Több típusa van irracionalitás törtek a nevezőben. Egy vagy egy algebrai gyök jelenlétével jár együtt különböző fokozatok. Annak érdekében, hogy megszabaduljon irracionalitás, a helyzettől függően bizonyos matematikai műveletek elvégzése szükséges.

Utasítás

1. Mielőtt megszabadulna irracionalitás törtek a nevezőben meg kell határoznia a típusát, és ennek függvényében folytassa a megoldást. Valójában minden irracionalitás a gyökök egyszerű jelenlétéből következik, ezek különböző kombinációit és fokozatait különböző algoritmusok feltételezik.

2. A nevező négyzetgyöke, az a/?b alak kifejezése Adjon meg egy további tényezőt, amely egyenlő?b. Ahhoz, hogy a tört ne változzon, a számlálót és a nevezőt is meg kell szorozni: a/?b ? (a ?b)/b. 1. példa: 10/?3 ? (10?3)/3.

3. Jelenlét a vonal alatt törtek gyökér tört hatvány az m/n és n>m alakú Ez a kifejezés így néz ki: a/?(b^m/n).

4. Szabadulj meg a hasonlóktól irracionalitás szorzó megadásával is, ezúttal nehezebben: b^(n-m)/n, azaz. magából a gyök kitevőjéből ki kell vonni a jele alatti kifejezés mértékét. Ekkor csak az első hatvány marad a nevezőben: a/(b^m/n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b. 2. példa: 5/(4^3/5) ? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.

5. Összeg négyzetgyök Szorozzuk meg mindkét összetevőt törtek hasonló különbséggel. Ekkor a gyökök irracionális összeadásából a nevező a gyökjel alatti kifejezések/számok különbségévé alakul: a/(?b + ?c) ? a (?b - ?c)/(b - c). 3. példa: 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13-?23)/(13-23) = 9 (?23-?13)/10.

6. A kockagyökök összege/különbsége Válassza ki további tényezőként a különbség hiányos négyzetét, ha a nevezőben összeg van, és ennek megfelelően a gyökkülönbség összegének hiányos négyzetét: a/(?b ± ?c) ? a (?b?? ?(b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b?? ?(b c) + ?c?) ?a (?b?? c?)/(b ± c). 4. példa: 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.

7. Ha a feladat négyzet- és kockagyököt is tartalmaz, akkor ossza fel a megoldást két szakaszra: a nevezőből fokozatosan származtassa Négyzetgyök, és utána köb. Ez az Ön által már ismert módszerek szerint történik: az első műveletben ki kell választania a gyökök különbségének/összegének szorzóját, a másodikban - az összeg/különbség nem teljes négyzetét.

2. tipp: Hogyan lehet megszabadulni az irracionalitástól a nevezőben

Helyes beírás törtszám nem tartalmaz irracionalitás V névadó. Az ilyen jelölést megjelenésében könnyebb megérteni, ezért mikor irracionalitás V névadó Okos dolog megszabadulni tőle. Ebben az esetben az irracionalitás számlálóvá válhat.

Utasítás

1. Kezdésként nézzünk egy primitív példát - 1/sqrt(2). A 2 négyzetgyöke egy irracionális szám névadó.Ebben az esetben meg kell szorozni a tört számlálóját és nevezőjét a nevezőjével. Ez ésszerű számot fog adni névadó. Valóban, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Ha 2 azonos négyzetgyököt megszorozunk egymással, akkor azt kapjuk, ami az összes gyök alatt van: in ebben az esetben- kettő. Ennek eredményeként: 1/sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = négyzet(2)/2. Ez az algoritmus alkalmas törtekre is, in névadó aminek a gyökét megszorozzuk egy ésszerű számmal. A számlálót és a nevezőt ebben az esetben meg kell szorozni a benne lévő gyökérrel névadó.Példa: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = négyzet(3)/(2*3) = négyzet( 3)/6.

2. Természetesen ilyesmit kell tenni, ha névadó Nem a négyzetgyököt találjuk, hanem mondjuk a köbgyököt vagy bármilyen más fokot. Gyökerezzen be névadó ugyanazzal a gyökkel kell szorozni, és a számlálót is ugyanazzal a gyökkel kell szorozni. Ezután a gyökér bekerül a számlálóba.

3. Nehezebb esetben be névadó van egy irracionális és egy ésszerű szám vagy 2 irracionális szám összege vagy különbsége 2 négyzetgyök vagy négyzetgyök és ésszerű szám összege (különbsége) esetén használhatja a híres képletet (x+y )(x-y) = (x^2 )-(y^2). Segít megszabadulni irracionalitás V névadó. Ha be névadó különbség, akkor meg kell szorozni a számlálót és a nevezőt ugyanazon számok összegével, ha az összeget - akkor a különbséggel. Ezt a szorzott összeget vagy különbséget konjugáltnak nevezzük az in kifejezéssel névadó.A séma eredménye jól látható a példában: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = négyzet(2)-1.

