Formun çağrıldığı bir fonksiyon ikinci dereceden fonksiyon.

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği – parabol.

Durumları ele alalım:

DURUMDA, KLASİK PARABOL

yani ,

Oluşturmak için x değerlerini formülde değiştirerek tabloyu doldurun:

Noktaları işaretleyin (0;0); (1;1); (-1;1), vb. koordinat düzleminde (x değerlerini attığımız adım ne kadar küçük olursa (içinde) bu durumda adım 1) ve ne kadar çok x değeri alırsak eğri o kadar düzgün olur), bir parabol elde ederiz:

Durumunu alırsak, yani eksene göre simetrik (oh) bir parabol elde ettiğimizi görmek kolaydır. Benzer bir tabloyu doldurarak bunu doğrulamak kolaydır:

II DURUMU, “a” BİRİMDEN FARKLIDIR

, , alırsak ne olur? Parabolün davranışı nasıl değişecek? Title =Rendered by QuickLaTeX.com)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

İlk resimde (yukarıya bakın), parabol tablosundaki (1;1), (-1;1) noktalarının (1;4), (1;-4) noktalarına dönüştürüldüğü açıkça görülmektedir. yani aynı değerlerle her noktanın ordinatı 4 ile çarpılır. Bu, orijinal tablonun tüm anahtar noktalarında geçerli olacaktır. Resim 2 ve 3'te de benzer şekilde mantık yürütüyoruz.

Ve parabol parabolden "genişlediğinde":

Özetleyelim:

1)Katsayının işareti dalların yönünü belirler. Title =Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlak değer katsayısı (modülü) parabolün “genişlemesinden” ve “sıkışmasından” sorumludur. Parabol ne kadar büyük olursa, parabol o kadar dar olur, |a| ne kadar küçük olursa parabol o kadar geniş olur.

III DURUM, “C” GÖRÜNÜYOR

Şimdi oyuna girelim (yani durumu düşünün), formun parabollerini ele alacağız. Parabolün işarete bağlı olarak eksen boyunca yukarı veya aşağı kayacağını tahmin etmek zor değildir (her zaman tabloya başvurabilirsiniz):

IV DURUM, “b” GÖRÜNÜYOR

Parabol ne zaman eksenden "kopacak" ve sonunda tüm koordinat düzlemi boyunca "yürüyecek"? Ne zaman eşit olmaktan çıkacak?

Burada bir parabol oluşturmak için ihtiyacımız olan şey tepe noktasını hesaplamak için formül: , .

Yani bu noktada ((0;0) noktasında olduğu gibi) yeni sistem koordinatlar) zaten yapabileceğimiz bir parabol oluşturacağız. Eğer durumla ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, bir yukarıya koyarız - ortaya çıkan nokta bizimdir (benzer şekilde sola bir adım, bir adım yukarı bizim noktamızdır); örneğin ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, iki yukarıya vb. koyarız.

Örneğin bir parabolün tepe noktası:

Şimdi anlaşılması gereken asıl şey, bu tepe noktasında parabol düzenine göre bir parabol oluşturacağımızdır, çünkü bizim durumumuzda.

Bir parabol oluştururken tepe noktasının koordinatlarını bulduktan sonraAşağıdaki noktaları dikkate almak uygundur:

1) parabol kesinlikle noktadan geçecektir . Gerçekten de formülde x=0 yerine şunu elde ederiz. Yani parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasının ordinatı . Örneğimizde (yukarıda), parabol ordinatla noktasında kesişiyor, çünkü .

2) simetri ekseni paraboller düz bir çizgi olduğundan parabolün tüm noktaları onun etrafında simetrik olacaktır. Örneğimizde hemen (0; -2) noktasını alıp parabolün simetri eksenine göre simetrik oluşturuyoruz, parabolün geçeceği (4; -2) noktasını elde ediyoruz.

3) Eşitleyerek parabolün eksenle (oh) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz. Diskriminant'a bağlı olarak bir (, ), iki ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) elde ederiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . İÇİNDE önceki örnek diskriminantın kökü tamsayı değil; kurarken kökleri bulmamız pek mantıklı gelmiyor ama eksenle iki kesişim noktamızın olacağını açıkça görüyoruz (oh) (çünkü title='' QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur.)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Öyleyse hadi çözelim

Formda verilmişse bir parabol oluşturma algoritması

1) dalların yönünü belirleyin (a>0 – yukarı, a<0 – вниз)

2) formülünü kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını buluruz.

