Stjerne nyheder
Pythagoras formler for siderne af en trekant. Forskellige måder at bevise Pythagoras sætning på: eksempler, beskrivelser og anmeldelser
Forskellige måder at bevise Pythagoras' sætning på
elev af 9. "A" klasse
Kommunal uddannelsesinstitution gymnasiet nr. 8
Videnskabelig rådgiver:
matematik lærer,
Kommunal uddannelsesinstitution gymnasiet nr. 8
Kunst. Novorozhdestvenskaya
Krasnodar-regionen.
Kunst. Novorozhdestvenskaya
ANNOTNING.
Pythagoras sætning anses med rette for at være den vigtigste i løbet af geometrien og fortjener stor opmærksomhed. Det er grundlaget for at løse mange geometriske problemer, grundlaget for at studere teoretiske og praktiske geometrikurser i fremtiden. Sætningen er omgivet af et væld af historisk materiale relateret til dets udseende og bevismetoder. At studere historien om udviklingen af geometri indgyder en kærlighed til dette emne, fremmer udviklingen af kognitiv interesse, generel kultur og kreativitet og udvikler også forskningsfærdigheder.
Som et resultat af søgeaktiviteten blev målet med arbejdet, som var at genopbygge og generalisere viden om beviset for Pythagoras sætning. Det lykkedes at finde og anmelde forskellige måder evidens og uddybe viden om emnet, der går ud over siderne i skolens lærebog.
Det indsamlede materiale overbeviser os yderligere om, at Pythagoras sætning er en stor geometrisætning og har enorm teoretisk og praktisk betydning.
Introduktion. Historisk reference 5 Hoveddel 8
3. Konklusion 19
4. Anvendt litteratur 20
1. INTRODUKTION. HISTORISK REFERENCE.
Essensen af sandheden er, at den er for os for evigt,
Når vi mindst én gang i hendes indsigt ser lyset,
Og Pythagoras sætning efter så mange år
For os, som for ham, er det ubestrideligt, upåklageligt.
For at glæde sig aflagde Pythagoras et løfte til guderne:
For at røre ved uendelig visdom,
Han slagtede hundrede tyre, takket være de evige;
Han tilbød bønner og lovprisninger efter offeret.
Siden da, når tyrene lugter det, skubber de,
At sporet igen fører folk til en ny sandhed,
De brøler rasende, så der er ingen mening i at lytte,
Sådanne Pythagoras indgydte rædsel i dem for evigt.
Tyre, magtesløse til at modstå den nye sandhed,
Hvad er tilbage? - Bare lukker øjnene, brøler, ryster.
Det vides ikke, hvordan Pythagoras beviste sin sætning. Hvad der er sikkert er, at han opdagede det under stærk indflydelse af egyptisk videnskab. Et særligt tilfælde af Pythagoras sætning - egenskaberne af en trekant med siderne 3, 4 og 5 - var kendt af bygherrerne af pyramiderne længe før Pythagoras' fødsel, og han studerede selv med egyptiske præster i mere end 20 år. Der er bevaret en legende, der siger, at Pythagoras, efter at have bevist sin berømte sætning, ofrede en tyr til guderne, og ifølge andre kilder endda 100 tyre. Dette er dog i modstrid med oplysninger om Pythagoras' moralske og religiøse synspunkter. I litterære kilder kan du læse, at han "forbød selv at dræbe dyr, langt mindre at fodre med dem, for dyr har sjæle ligesom os." Pythagoras spiste kun honning, brød, grøntsager og af og til fisk. I forbindelse med alt dette kan følgende indgang betragtes som mere plausibel: "... og selv da han opdagede, at hypotenusen i en retvinklet trekant svarer til benene, ofrede han en tyr lavet af hvededej."
Populariteten af Pythagoras sætning er så stor, at dens beviser findes selv i fiktion, for eksempel i historien "Young Archimedes" af den berømte engelske forfatter Huxley. Det samme bevis, men for det specielle tilfælde af en ligebenet retvinklet trekant, er givet i Platons dialog "Meno".
Eventyr "Hjem".