4. Ha be névadó van egy összeg (különbség), amelyben a gyök jelen van nagyobb mértékben, akkor a helyzet nem triviálissá válik és megszabadulás attól irracionalitás V névadó nem mindig elfogadható

3. tipp: Hogyan szabadulj meg az irracionalitástól a tört nevezőjében

A tört egy számlálóból áll, amely a sor tetején található, és egy nevezőből, amelyik osztja, és az alján található. Az irracionális szám olyan szám, amely nem ábrázolható a formában törtek egy egész számmal a számlálóban és egy természetes számmal névadó. Az ilyen számok például a 2 vagy a pi négyzetgyöke. Hagyományosan, amikor az irracionalitásról beszélünk névadó, a gyökérre utal.

Utasítás

1. Az irracionalitás megszüntetése a nevezővel való szorzással. Így az irracionalitás átkerül a számlálóba. Ha a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal megszorozzuk, az érték törtek nem változik. Használja ezt a lehetőséget, ha minden nevező gyök.

2. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt a nevezővel a szükséges számú alkalommal, a gyökértől függően. Ha a gyök négyzet, akkor egyszer.

3. Tekintsük a négyzetgyök példát. Vegyük az (56-y)/√(x+2) törtet. Van egy számlálója (56-y) és egy irracionális nevezője √(x+2), ami a négyzetgyök.

4. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt törtek nevezőre, azaz √(x+2)-re. Az eredeti példa (56-y)/√(x+2) lesz ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Az eredmény: ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Most a gyökér a számlálóban van, és in névadó nincs irracionalitás.

5. Nem mindig a nevező törtek mindegyik a gyökér alatt van. Szabaduljon meg az irracionalitástól az (x+y)*(x-y)=x²-y² képlet használatával.

6. Tekintsük a példát az (56-y)/(√(x+2)-√y törttel. Irracionális nevezője 2 négyzetgyök különbséget tartalmaz. Egészítse ki a nevezőt az (x+y)*(x-y) formára.

7. Szorozzuk meg a nevezőt a gyökök összegével. Megszorozzuk a számlálót ezzel, hogy megkapjuk az értéket törtek nem változott. A tört alakja: ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

8. Használja ki a fenti tulajdonságot (x+y)*(x-y)=x²-y², és mentesítse a nevezőt az irracionalitástól. Az eredmény: ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Most a gyök a számlálóban van, a nevező pedig megszabadult az irracionalitástól.

9. BAN BEN nehéz esetek ismételje meg mindkét lehetőséget, szükség szerint alkalmazva. Vegye figyelembe, hogy nem mindig lehet megszabadulni az irracionalitástól névadó .

Az algebrai tört A/B formájú kifejezés, ahol az A és B betűk bármely numerikus ill. szó szerinti kifejezések. Az algebrai törtekben a számláló és a nevező gyakran masszív alakú, de az ilyen törtekkel végzett műveleteket ugyanazok a szabályok szerint kell végrehajtani, mint a közönséges műveleteket, ahol a számláló és a nevező pozitív egész számok.

Utasítás

1. Ha vegyesen adják törtek, alakítsa át őket szabálytalan törtté (olyan törtté, amelyben a számláló nagyobb, mint a nevező): szorozza meg a nevezőt a teljes résszel, és adja hozzá a számlálót. Tehát a 2 1/3 számból 7/3 lesz. Ehhez szorozzon 3-at 2-vel, és adjon hozzá egyet.

2. Ha egy tizedesjegyet nem megfelelő törtté kell konvertálnia, gondolja úgy, hogy egy tizedesvessző nélküli számot annyi nullával oszt el eggyel, ahány szám van a tizedesvessző után. Tegyük fel, hogy a 2,5-ös számot 25/10-ként képzeljük el (ha lerövidítjük, 5/2-t kapunk), a 3,61-et pedig 361/100-nak. A nem megfelelő törtekkel való művelet gyakran könnyebb, mint a vegyes vagy tizedes törtekkel.

3. Ha a törtek azonos nevezőkkel rendelkeznek, és hozzá kell adni őket, akkor egyszerűen adja hozzá a számlálókat; a nevezők változatlanok maradnak.

4. Ha azonos nevezőjű törteket kell kivonnia, vonja ki a 2. tört számlálóját az első tört számlálójából. A nevezők sem változnak.

