11'DE. Düzgün bir tetrahedronun tüm kenarları sekiz kat artırılırsa hacmi kaç kat artar?

Birleşik Devlet Sınavı testi matematik.

Demo sürümü No. 8.

B grubunun en zor görevlerini çözme.

3'TE. Paralelkenar ve dikdörtgenin kenarları aynı. Bulmak keskin köşe alanı dikdörtgenin alanının yarısı ise paralelkenar. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Çözüm.

Paralelkenar alan formülü:

S= A . B. günah α, nerede A, B- paralelkenarın kenarları, sin α - aralarındaki açı.

Dikdörtgenin alanı formülü:

S= A . B, Nerede A, B- dikdörtgenin kenarları.

1) Dikdörtgenin alanını ikiye katlayın daha fazla alan kenarları eşit olan paralelkenar. Yani:

A . B = 2 (A . B. günah α).

2) α açısının sinüsünü hesaplayın:

A . B
sin α = ———— = 1/2.
2(A . B)

3) Sayı çemberini hatırlayalım: Eğer bir açının sinüsü 1/2 ise bu açının kendisi 30°'ye eşittir. Böylece sorun çözüldü.

Cevap: 30.

SAAT 10'DA. Jimnastik şampiyonasına 27'si Rusya'dan, 22'si ABD'den ve geri kalanı Çin'den olmak üzere 56 sporcu katılıyor. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.

Çözüm.

Şampiyonaya 7 Çinli jimnastikçi katılıyor (56 - 27 - 22 = 7).

Bu, Çinli bir kadının ilk performans sergileme olasılığının 56 üzerinden 7 olduğu anlamına geliyor. Bu oranı derleyip ondalık kesre dönüştürüyoruz ve cevap şu olacak:

7/56 = 0,125.

Cevap: 0,125.

11'DE. Düzgün bir tetrahedronun tüm kenarları sekiz kat artırılırsa hacmi kaç kat artar?

Çözüm.

Bir tetrahedronun hacmi için formül:

V = √2/12. A 3 nerede A- tetrahedronun kenarının uzunluğu.

Bir tetrahedronun hacminin yalnızca kenarının uzunluğuna bağlı olduğunu görüyoruz. Yani, farklı boyutlardaki iki tetrahedronu karşılaştırırsanız şunu elde edersiniz: kaç kat daha fazla A Bir tetrahedronun 3'ü diğerine kıyasla, hacmi aynı sayıda kat daha büyüktür. Bu, sorunun basit bir şekilde çözülebileceği anlamına gelir.

İzin vermek A= 1. O zaman a 3 = 1.

Kenar uzunluğunu 8 kat arttıralım - şimdi A= 8. Bu durumda ne olacağına bakalım:

8 3 = 512.

Sonuç: Bir tetrahedronun kenarı 8 kat artırılırsa hacmi 512 kat artacaktır.

Cevap: 512.

12'DE. Talep hacminin bağımlılığı Q Tekelci bir işletmenin ürünleri için (aylık adet) fiyattan P(bin ruble) formülle verilir Q= 50−5P. Aylık kurumsal gelir R(bin ruble) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır R(P) = pq. En yüksek fiyatı belirleyin P, hangi ayda gelir R(P) 120 bin ruble olacak. Cevabınızı binlerce ruble olarak verin.

Çözüm.

Öncelikle problemden bildiklerimizi yazalım:

R(P) = 120,

Q= 50−5P.

Gelir formülüne R(P) = pq bu iki değeri yerine koyarız, indirimler yaparız ve elde ederiz ikinci dereceden denklem:

P(50−5P) = 120,

50P - 5P 2 = 120,

5P 2 + 50P = 120,

5P 2 + 50P - 120 = 0,

5P 2 - 50P + 120 = 0,

P 2 - 10P + 24 = 0.

İkinci dereceden denklemi çözdükten sonra iki kökünü elde ederiz:

P 1 = 4, P 2 = 6.

En yüksek fiyatı (yani iki değerden) belirlememiz gerekiyor P ikinciyi seçin: 6 (bin ruble).

Cevap: 6.