"Langt, langt væk, hvor selv fly ikke flyver, er geometriens land. I dette usædvanlige land var der en fantastisk by - byen Teorem. En dag kom jeg til denne by smuk pige kaldet Hypotenuse. Hun forsøgte at leje et værelse, men uanset hvor hun søgte, blev hun afvist. Til sidst nærmede hun sig det vakkelvorne hus og bankede på. En mand, der kaldte sig Right Angle, åbnede døren for hende, og han inviterede Hypotenuse til at bo hos sig. Hypotenusen forblev i huset, hvor den rette vinkel og hans to unge sønner ved navn Katetes boede. Siden da har livet i Right Angle-huset ændret sig på en ny måde. Hypotenusen plantede blomster på vinduet og plantede røde roser i forhaven. Huset tog form af en retvinklet trekant. Begge ben kunne virkelig godt lide hypotenusen og bad hende om at blive for evigt i deres hus. Om aftenen samles denne venlige familie ved familiebordet. Nogle gange leger Right Angle gemmeleg med sine børn. Oftest skal han lede, og Hypotenusen gemmer sig så dygtigt, at den kan være meget svær at finde. En dag, mens han spillede, lagde Right Angle mærke til en interessant egenskab: hvis det lykkes ham at finde benene, så er det ikke svært at finde Hypotenusen. Så den rigtige vinkel bruger dette mønster, må jeg sige, meget vellykket. Pythagoras sætning er baseret på egenskaben for denne retvinklede trekant."
(Fra bogen af A. Okunev "Tak for lektionen, børn").
En humoristisk formulering af teoremet:
Hvis vi får en trekant
Og desuden med en ret vinkel,
Det er kvadratet af hypotenusen
Vi kan altid nemt finde:
Vi firkantede benene,
Vi finder summen af potenser -
Og det på så simpel en måde
Vi kommer til resultatet.
Mens jeg studerede algebra og begyndelsen af analyse og geometri i 10. klasse, blev jeg overbevist om, at der udover metoden til at bevise Pythagoras sætning diskuteret i 8. klasse, er andre bevismetoder. Jeg præsenterer dem til din overvejelse.
2. HOVEDDEL.
Sætning. I en retvinklet trekant er der en firkant
hypotenusen lig med summen firkanter af ben.
1 METODE.
Ved at bruge egenskaberne for områderne af polygoner vil vi etablere et bemærkelsesværdigt forhold mellem hypotenusen og benene i en retvinklet trekant.
Bevis.
a, c og hypotenusen Med(Fig. 1, a).
Lad os bevise det c²=a²+b².
Bevis.
Lad os færdiggøre trekanten til en firkant med side a + b som vist i fig. 1, b. Arealet S af dette kvadrat er (a + b)². På den anden side består denne firkant af fire lige store retvinklede trekanter, som hver har et areal på ½ aw, og en firkant med side Med, derfor S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².
Dermed,
(a + b)² = 2 aw + c²,
c²=a²+b².
Sætningen er blevet bevist.
2 METODE.
Efter at have studeret emnet "Lignende trekanter", fandt jeg ud af, at du kan anvende trekanters lighed på beviset for Pythagoras sætning. Jeg brugte nemlig udsagnet om, at benet i en retvinklet trekant er middelværdien proportional med hypotenusen og segmentet af hypotenusen indesluttet mellem benet og højden trukket fra toppunktet ret vinkel.
Betragt en retvinklet trekant med ret vinkel C, CD – højde (fig. 2). Lad os bevise det AC² +NE² = AB²
.
Bevis.
Baseret på udsagnet om benet i en retvinklet trekant:
AC = , SV = .
Lad os kvadre og tilføje de resulterende ligheder:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), hvor AD+DB=AB, så
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Beviset er komplet.
3 METODE.
For at bevise Pythagoras sætning kan du anvende definitionen af cosinus af en spids vinkel i en retvinklet trekant. Lad os se på fig. 3.
Bevis:
Lad ABC være en given retvinklet trekant med ret vinkel C. Lad os tegne højden CD fra toppunktet af ret vinkel C.
Ved definition af cosinus af en vinkel:
cos A = AD/AC = AC/AB. Derfor AB * AD = AC²
Ligeledes,
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Derfor AB * BD = BC².
Tilføjelse af de resulterende ligheder led for led og bemærker, at AD + DB = AB, får vi:
AC² + sol² = AB (AD + DB) = AB²
Beviset er komplet.
4 METODE.
Efter at have studeret emnet "Relationer mellem siderne og vinklerne i en retvinklet trekant", tror jeg, at Pythagoras sætning kan bevises på en anden måde.
Overvej en retvinklet trekant med ben a, c og hypotenusen Med. (Fig. 4).
Lad os bevise det c²=a²+b².
Bevis.
synd B= høj kvalitet ; cos B= a/c , derefter, ved at kvadrere de resulterende ligheder, får vi:
synd² B= in²/s²; cos² I= a²/c².
Hvis vi lægger dem sammen, får vi:
synd² I+cos² B=в²/с²+ а²/с², hvor sin² I+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², derfor,
c²= a² + b².
Beviset er komplet.
5 METODE.
Dette bevis er baseret på at skære firkanter bygget på benene (fig. 5) og placere de resulterende dele på en firkant bygget på hypotenusen.