5. Ha törteket kell összeadnia vagy egy törtet ki kell vonnia a másikból, és ezeknek különböző nevezői vannak, csökkentse a törteket egy közös nevezőre. Ehhez keressen egy számot, amely mindkét nevező legkisebb univerzális többszöröse (LCM), vagy több, ha a törtek nagyobbak 2-nél. Az LCM egy olyan szám, amelyet az összes megadott tört nevezőire osztanak fel. Például 2 és 5 esetén ez a szám 10.

6. Az egyenlőségjel után húzzon egy vízszintes vonalat, és írja be ezt a számot (NOC) a nevezőbe. Adjon hozzá további tényezőket a teljes kifejezéshez – ez a szám, amellyel meg kell szoroznia a számlálót és a nevezőt is, hogy megkapja az LCM-et. A számlálókat lépésről lépésre szorozza meg további tényezőkkel, megtartva az összeadás vagy kivonás jelét.

7. Számítsa ki a végösszeget, szükség esetén csökkentse, vagy válassza ki a teljes részt. Például össze kell hajtani? És?. Az LCM mindkét frakcióra 12. Ekkor az első tört további tényezője 4, a 2. tört esetében - 3. Összesen: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Ha adunk példát a szorzásra, szorozzuk össze a számlálókat (ez lesz az összeg számlálója) és a nevezőket (ez lesz az összeg nevezője). Ebben az esetben nem kell ezeket közös nevezőre redukálni.

9. Egy tört törttel való osztásához a második törtet fejjel lefelé kell fordítani, és meg kell szorozni a törteket. Vagyis a/b: c/d = a/b · d/c.

10. Szükség szerint szorozza a számlálót és a nevezőt. Például helyezze ki az univerzális tényezőt a zárójelből, vagy bontsa ki a rövidített szorzóképletek szerint, hogy ezt követően szükség esetén csökkentse a számlálót és a nevezőt GCD-vel - a minimális univerzális osztóval.

Jegyzet!
Adjon hozzá számokat számokkal, azonos típusú betűket azonos típusú betűkkel. Tegyük fel, hogy lehetetlen összeadni a 3a-t és a 4b-t, ami azt jelenti, hogy ezek összege vagy különbsége a számlálóban marad - 3a±4b.

A mindennapi életben gyakoribbak a hamis számok: 1, 2, 3, 4 stb. (5 kg burgonya), és tört, nem egész számok (5,4 kg hagyma). Sok közülük bemutatásra kerül forma tizedesjegyek. De a tizedes törtet jelölje be forma törtek elég könnyű.

Utasítás

1. Tegyük fel, hogy a „0.12” szám adott. Ha nem csökkenti ezt a tizedes törtet, és úgy mutatja be, ahogy van, akkor ez így fog kinézni: 12/100 („tizenkét századrész”). Annak érdekében, hogy a nevezőben megszabaduljon a száztól, a számlálót és a nevezőt is el kell osztania egy számmal, amely egész számokra osztja őket. Ez a szám 4. Ekkor a számlálót és a nevezőt elosztva a következő számot kapjuk: 3/25.

2. Ha jobban megnézzük a hétköznapokat, akkor a termékek árcéduláján gyakran láthatjuk, hogy tömege például 0,478 kg vagy így tovább.. Ez a szám könnyen elképzelhető forma törtek:478/1000 = 239/500. Ez a tört elég csúnya, és ha lenne rá esély, akkor ezt a tizedes törtet tovább csökkentenék. És mindezt ugyanúgy: olyan szám kiválasztása, amely a számlálót és a nevezőt is osztja. Ezt a számot a legnagyobb univerzális tényezőnek nevezik. A tényezőt „legnagyobb”-nak nevezik, mert sokkal kényelmesebb, ha mind a számlálót, mind a nevezőt azonnal elosztjuk 4-gyel (mint az első példában), mint kétszer 2-vel.

Videó a témáról

Decimális töredék- változatosság törtek, amelynek nevezője egy „kerek” szám: 10, 100, 1000 stb., Mondja, töredék Az 5/10 decimális jelölése 0,5. E tézis alapján töredék tizedesjegyként ábrázolható törtek .

Utasítás

1. Lehetséges, tizedesjegyként kell ábrázolni töredék 18/25. Először is meg kell győződnie arról, hogy az egyik „kerek” szám szerepel-e a nevezőben: 100, 1000 stb. Ehhez meg kell szoroznia a nevezőt 4-gyel. De a számlálót és a nevezőt is meg kell szoroznia 4-gyel.

