Yıldız haberleri
Çözmek için ortak kesirler örnekleri. Adi kesirlerle yapılan tüm işlemlere ilişkin problemler ve örnekler
Bu makale kesirlerle ilgili işlemleri incelemektedir. A ve B'nin sayılar, sayısal ifadeler veya değişkenli ifadeler olabildiği A B formundaki kesirlerin toplama, çıkarma, çarpma, bölme veya üs alma kuralları oluşturulacak ve gerekçelendirilecektir. Sonuç olarak, ayrıntılı açıklamaları olan çözüm örnekleri ele alınacaktır.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Genel sayısal kesirlerle işlem yapma kuralları
Sayısal kesirler Genel görünüm doğal sayıları veya sayısal ifadeleri içeren bir pay ve paydaya sahiptir. 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π gibi kesirleri dikkate alırsak, 2 0, 5 ln 3, o zaman pay ve paydanın yalnızca sayılara değil, aynı zamanda çeşitli türlerde ifadelere de sahip olabileceği açıktır.
Tanım 1
Eylemlerin gerçekleştirildiği kurallar vardır sıradan kesirler. Aynı zamanda genel kesirler için de uygundur:
- Paydaları benzer olan kesirleri çıkarırken yalnızca paylar eklenir ve payda aynı kalır, yani: a d ± c d = a ± c d, a, c ve d ≠ 0 değerleri bazı sayılar veya sayısal ifadelerdir.
- Farklı paydalara sahip bir kesir eklerken veya çıkarırken, onu ortak bir paydaya indirgemek ve ardından aynı üslerle elde edilen kesirleri eklemek veya çıkarmak gerekir. Kelimenin tam anlamıyla şöyle görünür: a b ± c d = a · p ± c · r s, burada a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 değerleri gerçek sayılar ve b · p = d · r = s. p = d ve r = b olduğunda a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
- Kesirleri çarparken işlem paylarla gerçekleştirilir, ardından paydalarla a b · c d = a · c b · d elde ederiz, burada a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 gerçek sayılar gibi davranır.
- Bir kesri bir kesire bölerken, birinciyi ikincinin tersiyle çarparız, yani pay ve paydayı değiştiririz: a b: c d = a b · d c.
Kuralların mantığı
Tanım 2Hesaplarken güvenmeniz gereken aşağıdaki matematiksel noktalar vardır:
- ondalık nokta bölme işareti anlamına gelir;
- bir sayıya bölme, onun karşılıklı değeriyle çarpma işlemi olarak kabul edilir;
- Gerçek sayılarla işlem özelliğinin uygulanması;
- Kesirlerin ve sayısal eşitsizliklerin temel özelliklerinin uygulanması.
Onların yardımıyla formda dönüşümler gerçekleştirebilirsiniz:
a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d
Örnekler
Önceki paragrafta kesirli işlemlerden bahsedilmişti. Bundan sonra kesirin basitleştirilmesi gerekiyor. Bu konu kesirlerin dönüştürülmesi paragrafında ayrıntılı olarak tartışılmıştır.
Öncelikle aynı paydaya sahip kesirlerde toplama ve çıkarma örneğine bakalım.
örnek 1
8 2, 7 ve 1 2, 7 kesirleri göz önüne alındığında, kurala göre payı eklemek ve paydayı yeniden yazmak gerekir.
Çözüm
Sonra 8 + 1 2, 7 formunun bir kesirini elde ederiz. Toplama işlemini yaptıktan sonra 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 formunun bir kesirini elde ederiz. Yani, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.
Cevap: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3
Başka bir çözüm daha var. Başlangıç olarak sıradan kesir formuna geçiyoruz, ardından sadeleştirme yapıyoruz. Şuna benziyor:
8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3
Örnek 2
1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1'den 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 formunun bir kısmını çıkaralım.
Eşit paydalar verildiğine göre, aynı paydaya sahip bir kesir hesaplıyoruz demektir. Bunu anlıyoruz
1 - 2 3 günlük 2 3 günlük 2 5 + 1 - 2 3 3 günlük 2 3 günlük 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 günlük 2 3 günlük 2 5 + 1
Kesirlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler vardır. farklı paydalar. Önemli bir nokta, azaltılmasıdır. ortak payda. Bu olmadan gerçekleştiremeyiz daha fazla eylemler kesirler ile.
Süreç belli belirsiz de olsa ortak bir paydaya indirgemeyi anımsatıyor. Yani en küçüğü için bir arama yapılır ortak bölen paydada, ardından eksik faktörler kesirlere eklenir.
Eklenen kesirlerin ortak çarpanları yoksa çarpımları bir olabilir.
Örnek 3
2 3 5 + 1 ve 1 2 kesirlerini toplama örneğine bakalım.
Çözüm
İÇİNDE bu durumda Ortak payda, paydaların çarpımıdır. O zaman 2 · 3 5 + 1'i elde ederiz. Daha sonra, ek faktörleri ayarlarken, ilk kesir için 2'ye, ikincisi için ise 3 5 + 1'e eşit oluruz. Çarpma işleminden sonra kesirler 4 2 · 3 5 + 1 formuna indirgenir. Genel kadro 1 2, 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 gibi görünecektir. Ortaya çıkan kesirli ifadeleri topluyoruz ve bunu elde ediyoruz
2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Cevap: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Genel kesirlerle uğraşırken genellikle en küçük ortak paydadan bahsetmeyiz. Payların çarpımını payda olarak almak kârsızdır. Öncelikle ürününden değer olarak daha düşük bir rakam olup olmadığını kontrol etmeniz gerekiyor.
Örnek 4
Çarpımları 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5'e eşit olan 1 6 · 2 1 5 ve 1 4 · 2 3 5 örneğini ele alalım. Daha sonra ortak payda olarak 12 · 2 3 5'i alıyoruz.
Genel kesirlerle çarpma örneklerine bakalım.
Örnek 5
Bunu yapmak için 2 + 1 6 ile 2 · 5 3 · 2 + 1'i çarpmanız gerekir.
Çözüm
Kurala uyarak payların çarpımını payda şeklinde yeniden yazıp yazmak gerekir. Bunu 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 olarak elde ederiz. Bir kesir çarpıldıktan sonra basitleştirmek için azaltmalar yapabilirsiniz. O halde 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.
Karşılıklı kesirle bölmeden çarpmaya geçiş kuralını kullanarak, verilen kesrin tersi olan bir kesir elde ederiz. Bunu yapmak için pay ve payda değiştirilir. Bir örneğe bakalım:
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10
Daha sonra ortaya çıkan kesri çarpmalı ve basitleştirmeleri gerekir. Gerekirse paydadaki irrasyonellikten kurtulun. Bunu anlıyoruz
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2
Cevap: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2
Bu paragraf, sayı veya sayısal ifade paydası 1'e eşit olan bir kesir olarak sunulabilirse, böyle bir kesirli eylem ayrı bir paragraf olarak kabul edilir. Örneğin, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 ifadesi, 3'ün kökünün başka bir 3 1 ifadesi ile değiştirilebileceğini gösterir. O zaman bu giriş 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 formunun iki kesirini çarpmak gibi görünecektir.
Değişken İçeren Kesirler Üzerinde İşlem Yapmak
İlk makalede tartışılan kurallar, değişken içeren kesirlerle yapılan işlemlere uygulanabilir. Paydalar aynı olduğunda çıkarma kuralını düşünün.
A, C ve D'nin (D sıfıra eşit değildir) herhangi bir ifade olabileceğini ve AD ± C D = A ± C D eşitliğinin izin verilen değer aralığına eşdeğer olduğunu kanıtlamak gerekir.
Bir dizi ODZ değişkeninin alınması gereklidir. O zaman A, C, D karşılık gelen değerleri a 0, c 0 ve almalıdır. gün 0. A D ± C D formunun değiştirilmesi a 0 d 0 ± c 0 d 0 biçiminde bir farkla sonuçlanır; burada toplama kuralını kullanarak a 0 ± c 0 d 0 biçiminde bir formül elde ederiz. A ± C D ifadesini değiştirirsek, a 0 ± c 0 d 0 formunun aynı kesirini elde ederiz. Buradan ODZ'yi karşılayan seçilen değerin, A ± C D ve AD ± C D'nin eşit kabul edildiği sonucuna varıyoruz.
Değişkenlerin herhangi bir değeri için bu ifadeler eşit olacaktır, yani bunlara aynı derecede eşit denir. Bu, bu ifadenin AD ± C D = A ± C D biçiminde kanıtlanabilir bir eşitlik olarak kabul edildiği anlamına gelir.
Değişkenlerle kesirleri toplama ve çıkarma örnekleri
Paydalar aynı olduğunda payları eklemeniz veya çıkarmanız yeterlidir. Bu kesir basitleştirilebilir. Bazen aynı derecede eşit olan kesirlerle çalışmanız gerekir, ancak bazı dönüşümlerin yapılması gerektiğinden ilk bakışta bu fark edilmez. Örneğin, x 2 3 x 1 3 + 1 ve x 1 3 + 1 2 veya 1 2 sin 2 α ve sin a cos a. Çoğu zaman, aynı paydaları görebilmek için orijinal ifadenin basitleştirilmesi gerekir.
Örnek 6
Hesaplayın: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .
Çözüm
- Hesaplamayı yapmak için paydası aynı olan kesirleri çıkarmanız gerekir. O zaman x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 sonucunu elde ederiz. Daha sonra braketleri döküm ile genişletebilirsiniz. benzer terimler. Şunu elde ederiz: x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
- Paydalar aynı olduğundan geriye kalan tek şey paydayı bırakarak payları eklemektir: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
Ekleme tamamlandı. Fraksiyonu azaltmanın mümkün olduğu görülebilir. Payı, toplamın karesi formülü kullanılarak katlanabilir, sonra (l g x + 2) 2 elde ederiz. kısaltılmış çarpma formüllerinden. O zaman bunu anlıyoruz
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x - Farklı paydalarla x - 1 x - 1 + x x + 1 formunun kesirleri verilmiştir. Dönüşümün ardından ekleme işlemine geçebilirsiniz.
İki yönlü bir çözüm düşünelim.
İlk yöntem, ilk kesrin paydasının kareler kullanılarak çarpanlara ayrılması ve ardından azaltılmasıdır. Formun bir kısmını alıyoruz
x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1
Yani x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .
Bu durumda paydadaki irrasyonellikten kurtulmak gerekir.
1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
İkinci yöntem ise ikinci kesrin pay ve paydasını x - 1 ifadesiyle çarpmaktır. Böylece mantıksızlıktan kurtulup aynı paydaya sahip kesirleri toplama işlemine geçiyoruz. Daha sonra
x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
Cevap: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .
Son örnekte ortak bir paydaya indirgenmenin kaçınılmaz olduğunu gördük. Bunu yapmak için kesirleri basitleştirmeniz gerekir. Toplama veya çıkarma yaparken, her zaman ortak bir payda aramanız gerekir; bu, paydalara eklenen ek faktörlerle paydaların çarpımına benzer.
Örnek 7
Kesirlerin değerlerini hesaplayın: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) 1 çünkü 2 x - x + 1 çünkü 2 x + 2 çünkü x x + x
Çözüm
- Payda herhangi bir karmaşık hesaplama gerektirmez, dolayısıyla bunların çarpımını 3 x 7 + 2 · 2 biçiminde seçmeniz, ardından ek faktör olarak ilk kesir için x 7 + 2 · 2'yi ve ikinci kesir için 3'ü seçmeniz gerekir. Çarpma sırasında, x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 formunun bir kesirini elde ederiz. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
- Paydaların bir çarpım şeklinde sunulduğu görülebilmektedir, bu da ilave dönüşümlere gerek olmadığı anlamına gelmektedir. Ortak paydanın x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 biçiminde bir çarpım olduğu kabul edilecektir. Dolayısıyla x 4
birinci kesire ek bir faktördür ve ln(x + 1)
ikinciye. Sonra çıkarırız ve şunu elde ederiz:
x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2x-4) - Bu örnek kesir paydalarıyla çalışırken anlamlıdır. Kareler farkı ve toplamın karesi için formüllerin uygulanması gerekir, çünkü bunlar 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) formundaki bir ifadeye geçmeyi mümkün kılacaktır. 2. Kesirlerin ortak bir paydaya indirgendiği görülebilir. Bunu elde ederiz çünkü cos x - x · cos x + x 2 .
O zaman bunu anlıyoruz
1 çünkü 2 x - x + 1 çünkü 2 x + 2 çünkü x x + x = = 1 çünkü x - x çünkü x + x + 1 çünkü x + x 2 = = çünkü x + x çünkü x - x çünkü x + x 2 + çünkü x - x çünkü x - x çünkü x + x 2 = = çünkü x + x + çünkü x - x çünkü x - x çünkü x + x 2 = 2 çünkü x çünkü x - x çünkü x + x 2
Cevap:
1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 çünkü 2 x - x + 1 çünkü 2 x + 2 · çünkü x · x + x = 2 · çünkü x çünkü x - x · çünkü x + x 2 .
Kesirleri değişkenlerle çarpma örnekleri
Kesirlerle çarpılırken pay payla, payda ise paydayla çarpılır. Daha sonra azaltma özelliğini uygulayabilirsiniz.
Örnek 8
x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 ve 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x kesirlerini çarpın.
Çözüm
Çarpma işleminin yapılması gerekiyor. Bunu anlıyoruz
x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 günah (2 x - x)
Hesaplamaların kolaylığı için 3 sayısı ilk sıraya taşınır ve kesri x 2 oranında azaltabilirsiniz, ardından formun bir ifadesini elde ederiz.
3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)
Cevap: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · günah (2 · x - x) .
Bölüm
Kesirlerin bölünmesi çarpma işlemine benzer, çünkü ilk kesir ikinci kesirle çarpılır. Örneğin x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 kesirini alıp 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x'e bölersek, o zaman şu şekilde yazılabilir:
x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , ardından x + 2 · x x formundaki bir çarpımla değiştirin 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)
Üs alma
Üslü genel kesirlerle işlemleri dikkate almaya devam edelim. Doğal üssü olan bir kuvvet varsa, bu durumda eylem eşit kesirlerin çarpımı olarak kabul edilir. Ancak derecelerin özelliklerine dayalı genel bir yaklaşımın kullanılması tavsiye edilir. C'nin tamamen sıfıra eşit olmadığı herhangi bir A ve C ifadesi ve ODZ üzerindeki herhangi bir gerçek r, A C r formundaki bir ifade için A C r = A r C r eşitliği geçerlidir. Sonuç, bir güce yükseltilmiş bir kesirdir. Örneğin şunları düşünün:
x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5
Kesirlerle işlem yapma prosedürü
Kesirlerle ilgili işlemler belirli kurallara göre yapılır. Uygulamada, bir ifadenin birden fazla kesir veya kesirli ifade içerebileceğini fark ederiz. Daha sonra tüm eylemleri gerçekleştirmek gerekir. sıkı düzen: bir kuvvete yükseltin, çarpın, bölün, ardından toplayın ve çıkarın. Parantez varsa ilk işlem onlarda gerçekleştirilir.
Örnek 9
1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x'i hesaplayın.
Çözüm
Paydamız aynı olduğu için 1 - x cos x ve 1 c o s x olur ama kurala göre çıkarma işlemi yapılamaz; önce parantez içindeki işlemler yapılır, sonra çarpma yapılır, sonra toplama yapılır. Sonra hesaplarken şunu elde ederiz
1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x
İfadeyi orijinal ifadeyle değiştirdiğimizde, 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x sonucunu elde ederiz. Kesirleri çarparken şunu elde ederiz: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Tüm değişiklikleri yaptıktan sonra 1 - x cos x - x + 1 cos x · x elde ederiz. Şimdi farklı paydalara sahip kesirlerle çalışmanız gerekiyor. Şunu elde ederiz:
x · 1 - x çünkü x · x - x + 1 çünkü x · x = x · 1 - x - 1 + x çünkü x · x = = x - x - x - 1 çünkü x · x = - x + 1 çünkü x x
Cevap: 1 - x çünkü x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 çünkü x · x .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Kimya, fizik ve hatta biyoloji gibi disiplinlerde de uygulaması görülen en önemli bilimlerden biri de matematiktir. Bu bilimi incelemek bazı zihinsel nitelikleri geliştirmenize ve konsantre olma yeteneğinizi geliştirmenize olanak tanır. Matematik dersinde özel önem verilmesi gereken konulardan biri de kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleridir. Birçok öğrenci ders çalışmayı zor buluyor. Belki makalemiz bu konunun daha iyi anlaşılmasına yardımcı olacaktır.
Paydaları aynı olan kesirler nasıl çıkarılır
Kesirler, çeşitli işlemleri gerçekleştirebileceğiniz aynı sayılardır. Tam sayılardan farkı paydanın varlığında yatmaktadır. Bu nedenle kesirlerle işlemler yaparken bazı özelliklerini ve kurallarını incelemeniz gerekir. En basit durum, paydaları aynı sayı olarak gösterilen sıradan kesirlerin çıkarılmasıdır. Basit bir kural biliyorsanız, bu eylemi gerçekleştirmek zor olmayacaktır:
- Bir kesirden bir saniye çıkarmak için, çıkarılan kesrin payını, azaltılan kesrin payından çıkarmak gerekir. Bu sayıyı farkın payına yazıp paydayı aynı bırakıyoruz: k/m - b/m = (k-b)/m.
Paydaları aynı olan kesirleri çıkarma örnekleri
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
“7” kesirinin payından, çıkarılacak kesirin “3” payını çıkarırsak “4” elde ederiz. Bu sayıyı cevabın payına yazıyoruz ve paydaya birinci ve ikinci kesirlerin paydalarındaki sayının aynısını - “19” koyuyoruz.
Aşağıdaki resimde birkaç benzer örnek daha gösterilmektedir.
Paydaları benzer olan kesirlerin çıkarıldığı daha karmaşık bir örneği ele alalım:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
“29” kesirinin payından, sonraki tüm kesirlerin paylarının sırayla çıkarılmasıyla azaltılır - “3”, “8”, “2”, “7”. Sonuç olarak cevabın payına yazdığımız “9” sonucunu elde ediyoruz ve paydaya da tüm bu kesirlerin paydalarındaki sayıyı - “47” yazıyoruz.
Paydaları aynı olan kesirleri toplama
Sıradan kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması aynı prensibi izler.
- Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için payları eklemeniz gerekir. Ortaya çıkan sayı, toplamın payıdır ve payda aynı kalacaktır: k/m + b/m = (k + b)/m.
Bir örnek kullanarak bunun neye benzediğini görelim:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Kesirin ilk teriminin payına - “1” - kesirin ikinci teriminin payına - “2” ekleyin. Sonuç - "3" - toplamın payına yazılır ve payda, kesirlerde mevcut olan "4" ile aynı kalır.
