Hogyan oldjunk meg racionális egyenleteket törtekkel. "tört racionális egyenletek megoldása"

Vakolat
29.09.2019

A fenti egyenletet a 7. §-ban vezettük be. Először is emlékezzünk vissza, mi a racionális kifejezés. ez - algebrai kifejezés, amely számokból és az x változóból áll összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás természetes kitevőjével.

Ha r(x) racionális kifejezés, akkor az r(x) = 0 egyenletet racionális egyenletnek nevezzük.

A gyakorlatban azonban célszerűbb a „racionális egyenlet” fogalmának kissé tágabb értelmezését használni: ez egy h(x) = q(x) alakú egyenlet, ahol h(x) és q(x) racionális kifejezések.

Eddig egyetlen racionális egyenletet sem tudtunk megoldani, csak olyat, amely különféle átalakítások és okfejtések eredményeként redukálódott lineáris egyenlet. Most sokkal nagyobbak a képességeink: képesek leszünk megoldani egy racionális egyenletet, amely nem csak lineárisra redukál
mu, hanem a másodfokú egyenlethez is.

Idézzük fel, hogyan oldottunk meg korábban racionális egyenleteket, és próbáljunk meg egy megoldási algoritmust megfogalmazni.

1. példa Oldja meg az egyenletet

Megoldás. Írjuk át az egyenletet a formába

Ebben az esetben szokás szerint kihasználjuk, hogy az A = B és az A - B = 0 egyenlőségek ugyanazt az összefüggést fejezik ki A és B között. Ez lehetővé tette, hogy a kifejezést az egyenlet bal oldalára helyezzük a ellenkező előjel.

Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát. Nekünk van


Emlékezzünk vissza az egyenlőség feltételeire törtek nulla: akkor és csak akkor, ha két reláció egyidejűleg teljesül:

1) a tört számlálója nulla (a = 0); 2) a tört nevezője különbözik a nullától).
Ha az (1) egyenlet bal oldalán lévő tört számlálóját nullával egyenlővé tesszük, azt kapjuk

Továbbra is ellenőrizni kell a fent jelzett második feltétel teljesülését. A reláció az (1) egyenletre azt jelenti, hogy . Az x 1 = 2 és x 2 = 0,6 értékek kielégítik a feltüntetett összefüggéseket, ezért az (1) egyenlet gyökeként szolgálnak, és egyben az adott egyenlet gyökeként is.

1) Alakítsuk át az egyenletet formává

2) Alakítsuk át ennek az egyenletnek a bal oldalát:

(egyszerre megváltoztatta a jeleket a számlálóban és
törtek).
Így az adott egyenlet alakot ölt

3) Oldja meg az x 2 - 6x + 8 = 0 egyenletet. Keresse meg

4) A talált értékeknél ellenőrizze a feltétel teljesülését . A 4-es szám teljesíti ezt a feltételt, de a 2-es nem. Ez azt jelenti, hogy a 4 az adott egyenlet gyöke, a 2 pedig egy idegen gyök.
VÁLASZ: 4.

2. Megoldás racionális egyenletekúj változó bevezetésével

Az új változó bevezetésének módja ismerős számodra, nem egyszer használtuk. Példákkal mutassuk be, hogyan használják racionális egyenletek megoldásában.

3. példa Oldja meg az x 4 + x 2 - 20 = 0 egyenletet.

Megoldás. Vezessünk be egy új y = x 2 változót. Mivel x 4 = (x 2) 2 = y 2, az adott egyenlet átírható így

y 2 + y - 20 = 0.

Ez egy másodfokú egyenlet, melynek gyökerei az ismert segítségével kereshetők képletek; azt kapjuk, hogy y 1 = 4, y 2 = - 5.
De y = x 2, ami azt jelenti, hogy a probléma két egyenlet megoldására redukálódott:
x 2 = 4; x 2 = -5.