6 METODE.
Til bevis på siden Sol vi bygger BCD ABC(Fig. 6). Vi ved, at arealer af lignende figurer er relateret til kvadraterne af deres lignende lineære dimensioner:
Hvis vi trækker den anden fra den første lighed, får vi
c2 = a2+ b2.
Beviset er komplet.
7 METODE.
Givet(Fig. 7):
ABC,= 90° , sol= a, AC=b, AB = c.
Bevise:c2 = a2+b2.
Bevis.
Lad benet b EN. Lad os fortsætte segmentet NE per point I og bygge en trekant BMD så punkterne M Og EN ligge på den ene side af den lige linje CD og desuden, BD =b, BDM= 90°, DM= a, så BMD= ABC på to sider og vinklen mellem dem. Punkt A og M forbinde med segmenter ER. Vi har M.D. CD Og A.C. CD, det betyder, at det er lige AC parallelt med linjen M.D. Fordi M.D.< АС, derefter lige CD Og ER. ikke parallel. Derfor, AMDC- rektangulær trapez.
I retvinklede trekanter ABC og BMD 1 + 2 = 90° og 3 + 4 = 90°, men da = =, så er 3 + 2 = 90°; Derefter AVM=180° - 90° = 90°. Det viste sig, at trapez AMDC er opdelt i tre ikke-overlappende retvinklede trekanter, derefter ved arealaksiomer
(a+b)(a+b)
Ved at dividere alle vilkår for uligheden med , får vi
ENb + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2+ b2.
Beviset er komplet.
8 METODE.
Denne metode er baseret på hypotenusen og benene i en retvinklet trekant ABC. Han konstruerer de tilsvarende kvadrater og beviser, at kvadratet bygget på hypotenusen er lig med summen af kvadraterne bygget på benene (fig. 8).
Bevis.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, Midler, FBC = DBA.
Dermed, FBC=ABD(på to sider og vinklen mellem dem).
2) 
,
hvor AL DE, da BD er en fælles base, DL- total højde.
3) 
, da FB er en fond, AB- total højde.
4) 
5) På samme måde kan det bevises 
6) Tilføjelse af term for term får vi:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Beviset er komplet.
9 METODE.
Bevis.
1) Lad ABDE- et kvadrat (fig. 9), hvis side er lig med hypotenusen i en retvinklet trekant ABC= s, BC = a, AC =b).
2) Lad DK B.C. Og DK = sol, da 1 + 2 = 90° (som de spidse vinkler i en retvinklet trekant), 3 + 2 = 90° (som vinklen på et kvadrat), AB= BD(pladsens sider).
Midler, ABC= BDK(ved hypotenusen og spids vinkel).
3) Lad EL D.K., A.M. E.L. Det kan nemt bevises, at ABC = BDK = DEL = EAM (med ben EN Og b). Derefter KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),Med2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Beviset er komplet.
10 METODE.
Beviset kan udføres på en figur, der i spøg kaldes "Pythagorean pants" (fig. 10). Dens idé er at omdanne firkanter bygget på siderne til lige store trekanter, der tilsammen udgør kvadratet af hypotenusen.
ABC flyt den som vist med pilen, og den tager stilling KDN. Resten af figuren AKDCB lige stort areal af pladsen AKDC dette er et parallelogram AKNB.
Der er lavet en parallelogrammodel AKNB. Vi omarrangerer parallelogrammet som skitseret i værkets indhold. For at vise transformationen af et parallelogram til en trekant med lige areal skærer vi foran eleverne en trekant af på modellen og flytter den ned. Således området af pladsen AKDC viste sig at være lig med arealet af rektanglet. På samme måde konverterer vi arealet af en firkant til arealet af et rektangel.
Lad os lave en transformation til en firkant bygget på en side EN(Fig. 11, a):
a) kvadratet omdannes til et lige parallelogram (fig. 11.6):
b) parallelogrammet drejer en kvart omgang (fig. 12):
c) parallelogrammet omdannes til et lige stort rektangel (fig. 13): 11 METODE.
Bevis:
PCL - lige (fig. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2+ b2.
Beviset er forbi .
12 METODE.
Ris. Figur 15 illustrerer et andet originalt bevis på Pythagoras sætning.
Her: trekant ABC med ret vinkel C; linjestykke B.F. vinkelret NE og lig med det, segmentet VÆRE vinkelret AB og lig med det, segmentet AD vinkelret AC og lig med det; point F, C,D tilhører samme linje; firkanter ADFB Og ASVE lige store, siden ABF = ECB; trekanter ADF Og ES lige store; trække den trekant, de deler, fra begge lige store firkanter ABC, vi får
, c2 = a2+
b2.
Beviset er komplet.