Paydaları farklı kesirler ve bunların çıkarılması
Paydası aynı olan kesirlerle işlemi daha önce düşünmüştük. Gördüğümüz gibi bilerek Basit kurallar, bu tür örnekleri çözmek oldukça kolaydır. Peki ya farklı paydalara sahip kesirlerle bir işlem yapmanız gerekiyorsa? Birçok ortaokul öğrencisinin kafası bu tür örneklerle karıştırılıyor. Ancak burada bile çözümün prensibini biliyorsanız örnekler artık sizin için zor olmayacaktır. Burada ayrıca bu tür kesirleri çözmenin imkansız olduğu bir kural var.
- 2/3 - paydada bir üç ve bir iki eksik:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 veya 7/(3 x 3) - paydada iki eksik:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 veya 5/(2 x 3) - paydada üç eksik:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - 18 sayısı 3x2x3'ten oluşur.
- 15 sayısı 5x3'ten oluşur.
- Ortak kat şu çarpanlar olacaktır: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 bölü 15. Ortaya çıkan “6” sayısı 3/15'in çarpanı olacaktır.
- 90 bölü 18. Ortaya çıkan “5” sayısı 4/18'in çarpanı olacaktır.
- Tamsayı kısmı olan tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün. Konuşuyorum basit kelimelerle, parçanın tamamını çıkarın. Bunu yapmak için, tamsayı kısmının sayısını kesrin paydasıyla çarpın ve elde edilen ürünü paya ekleyin. Bu işlemlerden sonra ortaya çıkan sayı bileşik kesrin payıdır. Payda değişmeden kalır.
- Paydaları farklı olan kesirler aynı paydaya indirilmelidir.
- Aynı paydalarla toplama veya çıkarma işlemi yapın.
- Uygunsuz bir kesir alırken tüm kısmı seçin.
Paydaları farklı olan kesirleri çıkarmak için bunların aynı en küçük paydaya indirgenmesi gerekir.
Bunun nasıl yapılacağı hakkında daha ayrıntılı olarak konuşacağız.
Kesirin özelliği
Birkaç kesiri aynı paydaya getirmek için, çözümde kesirin ana özelliğini kullanmanız gerekir: pay ve paydayı böldükten veya çarptıktan sonra aynı numara Verilen kesre eşit bir kesir elde edersiniz.
Yani örneğin 2/3 kesirinin “6”, “9”, “12” gibi paydaları olabilir, yani “3”ün katı olan herhangi bir sayı biçiminde olabilir. Pay ve paydayı “2” ile çarptığımızda 4/6 kesirini elde ederiz. Orijinal kesrin pay ve paydasını “3” ile çarptığımızda 6/9, benzer işlemi “4” sayısı ile yaparsak 8/12 elde ederiz. Bir eşitlik şu şekilde yazılabilir:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Birden fazla kesir aynı paydaya nasıl dönüştürülür?
Birden fazla kesri aynı paydaya nasıl indireceğimize bakalım. Örneğin aşağıdaki resimde gösterilen kesirleri ele alalım. Öncelikle hangi sayının hepsinin paydası olabileceğini belirlemeniz gerekir. İşleri kolaylaştırmak için mevcut paydaları çarpanlarına ayıralım.
1/2 kesirinin ve 2/3 kesirinin paydası çarpanlarına ayrılamaz. Payda 7/9'un iki çarpanı vardır: 7/9 = 7/(3 x 3), kesrin paydası 5/6 = 5/(2 x 3). Şimdi bu dört kesir için hangi faktörlerin en küçük olacağını belirlememiz gerekiyor. Birinci kesirin paydasında “2” sayısı bulunduğundan, tüm paydalarda bulunması gerektiği, 7/9 kesirinde ise iki üçlünün olması, yani her ikisinin de paydada bulunması gerektiği anlamına gelir. Yukarıdakileri dikkate alarak paydanın üç faktörden oluştuğunu belirleriz: 3, 2, 3 ve 3 x 2 x 3 = 18'e eşittir.
İlk kesri ele alalım - 1/2. Paydasında “2” var ama tek bir “3” yok ama iki olması lazım. Bunu yapmak için paydayı iki üçlüyle çarpıyoruz, ancak kesirin özelliğine göre payı iki üçlüyle çarpmamız gerekiyor:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Aynısını kalan kesirler için de yapıyoruz.
Hep birlikte şuna benziyor:
Paydaları farklı olan kesirler nasıl çıkarılır ve eklenir?
Yukarıda belirtildiği gibi, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak veya çıkarmak için, bunların aynı paydaya indirgenmesi ve ardından daha önce tartışılan aynı paydaya sahip kesirlerin çıkarılmasına yönelik kuralların kullanılması gerekir.
Örnek olarak şuna bakalım: 4/18 - 3/15.
18 ve 15 sayılarının katlarını bulma:
Payda bulunduktan sonra, her kesir için farklı olacak faktörü, yani sadece paydayı değil payı da çarpmanın gerekli olacağı sayıyı hesaplamak gerekir. Bunu yapmak için bulduğumuz sayıyı (ortak kat), ek faktörlerin belirlenmesi gereken kesrin paydasına bölün.
Çözümümüzün bir sonraki aşaması her kesri “90” paydasına indirgemektir.
Bunun nasıl yapılacağından daha önce bahsetmiştik. Bunun bir örnekte nasıl yazıldığını görelim:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Kesirlerin sayıları küçükse, aşağıdaki resimde gösterilen örnekte olduğu gibi ortak paydayı belirleyebilirsiniz.
Aynı şey farklı paydalara sahip olanlar için de geçerlidir.
Çıkarma ve tam sayı kısımlara sahip olma
Kesirlerin çıkarılması ve eklenmesi işlemlerini daha önce ayrıntılı olarak tartıştık. Ancak kesir varsa nasıl çıkarılacağı Bütün parça? Yine birkaç kural kullanalım:
Kesirleri tam parçalarla toplayıp çıkarmanın başka bir yolu daha var. Bunun için işlemler tam parçalarla ayrı ayrı, kesirli işlemler ayrı ayrı yapılır ve sonuçlar birlikte kaydedilir.
Verilen örnek paydaları aynı olan kesirlerden oluşmaktadır. Paydaların farklı olması durumunda aynı değere getirilmesi ve ardından örnekte gösterildiği gibi işlemlerin yapılması gerekir.
Tam Sayılardan Kesirleri Çıkarma
Kesirlerle yapılan diğer bir işlem türü ise kesirden çıkarma yapılması gerektiği durumdur. İlk bakışta böyle bir örneğin çözülmesi zor görünmektedir. Ancak burada her şey oldukça basit. Bunu çözmek için, tamsayıyı kesirlere ve çıkarılmış kesirdeki paydaya dönüştürmeniz gerekir. Daha sonra, aynı paydalarla çıkarma işlemine benzer bir çıkarma işlemi gerçekleştiriyoruz. Bir örnekte şöyle görünür:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Bu makalede sunulan kesirlerin çıkarılması (6. sınıf) daha fazlasını çözmenin temelidir karmaşık örnekler sonraki derslerde tartışılacaktır. Bu konunun bilgisi daha sonra fonksiyonları, türevleri vb. çözmek için kullanılır. Bu nedenle yukarıda tartışılan kesirlerle yapılan işlemleri anlamak ve anlamak çok önemlidir.
Kesirli eylemler. Bu yazımızda örneklere, her şeye detaylı bir şekilde açıklamalarla bakacağız. Sıradan kesirleri ele alacağız. Ondalık sayılara daha sonra bakacağız. Tamamını izlemenizi ve sırayla incelemenizi tavsiye ederim.
1. Kesirlerin toplamı, kesirlerin farkı.
Kural: Paydaları eşit olan kesirler eklenirken sonuç bir kesir olur - paydası aynı kalır ve payı şu şekilde olur: toplamına eşit kesirlerin payları.
Kural: Aynı paydalara sahip kesirler arasındaki farkı hesaplarken, bir kesir elde ederiz - payda aynı kalır ve ikincinin payı, ilk kesrin payından çıkarılır.
Paydaları eşit olan kesirlerin toplamı ve farkının biçimsel gösterimi:
Örnekler (1):
Sıradan kesirler verildiğinde her şeyin basit olduğu açıktır, peki ya karıştırılırsa? Karmaşık bir şey yok...
seçenek 1– bunları sıradan olanlara dönüştürebilir ve daha sonra hesaplayabilirsiniz.
seçenek 2– tamsayı ve kesirli kısımlarla ayrı ayrı “çalışabilirsiniz”.
Örnekler (2):
Daha fazla:
İki tam sayılı kesrin farkı verilirse ve birinci kesrin payı ikinci kesrin payından küçükse ne olur? Ayrıca iki şekilde hareket edebilirsiniz.
Örnekler (3):
*Adi kesirlere dönüştürüldü, fark hesaplandı, elde edilen bileşik kesir karışık kesire dönüştürüldü.
*Tamsayı ve kesirli parçalara ayırdık, üç elde ettik, sonra 3'ü 2 ve 1'in toplamı olarak, biri de 11/11 olarak sunduk, sonra 11/11 ile 7/11 arasındaki farkı bulup sonucu hesapladık. . Yukarıdaki dönüşümlerin anlamı, bir birimi alıp (seçmek) ve onu ihtiyacımız olan paydaya sahip bir kesir şeklinde sunmak, ardından bu kesirden bir başkasını çıkarabiliriz.
Başka bir örnek:
Sonuç: evrensel bir yaklaşım var - eşit paydalara sahip karışık kesirlerin toplamını (farkını) hesaplamak için, bunlar her zaman uygunsuz olanlara dönüştürülebilir ve ardından gerçekleştirilebilir. gerekli eylem. Bundan sonra sonuç bileşik kesir ise, bunu karışık kesire dönüştürüyoruz.
