Sıradan kesirler nasıl çözülür? Kesirler, kesirlerle işlemler

) ve payda payda (çarpımın paydasını alıyoruz).

Kesirleri çarpma formülü:

Örneğin:

Pay ve paydaları çarpmaya başlamadan önce kesrin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir. Kesri azaltabilirseniz daha ileri hesaplamalar yapmanız daha kolay olacaktır.

Ortak bir kesri bir kesire bölmek.

Doğal sayılarla kesirleri bölme.

Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplama durumunda olduğu gibi, tamsayıyı paydası bir olan kesire dönüştürüyoruz. Örneğin:

Karışık kesirlerin çarpılması.

Kesirleri çarpma kuralları (karışık):

• karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek;
• kesirlerin pay ve paydalarının çarpılması;
• fraksiyonu azaltın;
• Eğer uygunsuz bir kesir elde ederseniz, yanlış kesri karışık kesire dönüştürürüz.

Not!Çarpmak karışık fraksiyon başka bir karışık kesir için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine dönüştürmeniz ve ardından bunları sıradan kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmanın ikinci yolu.

Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmanın ikinci yöntemini kullanmak daha uygun olabilir.

Not! Bir kesri çarpmak için doğal sayı Kesrin paydasını bu sayıya bölmek ve payı değiştirmeden bırakmak gerekir.

Yukarıda verilen örnekten, bir kesrin paydasının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi durumunda bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.

Çok öykülü kesirler.

Lisede üç katlı (veya daha fazla) kesirlere sıklıkla rastlanır. Örnek:

Böyle bir kesri normal şekline getirmek için 2 noktaya bölmeyi kullanın:

Not! Kesirlerde bölme işleminde bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanızın karışması kolaydır.

Not, Örneğin:

Birini herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesir olacaktır, yalnızca ters çevrilmiştir:

Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:

1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Zihinsel hesaplamalarda kaybolmaktansa taslağınıza fazladan birkaç satır yazmak daha iyidir.

2. Farklı kesir türlerine sahip görevlerde sıradan kesir türlerine gidin.

3. Tüm kesirleri azaltmak artık mümkün olmayana kadar azaltıyoruz.

4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 noktaya bölme yöntemini kullanarak sıradan ifadelere dönüştürüyoruz.

5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.

Ders içeriği

Paydaları benzer olan kesirleri toplama

İki tür kesir toplama işlemi vardır:

1. Paydaları benzer olan kesirleri toplama
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması

Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerin toplamasını öğrenelim. Burada her şey basit. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Örneğin kesirleri toplayalım ve . Payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya pizza eklerseniz pizza elde edersiniz:

Örnek 2. Kesirleri ekleyin ve .

Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Görevin sonu geldiğinde uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Uygunsuz bir kesirden kurtulmak için onun tamamını seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda Bütün parça kolayca göze çarpıyor - iki bölü ikiye eşittir bir:

İki parçaya bölünen bir pizzayı hatırlarsak bu örneği daha kolay anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz bir bütün pizza elde edersiniz:

Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .

Yine payları topluyoruz ve paydayı değiştirmeden bırakıyoruz:

Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz pizza alırsınız:

Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza ekleyip daha fazla pizza eklerseniz 1 tam pizza ve bir pizza daha alırsınız.

Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirleri toplamanın karmaşık bir tarafı yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

1. Paydası aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplamanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;

Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması

Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri nasıl toplayacağımızı öğrenelim. Kesirleri eklerken kesirlerin paydalarının aynı olması gerekir. Ancak her zaman aynı değildirler.

Örneğin kesirler aynı paydalara sahip oldukları için toplanabilir.

Ancak kesirler hemen eklenemez çünkü bu kesirler farklı paydalar. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.

Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Diğer yöntemler yeni başlayanlar için karmaşık görünebileceğinden bugün bunlardan yalnızca birine bakacağız.

Bu yöntemin özü, öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sinin aranmasıdır. LCM daha sonra ilk ek faktörü elde etmek için ilk kesrin paydasına bölünür. İkinci kesir için de aynısını yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci bir ek faktör elde edilir.

Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek faktörlerle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz.

örnek 1. Kesirleri toplayalım ve

Öncelikle her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 2'dir. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.