3) serbest terimi kullanarak parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasını buluruz, parabolün simetri eksenine göre bu noktaya simetrik bir nokta oluştururuz (bunu işaretlemenin kârsız olduğu unutulmamalıdır) nokta, örneğin değer büyük olduğu için... bu noktayı atlıyoruz...)

4) Bulunan noktada - parabolün tepe noktasında (yeni koordinat sisteminin (0;0) noktasında olduğu gibi) bir parabol inşa ediyoruz. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolün eksen (oy) ile kesişme noktalarını (henüz “yüzeye çıkmamışlarsa”) denklemi çözerek buluruz.

Örnek 1

Örnek 2

Not 1. Parabol başlangıçta bize bazı sayıların bulunduğu formda verilmişse (örneğin,), o zaman onu oluşturmak daha da kolay olacaktır, çünkü bize tepe noktasının koordinatları zaten verilmiştir. Neden?

Hadi alalım ikinci dereceden üç terimli ve içinde tam bir kare seçin: Bakın, bunu anladık , . Sen ve ben daha önce bir parabolün tepe noktasına, yani şimdi adını vermiştik.

Örneğin, . Parabolün tepe noktasını düzlemde işaretliyoruz, dalların aşağıya doğru yönlendirildiğini, parabolün genişlediğini ('ye göre) anlıyoruz. Yani 1. noktayı uyguluyoruz; 3; 4; Bir parabol oluşturma algoritmasından 5 (yukarıya bakın).

Not 2. Parabol buna benzer bir biçimde verilirse (yani iki doğrusal faktörün çarpımı olarak sunulursa), o zaman parabolün eksen (öküz) ile kesişme noktalarını hemen görürüz. Bu durumda – (0;0) ve (4;0). Geri kalanı için parantezleri açarak algoritmaya göre hareket ediyoruz.

- — [] ikinci dereceden fonksiyon y= ax2 + bx + c (a ? 0) formundaki fonksiyon. Grafik K.f. - tepe noktası [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] koordinatlarına sahip, a>0 parabol dallarına sahip bir parabol ... ...

İKİNCİ FONKSİYON, matematiksel FONKSİYON değeri bağımsız değişken x'in karesine bağlıdır ve buna göre ikinci dereceden bir POLİNOM ile verilir, örneğin: f(x) = 4x2 + 17 veya f(x) = x2 + 3x + 2. ayrıca bkz. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

İkinci dereceden fonksiyon - İkinci dereceden fonksiyon y= ax2 + bx + c (a ≠ 0) formunda bir fonksiyondur. Grafik K.f. - tepe noktası [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a] koordinatlarına sahip bir parabol, a> 0 için parabolün dalları yukarıya doğru yönlendirilir, a için< 0 –вниз… …

- (ikinci dereceden) Fonksiyon şu biçimdedir: y=ax2+bx+c, burada a≠0 ve en yüksek derece x bir karedir. İkinci dereceden denklem y=ax2 +bx+c=0 aşağıdaki formül kullanılarak da çözülebilir: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Bu kökler gerçek... Ekonomik sözlük

Bir afin uzayı S üzerinde ikinci dereceden bir afin fonksiyon, vektörleştirilmiş formda Q(x)=q(x)+l(x)+c formuna sahip herhangi bir Q: S→K fonksiyonudur; burada q, ikinci dereceden bir fonksiyondur, l, doğrusal bir fonksiyondur, c bir sabittir. İçindekiler 1 Referans noktasının kaydırılması 2... ... Vikipedi

Bir afin uzay üzerindeki ikinci dereceden afin fonksiyon, simetrik bir matris, doğrusal bir fonksiyon ve bir sabit olan, vektörize formda olan herhangi bir fonksiyondur. İçindekiler... Vikipedi

Vektör uzayında, vektörün koordinatlarında ikinci dereceden homojen bir polinomla tanımlanan bir fonksiyon. İçindekiler 1 Tanım 2 İlgili tanımlar... Vikipedi