Yukarıda paydaları eşit olan kesirlerin örneklerine baktık. Paydalar farklıysa ne olur? Bu durumda kesirler aynı paydaya indirgenir ve belirtilen işlem gerçekleştirilir. Bir kesri değiştirmek (dönüştürmek) için kesrin temel özelliği kullanılır.
Basit örneklere bakalım:
Bu örneklerde, kesirlerden birinin paydaları eşit olacak şekilde nasıl dönüştürülebileceğini hemen görüyoruz.
Kesirleri aynı paydaya indirmenin yollarını belirlersek, buna adını vereceğiz. BİRİNCİ YÖNTEM.
Yani, bir kesri "değerlendirirken" hemen bu yaklaşımın işe yarayıp yaramayacağını bulmanız gerekir - büyük paydanın küçük olana bölünüp bölünemeyeceğini kontrol ederiz. Ve eğer bölünebilirse, o zaman bir dönüşüm gerçekleştiririz - pay ve paydayı çarparız, böylece her iki kesrin paydaları eşit olur.
Şimdi şu örneklere bakın:
Bu yaklaşım onlar için geçerli değildir. Kesirleri ortak paydaya indirmenin yolları da var;
İKİNCİ Yöntem.
Birinci kesrin payını ve paydasını ikincinin paydasıyla, ikinci kesrin payını ve paydasını birincinin paydasıyla çarpıyoruz:
*Aslında paydalar eşitlendiğinde kesirleri forma indirgemiş oluyoruz. Daha sonra, eşit paydalara sahip kesirleri toplama kuralını kullanıyoruz.
Örnek:
*Bu yöntem evrensel olarak adlandırılabilir ve her zaman işe yarar. Tek olumsuzluk, hesaplamalardan sonra daha da azaltılması gereken bir kesirle karşılaşabilmenizdir.
Bir örneğe bakalım:
Pay ve paydanın 5'e bölünebildiği görülebilir:
Yöntem ÜÇÜNCÜ.
Paydaların en küçük ortak katını (LCM) bulmanız gerekir. Bu ortak payda olacak. Bu nasıl bir sayı? Bu en az doğal sayı, sayıların her birine bölünebilen.
Bakın, işte iki sayı: 3 ve 4, onlara bölünebilen birçok sayı var - bunlar 12, 24, 36, ... Bunlardan en küçüğü 12. Veya 6 ve 15, 30'a bölünüyorlar, 60, 90 .... En küçüğü 30'dur. Soru şu: Bu en küçük ortak katı nasıl belirleyeceğiz?
Net bir algoritma var, ancak çoğu zaman bu, hesaplamalar yapılmadan hemen yapılabilir. Örneğin yukarıdaki örneklere göre (3 ve 4, 6 ve 15) herhangi bir algoritmaya gerek yok, büyük sayıları (4 ve 15) aldık, ikiye katladık ve bunların ikinci sayıya bölünebildiğini gördük, ancak sayı çiftleri bölünebilir. diğerleri olsun, örneğin 51 ve 119.
Algoritma. Birkaç sayının en küçük ortak katını belirlemek için şunları yapmalısınız:
- her sayıyı BASİT faktörlere ayırın
— BÜYÜK olanın ayrışmasını yazın
- diğer sayıların EKSİK faktörleriyle çarpın
Örneklere bakalım:
50 ve 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
ayrışmada Daha bir beş eksik
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 ve 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
Daha büyük bir sayının açılımında iki ve üç eksik
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
*İkinin en küçük ortak katı asal sayılar kendi ürünlerine eşit
Soru! İkinci yöntemi kullanabildiğinize ve sonuçta ortaya çıkan kesri basitçe azaltabildiğinize göre, en az ortak katı bulmak neden faydalıdır? Evet mümkündür, ancak her zaman uygun değildir. 48∙72 = 3456 ile çarparsanız 48 ve 72 sayılarının paydasına bakın. Daha küçük sayılarla çalışmanın daha keyifli olduğunu kabul edeceksiniz.
Örneklere bakalım:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
daha büyük bir sayının açılımında üçlü eksik
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Şimdi ilk yöntemi kullanalım:
*Hesaplamalardaki farka bakın, ilk durumda minimum sayıda var, ancak ikincisinde bir kağıt parçası üzerinde ayrı ayrı çalışmanız gerekiyor ve aldığınız kesirin bile azaltılması gerekiyor. LOC'yi bulmak işi önemli ölçüde basitleştirir.
Daha fazla örnek:
*İkinci örnekte açıkça görülüyor ki en küçük sayı 40 ve 60'a bölünebilen sayı 120'ye eşittir.
SONUÇ! GENEL BİLGİSAYAR ALGORİTMASI!
— tamsayı kısmı varsa kesirleri sıradan kesirlere indirgeriz.
- kesirleri ortak paydaya getiriyoruz (öncelikle bir paydanın diğerine bölünebilir olup olmadığına bakıyoruz; bölünebiliyorsa bu diğer kesrin payını ve paydasını çarpıyoruz; bölünemiyorsa diğer yöntemleri kullanarak hareket ediyoruz) yukarıda belirtilmiş).
- Paydaları eşit olan kesirler aldıktan sonra işlemler (toplama, çıkarma) gerçekleştiriyoruz.
- gerekirse sonucu azaltırız.
- gerekirse parçanın tamamını seçin.
2. Kesirlerin çarpımı.
Kural basit. Kesirleri çarparken pay ve paydaları çarpılır:
Örnekler:
Görev. Üsse 13 ton sebze getirildi. Patates ithal edilen sebzelerin ¾'ünü oluşturuyor. Üsse kaç kilo patates getirildi?
Parçayla bitirelim.
*Daha önce size bir kesrin ana özelliğine ilişkin resmi bir açıklamayı bir çarpım aracılığıyla vereceğime söz vermiştim, lütfen:
3. Kesirlerin bölünmesi.
Kesirleri bölmek onları çarpmak anlamına gelir. Burada bölen kesrin (bölünen kesir) ters çevrildiğini ve eylemin çarpma işlemine dönüştüğünü hatırlamak önemlidir:
Bu eylem dört katlı kesir şeklinde yazılabilir, çünkü “:” bölümünün kendisi de kesir olarak yazılabilir:
Örnekler:
Bu kadar! Sana iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.
) ve payda payda (çarpımın paydasını alıyoruz).
Kesirleri çarpma formülü:
Örneğin:
Pay ve paydaları çarpmaya başlamadan önce kesrin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir. Kesri azaltabilirseniz daha ileri hesaplamalar yapmanız daha kolay olacaktır.
Ortak bir kesri bir kesire bölmek.
Doğal sayılarla kesirleri bölme.
Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplama durumunda olduğu gibi, tamsayıyı paydası bir olan kesire dönüştürüyoruz. Örneğin:
Karışık kesirlerin çarpılması.
Kesirleri çarpma kuralları (karışık):
- karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek;
- kesirlerin pay ve paydalarının çarpılması;
- fraksiyonu azaltın;
- Eğer uygunsuz bir kesir elde ederseniz, yanlış kesri karışık kesire dönüştürürüz.
Not!Çarpmak karışık fraksiyon başka bir karışık kesir için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine dönüştürmeniz ve ardından bunları sıradan kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.
Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmanın ikinci yolu.
Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmanın ikinci yöntemini kullanmak daha uygun olabilir.
Not! Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için kesrin paydasını bu sayıya bölmeniz ve payı değiştirmemeniz gerekir.
Yukarıda verilen örnekten, bir kesrin paydasının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi durumunda bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.
Çok öykülü kesirler.
Lisede üç katlı (veya daha fazla) kesirlere sıklıkla rastlanır. Örnek:
Böyle bir kesri normal şekline getirmek için 2 noktaya bölmeyi kullanın:
Not! Kesirlerde bölme işleminde bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanızın karışması kolaydır.
Not, Örneğin:
Bir kesri herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesir olacaktır, yalnızca ters çevrilmiştir:
Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Zihinsel hesaplamalarda kaybolmaktansa taslağınıza fazladan birkaç satır yazmak daha iyidir.
2. Görevlerde farklı şekiller kesirler - sıradan kesirler biçimine gidin.
3. Tüm kesirleri azaltmak artık mümkün olmayana kadar azaltıyoruz.
4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 noktaya bölme yöntemini kullanarak sıradan ifadelere dönüştürüyoruz.
5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.
496. Bulmak X, Eğer:
497. 1) Bilinmeyen bir sayının 10 1/2'sini 3/10'una eklerseniz 13 1/2 elde edersiniz. Bilinmeyen numarayı bulun.
2) Bilinmeyen bir sayının 7/10'undan 10 1/2 çıkarırsanız 15 2/5 elde edersiniz. Bilinmeyen numarayı bulun.
498 *. Bilinmeyen bir sayının 3/4'ünden 10 çıkarıp çıkan farkı 5 ile çarparsanız 100 elde edersiniz. Sayıyı bulun.
499 *. Bilinmeyen bir sayıyı 2/3 oranında arttırırsanız 60 elde edersiniz. Bu kaç sayıdır?
500 *. Bilinmeyen sayıya aynı miktarı ve ayrıca 20 1/3'ü eklerseniz 105 2/5 elde edersiniz. Bilinmeyen numarayı bulun.
501. 1) Kare salkım ekiminde patates verimi hektar başına ortalama 150 cent, geleneksel ekimde ise bu miktarın 3/5'idir. Patatesler kare salma yöntemiyle ekilirse 15 hektarlık bir alandan ne kadar daha fazla patates hasat edilebilir?