LCM (2 ve 3) = 6

Şimdi kesirlere dönelim ve . Öncelikle LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün ve ilk ek faktörü elde edin. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.

Ortaya çıkan 2 sayısı ilk ek çarpandır. Bunu ilk kesire yazıyoruz. Bunu yapmak için kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çizin ve üzerinde bulunan ek çarpanı yazın:

Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına böleriz ve ikinci ek faktörü elde ederiz. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.

Ortaya çıkan 3 sayısı ikinci ek çarpandır. Bunu ikinci kesire yazıyoruz. Yine ikinci kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çiziyoruz ve onun üzerinde bulunan ek çarpanı yazıyoruz:

Artık eklemeye hazır her şeyimiz var. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Geldiğimiz noktaya dikkatlice bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:

Bu örneği tamamlıyor. Eklemek ortaya çıkıyor.

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir tam pizza ve altıda bir pizza daha alırsınız:

Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri ve . Bu iki fraksiyon aynı pizza parçalarıyla temsil edilecek. Tek fark bu sefer eşit paylara bölünecek (aynı paydaya indirgenecek).

İlk çizim bir kesri (altıda dört parça), ikinci çizim ise bir kesri (altıda üç parça) temsil etmektedir. Bu parçaları ekleyerek (altıdan yedi parça) elde ederiz. Bu kısım uygunsuz olduğundan tamamını vurguladık. Sonuç olarak (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza) elde ettik.

Lütfen bu örneği çok ayrıntılı olarak anlattığımızı unutmayın. İÇİNDE Eğitim Kurumları Bu kadar ayrıntılı yazmak alışılmış bir şey değil. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulmanız ve ayrıca bulunan ek faktörleri paylarınız ve paydalarınızla hızlı bir şekilde çarpmanız gerekir. Eğer okulda olsaydık bu örneği şu şekilde yazmamız gerekirdi:

Ama aynı zamanda var arka taraf madalyalar. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında detaylı notlar almazsanız bu tür sorular ortaya çıkmaya başlar. “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden bir anda bambaşka kesirlere dönüşüyor? «.

Farklı paydalara sahip kesirleri toplamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:

1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
2. LCM'yi her fraksiyonun paydasına bölün ve her fraksiyon için ek bir faktör elde edin;
3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın;
4. Paydaları aynı olan kesirleri ekleyin;
5. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısmını seçin;

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun .

Yukarıda verilen talimatları kullanalım.

Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun

Her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır

Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir faktör elde edin

LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek faktör olan 6'yı elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası da 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İkinci ek faktör 4'ü elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek faktör 3'ü elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:

Adım 3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın

Pay ve paydaları ek faktörleriyle çarpıyoruz:

Adım 4. Paydaları aynı olan kesirleri toplayın

Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı (ortak) olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Geriye kalan tek şey bu kesirleri eklemek. Üzerine eklemek:

Ekleme tek satıra sığmadığı için kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Buna matematikte izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) konulması gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.

Adım 5. Cevabın hatalı bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, cevabın tamamını seçin

Cevabımızda uygunsuz bir kesir var. Bir kısmını tam olarak vurgulamamız gerekiyor. Şunları vurguluyoruz:

Bir cevap aldık

Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma

Kesirlerde iki tür çıkarma işlemi vardır:

1. Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
2. Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma

Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmayı öğrenelim. Burada her şey basit. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız, ancak paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Örneğin ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Bunu yapalım:

Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:

Örnek 2.İfadenin değerini bulun.

Yine birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. İlk kesirin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:

Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirlerde çıkarma işleminde karmaşık bir şey yoktur. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

1. Bir kesirden bir başkasını çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
2. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, o zaman onun tamamını vurgulamanız gerekir.

Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma

Örneğin, kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesirden bir kesir çıkarabilirsiniz. Ancak bir kesirden kesir çıkaramazsınız çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.

Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibin aynısını kullanarak bulunur. Öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, ilk kesrin paydasına bölünür ve ilk kesrin üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci kesrin üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.

Daha sonra kesirler ek katsayılarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz.

Örnek 1.İfadenin anlamını bulun:

Bu kesirlerin paydaları farklı olduğundan onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.