2. A számláló és a nevező szorzása törtek 18/25 4-gyel, kiderül 72/100. Ezt rögzítik töredék decimális formában: 0,72.

A 2 tizedes tört elosztása során, amikor nincs kéznél számológép, sokan tapasztalnak nehézségeket. Itt tényleg nincs semmi nehéz. Decimális törtek Ilyennek nevezzük, ha a nevezőjükben 10 többszöröse van. Az ilyen számokat szokás szerint egy sorba írjuk, és vesszővel választjuk el a tört részt az egésztől. Nyilván a törtrész jelenléte miatt, amely a tizedesvessző utáni számjegyek számában is különbözik, sokak számára nem világos, hogyan lehet számológép nélkül matematikai műveleteket végrehajtani ilyen számokkal.

Szükséged lesz

• papírlap, ceruza

Utasítás

1. Kiderült, hogy egy tizedes tört egy másikkal való osztásához meg kell nézni mindkét számot, és meg kell határozni, hogy melyikükben van több számjegy a tizedesvessző után. Mindkét számot megszorozzuk egy olyan számmal, amely 10 többszöröse, azaz. 10, 1000 vagy 100 000, a nullák száma, amelyekben egyenlő több számjegyekkel később, mint a 2 kezdőszámunk egyikének tizedespontja. Most mindkettő decimális törtek közönséges egész számokká alakult. Vegyünk egy papírlapot ceruzával, és válasszuk el a kapott két számot egy „sarokkal”. Megkapjuk az eredményt.

2. Tegyük fel, hogy a 7,456-os számot el kell osztanunk 0,43-mal. Az első szám több tizedesjegyű (3 tizedesjegy), ezért mindkét számot nem 1000-el megszorozzuk, és két primitív egész számot kapunk: 7456 és 430. Most 7456-ot elosztjuk 430-zal egy „sarokkal”, és azt kapjuk, hogy ha 7,456-ot osztunk 0.43-ra kb. 17.3 fog kijönni.

3. Van egy másik felosztási módszer is. Tizedesjegyek felírása törtek primitív törtek formájában számlálóval és nevezővel, esetünkben ezek 7456/1000 és 43/100. Később felírjuk a kifejezést 2 primitív tört osztására: 7456*100/1000*43, ezután csökkentjük a tízeseket, így kapjuk: 7456/10*43 = 7456/430 A végső kimenetben ismét megkapjuk az osztást 2 primitív szám 7456 és 430, amit egy „sarokkal” megtehetünk.

Videó a témáról

Hasznos tanács
Így a tizedes törtek felosztásának módja az, hogy egész számokra redukáljuk, és mindegyiket ugyanazzal a számmal szorozzuk meg. Az egész számokkal végzett műveletek végrehajtása szokás szerint senkinek nem okoz nehézséget.

Videó a témáról

Ha olyan tört algebrai kifejezést transzformálunk, amelynek nevezője irracionális kifejezést tartalmaz, általában megpróbáljuk a törtet úgy ábrázolni, hogy a nevezője racionális legyen. Ha A,B,C,D,... néhány algebrai kifejezések, akkor megadhat szabályokat, amelyek segítségével megszabadulhat a gyökjelektől az űrlap kifejezéseinek nevezőjében

Mindezen esetekben az irracionalitástól való megszabadulást úgy érjük el, hogy a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk egy olyan tényezővel, amelyet úgy választunk meg, hogy a tört nevezőjével való szorzata racionális legyen.

1) Megszabadulni az irracionalitástól az alak törtrészének nevezőjében. In szorozza meg a számlálót és a nevezőt ezzel

1. példa.

2) A forma törtrészei esetén. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt egy irracionális tényezővel

illetőleg, azaz a konjugált irracionális kifejezéshez.

Az utolsó művelet jelentése, hogy a nevezőben az összeg és a különbség szorzata négyzetkülönbséggé alakul, ami már racionális kifejezés lesz.

2. példa: Szabaduljon meg az irracionalitástól a kifejezés nevezőjében:

Megoldás, a) Szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét a kifejezéssel. Kapunk (feltéve, hogy)

3) Olyan kifejezések esetén, mint

a nevezőt összegként (különbségként) kezeljük, és megszorozzuk a különbség (összeg) résznégyzetével, így megkapjuk a kockák összegét (különbségét) ((20.11), (20.12)). A számlálót is meg kell szorozni ugyanezzel a tényezővel.

3. példa: Szabaduljon meg az irracionalitástól a kifejezések nevezőjében:

Megoldás, a) Ha ennek a törtnek a nevezőjét a számok és 1 összegének tekintjük, szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt e számok különbségének résznégyzetével:

vagy végül:

Bizonyos esetekben ellentétes jellegű transzformációt kell végrehajtani: meg kell szabadítani a tört irracionalitásától a számlálóban. Pontosan ugyanúgy hajtják végre.

4. példa: Szabaduljon meg az irracionalitástól a tört számlálójában.