Az első egyenletből azt találjuk, hogy a második egyenletnek nincs gyökere.
Válasz: .
Az ax 4 + bx 2 + c = 0 alakú egyenletet bikvadratikus egyenletnek nevezzük (a „bi” kettő, azaz egyfajta „kettős másodfokú” egyenlet). Az imént megoldott egyenlet pontosan biquadratikus volt. Bármely kétnegyedes egyenletet a 3. példa egyenletével megegyező módon oldjuk meg: vezessünk be egy új y = x 2 változót, oldjuk meg a kapott másodfokú egyenletet az y változóhoz képest, majd térjünk vissza az x változóhoz.

4. példa Oldja meg az egyenletet

Megoldás. Vegye figyelembe, hogy ugyanaz az x 2 + 3x kifejezés kétszer jelenik meg itt. Ez azt jelenti, hogy van értelme új y = x 2 + 3x változót bevezetni. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy az egyenletet egyszerűbb és kellemesebb formában írjuk át (ami valójában egy új változó- és a felvétel egyszerűsítése
világosabbá válik, és világosabbá válik az egyenlet szerkezete):

Most használjuk az algoritmust egy racionális egyenlet megoldására.

1) Helyezzük az egyenlet összes tagját egy részbe:

= 0
2) Alakítsa át az egyenlet bal oldalát!

Tehát a megadott egyenletet formára alakítottuk


3) A - 7y 2 + 29y -4 = 0 egyenletből azt találjuk (te és én már elég sok másodfokú egyenletet megoldottunk, így valószínűleg nem érdemes mindig részletes számításokat megadni a tankönyvben).

4) Ellenőrizzük a talált gyökereket az 5 (y - 3) (y + 1) feltétel segítségével. Mindkét gyökér megfelel ennek a feltételnek.
Tehát az új y változó másodfokú egyenlete megoldva:
Mivel y = x 2 + 3x, és y, mint megállapítottuk, két értéket vesz fel: 4 és , még két egyenletet kell megoldanunk: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Az első egyenlet gyökerei az 1 és -4 számok, a második egyenlet gyökei a számok

A vizsgált példákban az új változó bevezetésének módja – ahogy a matematikusok szokták mondani – adekvát volt a helyzetnek, vagyis jól megfelelt annak. Miért? Igen, mert ugyanaz a kifejezés többször is egyértelműen szerepelt az egyenletben, és volt oka ennek a kifejezésnek a megjelölésére új levél. De ez nem mindig történik meg, néha csak az átalakulási folyamat során „feltűnik” egy új változó. Pontosan ez fog történni a következő példában.

5. példa. Oldja meg az egyenletet
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Megoldás. Nekünk van
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.

Ez azt jelenti, hogy az adott egyenlet átírható a formába

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Most egy új változó „megjelent”: y = x 2 - 3x.

Segítségével az egyenlet y (y + 2) = 24, majd y 2 + 2y - 24 = 0 alakba írható át. Ennek az egyenletnek a gyökerei a 4 és -6 számok.

Visszatérve az eredeti x változóhoz, két x 2 - 3x = 4 és x 2 - 3x = - 6 egyenletet kapunk. Az első egyenletből x 1 = 4, x 2 = - 1; a második egyenletnek nincs gyöke.

VÁLASZ: 4, - 1.

Az óra tartalma leckejegyzetek keretóra prezentációgyorsítási módszerek támogatása interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek, grafikák, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek trükkök a kíváncsi kiságyak tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben, innováció elemei a leckében, az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

  • Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

  • Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt azokról egyedi ajánlatok, promóciók és egyéb események és közelgő események.
  • Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
  • A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
  • Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

  • Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
  • Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

1. § Egész és tört racionális egyenletek

Ebben a leckében olyan fogalmakat fogunk megvizsgálni, mint a racionális egyenlet, a racionális kifejezés, a teljes kifejezés, a tört kifejezés. Nézzük meg a racionális egyenletek megoldását.

A racionális egyenlet olyan egyenlet, amelyben a bal és a jobb oldal racionális kifejezés.

A racionális kifejezések a következők:

Tört.

