ലോഗരിതങ്ങളുടെ നിർവചനവും ഗുണങ്ങളും. ലോഗരിതങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളും അവയുടെ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളും. സമഗ്ര ഗൈഡ് (2019)

ബന്ധപ്പെട്ട്

നൽകിയിട്ടുള്ള മറ്റ് രണ്ടെണ്ണത്തിൽ നിന്ന് മൂന്ന് സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും. a ഉം N ഉം നൽകിയാൽ, അവ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ വഴി കണ്ടെത്തും. x ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് എടുത്ത് (അല്ലെങ്കിൽ അതിനെ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തി) N ഉം a ഉം നൽകിയാൽ. ഇപ്പോൾ a, N എന്നിവ നൽകിയാൽ x കണ്ടെത്തേണ്ട സന്ദർഭം പരിഗണിക്കുക.

N എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ: a എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവും ഒന്നിന് തുല്യവുമല്ല: .

നിർവ്വചനം. N സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം a അടിസ്ഥാനം ആണ്, N എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ a ഉയർത്തേണ്ട ഘാതം; ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്

അങ്ങനെ, തുല്യതയിൽ (26.1) ഘാതം a അടിസ്ഥാനം N യുടെ ലോഗരിതം ആയി കാണപ്പെടുന്നു. പോസ്റ്റുകൾ

ഒരേ അർത്ഥമുണ്ട്. സമത്വം (26.1) ചിലപ്പോൾ ലോഗരിതം സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു; വാസ്തവത്തിൽ അത് ലോഗരിതം എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. എഴുതിയത് ഈ നിർവചനംലോഗരിതം a യുടെ അടിസ്ഥാനം എപ്പോഴും പോസിറ്റീവും ഏകത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തവുമാണ്; ലോഗരിഥമിക് നമ്പർ N പോസിറ്റീവ് ആണ്. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും പൂജ്യത്തിനും ലോഗരിതം ഇല്ല. തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. അതിനാൽ സമത്വം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഇവിടെ വ്യവസ്ഥ അനിവാര്യമാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക; അല്ലെങ്കിൽ, x, y എന്നിവയുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കും തുല്യത ശരിയാണെന്നതിനാൽ, നിഗമനം ന്യായീകരിക്കപ്പെടില്ല.

ഉദാഹരണം 1. കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം 2 പവർ ആയി ഉയർത്തണം.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൽ അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കുറിപ്പുകൾ ഉണ്ടാക്കാം:

ഉദാഹരണം 2. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്

ഉദാഹരണങ്ങൾ 1, 2 എന്നിവയിൽ, ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ബേസിൻ്റെ ശക്തിയായി ലോഗരിതം സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിച്ച് ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ലോഗരിതം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്തി. പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, മുതലായവയ്ക്ക്, ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ലോഗരിതത്തിന് യുക്തിരഹിതമായ മൂല്യമുണ്ട്. ഈ പ്രസ്താവനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു വിഷയം നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഖണ്ഡിക 12-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം ഞങ്ങൾ നൽകി പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. ലോഗരിതം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് ഇത് ആവശ്യമായിരുന്നു, പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ, അവിവേക സംഖ്യകളാകാം.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ നോക്കാം.

പ്രോപ്പർട്ടി 1. സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഉണ്ട്, എവിടെ നിന്നാണ്

നേരെമറിച്ച്, നിർവചനം അനുസരിച്ച് എന്ന് അനുവദിക്കുക

പ്രോപ്പർട്ടി 2. ഒന്നിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും ബേസിൻ്റെ ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിലൂടെ (ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് ബേസിൻ്റെ പൂജ്യം പവർ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കാണുക (10.1)). ഇവിടെ നിന്ന്

ക്യു.ഇ.ഡി.

വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്: എങ്കിൽ, N = 1. തീർച്ചയായും, നമുക്ക് .

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, a, b എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകൾ c-യേക്കാൾ വലുതോ c-യിൽ കുറവോ ആണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ c യുടെ ഒരേ വശത്ത് കിടക്കുമെന്ന് നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് c-നേക്കാൾ വലുതും മറ്റൊന്ന് c-നേക്കാൾ കുറവും ആണെങ്കിൽ, അവ കൂടെ കിടക്കുന്നു എന്ന് നമ്മൾ പറയും. വ്യത്യസ്ത വശങ്ങൾഗ്രാമത്തിൽ നിന്ന്

പ്രോപ്പർട്ടി 3. സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിൻ്റെ ഒരേ വശത്താണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പോസിറ്റീവ് ആണ്; സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിൻ്റെ എതിർവശങ്ങളിലാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആണ്.

അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ആധാരം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ a യുടെ ശക്തി ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ് എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രോപ്പർട്ടി 3 ൻ്റെ തെളിവ്. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലും ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ബേസ് ഒന്നിൽ കുറവും ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഒരു ശക്തി ഒന്നിൽ കുറവാണ്.

പരിഗണിക്കേണ്ട നാല് കേസുകൾ ഉണ്ട്:

അവയിൽ ആദ്യത്തേത് വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും; ബാക്കിയുള്ളവ വായനക്കാരൻ സ്വന്തമായി പരിഗണിക്കും.