B13.İki kuru yük gemisi deniz boyunca aynı yönde paralel rotalar izliyor: birincisi 120 metre, ikincisi 80 metre uzunluğunda. İlk başta ikinci kargo gemisi birincinin gerisinde kalıyor ve bir noktada birinci kargo gemisinin kıçından ikincinin pruvasına kadar olan mesafe 400 metre oluyor. Bundan 12 dakika sonra birinci kargo gemisi ikincinin gerisinde kalıyor, böylece ikinci kargo gemisinin kıç kısmından birinci kargo gemisinin pruvasına kadar olan mesafe 600 metre oluyor. Birinci kargo gemisinin hızı, ikinci kargo gemisinin hızından saatte kaç kilometre daha azdır?

Çözüm.

Anlamak önemlidir: İlki hareketsiz durmadı, ikisi de hareket etti. Hata yapmamak veya gereksiz işlemler yapmamak için iki kuru yük gemisini hareket halinde hayal etmek zorunludur, bu da yanlış cevaba yol açacaktır.

1) Böylece ikinci kargo gemisi daha hızlı hareket etti ve 12 dakika içinde ilk kargo gemisini 600 metre geride bırakarak 400 metrelik gecikmeyi, ilk kargo gemisinin uzunluğunu ve kendi uzunluğuna eşit bir mesafeyi aştı. Sonuç olarak, tüm bu miktarların toplamına göre ilk kargo gemisine göre hareket etti:

80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (m).

12 dakika - 1200 m

60 dakika — X M.

Buradan:

X= 60. 1200: 12 = 6000 m veya 6 km.

Yani ikinci kargo gemisinin hızı birinci kargo gemisinin hızından 6 km/saat daha fazladır.

Problem çözüldü.

Cevap: 6.

12'DE. Radyoaktif bir izotopun bozunması sırasında kütlesi m(t) = m 0 2 -t/T yasasına göre azalır; burada m 0 (mg), izotopun başlangıç ​​kütlesidir, t(min.) ise süre ilk andan itibaren geçti. T(min.) - izotopun yarı ömrü. İlk anda izotopun kütlesi m 0 = 80 mg. Yarı ömür T = 3 dk. İzotopun kütlesi kaç dakika sonra 10 mg olur?

B13. Aile bir karı-koca ve onların öğrenci kızlarından oluşuyor. Kocanın maaşı iki katına çıkarsa toplam aile geliri %60 artacaktır. Kızının bursu yarıya indirilseydi ailenin toplam geliri %2 oranında azalacaktı. Kadının maaşı toplam aile gelirinin yüzde kaçını oluşturuyor?

B14. Bulmak en küçük değer[-5; aralığında y = 8x 2 - x 3 + 13 fonksiyonları; 5].

BÖLÜM 2

C1 - C6 görevlerine yönelik çözümleri ve cevapları kaydetmek için 2 numaralı cevap formunu kullanın. Önce gerçekleştirilen görevin numarasını (C1, C2, vb.) ve ardından tam sayıyı yazın. bilinçli bir karar ve cevap.

C1. a) 2sin 3 x - 2sinx + cos 2 x = 0 denklemini çözün.

b) Bu denklemin [-7π/2; parçasına ait tüm köklerini bulun. -2π].

C2. E noktası ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünün AA 1 kenarının ortasıdır. DE ve BD 1 çizgileri arasındaki açıyı bulun.

C3. Eşitsizlik sistemini çözün

C4. ABC üçgeninde, AA 1 ve CC 1, K ve M açıortayları çizilir - dik çizgilerin tabanları B noktasından AA 1 ve CC 1 düz çizgilerine düşürülür.

a) MK = AC olduğunu kanıtlayın.

b) AC = 10, BC = 6, AB = 8 olduğu biliniyorsa KVM üçgeninin alanını bulun.

C5. Denklemin her biri için α'nın tüm değerlerini bulun

Üçten fazla farklı çözümü vardır.

C6. Sayılar arka arkaya yazılmıştır: 1 2, 2 2 ..., (N - 1) 2, N 2. Aralarına rastgele “+” ve “-” işaretleri konulur ve elde edilen toplam bulunur. Bu miktar şuna eşit olabilir mi:

a) N=12 ise 12?

b) N=70 ise 0?

c) N=48 ise 0?

d) - 3, eğer N=90 ise?