İlk önce her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 4 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.

LCM (3 ve 4) = 12

Şimdi kesirlere dönelim ve

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üstüne bir dört yazın:

Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine bir üç yazın:

Artık çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:

Bir cevap aldık

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Pizzayı pizzadan keserseniz pizza alırsınız

Bu, çözümün ayrıntılı versiyonudur. Okulda olsaydık bu örneği daha kısa çözmek zorunda kalırdık. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:

Kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri elde ettik. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer eşit paylara bölünecekler (aynı paydaya indirgenmiş):

İlk resim bir kesiri (on ikiden sekizi) gösterirken, ikinci resim bir kesiri (on ikiden üçü) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça kestiğimizde on iki parçadan beş parça elde ediyoruz. Kesir bu beş parçayı tanımlamaktadır.

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu nedenle önce onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.

Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulalım.

Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için LCM'yi her kesrin paydasına bölün.

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölerek ilk ek çarpan 3'ü elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölerek ikinci ek faktör 10'u elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üzerine yazıyoruz:

Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e bölerek üçüncü ek faktör 6'yı elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:

Artık her şey çıkarma işlemine hazır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.

Örneğin devamı tek satıra sığmayacağından devamını bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:

Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı ve her şey bize uygun görünüyor, ancak bu çok hantal ve çirkin. Bunu daha basit hale getirmeliyiz. Ne yapılabilir? Bu kısmı kısaltabilirsiniz.

Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarının (GCD) ile bölmeniz gerekir.

Böylece 20 ve 30 sayılarının gcd'sini buluyoruz:

Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan gcd'ye yani 10'a bölüyoruz.

Bir cevap aldık

Bir kesri bir sayıyla çarpmak

Bir kesri bir sayıyla çarpmak için verilen kesrin payını o sayıyla çarpmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

örnek 1. Bir kesri 1 sayısıyla çarpın.

Kesrin payını 1 sayısıyla çarpın

Kayıt yarım 1 kez sürüyormuş gibi anlaşılabilir. Örneğin, bir kez pizza yerseniz pizza alırsınız

Çarpma yasalarından biliyoruz ki, çarpan ve çarpan yer değiştirirse çarpım değişmeyecektir. İfade olarak yazılırsa çarpım yine eşit olacaktır. Bir tam sayı ile bir kesri çarpma kuralı yine işe yarar:

Bu notasyon birin yarısını almak şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 1 tam pizza varsa ve yarısını alırsak pizza elde ederiz:

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Kesrin payını 4 ile çarpın

Cevap uygunsuz bir kesirdi. Bütün kısmı vurgulayalım:

İfadeden iki çeyreğin 4 kere alınması şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 4 pizza alırsanız 2 tam pizza alırsınız.

Çarpmayı ve çarpanı değiştirirsek, ifadesini elde ederiz. Bu da 2'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi dört tam pizzadan iki pizzanın alınması şeklinde de anlayabiliriz:

Kesirlerin Çarpılması

Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, onun tamamını vurgulamanız gerekir.

Örnek 1.İfadenin değerini bulun.

Bir cevap aldık. Bu oranın azaltılması tavsiye edilir. Kesir 2 oranında azaltılabilir. Daha sonra nihai çözüm aşağıdaki formu alacaktır:

İfade yarım pizzadan pizza almak şeklinde anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? Öncelikle bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:

Ve bu üç parçadan ikisini alın:

Pizza yapacağız. Üç parçaya bölündüğünde pizzanın nasıl göründüğünü unutmayın:

Bu pizzanın bir parçası ile aldığımız iki parça aynı boyutlara sahip olacak:

Başka bir deyişle, Hakkında konuşuyoruz yaklaşık aynı büyüklükte pizza. Bu nedenle ifadenin değeri

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:

Cevap uygunsuz bir kesirdi. Bütün kısmı vurgulayalım:

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun

Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:

Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı, ancak kısaltılması iyi olurdu. Bu kesri azaltmak için bu kesrin payını ve paydasını en büyüğüne bölmeniz gerekir. ortak bölen(GCD) 105 ve 450 numaraları.

