Stjerne nyheder
Punkt, linje, lige linje, stråle, segment, brudt linje. Stråle og vinkel, vinkelmåling og sammenligning
Definitionen af begrebet en stråle er baseret på to grundlæggende geometribegreber: et punkt og en ret linje. Lad os tage en vilkårlig lige linje og vælge et vilkårligt punkt på den. Et sådant punkt vil dele denne lige linje i to dele (fig. 1).
Definition 1
En stråle vil blive kaldt en del af en linje, der er begrænset af et punkt på denne linje, men kun på den ene side.
Definition 2
Det punkt, hvortil strålen er begrænset inden for rammerne af definition 1, kaldes begyndelsen af denne stråle.
Note 1
Bemærk, at den vinkel, der blev opnået i figur 1, kaldes udfoldet.
Vi vil betegne strålen med to punkter: dens begyndelse og ethvert andet vilkårligt punkt på den. Bemærk, at her i notationen er rækkefølgen, hvori disse punkter er udpeget, vigtig. Vi sætter altid begyndelsen af strålen på førstepladsen (fig. 2)
Begrebet en stråle er forbundet med følgende geometriaksiom:
Aksiom 1: Ethvert vilkårligt punkt på en ret linje vil dele det i to stråler, og alle vilkårlige punkter af den samme vil ligge på den ene side af dette punkt, og to punkter fra forskellige stråler vil ligge på samme side. forskellige sider fra dette punkt.
Det følgende aksiom er også forbundet med begrebet en stråle og et segment.
Aksiom 2: Fra begyndelsen af enhver stråle kan et segment plottes, der er lig med et kendt segment, og et sådant segment vil være unikt.
Hjørne
Lad os få to vilkårlige stråler. Lad os lægge dem oven på hinanden. Så
Definition 3
Vi vil kalde en vinkel for to stråler, der har samme oprindelse.
Definition 4
Punktet, der er begyndelsen af strålerne inden for rammerne af definition 3, kaldes toppunktet for denne vinkel.
Vi vil betegne vinklen ved dens følgende tre punkter: toppunktet, et punkt på en af strålerne og et punkt på den anden stråle, og vinklens toppunkt er skrevet i midten af dens betegnelse (fig. 3).
Følgende aksiom er også forbundet med begrebet stråle og vinkel.
Aksiom 3: Fra enhver vilkårlig stråle kan en vinkel plottes ind i et bestemt halvplan, som åbenbart er lig med denne vinkel, og en sådan vinkel vil være unik.
Vinkel sammenligning
Overvej to vilkårlige vinkler. Det er klart, at de kan være enten lige eller ulige.
Så for at sammenligne de vinkler, vi har valgt (lad os betegne dem som vinkel 1 og vinkel 2), vil vi overlejre toppunktet for vinkel 1 på toppen af vinkel 2, så en af strålerne i disse vinkler overlapper hinanden, og de to andre er på samme side af disse stråler. Efter en sådan overlejring er følgende to tilfælde mulige:
Vinkel størrelse
Udover at sammenligne en vinkel med en anden, er det også ofte nødvendigt at måle vinkler. At måle en vinkel betyder at finde dens størrelse. For at gøre dette skal vi vælge en slags "reference" vinkel, som vi tager som en enhed. Oftest er denne vinkel den vinkel, der er lig med $\frac(1)(180)$-delen af den udfoldede vinkel. Denne mængde kaldes en grad. Efter at have valgt en sådan vinkel sammenligner vi vinklerne med den, hvis værdi skal findes.
De fleste på en enkel måde Måling af vinklernes størrelse er en måling ved hjælp af en vinkelmåler.
Eksempel 1
Find værdien af følgende vinkel:
Vi bruger en vinkelmåler:
Svar: $30^0$.
Efter at have bestemt størrelsen af vinklerne har vi en anden måde at sammenligne vinkler på. Hvis, med samme valg af måleenhed, vinkel 1 og vinkel 2 har samme størrelse, vil sådanne vinkler blive kaldt ens. Hvis vinkel 1 uden tab af generalitet har en værdi på numerisk værdi er mindre end vinkel 2, så vil vinkel 1 være mindre end vinkel 2.