അപ്പോൾ തുല്യതയിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കില്ല, അതിനാൽ, അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്, തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 3. ചുവടെയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെ പോസിറ്റീവ് ആണെന്നും ഏതൊക്കെ നെഗറ്റീവ് ആണെന്നും കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം, a) സംഖ്യ 15 ഉം അടിസ്ഥാന 12 ഉം ഒന്നിൻ്റെ ഒരേ വശത്തായതിനാൽ;

ബി) 1000 ഉം 2 ഉം യൂണിറ്റിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതിനാൽ; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനം ലോഗരിഥമിക് നമ്പറിനേക്കാൾ വലുതാണെന്നത് പ്രധാനമല്ല;

c) 3.1 ഉം 0.8 ഉം ഐക്യത്തിൻ്റെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്നതിനാൽ;

ജി) ; എന്തുകൊണ്ട്?

d) ; എന്തുകൊണ്ട്?

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ 4-6 നെ പലപ്പോഴും ലോഗരിതമേഷൻ നിയമങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ചില സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം അറിയുന്നതിലൂടെ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ഘടകാംശം, ഓരോന്നിൻ്റെയും ഡിഗ്രി എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ അവ അനുവദിക്കുന്നു.

പ്രോപ്പർട്ടി 4 (ഉൽപ്പന്ന ലോഗരിതം നിയമം). ഒരു നിശ്ചിത അടിത്തറയിലേക്കുള്ള നിരവധി പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഈ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക്.

തെളിവ്. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ.

അവരുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്ന തുല്യത (26.1) ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തും

ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് ആവശ്യമായ തുല്യത ലഭിക്കും:

അവസ്ഥ അനിവാര്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക; രണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം അർത്ഥവത്താണ്, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

പൊതുവേ, നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ലോഗരിതം ഈ ഘടകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടി 5 (ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം). പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും ഡിവിസറിൻ്റെയും ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ അടിത്തറയിലേക്ക് എടുക്കുന്നു. തെളിവ്. ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി കണ്ടെത്തുന്നു

ക്യു.ഇ.ഡി.

പ്രോപ്പർട്ടി 6 (പവർ ലോഗരിതം റൂൾ). ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെയും ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം ആ സംഖ്യയുടെ ഘാതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റി (26.1) വീണ്ടും എഴുതാം:

ക്യു.ഇ.ഡി.

അനന്തരഫലം. ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം, മൂലത്തിൻ്റെ ഘാതം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ റാഡിക്കലിൻ്റെ ലോഗരിതം തുല്യമാണ്:

പ്രോപ്പർട്ടി 6 എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും ഉപയോഗിക്കാമെന്നും സങ്കൽപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ ഈ അനന്തരഫലത്തിൻ്റെ സാധുത തെളിയിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണം 4. a അടിസ്ഥാനമാക്കാൻ ലോഗരിതം എടുക്കുക:

a) (എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും b, c, d, e എന്നിവ പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു);

b) (അത് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു).

പരിഹാരം, a) ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ പവറുകളിലേക്ക് പോകുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

സമത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (26.5)-(26.7), നമുക്ക് ഇപ്പോൾ എഴുതാം:

സംഖ്യകളേക്കാൾ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതങ്ങളിൽ നടക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ലോഗരിതം ചേർക്കുന്നു, വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവ കുറയ്ക്കുന്നു, മുതലായവ.

അതുകൊണ്ടാണ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പരിശീലനത്തിൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നത് (ഖണ്ഡിക 29 കാണുക).

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനത്തെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്: ഒരു സംഖ്യയുടെ തന്നിരിക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനമാണ് പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ. അടിസ്ഥാനപരമായി, പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ ഒരു പ്രത്യേക പ്രവർത്തനമല്ല: ഇത് ഒരു അടിത്തറയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു (ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്). "പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദം "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദത്തിൻ്റെ പര്യായമായി കണക്കാക്കാം.

പൊട്ടൻഷ്യേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ലോഗരിതമേഷൻ നിയമങ്ങൾക്ക് വിപരീതമായി നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കണം: ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. പ്രത്യേകിച്ചും, മുന്നിൽ ഒരു ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൻ്റെ, പിന്നെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ സമയത്ത് അത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഡിഗ്രികളിലേക്ക് മാറ്റണം.

ഉദാഹരണം 5. N എന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ നിൽക്കുന്ന 2/3, 1/3 എന്നീ ഘടകങ്ങളെ ഈ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റും. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തെ ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ഈ സമത്വ ശൃംഖലയിലെ അവസാന അംശം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന് മുമ്പത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഞങ്ങൾ മോചിപ്പിച്ചു (ക്ലോസ് 25).

പ്രോപ്പർട്ടി 7. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, പിന്നെ വലിയ സംഖ്യഒരു വലിയ ലോഗരിതം ഉണ്ട് (ചെറിയ സംഖ്യയ്ക്ക് ചെറുതും ഉണ്ട്), അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ, വലിയ സംഖ്യയ്ക്ക് ചെറിയ ലോഗരിതം ഉണ്ടായിരിക്കും (ചെറിയ സംഖ്യയ്ക്ക് വലുത്).

അസമത്വങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു നിയമമായും ഈ പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, ഇവയുടെ ഇരുവശങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആണ്:

അസമത്വങ്ങളെ ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിഥിംഗ് ചെയ്യുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഒന്നിൽ താഴെയുള്ള ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം ചെയ്യുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം വിപരീതമായി മാറുന്നു (ഖണ്ഡിക 80-ഉം കാണുക).