O halde 105 ve 450 sayılarının gcd'sini bulalım:

Şimdi cevabımızın payını ve paydasını şimdi bulduğumuz gcd'ye, yani 15'e bölüyoruz.

Bir tam sayıyı kesir olarak gösterme

Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin 5 sayısı şu şekilde gösterilebilir. Bu beşin anlamını değiştirmez çünkü ifade “beş sayısının bire bölümü” anlamına gelir ve bu da bildiğimiz gibi beşe eşittir:

Karşılıklı sayılar

Şimdi çok tanışacağız ilginç konu Matematikte. Buna "ters sayılar" denir.

Tanım. Numaraya geri dönA ile çarpıldığında bir sayıdırA bir tane verir.

Bu tanımda değişken yerine yerine koyalım A 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:

Numaraya geri dön 5 ile çarpıldığında bir sayıdır 5 bir tane verir.

5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulunabilir mi? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Beşi kesir olarak düşünelim:

Daha sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Yani kesri kendisiyle ancak tersten çarpalım:

Bunun sonucunda ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek şunu elde ederiz:

Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5'i çarptığınızda bir elde edersiniz.

Bir sayının tersi herhangi bir tam sayı için de bulunabilir.

Ayrıca herhangi bir kesrin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmeniz yeterlidir.

Bir kesri bir sayıya bölmek

Diyelim ki yarım pizzamız var:

İkiye eşit olarak paylaştıralım. Kişi başına ne kadar pizza verilecek?

Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülüyor. Böylece herkes pizza alır.

Kesirlerin bölünmesi karşılıklı işlemler kullanılarak yapılır. Karşılıklı sayılar, bölmeyi çarpmayla değiştirmenize olanak tanır.

Bir kesri bir sayıya bölmek için kesri bölenin tersiyle çarpmanız gerekir.

Bu kuralı kullanarak pizzamızın yarısının ikiye bölünmesini yazacağız.

Yani kesri 2 sayısına bölmeniz gerekiyor. Burada temettü kesirdir ve bölen ise 2 sayısıdır.

Bir kesri 2 sayısına bölmek için bu kesri bölen 2'nin tersi ile çarpmanız gerekir. Bölen 2'nin tersi kesirdir. Yani şununla çarpmanız gerekiyor:

Talimatlar

Ortak bir paydaya indirgeme.

a/b ve c/d kesirleri verilsin.

Birinci kesrin payı ve paydası LCM/b ile çarpılır.

İkinci kesrin payı ve paydası LCM/d ile çarpılır

Şekilde bir örnek gösterilmektedir.

Kesirleri karşılaştırmak için bunları ortak bir paydaya eklemeniz ve ardından payları karşılaştırmanız gerekir. Örneğin, 3/4< 4/5, см. .

Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması.

İki sıradan kesirin toplamını bulmak için, bunların ortak bir paydaya getirilmesi, ardından payların eklenmesi ve paydanın değişmeden bırakılması gerekir. Şekilde 1/2 ve 1/3 kesirlerinin eklenmesine bir örnek gösterilmektedir.

Kesirlerin farkı da benzer şekilde bulunur; ortak paydayı bulduktan sonra kesirlerin payları çıkarılır, şekle bakın.

Adi kesirlerle çarpılırken pay ve paydalar birlikte çarpılır.

İki kesri bölmek için ikinci kesirin bir kesri gereklidir, yani. payını ve paydasını değiştirin ve ardından elde edilen kesirleri çarpın.

Konuyla ilgili video

Kaynaklar:

• bir örnek kullanarak kesirler 5. sınıf
• Temel kesir problemleri

Modül ifadesinin mutlak değerini temsil eder. Bir modülü belirtmek için düz parantezler kullanılır. İçlerinde bulunan değerler modülo olarak kabul edilir. Modülün çözümü, parantezlerin belirli kurallara göre açılması ve ifade değerleri kümesinin bulunmasından oluşur. Çoğu durumda modül, alt modüler ifadenin bir dizi pozitif ve pozitif sonuç alacağı şekilde genişletilir. negatif değerler sıfır değeri dahil. Modülün bu özelliklerine dayanarak orijinal ifadenin diğer denklemleri ve eşitsizlikleri derlenip çözülür.