Az egész kifejezés számokból, változókból és egész hatványokból áll összeadás, kivonás, szorzás és nullától eltérő számmal való osztás műveleteit használva.

Például:

A törtkifejezések egy változóval való osztást vagy egy változóval való kifejezést foglalnak magukban. Például:

A törtkifejezésnek nincs értelme a benne szereplő változók összes értékéhez. Például a kifejezés

x = -9-nél nincs értelme, mivel x = -9-nél a nevező nullára megy.

Ez azt jelenti, hogy egy racionális egyenlet lehet egész vagy tört.

A teljes racionális egyenlet olyan racionális egyenlet, amelyben a bal és a jobb oldal egész kifejezés.

Például:

A tört racionális egyenlet olyan racionális egyenlet, amelyben a bal vagy a jobb oldal törtkifejezések.

Például:

2. § Egy teljes racionális egyenlet megoldása

Tekintsük egy teljes racionális egyenlet megoldását.

Például:

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a legkisebbel közös nevező a benne szereplő törtek nevezői.

Ezért:

1. keresse meg a 2, 3, 6 nevezők közös nevezőjét. Ez egyenlő 6-tal;

2. keress minden törthez egy további tényezőt. Ehhez osszuk el a 6-os közös nevezőt minden nevezővel

további tényező a törthez

további tényező a törthez

3. szorozza meg a törtek számlálóit a hozzájuk tartozó járulékos tényezőkkel. Így megkapjuk az egyenletet

amely ekvivalens az adott egyenlettel

Nyissuk ki a bal oldali zárójeleket, mozgassuk a jobb oldali részt balra, áthelyezve a kifejezés előjelét az ellenkezőjére.

Hozzuk a polinom hasonló tagjait, és kapjuk

Látjuk, hogy az egyenlet lineáris.

Megoldás után azt kapjuk, hogy x = 0,5.

3. § Tört racionális egyenlet megoldása

Tekintsük egy tört racionális egyenlet megoldását.

Például:

1.Szorozza meg az egyenlet mindkét oldalát a benne szereplő racionális törtek nevezőinek legkisebb közös nevezőjével!

Keressük meg az x + 7 és az x - 1 nevezők közös nevezőjét.

Ez egyenlő a szorzatukkal (x + 7)(x - 1).

2. Keressünk minden racionális törthez egy további tényezőt.

Ehhez osszuk el az (x + 7)(x - 1) közös nevezőt minden nevezővel. További tényező a törtekhez

egyenlő x - 1,

további tényező a törthez

egyenlő x+7.

3.Szorozza meg a törtek számlálóit a hozzájuk tartozó további tényezőkkel.

Megkapjuk a (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) egyenletet, amely ekvivalens ezzel az egyenlettel

4. Szorozd meg a binomiálist a bal és jobb oldali binomimmal, és kapd meg a következő egyenletet

5. A jobb oldalt balra mozgatjuk, az ellenkezőjére való áttéréskor minden tag előjelét változtatjuk:

6. Mutassuk be a polinom hasonló tagjait:

7. Mindkét oldal osztható -1-gyel. Másodfokú egyenletet kapunk:

8. Miután megoldottuk, meg fogjuk találni a gyökereket

Mivel az Eq.

a bal és a jobb oldal törtkifejezések, törtkifejezésekben pedig a változók egyes értékeinél a nevező nullává válhat, ekkor ellenőrizni kell, hogy a közös nevező nem megy-e nullára, ha x1 és x2 található .

x = -27 esetén az (x + 7)(x - 1) közös nevező nem tűnik el, x = -1 esetén a közös nevező szintén nem nulla.

Ezért mind a -27, mind a -1 gyöke az egyenlet gyöke.

Tört racionális egyenlet megoldásánál jobb, ha azonnal megadjuk a régiót elfogadható értékeket. Távolítsa el azokat az értékeket, amelyeknél a közös nevező nullára megy.

Nézzünk egy másik példát egy tört racionális egyenlet megoldására.

Például oldjuk meg az egyenletet

Az egyenlet jobb oldalán lévő tört nevezőjét beszámítjuk

Megkapjuk az egyenletet

Keressük meg az (x - 5), x, x(x - 5) nevezők közös nevezőjét.

Ez az x(x - 5) kifejezés lesz.

Most keressük meg az egyenlet elfogadható értékeinek tartományát

Ehhez a közös nevezőt egyenlővé tesszük a nullával x(x - 5) = 0.

Kapunk egy egyenletet, amelyet megoldva azt találjuk, hogy x = 0 vagy x = 5 esetén a közös nevező nullára megy.

Ez azt jelenti, hogy x = 0 vagy x = 5 nem lehet az egyenletünk gyöke.

Most további szorzók találhatók.

A racionális törtek kiegészítő tényezője

a tört további tényezője

lesz (x - 5),

és a tört járulékos tényezője

A számlálókat megszorozzuk a megfelelő további tényezőkkel.

Az x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) egyenletet kapjuk.

Nyissuk ki a bal és jobb oldali zárójeleket, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Mozgassuk át a feltételeket jobbról balra az átvitt feltételek előjelének megváltoztatásával:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

És hasonló tagok behozása után egy x2 - 3x - 10 = 0 másodfokú egyenletet kapunk. Megoldás után megtaláljuk az x1 = -2 gyököket; x2 = 5.

De már rájöttünk, hogy x = 5-nél az x(x - 5) közös nevező nullára megy. Ezért az egyenletünk gyökere

x = -2 lesz.

4. § Rövid összefoglaló lecke

Fontos megjegyezni:

A tört racionális egyenletek megoldása során a következőképpen járjon el:

1. Keresse meg az egyenletben szereplő törtek közös nevezőjét! Sőt, ha a törtek nevezői faktorálhatók, akkor faktorálja őket, majd keresse meg a közös nevezőt.

2.Szorozza meg az egyenlet mindkét oldalát egy közös nevezővel: keressen további tényezőket, szorozza meg a számlálókat további tényezőkkel.

3. Oldja meg a kapott teljes egyenletet!

4. Távolítsa el gyökerei közül azokat, amelyek a közös nevezőt eltüntetik.

A felhasznált irodalom listája:

  1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Szerk.: Telyakovsky S.A. Algebra: tankönyv. 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények. - M.: Oktatás, 2013.
  2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. évfolyam: Két részben. 1. rész: Tankönyv. általános műveltségre intézmények. - M.: Mnemosyne.
  3. Rurukin A.N. Órafejlesztések algebrából: 8. évfolyam.- M.: VAKO, 2010.
  4. Algebra 8. osztály: óratervek a tankönyv szerint Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neskova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Tanár, 2005.

Smirnova Anastasia Jurjevna

Az óra típusa: lecke az új anyagok tanulásáról.

Szervezeti forma oktatási tevékenységek : frontális, egyéni.

A lecke célja: egy új típusú egyenlet - a tört racionális egyenletek - bevezetése, hogy képet adjon a tört racionális egyenletek megoldásának algoritmusáról.

Az óra céljai.

Nevelési:

  • tört racionális egyenlet fogalmának kialakítása;
  • fontoljon meg egy algoritmust a tört racionális egyenletek megoldására, beleértve azt a feltételt, hogy a tört egyenlő nullával;
  • tört racionális egyenletek megoldásának megtanítása algoritmus segítségével.

Fejlődési:

  • feltételeket teremteni a megszerzett ismeretek alkalmazásában való készségek fejlesztéséhez;
  • elősegíti a tanulók kognitív érdeklődésének kialakulását a tantárgy iránt;
  • a tanulók elemzési, összehasonlítási és következtetési képességének fejlesztése;
  • a kölcsönös kontroll és önuralom, a figyelem, a memória, a szóbeli és írásbeli beszéd, az önállóság fejlesztése.

Oktatás:

  • a téma iránti kognitív érdeklődés előmozdítása;
  • az önállóság elősegítése az oktatási problémák megoldásában;
  • akarat és kitartás ápolása a végső eredmények elérése érdekében.