13 METODE.
Arealet af en given retvinklet trekant på den ene side er lig med ,
med en anden, ,
3. KONKLUSION.
Som et resultat af søgeaktiviteten blev målet med arbejdet, som var at genopbygge og generalisere viden om beviset for Pythagoras sætning. Det var muligt at finde og overveje forskellige måder at bevise det og uddybe viden om emnet, der gik ud over siderne i skolens lærebog.
Det materiale, jeg har samlet, overbeviser mig endnu mere om, at Pythagoras sætning er en stor geometrisætning og har enorm teoretisk og praktisk betydning. Afslutningsvis vil jeg gerne sige: Grunden til populariteten af Pythagoras treenige sætning er dens skønhed, enkelhed og betydning!
4. BRUGT LITTERATUR.
1. Underholdende algebra. . Moskva "Science", 1978.
2. Ugentligt undervisnings- og metodetillæg til avisen "Første september", 24/2001.
3. Geometri 7-9. og osv.
4. Geometri 7-9. og osv.
Pythagoras sætning
På samme måde ligner trekant CBH ABC. Ved at introducere notationen 
1. Placer fire lige store trekanter som vist på figuren. 
Ideen med Euklids bevis er som følger: lad os prøve at bevise, at halvdelen af kvadratet bygget på hypotenusen er lig med summen af de halve arealer af kvadraterne bygget på benene, og derefter arealerne af de store og to små firkanter er lige store. Lad os se på tegningen til venstre. På den konstruerede vi firkanter på siderne af en retvinklet trekant og tegnede en stråle s fra toppunktet af den rette vinkel C vinkelret på hypotenusen AB, den skærer kvadratet ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ, henholdsvis. Det viser sig, at arealerne af disse rektangler er nøjagtigt lig med arealerne af firkanterne bygget på de tilsvarende ben. Lad os prøve at bevise, at arealet af kvadratet DECA er lig med arealet af rektanglet AHJK. For at gøre dette vil vi bruge en hjælpeobservation: Arealet af en trekant med samme højde og base som det givne rektangel er lig med halvdelen af arealet af det givne rektangel. Dette er en konsekvens af at definere arealet af en trekant som halvdelen af produktet af basen og højden. Fra denne observation følger det, at arealet af trekanten ACK er lig med arealet af trekanten AHK (ikke vist på figuren), som igen er lig med halvdelen af arealet af rektanglet AHJK. Lad os nu bevise, at arealet af trekanten ACK også er lig med halvdelen af arealet af kvadratisk DECA. Det eneste, der skal gøres for dette, er at bevise ligheden mellem trekanter ACK og BDA (da arealet af trekanten BDA er lig med halvdelen af kvadratets areal ifølge ovenstående egenskab). Denne lighed er indlysende, trekanterne er lige store på begge sider og vinklen mellem dem. Nemlig - AB=AK,AD=AC - ligheden mellem vinklerne CAK og BAD er let at bevise med bevægelsesmetoden: vi drejer trekanten CAK 90° mod uret, så er det tydeligt, at de tilsvarende sider af de to trekanter i spørgsmålet vil falde sammen (på grund af det faktum, at vinklen ved firkantens toppunkt er 90°). Begrundelsen for ligheden af arealerne af kvadratet BCFG og rektanglet BHJI er fuldstændig ens. Således beviste vi, at arealet af en firkant bygget på hypotenusen er sammensat af områderne af firkanter bygget på benene. 
Lad os betragte tegningen, som det kan ses af symmetrien, segmentet CI skærer kvadratet ABHJ i to identiske dele (da trekanter ABC og JHI er ens i konstruktion). Ved at bruge en 90-graders rotation mod uret ser vi ligheden mellem de skraverede figurer CAJI og GDAB. Nu er det klart, at arealet af den figur, vi har skraveret, er lig med summen af halvdelen af arealerne af kvadraterne bygget på benene og arealet af den oprindelige trekant. På den anden side er det lig med halvdelen af arealet af kvadratet bygget på hypotenusen plus arealet af den oprindelige trekant. Pythagoras sætning- en af de grundlæggende teoremer i euklidisk geometri, der etablerer sammenhængen
mellem siderne af en retvinklet trekant.
Det menes, at det blev bevist af den græske matematiker Pythagoras, efter hvem det blev opkaldt.
Geometrisk formulering af Pythagoras sætning.
Sætningen blev oprindeligt formuleret som følger:
I en retvinklet trekant er arealet af kvadratet bygget på hypotenusen lig med summen af kvadraternes areal,
bygget på ben.
Algebraisk formulering af Pythagoras sætning.
I en retvinklet trekant er kvadratet af hypotenusens længde lig med summen af kvadraterne af benlængderne.