Talimatlar

Orijinal denklemi ile yazın. Bunu yapmak için modülü açın. Her bir alt modüler ifadeyi göz önünde bulundurun. Modüler parantez içindeki ifadenin içerdiği bilinmeyen miktarların hangi değerinde sıfır olacağını belirleyin.

Bunu yapmak için alt modüler ifadeyi sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi bulun. Bulduğunuz değerleri yazın. Aynı şekilde verilen denklemde her bir modül için bilinmeyen değişkenin değerlerini belirleyiniz.

Bir sayı doğrusu çizin ve elde edilen değerleri üzerine çizin. Sıfır modülündeki değişkenin değerleri, modüler denklemin çözümünde kısıtlama görevi görecektir.

Orijinal denklemde, değişkenin değerleri sayı doğrusunda görüntülenenlere karşılık gelecek şekilde işareti değiştirerek modüler olanları genişletmeniz gerekir. Ortaya çıkan denklemi çözün. Değişkenin bulunan değerini modül tarafından belirtilen kısıtlamaya göre kontrol edin. Eğer çözüm koşulu sağlıyorsa doğrudur. Kısıtlamalara uymayan kökler atılmalıdır.

Benzer şekilde, işareti dikkate alarak orijinal ifadenin modüllerini genişletin ve elde edilen denklemin köklerini hesaplayın. Kısıt eşitsizliklerini karşılayan sonuçta ortaya çıkan tüm kökleri yazın.

Kesirli sayılar şu şekilde ifade edilebilir: farklı şekillerde miktarın kesin değeri. Tam sayılarla yapabildiğiniz matematik işlemlerinin aynısını kesirlerle de yapabilirsiniz: çıkarma, toplama, çarpma ve bölme. Karar vermeyi öğrenmek kesirler, onların bazı özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Bunlar türüne bağlıdır kesirler, bir tamsayı kısmının varlığı, ortak bir payda. Bazı Aritmetik işlemler yürütüldükten sonra sonucun kesirli kısmının azaltılmasını gerektirirler.

İhtiyacın olacak

• - hesap makinesi

Talimatlar

Rakamlara yakından bakın. Kesirler arasında ondalık sayılar ve düzensiz olanlar varsa, bazen önce ondalık sayılarla işlem yapmak ve sonra bunları düzensiz forma dönüştürmek daha uygundur. Çevirebilir misin kesirler Bu formda başlangıçta payda virgülden sonraki değer yazılıyor ve paydaya 10 yazılıyor. Gerekirse yukarıdaki ve alttaki sayıları bir bölene bölerek kesri azaltın. Tamsayı kısmı izole edilen kesirler, paydayla çarpılıp payın sonuca eklenmesiyle yanlış forma dönüştürülmelidir. Verilen değer yeni pay olacak kesirler. Başlangıçta yanlış olan bir parçanın tamamını seçmek için kesirler payını paydaya bölmeniz gerekir. Tüm sonuç itibaren yaz kesirler. Ve bölümün geri kalanı yeni pay, payda olacak kesirler değişmez. Tamsayı kısmı olan kesirler için, önce tamsayı, sonra kesirli kısım için ayrı ayrı işlem yapmak mümkündür. Örneğin, 1 2/3 ve 2 ¾'ün toplamı hesaplanabilir:
- Kesirleri yanlış forma dönüştürme:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Terimlerin ayrı ayrı tamsayı ve kesirli kısımlarının toplamı:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Çizginin altındaki değerler için, bulun ortak payda. Örneğin 5/9 ve 7/12 için ortak payda 36 olacaktır. Bunun için birincinin pay ve paydası kesirler 4 ile (28/36 elde edersiniz) ve ikincisini 3 ile (15/36 elde edersiniz) çarpmanız gerekir. Artık hesaplamaları gerçekleştirebilirsiniz.

Kesirlerin toplamını veya farkını hesaplayacaksanız öncelikle bulunan ortak paydayı çizginin altına yazın. Uygulamak gerekli eylemler payların arasına girin ve sonucu yeni satırın üstüne yazın kesirler. Böylece yeni pay, orijinal kesirlerin paylarının farkı veya toplamı olacaktır.

Kesirlerin çarpımını hesaplamak için kesirlerin paylarını çarpın ve sonucu son payın yerine yazın. kesirler. Paydalar için de aynısını yapın. Birini bölerken kesirler bir kesri diğerine yazın ve payını ikincinin paydasıyla çarpın. Bu durumda birincinin paydası kesirler buna göre ikinci payla çarpılır. Bu durumda bir tür devrim meydana gelir. kesirler(bölen). Son kesir, her iki kesrin pay ve paydalarının çarpılmasının sonucu olacaktır. Öğrenmek zor değil kesirler, “dört katlı” şeklinde yazılmış vaziyette kesirler. İkiyi ayırırsa kesirler, “:” ayırıcısını kullanarak bunları yeniden yazın ve normal bölme işlemine devam edin.

Nihai sonucu elde etmek için, pay ve paydayı mümkün olan en büyük tamsayıya bölerek elde edilen kesri azaltın. bu durumda. Bu durumda çizginin üstünde ve altında tam sayılar bulunmalıdır.

Not

Paydaları farklı olan kesirlerle aritmetik işlem yapmayın. Öyle bir sayı seçin ki, her kesrin payını ve paydasını onunla çarptığınızda her iki kesrin paydaları eşit olur.

Yararlı tavsiye

Kayıt yaparken kesirli sayılar Temettü satırın üstüne yazılır. Bu miktar kesrin payı olarak belirlenir. Kesrin böleni veya paydası satırın altına yazılır. Örneğin bir buçuk kilogram pirincin kesri şu şekilde yazılacaktır: 1 ½ kg pirinç. Bir kesrin paydası 10 ise bu kesre ondalık sayı denir. Bu durumda pay (temettü) tüm kısmın sağına virgülle ayrılarak yazılır: 1,5 kg pirinç. Hesaplama kolaylığı için böyle bir kesir her zaman yanlış biçimde yazılabilir: 1 2/10 kg patates. Basitleştirmek için pay ve payda değerlerini bir tamsayıya bölerek azaltabilirsiniz. Bu örnekte 2'ye bölebilirsiniz. Sonuç 1 1/5 kg patates olacaktır. Aritmetik işlem yapacağınız sayıların aynı formda sunulduğundan emin olun.

Talimatlar

“Ekle” menü öğesine bir kez tıklayın ve ardından “Sembol”ü seçin. Bu en çok biri basit yollar ekler kesirler metnin içine. Aşağıdakilerden oluşur. Hazır semboller seti şunları içerir: kesirler. Sayıları kural olarak küçüktür, ancak metinde 1/2 yerine ½ yazmanız gerekiyorsa, bu seçenek sizin için en uygun seçenek olacaktır. Ayrıca kesir karakterlerinin sayısı yazı tipine bağlı olabilir. Örneğin, Times New Roman yazı tipi için aynı Arial'a göre biraz daha az kesir vardır. Size en uygun olanı bulmak için yazı tiplerini değiştirin en iyi seçenek, basit ifadeler söz konusu olduğunda.

“Ekle” menü öğesine tıklayın ve “Nesne” alt öğesini seçin. Önünüzde eklenecek olası nesnelerin listesini içeren bir pencere görünecektir. Bunların arasından Microsoft Denklem 3.0'ı seçin. Bu uygulama yazmanıza yardımcı olacak kesirler. Ve sadece kesirler aynı zamanda çeşitli içeren karmaşık matematiksel ifadeler trigonometrik fonksiyonlar ve diğer unsurlar. Bu nesneye farenin sol tuşuyla çift tıklayın. Önünüzde birçok sembol içeren bir pencere açılacaktır.

Bir kesri yazdırmak için, payı ve paydası boş olan bir kesri temsil eden sembolü seçin. Farenin sol tuşuyla bir kez üzerine tıklayın. Şemanın kendisini açıklayan ek bir menü görünecektir. kesirler. Birkaç seçenek olabilir. Size en uygun olanı seçin ve farenin sol tuşuyla bir kez tıklayın.

Kesir hesaplayıcı Kesirlerle işlemleri hızlı bir şekilde hesaplamak için tasarlanan bu program, kesirleri kolayca toplamanıza, çarpmanıza, bölmenize veya çıkarmanıza yardımcı olacaktır.