- istatistiksel kararlar teorisinde, gözlemlenen verilere dayanarak yanlış karar verilmesinden kaynaklanan kayıpları karakterize eden bir fonksiyondur. Gürültü arka planına karşı bir sinyal parametresini tahmin etme sorunu çözülüyorsa, o zaman kayıp fonksiyonu tutarsızlığın bir ölçüsüdür... ... Vikipedi

amaç fonksiyonu- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. İngilizce-Rusça elektrik mühendisliği ve enerji mühendisliği sözlüğü, Moskova, 1999] amaç fonksiyonu Ekstrem problemlerde, minimumu veya maksimumu bulunması gereken bir fonksiyon. Bu… … Teknik Çevirmen Kılavuzu

Amaç işlevi- Ekstrem problemlerde minimumu veya maksimumu bulunması gereken bir fonksiyon. Bu, optimal programlamada anahtar bir kavramdır. C.f.'nin ekstremumunu bulduktan sonra. ve dolayısıyla ona giden kontrollü değişkenlerin değerlerini belirledikten sonra... ... Ekonomik ve matematiksel sözlük

Kitaplar

• Tablolar seti. Matematik. Fonksiyon grafikleri (10 tablo), . 10 sayfalık eğitici albüm.
• Doğrusal fonksiyon. Fonksiyonların grafiksel ve analitik ataması. İkinci dereceden fonksiyon. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini dönüştürme. Fonksiyon y=sinx. Fonksiyon y=cosx.…

Okul matematiğinin en önemli işlevi ikinci derecedendir - problemlerde ve çözümlerde, Petrov N.N.. İkinci dereceden işlev, okul matematik dersinin ana işlevidir. Bu şaşırtıcı değil. Bir yanda bu işlevin basitliği, diğer yanda derin anlamı. Okulun birçok görevi... Bu öğretim materyali yalnızca referans amaçlıdır ve çok çeşitli konularla ilgilidir. Makale, temel temel fonksiyonların grafiklerine genel bir bakış sunuyor ve tartışıyor – en önemli soru bir grafiğin doğru ve HIZLI bir şekilde nasıl oluşturulacağı . Çalışma sırasında yüksek matematik ana programlar hakkında bilgi sahibi olmadan Zor olacak, bu nedenle parabol, hiperbol, sinüs, kosinüs vb. grafiklerinin neye benzediğini hatırlamak ve bazı fonksiyon değerlerini hatırlamak çok önemlidir. Ayrıca ana fonksiyonların bazı özelliklerinden de bahsedeceğiz.

Materyallerin eksiksizliği ve bilimsel bütünlüğü iddiasında değilim; her şeyden önce uygulamaya - hangi şeylere - ağırlık verilecektir. yüksek matematiğin herhangi bir konusunda kelimenin tam anlamıyla her adımda karşılaşılır. Aptallar için çizelgeler mi? Öyle söylenebilir.

Okuyuculardan gelen çok sayıda istek nedeniyle tıklanabilir içindekiler tablosu:

Ayrıca konuyla ilgili çok kısa bir özet var
– ALTI sayfayı inceleyerek 16 tür grafikte ustalaşın!

Cidden altı, ben bile şaşırdım. Bu özet geliştirilmiş grafikler içerir ve cüzi bir ücret karşılığında mevcuttur; demo sürümü görüntülenebilir. Grafiklerin her zaman elinizin altında olması için dosyayı yazdırmak uygundur. Projeyi desteklediğiniz için teşekkür ederiz!

Ve hemen başlayalım:

Koordinat eksenleri doğru şekilde nasıl oluşturulur?

Uygulamada testler neredeyse her zaman öğrenciler tarafından kare şeklinde dizilmiş ayrı defterlerde tamamlanır. Neden damalı işaretlere ihtiyacınız var? Sonuçta, çalışma prensip olarak A4 sayfalarda yapılabilir. Ve kafes sadece çizimlerin yüksek kaliteli ve doğru tasarımı için gereklidir.

Bir fonksiyon grafiğinin herhangi bir çizimi koordinat eksenleriyle başlar.

Çizimler iki boyutlu veya üç boyutlu olabilir.

İlk önce iki boyutlu durumu ele alalım Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi:

1) Koordinat eksenlerini çizin. Eksen denir x ekseni ve eksen y ekseni . Her zaman onları çizmeye çalışıyoruz düzgün ve çarpık değil. Okların da Papa Carlo'nun sakalına benzememesi gerekiyor.

2) Eksenleri büyük harflerle “X” ve “Y” ile imzalıyoruz. Eksenleri etiketlemeyi unutmayın.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın: bir sıfır ve iki bir çiz. Çizim yaparken en kullanışlı ve en sık kullanılan ölçek şudur: 1 birim = 2 hücre (soldaki çizim) - mümkünse ona sadık kalın. Ancak zaman zaman çizimin defter sayfasına sığmadığı durumlar olur - o zaman ölçeği azaltırız: 1 birim = 1 hücre (sağdaki çizim). Nadirdir, ancak bazen çizimin ölçeğinin daha da küçültülmesi (veya arttırılması) gerekir.

“Makineli tüfeğe” GEREK YOKTUR…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….İçin koordinat düzlemi Descartes'a ait bir anıt değildir ve öğrenci de bir güvercin değildir. biz koyduk sıfır Ve eksenler boyunca iki birim. Bazen yerine birimler, diğer değerleri "işaretlemek" uygundur, örneğin apsis ekseninde "iki" ve ordinat ekseninde "üç" - ve bu sistem (0, 2 ve 3) aynı zamanda koordinat ızgarasını benzersiz bir şekilde tanımlayacaktır.

Çizimi oluşturmadan ÖNCE çizimin tahmini boyutlarını tahmin etmek daha iyidir. Yani, örneğin, eğer görev köşeleri olan bir üçgen çizmeyi gerektiriyorsa , , , o zaman popüler 1 birim = 2 hücre ölçeğinin işe yaramayacağı tamamen açıktır. Neden? Gelin şu noktaya bakalım - burada on beş santimetre aşağıyı ölçmeniz gerekecek ve açıkçası çizim bir defter sayfasına sığmayacak (veya zar zor sığacak). Bu nedenle hemen daha küçük bir ölçek seçiyoruz: 1 birim = 1 hücre.

Bu arada, yaklaşık santimetre ve dizüstü bilgisayar hücreleri. 30 defter hücresinin 15 santimetre içerdiği doğru mu? Eğlenmek için not defterinizde 15 santimetreyi bir cetvelle ölçün. SSCB'de bu doğru olabilir... Aynı santimetreyi yatay ve dikey olarak ölçerseniz sonuçların (hücrelerdeki) farklı olacağını belirtmek ilginçtir! Açıkçası, modern defterler kareli değil dikdörtgen şeklindedir. Bu saçma görünebilir, ancak bu gibi durumlarda örneğin pusula ile bir daire çizmek çok sakıncalıdır. Dürüst olmak gerekirse, böyle anlarda yerli otomobil endüstrisi, düşen uçaklar veya patlayan enerji santralleri bir yana, üretimde hack çalışmaları için kamplara gönderilen Stalin Yoldaş'ın doğruluğunu düşünmeye başlıyorsunuz.

Kaliteden bahsetmişken veya kısa öneri kırtasiye için. Bugün satışta olan dizüstü bilgisayarların çoğu, en azından tam bir saçmalık. Sadece jel kalemlerden değil, tükenmez kalemlerden de ıslanmaları nedeniyle! Kağıt üzerinde tasarruf ediyorlar. Kayıt için testler Daha pahalı olmasına rağmen Arkhangelsk Kağıt Hamuru ve Kağıt Fabrikası'ndan (18 sayfa, kare) veya "Pyaterochka" defterlerini kullanmanızı öneririm. Bir jel kalem seçmeniz önerilir; en ucuz Çin jel dolumu bile, kağıdı lekeleyen veya yırtan tükenmez kalemden çok daha iyidir. Hatırlayabildiğim tek "rekabetçi" tükenmez kalem Erich Krause'dur. İster dolu ister neredeyse boş olsun, net, güzel ve tutarlı bir şekilde yazıyor.

Ek olarak: Makalede analitik geometri gözüyle dikdörtgen bir koordinat sisteminin vizyonu ele alınmaktadır. Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli, detaylı bilgi O çeyrekleri koordine etmek dersin ikinci paragrafında bulunabilir Doğrusal eşitsizlikler.

3D kasa

Burada da hemen hemen aynı.

1) Koordinat eksenlerini çizin. Standart: eksen uygulaması – yukarıya doğru, eksen – sağa doğru, eksen – aşağıya sola doğru kesinlikle 45 derecelik bir açıyla.

2) Eksenleri etiketleyin.