Velkommen til denne side! Jeg tror, at siden du er her, betyder det, at du allerede har studeret emnet "Punkter, linjer og segmenter".
I dag vil vi introducere to nye koncepter, overvej emne
Lad os tegne en lige linje og markere tre punkter A, O og B på den. Punkt O deler den lige linje i to stråler: OA og OB. Dem. En stråle er en del af en lige linje, begrænset på den ene side og ubegrænset på den anden.
I dette tilfælde kaldes punkt O begyndelsen af strålerne OA og OB, og stråle OA er en fortsættelse (komplement) af strålen OB og omvendt.
Strålen betegnes enten med et lille latinsk bogstav eller med to store bogstaver med latinske bogstaver, og det første bogstav er det, der angiver begyndelsen af strålen.
Lad os nu tage et kig næste koncept: hjørne. En vinkel er en figur, der består af to stråler, der udgår fra et punkt. Disse stråler kaldes sider og vinkler, og fællespunktet kaldes vinklens toppunkt.
Vinklen er angivet enten med to små latinske bogstaver eller med et stort bogstav eller med tre store bogstaver.
Hvis begge sider af en vinkel ligger på den samme rette linje, så kaldes en sådan vinkel en omvendt vinkel. På en anden måde siger de også, at den ene side af en omvendt vinkel er en fortsættelse (komplement) af den anden side af denne vinkel.
Enhver uudviklet vinkel deler planet i to dele: internt og eksternt.
Ved et drejet hjørne kan ethvert område tages som indre del, så vil det andet område være eksternt.
Indersiden af hjørnet tages som hjørne.
Nå, den sidste ting om dette emne) Hvis du tegner stråler (stråler) inde i en vinkel, dannes der som et resultat to (flere) vinkler.
Og så kan vi sige, at vinkel AEM består af to vinkler AEN og NEM: Eller, Herunder kan du gennemgå alle de grundlæggende begreber igen ved hjælp af en præsentation. Bare lad være med at huske definitioner, egenskaber og teoremer!!! Dette vil ikke give resultater. Når du løser problemer, skal du have en lærebog ved hånden, så du til enhver tid kan afklare, om du definerer dette eller hint begreb korrekt. Og for at gøre det nemmere for dig at finde de koncepter, du skal bruge, kan du bruge (indtast navnet på begrebet i søgefeltet og i højre side kan du finde den tilsvarende definition, sætning osv.) Nedenfor er de foreslåede opgaver om dette emne (i lærebogen om geometri af L.S. Atanasyan). Før du ser på løsningen på et bestemt problem, prøv at løse det selv)) Tilstand: Tegn en ret linje, marker punkterne A og B på den og markér punkt C på segmentet AB a) Blandt strålerne AB, BC, CA, AC og BA, navngiv de sammenfaldende stråler. b) navngiv den stråle, der er en fortsættelse af stråle CA. Tekstløsning: 1. Vi udfører en direkte Tilstand: Tegn tre åbne vinkler og mærk dem sådan: Tekstløsning: En ret vinkel er en vinkel, hvis gradmål er 180 grader. Derfor tegner vi tre vinkler, hvis gradmål er mindre end 180 grader. Tilstand: Tegn to udfoldede vinkler og mærk dem med bogstaver. Tekstløsning: En ret vinkel er en vinkel, hvis gradmål er 180 grader. Derfor tegner vi to vinkler, hvis gradmål er 180 grader. Tilstand: Tegn tre stråler h, k og l med en fælles oprindelse. Nævn alle de vinkler, der dannes af disse stråler. Tekstløsning: Vi tegner stråler h, k og l med en fælles oprindelse. Som et resultat fik vi tre vinkler: Tilstand: Tegn den uudviklede vinkel hk. Marker to punkter inde i dette hjørne, to punkter uden for dette hjørne og to punkter på siderne af hjørnet. Tekstløsning: Tegning af et hjørne Marker punkterne A og B inde i hjørnet. Marker punkterne C og D uden for dette hjørne. Marker punkterne P og N på siderne af denne vinkel. Tilstand: Tegn et udrejet hjørne. Marker punkterne A, B, M og N, så alle punkter på segment AB ligger