MATEMATİKTE KULLANIM TESTİ - 2014

SEÇENEK 2

BÖLÜM 1

B1 - B14 arasındaki görevlerin cevabı bir tam sayı veya sonlu bir sayı olmalıdır ondalık. Cevap, 1 numaralı cevap formunda ilk hücreden başlayarak gerçekleştirilen görev numarasının sağına yazılmalıdır. Formda verilen örneklere uygun olarak her sayıyı, eksi işaretini ve ondalık noktayı ayrı bir kutuya yazın. Ölçü birimlerini yazmaya gerek yoktur.

1'DE. Perakendede haftalık "Rapor" dergisinin bir sayısı 27 ruble, bu dergiye altı aylık abonelik ise 550 ruble. Derginin altı ayda 25 sayısı yayımlanıyor. Bay Ivanov, derginin her sayısını ayrı ayrı satın almayıp abone olursa altı ayda kaç ruble tasarruf edecek?

2'DE. Grafik, 10 ülkedeki katılımcıların 2007 4. sınıf matematik sınavındaki ortalama puanını (10.500 puanlık bir ölçekte) göstermektedir.

Grafiği kullanarak ortalama puanı 495 ile 515 arasında olan ülke sayısını bulun.

3'TE. ABCD üçgeninin alanını bulun. Her hücrenin boyutu 1cm x 1cm'dir. Cevabınızı santimetre kare cinsinden verin.

4'te. Bir grup yabancı misafir için 20 adet rehber kitap satın alınması gerekmektedir. Gerekli rehberler üç çevrimiçi mağazada bulundu. Satın alma ve teslimat şartları tabloda verilmiştir. Teslimat dahil toplam satın alma tutarının hangi mağazada en küçük olacağını belirleyin. Cevabınıza en küçük miktarı ruble cinsinden yazın.

Bir tetrahedronun hacmi.Bu yazıda piramitlerle ilgili çeşitli görevlere bakacağız. Bildiğiniz gibi tetrahedron aynı zamanda bir piramittir. HAKKINDA tetrahedron tanımı:

Bir tetrahedron en basit çokyüzlüdür; üçgen olan 4 yüzü vardır. Dörtyüzlüde 4 köşe bulunur, her köşede 3 kenar birleşir ve toplamda 6 kenar bulunur.Yüzleri eşkenar üçgen olan tetrahedrona düzgün denir.

Bir piramidin (ve dolayısıyla bir tetrahedronun) hacmi:

S – piramidin tabanının alanı h – piramidin yüksekliği

Düzgün dört yüzlünün bir kenardaki hacmini hesaplayalım değere eşit A.

Daha sonra her yüzün alanı eşit olacaktır (içinde bu durumda ve ABC bazları):

Yüksekliğini SO hesaplayalım. Hadi düşünelim dik üçgen SOC:

*Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktasına 1'e 2 oranında bölündüğü bilinmektedir.

CM'yi hesaplayalım. Pisagor teoremine göre:

Buradan:

Böylece tetrahedronun hacmi şuna eşit olacaktır:

Aşağıda tartışılan görevlerin anlamı şudur: Piramidin tüm kenarları veya yalnızca yüksekliği birkaç kat artar. Bu durumda yüzey alanının da arttığı açıktır. Daha sonra bu artışın kaç kez gerçekleştiğini hesaplamanız gerekiyor.

1. Piramidin sadece yüksekliği artarsa ​​​​ve hacmin değiştirilmesiyle ilgili bir soru varsa, bağımlılık doğrusal olduğundan piramidin başlangıç ​​​​hacmi ile doğru orantılı olarak arttığı açıktır. Basitçe söylemek gerekirse, yükseklik arttıkça hacim de artar.

2. Piramidin tüm kenarlarını belirli sayıda arttırmaktan bahsediyorsak, sonucun orijinaline benzer bir piramit olduğunu ve yüzlerinin de karşılık gelen yüzlere benzer olduğunu anlamak gerekir. ortaya çıkan piramit.

Kendime izin vereceğim şu anŞekillerin ve bedenlerin benzerliği konusunda ders kitabında ana hatlarıyla belirtilen teoriye dönmenizi öneririm. Yakın gelecekte bu konuyla ilgili kesinlikle ayrı bir makale yayınlayacağım.

Sunulan görev grubuna gelince, benzerlik özelliklerini kullanarak bu tür görevlerin pratik olarak tek bir eylemde çözüldüğünü not ediyorum.