1. lecke Az óra témája: „Felszabadulás az irracionalitástól a tört nevezőjében”

Célok:

Nevelési:

Fejlődési:

Nevelési: a következetesség előmozdítása tetteiben.

Az óra típusa:új dolgokat tanulni

Az óra standardja:

tudjon módot találni arra, hogy megszabaduljon az irracionalitástól

megérteni a „konjugált kifejezés” jelentését

tudjon megszabadulni az irracionalitástól a nevezőben.

Felszerelés: kártyák önálló munkához.

Az órák alatt

Tudod, hogyan kell kivonni a gyökereket? - kérdezi a tanár

Igen, persze. Erősebben kell húzni a növény szárát, és a gyökere eltávolítódik a talajból.

Nem, egy másik gyökérre gondoltam, például kilencből.

„Kilenc” lesz, mivel a „th” egy utótag.

Úgy értem, négyzetgyök.

Nincsenek négyzetgyökök. Rostosak és rúd alakúak.

Kilenc számtani négyzetgyöke.

Ezt mondanák! Kilenc négyzetgyöke = 3!

Tudod, hogyan kell kivonni a gyökereket?

2. „Az ismétlés a tanulás anyja.”

(8 perc)

2.A ház/ház ellenőrzése№ 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8

3. Bemelegítés. Kövesse a lépéseket (1. dia). Ellenőrizze egy körben az óramutató járásával ellentétes irányba.

1. Válasszon egy ismeretlen tényezőt (2. dia)

Csoportokra bontás: kiválasztott ábrák szerint.

Ellenőrizze a helyettesítő összetétel párját.

Egyénileg dolgoznak és ellenőrzik, értékelik a pontokat.

(1. melléklet)

3. "A könyv egy könyv, de használd az eszedet" (5 perc)

(3. dia) Két barát megoldott egy egyenletet
és különböző válaszokat kapott. Egyikük az x =-et választotta , ellenőriztek. A második úgy találta meg az ismeretlen tényezőt, hogy elosztotta a szorzatot ezzel
és kapott x = . Melyiknek van igaza? Tud lineáris egyenlet két gyökere van? A számításokhoz az a legkényelmesebb kifejezés, amelyik nem tartalmaz irracionalitást a nevezőben.

Óra témája(4. dia) : Az irracionalitástól való megszabadulás a tört nevezőjében

Gólok(5. dia) : ismerkedjen meg azzal, hogyan lehet megszabadulni a tört nevezőiben lévő irracionalitástól. A nevező irracionalitástól való megszabadításának képességének fejlesztése;

Páros műszak megoldása és bejelentkezése.

Megbeszélik a helyzetet, és következtetésre jutnak.

Írd le a témát

Fogalmazd meg célokat: ismerkedjen meg azzal, hogyan lehet megszabadulni a tört nevezőiben lévő irracionalitástól.

azon képesség fejlesztése, hogy meghatározza az irracionalitástól való megszabadulás módját;

4. Új anyagon dolgozni.

(10 perc)

Hogyan lehet megszabadulni az irracionalitástól a nevezőben? Szeretnéd tudni?

Csoportmunka új anyagokon

Csoportos teljesítmény

Rögzítés (6. dia)

Támogató vázlattal dolgoznak. (2. függelék)

Példák megoldása.

(3. függelék)

Információcsere.

5. Töltés (3 perc)

Gyakorlatok végzése

6. Önálló munkavégzés

(10 perc)

Többszintű kártyákkal

1 hüvelykes:

2 hüvelykes:

3 hüvelykes:

Végezzen egyénileg, ellenőrizze a jegyzetfüzetek másik csoporttal való cseréjével.

A pontok bekerülnek a csoport pontozókártyájába.

(1. melléklet)

7.Kreatív feladat

(2 perc)

Majom – narancssárga eladónő (7. dia)

Miután egyszer megérkeztem a dachámhoz,

Ott találtam egy problémát a radikálisokkal.

Elkezdte dobálni őket mindenfelé.

Kérünk benneteket, lányok és fiúk,

Oldja meg a majom farkán lévő problémát.

Ön szerint befejeztük ennek a témának a tanulmányozását? Folytassuk a következő leckében.

Arról beszélnek, hogy mit fognak megtudni erről a következő leckében.

8. Házi feladat: (2 perc)

19. o. (7. dia)

1. szint: 170 (1-6)

2. szint: No. 170 (1-6 és 9,12)

Kreatív feladat: Martyskin feladata.

Írd le

9. Óra összefoglalója. Visszaverődés

(3 perc)

A kiválasztott hangulatjelhez két csillag és egy kívánság van ragasztva a matricákon (7. dia)

A pontokat érdemjegyekké alakítják, és csoportos pontozókártyát kapnak a tanárok.