Det vil sige at angive længden af trekantens hypotenus med c, og benlængderne igennem -en Og b:
Begge formuleringer Pythagoras sætning er ækvivalente, men den anden formulering er mere elementær, det gør den ikke
kræver områdebegrebet. Det vil sige, at den anden erklæring kan verificeres uden at vide noget om området og
ved kun at måle længderne af siderne i en retvinklet trekant.
Omvendt Pythagoras sætning.
Hvis kvadratet på den ene side af en trekant er lig med summen af kvadraterne på de to andre sider, så
retvinklet trekant.
Eller med andre ord:
For hver tripel af positive tal -en, b Og c, sådan at
der er en retvinklet trekant med ben -en Og b og hypotenusen c.
Pythagoras sætning for en ligebenet trekant.
Pythagoras sætning for en ligesidet trekant.
Beviser for Pythagoras sætning.
I øjeblikket er 367 beviser for denne teorem blevet registreret i den videnskabelige litteratur. Sandsynligvis sætningen
Pythagoras er den eneste sætning med et så imponerende antal beviser. Sådan en mangfoldighed
kan kun forklares med sætningens fundamentale betydning for geometri.
Selvfølgelig kan de konceptuelt alle opdeles i et lille antal klasser. Den mest berømte af dem:
bevis arealmetode, aksiomatisk Og eksotiske beviser(For eksempel,
ved hjælp af differentialligninger).
1. Bevis for Pythagoras sætning ved hjælp af lignende trekanter.
Følgende bevis for den algebraiske formulering er det enkleste af de konstruerede beviser
direkte fra aksiomerne. Især bruger den ikke begrebet areal af en figur.
Lade ABC der er en retvinklet trekant med en ret vinkel C. Lad os tegne højden ud fra C og betegne
dens fundament igennem H.
Trekant ACH ligner en trekant AB C i to hjørner. Ligeledes trekant CBH lignende ABC.
Ved at introducere notationen:
vi får:
,
som svarer til -
Foldet -en 2 og b 2 får vi:
eller , hvilket er det, der skulle bevises.
2. Bevis for Pythagoras sætning ved hjælp af arealmetoden.
Beviserne nedenfor er på trods af deres tilsyneladende enkelhed slet ikke så enkle. Allesammen
bruge egenskaber ved areal, hvis beviser er mere komplekse end beviset for selve Pythagoras sætning.
- Bevis gennem ækvikomplementaritet.
Lad os arrangere fire lige store rektangulære
trekant som vist på figuren
til højre.
Firkant med sider c- firkantet,
da summen af to spidse vinkler er 90°, og
udfoldet vinkel - 180°.
Arealet af hele figuren er ens, på den ene side,
areal af en firkant med side ( a+b), og på den anden side summen af arealerne af fire trekanter og
Q.E.D.
3. Bevis for Pythagoras sætning ved den infinitesimal metode.
Ser man på tegningen vist på figuren og
ser siden skifte-en, vi kan
skriv følgende relation for uendeligt
lille sidestigningerMed Og -en(ved at bruge lighed
trekanter):
Ved hjælp af variabel separationsmetoden finder vi:
Et mere generelt udtryk for ændringen i hypotenusen i tilfælde af stigninger på begge sider:
Ved at integrere denne ligning og bruge startbetingelserne får vi:
Så når vi frem til det ønskede svar:
Som det er let at se, vises den kvadratiske afhængighed i den endelige formel på grund af den lineære
proportionalitet mellem trekantens sider og inkrementerne, mens summen er relateret til den uafhængige
bidrag fra stigningen af forskellige ben.
Et enklere bevis kan opnås, hvis vi antager, at det ene ben ikke oplever en stigning
(V I dette tilfælde ben b). Så for integrationskonstanten får vi:
Ethvert skolebarn ved, at kvadratet af hypotenusen altid er lig med summen af benene, som hver er i anden. Dette udsagn kaldes Pythagoras sætning. Det er en af de mest berømte teoremer inden for trigonometri og matematik generelt. Lad os se nærmere på det.
Begrebet en retvinklet trekant
Inden vi går videre til at overveje Pythagoras sætning, hvor kvadratet af hypotenusen er lig med summen af de ben, der er i anden, bør vi overveje konceptet og egenskaberne for en retvinklet trekant, for hvilken sætningen er sand.
En trekant er en flad figur med tre vinkler og tre sider. En retvinklet trekant har, som navnet antyder, én ret vinkel, det vil sige, at denne vinkel er lig med 90 o.
Fra generelle egenskaber for alle trekanter er det kendt, at summen af alle tre vinkler i denne figur er 180 o, hvilket betyder, at for en retvinklet trekant er summen af to vinkler, der ikke er rette vinkler, 180 o - 90 o = 90 o. Sidste faktum betyder, at enhver vinkel i en retvinklet trekant, der ikke er ret, altid vil være mindre end 90 o.