inden for vinklen, og alle punkter på segment MN ligger uden for vinklen. Tekstløsning: Tegn en uudviklet vinkel (en vinkel, hvis gradmål er mindre end 180 grader), F.eks Marker punkterne A og B, så alle punkter i segment AB ligger inden for vinklen Vi markerer punkterne M og N, så alle punkter i segmentet MN ligger uden for vinklen Note: Men punkterne K og L er markeret således, at en del af punkterne i segmentet KL ligger inde i vinklen Tilstand: Tegn den udrejede vinkel AOB og tegn: Tekstløsning: Tegning af et hjørne Vi tegner strålen OC, så den deler vinklen Vi leder OD-strålen, så den delte ikke hjørne Bemærk: OD-strålen kan også tegnes på en sådan måde, at den opfylder betingelsen. Tilstand: Hvor mange åbne vinkler dannes, når to rette linjer skærer hinanden? Tekstløsning: Tegn to skærende linjer AF og BL og marker skæringspunktet med bogstavet O. De resulterende vinkler, hvis gradmål er mindre end 180 grader: Tilstand: Hvilke af punkterne vist i fig. 1 ligger inden for vinklen hk, og hvilke ligger uden for denne vinkel? Tekstløsning: Inde i hjørnet Uden for hjørnet Note: punkterne D og B ligger på vinklens sider Tilstand: Hvilken af strålerne vist i fig. 2 deler vinkel AOB i to vinkler? Tekstløsning: Hjørne Lektionens mål: Lektionstype: lære nyt materiale Udstyr: interaktiv whiteboard Smart Board, computer, malka Lektionens fremskridt jeg.
Organisatorisk øjeblik.
Der er ingen kongestier i geometri. Euklid Lad os nu finde ud af definitionen af en vinkel, men fortæl mig først: hvilke geometriske former består en vinkel af? ( fra et punkt og 2 stråler) Definition. Hjørne er en geometrisk figur, der består af et punkt og 2 stråler, der udgår fra dette punkt. Skriv det ned. Bemærk venligst, at bogstavet, der angiver vinklens toppunkt, er skrevet i midten. Vises med vinkler og viser yderligere to måder at repræsentere en vinkel på. Konklusion: Lad os nu finde ud af, hvilken vinkel der kaldes udfoldet. (Tag et lille stykke.) Hvilken vinkel er dette? (skarp, lige, stump), men hvad er det her, jeg foldede det ud, hvad hedder det? ( udvidet) Fuld vinkel - er en vinkel, hvis sider danner en ret linje. På billedet ser du de udfoldede hjørner. Bilag 1, slide 8. Det kan skrives som ∠ pg, som vist i lærebogen, eller det kan også skrives som ∠ ABC Hvilken af vinklerne vist på figuren er en omvendt vinkel? Skriv (∠ ADE). Bilag 1, slide 9. Ethvert hjørne har indre og ydre områder. Besvar selvstændigt spørgsmålene ved at arbejde med lærebogen (side 9): Bilag 1, slide 10. Fortæl mig, hvad er navnet på den del af planet, der er indeholdt mellem to stråler med et fælles toppunkt. ( Hjørne). Det er rigtigt, dette er den anden definition af vinkel. jegX. Konsolidering. På baggrund af tegningen skal du i din notesbog skrive de punkter, der hører til: Bilag 1, slide 11. Nogle elever gjorde dette, men de begik en fejl. Find hende. Den, der gjorde arbejdet korrekt, gjorde dette: Nu skal vi tage testen (disc Geometri Lessons from Cyril and Methodius. Grade 7)
Punktet er angivet med et tal eller et stort (stort) latinsk bogstav. Flere prikker - med forskellige tal eller forskellige bogstaver, så de kan skelnes Du kan tegne tre prikker "A" på et stykke papir og invitere barnet til at tegne en streg gennem de to prikker "A". Men hvordan forstår man gennem hvilke? En linje er et sæt punkter. Kun længden måles. Den har ingen bredde eller tykkelse a b c En lige linje er en linje, der ikke er buet, hverken har begyndelse eller slutning, den kan fortsættes uendeligt i begge retninger Selv når en lille del af en lige linje er synlig, antages det, at den fortsætter uendeligt i begge retninger B A En stråle er en del af en lige linje, der