1. MELLÉKLET

Group Scorecard.

0-8 pont

Válasszon egy szorzót

0-8 pont

Csoportmunka új anyagon

0-5 pont

Magamat. Munka

0-5 pont

Lecke tevékenység

0-5 pont

2. MELLÉKLET

Támogató jegyzetek

Ha a nevező algebrai tört négyzetgyök jelet tartalmaz, akkor a nevező irracionalitást tartalmaz. Egy kifejezést olyan alakra alakítani, hogy a tört nevezőjében ne legyenek négyzetgyök jelek, az ún. felszabadulás az irracionalitástól a nevezőben

Ebben a témában a fent felsorolt ​​korlátok mindhárom csoportját irracionalitás mellett megvizsgáljuk. Kezdjük a $\frac(0)(0)$ formájú bizonytalanságot tartalmazó határértékekkel.

Bizonytalanság feltárása $\frac(0)(0)$.

Megoldási diagram szabványos példák Ez a típus általában két lépésből áll:

• Megszabadulunk a bizonytalanságot okozó irracionalitástól, ha megszorozzuk az úgynevezett „konjugált” kifejezéssel;
• Ha szükséges, vegye figyelembe a kifejezést a számlálóban vagy a nevezőben (vagy mindkettőben);
• Csökkentjük a bizonytalansághoz vezető tényezőket, és kiszámítjuk a határ kívánt értékét.

A fent használt "konjugált expresszió" kifejezést a példákban részletesen ismertetjük. Egyelőre nincs ok arra, hogy részletesen foglalkozzunk vele. Általánosságban elmondható, hogy a konjugált kifejezés használata nélkül mehet a másik irányba is. Néha egy jól megválasztott csere kiküszöbölheti az irracionalitást. Az ilyen példák ritkák a szabványban tesztek, ezért a helyettesítés használatához csak egy 6. számú példát veszünk figyelembe (lásd a témakör második részét).

Több képletre lesz szükségünk, amelyeket alább leírok:

\begin(egyenlet) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(egyenlet) \begin(egyenlet) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(egyenlet) \begin(egyenlet) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(egyenlet) \begin (egyenlet) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(egyenlet)

Ezenkívül feltételezzük, hogy az olvasó ismeri a másodfokú egyenletek megoldási képleteit. Ha $x_1$ és $x_2$ gyök másodfokú trinomikus$ax^2+bx+c$, akkor a következő képlettel faktorizálható:

\begin(egyenlet) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(egyenlet)

Az (1)-(5) képletek teljesen elegendőek a standard feladatok megoldására, amelyekre most továbblépünk.

1. számú példa

Keresse meg a $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Mivel $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ és $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, akkor az adott határértékben $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalanságunk van. A $\sqrt(7-x)-2$ különbség megakadályozza, hogy felfedjük ezt a bizonytalanságot. Az ilyen irracionalitásoktól való megszabadulás érdekében az úgynevezett „konjugált kifejezéssel” való szorzást alkalmazzák. Most megnézzük, hogyan működik egy ilyen szorzás. Szorozd meg a $\sqrt(7-x)-2$-t $\sqrt(7-x)+2$-val:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

A zárójelek megnyitásához alkalmazza a következőt: $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ az említett képlet jobb oldalán:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Mint látható, ha a számlálót megszorozod $\sqrt(7-x)+2$-tal, akkor a gyök (azaz az irracionalitás) eltűnik a számlálóból. Ez a kifejezés $\sqrt(7-x)+2$ lesz konjugált a $\sqrt(7-x)-2$ kifejezésre. A számlálót azonban nem szorozhatjuk meg egyszerűen $\sqrt(7-x)+2$-dal, mert ez megváltoztatja a $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ törtet, ami határ alatt. Egyszerre meg kell szoroznia a számlálót és a nevezőt:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Most ne feledje, hogy $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$, és nyissa meg a zárójeleket. És a zárójelek kinyitása és egy kis $3-x=-(x-3)$ átalakítás után a törtet $x-3$-tal csökkentjük:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

A $\frac(0)(0)$ bizonytalanság eltűnt. Most könnyen megkaphatja a választ erre a példára:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Megjegyzem, hogy a konjugált kifejezés megváltoztathatja a szerkezetét, attól függően, hogy milyen irracionalitást kell eltávolítania. A 4. és 5. példákban (lásd a témakör második részét) más típusú konjugált kifejezést használunk.