Modern okul çocukları zaten 5. sınıfta kesirleri incelemeye başlıyor ve onlarla yapılan alıştırmalar her yıl daha karmaşık hale geliyor. Okulda öğrendiğimiz matematik terimleri ve nicelikler hayatta nadiren işimize yarayabilir. yetişkin hayatı. Ancak kesirler, logaritma ve kuvvetlerden farklı olarak günlük yaşamda (mesafe ölçme, eşyaları tartma vb.) oldukça sık görülür. Hesap makinemiz kesirlerle hızlı işlemler için tasarlanmıştır.

Öncelikle kesirlerin ne olduğunu ve ne olduğunu tanımlayalım. Kesirler bir sayının diğerine oranıdır; bir birimin tam sayıdaki kesirlerinden oluşan bir sayıdır.

Kesir türleri:

• Sıradan
• Ondalık
• Karışık

Örnek sıradan kesirler:

Üstteki değer pay, alttaki değer ise paydadır. Çizgi bize üstteki sayının alttaki sayıya bölünebileceğini gösterir. Bu yazı biçimi yerine tire yatay olduğunda farklı yazabilirsiniz. Örneğin eğimli bir çizgi koyabilirsiniz:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Ondalık Sayılar en popüler kesir türüdür. Virgülle ayrılmış bir tamsayı ve kesirli kısımdan oluşurlar.

Ondalık kesirlere örnek:

0,2 veya 6,71 veya 0,125

Bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur. Bu kesrin değerini bulmak için tam sayıyı ve kesri toplamanız gerekir.

Karışık kesirlere örnek:

Web sitemizdeki kesir hesaplayıcı, kesirlerle ilgili her türlü matematiksel işlemi çevrimiçi olarak hızlı bir şekilde gerçekleştirebilir:

• Ek
• Çıkarma
• Çarpma işlemi
• Bölüm

Hesaplamayı gerçekleştirmek için alanlara sayıları girmeniz ve bir eylem seçmeniz gerekir. Kesirler için pay ve paydayı doldurmanız gerekir; tam sayı yazılamayabilir (kesir sıradansa). "Eşit" butonuna tıklamayı unutmayın.

Hesap makinesinin yalnızca hazır bir cevap değil, kesirlerle bir örneği çözme sürecini anında sağlaması uygundur. Kullanabileceğiniz konuşlandırılmış çözüm sayesinde bu materyal okul problemlerini çözerken ve kapsanan materyale daha iyi hakim olmak için.

Örnek hesaplamayı yapmanız gerekir:

Göstergeleri form alanlarına girdikten sonra şunu elde ederiz:

Kendi hesaplamanızı yapmak için verileri forma girin.

Kesir hesaplayıcı

İki kesir girin:

		+ - * :

İlgili bölümler.

Kesirli eylemler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Peki kesirlerin ne olduğunu, kesir türlerini, dönüşümleri hatırladık. Gelelim asıl meseleye.

Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, her şey sıradan sayılarla aynı. Ekle, çıkar, çarp, böl.

Tüm bu eylemlerle ondalık kesirlerle çalışmanın tam sayılarla çalışmaktan hiçbir farkı yoktur. Aslında onların iyi tarafı da bu, ondalık sayılar. Tek şey virgülü doğru koymanız gerektiğidir.

Karışık sayılar Daha önce de söylediğim gibi çoğu eylem için pek faydası yoktur. Hala dönüştürülmeleri gerekiyor ortak kesirler.

Ancak eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacaklar. Ve çok daha önemlisi! Hatırlatmama izin ver: harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. gibi kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirlerle yapılan işlemler tüm cebirin temelini oluşturur. İşte bu nedenle burada tüm bu aritmetiği çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz.

Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması.

Herkes aynı paydalara sahip kesirleri toplayabilir (çıkarabilir) (gerçekten umuyorum!). Peki, tamamen unutkan olanlara şunu hatırlatayım: Toplama (çıkarma) işleminde payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:

Kısacası, Genel görünüm:

Paydalar farklıysa ne olur? Daha sonra, kesrin temel özelliğini kullanarak (işte yine kullanışlı oluyor!), paydaları aynı hale getiriyoruz! Örneğin:

Burada 2/5 kesirinden 4/10 kesirini yapmamız gerekiyordu. Paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10'un eşit olduğunu belirteyim. aynı kesir! Sadece 2/5'i bizim için sakıncalı, 4/10'u ise gerçekten sorun değil.