3) Ölçeği eksenler boyunca ayarlayın. Eksen boyunca ölçek, diğer eksenler boyunca olan ölçekten iki kat daha küçüktür. Ayrıca sağdaki çizimde eksen boyunca standart olmayan bir "çentik" kullandığımı unutmayın. (bu olasılık yukarıda zaten belirtilmiştir). Benim açımdan bu daha doğru, daha hızlı ve estetik açıdan daha hoş - mikroskop altında hücrenin ortasını aramaya ve koordinatların kökenine yakın bir birimi "şekillendirmeye" gerek yok.

3D çizim yaparken yine ölçeğe öncelik verin
1 birim = 2 hücre (soldaki çizim).

Bütün bu kurallar ne için? Kurallar çiğnenmek için yapılmıştır. Şimdi yapacağım şey bu. Gerçek şu ki, makalenin sonraki çizimleri benim tarafımdan Excel'de yapılacak ve koordinat eksenleri bakış açısından yanlış görünecek doğru tasarım. Tüm grafikleri elle çizebilirim, ancak Excel bunları daha doğru çizme konusunda isteksiz olduğundan bunları çizmek aslında korkutucu.

Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri

Denklemde doğrusal bir fonksiyon verilmektedir. Doğrusal fonksiyonların grafiği doğrudan. Düz bir çizgi çizebilmek için iki noktayı bilmek yeterlidir.

Örnek 1

Fonksiyonun grafiğini oluşturun. İki nokta bulalım. Noktalardan biri olarak sıfırı seçmek avantajlıdır.

Eğer öyleyse

Başka bir noktayı ele alalım, örneğin 1.

Eğer öyleyse

Görevleri tamamlarken noktaların koordinatları genellikle bir tabloda özetlenir:

Ve değerlerin kendisi sözlü olarak veya bir taslakta, bir hesap makinesinde hesaplanır.

İki nokta bulundu, bir çizim yapalım:

Çizim hazırlarken mutlaka grafikleri imzalarız.

Doğrusal bir fonksiyonun özel durumlarını hatırlamak faydalı olacaktır:

İmzaları nasıl attığıma dikkat edin. imzalar çizimi incelerken tutarsızlıklara izin vermemelidir. Bu durumda, çizgilerin kesişme noktasının yanına veya grafiklerin sağ alt kısmına imza koymak son derece istenmeyen bir durumdu.

1) () formunun doğrusal bir fonksiyonuna doğru orantılılık denir. Örneğin, . Doğru orantılılık grafiği her zaman orijinden geçer. Böylece düz bir çizgi oluşturmak basitleştirilmiştir - yalnızca bir noktayı bulmak yeterlidir.

2) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği herhangi bir nokta bulunmadan hemen çizilir. Yani giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x'in herhangi bir değeri için y her zaman -4'e eşittir."

3) Formun bir denklemi eksene paralel bir düz çizgiyi belirtir, özellikle eksenin kendisi denklem tarafından verilir. Fonksiyonun grafiği de hemen çizilir. Giriş şu şekilde anlaşılmalıdır: "x, y'nin herhangi bir değeri için her zaman 1'e eşittir."

Bazıları soracak, neden 6. sınıfı hatırladınız?! Bu böyledir, belki de öyledir, ancak yıllar süren pratikte veya gibi bir grafik oluşturma görevi karşısında şaşkına dönen bir düzine öğrenciyle tanıştım.

Düz bir çizgi oluşturmak, çizim yaparken en yaygın eylemdir.

Düz çizgi analitik geometri dersinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır ve ilgilenenler bu makaleye başvurabilirler. Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

İkinci dereceden, kübik bir fonksiyonun grafiği, bir polinomun grafiği

Parabol. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği () bir parabolü temsil eder. Ünlü vakayı düşünün:

Fonksiyonun bazı özelliklerini hatırlayalım.

Yani denklemimizin çözümü: – parabolün tepe noktası bu noktadadır. Bunun neden böyle olduğunu türev hakkındaki teorik makalede ve fonksiyonun ekstremumlarına ilişkin derste bulabilirsiniz. Bu arada karşılık gelen “Y” değerini de hesaplayalım:

Böylece tepe noktası bu noktadadır

Şimdi parabolün simetrisini küstahça kullanarak başka noktalar buluyoruz. Şunu belirtmek gerekir ki, fonksiyon – bile değil ancak yine de hiç kimse parabolün simetrisini iptal etmedi.

Kalan puanların hangi sırayla bulunacağı final masasından anlaşılacaktır diye düşünüyorum:

Bu inşaat algoritması mecazi olarak Anfisa Chekhova ile "mekik" veya "ileri geri" ilkesi olarak adlandırılabilir.

Çizimi yapalım:

İncelenen grafiklerden bir başka faydalı özellik akla geliyor:

İkinci dereceden bir fonksiyon için () aşağıdakiler doğrudur:

Eğer öyleyse parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.

Eğer öyleyse parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir.

Eğri hakkında derinlemesine bilgi Hiperbol ve parabol dersinde elde edilebilir.

Fonksiyon tarafından kübik bir parabol verilmektedir. İşte okuldan tanıdık bir çizim:

Fonksiyonun ana özelliklerini listeleyelim

Bir fonksiyonun grafiği

Bir parabolün dallarından birini temsil eder. Çizimi yapalım:

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu durumda eksen dikey asimptot 'deki bir hiperbolün grafiği için.

Bir çizimi çizerken dikkatsizce grafiğin bir asimptotla kesişmesine izin verirseniz, bu BÜYÜK bir hata olur.

Ayrıca tek taraflı limitler bize hiperbolün yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil.

Fonksiyonu sonsuzda inceleyelim: yani eksen boyunca sola (veya sağa) sonsuza doğru hareket etmeye başlarsak, o zaman “oyunlar” düzenli bir adım olacaktır. sonsuz yakın sıfıra yaklaşır ve buna göre hiperbolün dalları sonsuz yakın eksene yaklaşın.

Yani eksen yatay asimptot Bir fonksiyonun grafiği için, eğer “x” artı veya eksi sonsuza eğilimliyse.

İşlev garip ve bu nedenle hiperbol orijine göre simetriktir. Bu gerçekÇizimden açıkça anlaşılmaktadır, ayrıca analitik olarak da kolayca doğrulanabilir: .

() formundaki bir fonksiyonun grafiği, bir hiperbolün iki dalını temsil eder.

Eğer ise hiperbol birinci ve üçüncü koordinat çeyreğinde bulunur(yukarıdaki resme bakın).

Eğer ise hiperbol ikinci ve dördüncü koordinat çeyreğinde bulunur.

Belirtilen hiperbol yerleşim modelinin grafiklerin geometrik dönüşümleri açısından analiz edilmesi kolaydır.

Örnek 3

Hiperbolün sağ dalını oluşturun

Noktasal inşa yöntemini kullanıyoruz ve değerleri bir bütüne bölünebilecek şekilde seçmek avantajlıdır:

Çizimi yapalım:

Hiperbolün sol dalını oluşturmak zor olmayacak; fonksiyonun tuhaflığı burada yardımcı olacaktır. Kabaca söylemek gerekirse, nokta nokta yapım tablosunda her sayıya zihinsel olarak bir eksi ekliyoruz, karşılık gelen noktaları koyuyoruz ve ikinci dalı çiziyoruz.

Dikkate alınan çizgi hakkında ayrıntılı geometrik bilgi Hiperbol ve parabol makalesinde bulunabilir.

Üstel Fonksiyonun Grafiği

Bu bölümde hemen üstel fonksiyonu ele alacağım çünkü yüksek matematik problemlerinde vakaların %95'inde karşılaşılan üstel fonksiyondur.

Bunun irrasyonel bir sayı olduğunu hatırlatayım: Aslında törensiz yapacağım bir grafik oluştururken bu gerekecek. Üç nokta muhtemelen yeterlidir:

Şimdilik fonksiyonun grafiğini burada bırakalım, daha sonra buna daha fazla değinelim.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Fonksiyon grafikleri vb. temelde aynı görünür.

İkinci durumun pratikte daha az sıklıkta yaşandığını söylemeliyim ama oluyor, bu yüzden bu yazıya dahil etmeyi gerekli gördüm.

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği

Doğal logaritmalı bir fonksiyonu düşünün.
Nokta nokta bir çizim yapalım:

Logaritmanın ne olduğunu unuttuysanız lütfen okul ders kitaplarınıza bakın.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Tanım alanı:

Değer aralığı: .

İşlev yukarıdan sınırlı değildir: Yavaş da olsa logaritmanın dalı sonsuza kadar gider.
Sağdaki fonksiyonun sıfıra yakın davranışını inceleyelim: . Yani eksen dikey asimptot “x” gibi bir fonksiyonun grafiği sağdan sıfıra doğru yönelir.

Logaritmanın tipik değerini bilmek ve hatırlamak zorunludur: .

Prensip olarak, tabana göre logaritmanın grafiği aynı görünür: , , (10 tabanına göre ondalık logaritma), vb. Üstelik taban ne kadar büyük olursa grafik de o kadar düz olur.

Bu durumu dikkate almayacağız; en son ne zaman böyle bir temele dayalı bir grafik oluşturduğumu hatırlamıyorum. Ve logaritma, yüksek matematik problemlerinde çok nadir görülen bir konuk gibi görünüyor.

Bu paragrafın sonunda bir gerçek daha söyleyeceğim: Üstel fonksiyon Ve logaritmik fonksiyon – bunlar karşılıklı olarak ters iki fonksiyondur. Logaritmanın grafiğine yakından bakarsanız, bunun aynı üs olduğunu, sadece biraz farklı konumda olduğunu görebilirsiniz.

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Okulda trigonometrik işkence nerede başlar? Sağ. sinüsten

Fonksiyonun grafiğini çizelim

Bu çizgiye denir sinüzoid.

"Pi"nin irrasyonel bir sayı olduğunu ve trigonometride gözlerinizi kamaştırdığını hatırlatayım.

Fonksiyonun ana özellikleri:

Bu fonksiyon periyodik dönem ile. Bu ne anlama geliyor? Segmente bakalım. Solunda ve sağında grafiğin tam olarak aynı parçası sonsuza kadar tekrarlanıyor.

Tanım alanı: yani her “x” değeri için bir sinüs değeri vardır.

Değer aralığı: . İşlev sınırlı: , yani tüm "oyunlar" kesinlikle segmentte yer alıyor.
Bu olmuyor, daha doğrusu oluyor ama bu denklemlerin çözümü yok.

Okuldaki matematik derslerinde bir fonksiyonun en basit özellikleri ve grafiği hakkında zaten bilgi sahibi oldunuz. y = x 2. Bilgimizi genişletelim ikinci dereceden fonksiyon.

Görev 1.

Fonksiyonun grafiğini çizin y = x 2. Ölçek: 1 = 2 cm Oy ekseninde bir nokta işaretleyin. F(0; 1/4). Bir pusula veya kağıt şeridi kullanarak noktadan mesafeyi ölçün F bir noktaya kadar M paraboller. Daha sonra şeridi M noktasına sabitleyin ve dikey olana kadar bu noktanın etrafında döndürün. Şeridin sonu x ekseninin biraz altına düşecek (Şekil 1). Şerit üzerinde x ekseninin ötesine ne kadar uzandığını işaretleyin. Şimdi parabol üzerinde başka bir nokta alın ve ölçümü tekrar tekrarlayın. Şeridin kenarı x ekseninin ne kadar altına düştü?

Sonuç: y = x 2 parabolünün hangi noktasını alırsanız alın, bu noktadan F(0; 1/4) noktasına olan mesafe şu şekilde olacaktır: daha fazla mesafe aynı noktadan x eksenine her zaman aynı sayıyla - 1/4 oranında.

Farklı da söyleyebiliriz: Parabolün herhangi bir noktasından (0; 1/4) noktasına olan mesafe, parabolün aynı noktasından y = -1/4 düz çizgisine olan mesafeye eşittir. Bu harika F(0; 1/4) noktasına denir odak paraboller y = x 2 ve düz çizgi y = -1/4 – müdire bu parabol. Her parabolün bir doğrultmanı ve bir odağı vardır.

Bir parabolün ilginç özellikleri:

1. Parabolün herhangi bir noktası, parabolün odağı adı verilen bir noktadan ve onun doğrultmanı adı verilen düz bir çizgiden eşit uzaklıktadır.

2. Bir parabolü simetri ekseni etrafında döndürürseniz (örneğin, Oy ekseni etrafında y = x 2 parabolünü), dönüş paraboloidi adı verilen çok ilginç bir yüzey elde edersiniz.

Dönen bir kaptaki sıvının yüzeyi, dönme paraboloitinin şekline sahiptir. Tamamlanmamış bir bardak çayı bir kaşıkla kuvvetlice karıştırıp ardından kaşığı çıkarırsanız bu yüzeyi görebilirsiniz.

3. Ufuk çizgisine belli bir açıyla boşluğa bir taş atarsanız, taş bir parabol çizerek uçacaktır. (Şekil 2).

4. Bir koninin yüzeyini onun cinslerinden herhangi birine paralel bir düzlemle keserseniz, bu durumda kesit bir parabol ile sonuçlanacaktır. (Şekil 3).

5. Eğlence parklarında bazen Paraboloit of Wonders adı verilen eğlenceli bir gezi yapılır. Dönen paraboloitin içinde duran herkese kendisi yerde duruyormuş gibi görünürken, diğer insanlar bir şekilde mucizevi bir şekilde duvarlara tutunuyor.

6. Yansıtıcı teleskoplarda parabolik aynalar da kullanılır: Teleskop aynasına düşen, paralel bir ışınla gelen uzak bir yıldızın ışığı odakta toplanır.

7. Spot ışıklarda genellikle paraboloid şeklinde bir ayna bulunur. Bir paraboloitin odağına bir ışık kaynağı yerleştirirseniz, ışınlar yansır. parabolik ayna paralel bir ışın oluşturun.

İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi

Matematik derslerinde, y = x 2 fonksiyonunun grafiğinden formun fonksiyonlarının grafiklerinin nasıl elde edileceğini incelediniz:

1) y = eksen 2– y = x 2 grafiğini |a|'da Oy ekseni boyunca uzatmak kez ( |a| ile< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, pirinç. 4).

2) y = x 2 + n– Grafiğin Oy ekseni boyunca n birim kayması ve eğer n > 0 ise kayma yukarı doğru olur ve eğer n ise< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– grafiğin Ox ekseni boyunca m birim kayması: eğer m< 0, то вправо, а если m >0, sonra sola, (Şekil 5).

4) y = -x 2– y = x 2 grafiğinin Ox eksenine göre simetrik gösterimi.

Fonksiyonun grafiğini çizmeye daha yakından bakalım y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c formundaki ikinci dereceden bir fonksiyon her zaman şu forma indirgenebilir:

y = a(x – m) 2 + n, burada m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Hadi kanıtlayalım.

Gerçekten mi,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Yeni notasyonları tanıtalım.

İzin vermek m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

o zaman y = a(x – m) 2 + n veya y – n = a(x – m) 2 elde ederiz.

Biraz daha değişiklik yapalım: y – n = Y, x – m = X (*) olsun.

Daha sonra grafiği bir parabol olan Y = aX 2 fonksiyonunu elde ederiz.

Parabolün tepe noktası orijindedir. X = 0; Y = 0.

Tepe noktasının koordinatlarını (*) yerine koyarak, y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n grafiğinin tepe noktasının koordinatlarını elde ederiz.

Böylece, şu şekilde temsil edilen ikinci dereceden bir fonksiyonu çizmek için

y = a(x – m) 2 + n

dönüşümler aracılığıyla aşağıdaki şekilde ilerleyebilirsiniz:

A) y = x 2 fonksiyonunun grafiğini çizin;

B) Ox ekseni boyunca m birim ve Oy ekseni boyunca n birim paralel öteleme ile - parabolün tepe noktasını orijinden koordinatlarla (m; n) noktaya aktarın (Şekil 6).

Dönüşümlerin kaydedilmesi:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Örnek.

Dönüşümleri kullanarak, Kartezyen koordinat sisteminde y = 2(x – 3) 2 fonksiyonunun grafiğini oluşturun – 2.

Çözüm.

Dönüşüm zinciri:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Çizim şu şekilde gösterilmiştir: pirinç. 7.

Kendi başınıza ikinci dereceden fonksiyonların grafiğini çizme alıştırması yapabilirsiniz. Örneğin, dönüşümleri kullanarak tek koordinat sisteminde y = 2(x + 3) 2 + 2 fonksiyonunun grafiğini oluşturun. Herhangi bir sorunuz varsa veya bir öğretmenden tavsiye almak istiyorsanız, o zaman yürütme fırsatınız olur. çevrimiçi öğretmenle 25 dakikalık ücretsiz ders kayıt olduktan sonra. İçin daha fazla çalışmaÖğretmeninizle birlikte size uygun tarife planını seçebilirsiniz.

Hala sorularınız mı var? İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.