İşte hatırlamanız ve bilmeniz gerekenler:

Yani, piramidin tüm kenarlarını k kat arttırırsak, herhangi bir yüzünün alanının orijinal karşılık gelen yüzün alanına oranı k2'ye eşit olacaktır. Doğal olarak bu tür piramitlerin yüzeylerinin toplam alanlarının oranı da k2'ye eşit olacaktır.

Ve:

Yani, piramidin tüm kenarlarını k kat arttırırsak, ortaya çıkan piramidin hacminin orijinalin hacmine oranı şuna eşit olacaktır: k3 . Görevleri ele alalım:

Düzgün bir tetrahedronun tüm kenarları on altı kat artırılırsa hacmi kaç kat artar?

Bir tetrahedron, tüm yüzleri eşkenar üçgen olan bir piramittir.

Bu piramit ile tüm kenarlarının 16 kat arttırılmasıyla elde edilen piramit benzer olacak, buna göre benzerlik katsayısı 16'ya eşit olacaktır.

Benzer cisimlerin hacimleri benzerlik katsayısının küpüyle ilişkilidir.Yani, daha önce de söylediğimiz gibi, ortaya çıkan piramidin hacmi, benzerlik katsayısının küpü ile orijinal piramidin hacminin çarpımına eşittir:

Hacmin kaç kat artacağını belirleyelim ve hacimlerin oranını bulalım:

Yani tüm kenarlar 16 kat artırılırsa hacim 4096 kat artacaktır.

*Sorunu farklı şekilde çözebilirsiniz. Dört yüzlünün kenarını şu şekilde belirtin: A, sonra yüksekliğini ifade edin. Daha sonra formülü kullanarak piramitlerin hacimlerini belirleyin ve elde edilen hacimlerin oranını bulun. Ancak böyle bir yol mantıksız derecede uzun olacak ve çözülmesi çok daha fazla zaman gerektirecektir.

Cevap: 4096

Piramidin yüksekliği on iki kat artırılırsa hacmi kaç kat artar?

Piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir:

S– taban alanı

H– piramidin yüksekliği

Yükseklik 12 kat artarsa ​​piramidin hacmi de 12 kat artacaktır (bu doğrusal bir ilişkidir):

Cevap: 12

Düzenli bir tetrahedronun tüm kenarları beş kat artırılırsa yüzey alanı kaç kat artacaktır?

Bir tetrahedronun yüzey alanının, düzgün üçgen olan dört yüzünün alanlarının toplamına eşit olduğunu unutmayın.

İlk yol:

Orijinal tetrahedronun ve büyütülmüş olanın yüzey alanını belirleyelim ve ardından alanların oranını bulalım.

Dört yüzlünün kenarı eşit olsun A, o zaman yüzün alanı şuna eşit olacaktır:

*Üçgen kullandık.

Bu, orijinal tetrahedronun yüzey alanının şuna eşit olacağı anlamına gelir:

Dört yüzlünün kenarları 5 kat artırılırsa yüzey alanı şu şekilde değişecektir:

Alan oranı:

Yani bir tetrahedronun kenarları beş kat artırılırsa yüzey alanı 25 kat artacaktır.

İkinci yol:

Bir şeklin doğrusal boyutları k kat artırıldığında (azaltıldığında) buna benzer bir şekil elde edildiği, alanlarının benzerlik katsayısının karesi ile ilişkili olduğu bilinmektedir:

k – bu benzerlik katsayısıdır

Bu problemde k=5.

Yani benzerlik özelliğini kullanarak sorun sözlü olarak çözülür:

*Piramitin her yüzünün alanı 25 kat artacak, bu da tüm piramidin yüzey alanının da 25 kat artması anlamına geliyor.

Cevap: 25

27172. Piramidin tüm kenarları iki katına çıkarsa yüzey alanı kaç kat artar?

Bu görev öncekinden farklı değil. Bir tetrahedrondan, bir piramitten, bir küpten, bir paralelyüzlüden veya başka bir çokyüzlüden bahsetmemiz hiç fark etmez. Bütün kenarların arttığı söylenirse aynı numara kez, "yeni" gövdenin ortaya çıkan yüzleri, orijinal gövdenin karşılık gelen yüzlerine benzer olacaktır. Bu, yüzey alanının k 2 kat artacağı anlamına gelir (burada k, benzerlik katsayısıdır).