Válasz: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

2. példa

Keresse meg a $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Mivel $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ és $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, akkor mi $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalansággal foglalkoznak. Szabaduljunk meg az irracionalitástól ennek a törtnek a nevezőjében. Ehhez hozzáadjuk a $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ tört számlálóját és nevezőjét is a a $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ kifejezés konjugált a nevezőhöz:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Ismét, mint az 1. példában, zárójeleket kell használnia a bővítéshez. Az $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ behelyettesítésével az említett képlet jobb oldalán a következő kifejezést kapjuk a nevezőre:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ jobb)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\jobb)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\jobb)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Térjünk vissza a határainkhoz:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Az 1. példában a konjugált kifejezéssel való szorzás után szinte azonnal a frakció csökkent. Itt a redukció előtt a $3x^2-5x-2$ és a $x^2-4$ kifejezéseket faktorizálni kell, és csak ezután kell folytatni a redukciót. A $3x^2-5x-2$ kifejezés figyelembevételéhez a következőt kell használnia. Először döntsük el másodfokú egyenlet$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(igazított) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(igazított) $$

A $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ helyett a következőt kapjuk:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\jobbra)(x-2)=\bal(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\jobbra)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Most itt az ideje, hogy a $x^2-4$ kifejezést faktorizáljuk. Használjuk a következőt: $a=x$, $b=2$ behelyettesítve:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Használjuk a kapott eredményeket. Mivel $x^2-4=(x-2)(x+2)$ és $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, akkor:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

A $x-2$ zárójellel csökkentve a következőket kapjuk:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Minden! A bizonytalanság megszűnt. Még egy lépés, és elérkeztünk a válaszhoz:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Válasz: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

A következő példában vegyük figyelembe azt az esetet, amikor a tört számlálójában és nevezőjében is jelen lesznek irracionalitások.

3. példa

Keresse meg a $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Mivel $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ és $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, akkor van egy $ alakú bizonytalanságunk \frac (0)(0)$. Mivel ebben az esetben a gyökök mind a nevezőben, mind a számlálóban jelen vannak, a bizonytalanság elkerülése érdekében egyszerre két zárójellel kell szorozni. Először is, a $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ kifejezéshez konjugáljon a számlálóhoz. Másodszor pedig a $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ kifejezéshez konjugálja a nevezőt.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(igazított) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(igazított) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

A $x^2-8x+15$ kifejezésre a következőket kapjuk:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(igazított) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(igazított)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

A kapott $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ és $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ kiterjesztések behelyettesítése a korlátba mérlegelés alatt, a következők lesznek:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Válasz: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

A következő (második) részben megvizsgálunk még néhány olyan példát, amelyekben a konjugált kifejezés más formában lesz, mint az előző feladatokban. A legfontosabb dolog, amit meg kell jegyeznünk, hogy a konjugált kifejezések használatának célja, hogy megszabaduljunk a bizonytalanságot okozó irracionalitástól.

Kérésére!

5. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

6 . Egyszerűsítse a kifejezést:

17. f(x)=6x2 +8x+5, F(-1)=3. Keresse meg F(-2).

Keressük C-t, tudva, hogy F(-1) = 3.

3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + C;

3 = -2 + 4 - 5 + C;

Így az antiderivált F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6. Keressük meg az F(-2) értéket.

F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.

20. Szabadulj meg az irracionalitástól a nevezőben

A megoldás a tört alaptulajdonságán alapul, ami lehetővé teszi, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nullától eltérő számmal megszorozzuk. A tört nevezőjében lévő gyökjelektől való megszabaduláshoz általában rövidített szorzóképleteket használnak. Hiszen ha két gyök különbségét megszorozzuk az összegükkel, akkor megkapjuk a gyöknégyzetek különbségét, ti. radikális jelek nélküli kifejezést kap.

21. Egyszerűsítse a kifejezést:

Ezt a példát kétféleképpen oldjuk meg. 1) Képzeljük el a második tényező radikális kifejezését két kifejezés összegének négyzetének alakjában, ti. (a + b) 2 formában. Ez lehetővé teszi a számtani négyzetgyök kinyerését.

2) Tegyük négyzetre az első tényezőt, és tegyük a második tényező számtani négyzetgyökének jele alá.

Döntse el úgy, ahogy Önnek kényelmes!

22. Keresse meg (x 1 ∙y 1 +x 2 ∙y 2), ahol (x n; y n) az egyenletrendszer megoldásai:

Mivel a számtani négyzetgyök csak nem negatív számból vehető, akkor elfogadható értékeket változó nál nél minden szám kielégíti az egyenlőtlenséget y≥0. Mivel a rendszer első egyenletében szereplő szorzat egyenlő negatív szám, akkor a következő feltételnek kell teljesülnie: x<0 . Kifejezzük x az első egyenletből, és helyettesítse az értékét a második egyenletbe. Oldjuk meg a kapott egyenletet nál nél, majd keresse meg az értékeket x, amely megfelel a korábban kapott értékeknek nál nél.