തെളിവ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ 5 ഉം 3 ഉം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. എങ്കിൽ , പിന്നെ, ലോഗരിതം എടുക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന കേസ് പരിഗണിക്കുക

(എയും N/M ഉം ഐക്യത്തിൻ്റെ ഒരേ വശത്താണ്). ഇവിടെ നിന്ന്

ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, വായനക്കാരൻ അത് സ്വയം കണ്ടെത്തും.

1.1 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഘാതം നിർണ്ണയിക്കുന്നു

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N തവണ

1.2 പൂജ്യം ഡിഗ്രി.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഏത് സംഖ്യയുടെയും പൂജ്യം പവർ 1 ആണെന്ന് പൊതുവെ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

1.3 നെഗറ്റീവ് ബിരുദം.

X -N = 1/X N

1.4 ഫ്രാക്ഷണൽ പവർ, റൂട്ട്.

X 1/N = X ൻ്റെ N റൂട്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്: X 1/2 = √X.

1.5 ശക്തികൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല.

X (N+M) = X N *X M

1.6. പവറുകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല.

X (N-M) = X N /X M

1.7 ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല.

X N*M = (X N) M

1.8 ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല.

(X/Y) N = X N /Y N

2. നമ്പർ ഇ.

e എന്ന സംഖ്യയുടെ മൂല്യം ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധിക്ക് തുല്യമാണ്:

E = lim(1+1/N), N → ∞ ആയി.

17 അക്കങ്ങളുടെ കൃത്യതയോടെ, നമ്പർ e 2.71828182845904512 ആണ്.

3. യൂലറുടെ സമത്വം.

ഈ സമത്വം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു പ്രത്യേക പങ്ക് വഹിക്കുന്ന അഞ്ച് സംഖ്യകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു: 0, 1, ഇ, പൈ, സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ്.

E (i*pi) + 1 = 0

4. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ exp(x)

exp(x) = e x

5. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന് ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു ഗുണമുണ്ട്: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന് തുല്യമാണ്:

(exp(x))" = exp(x)

6. ലോഗരിതം.

6.1 ലോഗരിതം ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവ്വചനം

x = b y ആണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം ഫംഗ്‌ഷനാണ്

Y = ലോഗ് b(x).

ലോഗരിതം ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി കാണിക്കുന്നു - തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യ (X) ലഭിക്കുന്നതിന് ലോഗരിതം (ബി) യുടെ അടിസ്ഥാനം. പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായ X ന് ലോഗരിതം ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: ലോഗ് 10 (100) = 2.

6.2 ദശാംശ ലോഗരിതം

അടിസ്ഥാന 10-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഇതാണ്:

Y = ലോഗ് 10 (x) .

ലോഗ്(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചത്: ലോഗ്(x) = ലോഗ് 10 (x).

ഡെസിമൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഡെസിബെൽ ആണ്.

6.3 ഡെസിബെൽ

ഡെസിബെൽ എന്ന പ്രത്യേക പേജിൽ ഇനം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിട്ടുണ്ട്

6.4 ബൈനറി ലോഗരിതം

ഇതാണ് അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം:

Y = ലോഗ് 2 (x).

Lg(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചത്: Lg(x) = ലോഗ് 2 (X)

6.5 സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

e-യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഇതാണ്:

Y = ലോഗ് ഇ (x) .

Ln(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചത്: Ln(x) = ലോഗ് e (X)
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ (എക്‌സ്) വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം.

6.6 സ്വഭാവ പോയിൻ്റുകൾ

ലോഗ(1) = 0
ലോഗ് എ (എ) = 1

6.7 ഉൽപ്പന്ന ലോഗരിതം ഫോർമുല

ലോഗ് എ (x*y) = ലോഗ് എ (x)+ലോഗ് എ (y)

6.8 ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഫോർമുല

ലോഗ് എ (x/y) = ലോഗ് എ (x)-ലോഗ് എ (y)

6.9 പവർ ഫോർമുലയുടെ ലോഗരിതം

ലോഗ് എ (x y) = y*ലോഗ് എ (x)

6.10 വ്യത്യസ്ത അടിത്തറയുള്ള ഒരു ലോഗരിതത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല

ലോഗ് b (x) = (ലോഗ് എ (x))/ലോഗ് എ (ബി)

ഉദാഹരണം:

ലോഗ് 2 (8) = ലോഗ് 10 (8)/ലോഗ് 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. ജീവിതത്തിൽ ഉപയോഗപ്രദമായ ഫോർമുലകൾ

പലപ്പോഴും വോളിയം വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ നീളം ആക്കി മാറ്റുന്നതിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്, വിപരീത പ്രശ്നമുണ്ട് - ഏരിയയെ വോളിയമാക്കി മാറ്റുന്നതിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, ബോർഡുകൾ ക്യൂബുകളിൽ (ക്യുബിക് മീറ്റർ) വിൽക്കുന്നു, ഒരു നിശ്ചിത വോള്യത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ബോർഡുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എത്ര മതിൽ വിസ്തീർണ്ണം മൂടാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, ബോർഡുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ കാണുക, ഒരു ക്യൂബിൽ എത്ര ബോർഡുകൾ ഉണ്ട്. അല്ലെങ്കിൽ, മതിലിൻ്റെ അളവുകൾ അറിയാമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഇഷ്ടികകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഇഷ്ടിക കണക്കുകൂട്ടൽ കാണുക.

ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സജീവ ലിങ്ക് ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്തിട്ടുള്ള സൈറ്റ് മെറ്റീരിയലുകൾ ഉപയോഗിക്കാൻ ഇതിന് അനുമതിയുണ്ട്.

എന്നതാണ് ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ ഫോക്കസ് ലോഗരിതം. ഇവിടെ നമ്മൾ ലോഗരിതം, ഷോയുടെ നിർവചനം നൽകും അംഗീകൃത പദവി, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകും, കൂടാതെ സ്വാഭാവികവും ദശാംശവുമായ ലോഗരിതങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും. ഇതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി പരിഗണിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ലോഗരിതം നിർവ്വചനം

ഒരു പ്രത്യേക വിപരീത അർത്ഥത്തിൽ ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് കണ്ടെത്തേണ്ടിവരുമ്പോൾ ഒരു ലോഗരിതം എന്ന ആശയം ഉണ്ടാകുന്നു. അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യംബിരുദവും അറിയപ്പെടുന്ന അടിസ്ഥാനവും.

എന്നാൽ മതിയായ ആമുഖങ്ങൾ, "ഒരു ലോഗരിതം എന്താണ്" എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകേണ്ട സമയമാണിത്? നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

b യുടെ ലോഗരിതം a അടിസ്ഥാനം, ഇവിടെ a>0, a≠1, b>0 എന്നിവ ഘാതകമാണ്, അതിൻ്റെ ഫലമായി b ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ a സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, "ലോഗരിതം" എന്ന വാക്ക് ഉടൻ തന്നെ രണ്ട് തുടർചോദ്യങ്ങൾ ഉന്നയിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: "ഏത് നമ്പർ", "ഏത് അടിസ്ഥാനത്തിൽ." മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ലോഗരിതം ഇല്ല, പക്ഷേ ഒരു സംഖ്യയുടെ ചില അടിസ്ഥാനങ്ങളിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം മാത്രം.

നമുക്ക് ഉടനെ പ്രവേശിക്കാം ലോഗരിതം നൊട്ടേഷൻ: a യുടെ അടിസ്ഥാനം b എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം സാധാരണയായി log a b ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ b മുതൽ അടിസ്ഥാന e വരെയുള്ള ലോഗരിതം, ബേസ് 10 വരെയുള്ള ലോഗരിതം എന്നിവയ്ക്ക് യഥാക്രമം lnb, logb എന്നീ പ്രത്യേക പദവികളുണ്ട്, അതായത്, അവർ എഴുതുന്നത് log e b അല്ല, lnb, log 10 b അല്ല, lgb.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നൽകാം: .
ഒപ്പം റെക്കോർഡുകളും അർത്ഥമില്ല, കാരണം അവയിൽ ആദ്യത്തേതിൽ ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഉണ്ട് ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, രണ്ടാമത്തേതിൽ ബേസിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുണ്ട്, മൂന്നാമത്തേതിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും അടിത്തറയിൽ ഒരു യൂണിറ്റും ഉണ്ട്.

ഇനി നമുക്ക് സംസാരിക്കാം ലോഗരിതം വായിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ. ലോഗ് എ ബിയെ "ബി യുടെ ലോഗരിതം എ ടു ബേസ് എ" എന്നാണ് വായിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 3 എന്നത് മൂന്ന് മുതൽ ബേസ് 2 വരെയുള്ള ലോഗരിതം ആണ്, കൂടാതെ അഞ്ചിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ രണ്ട് പോയിൻ്റ് മൂന്നിൽ രണ്ട് ലോഗരിതം ആണ്. e യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, കൂടാതെ lnb എന്ന നൊട്ടേഷൻ "ബിയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം" എന്ന് വായിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ln7 എന്നത് ഏഴിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആണ്, നമ്മൾ അതിനെ പൈയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആയി വായിക്കും. അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതത്തിനും ഒരു പ്രത്യേക നാമമുണ്ട് - ദശാംശ ലോഗരിതം, കൂടാതെ lgb എന്നത് "b യുടെ ഡെസിമൽ ലോഗരിതം" ആയി വായിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, lg1 എന്നത് ഒന്നിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്, കൂടാതെ lg2.75 എന്നത് രണ്ട് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഏഴ് അഞ്ഞൂറിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം നൽകിയിട്ടുള്ള a>0, a≠1, b>0 എന്നീ വ്യവസ്ഥകളിൽ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഈ നിയന്ത്രണങ്ങൾ എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിതം നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന ഫോമിൻ്റെ സമത്വം ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും.

a≠1-ൽ തുടങ്ങാം. ഒന്ന് ഏത് ശക്തിയും ഒന്നിന് തുല്യമായതിനാൽ, തുല്യത b=1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ശരിയാകൂ, എന്നാൽ ലോഗ് 1 1 ഏതെങ്കിലും ആകാം യഥാർത്ഥ സംഖ്യ. ഈ അവ്യക്തത ഒഴിവാക്കാൻ, a≠1 അനുമാനിക്കുന്നു.

a>0 എന്ന വ്യവസ്ഥയുടെ പ്രയോജനത്തെ നമുക്ക് ന്യായീകരിക്കാം. a=0 ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് തുല്യത ഉണ്ടായിരിക്കും, അത് b=0 കൊണ്ട് മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. എന്നാൽ പൂജ്യം മുതൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത പവർ വരെ പൂജ്യമായതിനാൽ ലോഗ് 0 0 പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാകാം. ഈ അവ്യക്തത ഒഴിവാക്കാൻ a≠0 വ്യവസ്ഥ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. എപ്പോൾ എ<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

അവസാനമായി, b>0 എന്ന അവസ്ഥ അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു a>0, മുതൽ , കൂടാതെ a പോസിറ്റീവ് ബേസ് ഉള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ മൂല്യം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്.

