem sistemi HERHANGİ bir şekilde çözüldükten sonra, kontrol etmenizi şiddetle tavsiye ederim. (sözlü olarak, taslak üzerinde veya hesap makinesinde). Neyse ki bu kolay ve hızlı bir şekilde yapılır.

1) Bulunan cevabı ilk denklemde değiştirin:

– doğru eşitlik elde edilir.

2) Bulunan cevabı ikinci denklemde değiştirin:

– doğru eşitlik elde edilir.

Ya da daha basit bir ifadeyle “her şey bir araya geldi”

Dikkate alınan çözüm yöntemi, ilk denklemden ifade edilmesi mümkün olan tek çözüm değildir.
Bunun tersini de yapabilirsiniz; ikinci denklemden bir şeyi ifade edebilir ve onu ilk denklemde değiştirebilirsiniz. Bu arada, dört yöntemden en dezavantajlı olanının ikinci denklemden ifade etmek olduğunu unutmayın:

Sonuç kesirler, ama neden? Daha rasyonel bir çözüm var.

Ancak bazı durumlarda kesirler olmadan hala yapamazsınız. Bu bağlamda ifadeyi NASIL yazdığıma dikkatinizi çekmek isterim. Böyle değil: ve hiçbir durumda böyle değil: .

Eğer yüksek matematikle uğraşıyorsanız kesirli sayılar, ardından tüm hesaplamaları sıradan uygunsuz kesirlerle yapmaya çalışın.

Kesinlikle ve değil ya da!

Virgül yalnızca bazen kullanılabilir, özellikle de bir sorunun nihai yanıtıysa ve bu numarayla başka bir işlem yapılmasına gerek yoksa.

Pek çok okuyucu muhtemelen şunu düşündü: “Bunu neden yapıyorsunuz? detaylı açıklama Düzeltme sınıfına gelince, her şey açık.” Öyle bir şey yok, çok basit bir okul örneği gibi görünüyor, ancak ÇOK önemli pek çok sonuç var! İşte bir tane daha:

Herhangi bir görevi yeteneğinizin en iyi şekilde tamamlamaya çalışmalısınız. rasyonel bir şekilde . Sadece zamandan ve sinirlerden tasarruf sağladığı ve aynı zamanda hata yapma olasılığını azalttığı için.

Daha yüksek bir matematik probleminde iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemiyle karşılaşırsanız, o zaman her zaman yerine koyma yöntemini kullanabilirsiniz (sistemin başka bir yöntemle çözülmesi gerektiği belirtilmediği sürece) Tek bir öğretmen düşünmeyecektir. enayi olduğunu ve "okul yöntemini" kullandığın için notunu düşüreceğini "
Ayrıca bazı durumlarda daha fazla sayıda değişkenle ikame yönteminin kullanılması da tavsiye edilebilir.

Örnek 2

Üç bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulduğumuzda, belirsiz katsayılar yöntemi denilen yöntemi kullanırken sıklıkla benzer bir denklem sistemi ortaya çıkar. Söz konusu sistem tarafımdan oradan alınmıştır.

İntegrali bulurken amaç hızlı Cramer formüllerini, ters matris yöntemini vb. kullanmak yerine katsayıların değerlerini bulun. Dolayısıyla bu durumda ikame yöntemi uygundur.

Herhangi bir denklem sistemi verildiğinde, her şeyden önce onu HEMEN basitleştirmenin mümkün olup olmadığını bulmak arzu edilir. Sistemin denklemlerini incelediğimizde sistemin ikinci denkleminin 2'ye bölünebileceğini görüyoruz ve şunu yapıyoruz:

Referans: matematiksel işaret “bundan şunu çıkar” anlamına gelir ve sıklıkla problem çözmede kullanılır.

Şimdi denklemleri inceleyelim; bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Hangi denklemi seçmeliyim? Muhtemelen bu amaç için en kolay yolun sistemin ilk denklemini almak olduğunu tahmin etmişsinizdir:

Burada hangi değişken ifade edilirse edilsin, aynı kolaylıkla veya ifade edilebilir.

Daha sonra, ifadesini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız:

Parantezleri açıyoruz ve benzer terimleri sunuyoruz:

Üçüncü denklemi 2'ye bölün:

İkinci denklemden üçüncü denklemi ifade edip yerine koyuyoruz:

Bulduğumuz üçüncü denklemden hemen hemen her şey hazır:
İkinci denklemden:
İlk denklemden:

Kontrol edin: Değişkenlerin bulunan değerlerini sistemin her denkleminin sol tarafına değiştirin:

1)
2)
3)

Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece çözüm doğru bulunur.

Örnek 3

4 bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme

Bu bir örnektir bağımsız karar(Dersin sonunda cevap verin).

Sistem denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) yoluyla sistemin çözülmesi

Doğrusal denklem sistemlerini çözerken, “okul yöntemini” değil, sistemin denklemlerini dönem dönem toplama (çıkarma) yöntemini kullanmaya çalışmalısınız. Neden? Bu, zamandan tasarruf sağlar ve hesaplamaları basitleştirir, ancak artık her şey daha net hale gelecektir.