Felszerelés: tankönyv, tábla, zsírkréták.

Tankönyv "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, szerkesztette: S.A. Telyakovsky. Moszkva „felvilágosodás”. 2010

Öt órát szánnak erre a témára. Ezt a leckét az első. A lényeg az, hogy tanulmányozzuk a tört racionális egyenletek megoldására szolgáló algoritmust, és gyakoroljuk ezt az algoritmust a gyakorlatokban.

Az órák alatt

1. Szervezési mozzanat.

Helló srácok! Ma egy négysorral szeretném kezdeni a leckét:
Hogy mindenki élete könnyebb legyen,
Mi lenne eldöntve, mi lenne lehetséges,
Mosolyogj, sok sikert mindenkinek,
Hogy ne legyen gond,
Egymásra mosolyogtunk és alkottunk jó hangulatés elkezdett dolgozni.

A táblára egyenletek vannak felírva, figyelmesen nézze meg őket. Meg tudod oldani ezeket az összes egyenletet? Melyek nem és miért?

Azokat az egyenleteket, amelyekben a bal és a jobb oldal tört racionális kifejezés, tört racionális egyenleteknek nevezzük. Szerinted mit fogunk tanulni ma az órán? Fogalmazd meg az óra témáját! Tehát nyisd ki a jegyzetfüzeteidet, és írd le a „Tört racionális egyenletek megoldása” című lecke témáját.

2. Az ismeretek frissítése. Frontális felmérés, szóbeli munka az osztállyal.

És most megismételjük a fő elméleti anyagot, amelyre egy új téma tanulmányozásához szükségünk lesz. Kérjük, válaszoljon a következő kérdésekre:

  1. Mi az egyenlet? ( Egyenlõség változóval vagy változókkal.)
  2. Mi a neve az 1-es számú egyenletnek? ( Lineáris.) Megoldás lineáris egyenletek. (Helyezzen mindent az ismeretlennel az egyenlet bal oldalára, az összes számot jobbra. Vezet hasonló kifejezések. Ismeretlen tényező keresése).
  3. Mi a neve a 3-as számú egyenletnek? ( Négyzet.) Másodfokú egyenletek megoldási módszerei. (P képletekről)
  4. Mi az arány? ( Két arány egyenlősége.) Az arányosság fő tulajdonsága. ( Ha az arány helyes, akkor szélső tagjainak szorzata megegyezik a középső tagok szorzatával.)
  5. Milyen tulajdonságokat használunk az egyenletek megoldása során? ( 1. Ha egy egyenletben szereplő tagot az egyik részből a másikba mozgatjuk, megváltoztatva az előjelét, akkor a megadottal egyenértékű egyenletet kapunk. 2. Ha az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor az adott egyenletet kapunk.)
  6. Mikor egyenlő egy tört nullával? ( Egy tört akkor egyenlő nullával, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla..)

3. Új anyag magyarázata.

Oldd meg a 2. egyenletet a füzetedben és a táblán!

Válasz: 10.

Melyik tört racionális egyenlet Megpróbálhatja megoldani az arányosság alaptulajdonságával? (5. sz.).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Oldd meg a 4. egyenletet a füzetedben és a táblán!

Válasz: 1,5.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozza a nevezővel? (6. sz.).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Válasz: 3;4.

A következő leckékben a 7. számú egyenlethez hasonló egyenletek megoldását nézzük meg.

Magyarázd el, miért történt ez? Miért van az egyik esetben három gyökér, a másikban kettő? Mely számok gyökei ennek a tört racionális egyenletnek?

Eddig a hallgatók nem találkoztak az idegen gyökér fogalmával, valóban nagyon nehéz megérteni, hogy ez miért történt. Ha az osztályban senki nem tud világos magyarázatot adni erre a helyzetre, akkor a tanár feltesz vezető kérdéseket.

  • Miben különbözik a 2. és 4. egyenlet az 5. és 6. egyenlettől? ( A 2. és 4. számú egyenletben számok vannak a nevezőben, az 5-6. - változós kifejezések.)
  • Mi az egyenlet gyöke? ( Annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet igazzá válik.)
  • Hogyan lehet megtudni, hogy egy szám az egyenlet gyökere? ( Ellenőrizd.)

A tesztelés során néhány diák észreveszi, hogy nullával kell osztania. Arra a következtetésre jutottak, hogy a 0 és az 5 nem ennek az egyenletnek a gyökerei. Felmerül a kérdés: van-e mód tört racionális egyenletek megoldására, amely lehetővé teszi, hogy kiküszöböljük ezt a hibát? Igen, ez a módszer azon a feltételen alapul, hogy a tört nullával egyenlő.

Próbáljunk meg egy algoritmust megfogalmazni tört racionális egyenletek ilyen módon történő megoldására. A gyerekek maguk alkotják meg az algoritmust.

Algoritmus tört racionális egyenletek megoldására:

  1. Vigyen mindent a bal oldalra.
  2. Csökkentse a törteket közös nevezőre.
  3. Hozzunk létre egy rendszert: egy tört egyenlő nullával, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla.
  4. Oldja meg az egyenletet.
  5. Ellenőrizze az egyenlőtlenséget, hogy kizárja az idegen gyökereket.
  6. Írd le a választ.

4. Az új anyag kezdeti megértése.

Párokban dolgozni. A tanulók maguk választják meg, hogyan oldják meg az egyenletet az egyenlet típusától függően. Feladatok az „Algebra 8” tankönyvből, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c); 601(a,e) sz. A tanár figyelemmel kíséri a feladat teljesítését, válaszol a felmerülő kérdésekre, segítséget nyújt a gyengén teljesítő tanulóknak. Önellenőrzés: a válaszokat felírják a táblára.

b) 2 - idegen gyökér. Válasz: 3.

c) 2 - idegen gyökér. Válasz: 1.5.

a) Válasz: -12.5.

5. Házi feladat beállítása.

  1. Olvassa el a 25. bekezdést a tankönyvből, elemezze az 1-3.
  2. Ismerje meg a tört racionális egyenletek megoldására szolgáló algoritmust.
  3. 600. sz. füzetekben megoldani (d, d); No. 601(g,h).

6. A lecke összegzése.

Tehát ma a leckében megismerkedtünk a tört racionális egyenletekkel, megtanultuk, hogyan kell megoldani ezeket az egyenleteket különböző utak. Függetlenül attól, hogy hogyan oldja meg a tört racionális egyenleteket, mit kell szem előtt tartania? Mi a tört racionális egyenletek „ravaszsága”?

Köszönöm mindenkinek, vége a leckének.

Előadás és óra a következő témában: "Racionális egyenletek. Algoritmus és példák a racionális egyenletek megoldására"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 8. osztályosoknak
A tankönyv kézikönyve Makarychev Yu.N. A tankönyv kézikönyve Mordkovich A.G.

Bevezetés az irracionális egyenletekbe

Srácok, megtanultuk megoldani másodfokú egyenletek. De a matematika nem korlátozódik csak rájuk. Ma megtanuljuk, hogyan kell racionális egyenleteket megoldani. A racionális egyenletek fogalma sok tekintetben hasonló a fogalomhoz racionális számok. Csak a számok mellett most bevezettünk néhány $x$ változót. Így egy olyan kifejezést kapunk, amelyben az összeadás, kivonás, szorzás, osztás és egész hatványra emelés műveletei jelen vannak.

Legyen $r(x)$ racionális kifejezés. Ilyen kifejezés lehet egy egyszerű polinom a $x$ változóban vagy polinomok aránya (egy osztási műveletet vezetünk be, mint a racionális számoknál).
Az $r(x)=0$ egyenletet nevezzük racionális egyenlet.
Bármely $p(x)=q(x)$ alakú egyenlet, ahol a $p(x)$ és a $q(x)$ racionális kifejezések, szintén racionális egyenlet.

Nézzünk példákat a racionális egyenletek megoldására.

1. példa
Oldja meg az egyenletet: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Megoldás.
Vigyük át az összes kifejezést a bal oldalra: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ha az egyenlet bal oldalát közönséges számok ábrázolnák, akkor a két törtet közös nevezőre redukálnánk.
Tegyük ezt: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
A következő egyenletet kaptuk: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Egy tört akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a tört számlálója nulla, nevezője pedig nem nulla. Ezután a számlálót külön egyenlővé tesszük nullával, és megkeressük a számláló gyökereit.
$3(x^2+2x-3)=0$ vagy $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Most nézzük meg a tört nevezőjét: $(x-3)*x≠0$.
Két szám szorzata egyenlő nullával, ha ezek közül legalább az egyik nulla. Ekkor: $x≠0$ vagy $x-3≠0$.
$x≠0$ vagy $x≠3$.
A számlálóban és a nevezőben kapott gyökök nem esnek egybe. Tehát a számláló mindkét gyökerét felírjuk a válaszba.
Válasz: $x=1$ vagy $x=-3$.

Ha hirtelen a számláló egyik gyökere egybeesik a nevező gyökével, akkor ki kell zárni. Az ilyen gyökereket idegennek nevezzük!

Algoritmus racionális egyenletek megoldására:

1. Helyezze az egyenletben szereplő összes kifejezést az egyenlőségjel bal oldalára.
2. Alakítsa át az egyenletnek ezt a részét algebrai tört: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. A kapott számlálót egyenlővé tesszük nullával, azaz oldjuk meg a $p(x)=0$ egyenletet.
4. Egyenlítse a nevezőt nullával, és oldja meg a kapott egyenletet! Ha a nevező gyökerei egybeesnek a számláló gyökével, akkor azokat ki kell zárni a válaszból.

2. példa
Oldja meg az egyenletet: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Megoldás.
Oldjuk meg az algoritmus pontjai szerint.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Egyenlítse a számlálót nullával: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Egyenlítse a nevezőt nullával:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ és $x=-1$.
Az egyik gyök $x=1$ egybeesik a számláló gyökével, akkor nem írjuk le a válaszban.
Válasz: $x=-1$.

A racionális egyenletek megoldása kényelmes a változóváltás módszerével. Mutassuk meg ezt.

3. példa
Oldja meg az egyenletet: $x^4+12x^2-64=0$.

Megoldás.
Mutassuk be a helyettesítést: $t=x^2$.
Ekkor az egyenletünk a következő alakot veszi fel:
$t^2+12t-64=0$ - közönséges másodfokú egyenlet.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 dollár.
Vezessük be a fordított helyettesítést: $x^2=4$ vagy $x^2=-16$.
Az első egyenlet gyökerei egy $x=±2$ számpár. A második dolog az, hogy nincsenek gyökerei.
Válasz: $x=±2$.

4. példa
Oldja meg az egyenletet: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Megoldás.
Vezessünk be egy új változót: $t=x^2+x+1$.
Ekkor az egyenlet a következő formában lesz: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ezután az algoritmus szerint járunk el.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 dollár.
4. $t≠-2$ - a gyökerek nem esnek egybe.
Vezessünk be egy fordított helyettesítést.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Oldjuk meg az egyes egyenleteket külön-külön:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nem gyökerei
És a második egyenlet: $x^2+x-2=0$.
Ennek az egyenletnek a gyökerei a $x=-2$ és $x=1$ számok lesznek.
Válasz: $x=-2$ és $x=1$.

5. példa.
Oldja meg az egyenletet: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Megoldás.
Vezessük be a helyettesítést: $t=x+\frac(1)(x)$.
Akkor:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ vagy $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Megkaptuk az egyenletet: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Ennek az egyenletnek a gyöke a következő pár:
$t=-3$ és $t=2$.
Vezessük be a fordított helyettesítést:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Majd külön döntünk.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Oldjuk meg a második egyenletet:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Ennek az egyenletnek a gyöke a $x=1$ szám.
Válasz: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Önállóan megoldandó problémák

Egyenletek megoldása:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.