Példák negatív fokozatokkal. Számhatvány: definíciók, jelölések, példák

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám önmagával való ismételt szorzásának eredménye. Képzeljük el a következő képlettel: a1 * a2 * … * an = an.

Például a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Általában a hatványozást gyakran használják különféle képletek matematikában és fizikában. Ennek a függvénynek tudományosabb célja van, mint a négy főnek: Összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

Szám hatványra emelése

Egy szám hatványra emelése nem bonyolult művelet. A szorzáshoz hasonló módon kapcsolódik, mint a szorzás és az összeadás kapcsolatához. Az an jelölés az „a” számok n-edik számának egymással való szorzatának rövid jelölése.

Legfeljebb a hatványozást vegyük figyelembe egyszerű példák, áttérve az összetettekre.

Például 42. 42 = 4 * 4 = 16. Négy négyzet (a második hatványhoz) tizenhat. Ha nem érti a 4 * 4 szorzást, akkor olvassa el a szorzásról szóló cikkünket.

Nézzünk egy másik példát: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Öt kocka (a harmadik hatványhoz) egyenlő százhuszonöttel.

Egy másik példa: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Kilenc kocka hétszázhuszonkilencnek felel meg.

Hatványozási képletek

A hatványra való helyes emeléshez emlékeznie kell és ismernie kell az alábbi képleteket. Ebben nincs semmi extra természetes, a lényeg, hogy megértsük a lényeget, és akkor nem csak emlékezni fognak rájuk, de könnyűnek is tűnnek.

Monomiális hatványra emelése

Mi az a monomiális? Ez számok és változók szorzata bármilyen mennyiségben. Például a kettő egy monom. És ez a cikk pontosan az ilyen monomok hatalommá emeléséről szól.

A hatványozási képletekkel nem lesz nehéz kiszámítani a monom hatványozását.

Például, (3x^2y^3)^2=3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Ha egy monomit hatványra emel, akkor a monom minden komponense hatványra lesz emelve.

Ha egy olyan változót, amelynek már van hatványa, hatványra emelünk, a hatványok megszorozódnak. Például (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Negatív hatalommá emelés

Negatív fokozat– reciprok szám. Mi a reciprok szám? Bármely X szám reciproka 1/X. Vagyis X-1=1/X. Ez a negatív fokozat lényege.

Tekintsük a (3Y)^-3 példát:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Miert van az? Mivel a fokban mínusz van, egyszerűen átvisszük ezt a kifejezést a nevezőbe, majd emeljük a harmadik hatványra. Egyszerű nem?

Törthatványra emelés

Kezdjük a probléma mérlegelését itt konkrét példa. 43/2. Mit jelent a 3/2 fokozat? 3 – számláló, egy szám (jelen esetben 4) kockává emelését jelenti. A 2 a nevező; ez a szám második gyökének kivonata (ebben az esetben a 4).

Ekkor megkapjuk a 43 = 2^3 = 8 négyzetgyökét. Válasz: 8.

Tehát egy tört fok nevezője lehet 3 vagy 4, vagy tetszőleges szám a végtelenig, és ez a szám határozza meg a fokot négyzetgyök, adott számból kivonva. Természetesen a nevező nem lehet nulla.

Gyökért hatalommá emelni

Ha a gyökér fokát magával a gyökér fokával megemeljük, akkor a válasz radikális kifejezés lesz. Például (√x)2 = x. És így mindenesetre a gyökér foka és a gyökéremelés mértéke egyenlő.

Ha (√x)^4. Ekkor (√x)^4=x^2. A megoldás ellenőrzéséhez a kifejezést törthatékonyságú kifejezéssé alakítjuk. Mivel a gyök négyzet, a nevező 2. Ha pedig a gyököt a negyedik hatványra emeljük, akkor a számláló 4. 4/2=2-t kapunk. Válasz: x = 2.

Akárhogyan is a legjobb lehetőség egyszerűen alakítsa át a kifejezést törthatékonyságú kifejezéssé. Ha a tört nem törlődik, akkor ez a válasz, feltéve, hogy az adott szám gyökét nem izoláljuk.

Komplex szám hatványra emelése

Mi az a komplex szám? A komplex szám olyan kifejezés, amelynek képlete a + b * i; a, b – valós számok. i egy olyan szám, amely négyzetre vetve a -1 számot adja.

Nézzünk egy példát. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Iratkozzon fel a „Felgyorsítsd fel a fejszámolást, NE fejszámolás"megtanulhatja, hogyan kell gyorsan és helyesen összeadni, kivonni, szorozni, osztani, négyzetezni és még gyökerezni is. 30 nap alatt megtanulja, hogyan kell egyszerű trükköket használni az aritmetikai műveletek egyszerűsítésére. Minden lecke új technikákat tartalmaz, egyértelmű példákés hasznos feladatokat.

Hatványozás online

Számológépünk segítségével kiszámolhatja egy szám hatványra emelését:

Hatványozás 7. évfolyam

Az iskolások csak a hetedik osztályban kezdenek hatalomra emelkedni.

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám önmagával való ismételt szorzásának eredménye. Képzeljük el a következő képlettel: a1 * a2 * … * an=an.

Például, a=2, n=3: 2*2*2=2^3=8.

Példák a megoldásra:

Hatványozás bemutatása

Prezentáció a képességek növeléséről, hetedikesek számára. Az előadás tisztázhat néhány tisztázatlan pontot, de ezek a pontok valószínűleg cikkünknek köszönhetően nem tisztázódnak.

A lényeg

Csak a jéghegy csúcsát néztük, hogy jobban megértsük a matematikát - iratkozzon fel tanfolyamunkra: Gyorsuló fejszámolás - NEM fejszámolás.

A tanfolyamon nemcsak az egyszerűsített és gyors szorzás, összeadás, szorzás, osztás, százalékszámítás tucatnyi technikáját sajátítod el, hanem speciális feladatokban, oktatójátékokban is gyakorolhatod! A fejszámolás is nagy figyelmet és koncentrációt igényel, amelyet aktívan képeznek érdekes feladatok megoldása során.

szorzás segítségével találhatjuk meg. Például: 5+5+5+5+5+5=5x6. Egy ilyen kifejezésről azt mondják, hogy az egyenlő tagok összegét egy szorzatba hajtjuk. És fordítva, ha ezt az egyenlőséget jobbról balra olvassuk, azt találjuk, hogy kibővítettük az egyenlő tagok összegét. Hasonlóképpen összecsukhatja több egyenlő tényező szorzatát 5x5x5x5x5x5=5 6.

Vagyis a hat azonos tényező 5x5x5x5x5x5 szorzata helyett 5 6-ot írnak, és azt mondják, hogy „öt a hatodik hatványhoz”.

Az 5 6 kifejezés egy szám hatványa, ahol:

5 - fokozatalap;

6 - kitevő.

Azokat a műveleteket, amelyekkel egyenlő tényezők szorzatát hatványra redukáljuk, nevezzük hatalomra emelése.

Általában az „a” bázisú és „n” kitevővel rendelkező fokot a következőképpen írjuk fel

Az a szám n hatványra emelése azt jelenti, hogy meg kell találni n tényező szorzatát, amelyek mindegyike egyenlő a-val

Ha az „a” fok alapja 1, akkor bármely n természetes szám fokértéke 1 lesz. Például 1 5 =1, 1 256 =1

Ha az „a” számot arra emeli első fokozat, akkor megkapjuk magát az a számot: a 1 = a

Ha bármilyen számot emel a nulla fok, akkor a számítások eredményeként kapunk egyet. a 0 = 1

Egy szám második és harmadik hatványa különlegesnek számít. Neveket találtak ki nekik: a második fokozatot hívják négyzetre a számot, harmadik - kocka ez a szám.

Bármely szám hatványra emelhető - pozitív, negatív vagy nulla. Ebben az esetben a következő szabályok nem érvényesek:

Ha egy pozitív szám hatványát megtaláljuk, az eredmény egy pozitív szám.

A nulla in. kiszámításakor természetes fok nullát kapunk.

x m · x n = x m + n

például: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Nak nek osztja el a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal Nem az alapot változtatjuk, hanem kivonjuk a kitevőket:

x m / x n = x m - n , Ahol, m > n,

például: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Számításkor hatalmat hatalommá emelni Nem az alapot változtatjuk, hanem a kitevőket szorozzuk meg egymással.

(m ) n = y m n

például: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

például:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

szerinti számítások végzésekor tört hatványra emelése a tört számlálóját és nevezőjét egy adott hatványra emeljük

(x/y)n = x n / y n

például: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

A számítási sorrend, ha fokot tartalmazó kifejezésekkel dolgozik.

Zárójel nélküli, de hatványokat tartalmazó kifejezések számításánál mindenekelőtt hatványozást, majd szorzást és osztást, majd csak azután összeadást és kivonást végeznek.

Ha zárójeleket tartalmazó kifejezést kell kiszámítani, akkor először a zárójelben lévő számításokat végezze el a fent jelzett sorrendben, majd a többi műveletet ugyanabban a sorrendben balról jobbra haladva.

A gyakorlati számításokban nagyon széles körben használnak kész hatványtáblázatokat a számítások egyszerűsítésére.

A hatvány arra szolgál, hogy leegyszerűsítse a szám önmagával való szorzását. Például írás helyett írhatsz 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Ennek az átmenetnek a magyarázata a cikk első részében található). A fokozatok megkönnyítik a hosszú írást ill összetett kifejezések vagy egyenletek; a hatványokat is könnyű összeadni és kivonni, ami egyszerűsített kifejezést vagy egyenletet eredményez (pl. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Jegyzet: ha döntenie kell exponenciális egyenlet(egy ilyen egyenletben az ismeretlen a kitevőben van), olvassa el.

Lépések

Egyszerű feladatok megoldása diplomákkal

Szorozzuk meg a hatvány alapját önmagával a számokkal egyenlő az indikátorral fokon. Ha egy hatványfeladatot kézzel kell megoldani, írjuk át a hatványt szorzási műveletként, ahol a hatvány alapja megszorozódik önmagával. Például adott egy diploma 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Ebben az esetben a 3. hatvány alapját meg kell szorozni önmagával 4-szer: 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Íme további példák:

Először szorozza meg az első két számot. Például, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne aggódjon – a számítási folyamat nem olyan bonyolult, mint amilyennek első pillantásra tűnik. Először szorozza meg az első két négyest, majd cserélje ki az eredménnyel. Mint ez:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Szorozzuk meg az eredményt (példánkban 16) a következő számmal. Minden további eredmény arányosan növekszik. Példánkban szorozzuk meg 16-ot 4-gyel. Így:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5) = 16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5) = 64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Folytassa az első két szám eredményének szorzását a következő számmal, amíg meg nem kapja a végső választ. Ehhez szorozza meg az első két számot, majd a kapott eredményt szorozza meg a sorozat következő számával. Ez a módszer minden fokozatra érvényes. Példánkban a következőket kell kapnia: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Oldja meg a következő problémákat. Ellenőrizze a választ egy számológép segítségével.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. A számológépén keresse meg az "exp" vagy "" feliratú kulcsot x n (\displaystyle x^(n))", vagy "^". Ezzel a gombbal egy számot hatványra emelhet. Szinte lehetetlen egy fokot manuálisan kiszámítani egy nagy indikátorral (például a fok 9 15 (\displaystyle 9^(15))), de a számológép könnyen megbirkózik ezzel a feladattal. Windows 7 rendszerben a standard számológép mérnöki módba kapcsolható; Ehhez kattintson a „View” -> „Engineering” menüpontra. A normál módba való váltáshoz kattintson a „Nézet” -> „Normál” gombra.

   • Ellenőrizze a választ a segítségével keresőmotor(Google vagy Yandex). A számítógép billentyűzetén található "^" billentyűvel írja be a kifejezést a keresőmotorba, amely azonnal megjeleníti a helyes választ (és esetleg hasonló kifejezéseket javasol tanulmányozására).

   Hatványok összeadása, kivonása, szorzása

   1. Csak akkor lehet fokokat összeadni és kivonni, ha azok alapjai megegyeznek. Ha azonos bázisokkal és kitevőkkel kell hatványokat hozzáadnia, akkor az összeadási műveletet helyettesítheti a szorzási művelettel. Például adott a kifejezés 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ne feledje, hogy a diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) formában ábrázolható 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); És így, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\megjelenítési stílus 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(ahol 1 +1 =2). Vagyis számolja meg a hasonló fokok számát, majd szorozza meg ezt a fokot ezzel a számmal. Példánkban emelje fel a 4-et az ötödik hatványra, majd a kapott eredményt szorozza meg 2-vel. Ne feledje, hogy az összeadási művelet helyettesíthető a szorzási művelettel, pl. 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Íme további példák:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Ha a hatványokat ugyanazzal a bázissal szorozzuk, akkor azok kitevői összeadódnak (az alap nem változik). Például adott a kifejezés x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Ebben az esetben csak hozzá kell adnia a mutatókat, az alapot változatlanul hagyva. És így, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Íme a szabály vizuális magyarázata:

      Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevők megszorozódnak. Például diplomát adnak. Mivel a kitevőket megszorozzuk, akkor (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Ennek a szabálynak az a lényege, hogy hatványokkal szorozzuk (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ötször önmagára. Mint ez:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\megjelenítési stílus (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Mivel az alap ugyanaz, a kitevők egyszerűen összeadódnak: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 x 2 = x 10 (\megjelenítési stílus (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. A negatív kitevővel rendelkező hatványt törtté kell konvertálni (fordított hatvány). Nem baj, ha nem tudod, mi az a kölcsönös végzettség. Ha negatív kitevőjű végzettséget adnak, pl. 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), írja be ezt a fokot a tört nevezőjébe (a számlálóba tegyen 1-et), és tegye pozitívvá a kitevőt. Példánkban: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Íme további példák:

      Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk (az alap nem változik). Az osztási művelet a szorzási művelet ellentéte. Például adott a kifejezés 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))). Vonjuk ki a nevezőben lévő kitevőt a számlálóban lévő kitevőből (a bázist ne változtassuk meg). És így, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • A nevezőben lévő hatvány a következőképpen írható fel: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Ne feledje, hogy a tört egy szám (hatvány, kifejezés), negatív kitevővel.

   4. Az alábbiakban felsorolunk néhány kifejezést, amelyek segítenek megtanulni a kitevőkkel kapcsolatos problémák megoldását. A megadott kifejezések lefedik az ebben a részben bemutatott anyagot. A válasz megtekintéséhez csak jelölje ki üres tér az egyenlőségjel után.

   Feladatok megoldása törtkitevőkkel

   A tört kitevővel rendelkező hatvány (például ) gyökérműveletté alakul. Példánkban: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Itt nem mindegy, hogy milyen szám szerepel a törtkitevő nevezőjében. Például, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- az „x” negyedik gyöke, azaz x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ha a kitevő az helytelen tört, akkor egy ilyen fok két fokra bontható a feladat megoldásának egyszerűsítése érdekében. Nincs ebben semmi bonyolult – csak emlékezzünk a hatalomszorzás szabályára. Például diplomát adnak. Alakítsunk át egy ilyen hatványt gyökké, amelynek hatványa megegyezik a tört kitevő nevezőjével, majd emelje ezt a gyöket a tört kitevő számlálójával egyenlő hatványra. Ehhez ne feledje 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Példánkban:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Egyes számológépeken van egy gomb a kitevők kiszámításához (először meg kell adni az alapot, majd meg kell nyomni a gombot, majd a kitevőt). Jelölése ^ vagy x^y.
   3. Ne feledje, hogy az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával, például 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Sőt, bármely szám eggyel szorozva vagy elosztva egyenlő önmagával, pl. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)És 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Tudd, hogy a 0 0 hatvány nem létezik (egy ilyen hatványnak nincs megoldása). Ha számológépen vagy számítógépen próbál megoldani egy ilyen fokozatot, akkor hibaüzenetet kap. De ne feledje, hogy a nulla hatványhoz tartozó bármely szám 1, például 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. BAN BEN felsőbb matematika, amely képzeletbeli számokkal operál: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Ahol i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e konstans körülbelül 2,7; a tetszőleges állandó. Ennek az egyenlőségnek a bizonyítéka bármely felsőbb matematika tankönyvben megtalálható.