2) Deneyimli bir işçi 1 saatte 18 parça, deneyimsiz bir işçi ise bu miktarın 2/3'ünü üretmiştir. Deneyimli bir işçi 7 saatlik bir günde kaç parça daha üretebilir?
502. 1) İçinde toplanan öncüler üç gün 56 kg farklı tohum. Birinci gün toplam miktarın 3/14'ü, ikinci gün bir buçuk katı, üçüncü gün ise geri kalan tahıl toplandı. Öncüler üçüncü günde kaç kilogram tohum topladılar?
2) Buğdayı öğütürken sonuç şuydu: Toplam buğday miktarının 4/5'i un, irmik - undan 40 kat daha az ve geri kalanı kepek. 3 ton buğday öğütüldüğünde ayrı ayrı ne kadar un, irmik ve kepek elde edildi?
503. 1) Üç garaj 460 arabayı barındırabilir. İlk garaja sığan araba sayısı ikinci garaja sığan araba sayısının 3/4'ü kadardır ve üçüncü garajda birincinin 1 1/2 katı araba vardır. Her garaja kaç araba sığar?
2) Üç atölyesi olan bir fabrikada 6.000 işçi çalışmaktadır. İkinci atölyede birinciye göre 1 1/2 kat daha az işçi vardır ve üçüncü atölyedeki işçi sayısı ikinci atölyedeki işçi sayısının 5/6'sıdır. Her atölyede kaç işçi var?
504. 1) Toplam gazyağının önce 2/5'i, sonra 1/3'ü gazyağı dolu bir tanktan döküldü ve ardından tankta 8 ton gazyağı kaldı. Başlangıçta depoda ne kadar gazyağı vardı?
2) Bisikletçiler üç gün boyunca yarıştı. İlk gün tüm yolculuğun 4/15'ini, ikinci gün 2/5'ini, üçüncü gün ise kalan 100 km'yi kat ettiler. Bisikletçiler üç günde ne kadar yol kat ettiler?
505. 1) Buzkıran üç gün boyunca buz alanında yolunu bulmaya çalıştı. İlk gün tüm mesafenin 1/2'sini, ikinci gün kalan mesafenin 3/5'ini, üçüncü gün ise kalan 24 km'yi yürüdü. Buzkıranın üç günde kat ettiği yolun uzunluğunu bulun.
2) Üç grup okul çocuğu köyü yeşillendirmek için ağaç dikti. Birinci müfreze tüm ağaçların 7/20'sini, ikinci müfreze kalan ağaçların 5/8'ini, üçüncü müfreze ise kalan 195 ağacı dikti. Üç takım toplamda kaç ağaç dikti?
506. 1) Bir biçerdöver bir tarladan buğdayı üç günde hasat etti. İlk gün parselin tüm alanının 5/18'inden, ikinci gün kalan alanın 7/13'ünden, üçüncü gün ise kalan 30 1/2 alandan hasat yapmıştır. hektar. Hektardan ortalama 20 kuruş buğday hasat edildi. Tüm bölgede ne kadar buğday hasat edildi?
2) Ralli katılımcıları ilk gün tüm parkurun 3/11'ini, ikinci gün kalan parkurun 7/20'sini, üçüncü gün yeni kalan parkurun 5/13'ünü, dördüncü gün ise kalan parkurun 5/13'ünü kat ettiler. 320 km. Mitingin güzergahı ne kadar?
507. 1) Araç ilk gün tüm mesafenin 3/8'ini, ikinci gün ilk gün kat ettiği mesafenin 15/17'sini, üçüncü gün ise kalan 200 km'yi kat etti. Bir araba 10 km boyunca 1 3/5 kg benzin tüketirse ne kadar benzin tüketilir?
2) Şehir dört bölgeden oluşmaktadır. Kentte yaşayanların 4/13'ü birinci bölgede, birinci ilçede yaşayanların 5/6'sı ikinci bölgede, birinci bölgede yaşayanların 4/11'i üçüncü bölgede; iki ilçe birleşiyor ve dördüncü ilçede 18 bin kişi yaşıyor. Bir kişi günde ortalama 500 gr tüketirse, şehrin tüm nüfusunun 3 gün için ne kadar ekmeğe ihtiyacı vardır?
508. 1) Turist tüm yolculuğunun ilk gününde 10/31'ini, ilk gün yürüdüğünün ikinci 9/10'unu, üçüncü gününde geri kalan kısmını, üçüncü gününde ise 12 yürümüştür. ikinci güne göre km daha fazla. Turist üç günün her birinde kaç kilometre yürüdü?
2) Araba A şehrinden B şehrine olan tüm yolu üç günde kat etmiştir. Araç ilk gün tüm mesafenin 7/20'sini, ikinci gün kalan mesafenin 8/13'ünü, üçüncü gün ise ilk güne göre 72 km daha az yol kat etti. A ve B şehirleri arasındaki mesafe ne kadardır?
509. 1) İcra Komitesi üç fabrikanın işçilerine arazi tahsis etti. Bahçe arazileri. Birinci tesise toplam parsel sayısının 9/25'i, ikinci tesise birinci için ayrılan parsel sayısının 5/9'u ve üçüncü tesise kalan parsellerin tahsisi yapılmıştır. İlk fabrikaya üçüncü fabrikadan 50 arsa daha az tahsis edilmişse, üç fabrikanın işçilerine toplam kaç arsa tahsis edilmiştir?
2) Uçak, kış işçilerinin vardiyasını üç gün içinde Moskova'dan kutup istasyonuna teslim etti. İlk gün tüm mesafenin 2/5'ini, ikinci gün ilk gün kat ettiği mesafenin 5/6'sını, üçüncü gün ise ikinci güne göre 500 km daha az uçtu. Uçak üç günde ne kadar uzağa uçtu?
510. 1) Fabrikanın üç atölyesi vardı. İlk atölyedeki işçi sayısı fabrikadaki tüm işçilerin 2/5'idir; ikinci atölyede birinciye göre 1 1/2 kat daha az işçi var ve üçüncü atölyede ikinciye göre 100 daha fazla işçi var. Fabrikada kaç işçi var?
2) Kolektif çiftlik, üç komşu köyün sakinlerini içermektedir. İlk köydeki ailelerin sayısı kollektif çiftlikteki tüm ailelerin 3/10'udur; ikinci köyde aile sayısı birinciye göre 1 1/2 kat daha fazladır ve üçüncü köyde aile sayısı ikinciye göre 420 daha azdır. Kollektif çiftlikte kaç aile var?
511. 1) Artel, hammadde stoğunun 1/3'ünü ilk haftada, geri kalanın ise 1/3'ünü ikinci haftada tüketti. İlk haftada hammadde tüketimi ikinci haftaya göre 3/5 ton daha fazlaysa artelde ne kadar hammadde kalır?
2) İthal kömürün 1/6'sı ilk ayda evin ısıtılması için, geri kalanının 3/8'i ikinci ayda harcandı. İkinci ayda ilk aya göre 1 3/4 daha fazla kömür kullanılırsa evi ısıtmak için ne kadar kömür kalır?
512. Kollektif çiftliğin toplam arazisinin 3/5'i tahıl ekimine ayrılmış, geri kalanın 13/36'sı sebze bahçesi ve mera, geri kalan arazi ise orman, kollektif çiftliğin ekili alanı ise 217 hektar daha fazla alan Ormanlarda tahıl ürünlerine ayrılan arazinin 1/3'ü çavdar, geri kalanı ise buğday ekilmektedir. Kolektif çiftlik kaç hektar araziye buğday, kaç hektar araziye çavdar ekti?
513. 1) Tramvay güzergahı 14 3/8 km uzunluğundadır. Tramvay bu rota boyunca 18 durak yapıyor ve durak başına ortalama 1 1/6 dakikaya kadar zaman harcıyor. Tramvayın tüm güzergah boyunca ortalama hızı saatte 12 1/2 km'dir. Bir tramvayın bir yolculuğu tamamlaması ne kadar sürer?
2) Otobüs güzergahı 16 km. Bu güzergah üzerinde otobüs her biri 3/4 dakikalık 36 durakta durmaktadır. ortalama olarak her biri. Ortalama otobüs hızı saatte 30 km'dir. Bir otobüs bir rotayı ne kadar sürer?
514*. 1) Saat şu anda 6. akşamlar. Günün geçmişten kalan kısmı nedir ve günün hangi kısmı kalmıştır?
2) Bir vapur iki şehir arasındaki mesafeyi akıntıyla 3 günde kat etmektedir. ve aynı mesafeyi 4 gün içinde geri dönüyoruz. Sallar bir şehirden diğerine kaç gün boyunca yüzecek?
515. 1) Uzunluğu 6 2/3 m, genişliği 5 1/4 m olan bir odanın zeminini döşemek için her bir levhanın uzunluğu 6 2/3 m ve genişliği 3/ ise kaç adet levha kullanılacaktır? Uzunluğun 80'i mi?
2) Mekan dikdörtgen şekil 45 1/2 m uzunluğa sahiptir ve genişliği uzunluğunun 5/13'üdür. Bu alan 4/5 m genişliğinde bir yol ile sınırlanmıştır. Yolun alanını bulunuz.
516. Ortalamayı bulun aritmetik sayılar:
517. 1) İki sayının aritmetik ortalaması 6 1/6'dır. Sayılardan biri 3 3/4'tür. Başka bir numara bul.