Bu arada, herhangi bir matematik problemini çözmenin özü budur. ne zaman biz rahatsız ifadeler yapıyoruz aynı şey, ancak çözmek için daha uygun.

Başka bir örnek:

Durum benzer. Burada 16 üzerinden 48 yapıyoruz. Basit çarpma ile 3'e kadar. Bunların hepsi açık. Ama şöyle bir şeyle karşılaştık:

Nasıl olunur? Yediden dokuzunu çıkarmak çok zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! Haydi dönüşelim Her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna “ortak bir paydaya indirgemek” denir:

Vay! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9'a aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaların çarpılmasıyla elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir!

Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerin ortak paydasını bulmanız ve her kesri aynı paydaya indirmeniz yeterlidir. Örneğin:

Peki ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024 elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam olarak bölünebileceğini tahmin etmek daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16'yı elde etmek kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya çevirelim, vb.

Bu arada, 1024'ü ortak payda olarak alırsanız her şey yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Ama hesaplar yüzünden herkes bu sonuca varamayacak...

Örneği kendiniz tamamlayın. Bir tür logaritma değil... 29/16 olmalı.

Yani kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) açıktır, umarım? Elbette ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ama bu zevk, alt sınıflarda dürüst çalışan ve hiçbir şeyi unutmayanlar için geçerlidir.

Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Burada yeni tırmık keşfedilecek evet...

Bu nedenle iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor:

Paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma işlemi! Bir kesrin ana özelliğinin belirttiği şey budur. Bu nedenle paydanın ilk kesirindeki X'e bir ekleyemiyorum. (iyi olur!). Ama paydaları çarparsanız her şeyin birlikte büyüdüğünü görürsünüz! Yani kesrin doğrusunu yazıyoruz, üstte bir boşluk bırakıyoruz, sonra ekliyoruz ve unutmamak için paydaların çarpımını aşağıya yazıyoruz:

Ve elbette sağ taraftaki hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Şimdi sağ taraftaki ortak paydaya baktığımızda şunu anlıyoruz: İlk kesirdeki x(x+1) paydasını elde etmek için bu kesrin payını ve paydasını (x+1) ile çarpmanız gerekir. . Ve ikinci kesirde - x'e. Bu ne olsun:

Not! İşte parantez! Bu, birçok insanın bastığı tırmıktır. Elbette parantez değil, onların yokluğu. Çarpma işlemi yaptığımız için parantezler görünüyor Tümü pay ve Tümü payda! Ve onların bireysel parçaları değil...

Sağ taraftaki payda payların toplamını yazıyoruz, her şey sayısal kesirlerde olduğu gibi, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açıyoruz yani. Her şeyi çoğaltıp benzerlerini veriyoruz. Paydalarda parantez açmaya veya herhangi bir şeyi çarpmaya gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi biri) ürün her zaman daha hoştur! Şunu elde ederiz:

Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor gibi görünse de pratiğe bağlıdır. Örnekleri çözdükten sonra alışın, her şey basitleşecek. Zamanında kesirlerde ustalaşanlar tüm bu işlemleri otomatik olarak tek sol eliyle yaparlar!

Ve bir not daha. Birçoğu kesirlerle akıllıca ilgilenir, ancak örneklere takılıp kalır. tüm sayılar. Mesela: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçayı nereye tutturmalı? Herhangi bir yere sabitlemenize gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil ama çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesirli olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda ise birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir vb. Harfler için de durum aynı. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, vb. Daha sonra bu kesirlerle tüm kurallara göre çalışıyoruz.

Kesirlerde toplama ve çıkarma bilgileri tazelendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüştürülmesi tekrarlandı. Ayrıca kontrole de gidebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?)

Hesaplamak:

Cevaplar (karışıklık içinde):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Kesirlerde çarpma/bölme - bir sonraki derste. Kesirlerle yapılan tüm işlemler için de görevler vardır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.