Den side, der ligger modsat den rette vinkel, kaldes hypotenusen. De to andre sider er trekantens ben, de kan være ens med hinanden, eller de kan være forskellige. Fra trigonometri ved vi, at jo større vinkel en side af en trekant ligger imod, jo større er længden af den side. Det betyder, at i en retvinklet trekant vil hypotenusen (ligger modsat 90 o-vinklen) altid være større end nogen af benene (ligger modsat vinklerne)< 90 o).
Matematisk notation af Pythagoras sætning
Denne sætning siger, at kvadratet af hypotenusen er lig med summen af benene, som hver tidligere er i anden. For at skrive denne formulering matematisk skal du overveje en retvinklet trekant, hvor siderne a, b og c er henholdsvis de to ben og hypotenusen. I dette tilfælde kan sætningen, som er formuleret som kvadratet af hypotenusen er lig med summen af kvadraterne på benene, repræsenteres med følgende formel: c 2 = a 2 + b 2. Herfra kan andre formler, der er vigtige for praksis, fås: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) og c = √(a 2 + b 2).
Bemærk, at i tilfælde af en retvinklet ligesidet trekant, det vil sige a = b, vil formuleringen: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af benene, som hver er i anden kvadrat, skrives matematisk som følger: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, hvilket indebærer ligheden: c = a√2.
Historisk reference
Pythagoras sætning, som siger, at kvadratet af hypotenusen er lig med summen af benene, som hver er i anden kvadrat, var kendt længe før den berømte græsk filosof. Mange papyrus Det gamle Egypten, såvel som babyloniernes lertavler bekræfter, at disse folk brugte den bemærkede egenskab ved siderne af en retvinklet trekant. For eksempel en af de første Egyptiske pyramider, Khafre-pyramiden, hvis konstruktion går tilbage til det 26. århundrede f.Kr. (2000 år før Pythagoras liv), blev bygget ud fra viden om billedformatet i en retvinklet trekant 3x4x5.
Hvorfor bærer sætningen nu grækerens navn? Svaret er enkelt: Pythagoras er den første, der matematisk beviser denne sætning. De overlevende babylonske og egyptiske skriftlige kilder taler kun om dets brug, men giver ikke noget matematisk bevis.
Det menes, at Pythagoras beviste den pågældende sætning ved at bruge egenskaberne for lignende trekanter, som han opnåede ved at tegne højden i en retvinklet trekant fra en vinkel på 90 o til hypotenusen.
Et eksempel på brug af Pythagoras sætning
Lad os overveje simpel opgave: det er nødvendigt at bestemme længden af den skrå trappe L, hvis man ved, at den har en højde H = 3 meter, og afstanden fra den væg, som trappen hviler mod, til dens fod er P = 2,5 meter.
I dette tilfælde er H og P benene, og L er hypotenusen. Da længden af hypotenusen er lig med summen af kvadraterne på benene, får vi: L 2 = H 2 + P 2, hvorfra L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3.905 meter eller 3 m og 90, 5 cm
Pythagoras sætning: Summen af arealer af firkanter, der hviler på ben ( -en Og b), lig med arealet af kvadratet bygget på hypotenusen ( c).
Geometrisk formulering:
Sætningen blev oprindeligt formuleret som følger:
Algebraisk formulering:
Det vil sige at angive længden af trekantens hypotenus med c, og benlængderne igennem -en Og b :
-en 2 + b 2 = c 2Begge formuleringer af sætningen er ækvivalente, men den anden formulering er mere elementær; den kræver ikke begrebet areal. Det vil sige, at det andet udsagn kan verificeres uden at vide noget om arealet og ved kun at måle længderne af siderne i en retvinklet trekant.
Omvendt Pythagoras sætning:
Bevis
I øjeblikket er 367 beviser for denne teorem blevet registreret i den videnskabelige litteratur. Sandsynligvis er Pythagoras sætning den eneste sætning med et så imponerende antal beviser. En sådan mangfoldighed kan kun forklares med den grundlæggende betydning af sætningen for geometri.
Selvfølgelig kan de konceptuelt alle opdeles i et lille antal klasser. Den mest berømte af dem: beviser ved arealmetoden, aksiomatiske og eksotiske beviser (for eksempel ved hjælp af differentialligninger).
Gennem lignende trekanter
Følgende bevis for den algebraiske formulering er det enkleste af beviserne, konstrueret direkte ud fra aksiomerne. Især bruger den ikke begrebet areal af en figur.