23. Oldja meg az egyenlőtlenséget: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx.

Mivel a fő trigonometrikus azonosság szerint: sin 2 x+cos 2 x=1, akkor ezt az egyenlőtlenséget 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx formában bemutatva és a fő trigonometrikus azonosság, kapjuk: 6sin 2 x+ 1>5sinx. Az egyenlőtlenség megoldása:

6sin 2 x-5sinx+1 >0. Cseréljük le: sinx=y, és kapjunk egy másodfokú egyenlőtlenséget:

6y 2 -5y+1>0. Oldjuk meg ezt az egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel, a bal oldalt figyelembe véve. Ehhez keressük meg a teljes másodfokú egyenlet gyökereit:

6y 2 -5y+1=0. Diszkriminans D=b 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1. Ekkor y 1-et és y 2-t kapunk:

24. A derékszögű prizma alján egy szabályos háromszög található, amelynek területe: Számítsa ki a prizma oldalfelületének területét, ha térfogata 300 cm 3.

Adjunk egy ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszög prizmát, melynek alapjában a helyes Δ ABC található, területe ismert. Az egyenlő oldalú háromszög területének képletével megtaláljuk az ABC háromszögünk oldalát. Mivel az egyenes prizma térfogatát a V=S fő képlettel számítjuk ki. ∙ H, és azt is tudjuk, akkor megtaláljuk H - a prizma magasságát. A prizma oldaléle egyenlő lesz a prizma magasságával: AA 1 =H. Az alap oldalának és a prizma oldalélének hosszának ismeretében a következő képlet segítségével találhatja meg az oldalfelületének területét: S oldal. =P alap ∙ H.

25. Az iskolai vetélkedőn 20 kérdés volt. Minden helyes válaszért 12 pontot kapott a résztvevő, minden helytelen válaszért 10 pontot vontak le. Hány helyes választ adott valamelyik résztvevő, ha az összes kérdésre válaszolva 86 pontot ért el?

Adjon x helyes választ a résztvevő. Akkor (20) rossz válasza van. Tudva, hogy minden helyes válaszért 12 pontot kapott, és minden helytelen válaszért 10 pontot levontak, és ezzel együtt 86 pontot ért el, elkészítjük az egyenletet:

12x-10·(20-as)=86;

12x-200+10x=86;

22x=286 ⇒ x=286:22 ⇒ x=13. A résztvevő 13 helyes választ adott.

Kívánom, hogy adjon 25 helyes választ az UNT matematika tesztjére!

24. Egy szabályos négyszög alakú gúla magassága 3, oldaléle 6. Határozza meg a gúlára körülírt gömb sugarát!

Leírjunk egy olyan golyót, amelynek középpontja az O 1 pontban van, és a sugara MO 1 egy szabályos MABCD piramis körül, amelynek magassága MO=3 és oldaléle MA=6. Meg kell találni az MO 1 golyó sugarát. Tekintsük a ΔMAM 1-et, amelyben az MM 1 oldal a labda átmérője. Ekkor ∠MAM 1 =90°. Keressük meg az MM 1 befogót, ha ismert az MA oldal és ennek az MO oldalnak a hipotenuszra való vetülete. Emlékezik? A csúcsból húzott magasság derékszög a hypotenushoz van egy átlag arányos érték a lábak hipotenuszra való vetületei között, és mindegyik láb a teljes hypotenusus és ennek a lábnak a hipotenuszra való vetülete közötti átlagos arányos érték. Ebben a feladatban a szabálynak csak az aláhúzott része lesz hasznos számunkra.

Felírjuk az egyenlőséget: MA 2 =MO∙MM 1. Behelyettesítjük adatainkat: 6 2 =3∙MM 1. Ezért MM 1 =36:3=12. Megtaláltuk a golyó átmérőjét, tehát MO 1 =6 sugara.

25. Petya idősebb Kolja-nál, aki idősebb Misánál, Mása idősebb Koljánál, és Dasha fiatalabb Petya-nál, de idősebb Másánál. Ki a harmadik legidősebb?

Tegyük fel: a régebbi többet jelent. Petya idősebb Kolja-nál, aki idősebb MishánálÍrjuk így: Petya>Kolya>Misha. Dasha fiatalabb Petya-nál, de idősebb Másánálírjuk így: Mása<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Dasha> Masha. Mert Masha idősebb, mint Kolya, akkor megkapjuk: Petya>Dasha>Masha>Kolya. És végül: Petya>Dasha>Masha>Kolya>Misha. Így a harmadik legidősebb Masha.

Sikeres felkészülést kívánok az UNT-re!