Örnek 4

Bir doğrusal denklem sistemini çözün:

İlk örnekteki sistemin aynısını aldım.
Denklem sistemini analiz ettiğimizde, değişkenin katsayılarının büyüklük bakımından aynı ve işaret bakımından zıt (-1 ve 1) olduğunu fark ederiz. Böyle bir durumda denklemler terim terim eklenebilir:

Kırmızıyla daire içine alınmış eylemler ZİHİNSEL olarak gerçekleştirilir.
Gördüğünüz gibi terim terim toplama işlemi sonucunda değişkeni kaybettik. Aslında olan da bu yöntemin özü değişkenlerden birinden kurtulmaktır.

vb., diğer türdeki denklemlerle tanışmak mantıklıdır. Sıradakiler doğrusal denklemler 7. sınıfta cebir derslerinde hedeflenen çalışma başlar.

Öncelikle doğrusal bir denklemin ne olduğunu açıklamanız, doğrusal bir denklemin tanımını, katsayılarını vermeniz, göstermeniz gerektiği açıktır. genel görünüm. Daha sonra katsayıların değerlerine bağlı olarak bir doğrusal denklemin kaç çözümü olduğunu ve köklerinin nasıl bulunduğunu öğrenebilirsiniz. Bu, örnekleri çözmeye devam etmenize ve böylece öğrenilen teoriyi pekiştirmenize olanak sağlayacaktır. Bu yazıda şunu yapacağız: Doğrusal denklemler ve çözümleriyle ilgili tüm teorik ve pratik noktalar üzerinde ayrıntılı olarak duracağız.

Hemen söyleyelim ki burada sadece tek değişkenli doğrusal denklemleri ele alacağız ve ayrı bir makalede çözümün ilkelerini inceleyeceğiz. iki değişkenli doğrusal denklemler.

Sayfada gezinme.

Doğrusal denklem nedir?

Doğrusal denklemin tanımı yazılış şekliyle verilir. Üstelik farklı matematik ve cebir ders kitaplarında doğrusal denklem tanımlarının formülasyonlarında konunun özünü etkilemeyen bazı farklılıklar bulunmaktadır.

Örneğin, Yu. N. Makarychev ve arkadaşlarının 7. sınıf cebir ders kitabında doğrusal bir denklem şu şekilde tanımlanır:

Tanım.

Formun denklemi ax=b x'in bir değişken, a ve b'nin ise bazı sayılar olduğu duruma ne ad verilir? tek değişkenli doğrusal denklem.

Belirtilen tanımı karşılayan doğrusal denklem örnekleri verelim. Örneğin 5 x = 10, tek değişkenli x içeren doğrusal bir denklemdir; burada a katsayısı 5 ve b sayısı 10'dur. Başka bir örnek: −2,3·y=0 da doğrusal bir denklemdir, ancak a=−2,3 ve b=0 olan y değişkenine sahiptir. Ve doğrusal denklemlerde x=−2 ve −x=3,33 a açıkça mevcut değildir ve sırasıyla 1 ve −1'e eşittir; ilk denklemde b=−2 ve ikincisinde - b=3,33.

Ve bir yıl önce, N.Ya.Vilenkin'in matematik ders kitabında, a x = b formundaki denklemlere ek olarak, bir bilinmeyenli doğrusal denklemler, terimlerin bir bölümden aktarılmasıyla bu forma getirilebilecek denklemler olarak da kabul ediliyordu. Denklemin zıt işaretli bir başkasına dönüştürülmesinin yanı sıra benzer terimlerin azaltılması yoluyla. Bu tanıma göre 5 x = 2 x + 6 vb. formdaki denklemler. aynı zamanda doğrusal.

Buna karşılık, A. G. Mordkovich'in 7. sınıf cebir ders kitabında aşağıdaki tanım verilmiştir:

Tanım.

Tek değişkenli x ile doğrusal denklem a·x+b=0 biçiminde bir denklemdir; burada a ve b, doğrusal denklemin katsayıları adı verilen bazı sayılardır.

Örneğin, bu tür doğrusal denklemler 2 x−12=0'dır, burada a katsayısı 2'dir ve b, −12'ye eşittir ve katsayılar a=0,2 ve b =4,6 ile 0,2 y+4,6=0'dır. Ancak aynı zamanda a·x+b=0 değil, a·x=b biçiminde olan doğrusal denklem örnekleri de vardır, örneğin 3·x=12.

Gelecekte herhangi bir tutarsızlıkla karşılaşmamak için, tek değişkenli x ve katsayıları a ve b olan bir doğrusal denklem kullanarak a x + b = 0 biçiminde bir denklem anlayalım. Bu tip lineer denklem en mantıklısı gibi görünüyor çünkü lineer denklemler cebirsel denklemler birinci derece. Ve yukarıda belirtilen tüm diğer denklemlerin yanı sıra eşdeğer dönüşümler kullanılarak a x + b = 0 formuna indirgenen denklemleri arayacağız doğrusal denklemlere indirgenen denklemler. Bu yaklaşımla, 2 x+6=0 denklemi doğrusal bir denklemdir ve 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 vb. - Bunlar doğrusal olanlara indirgenen denklemlerdir.

Doğrusal denklemler nasıl çözülür?

Şimdi a·x+b=0 doğrusal denklemlerinin nasıl çözüldüğünü bulmanın zamanı geldi. Başka bir deyişle, bir doğrusal denklemin köklerinin olup olmadığını, varsa kaç tanesini ve nasıl bulunacağını öğrenmenin zamanı geldi.

Doğrusal bir denklemin köklerinin varlığı a ve b katsayılarının değerlerine bağlıdır. Bu durumda, a x+b=0 doğrusal denklemi

• a≠0 için tek kök,
• a=0 ve b≠0 için kökleri yoktur,
• a=0 ve b=0 için sonsuz sayıda kökü vardır; bu durumda her sayı bir doğrusal denklemin köküdür.

Bu sonuçların nasıl elde edildiğini açıklayalım.

Denklemleri çözmek için orijinal denklemden eşdeğer denklemlere, yani aynı kökleri olan veya orijinali gibi kökleri olmayan denklemlere geçebileceğimizi biliyoruz. Bunu yapmak için aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri kullanabilirsiniz:

• Bir terimin denklemin bir kısmından diğerine zıt işaretle aktarılması,
• bir denklemin her iki tarafını da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak veya bölmek gibi.

Yani, a·x+b=0 formundaki bir değişkenli doğrusal bir denklemde, b terimini sol taraftan sağ tarafa ters işaretle taşıyabiliriz. Bu durumda denklem a·x=−b formunu alacaktır.

Ve sonra denklemin her iki tarafını da a sayısına bölme sorusu ortaya çıkıyor. Ancak bir şey var: a sayısı sıfıra eşit olabilir, bu durumda böyle bir bölme mümkün değildir. Bu sorunu çözmek için öncelikle a sayısının sıfırdan farklı olduğunu varsayacağız, biraz sonra a'nın sıfıra eşit olması durumunu ayrı ayrı ele alacağız.

Yani a, sıfıra eşit olmadığında, a·x=−b denkleminin her iki tarafını da a'ya böleriz, ardından x=(−b):a formuna dönüşür, bu sonuç şöyle yazılabilir: olarak kesirli eğik çizgiyi kullanarak.

Dolayısıyla a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denklemi, kökü görülebilen denkleme eşdeğerdir.

Bu kökün tek olduğunu, yani doğrusal denklemin başka köklerinin olmadığını göstermek kolaydır. Bu, tam tersi yöntemi yapmanızı sağlar.

Kökünü x 1 olarak gösterelim. Doğrusal denklemin x 2 ve x 2 ≠x 1 olarak gösterdiğimiz başka bir kökü olduğunu varsayalım. fark yoluyla eşit sayıları belirleme x 1 − x 2 ≠0 koşuluna eşdeğerdir. x 1 ve x 2, a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri olduğundan, a·x 1 +b=0 ve a·x 2 +b=0 sayısal eşitlikleri geçerlidir. Sayısal eşitliklerin özelliklerinin yapmamıza izin verdiği şekilde bu eşitliklerin karşılık gelen kısımlarını çıkarabiliriz, elimizde a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 bulunur, buradan a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 ve sonra a·(x 1 −x 2)=0 . Ancak hem a≠0 hem de x 1 − x 2 ≠0 olduğundan bu eşitlik imkansızdır. Böylece a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökünün benzersizliğini kanıtlayan bir çelişkiye geldik.

Böylece a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denklemini çözdük. Bu paragrafın başında verilen ilk sonuç haklıdır. a=0 koşulunu karşılayan iki tane daha kaldı.

a=0 olduğunda, a·x+b=0 doğrusal denklemi 0·x+b=0 biçimini alır. Bu denklemden ve sayıları sıfırla çarpma özelliğinden, x olarak hangi sayıyı alırsak alalım, 0 x + b=0 denkleminde yerine konulduğunda b=0 sayısal eşitliğinin elde edileceği sonucu çıkar. Bu eşitlik b=0 olduğunda doğrudur, diğer durumlarda b≠0 olduğunda bu eşitlik yanlıştır.

Bu nedenle, a=0 ve b=0 ile herhangi bir sayı a·x+b=0 doğrusal denkleminin köküdür, çünkü bu koşullar altında x'in yerine herhangi bir sayı koymak doğru sayısal eşitliği 0=0 verir. Ve a=0 ve b≠0 olduğunda, a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri yoktur, çünkü bu koşullar altında x yerine herhangi bir sayı koymak yanlış b=0 sayısal eşitliğine yol açar.

Verilen gerekçeler, herhangi bir doğrusal denklemi çözmemize olanak tanıyan bir dizi eylem formüle etmemize olanak tanır. Bu yüzden, doğrusal denklem çözme algoritmasışu:

• Öncelikle doğrusal denklemi yazarak a ve b katsayılarının değerlerini buluyoruz.
• Eğer a=0 ve b=0 ise bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır, yani her sayı bu doğrusal denklemin köküdür.
• Eğer a sıfır değilse, o zaman
• b katsayısı ters işaretle sağ tarafa aktarılır ve doğrusal denklem a·x=−b formuna dönüştürülür,
• bundan sonra ortaya çıkan denklemin her iki tarafı sıfırdan farklı bir a sayısına bölünür; bu, orijinal doğrusal denklemin istenen kökünü verir.

Yazılı algoritma, doğrusal denklemlerin nasıl çözüleceği sorusuna kapsamlı bir cevaptır.

Bu noktanın sonucu olarak, a·x=b formundaki denklemleri çözmek için benzer bir algoritmanın kullanıldığını söylemekte yarar var. Farkı, a≠0 olduğunda denklemin her iki tarafı da hemen bu sayıya bölünür; burada b zaten denklemin gerekli kısmındadır ve onu aktarmaya gerek yoktur.

a x = b formundaki denklemleri çözmek için aşağıdaki algoritma kullanılır:

• Eğer a=0 ve b=0 ise denklemin herhangi bir sayıdan oluşan sonsuz sayıda kökü vardır.
• Eğer a=0 ve b≠0 ise orijinal denklemin kökleri yoktur.
• Eğer a sıfır değilse, denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir a sayısına bölünür; buradan denklemin b/a'ya eşit tek kökü bulunur.

Doğrusal denklem çözme örnekleri

Hadi uygulamaya geçelim. Doğrusal denklemleri çözmek için algoritmanın nasıl kullanıldığına bakalım. Aşağıdakilere karşılık gelen tipik örneklere çözümler verelim farklı anlamlar Doğrusal denklemlerin katsayıları.

Örnek.

0·x−0=0 doğrusal denklemini çözün.

Çözüm.

Bu doğrusal denklemde a=0 ve b=−0 olup, b=0 ile aynıdır. Dolayısıyla bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır; her sayı bu denklemin köküdür.

Cevap:

x – herhangi bir sayı.

Örnek.

0 x + 2,7 = 0 doğrusal denkleminin çözümleri var mı?

Çözüm.

Bu durumda a katsayısı sıfıra eşit olup bu doğrusal denklemin b katsayısı 2,7'ye eşit yani sıfırdan farklıdır. Bu nedenle doğrusal bir denklemin kökleri yoktur.

Giriş seviyesi

Doğrusal denklemler. Tam Kılavuz (2019)

"Doğrusal denklemler" nedir

veya sözlü olarak - Vasya'nın sahip olduğu tüm elmalara sahip olması şartıyla üç arkadaşa elma verildi.

Ve şimdi zaten karar verdin doğrusal denklem
Şimdi bu terime matematiksel bir tanım verelim.

Doğrusal denklem - cebirsel bir denklem olup tam derece onu oluşturan polinomların sayısı eşittir. Şuna benziyor:

Herhangi bir sayı nerede ve

Vasya ve elmalarla ilgili durumumuz için şunu yazacağız:

- “Vasya üç arkadaşına da aynı sayıda elma verirse elması kalmayacak”

"Gizli" doğrusal denklemler veya kimlik dönüşümlerinin önemi

İlk bakışta her şeyin son derece basit olmasına rağmen, denklemleri çözerken dikkatli olmanız gerekir, çünkü doğrusal denklemlere yalnızca bu türden denklemler değil, aynı zamanda dönüşümler ve basitleştirmelerle bu türe indirgenebilecek denklemler de denir. Örneğin:

Sağda, teorik olarak denklemin doğrusal olmadığını gösteren şeyi görüyoruz. Üstelik parantezleri açarsak iki terim daha elde edeceğiz, ama sonuca varmak için acele etmeyin! Bir denklemin doğrusal olup olmadığına karar vermeden önce tüm dönüşümleri yapmak ve böylece orijinal örneği basitleştirmek gerekir. Bu durumda dönüşümler değişebilir dış görünüş, ancak denklemin özü değil.

Başka bir deyişle, dönüşüm verilerinin birebir aynı veya eş değer. Bu türden yalnızca iki dönüşüm var, ancak çok ama çok oynuyorlar önemli rol sorunları çözerken. Belirli örnekleri kullanarak her iki dönüşüme de bakalım.

Sola - sağa aktarın.

Diyelim ki aşağıdaki denklemi çözmemiz gerekiyor:

Geri dön ilkokul bize şöyle söylendi: "X'li - sola, X'siz - sağa." Sağda X ile hangi ifade var? Bu doğru, ama nasıl olmasın. Bu da önemli çünkü basit gibi görünen bu soru yanlış anlaşılırsa yanlış cevap ortaya çıkar. Solda X ile hangi ifade var? Sağ, .

Artık bunu anladığımıza göre, bilinmeyenli tüm terimleri sol tarafa, bilinen her şeyi de sağa taşıyoruz; örneğin sayının önünde bir işaret yoksa sayının pozitif olduğunu hatırlıyoruz yani önünde “ " işareti var

Aktarıldı mı? Ne aldın?

Geriye sadece benzer şartları getirmek kalıyor. Sunuyoruz:

Böylece, ilk özdeş dönüşümü başarıyla analiz ettik, ancak bunu bildiğinizden ve ben olmadan aktif olarak kullandığınızdan eminim. Önemli olan sayıların işaretlerini unutmamak ve eşittir işaretiyle aktarırken bunları zıt işaretlerle değiştirmek!

Çarpma-bölme.

Hemen bir örnekle başlayalım

Bakalım ve düşünelim: Bu örnekte neyi sevmiyoruz? Bilinmeyenler bir tarafta, bilinenler bir tarafta ama bir şey bizi durduruyor... Ve bu bir dörtlü, çünkü o olmasaydı her şey mükemmel olurdu - x sayıya eşit- tam da ihtiyacımız olan şekilde!

Ondan nasıl kurtulabilirsin? Onu sağa taşıyamayız çünkü o zaman çarpanın tamamını hareket ettirmemiz gerekir (bunu alıp koparamayız) ve çarpanın tamamını hareket ettirmek de mantıklı değil...

Bölmeyi hatırlamanın zamanı geldi, o yüzden her şeyi bölelim! Her şey - bu hem sol hem de sağ taraf anlamına gelir. Bu taraftan ve sadece bu taraftan! Ne yapıyoruz?

İşte cevap.

Şimdi başka bir örneğe bakalım:

Bu durumda ne yapılması gerektiğini tahmin edebilir misiniz? Aynen öyle, sol ve sağ tarafları çarpın! Hangi cevabı aldın? Sağ. .

Elbette kimlik dönüşümleri hakkında her şeyi zaten biliyordunuz. Bu bilgiyi hafızanızda tazelediğimizi ve artık daha fazlasını yapmanın zamanının geldiğini düşünün - Örneğin, büyük örneğimizi çözmek için:

Daha önce de söylediğimiz gibi bakıldığında bu denklemin doğrusal olduğunu söyleyemeyiz ancak parantezleri açıp aynı dönüşümleri yapmamız gerekiyor. Öyleyse başlayalım!

Başlangıç ​​olarak, kısaltılmış çarpma formüllerini, özellikle de toplamın karesini ve farkın karesini hatırlıyoruz. Ne olduğunu ve parantezlerin nasıl açıldığını hatırlamıyorsanız konuyu okumanızı şiddetle tavsiye ederim çünkü bu beceriler sınavda karşılaşılan örneklerin neredeyse tamamını çözerken işinize yarayacaktır.
Açıklığa kavuşmuş? Karşılaştırma yapalım:

Şimdi benzer terimleri getirmenin zamanı geldi. Nasıl aynı durumda olduğumuzu hatırlıyor musun? ilkokul“Biz pirzolanın yanına sinek koymuyoruz” dediler mi? Burada şunu hatırlatıyorum. Her şeyi ayrı ayrı ekliyoruz - bilinmeyenleri olan faktörleri, bilinmeyenleri olan faktörleri ve geri kalan bilinmeyenleri olan faktörleri. Benzer terimleri getirdiğinizde tüm bilinmeyenleri sola, bilinenleri ise sağa taşıyın. Ne aldın?

Gördüğünüz gibi karedeki X'ler kaybolmuş ve tamamen normal bir şey görüyoruz. doğrusal denklem. Geriye kalan tek şey onu bulmak!

Ve son olarak, kimlik dönüşümleri hakkında çok önemli bir şey daha söyleyeceğim - kimlik dönüşümleri yalnızca doğrusal denklemler için değil aynı zamanda ikinci dereceden, kesirli rasyonel ve diğerleri için de geçerlidir. Sadece çarpanları eşittir işaretiyle aktarırken işareti ters çevirdiğimizi, bir sayıya bölerken veya çarparken denklemin her iki tarafını da AYNI sayıyla çarptığımızı/böldüğünüzü unutmamanız gerekir.

Bu örnekten başka ne çıkardınız? Bir denkleme bakarak onun doğrusal olup olmadığını doğrudan ve doğru bir şekilde belirlemek her zaman mümkün değildir. Önce ifadeyi tamamen basitleştirmek ve ancak o zaman ne olduğuna karar vermek gerekir.

Doğrusal denklemler. Örnekler.

Kendi başınıza pratik yapabileceğiniz birkaç örnek daha: Denklemin doğrusal olup olmadığını belirleyin ve eğer öyleyse köklerini bulun:

Cevaplar:

1. Öyle.

2. Değil.

Parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım:

Aynı dönüşümü gerçekleştirelim - sol ve sağ tarafları şu şekilde bölelim:

Denklemin doğrusal olmadığını görüyoruz, dolayısıyla köklerini aramaya gerek yok.

3. Öyle.

Aynı dönüşümü gerçekleştirelim - paydadan kurtulmak için sol ve sağ tarafları çarpalım.

Bunun neden bu kadar önemli olduğunu düşünün. Bu sorunun cevabını biliyorsanız, denklemin daha fazla çözümüne geçin, bilmiyorsanız daha fazla hata yapmamak için konuya baktığınızdan emin olun; karmaşık örnekler. Bu arada gördüğünüz gibi durum imkansız. Neden?
O halde devam edelim ve denklemi yeniden düzenleyelim:

Her şeyi zorlanmadan başardıysanız iki değişkenli doğrusal denklemlerden bahsedelim.

İki değişkenli doğrusal denklemler

Şimdi biraz daha karmaşık iki değişkenli doğrusal denklemlere geçelim.

Doğrusal denklemler iki değişkenli olarak şu forma sahiptir:

Nerede ve - herhangi bir sayı ve.

Görüldüğü gibi tek fark denkleme bir değişkenin daha eklenmesidir. Ve böylece her şey aynı; x kare yok, bir değişkene bölme yok, vb. vesaire.

Sana hangisini getireyim? hayat örneği... Aynı Vasya'yı alalım. Diyelim ki 3 arkadaşına da aynı sayıda elma verip elmaları kendisine ayırmaya karar verdi. Her arkadaşına bir elma verirse Vasya'nın kaç elma alması gerekir? Peki ya? Peki ya sonra?

Her kişinin alacağı elma sayısı ile satın alınması gereken toplam elma sayısı arasındaki ilişki aşağıdaki denklemle ifade edilecektir:

• - bir kişinin alacağı elma sayısı (, veya, veya);
• - Vasya'nın kendisi için alacağı elma sayısı;
• - Kişi başına düşen elma sayısını dikkate alarak Vasya'nın kaç elma alması gerekiyor?

Bu sorunu çözerek, eğer Vasya bir arkadaşına elma verirse, o zaman elma verirse parça satın alması gerektiğini anlıyoruz.

Ve genel olarak. İki değişkenimiz var. Neden bu ilişkiyi bir grafik üzerinde çizmiyorsunuz? Değerimizi, yani noktalarımızı koordinatlarla oluşturuyoruz ve işaretliyoruz ve!

Gördüğünüz gibi birbirlerine bağımlılar doğrusal, dolayısıyla denklemlerin adı - “ doğrusal».

Elmalardan soyutlayalım ve çeşitli denklemlere grafiksel olarak bakalım. Oluşturulan iki grafiğe dikkatlice bakın: keyfi işlevlerle belirtilen bir düz çizgi ve bir parabol:

Her iki resimde de karşılık gelen noktaları bulun ve işaretleyin.
Ne aldın?

Bunu ilk fonksiyonun grafiğinde görüyorsunuz. yalnız karşılık gelir bir yani birbirlerine de doğrusal olarak bağlıdırlar ki bu ikinci fonksiyon için söylenemez. Elbette, ikinci grafikte x'in de karşılık geldiğini iddia edebilirsiniz, ancak bu yalnızca bir noktadır, yani özel bir durumdur, çünkü yine de birden fazlasına karşılık gelen bir nokta bulabilirsiniz. Ve oluşturulan grafik hiçbir şekilde bir çizgiye benzemiyor, bir paraboldür.

Bir kez daha tekrar ediyorum: doğrusal bir denklemin grafiği DÜZ bir çizgi olmalıdır.

Herhangi bir dereceye gidersek denklemin doğrusal olmayacağı gerçeğiyle - bu bir parabol örneğini kullanarak açıktır, ancak kendiniz için birkaç basit grafik daha oluşturabilirsiniz, örneğin veya. Ama sizi temin ederim ki bunların hiçbiri DÜZ BİR ÇİZGİ olmayacak.

Bana inanmıyor musun? Oluşturun ve sonra sahip olduğum şeyle karşılaştırın:

Bir şeyi örneğin bir sayıya bölersek ne olur? Doğrusal bir ilişki olacak mı ve? Tartışmayalım ama inşa edelim! Örneğin bir fonksiyonun grafiğini oluşturalım.

Her nasılsa düz bir çizgi gibi inşa edilmiş gibi görünmüyor... dolayısıyla denklem doğrusal değil.
Özetleyelim:

1. Doğrusal denklem - kendisini oluşturan polinomların toplam derecesinin eşit olduğu cebirsel bir denklemdir.
2. Doğrusal denklem bir değişkenle şu forma sahiptir:
   , nerede ve herhangi bir sayı;
   Doğrusal denklem iki değişkenle:
   , nerede ve herhangi bir sayıdır.
3. Bir denklemin doğrusal olup olmadığını hemen belirlemek her zaman mümkün değildir. Bazen bunu anlamak için aynı dönüşümleri yapmak, benzer terimleri sola/sağa kaydırmak, işaretini değiştirmeyi unutmamak veya denklemin her iki tarafını da aynı sayıyla çarpmak/bölmek gerekir.

DOĞRUSAL DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Doğrusal denklem

Bu, kendisini oluşturan polinomların toplam derecesinin eşit olduğu cebirsel bir denklemdir.

2. Tek değişkenli doğrusal denklemşu forma sahiptir:

Herhangi bir sayı nerede ve nerede;

3. İki değişkenli doğrusal denklemşu forma sahiptir:

Nerede ve - herhangi bir sayı.

4. Kimlik dönüşümleri

Bir denklemin doğrusal olup olmadığını belirlemek için aynı dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir:

• işareti değiştirmeyi unutmadan benzer terimleri sola/sağa hareket ettirin;
• Denklemin her iki tarafını da aynı sayıyla çarpın/bölün.

Denklem çözmeyi öğrenmek cebirin öğrencilere sunduğu temel görevlerden biridir. Bir bilinmeyenden oluştuğunda en basitinden başlayıp giderek daha karmaşık olanlara doğru ilerliyoruz. Birinci gruptaki denklemlerle yapılması gereken işlemlere hakim değilseniz diğerlerini anlamanız zor olacaktır.

Konuşmaya devam etmek için notasyon üzerinde anlaşmanız gerekir.

Bir bilinmeyenli doğrusal denklemin genel formu ve çözüm ilkesi

Bu şekilde yazılabilecek herhangi bir denklem:

a * x = b,

isminde doğrusal. Bu genel formül. Ancak ödevlerde sıklıkla doğrusal denklemler örtülü biçimde yazılır. Daha sonra genel kabul görmüş bir notasyon elde etmek için aynı dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir. Bu eylemler şunları içerir:

• parantez açma;
• değişken değere sahip tüm terimleri eşitliğin sol tarafına, geri kalanını ise sağa taşımak;
• benzer terimlerin azaltılması.

Bir kesrin paydasında bilinmeyen bir miktarın bulunması durumunda, ifadenin anlam ifade etmeyeceği değerlerinin belirlenmesi gerekir. Başka bir deyişle denklemin tanım alanını bilmeniz gerekir.

Tüm doğrusal denklemlerin çözülmesindeki prensip, denklemin sağ tarafındaki değerin değişkenin önündeki katsayıya bölünmesine dayanır. Yani "x" b/a'ya eşit olacaktır.

Lineer denklemlerin özel durumları ve çözümleri

Akıl yürütme sırasında, doğrusal denklemlerin özel biçimlerden birini aldığı anlar ortaya çıkabilir. Her birinin özel bir çözümü var.

İlk durumda:

a * x = 0 ve a ≠ 0.

Böyle bir denklemin çözümü her zaman x = 0 olacaktır.

İkinci durumda “a” sıfıra eşit değeri alır:

0 * x = 0.

Böyle bir denklemin cevabı herhangi bir sayı olacaktır. Yani sonsuz sayıda kökü vardır.

Üçüncü durum şöyle görünür:

0 * x = içinde≠ 0'da.

Bu denklem mantıklı değil. Çünkü onu tatmin edecek kökler yoktur.

İki değişkenli doğrusal denklemin genel görünümü

İsminden, içinde zaten iki bilinmeyen miktarın olduğu anlaşılıyor. İki değişkenli doğrusal denklemlerşuna benziyor:

a * x + b * y = c.

Kayıtta iki bilinmeyen olduğundan cevap bir çift sayı gibi görünecektir. Yani tek bir değer belirtmek yeterli değildir. Bu eksik bir cevap olacaktır. Denklemin özdeşlik haline geldiği bir miktar çifti, denklemin bir çözümüdür. Üstelik cevapta alfabede ilk sırada gelen değişken her zaman önce yazılır. Bazen bu rakamların onu tatmin ettiğini söylüyorlar. Üstelik bu tür çiftlerden sonsuz sayıda olabilir.

İki bilinmeyenli doğrusal denklem nasıl çözülür?

Bunu yapmak için doğru olduğu ortaya çıkan herhangi bir sayı çiftini seçmeniz yeterlidir. Basit olması açısından, bilinmeyenlerden birini asal sayıya eşit olarak alıp ikinciyi bulabilirsiniz.

Çözerken genellikle denklemi basitleştirecek adımları uygulamanız gerekir. Bunlara kimlik dönüşümleri denir. Ayrıca aşağıdaki özellikler denklemler için her zaman doğrudur:

• her terim, işaretinin tersi ile değiştirilerek eşitliğin karşıt kısmına taşınabilir;
• Sıfıra eşit olmadığı sürece herhangi bir denklemin sol ve sağ taraflarının aynı sayıya bölünmesine izin verilir.

Doğrusal denklemlerle ilgili görev örnekleri

İlk görev. Doğrusal denklemleri çözün: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Bu listede ilk sırada yer alan denklemde 20'yi 4'e bölmeniz yeterlidir. Sonuç 5 olacaktır. Cevap: x = 5.

Üçüncü denklem bir kimlik dönüşümünün gerçekleştirilmesini gerektirir. Parantezlerin açılması ve benzer terimlerin getirilmesinden oluşacaktır. İlk adımdan sonra denklem şu şekli alacaktır: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. O zaman tüm bilinmeyenleri denklemin sol tarafına, geri kalanını da sağa taşımanız gerekir. Denklem şu şekilde görünecektir: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Benzer terimleri ekledikten sonra: 14x = 16. Artık ilkiyle aynı görünüyor ve çözümünü bulmak kolay. Cevap x=8/7 olacaktır. Ancak matematikte tam parçayı bileşik kesirden ayırmanız gerekir. Daha sonra sonuç dönüştürülecek ve “x” bir bütüne ve yedide bire eşit olacaktır.

Geri kalan örneklerde değişkenler paydadadır. Bu, öncelikle denklemlerin hangi değerlerde tanımlandığını bulmanız gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmak için paydaların sıfıra gittiği sayıları hariç tutmanız gerekir. İlk örnekte “-4”, ikinci örnekte “-3”. Yani bu değerlerin cevaptan çıkarılması gerekir. Bundan sonra eşitliğin her iki tarafını da paydadaki ifadelerle çarpmanız gerekiyor.

Parantezleri açıp benzer terimleri bir araya getirdiğimizde bu denklemlerden ilkinde şunu elde ederiz: 5x + 15 = 4x + 16, ikincisinde ise 5x + 15 = 4x + 12. Dönüşümlerden sonra ilk denklemin çözümü x = olacaktır. -1. İkincisi “-3”e eşit çıkıyor, bu da ikincisinin hiçbir çözümü olmadığı anlamına geliyor.

İkinci görev. Denklemi çözün: -7x + 2y = 5.

İlk bilinmeyen x = 1 olsun, o zaman denklem -7 * 1 + 2y = 5 formunu alacaktır. “-7” faktörünü eşitliğin sağ tarafına kaydırıp işaretini artıya çevirdiğimizde şu ortaya çıkıyor: 2y = 12. Bu da y =6 anlamına gelir. Cevap: x = 1, y = 6 denkleminin çözümlerinden biri.

Tek değişkenli eşitsizliğin genel biçimi

Eşitsizliklere ilişkin tüm olası durumlar burada sunulmaktadır:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

Genel olarak basit bir doğrusal denklem gibi görünür, yalnızca eşittir işaretinin yerini eşitsizlik alır.

Eşitsizliklerin kimlik dönüşümlerine ilişkin kurallar

Tıpkı doğrusal denklemler gibi eşitsizlikler de şu şekilde değiştirilebilir: belirli kanunlar. Bunlar aşağıdakilere indirgeniyor:

1. eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına herhangi bir harf veya sayısal ifade ve eşitsizlik işareti aynı kalacaktır;
2. Ayrıca aynı şeyle çarpabilir veya bölebilirsiniz pozitif sayı, bu yine işareti değiştirmez;
3. aynı şeyle çarparken veya bölerken negatif sayı Eşitsizlik işareti ters çevrildiği sürece eşitlik doğru kalacaktır.

Çift eşitsizliklere genel bakış

Problemlerde aşağıdaki eşitsizlikler gösterilebilir:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Her iki taraftaki eşitsizlik işaretleriyle sınırlı olduğundan çift olarak adlandırılır. Sıradan eşitsizliklerle aynı kurallar kullanılarak çözülür. Ve cevabı bulmak bir dizi özdeş dönüşümden geçiyor. En basiti elde edilene kadar.

Çift eşitsizlikleri çözmenin özellikleri

Bunlardan ilki koordinat eksenindeki görüntüsüdür. için bu yöntemi kullanın basit eşitsizlikler gerek yok. Ancak zor durumlarda bu sadece gerekli olabilir.