Lade ABC der er en retvinklet trekant med en ret vinkel C. Lad os tegne højden ud fra C og angiv dens base med H. Trekant ACH ligner en trekant ABC i to hjørner. Ligeledes trekant CBH lignende ABC. Ved at introducere notationen
vi får
Hvad er tilsvarende
Lægger vi det sammen, får vi
Beviser ved hjælp af arealmetoden
Beviserne nedenfor er på trods af deres tilsyneladende enkelhed slet ikke så enkle. De bruger alle arealegenskaber, hvis bevis er mere komplekst end beviset for selve Pythagoras sætning.
Bevis via equicomplementation
- Lad os arrangere fire lige store trekanter som vist i figur 1.
- Firkant med sider c er et kvadrat, da summen af to spidse vinkler er 90°, og den rette vinkel er 180°.
- Arealet af hele figuren er på den ene side lig med arealet af en firkant med side (a + b), og på den anden side summen af arealerne af fire trekanter og to indre firkanter.
Q.E.D.
Beviser gennem ækvivalens
Elegant bevis ved hjælp af permutation
Et eksempel på et sådant bevis er vist på tegningen til højre, hvor en firkant bygget på hypotenusen er omarrangeret til to firkanter bygget på benene.
Euklids bevis
Tegning til Euklids bevis
Illustration til Euklids bevis
Ideen med Euklids bevis er som følger: lad os prøve at bevise, at halvdelen af kvadratet bygget på hypotenusen er lig med summen af de halve arealer af kvadraterne bygget på benene, og derefter arealerne af de store og to små firkanter er lige store.
Lad os se på tegningen til venstre. På den konstruerede vi firkanter på siderne af en retvinklet trekant og tegnede en stråle s fra toppunktet af den rette vinkel C vinkelret på hypotenusen AB, den skærer kvadratet ABIK, bygget på hypotenusen, i to rektangler - BHJI og HAKJ, henholdsvis. Det viser sig, at arealerne af disse rektangler er nøjagtigt lig med arealerne af firkanterne bygget på de tilsvarende ben.
Lad os prøve at bevise, at arealet af kvadratet DECA er lig med arealet af rektanglet AHJK. For at gøre dette vil vi bruge en hjælpeobservation: Arealet af en trekant med samme højde og base som det givne rektangel er lig med halvdelen af arealet af det givne rektangel. Dette er en konsekvens af at definere arealet af en trekant som halvdelen af produktet af basen og højden. Fra denne observation følger det, at arealet af trekanten ACK er lig med arealet af trekanten AHK (ikke vist på figuren), som igen er lig med halvdelen af arealet af rektanglet AHJK.
Lad os nu bevise, at arealet af trekanten ACK også er lig med halvdelen af arealet af kvadratisk DECA. Det eneste, der skal gøres for dette, er at bevise ligheden mellem trekanter ACK og BDA (da arealet af trekanten BDA er lig med halvdelen af kvadratets areal ifølge ovenstående egenskab). Denne lighed er indlysende, trekanterne er lige store på begge sider og vinklen mellem dem. Nemlig - AB=AK,AD=AC - ligheden mellem vinklerne CAK og BAD er let at bevise med bevægelsesmetoden: vi drejer trekanten CAK 90° mod uret, så er det tydeligt, at de tilsvarende sider af de to trekanter i spørgsmålet vil falde sammen (på grund af det faktum, at vinklen ved firkantens toppunkt er 90°).
Begrundelsen for ligheden af arealerne af kvadratet BCFG og rektanglet BHJI er fuldstændig ens.
Således beviste vi, at arealet af en firkant bygget på hypotenusen er sammensat af områderne af firkanter bygget på benene. Ideen bag dette bevis er yderligere illustreret af animationen ovenfor.
Bevis for Leonardo da Vinci
Bevis for Leonardo da Vinci
Hovedelementerne i beviset er symmetri og bevægelse.
Lad os betragte tegningen, som det kan ses af symmetrien, et segment Cjeg skærer firkanten ENBHJ i to identiske dele (da trekanter ENBC Og JHjeg lige i konstruktion). Ved at bruge en 90 graders rotation mod uret ser vi ligheden mellem de skraverede figurer CENJjeg Og GDENB . Nu er det klart, at arealet af den figur, vi har skraveret, er lig med summen af halvdelen af arealerne af kvadraterne bygget på benene og arealet af den oprindelige trekant. På den anden side er det lig med halvdelen af arealet af kvadratet bygget på hypotenusen plus arealet af den oprindelige trekant. Det sidste trin i korrekturen overlades til læseren.
Bevis ved den infinitesimal metode
Følgende bevis ved hjælp af differentialligninger tilskrives ofte den berømte engelske matematiker Hardy, som levede i første halvdel af det 20. århundrede.
Ser på tegningen vist på figuren og observerer ændringen i side -en, kan vi skrive følgende relation for infinitesimale sidestigninger Med Og -en(ved hjælp af trekant-lighed):
Bevis ved den infinitesimal metode
Ved hjælp af metoden til adskillelse af variabler, finder vi
Et mere generelt udtryk for ændringen i hypotenusen i tilfælde af stigninger på begge sider
Ved at integrere denne ligning og bruge startbetingelserne får vi
c 2 = -en 2 + b 2 + konstant.Dermed når vi frem til det ønskede svar
c 2 = -en 2 + b 2 .Som det er let at se, vises den kvadratiske afhængighed i den endelige formel på grund af den lineære proportionalitet mellem trekantens sider og stigningerne, mens summen er forbundet med uafhængige bidrag fra stigningen af forskellige ben.
Et enklere bevis kan opnås, hvis vi antager, at et af benene ikke oplever en stigning (i dette tilfælde benet b). Så for integrationskonstanten, vi opnår
Variationer og generaliseringer
- Hvis vi i stedet for kvadrater konstruerer andre lignende figurer på siderne, så er følgende generalisering af Pythagoras sætning sand: I en retvinklet trekant er summen af arealer af lignende figurer bygget på siderne lig med arealet af figuren bygget på hypotenusen. I særdeleshed:
- Summen af arealer af regulære trekanter bygget på benene er lig med arealet af en regulær trekant bygget på hypotenusen.
- Summen af arealerne af halvcirkler bygget på benene (som på diameteren) er lig med arealet af halvcirklen bygget på hypotenusen. Dette eksempel bruges til at bevise egenskaberne af figurer afgrænset af buerne af to cirkler og kaldet Hippocratic lunulae.
Historie
Chu-pei 500-200 f.Kr. Til venstre er inskriptionen: summen af kvadraterne af længderne af højden og basen er kvadratet af længden af hypotenusen.
Den gamle kinesiske bog Chu-pei taler om en pythagoræisk trekant med siderne 3, 4 og 5: Den samme bog tilbyder en tegning, der falder sammen med en af tegningerne af den hinduistiske geometri i Bashara.
Cantor (den største tyske matematikhistoriker) mener, at ligheden 3² + 4² = 5² allerede var kendt af egypterne omkring 2300 f.Kr. e. i kong Amenemhat I's tid (ifølge papyrus 6619 fra Berlin Museum). Ifølge Cantor byggede harpedonaptes, eller "rebtrækkere", rette vinkler ved hjælp af rette trekanter med siderne 3, 4 og 5.
Det er meget nemt at gengive deres byggemetode. Lad os tage et reb 12 m langt og binde en farvet strimmel til det i en afstand af 3 m. fra den ene ende og 4 meter fra den anden. Den rette vinkel vil blive lukket mellem sider, der er 3 og 4 meter lange. Over for Harpedonapterne kunne det indvendes, at deres byggemetode bliver overflødig, hvis man for eksempel bruger en træfirkant, som bruges af alle tømrere. Faktisk kendes egyptiske tegninger, hvor et sådant værktøj findes, for eksempel tegninger, der forestiller et tømrerværksted.
Man ved noget mere om Pythagoras sætning blandt babylonierne. I én tekst går tilbage til Hammurabis tid, altså til 2000 f.Kr. e. en omtrentlig beregning af hypotenusen af en retvinklet trekant er givet. Heraf kan vi slutte, at de i Mesopotamien var i stand til at udføre beregninger med retvinklede trekanter, Ved i det mindste i nogle tilfælde. Baseret på den ene side det nuværende vidensniveau om egyptisk og babylonisk matematik, og på den anden side på en kritisk undersøgelse af græske kilder, kom Van der Waerden (hollandsk matematiker) til følgende konklusion:
Litteratur
På russisk
- Skopets Z.A. Geometriske miniaturer. M., 1990
- Elensky Shch. I Pythagoras' fodspor. M., 1961
- Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematik i det gamle Egypten, Babylon og Grækenland. M., 1959
- Glazer G.I. Historie om matematik i skolen. M., 1982
- W. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960.
- Et websted om Pythagoras sætning med et stort antal beviser, materiale hentet fra bogen af V. Litzmann, et stort antal tegninger præsenteres i form af separate grafiske filer.
- Pythagoras sætning og Pythagoras tredobler kapitlet fra bogen af D. V. Anosov "Et kig på matematik og noget derfra"
- Om Pythagoras teorem og metoder til at bevise det G. Glaser, akademiker ved det russiske uddannelsesakademi, Moskva
På engelsk
- Pythagoras sætning ved WolframMathWorld
- Cut-The-Knot, afsnit om Pythagoras sætning, omkring 70 beviser og omfattende yderligere information (engelsk)
Wikimedia Foundation. 2010.