ഈ പോയിൻ്റ് അവസാനിപ്പിക്കാൻ, ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ പ്രഖ്യാപിത നിർവചനം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ശക്തി ആയിരിക്കുമ്പോൾ ലോഗരിതം മൂല്യം ഉടനടി സൂചിപ്പിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം, b=a p ആണെങ്കിൽ, b എന്ന സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനം a p-ന് തുല്യമാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അതായത് സമത്വ ലോഗ് a a p =p ശരിയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 =8, തുടർന്ന് ലോഗ് 2 8=3 എന്ന് നമുക്കറിയാം. ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ സംസാരിക്കും.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക. എക്സ്പ്രഷൻ 10 ൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ നൊട്ടേഷൻ ചുരുക്കി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: lg b എന്നത് ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്. ലോഗരിതത്തിന് e എന്ന സംഖ്യ അടിസ്ഥാനമാണെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗം എഴുതുക: ln b - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം. ബി എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ അടിസ്ഥാന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയാണ് ഏതിൻ്റെയും ഫലം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയെ ഒന്നൊന്നായി വേർതിരിച്ച് ഫലങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്: (u+v)" = u"+v";

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആദ്യത്തെ ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുകയും വേണം: (u*v)" = u"*v +v"*u;

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഡിവിഡൻഡിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗുണനഫലത്തിൽ നിന്ന് ഡിവിഡൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചാൽ ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഡിവിസർ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇതെല്ലാം. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

നൽകിയാൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം, പിന്നെ ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ബാഹ്യമായ ഒന്നിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഗുണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. y=u(v(x)), തുടർന്ന് y"(x)=y"(u)*v"(x) എന്ന് അനുവദിക്കുക.

മുകളിൽ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് മിക്കവാറും ഏത് പ്രവർത്തനത്തെയും വേർതിരിക്കാനാകും. അതിനാൽ നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിലും പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. y=e^(x^2+6x+5) ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകട്ടെ, നിങ്ങൾ x=1 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
1) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക y"(1)=8*e^0=8

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

സഹായകരമായ ഉപദേശം

പ്രാഥമിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക പഠിക്കുക. ഇത് ഗണ്യമായി സമയം ലാഭിക്കും.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

അപ്പോൾ, എന്താണ് വ്യത്യാസം? ir യുക്തിസഹമായ സമവാക്യംയുക്തിവാദത്തിൽ നിന്നോ? അജ്ഞാത വേരിയബിൾ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണെങ്കിൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട്, അപ്പോൾ സമവാക്യം യുക്തിരഹിതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതി ഇരുവശവും നിർമ്മിക്കുന്ന രീതിയാണ് സമവാക്യങ്ങൾഒരു ചതുരത്തിലേക്ക്. എന്നിരുന്നാലും. ഇത് സ്വാഭാവികമാണ്, നിങ്ങൾ ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് അടയാളം ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ്. ഈ രീതി സാങ്കേതികമായി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല, പക്ഷേ ചിലപ്പോൾ ഇത് കുഴപ്പത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം v(2x-5)=v(4x-7) ആണ്. ഇരുവശവും സമചതുരമാക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് 2x-5=4x-7 ലഭിക്കും. അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല; x=1. എന്നാൽ നമ്പർ 1 നൽകില്ല സമവാക്യങ്ങൾ. എന്തുകൊണ്ട്? x ൻ്റെ മൂല്യത്തിന് പകരം സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഒരെണ്ണം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. വലത്, ഇടത് വശങ്ങളിൽ അർത്ഥമില്ലാത്ത പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കും, അതായത്. ഒരു സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന് ഈ മൂല്യം സാധുതയുള്ളതല്ല. അതിനാൽ, 1 ഒരു ബാഹ്യമൂലമാണ്, അതിനാൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

അതിനാൽ, ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം അതിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, പുറമേയുള്ള വേരുകൾ മുറിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

മറ്റൊന്ന് പരിഗണിക്കുക.
2х+vx-3=0
തീർച്ചയായും, മുമ്പത്തെ അതേ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. സംയുക്തങ്ങൾ നീക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ, സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഇല്ലാത്ത, വലത് വശത്തേക്ക്, തുടർന്ന് സ്ക്വയറിംഗ് രീതി ഉപയോഗിക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും വേരുകളും പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ മറ്റൊന്ന്, കൂടുതൽ സുന്ദരമായ ഒന്ന്. ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ നൽകുക; vх=y. അതനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 2y2+y-3=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും. അതായത്, പതിവ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക; y1=1, y2=-3/2. അടുത്തതായി, രണ്ടെണ്ണം പരിഹരിക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ vх=1; vх=-3/2. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല; ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ x=1 എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു. വേരുകൾ പരിശോധിക്കാൻ മറക്കരുത്.