Bir eşitsizliği tasvir etmek için, akıl yürütme sırasında elde edilen tüm noktaları eksen üzerinde işaretlemeniz gerekir. Bunlar, noktalı noktalarla gösterilen geçersiz değerler ve dönüşümlerden sonra elde edilen eşitsizliklerden elde edilen değerlerdir. Burada da noktaların doğru çizilmesi önemlidir. Eşitsizlik katı ise< или >, daha sonra bu değerler delinir. Kesin olmayan eşitsizliklerde noktalar gölgelendirilmelidir.

Daha sonra eşitsizliklerin anlamını belirtmek gerekir. Bu, gölgeleme veya yaylar kullanılarak yapılabilir. Bunların kesişimi cevabı gösterecektir.

İkinci özellik ise kaydedilmesiyle ilgilidir. Burada sunulan iki seçenek var. Birincisi nihai eşitsizliktir. İkincisi aralıklar şeklindedir. Onunla birlikte zorluklar ortaya çıkıyor. Boşluklardaki cevap her zaman üyelik işaretli ve rakamlı parantezli bir değişkene benzer. Bazen birkaç boşluk vardır, o zaman parantezlerin arasına "ve" sembolünü yazmanız gerekir. Bu işaretler şuna benzer: ∈ ve ∩. Ara parantezleri de bir rol oynar. Nokta cevaptan çıkarıldığında yuvarlak olan yerleştirilir ve dikdörtgen olan bu değeri içerir. Sonsuzluk işareti her zaman parantez içindedir.

Eşitsizlikleri çözme örnekleri

1. 7 - 5x ≥ 37 eşitsizliğini çözün.

Basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz: -5x ≥ 30. “-5”e bölerek şu ifadeyi elde ederiz: x ≤ -6. Bu zaten cevaptır, ancak başka bir şekilde de yazılabilir: x ∈ (-∞; -6).

2. Karar Verin çifte eşitsizlik -4 < 2x + 6 ≤ 8.

Öncelikle her yerden 6 çıkarmanız gerekir: -10.< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Denklemler. Başka bir deyişle tüm denklemlerin çözümü bu dönüşümlerle başlar. Doğrusal denklemleri çözerken (çözüm) özdeş dönüşümlere dayanır ve son cevapla biter.

Bilinmeyen bir değişken için sıfırdan farklı bir katsayı durumu.

balta+b=0, a ≠ 0

X'li terimleri bir tarafa, sayıları da diğer tarafa taşıyoruz. Şartları şuraya aktarmayı unutmayın: karşı taraf denklemlerde işareti değiştirmeniz gerekir:

eksen:(a)=-b:(a)

Haydi kısaltalım A en X ve şunu elde ederiz:

x=-b:(a)

Cevap bu. Bir sayının olup olmadığını kontrol etmeniz gerekiyorsa -b:(a) denklemimizin kökünü alıyorsak bunun yerine ilk denklemde yerine koymamız gerekir X bu numara:

a(-b:(a))+b=0 ( onlar. 0=0)

Çünkü o halde bu eşitlik doğrudur -b:(a) ve gerçek denklemin köküdür.

Cevap: x=-b:(a), a ≠ 0.

İlk örnek:

5x+2=7x-6

Üyeleri bir tarafa taşıyoruz X ve diğer tarafta sayılar:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Bilinmiyorsa katsayı azaltıldı ve şu cevabı aldık:

Cevap bu. Eğer 4 sayısının gerçekten denklemimizin kökü olup olmadığını kontrol etmek gerekirse orijinal denklemde X yerine bu sayıyı koyarız:

5*4+2=7*4-6 ( onlar. 22=22)

Çünkü bu eşitlik doğruysa denklemin kökü 4 olur.

İkinci örnek:

Denklemi çözün:

5x+14=x-49

Bilinmeyenleri ve sayıları aktararak farklı taraflar, kabul edilmiş:

Denklemin bölümlerini katsayıya bölün. X(4'e kadar) ve şunu elde ederiz:

Üçüncü örnek:

Denklemi çözün:

İlk olarak, tüm terimleri şu şekilde çarparak bilinmeyenin katsayısındaki mantıksızlıktan kurtuluruz:

Bu formun basitleştirilmiş olduğu kabul edilir, çünkü Sayının paydasında sayının kökü bulunur. Pay ve paydayı şu şekilde çarparak cevabı basitleştirmemiz gerekir: aynı numara, elimizde şu var:

Çözümün olmadığı durum.

Denklemi çözün:

2x+3=2x+7

Herkesin önünde X denklemimiz gerçek bir eşitlik olmayacak. Yani denklemimizin kökleri yoktur.

Cevap: Çözüm yok.

Özel bir durum sonsuz sayıda çözümdür.

Denklemi çözün:

2x+3=2x+3

X'leri ve sayıları farklı yönlere taşıyıp benzer terimleri toplayarak denklemi elde ederiz:

Burada da her iki parçayı da 0'a bölmek mümkün değil çünkü bu yasaktır. Ancak yerine konulması X herhangi bir sayı, doğru eşitliği elde ederiz. Yani her sayı böyle bir denklemin çözümüdür. Yani sonsuz sayıda çözüm vardır.

Cevap: Sonsuz sayıda çözüm.

İki tam formun eşitliği durumu.

balta+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Cevap: x=(d-b):(a-c), Eğer d≠b ve a≠c Aksi takdirde sonsuz sayıda çözüm vardır, ancak eğer a=c, A d≠b, o zaman hiçbir çözüm yoktur.