har en begyndelse, men ingen ende, den kan fortsættes i det uendelige i kun én retning Sol Strålen er betegnet med et lille (lille) latinsk bogstav. Eller to latinske store (store) bogstaver, hvor det første er det punkt, hvorfra strålen begynder, og det andet er det punkt, der ligger på strålen Strålerne falder sammen hvis Gennem et punkt kan du tegne et vilkårligt antal linjer, inklusive lige linjer Gennem to punkter - et ubegrænset antal kurver, men kun en lige linje Et stykke blev "skåret af" fra den lige linje, og et segment blev tilbage. Fra eksemplet ovenfor kan du se, at dens længde er den korteste afstand mellem to punkter. ✂ B A ✂ segment AB En stiplet linje er en linje bestående af fortløbende forbundne segmenter uden en vinkel på 180° Et langt segment blev "brudt" op i flere korte Ledene af en stiplet linje (svarende til leddene i en kæde) er de segmenter, der udgør den stiplede linje. Tilstødende links er links, hvor slutningen af et link er begyndelsen på et andet. Tilstødende led bør ikke ligge på samme lige linje. Hjørnerne på en stiplet linje (svarende til toppen af bjerge) er det punkt, hvorfra den stiplede linje begynder, de punkter, hvor segmenterne, der danner den stiplede linje, er forbundet, og det punkt, hvor den stiplede linje slutter. A B C D E 64 62 127 52 Længden af en stiplet linje er summen af længderne af dens led: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305 Opgave: hvilken stiplet linje er længere , A som har flere hjørner Siderne af polygonen (udtrykkene hjælper dig med at huske: "gå i alle fire retninger", "løb mod huset", "hvilken side af bordet vil du sidde på?") er linkene til en brudt linje. Tilstødende sider af en polygon er tilstødende led af en stiplet linje. Hjørnerne af en polygon er spidserne af en brudt linje. Tilstødende hjørner er endepunkterne på den ene side af polygonen. En polygon betegnes ved at angive alle dens hjørner. Omkredsen af en polygon er længden af den stiplede linje: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599 En polygon med tre hjørner kaldes en trekant, med fire - en firkant, med fem - en femkant osv. Forklaring af nyt materiale Så vi er nået til Geometriens land. Og dronningen af dette land, Dot, møder os. Uden den kan der ikke bygges en eneste figur. Der var engang en pointe. Hun var meget nysgerrig og ville vide alt. Dot vil se en ukendt linje og vil helt sikkert spørge: Hvad hedder denne linje, er den lang eller kort? En dag tænkte Dot: ”Hvordan skal jeg vide alt, hvis jeg sidder ét sted hele tiden. Jeg tager på tur." Ikke før sagt end gjort. The Point kom ud på en lige linje og gik langs denne linje. Hun gik, gik, gik i lang tid. Træt. Og prikken siger: "Hvor længe vil jeg fortsætte med at gå langs denne linje?" Gutter! Er den lige linje snart ved at være slut? Siger du, at en lige linje ikke har nogen ende? Så vender jeg tilbage, jeg gik nok i den forkerte retning. Gutter! Vil punktet være i stand til at finde enden af en lige linje? Selvfølgelig kan han ikke, en lige linje har ingen ende. Uden ende og kant Linjen er lige! Gå langs den i mindst hundrede år Du kan ikke finde vejs ende. Men Pointen vidste ikke om dette. Hun gik, træt, trist. Et punkt stod på en lige linje og besluttede at tilkalde saksen for at få hjælp. Så, ud af ingenting, dukkede en saks op og knækkede lige foran Dots næse. Og de skar lige. Hurra! - Dot råbte. - Dette er slutningen! Men nu er der to, jeg ved ikke hvad jeg skal kalde dem... Nyheden spredes om en ny figur: Jeg kan lide dem! - Dot råbte. De ligner solstråler. Geometrisk figur - strålen kan have forskellige retninger. Det vigtigste at huske er, at begyndelsen af strålen er et punkt. Lad os kalde dette punkt for bogstavet A. Bjælken er begrænset på den ene side og kan kun forlænges i en lige linje i én retning, så langt det ønskes. Lad os bygge en bjælke sammen. Hvilke værktøjer skal vi bruge? Selvfølgelig vil en lineal og en blyant hjælpe os med at bygge strålen. Det er rigtigt, lad os sætte en stopper for det. Det er rigtigt, lad os begynde at tælle fra bunden. Hvilke skoleartikler minder os om en talstråle? Godt gået gutter. Det ligner en lineal. Ethvert tal kan afbildes på en tallinje ved at angive det med en prik, da linjen er uendelig. Ved hjælp af en talstråle er tallene nemme at sammenligne: Jo længere mod højre et punkt er fra begyndelsen af strålen, jo større tal svarer det til, jo længere til venstre, jo mindre. Fortæl mig, gutter, i hvilken retning langs tallinjen skal du bevæge dig for at finde alle de tal, der er mindre end ti? Højre, venstre. Hvad med at finde alle tal større end ti? Ja, du skal flytte til højre for tallet ti. Placer nu punkt A og tegn to stråler AB og AC fra dette punkt. Vi har fået en ny geometrisk figur. Det kaldes en vinkel. Punkt A er toppunktet for vinklen. Hvert hjørne har et navn. Det kan bestå af et bogstav - vinklens toppunkt, eller af tre bogstaver, der angiver strålerne, med bogstavet for vinklens toppunkt i midten. Læs sådan her: vinkel A eller vinkel ABC Fra toppen langs bjælken Det er som om jeg går ned ad en bakke. Kun strålen nu er hende. Og det hedder "side". Vi ser, at strålerne nu er vinklens sider. Det er siderne AB og AC. Husk at strålen starter fra et punkt. Der er flere typer vinkler: lige, spidse og stumpe. En vinkel som den på et kvadrat kaldes en ret vinkel. På figuren er dette vinkel K. En vinkel, der er mindre end en ret vinkel, kaldes på figuren vinkel B. En vinkel, der er større end en ret vinkel, kaldes en stump vinkel. Dette er vinkel C. For korrekt at bestemme typen af vinkel, vil vi bruge en firkant. Tag linealer og blyanter. Tegn en ret vinkel med et kvadrat, kald det M. Prøv nu at tegne en spids vinkel, der er mindre end en ret vinkel. Kald ham T. Tegn nu en stump vinkel, der er større end en ret vinkel. Kald det N. Hvad skal du gøre, hvis du ikke har en firkant, men du skal tegne en ret vinkel på uforet papir? Dette kan gøres ved hjælp af en lineal og kompas. Lad os prøve at gøre dette sammen. For at bruge skarpe værktøjer korrekt, skal du huske sikkerhedsregler: Du kan ikke sætte kompasset tæt på dit ansigt, der er en nål for enden, du kan stikke dig selv. Du kan ikke føre kompasset frem med nålen, du kan stikke din ven. Der skulle være orden på skrivebordet. Og nu hvor du kender sikkerhedsreglerne, så lad os tegne en lige linje sæt to punkter A og B på det Nævn de vinkler du får. Lad os læse dem sammen, hjørne UGLE, hjørne BOD, vinkel AOC og vinkel AOD
2. Marker punkterne A og B på den tegnede lige linje.
3. Marker punkt C mellem punkt A og B.
4. Stråler kaldes sammenfaldende, hvis de har et fælles udspring, placeret på samme rette linje og rettet i samme retning: stråle AC falder sammen med stråle AB, stråle BC falder sammen med stråle BA.
5. Punkt (b) er ikke særlig korrekt (min personlige mening). Mange studerende kalder forlængelsen af stråle CA, stråle CB. Stråle CB er en stråle, der har en fælles oprindelse med stråle CA, ligger på samme lige linje, men er rettet i den modsatte retning. Sådanne stråler kaldes yderligere. Fortsættelse er en del af noget ufuldstændigt, men SA-strålen er allerede uendelig, og vi kan frit fortsætte den til nogle specifikke formål (indtil den krydser noget, for et vist antal celler osv.)
a) stråle OC, som deler vinkel AOB i to vinkler;
b) stråle OD, som ikke deler vinkel AOC i to vinkler.
Et punkt er et abstrakt objekt, der ikke har nogen måleegenskaber: ingen højde, ingen længde, ingen radius. Inden for opgavens rammer er det kun dens placering, der er vigtig
punkt A, punkt B, punkt C
A B C punkt 1, punkt 2, punkt 3
1
2
3A A A
Angivet med små (små) latinske bogstaver
linje a, linje b, linje c åben, hvis dens begyndelse og slutning ikke er forbundet
lukkede linjer
åbne linjer uden selvskæringer
selvskærende linjer
skæv
lige linjer
knækkede linjer
buede linjer
Angivet med et lille (lille) latinsk bogstav. Eller to latinske bogstaver med store (store) bogstaver - punkter, der ligger på en lige linje
lige linje a -en
lige linje AB Parallelt, hvis de ikke skærer hinanden, har de ikke et fælles punkt.
parallelle linjer
skærende linjer
vinkelrette linjer
Lysstrålen på billedet har sit udgangspunkt som solen.
stråle a
lige linje a bjælke AB
lige linje AB stråler AB og AC falder sammen
stråler CB og CA falder sammen
C B A Et segment er en del af en linje, der er begrænset af to punkter, dvs. den har både en begyndelse og en ende, hvilket betyder, at dens længde kan måles. Længden af et segment er afstanden mellem dets start- og slutpunkt
buede linjer, der går gennem to punkter
B A -en
lige linje AB Et segment er angivet med to latinske bogstaver med store (store) bogstaver, hvor det første er det punkt, hvor segmentet begynder, og det andet er det punkt, hvor segmentet slutter.
lige linje AB Problem: hvor er linjen, strålen, segmentet, kurven?
En brudt linje er udpeget ved at angive alle dens hjørner.
brudt linje ABCDE
toppunkt på polylinje A, toppunkt på polylinje B, toppunkt på polylinje C, toppunkt på polylinje D, toppunkt på polylinje E
knækket led AB, knækket led BC, knækket led CD, knækket led DE
link AB og link BC er tilstødende
link BC og link CD er tilstødende
link CD og link DE støder op ? Den første linje har alle led af samme længde, nemlig 13 cm. Den anden linje har alle led af samme længde, nemlig 49 cm. Den tredje linje har alle led af samme længde, nemlig 41 cm.
lukket polylinje uden selvskæring, ABCDEF
polygon ABCDEF
polygon toppunkt A, polygon toppunkt B, polygon toppunkt C, polygon toppunkt D, polygon toppunkt E, polygon toppunkt F
toppunkt A og toppunkt B er tilstødende
toppunkt B og toppunkt C er tilstødende
toppunkt C og toppunkt D er tilstødende
toppunkt D og toppunkt E er tilstødende
toppunkt E og toppunkt F er tilstødende
toppunkt F og toppunkt A er tilstødende
polygonside AB, polygonside BC, polygonside CD, polygonside DE, polygonside EF
side AB og side BC støder op til hinanden
side BC og side CD støder op til hinanden
CD-siden og DE-siden støder op til hinanden
side DE og side EF er tilstødende
side EF og side FA er tilstødende
A B C D E F 120 60 58 122 98 141
Lad der ingen ende være på det,
Men der er en begyndelse.
Og solen, stille op bag skyerne,
Han sagde: "Venner, lad os kalde det ray!"
Hvor begynder vi at bygge bjælken?
Alle konstruktioner og mål starter fra bunden. Juster punktet med "0"-mærket på linealen. Lad os tegne en lige linje. Vælg selv længde og retning.
Vi byggede også en bjælke. Er du enig med mig (Der er en talstråle på skærmen.)
Ja, dette er også en stråle, men det kaldes numerisk. Hvorfor?
Hvad er tallene på bjælken til? Nu vil vi lære at bruge talstrålen, vi vil tælle, beregne.
Opdel din tallinje i lige store sektioner og placer prikker.
Mærk punkterne med tal i rækkefølge. Hvilket tal vil vi bruge til at betegne det allerførste punkt - tællingens oprindelse?
tegne to cirkler for at lave punkter
A og B blev centrum for cirkler
skæringspunkter mellem cirkler
betegnes med bogstaverne C og D
gennem de opnåede punkter C og D
tegne en lige linje
skæringspunktet mellem to linjer
marker stregerne med bogstavet O