ഐഡൻ്റിറ്റികൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിശ്ചിത ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കുന്നതുവരെ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെ, ഏറ്റവും ലളിതമായ സഹായത്തോടെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾചുമതലകൾ പരിഹരിക്കപ്പെടും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - പേപ്പർ;
• - പേന.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ബീജഗണിത സംക്ഷിപ്ത ഗുണനങ്ങളാണ് (തുകയുടെ വർഗ്ഗം (വ്യത്യാസം), വർഗ്ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം, തുക (വ്യത്യാസം), തുകയുടെ ക്യൂബ് (വ്യത്യാസം)). കൂടാതെ, ധാരാളം ഉണ്ട് ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, അവ അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരേ ഐഡൻ്റിറ്റികളാണ്.

വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗം, ആദ്യത്തേതിൻ്റെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി പ്ലസ്, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ ഇരട്ടി, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ വർഗ്ഗം, അതായത് (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

രണ്ടും ലളിതമാക്കുക

പരിഹാരത്തിൻ്റെ പൊതു തത്വങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠപുസ്തകം ആവർത്തിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം, ഇത് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യമാണ്. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിനുള്ള പരിഹാരം അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് നൽകുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രധാന ഇൻ്റഗ്രലുകൾ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു.
ഏത് പട്ടിക ഇൻ്റഗ്രലുകൾക്ക് അനുയോജ്യമാണെന്ന് ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ രൂപത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കുക ഈ സാഹചര്യത്തിൽ. ഇത് ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. പലപ്പോഴും, സംയോജനം ലളിതമാക്കുന്നതിന് നിരവധി പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം മാത്രമേ പട്ടിക രൂപം ശ്രദ്ധേയമാകൂ.

വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി

ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ ആണെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം, ആരുടെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ചില ബഹുപദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് വേരിയബിൾ റീപ്ലേസ്‌മെൻ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ശ്രമിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ പോളിനോമിയലിനെ കുറച്ച് പുതിയ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. പുതിയതും പഴയതുമായ വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സംയോജനത്തിൻ്റെ പുതിയ പരിധികൾ നിർണ്ണയിക്കുക. ഈ പദപ്രയോഗം വ്യത്യസ്തമാക്കുന്നതിലൂടെ, എന്നതിലെ പുതിയ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക. അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും പുതിയ തരംമുമ്പത്തെ അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ, ഏതെങ്കിലും ടേബിളിന് അടുത്തോ അല്ലെങ്കിൽ അതിനോട് പൊരുത്തപ്പെടുന്നതോ.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഇൻ്റഗ്രൽ രണ്ടാമത്തെ തരത്തിൻ്റെ ഒരു അവിഭാജ്യമാണെങ്കിൽ, ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ ഒരു വെക്റ്റർ രൂപമാണെങ്കിൽ, ഈ ഇൻ്റഗ്രലുകളിൽ നിന്ന് സ്കെയിലറുകളിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു നിയമമാണ് ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ്സ്കി-ഗൗസ് ബന്ധം. ഒരു നിശ്ചിത വെക്റ്റർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ റോട്ടർ ഫ്‌ളക്‌സിൽ നിന്ന് തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്റർ ഫീൽഡിൻ്റെ വ്യതിചലനത്തിൽ നിന്ന് ട്രിപ്പിൾ ഇൻ്റഗ്രലിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഈ നിയമം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു.

സംയോജന പരിധികളുടെ പകരക്കാരൻ

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആദ്യം, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഉയർന്ന പരിധിയുടെ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. കുറച്ച് നമ്പർ കിട്ടും. അടുത്തതായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് താഴത്തെ പരിധിയിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച മറ്റൊരു സംഖ്യ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക. സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിമിതികളിൽ ഒന്ന് അനന്തതയാണെങ്കിൽ, അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻപരിധിയിലേക്ക് പോയി പദപ്രയോഗം എന്താണ് ശ്രമിക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ഇൻ്റഗ്രൽ ദ്വിമാനമോ ത്രിമാനമോ ആണെങ്കിൽ, അവിഭാജ്യത്തെ എങ്ങനെ വിലയിരുത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങൾ ഏകീകരണത്തിൻ്റെ പരിധികളെ ജ്യാമിതീയമായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തീർച്ചയായും, ഒരു ത്രിമാന ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്ന വോളിയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന മുഴുവൻ പ്ലെയ്‌നുകളായിരിക്കാം.

ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കും ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു, ഈ പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു ലോഗരിതം. ആദ്യം നമ്മൾ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ മനസ്സിലാക്കും. അടുത്തതായി, ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അവയുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നോക്കാം. ഇതിനുശേഷം, മറ്റ് ലോഗരിതങ്ങളുടെ തുടക്കത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയ മൂല്യങ്ങളിലൂടെ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിൽ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും. അവസാനമായി, ലോഗരിതം പട്ടികകൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് പഠിക്കാം. മുഴുവൻ സിദ്ധാന്തവും വിശദമായ പരിഹാരങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു

ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ വളരെ വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും നിർവഹിക്കാൻ സാധിക്കും നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പ്രക്രിയ എങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

അതിൻ്റെ സാരാംശം a c എന്ന രൂപത്തിൽ ബി സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നതാണ്, അതിൽ നിന്ന്, ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുമ്പോൾ, സംഖ്യ c എന്നത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യമാണ്. അതായത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വ ശൃംഖല ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന് സമാനമാണ്: log a b=log a a c =c.

അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത് ഒരു c = b എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു, കൂടാതെ c സംഖ്യ തന്നെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികകളിലെ വിവരങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള നമ്പർ ലോഗരിതം അടിത്തറയുടെ ഒരു നിശ്ചിത ശക്തിയാൽ നൽകുമ്പോൾ, ലോഗരിതം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും - അത് സൂചകത്തിന് തുല്യമാണ്ഡിഗ്രികൾ. ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ കാണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ലോഗ് 2 2 −3 കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ e 5,3 എന്ന സംഖ്യയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

ലോഗ് 2 2 −3 =−3 എന്ന് ഉടനടി പറയാൻ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ബേസ് 2-ന് −3 പവറിന് തുല്യമാണ്.

അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു: lne 5.3 =5.3.

ഉത്തരം:

ലോഗ് 2 2 −3 =-3, lne 5,3 =5,3.

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള b എന്ന സംഖ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ ശക്തിയായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, a c എന്ന രൂപത്തിൽ b എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രാതിനിധ്യം കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കേണ്ടതുണ്ട്. മിക്കപ്പോഴും ഈ പ്രാതിനിധ്യം വളരെ വ്യക്തമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ 1, അല്ലെങ്കിൽ 2, അല്ലെങ്കിൽ 3, ൻ്റെ ശക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ...

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതംസ് ലോഗ് 5 25 കണക്കാക്കുക, ഒപ്പം .

പരിഹാരം.

25=5 2, ഇത് ആദ്യ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: ലോഗ് 5 25=ലോഗ് 5 5 2 =2.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. സംഖ്യയെ 7 ൻ്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: (ആവശ്യമെങ്കിൽ കാണുക). അതിനാൽ, .

ഇനി പറയുന്ന രൂപത്തിൽ മൂന്നാമത്തെ ലോഗരിതം മാറ്റിയെഴുതാം. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അത് കാണാൻ കഴിയും , അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു . അതിനാൽ, ലോഗരിതം നിർവചനം പ്രകാരം .

ചുരുക്കത്തിൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

ഉത്തരം:

ലോഗ് 5 25=2 , ഒപ്പം .

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായിരിക്കുമ്പോൾ, ആവശ്യത്തിന് വലുതാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, അപ്പോൾ അതിനെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ ചില ശക്തിയായി അത്തരമൊരു സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഇത് പലപ്പോഴും സഹായിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഈ ലോഗരിതം നിർവചനം അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുക.

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം ഉടനടി വ്യക്തമാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവും അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവും ഉൾപ്പെടുന്നു: log 1 1=log a a 0 =0, log a =log a a 1 =1. അതായത്, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു സംഖ്യ 1 അല്ലെങ്കിൽ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ, ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ലോഗരിതം യഥാക്രമം 0, 1 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതങ്ങളും log10 ഉം എന്തിന് തുല്യമാണ്?

പരിഹാരം.

മുതൽ, ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു .

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ 10 അതിൻ്റെ അടിത്തറയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ പത്തിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, lg10=lg10 1 =1.

ഉത്തരം:

ഒപ്പം lg10=1 .

നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത് (മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ ചർച്ചചെയ്തത്) സമത്വ ലോഗ് a a p =p ഉപയോഗിക്കുന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് ലോഗരിതം ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.

പ്രായോഗികമായി, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനവും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ ശക്തിയായി എളുപ്പത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. , ഇത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നിനോട് യോജിക്കുന്നു. ഈ ഫോർമുലയുടെ ഉപയോഗം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഒരു ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

ഉത്തരം:

.

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ലാത്ത ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഖണ്ഡികകളിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും.

അറിയപ്പെടുന്ന മറ്റ് ലോഗരിതങ്ങളിലൂടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു

ഈ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങൾ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന വിഷയം തുടരുന്നു. എന്നാൽ ഇവിടെ പ്രധാന വ്യത്യാസം, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം മറ്റൊരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ മൂല്യം അറിയപ്പെടുന്നു. വ്യക്തതയ്ക്കായി നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം. ലോഗ് 2 3≈1.584963 എന്ന് നമുക്ക് അറിയാമെന്ന് പറയാം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലോഗ് 2 6 കണ്ടെത്താം, ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചെറിയ പരിവർത്തനം നടത്തി: ലോഗ് 2 6=ലോഗ് 2 (2 3)=ലോഗ് 2 2+ലോഗ് 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം എന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ചാൽ മതിയായിരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, തന്നിരിക്കുന്നവയിലൂടെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ വിശാലമായ ആയുധശേഖരം ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം.