   Figyelmeztetések

   • A kitevő növekedésével az értéke nagymértékben növekszik. Tehát ha a válasz rossznak tűnik, akkor valójában helyes lehet. Ezt bármelyik ábrázolással ellenőrizheti exponenciális függvény pl 2x.

A negatív hatványra emelés a matematika egyik alapeleme, amellyel gyakran találkozunk algebrai feladatok megoldása során. Az alábbiakban részletes utasításokat talál.

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - elmélet

Ha egy számot közönséges hatványra emelünk, az értékét többszörösére szorozzuk. Például 3 3 = 3×3×3 = 27. Negatív törttel ennek az ellenkezője igaz. Általános forma a képlet szerint így fog kinézni: a -n = 1/a n. Így egy szám negatív hatványra emeléséhez el kell osztani egyet a megadott számmal, de pozitív hatványra.

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - példák közönséges számokra

A fenti szabályt szem előtt tartva oldjunk meg néhány példát.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Válasz: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Válasz -4 -2 = 1/16.

De miért ugyanaz a válasz az első és a második példában? A helyzet az, hogy ha egy negatív számot páros hatványra emelünk (2, 4, 6 stb.), az előjel pozitív lesz. Ha páros lenne a fok, akkor maradna a mínusz:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - számok 0-tól 1-ig

Emlékezzünk vissza, hogy ha egy 0 és 1 közötti számot pozitív hatványra emelünk, az érték a hatvány növekedésével csökken. Tehát például 0,5 2 = 0,25. 0,25

3. példa: Számíts ki 0,5 -2
Megoldás: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Válasz: 0,5 -2 = 4

Elemzés (műveletek sorrendje):

• Mi fordítunk decimális 0,5-től tört 1/2-ig. Könnyebb így.
  Emelje fel 1/2-ét negatív hatványra. 1/(2) -2. Elosztjuk 1-et 1/(2) 2-vel, így kapjuk 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4. példa: Számíts ki 0,5 -3
Megoldás: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5. példa: -0,5 -3 kiszámítása
Megoldás: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Válasz: -0,5 -3 = -8

A 4. és 5. példa alapján több következtetést is levonhatunk:

• Egy 0-tól 1-ig terjedő tartományba eső pozitív szám esetén (4. példa), negatív hatványra emelve, hogy a hatvány páros vagy páratlan, nem számít, a kifejezés értéke pozitív lesz. Ugyanakkor, mint több fokozat, annál nagyobb az érték.
• A 0-tól 1-ig terjedő tartományba eső negatív számok esetén (5. példa), negatív hatványra emelve, nem számít, hogy a hatvány páros vagy páratlan, a kifejezés értéke negatív lesz. Ebben az esetben minél magasabb a fokozat, annál alacsonyabb az érték.

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - törtszám formájában megjelenő hatványt

Az ilyen típusú kifejezések a következő formájúak: a -m/n, ahol a szabályos szám, m a fokszám számlálója, n a fokozat nevezője.

Nézzünk egy példát:
Számítsd ki: 8 -1/3

Megoldás (műveletek sorrendje):

• Emlékezzünk a szám negatív hatványra emelésének szabályára. A következőt kapjuk: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Figyeljük meg, hogy a nevezőben a 8-as szám törthatványban szerepel. A törthatvány kiszámításának általános formája a következő: a m/n = n √8 m.
• Így 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). A nyolc kockagyökét kapjuk, ami egyenlő 2-vel. Innen 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Válasz: 8 -1/3 = 2

Az iskolából mindannyian ismerjük a hatványozás szabályát: bármely N kitevővel rendelkező szám egyenlő azzal az eredménnyel, hogy ezt a számot megszorozzuk önmagával N számú alkalommal. Más szóval, 7 3 hatványára 7 szorozva önmagával háromszor, azaz 343. Egy másik szabály az, hogy ha bármilyen mennyiséget 0 hatványra emelünk, akkor egyet adunk, a negatív mennyiség emelése pedig a szokásos emelés eredménye. a hatvány, ha páros, és ugyanez az eredmény mínuszjellel, ha páratlan.

A szabályok arra is választ adnak, hogyan lehet egy számot negatív hatványra emelni. Ehhez építeni kell a szokásos módon a mutató modulonkénti szükséges értékét, majd elosztjuk az egységet az eredménnyel.

Ezekből a szabályokból világossá válik, hogy a nagy mennyiséget jelentő valódi feladatok elvégzéséhez szükséges a jelenléte technikai eszközökkel. Manuálisan megszorozhatja saját magával a számok maximumát húsz-harmincig, majd legfeljebb háromszor vagy négyszer. Arról nem is beszélve, hogy el kell osztani egyet az eredménnyel. Ezért azok számára, akiknek nincs kéznél speciális mérnöki számológép, elmondjuk, hogyan lehet egy számot negatív hatványra emelni az Excelben.

Problémamegoldás Excelben

A hatványozással kapcsolatos problémák megoldásához az Excel két lehetőség egyikét teszi lehetővé.

Az első egy szabványos „fedél” jellel ellátott képlet használata. Írja be a következő adatokat a munkalap celláiba:

Ugyanígy bármely hatványra emelheti a kívánt értéket - negatív, tört. Végezzük el a következő lépéseket, és válaszoljunk arra a kérdésre, hogyan emeljünk egy számot negatív hatványra. Példa:

A =B2^-C2 közvetlenül a képletben javítható.

A második lehetőség a kész „Fok” függvény használata, amely két szükséges argumentumot vesz igénybe - egy számot és egy kitevőt. Használatának megkezdéséhez tegye be az egyenlőségjelet (=) bármely szabad cellába, amely a képlet kezdetét jelzi, és írja be a fenti szavakat. Nincs más hátra, mint kijelölni két cellát, amelyek részt vesznek a műveletben (vagy manuálisan megadni bizonyos számokat), és megnyomni az Enter billentyűt. Nézzünk néhány egyszerű példát.

Amint látja, nincs semmi bonyolult abban, hogyan lehet egy számot negatív és reguláris hatványra emelni az Excel használatával. Végül is a probléma megoldásához használhatja az ismerős „fedél” szimbólumot és a program beépített funkcióját, amely könnyen megjegyezhető. Ez egy határozott plusz!

Térjünk tovább a továbbiakra összetett példák. Emlékezzünk arra a szabályra, hogyan kell egy számot negatív törthatványra emelni, és látni fogjuk, hogy ez a probléma nagyon könnyen megoldható az Excelben.

Törtmutatók

Röviden, a tört kitevővel rendelkező szám kiszámításának algoritmusa a következő.

1. A tört átváltása megfelelő vagy helytelen törtté.
2. Emeljük fel a számunkat a kapott átváltott tört számlálójára.
3. Az előző bekezdésben kapott számból számítsuk ki a gyökét azzal a feltétellel, hogy a gyök kitevője lesz az első lépésben kapott tört nevezője.

Egyetért azzal, hogy az ilyen számítások még kis számokkal és megfelelő törtekkel történő műveletek esetén is sok időt vehetnek igénybe. Még jó, hogy az Excel táblázatkezelőt nem érdekli, hogy milyen számot milyen fokozatra emelnek. Próbálja meg megoldani a munkahelyén Excel lap következő példa:

A fenti szabályok segítségével ellenőrizheti és megbizonyosodhat arról, hogy a számítás helyesen történt-e.

Cikkünk végén táblázat formájában képletekkel és eredményekkel mutatunk be néhány példát arra, hogyan lehet egy számot negatív hatványra emelni, valamint számos példát a működésre. törtszámokés fokozatok.

Példa táblázat

Tekintse meg az alábbi példákat az Excel-munkalapon. Ahhoz, hogy minden megfelelően működjön, vegyes hivatkozást kell használnia a képlet másolásakor. Rögzítse az emelendő számot tartalmazó oszlop számát és a mutatót tartalmazó sor számát. A képletnek így kell kinéznie: "=$B4^C$3."

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a pozitív számok (még a nem egész számok is) probléma nélkül számíthatók bármely kitevőre. Nincs probléma a számok egész számokra emelésével. De egy negatív szám törthatványra emelése hibának bizonyul, mivel lehetetlen betartani a cikkünk elején jelzett szabályt a negatív számok emeléséről, mivel a paritás kizárólag az EGÉSZ szám jellemzője.

Hatványra emelt szám Olyan számot hívnak, amelyet többször megszoroznak önmagával.

Negatív értékű szám hatványa (a-n) hasonló módon határozható meg, mint ahogyan ugyanazon szám pozitív kitevőjű hatványát határozzuk meg (a n) . Ez azonban további definíciót is igényel. A képlet meghatározása a következő:

a-n = (1/a n)

A számok negatív hatványainak tulajdonságai hasonlóak a pozitív kitevőjű hatványokhoz. Bemutatott egyenlet a m/a n= a m-n igazságos lehet, mint

« Sehol, mint a matematikában, a következtetés egyértelműsége és pontossága nem teszi lehetővé, hogy az ember a kérdés körül beszélve kikászálódjon a válaszból.».

A. D. Alekszandrov

nál nél n több m , és azzal m több n . Nézzünk egy példát: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Először meg kell határoznia azt a számot, amely a fokozat meghatározásaként működik. b=a(-n) . Ebben a példában -n egy kitevő b - a kívánt számérték, a - a diploma alapja természetes formában numerikus érték. Ezután határozza meg a modult, vagyis egy negatív szám abszolút értékét, amely kitevőként működik. Számítsa ki egy adott szám fokszámát egy abszolút számhoz viszonyítva, mint mutatót! A fokozat értékét úgy kapjuk meg, hogy egyet elosztunk a kapott számmal.

Rizs. 1

Tekintsük egy negatív törtkitevővel rendelkező szám hatványát. Képzeljük el, hogy az a szám tetszőleges pozitív szám, számok n És m - egész számok. Definíció szerint a , amelyet a hatalomra emelnek - egyenlő egy osztva ugyanazzal a számmal pozitív hatványon (1. ábra). Ha egy szám hatványa tört, akkor ilyen esetekben csak pozitív kitevőjű számokat használunk.

Érdemes emlékezni hogy a nulla soha nem lehet egy szám kitevője (a nullával való osztás szabálya).

Egy ilyen fogalom, mint szám elterjedése olyan manipulációkká vált, mint a mérési számítások, valamint a matematika mint tudomány fejlődése. A negatív értékek bevezetése az algebra fejlődésének köszönhető, amely általános megoldásokat adott a számtani problémákra, függetlenül azok konkrét jelentésétől és az eredeti numerikus adatoktól. Indiában még a 6-11. században a negatív számokat szisztematikusan használták a problémák megoldása során, és ugyanúgy értelmezték, mint ma. Az európai tudományban a negatív számokat R. Descartes-nak köszönhetően kezdték széles körben elterjedni, aki geometriai értelmezést adott a negatív számoknak a szegmensek irányaként. Descartes javasolta egy hatványra emelt szám kijelölését, amelyet kétszintes képletként kell megjeleníteni. a n .

Nyilvánvaló, hogy a hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan összeadhatók , jeleikkel egymás után hozzáadva.

Tehát a 3 és b 2 összege a 3 + b 2.
A 3 - b n és h 5 -d 4 összege a 3 - b n + h 5 - d 4.

Esély azonos változók egyenlő hatványaiösszeadható vagy kivonható.

Tehát 2a 2 és 3a 2 összege egyenlő 5a 2-vel.

Az is nyilvánvaló, hogy ha két a négyzetet vagy három a négyzetet vagy öt a négyzetet veszünk.

De fokok különféle változókÉs különféle fokozatok azonos változók, úgy kell összeállítani, hogy hozzá kell adni őket a jeleikkel.

Tehát egy 2 és egy 3 összege egy 2 + egy 3 összege.

Nyilvánvaló, hogy a négyzete és a kockája nem egyenlő a négyzetének kétszeresével, hanem a kockájának kétszeresével.

A 3 b n és 3a 5 b 6 összege a 3 b n + 3a 5 b 6.

Kivonás A jogosítványokat ugyanúgy hajtjuk végre, mint az összeadást, azzal a különbséggel, hogy a részrészek előjeleit ennek megfelelően módosítani kell.

Vagy:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 óra 2 b 6 - 4 óra 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Hatványok megsokszorozása

A hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan szorozhatók egymás után, szorzójellel vagy anélkül.

Így a 3-at b 2-vel megszorozva a 3 b 2 vagy aaabb lesz.

Vagy:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Az utolsó példában szereplő eredmény azonos változók hozzáadásával rendezhető.
A kifejezés a következő formában lesz: a 5 b 5 y 3.

Több szám (változó) hatványokkal való összehasonlításával láthatjuk, hogy ha bármelyik kettőt megszorozzuk, akkor az eredmény egy szám (változó), amelynek hatványa egyenlő összeg kifejezések fokozatai.

Tehát a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Itt 5 a szorzás eredményének hatványa, egyenlő 2 + 3-mal, a tagok hatványainak összegével.

Tehát a n .a m = a m+n .

Egy n esetén a-t annyiszor veszik tényezőnek, mint n hatványát;

És egy m-t annyiszor veszünk tényezőnek, ahányszor m fok egyenlő;

Ezért, Az azonos bázisú hatványok a hatványok kitevőinek összeadásával szorozhatók.

Tehát a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . És x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vagy:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Szorozza meg (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Válasz: x 4 - y 4.
Szorozd meg (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ez a szabály azokra a számokra is igaz, amelyek kitevői negatív.

1. Tehát a -2 .a -3 = a -5 . Ezt így írhatjuk fel: (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ha a + b-t megszorozzuk a - b-vel, az eredmény a 2 - b 2 lesz:

Két szám összegének vagy különbségének szorzata egyenlő az összeggel vagy négyzeteik különbsége.

Ha megszorozza két szám összegét és különbségét, amelyre emelt négyzet, az eredmény egyenlő lesz ezeknek a számoknak az összegével vagy különbségével negyedik fokon.

Tehát (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

A fokozatok felosztása

A hatványokkal rendelkező számok más számokhoz hasonlóan oszthatók, az osztalékból levonva, vagy tört alakba helyezve.

Így a 3 b 2 osztva b 2-vel egyenlő egy 3-mal.

Vagy:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ha 5-öt osztunk 3-mal, ez így néz ki: $\frac(a^5)(a^3)$. De ez egyenlő 2-vel. Egy számsorozatban
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bármely szám osztható egy másikkal, és a kitevő egyenlő lesz különbség osztható számok mutatói.

Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk..

Tehát y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Azaz $\frac(yyy)(yy) = y$.

És a n+1:a = a n+1-1 = a n . Azaz $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Vagy:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

A szabály a -val rendelkező számokra is igaz negatív fokok értékei.
A -5 -3-mal való osztásának eredménye -2.
Továbbá $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vagy $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Nagyon jól kell elsajátítani a szorzást és a hatványosztást, mivel az ilyen műveleteket nagyon széles körben használják az algebrában.

Példák a hatványos számokat tartalmazó törtek példáinak megoldására

1. Csökkentse a kitevőket $\frac(5a^4)(3a^2)$ értékkel. Válasz: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Csökkentse a kitevőket $\frac(6x^6)(3x^5)$ értékkel. Válasz: $\frac(2x)(1)$ vagy 2x.

3. Csökkentse az a 2 /a 3 és a -3 /a -4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
a 2 .a -4 egy -2 az első számláló.
a 3 .a -3 egy 0 = 1, a második számláló.
a 3 .a -4 egy -1 , a közös számláló.
Egyszerűsítés után: a -2 /a -1 és 1/a -1 .

4. Csökkentse a 2a 4 /5a 3 és 2 /a 4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
Válasz: 2a 3 /5a 7 és 5a 5 /5a 7 vagy 2a 3 /5a 2 és 5/5a 2.

5. Szorozzuk meg (a 3 + b)/b 4-et (a - b)/3-mal.

6. Szorozza meg (a 5 + 1)/x 2-t (b 2 - 1)/(x + a) értékkel.

7. Szorozzuk meg b 4 /a -2-t h -3 /x-el és a n /y -3-mal.

8. Ossz el egy 4 /y 3-at egy 3 /y 2-vel. Válasz: a/y.

9. Oszd meg (h 3 - 1)/d 4 -vel (d n + 1)/h.