2) İki sayının aritmetik ortalaması 14 1/4'tür. Bu sayılardan biri 15 5/6'dır. Başka bir numara bul.
518. 1) Yük treni üç saat boyunca yoldaydı. İlk saatte 36 1/2 km, ikinci saatte 40 km ve üçüncü saatte 39 3/4 km yol kat etti. Trenin ortalama hızını bulunuz.
2) Araba ilk iki saatte 81 1/2 km, sonraki 2 1/2 saatte ise 95 km yol kat etti. Saatte ortalama kaç kilometre yürüdü?
519. 1) Traktör sürücüsü araziyi sürme işini üç günde tamamladı. İlk gün 12 1/2 hektar, ikinci gün 15 3/4 hektar ve üçüncü gün 14 1/2 hektar sürdü. Bir traktör sürücüsü günde ortalama kaç hektar araziyi sürüyordu?
2) Üç günlük turistik gezi yapan bir grup okul çocuğu, ilk gün 6 1/3 saat, ikinci gün 7 saat yollardaydı. ve üçüncü gün - 4 2/3 saat. Okul çocukları her gün ortalama kaç saat yolculuk yapıyorlardı?
520. 1) Evde üç aile yaşıyor. Birinci ailede daireyi aydınlatmak için 3, ikinci ailede 4, üçüncü ailede ise 5 ampul bulunmaktadır. Tüm lambalar aynı olsaydı ve toplam elektrik faturası (tüm ev için) 7 1/5 ruble olsaydı, her aile elektrik için ne kadar ödemelidir?
2) Üç ailenin yaşadığı bir apartman dairesinde bir cilacı yerleri cilalıyordu. İlk ailenin 36 1/2 metrekarelik yaşam alanı vardı. m, ikincisi 24 1/2 metrekaredir. m ve üçüncü - 43 metrekare. m.Tüm işler için 2 ruble ödendi. 08 kop. Her aile ne kadar ödedi?
521. 1) Açık Bahçe arsası Patatesler 50 çalıdan çalı başına 1 1/10 kg, 70 çalıdan çalı başına 4/5 kg, 80 çalıdan çalı başına 9/10 kg olacak şekilde toplandı. Her çalıdan ortalama kaç kilogram patates hasat ediliyor?
2) 300 hektarlık bir alandaki saha ekibi, 1 hektar başına 20 1/2 kental kışlık buğday, 1 hektar başına 80 hektardan 24 kental ve 20 hektardan - 28 1/2 kental kışlık buğday hasadı aldı. 1 ha. 1 hektarlık bir tugayın ortalama verimi nedir?
522. 1) İki sayının toplamı 7 1/2'dir. Bir sayı diğerinden 4 4/5 büyüktür. Bu sayıları bulun.
2) Tatar ve Kerç Boğazlarının genişliğini ifade eden sayıları toplarsak 11 7/10 km elde ederiz. Tatar Boğazı, Kerç Boğazı'ndan 3 1/10 km daha geniştir. Her bir boğazın genişliği ne kadardır?
523. 1) Üç sayının toplamı 35 2/3'tür. Birinci sayı ikinciden 5 1/3, üçüncüden 3 5/6 büyüktür. Bu sayıları bulun.
2) Adalar Yeni Dünya Sakhalin ve Severnaya Zemlya birlikte 196 7/10 bin metrekarelik bir alanı kaplıyor. km. Novaya Zemlya'nın alanı 44 1/10 bin metrekaredir. Severnaya Zemlya bölgesinden km daha büyük ve 5 1/5 bin metrekare. Sakhalin bölgesinden km daha büyük. Listelenen adaların her birinin alanı nedir?
524. 1) Daire üç odadan oluşmaktadır. İlk odanın alanı 24 3/8 m2'dir. m ve dairenin tüm alanının 13/36'sıdır. İkinci odanın alanı 8 1/8 metrekaredir. m üçüncünün alanından daha fazla. İkinci odanın alanı nedir?
2) Üç günlük bir yarışmanın ilk gününde bir bisikletçi, toplam seyahat süresinin 13/43'üne karşılık gelen 3 1/4 saat boyunca yoldaydı. İkinci gün üçüncü güne göre 1 1/2 saat daha fazla bisiklet sürdü. Bisikletçi yarışmanın ikinci gününde kaç saat yol kat etti?
525. Üç parça demirin toplam ağırlığı 17 1/4 kg'dır. İlk parçanın ağırlığı 1 1/2 kg, ikinci parçanın ağırlığı 2 1/4 kg azaltılırsa üç parçanın ağırlığı da aynı olacaktır. Her bir demir parçasının ağırlığı ne kadardı?
526. 1) İki sayının toplamı 15 1/5'tir. Birinci sayı 3 1/10 azaltılır, ikinci sayı 3 1/10 artırılırsa bu sayılar eşit olur. Her sayı neye eşittir?
2) İki kutuda 38 1/4 kg tahıl vardı. Bir kutudan diğerine 4 3/4 kg mısır gevreği dökerseniz, her iki kutuda da eşit miktarda tahıl olacaktır. Her kutuda ne kadar mısır gevreği var?
527 . 1) İki sayının toplamı 17 17/30'dur. İlk sayıdan 5 1/2 çıkarıp ikinciye eklerseniz, birincisi yine ikinciden 2 17/30 büyük olacaktır. Her iki sayıyı da bulun.
2) İki kutuda 24 1/4 kg elma var. İlk kutudan ikinciye 3 1/2 kg aktarırsanız, ilk kutuda ikinciye göre hala 3/5 kg daha fazla elma olacaktır. Her kutuda kaç kilo elma var?
528 *. 1) İki sayının toplamı 8 11/14, farkları ise 2 3/7'dir. Bu sayıları bulun.
2) Tekne nehir boyunca saatte 15 1/2 km hızla ve akıntıya karşı saatte 8 1/4 km hızla hareket etti. Nehrin akış hızı nedir?
529. 1) İki garajda 110 araba var ve bunlardan birinde diğerinden 1 1/5 kat daha fazla var. Her garajda kaç araba var?
2) Yaşam alanı iki odadan oluşan bir daire 47 1/2 m2'ye eşittir. m.Bir odanın alanı diğerinin alanının 8/11'idir. Her odanın alanını bulun.
530. 1) Bakır ve gümüşten oluşan bir alaşımın ağırlığı 330 gramdır. Bu alaşımdaki bakırın ağırlığı, gümüşün ağırlığının 5/28'idir. Alaşımda ne kadar gümüş ve ne kadar bakır var?
2) İki sayının toplamı 6 3/4, bölümü ise 3 1/2'dir. Bu sayıları bulun.
531. Üç sayının toplamı 22 1/2'dir. İkinci sayı 3 1/2 katıdır ve üçüncüsü birincinin 2 1/4 katıdır. Bu sayıları bulun.
532. 1) İki sayının farkı 7'dir; büyük bir sayının küçük bir sayıya bölünmesi bölümü 5 2/3'tür. Bu sayıları bulun.
2) İki sayının farkı 29 3/8, kat oranları ise 8 5/6'dır. Bu sayıları bulun.
533. Bir sınıfta devamsız öğrenci sayısı mevcut öğrenci sayısının 3/13'üdür. Mevcut olanların sayısı, gelmeyenlerin sayısından 20 fazla olduğuna göre, listeye göre sınıfta kaç öğrenci vardır?
534. 1) İki sayı arasındaki fark 3 1/5'tir. Bir sayı diğerinin 5/7'sidir. Bu sayıları bulun.
2) Baba oğlumdan büyük 24 yıldır. Oğlunun yıllarının sayısı babanın yıllarının 5/13'üne eşittir. Baba kaç yaşında, oğul kaç yaşında?
535. Bir kesrin paydası payından 11 birim büyüktür. Paydası payın 3 3/4 katı olan bir kesrin değeri nedir?
536 - 537 sözlü olarak.
536. 1) Birinci sayı ikincinin 1/2'sidir. İkinci sayı birinciden kaç kat daha büyüktür?
2) Birinci sayı ikincinin 3/2'sidir. Birinci sayının hangi kısmı ikinci sayıdır?
537. 1) Birinci sayının 1/2'si ikinci sayının 1/3'üne eşittir. Birinci sayının hangi kısmı ikinci sayıdır?
2) Birinci sayının 2/3'ü ikinci sayının 3/4'üne eşittir. Birinci sayının hangi kısmı ikinci sayıdır? İkinci sayının hangi kısmı birincidir?
538. 1) İki sayının toplamı 16'dır. İkinci sayının 1/3'ü birincinin 1/5'ine eşitse bu sayıları bulun.
2) İki sayının toplamı 38'dir. Birinci sayının 2/3'ü ikinci sayının 3/5'ine eşitse bu sayıları bulun.
539 *. 1) İki çocuk birlikte 100 mantar topladı. Birinci çocuğun topladığı mantar sayısının 3/8'i sayısal olarak ikinci çocuğun topladığı mantar sayısının 1/4'üne eşittir. Her çocuk kaç tane mantar topladı?
2) Kurumda 27 kişi istihdam edilmektedir. Erkeklerin 2/5'i kadınların 3/5'ine eşit olduğuna göre kaç erkek çalışıyor ve kaç kadın çalışıyor?
540 *. Üç oğlan bir voleybol topu satın aldı. İlk çocuğun katkısının 1/2'sinin ikincinin katkısının 1/3'üne veya üçüncünün katkısının 1/4'üne eşit olduğunu ve üçüncünün katkısının 1/4 olduğunu bilerek her çocuğun katkısını belirleyin. oğlan birincinin katkısından 64 kopek fazla.
541 *. 1) Bir sayı diğerinden 6 fazladır Bir sayının 2/5'i diğerinin 2/3'üne eşitse bu sayıları bulun.
2) İki sayının farkı 35'tir. Birinci sayının 1/3'ü ikinci sayının 3/4'üne eşitse bu sayıları bulunuz.
542. 1) Birinci takım bir işi 36 günde, ikinci takım ise 45 günde tamamlayabilir. Her iki ekip birlikte çalışarak bu işi kaç günde tamamlar?
2) Bir yolcu treni iki şehir arasındaki mesafeyi 10 saatte, yük treni ise bu mesafeyi 15 saatte kat etmektedir. Her iki tren de bu şehirlerden birbirine doğru aynı anda ayrıldı. Kaç saat sonra buluşacaklar?
543. 1) Bir hızlı tren iki şehir arasındaki mesafeyi 6 1/4 saatte, yolcu treni ise 7 1/2 saatte kat etmektedir. Bu trenler her iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru yola çıkarsa kaç saat sonra buluşacak? (En yakın 1 saate kadar yuvarlak cevap.)
2) İki motosikletçi aynı anda iki şehirden birbirine doğru yola çıktı. Bir motosikletçi bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını 6 saatte, bir diğeri ise 5 saatte kat edebiliyor. Motosikletçiler yola çıktıktan kaç saat sonra buluşacak? (En yakın 1 saate kadar yuvarlak cevap.)
544. 1) Farklı taşıma kapasitesine sahip üç araç, ayrı ayrı çalışarak bir miktar kargo taşıyabilir: birincisi 10 saatte, ikincisi 12 saatte. üçüncüsü ise 15 saatte aynı kargoyu birlikte çalışarak kaç saatte taşıyabilirler?
2) İki tren aynı anda iki istasyondan birbirine doğru ayrılıyor: ilk tren bu istasyonlar arasındaki mesafeyi 12 1/2 saatte, ikincisi ise 18 3/4 saatte kat ediyor. Trenler kalkıştan kaç saat sonra buluşacak?
545. 1) Küvete iki musluk bağlanır. Bunlardan biri sayesinde banyo 12 dakikada, diğerinden ise 1 1/2 kat daha hızlı doldurulabilmektedir. Her iki musluk aynı anda açılırsa küvetin tamamının 5/6'sı kaç dakikada dolar?
2) İki daktilo metni yeniden yazmalıdır. İlk sürücü bu işi 3 1/3 günde, ikinci sürücü ise 1 1/2 kat daha hızlı tamamlayabilir. Her iki daktilo aynı anda çalışırlarsa işi kaç günde bitirirler?
546. 1) Havuz ilk boruyla 5 saatte dolar, ikinci boruyla 6 saatte boşaltılabilir. Her iki boru aynı anda açılırsa havuzun tamamı kaç saat sonra dolar?
Not: Havuz bir saatte (kapasitesinin 1/5 - 1/6'sı) kadar doldurulur.
2) İki traktör tarlayı 6 saatte sürdü. Tek başına çalışan birinci traktör bu tarlayı 15 saatte sürer. Tek başına çalışan ikinci traktör bu tarlayı kaç saatte sürer?
547 *. İki tren aynı anda iki istasyondan birbirlerine doğru hareket ediyor ve 18 saat sonra buluşuyor. serbest bırakılmasının ardından. İlk tren bu mesafeyi 1 gün 21 saatte kat ederse, ikinci trenin istasyonlar arasındaki mesafeyi kat etmesi ne kadar sürer?
548 *. Havuz iki boruyla doldurulmuştur. Önce birinci boruyu açtılar, ardından 3 3/4 saat sonra havuzun yarısı dolduğunda ikinci boruyu açtılar. 2 1/2 saat birlikte çalıştıktan sonra havuz doldu. İkinci borudan saatte 200 kova su dökülürse havuzun kapasitesini belirleyiniz.
549. 1) Bir kurye treni Leningrad'dan Moskova'ya doğru yola çıkıyor ve 1 km'yi 3/4 dakikada kat ediyor. Bu trenin Moskova'dan ayrılmasından 1/2 saat sonra, hızı ekspres trenin hızının 3/4'üne eşit olan hızlı bir tren Moskova'dan Leningrad'a doğru yola çıktı. Moskova ile Leningrad arasındaki mesafe 650 km ise, kurye treni kalktıktan 2 1/2 saat sonra trenler birbirinden ne kadar uzakta olacak?
2) Kolektif çiftlikten şehre 24 km. Bir kamyon kolektif çiftlikten ayrılıyor ve 2 1/2 dakikada 1 km yol alıyor. 15 dakika sonra. Bu araba şehri terk ettikten sonra bir bisikletçi, kamyonun hızının yarısı kadar bir hızla kolektif çiftliğe doğru yola çıktı. Bisikletçi ayrıldıktan ne kadar süre sonra kamyonla buluşacak?
550. 1) Bir köyden bir yaya çıktı. Yaya ayrıldıktan 4 1/2 saat sonra, hızı yayanın hızının 2 1/2 katı olan bir bisikletçi aynı yöne doğru ilerledi. Yaya ayrıldıktan kaç saat sonra bisikletçi ona yetişir?
2) Hızlı tren 3 saatte 187 1/2 km yol alır, yük treni ise 6 saatte 288 km yol alır. Yük treni hareket ettikten 7 1/4 saat sonra aynı yöne ambulans hareket ediyor. Hızlı trenin yük trenine yetişmesi ne kadar sürer?
551. 1) Bölge merkezine giden yolun geçtiği iki kollektif çiftlikten iki kollektif çiftçi aynı anda at sırtında ilçeye doğru yola çıktı. Bunlardan ilki saatte 8 3/4 km hızla gitti, ikincisi ise birincisinden 1 1/7 kat daha fazlaydı. İkinci kolektif çiftçi, 3 4/5 saat sonra ilkine yetişti. Kolektif çiftlikler arasındaki mesafeyi belirleyin.
2) Ortalama hızı saatte 60 km olan Moskova-Vladivostok treninin kalkışından 26 1/3 saat sonra TU-104 uçağı aynı yönde, hızının 14 1/6 katı hızla havalandı. trenin. Uçak trene kalkıştan kaç saat sonra yetişir?
552. 1) Nehir boyunca şehirler arası mesafe 264 km'dir. Vapur bu mesafeyi 18 saatte kat etti ve bu sürenin 1/12'sini durarak geçirdi. Nehrin hızı saatte 1 1/2 km'dir. Bir geminin durmadan 87 km yol alması ne kadar sürer? durgun su?
2) Sürat teknesi nehir boyunca 207 km'yi 13 1/2 saatte yürüdü ve bu sürenin 1/9'unu duraklarda geçirdi. Nehrin hızı saatte 1 3/4 km'dir. Bu tekne durgun suda 2 1/2 saatte kaç kilometre yol alabilir?
553. Tekne, rezervuar boyunca 52 km'lik mesafeyi hiç durmadan 3 saat 15 dakikada kat etti. Ayrıca saatte 1 3/4 km hızla akıntıya karşı nehir boyunca ilerleyen bu tekne, eşit süreli 3 durak yaparak 2 1/4 saatte 28 1/2 km yol kat etti. Tekne her durakta kaç dakika bekledi?
554. Öğlen 12'de Leningrad'dan Kronstadt'a. Vapur öğleden sonra yola çıktı ve bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını 1,5 saatte kat etti. Yolda, saat 12:18'de Kronstadt'tan Leningrad'a doğru yola çıkan başka bir gemiyle karşılaştı. ve ilkinin 1 1/4 katı hızda yürüyorum. İki gemi saat kaçta buluştu?
555. Trenin 14 saatte 630 kilometrelik yolu kat etmesi gerekiyordu. Bu mesafenin 2/3'ünü kat ederek 1 saat 10 dakika gözaltında tutuldu. Hedefine gecikmeden ulaşabilmek için yolculuğuna hangi hızla devam etmelidir?
556. Sabah 4.20'de. sabah bir yük treni Kiev'den Odessa'ya doğru yola çıktı. ortalama sürat Saatte 31 1/5 km. Bir süre sonra Odessa'dan, hızı bir yük treninin hızından 1 17/39 kat daha yüksek olan bir posta treni onunla buluşmak için çıktı ve kalkışından 6 1/2 saat sonra yük treniyle karşılaştı. Kiev ile Odessa arasındaki mesafe 663 km ise posta treni Odessa'dan saat kaçta ayrıldı?
557*. Saat öğleni gösteriyor. Akrep ve yelkovanın çakışması ne kadar sürer?
558. 1) Fabrikanın üç atölyesi var. İlk atölyedeki işçi sayısı fabrikadaki tüm işçilerin 9/20'sidir, ikinci atölyede birinciye göre 1 1/2 kat daha az işçi vardır ve üçüncü atölyede işçi sayısı 300 daha azdır. ikinci. Fabrikada kaç işçi var?
2) Şehirde üç ortaokul bulunmaktadır. İlk okuldaki öğrenci sayısı bu üç okuldaki tüm öğrencilerin 3/10'udur; ikinci okulda birinciye göre 1 1/2 kat daha fazla öğrenci var ve üçüncü okulda ikinciye göre 420 daha az öğrenci var. Üç okulda kaç öğrenci var?
559. 1) İki biçerdöver operatörü aynı bölgede çalışıyordu. Bir birleştirici tüm parselin 9/16'sını ve ikinci 3/8'ini hasat ettikten sonra, ilk birleştiricinin ikinciden 97 1/2 hektar daha fazla hasat yaptığı ortaya çıktı. Ortalama olarak hektar başına 32 1/2 kental tahıl harmanlanıyordu. Her bir operatör harmanı kaç santimetrelik tahılla harmanladı?
2) İki kardeş bir fotoğraf makinesi satın aldı. Birinde kamera maliyetinin 5/8'i, ikincisinde 4/7'si, ilkinde ise 2 ruble değerindeydi. 25 kopek ikincisinden daha fazla. Herkes cihazın maliyetinin yarısını ödedi. Herkesin ne kadar parası kaldı?
560. 1) Bir binek otomobil A şehrinden B şehrine doğru yola çıkıyor, aralarındaki mesafe 215 km ve saatte 50 km hızla gidiyor. Aynı zamanda B şehrinden A şehrine gitmek üzere ayrıldı. yük vagonu. Kamyonun saatteki hızı 18/25 ise, bir binek otomobil bir kamyonla karşılaşmadan önce kaç kilometre yol kat etmiştir? Yolcu aracı?
2) A ve B şehirleri arası 210 km. Bir binek otomobil A şehrinden B şehrine doğru yola çıktı. Aynı anda bir kamyon B şehrinden A şehrine doğru yola çıktı. Binek otomobil saatte 48 km hızla gidiyorsa ve kamyonun saatteki hızı binek otomobilin hızının 3/4'ü ise kamyon binek otomobille karşılaşmadan önce kaç kilometre yol kat etmiştir?
561. Kollektif çiftlikte buğday ve çavdar hasadı yapılıyordu. Çavdar yerine 20 hektar daha fazla buğday ekildi. Genel ücretÇavdar, hem buğday hem de çavdar için 1 hektar başına 20 cent verimle toplam buğday hasadının 5/6'sını oluşturuyordu. Kollektif çiftlik, buğday ve çavdar hasadının tamamının 7/11'ini devlete satmış, geri kalan tahılı ise ihtiyaçlarını karşılamaya bırakmıştı. Devlete satılan ekmeği taşımak için iki tonluk kamyonların kaç sefer yapması gerekiyordu?
562. Fırına çavdar ve buğday unu getirildi. Buğday ununun ağırlığı, çavdar ununun ağırlığının 3/5'i kadardı ve buğday unundan 4 ton daha fazla çavdar unu getirildi. Ne kadar buğday ve ne kadar Çavdar ekmeği Unlu mamuller toplam unun 2/5'ini oluşturuyorsa fırın bu undan mı pişirecek?
563. Üç gün içinde bir işçi ekibi, iki kollektif çiftlik arasındaki otoyolun onarımı çalışmalarının 3/4'ünü tamamladı. Bu otoyolun ilk gün 2 2/5 km'si, ikinci gün birinciye göre 1 1/2 kat daha fazla, üçüncü gün ise ilk iki günde toplam onarılanın 5/8'i onarıldı. Kolektif çiftlikler arasındaki otoyolun uzunluğunu bulun.
564. S dikdörtgenin alanı olmak üzere tablodaki boş alanları doldurun, A- dikdörtgenin tabanı, a H-dikdörtgenin yüksekliği (genişliği).
565. 1) Dikdörtgen şeklindeki bir arsanın uzunluğu 120 m, eni ise uzunluğunun 2/5'i kadardır. Sitenin çevresini ve alanını bulun.
2) Dikdörtgen kesitin genişliği 250 m, uzunluğu ise genişliğin 1 1/2 katıdır. Sitenin çevresini ve alanını bulun.
566. 1) Dikdörtgenin çevresi 6 1/2 inçtir, tabanı yüksekliğinden 1/4 inç daha büyüktür. Bu dikdörtgenin alanını bulun.
2) Dikdörtgenin çevresi 18 cm, yüksekliği tabandan 2 1/2 cm daha azdır. Dikdörtgenin alanını bulun.
567. Şekil 30'da gösterilen şekilleri dikdörtgenlere bölüp ölçü alarak dikdörtgenin boyutlarını bularak alanlarını hesaplayınız.
568. 1) Alçı levhanın boyutları 2 m x l 1/2 m ise, uzunluğu 4 1/2 m ve genişliği 4 m olan bir odanın tavanını kaplamak için kaç levha kuru sıva gerekecektir?
2) 4 1/2 m uzunluğunda ve 3 1/2 m genişliğinde bir zemini döşemek için 4 1/2 m uzunluğunda ve 1/4 m genişliğinde kaç tane tahtaya ihtiyaç vardır?
569. 1) 560 m uzunluğunda ve uzunluğunun 3/4'ü genişliğinde dikdörtgen bir parsele fasulye ekildi. 1 hektara 1 sent ekilirse arsaya ekmek için kaç tohum gerekliydi?
2) Dikdörtgen bir tarladan hektar başına 25 kental buğday hasadı toplandı. Tarlanın uzunluğu 800 m, genişliği ise uzunluğunun 3/8'i olduğuna göre tarlanın tamamından ne kadar buğday hasat edilmiştir?
570 . 1) 78 3/4 m uzunluğunda ve 56 4/5 m genişliğinde dikdörtgen bir arsa, alanının 4/5'i binalarla kaplanacak şekilde inşa edilmiştir. Binaların altındaki arazi alanını belirleyin.
2) Kolektif çiftlik, uzunluğu 9/20 km ve genişliği uzunluğunun 4/9'u olan dikdörtgen bir arsa üzerinde bir bahçe düzenlemeyi planlıyor. Her ağaç için ortalama 36 m2 alana ihtiyaç duyulursa bu bahçeye kaç ağaç dikilecektir?
571. 1) Odanın normal gün ışığıyla aydınlatılması için tüm pencerelerin alanının taban alanının en az 1/5'i olması gerekir. Uzunluğu 5 1/2 m ve genişliği 4 m olan bir odada yeterli ışık olup olmadığını belirleyin. Odanın 1 1/2 m x 2 m ölçülerinde bir penceresi var mı?
2) Önceki problemin durumunu kullanarak sınıfınızda yeterli ışık olup olmadığını bulun.
572. 1) Ahırın boyutları 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m'dir. Yüksekliğinin 3/4'ü kadar doldurulursa ve 1 cu'ysa bu ahıra ne kadar saman (ağırlıkça) sığar? . m samanın ağırlığı 82 kg mı?
2) Odun yığını, boyutları 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m olan dikdörtgen paralel yüzlü bir şekle sahiptir. 1 kübik ise odun yığınının ağırlığı nedir. m yakacak odun 600 kg ağırlığında mı?
573. 1) Dikdörtgen şeklinde bir akvaryum, yüksekliğinin 3/5'i kadar suyla doldurulur. Akvaryumun uzunluğu 1 1/2 m, genişliği 4/5 m, yüksekliği 3/4 m'dir. Akvaryuma kaç litre su dökülür?
2) Dikdörtgen paralel yüzlü bir havuz 6 1/2 m uzunluğunda, 4 m genişliğinde ve 2 m yüksekliğindedir. Havuz, yüksekliğinin 3/4'ü kadar suyla doludur. Havuza dökülen su miktarını hesaplayınız.
574. 75 m uzunluğunda ve 45 m genişliğinde dikdörtgen bir arazi parçasının etrafına çit yapılması gerekiyor. Tahtanın kalınlığı 2 1/2 cm ve çitin yüksekliği 2 1/4 m olması gerekiyorsa, yapımına kaç metreküp levha girmelidir?
575. 1) Dakikanın açısı nedir ve saat ibresi saat 13'te mi? saat 15'te mi? saat 17'de mi? saat 21'de mi? 23:30'da mı?
2) Akrep 2 saatte kaç derece dönecektir? saat 5? 08:00? 30 dk.?
3) Yarım daireye eşit bir yay kaç derece içerir? 1/4 daire mi? Bir dairenin 1/24'ü mü? 5/24 daire mi?
576. 1) Bir iletki kullanarak şunları çizin: a) bir dik açı; b) 30°'lik bir açı; c) 60°'lik bir açı; d) 150° açı; e) 55°'lik bir açı.
2) Bir açıölçer kullanarak şeklin açılarını ölçün ve her şeklin tüm açılarının toplamını bulun (Şek. 31).
577. Bu adımları takip et:
578. 1) Yarım daire, biri diğerinden 100° daha büyük olan iki yaya bölünmüştür. Her yayın boyutunu bulun.
2) Yarım daire, biri diğerinden 15° daha az olan iki yaya bölünmüştür. Her yayın boyutunu bulun.
3) Yarım daire, biri diğerinin iki katı büyüklüğünde iki yaya bölünmüştür. Her yayın boyutunu bulun.
4) Yarım daire, biri diğerinden 5 kat daha küçük olan iki yaya bölünmüştür. Her yayın boyutunu bulun.
579. 1) “SSCB'de Nüfus Okuryazarlığı” diyagramı (Şekil 32), nüfustaki yüz kişi başına okuryazar insan sayısını göstermektedir. Diyagramdaki verilere ve ölçeğe dayanarak, belirtilen yılların her biri için okuryazar kadın ve erkek sayısını belirleyin.
Sonuçları tabloya yazın:
2) “Uzaya Sovyet elçileri” (Şekil 33) şemasındaki verileri kullanarak görevler oluşturun.
580. 1) “Beşinci sınıf öğrencisi için günlük rutin” pasta grafiğine göre (Şekil 34), tabloyu doldurun ve şu soruları yanıtlayın: Günün hangi kısmı uykuya ayrılıyor? ödev için? okula?
2) Günlük rutininiz hakkında bir pasta grafiği oluşturun.