ലോഗ് 60 2=എയും ലോഗ് 60 5=ബിയും അറിയാമെങ്കിൽ 27 മുതൽ ബേസ് 60 വരെയുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

അതിനാൽ നമുക്ക് ലോഗ് 60 27 കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. 27 = 3 3 , ശക്തിയുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം കാരണം യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം, 3·ലോഗ് 60 3 എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ലോഗ് 60 3 എങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന് നോക്കാം. 60 60=1 എന്ന സമത്വ ലോഗ് എഴുതാൻ അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, ലോഗ് 60 60=log60(2 2 3 5)= ലോഗ് 60 2 2 +ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5= 2·ലോഗ് 60 2+ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5 . അങ്ങനെ, 2 ലോഗ് 60 2+ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5=1. അതിനാൽ, ലോഗ് 60 3=1−2·ലോഗ് 60 2−ലോഗ് 60 5=1−2·a−b.

അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു: ലോഗ് 60 27=3 ലോഗ് 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ഉത്തരം:

ലോഗ് 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

ഫോമിൻ്റെ ലോഗരിതം ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിൻ്റെ അർത്ഥം പ്രത്യേകം പരാമർശിക്കേണ്ടതാണ്. . ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അവ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. സാധാരണയായി, യഥാർത്ഥ ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന്, ട്രാൻസിഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, അവ 2, e അല്ലെങ്കിൽ 10 ബേസുകളിലൊന്നിലെ ലോഗരിതങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു, കാരണം ഈ ബേസുകൾക്ക് അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത അളവിൽ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികകളുണ്ട്. കൃത്യത. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

ലോഗരിതം പട്ടികകളും അവയുടെ ഉപയോഗങ്ങളും

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലിനായി ഉപയോഗിക്കാം ലോഗരിതം പട്ടികകൾ. ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം പട്ടിക, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം പട്ടിക, കൂടാതെ ദശാംശ ലോഗരിതം. ജോലി ചെയ്യുമ്പോൾ ദശാംശ വ്യവസ്ഥകാൽക്കുലസിനായി, അടിസ്ഥാന പത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ പഠിക്കും.

അവതരിപ്പിച്ച പട്ടിക 1,000 മുതൽ 9,999 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ പതിനായിരത്തിലൊന്നിൻ്റെ കൃത്യതയോടെ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു (മൂന്ന് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളോടെ). ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള തത്വം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം- ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാണ്. നമുക്ക് log1.256 കണ്ടെത്താം.

ദശാംശ ലോഗരിതം പട്ടികയുടെ ഇടത് നിരയിൽ, 1.256 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആദ്യ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്, 1.2 (വ്യക്തതയ്ക്കായി ഈ നമ്പർ നീല നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലാണ്). 1.256 എന്ന സംഖ്യയുടെ മൂന്നാമത്തെ അക്കം (അക്കം 5) ഇരട്ട വരിയുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ അവസാന വരിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു (ഈ നമ്പർ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലാണ്). യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായ 1.256 (അക്ക 6) ൻ്റെ നാലാമത്തെ അക്കം ഇരട്ട വരിയുടെ വലതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ അവസാന വരിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു (ഈ സംഖ്യ ഒരു പച്ച വര ഉപയോഗിച്ച് വൃത്താകൃതിയിലാണ്). അടയാളപ്പെടുത്തിയ വരിയുടെയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ നിരകളുടെയും കവലയിൽ ലോഗരിതം പട്ടികയുടെ സെല്ലുകളിലെ സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ഈ സംഖ്യകൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു ഓറഞ്ച്). അടയാളപ്പെടുത്തിയ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ദശാംശ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം നാലാമത്തെ ദശാംശ സ്ഥാനത്തിന് കൃത്യമായി നൽകുന്നു, അതായത്, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

മുകളിലുള്ള പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷം മൂന്നിൽ കൂടുതൽ അക്കങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളും അതുപോലെ 1 മുതൽ 9.999 വരെയുള്ള ശ്രേണിക്ക് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകുന്നവയും കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? അതെ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും. ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് കാണിക്കാം.

നമുക്ക് lg102.76332 കണക്കാക്കാം. ആദ്യം നിങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട് നമ്പർ ഇൻ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം : 102.76332=1.0276332·10 2. ഇതിനുശേഷം, മാൻ്റിസയെ മൂന്നാം ദശാംശ സ്ഥാനത്തേക്ക് വൃത്താകൃതിയിലാക്കണം, നമുക്കുണ്ട് 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, യഥാർത്ഥ ദശാംശ ലോഗരിതം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്, അതായത്, നമ്മൾ log102.76332≈lg1.028·10 2 എടുക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. അവസാനമായി, ദശാംശ ലോഗരിതം lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 പട്ടികയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതം lg1.028 ൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. തൽഫലമായി, ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ പ്രക്രിയയും ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

ഉപസംഹാരമായി, ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഏത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെയും ഏകദേശ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ കഴിയും എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളിലേക്ക് പോകാനും പട്ടികയിൽ അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനും ശേഷിക്കുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താനും ട്രാൻസിഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ലോഗ് 2 3 കണക്കാക്കാം. ലോഗരിതം ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് . ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ log3≈0.4771, log2≈0.3010 എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നു. അങ്ങനെ, .

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• കോൾമോഗോറോവ് എ.എൻ., അബ്രമോവ് എ.എം., ഡഡ്നിറ്റ്സിൻ യു.പി. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 10 - 11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
• ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി. ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതികവിദ്യാലയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ).