ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിലവാരമില്ലാത്ത രീതികൾ. ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ

14.10.2019

ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ തന്നെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും വളരെ രസകരവുമാണ്. ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങളും അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും നോക്കാം.

ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം - ന്യൂമറേറ്ററിലെ x

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യം നൽകിയാൽ, അജ്ഞാതമായത് ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഉള്ളിടത്ത്, പരിഹാരത്തിന് അധിക വ്യവസ്ഥകൾ ആവശ്യമില്ല, കൂടാതെ പരിഹരിക്കപ്പെടും അനാവശ്യമായ ബുദ്ധിമുട്ട്. പൊതുവായ രൂപംഅത്തരമൊരു സമവാക്യം x/a + b = c ആണ്, ഇവിടെ x എന്നത് അജ്ഞാതമാണ്, a, b, c എന്നിവ സാധാരണ സംഖ്യകളാണ്.

x: x/5 + 10 = 70 കണ്ടെത്തുക.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കേണ്ടതുണ്ട്. സമവാക്യത്തിലെ ഓരോ പദത്തെയും 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. 5x, 5 എന്നിവ റദ്ദാക്കി, 10 ഉം 70 ഉം 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

x: x/5 + x/10 = 90 കണ്ടെത്തുക.

ഈ ഉദാഹരണം ആദ്യത്തേതിൻ്റെ കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമായ പതിപ്പാണ്. ഇവിടെ സാധ്യമായ രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

ഓപ്ഷൻ 1: സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും ഒരു വലിയ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു, അതായത്, 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
ഓപ്ഷൻ 2: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ചേർക്കുക. x/5 + x/10 = 90. പൊതുവിഭാഗം 10 ആണ്. 10 നെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, x കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് 2x ലഭിക്കും. 10 നെ 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, x കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, നമുക്ക് x ലഭിക്കും: 2x+x/10 = 90. അതിനാൽ 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

പലപ്പോഴും ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകാറുണ്ട്, അതിൽ x കൾ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു വ്യത്യസ്ത വശങ്ങൾതുല്യ ചിഹ്നം. അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ, X ൻ്റെ എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും ഒരു വശത്തേക്കും അക്കങ്ങൾ മറുവശത്തേക്കും നീക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

x: 3x/5 = 130 – 2x/5 കണ്ടെത്തുക.
വിപരീത ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് 2x/5 വലത്തേക്ക് നീക്കുക: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
ഞങ്ങൾ 5x/5 കുറയ്ക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു: x = 130.

ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം - ഡിനോമിനേറ്ററിലെ x

ഇത്തരത്തിലുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് അധിക വ്യവസ്ഥകൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. ഈ വ്യവസ്ഥകളുടെ സൂചന നിർബന്ധമായും അവിഭാജ്യ ഘടകമാണ് ശരിയായ തീരുമാനം. അവ ചേർക്കാതിരിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾ അപകടസാധ്യത സൃഷ്ടിക്കുന്നു, കാരണം ഉത്തരം (അത് ശരിയാണെങ്കിൽ പോലും) കണക്കാക്കില്ല.

ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പൊതുരൂപം, ഇവിടെ x എന്നത് ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ആണ്: a/x + b = c, ഇവിടെ x എന്നത് അജ്ഞാതമാണ്, a, b, c എന്നിവ സാധാരണ സംഖ്യകളാണ്. x ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ആയിരിക്കണമെന്നില്ല എന്നത് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, x ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, കാരണം അതിനെ 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഞങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കേണ്ട അധിക വ്യവസ്ഥ ഇതാണ്. ഇതിനെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, VA എന്ന് ചുരുക്കി വിളിക്കുന്നു.

x: 15/x + 18 = 21 കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ x: x ≠ 0 എന്നതിനായി ODZ എഴുതുന്നു. ഇപ്പോൾ ODZ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്കീം അനുസരിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും x കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ x മാത്രമല്ല, മറ്റ് ചില പ്രവർത്തനങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ അല്ലെങ്കിൽ കുറയ്ക്കൽ.

x: 15/(x-3) + 18 = 21 കണ്ടെത്തുക.

ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം, അതായത് x-3 ≠ 0. ഞങ്ങൾ -3 വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കി, “-” ചിഹ്നം “+” ആക്കി മാറ്റുന്നു, നമുക്ക് x ≠ 3 ലഭിക്കും. ODZ ആണ് സൂചിപ്പിച്ചു.

ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു, എല്ലാം x-3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

X-കൾ വലത്തോട്ടും അക്കങ്ങൾ ഇടത്തോട്ടും നീക്കുക: 24 = 3x => x = 8.

"ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു"

പാഠത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

വിദ്യാഭ്യാസപരം:

ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ആശയത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം; ഭിന്നമായ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിവിധ മാർഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക; ഭിന്നസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന വ്യവസ്ഥ ഉൾപ്പെടെ, ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം പരിഗണിക്കുക; ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പഠിപ്പിക്കുക; ഒരു ടെസ്റ്റ് നടത്തി വിഷയത്തിൻ്റെ വൈദഗ്ധ്യത്തിൻ്റെ നിലവാരം പരിശോധിക്കുന്നു.

വികസനം:

നേടിയ അറിവ് ഉപയോഗിച്ച് ശരിയായി പ്രവർത്തിക്കാനും യുക്തിസഹമായി ചിന്തിക്കാനുമുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കുക; ബുദ്ധിപരമായ കഴിവുകളുടെയും മാനസിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും വികസനം - വിശകലനം, സമന്വയം, താരതമ്യം, സാമാന്യവൽക്കരണം; മുൻകൈയുടെ വികസനം, തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കാനുള്ള കഴിവ്, അവിടെ നിർത്തരുത്; വിമർശനാത്മക ചിന്തയുടെ വികസനം; ഗവേഷണ കഴിവുകളുടെ വികസനം.

വിദ്യാഭ്യാസം:

വിഷയത്തിൽ വൈജ്ഞാനിക താൽപ്പര്യം വളർത്തുക; വിദ്യാഭ്യാസ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ സ്വാതന്ത്ര്യം വളർത്തുക; അന്തിമ ഫലങ്ങൾ നേടുന്നതിനുള്ള ഇച്ഛാശക്തിയും സ്ഥിരോത്സാഹവും വളർത്തുക.

പാഠ തരം: പാഠം - പുതിയ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ വിശദീകരണം.

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

1. സംഘടനാ നിമിഷം.

ഹലോ കൂട്ടുകാരെ! ബോർഡിൽ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്, അവ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക. ഈ സമവാക്യങ്ങളെല്ലാം നിങ്ങൾക്ക് പരിഹരിക്കാനാകുമോ? ഏതാണ് അല്ലാത്തത്, എന്തുകൊണ്ട്?

ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ എക്സ്പ്രഷനുകളാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇന്ന് ഞങ്ങൾ ക്ലാസ്സിൽ എന്ത് പഠിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു? പാഠത്തിൻ്റെ വിഷയം രൂപപ്പെടുത്തുക. അതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ നോട്ട്ബുക്കുകൾ തുറന്ന് "ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു" എന്ന പാഠത്തിൻ്റെ വിഷയം എഴുതുക.

2. അറിവ് പുതുക്കുന്നു. ഫ്രണ്ടൽ സർവേ, ക്ലാസിനൊപ്പം വാക്കാലുള്ള ജോലി.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വിഷയം പഠിക്കേണ്ട പ്രധാന സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽ ആവർത്തിക്കും. ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ദയവായി ഉത്തരം നൽകുക:

1. എന്താണ് ഒരു സമവാക്യം? ( ഒരു വേരിയബിളുമായോ വേരിയബിളുകളുമായോ ഉള്ള തുല്യത.)

2. സമവാക്യം നമ്പർ 1 ൻ്റെ പേരെന്താണ്? ( ലീനിയർ.) രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി. ( സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് അജ്ഞാതമായി എല്ലാം നീക്കുക, എല്ലാ അക്കങ്ങളും വലത്തോട്ട്. നയിക്കുക സമാനമായ നിബന്ധനകൾ. അജ്ഞാത ഘടകം കണ്ടെത്തുക).

3. സമവാക്യം നമ്പർ 3 ൻ്റെ പേരെന്താണ്? ( സമചതുരം Samachathuram.) ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ. ( വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തവും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു.)

4. എന്താണ് അനുപാതം? ( രണ്ട് അനുപാതങ്ങളുടെ തുല്യത.) അനുപാതത്തിൻ്റെ പ്രധാന സ്വത്ത്. ( അനുപാതം ശരിയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ പദങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം മധ്യ പദങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.)

5. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എന്ത് ഗുണങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്? ( 1. നിങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യത്തിലെ ഒരു പദത്തെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുകയും അതിൻ്റെ ചിഹ്നം മാറ്റുകയും ചെയ്താൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. 2. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും.)

6. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുന്നത് എപ്പോഴാണ്? ( ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യവും ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യവുമല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്..)

3. പുതിയ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ വിശദീകരണം.

നിങ്ങളുടെ നോട്ട്ബുക്കുകളിലും ബോർഡിലും സമവാക്യം നമ്പർ 2 പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: 10.

അനുപാതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം? (നമ്പർ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

നിങ്ങളുടെ നോട്ട്ബുക്കുകളിലും ബോർഡിലും സമവാക്യം നമ്പർ 4 പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: 1,5.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം? (നമ്പർ 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

ഉത്തരം: 3;4.

ഇനി താഴെ പറയുന്ന രീതികളിൽ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം നമ്പർ 7 പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

ഉത്തരം: 0;5;-2.			ഉത്തരം: 5;-2.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് സംഭവിച്ചതെന്ന് വിശദീകരിക്കുമോ? എന്തുകൊണ്ടാണ് ഒരു കേസിൽ മൂന്ന് വേരുകളും മറ്റൊന്നിൽ രണ്ട് വേരുകളും ഉള്ളത്? ഈ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഏതൊക്കെ സംഖ്യകളാണ്?

ഇതുവരെ, വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഒരു ബാഹ്യമായ റൂട്ട് എന്ന ആശയം നേരിട്ടിട്ടില്ല; എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് സംഭവിച്ചതെന്ന് മനസിലാക്കാൻ അവർക്ക് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ക്ലാസിലെ ആർക്കും ഈ സാഹചര്യത്തെക്കുറിച്ച് വ്യക്തമായ വിശദീകരണം നൽകാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, അധ്യാപകൻ പ്രധാന ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കുന്നു.

സമവാക്യങ്ങൾ നമ്പർ 2, 4 എന്നിവയിൽ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ സംഖ്യകളുണ്ട്, നമ്പർ 5-7 ഒരു വേരിയബിളുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളാണ്

സമവാക്യം സത്യമാകുന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം

ഒരു പരിശോധന നടത്തുക

പരീക്ഷിക്കുമ്പോൾ, ചില വിദ്യാർത്ഥികൾ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. 0, 5 എന്നീ സംഖ്യകൾ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളല്ലെന്ന് അവർ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഈ പിശക് ഇല്ലാതാക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ എന്തെങ്കിലും വഴിയുണ്ടോ? അതെ, ഭിന്നസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്ന വ്യവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഈ രീതി.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

x=5 ആണെങ്കിൽ, x(x-5)=0, അതായത് 5 എന്നത് ഒരു ബാഹ്യമൂലമാണ്.

x=-2 ആണെങ്കിൽ, x(x-5)≠0.

ഉത്തരം: -2.

ഈ രീതിയിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിക്കാം. കുട്ടികൾ സ്വയം അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1. എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക.

2. ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക.

3. ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കുക: ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യത്തിനും ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിനും തുല്യമല്ലാത്തപ്പോൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

4. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

5. പുറമെയുള്ള വേരുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ അസമത്വം പരിശോധിക്കുക.

6. ഉത്തരം എഴുതുക.

ചർച്ച: അനുപാതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കുകയും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്താൽ പരിഹാരം എങ്ങനെ ഔപചാരികമാക്കാം പൊതു വിഭജനം. (പരിഹാരത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക: പൊതുവായ ഘടകത്തെ അപ്രത്യക്ഷമാക്കുന്നവയെ അതിൻ്റെ വേരുകളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുക).

4. പുതിയ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ പ്രാരംഭ ധാരണ.

ജോഡികളായി പ്രവർത്തിക്കുക. സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം അനുസരിച്ച് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. "ആൾജിബ്ര 8" എന്ന പാഠപുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള അസൈൻമെൻ്റുകൾ, 2007: നമ്പർ 000 (b, c, i); നമ്പർ 000(a, d, g). ടീച്ചർ ജോലിയുടെ പൂർത്തീകരണം നിരീക്ഷിക്കുന്നു, ഉയർന്നുവരുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകുന്നു, കുറഞ്ഞ പ്രകടനം നടത്തുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് സഹായം നൽകുന്നു. സ്വയം പരിശോധന: ഉത്തരങ്ങൾ ബോർഡിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

b) 2 - പുറമേയുള്ള റൂട്ട്. ഉത്തരം: 3.

സി) 2 - പുറമേയുള്ള റൂട്ട്. ഉത്തരം: 1.5.

a) ഉത്തരം: -12.5.

g) ഉത്തരം: 1;1.5.

5. ഗൃഹപാഠം ക്രമീകരിക്കുക.

2. ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം പഠിക്കുക.

3. നോട്ട്ബുക്കുകൾ നമ്പർ 000 (a, d, e) ൽ പരിഹരിക്കുക; നമ്പർ 000(g, h).

4. നമ്പർ 000(a) (ഓപ്ഷണൽ) പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

6. പഠിച്ച വിഷയത്തിൽ ഒരു നിയന്ത്രണ ചുമതല പൂർത്തിയാക്കുന്നു.

കടലാസു കഷ്ണങ്ങളിലാണ് പണി നടക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണ ചുമതല:

എ) ഏത് സമവാക്യങ്ങളാണ് ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ?

ബി) ന്യൂമറേറ്റർ _____________________ ഉം ഡിനോമിനേറ്റർ _____________________ ഉം ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

Q) നമ്പർ -3 സമവാക്യ നമ്പർ 6 ൻ്റെ മൂലമാണോ?

D) സമവാക്യം നമ്പർ 7 പരിഹരിക്കുക.

അസൈൻമെൻ്റിനുള്ള മൂല്യനിർണ്ണയ മാനദണ്ഡം:

വിദ്യാർത്ഥി ടാസ്ക്കിൻ്റെ 90%-ൽ കൂടുതൽ ശരിയായി പൂർത്തിയാക്കിയാൽ "5" നൽകും. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" ടാസ്‌ക്കിൻ്റെ 50% ൽ താഴെ പൂർത്തിയാക്കിയ ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് നൽകുന്നു. ജേണലിൽ 2 റേറ്റിംഗ് നൽകിയിട്ടില്ല, 3 ഓപ്ഷണൽ ആണ്.

7. പ്രതിഫലനം.

സ്വതന്ത്ര വർക്ക് ഷീറ്റുകളിൽ എഴുതുക:

1 - പാഠം നിങ്ങൾക്ക് രസകരവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായിരുന്നുവെങ്കിൽ; 2 - രസകരമാണ്, പക്ഷേ വ്യക്തമല്ല; 3 - രസകരമല്ല, പക്ഷേ മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ; 4 - രസകരമല്ല, വ്യക്തമല്ല.

8. പാഠം സംഗ്രഹിക്കുക.

അതിനാൽ, ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ, ഭിന്നമായ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളുമായി ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെട്ടു, ഈ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിച്ചു വ്യത്യസ്ത വഴികൾ, ഒരു പരിശീലനത്തിൻ്റെ സഹായത്തോടെ അവരുടെ അറിവ് പരീക്ഷിച്ചു സ്വതന്ത്ര ജോലി. അടുത്ത പാഠത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വതന്ത്ര ജോലിയുടെ ഫലങ്ങൾ നിങ്ങൾ പഠിക്കും, കൂടാതെ വീട്ടിൽ നിങ്ങളുടെ അറിവ് ഏകീകരിക്കാനുള്ള അവസരം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും.

ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏത് രീതിയാണ്, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, എളുപ്പവും കൂടുതൽ ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതും കൂടുതൽ യുക്തിസഹവും? ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, നിങ്ങൾ എന്താണ് ഓർമ്മിക്കേണ്ടത്? ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ "തന്ത്രം" എന്താണ്?

എല്ലാവർക്കും നന്ദി, പാഠം കഴിഞ്ഞു.

ഈ സമവാക്യം ലളിതമാക്കാൻ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവിഭാഗം ഉപയോഗിക്കുന്നു.സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഓരോ വശത്തും ഒരു യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതാൻ കഴിയാത്തപ്പോൾ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു (കൂടാതെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ക്രിസ്ക്രോസ് രീതി ഉപയോഗിക്കുക). നിങ്ങൾക്ക് മൂന്നോ അതിലധികമോ ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള ഒരു യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം നൽകുമ്പോൾ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു (രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തിൽ, ക്രിസ്-ക്രോസ് ഗുണനം ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്).

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ (അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം) ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതുവിഭാഗം കണ്ടെത്തുക. NOZ ആണ് ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ, ഇത് ഓരോ വിഭാഗത്തിനും തുല്യമായി ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

ചിലപ്പോൾ NPD ഒരു വ്യക്തമായ സംഖ്യയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 എന്ന സമവാക്യം നൽകിയാൽ, 3, 2, 6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം 6 ആണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.
എൻസിഡി വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, ഏറ്റവും വലിയ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഗുണിതങ്ങൾ എഴുതി അവയിൽ മറ്റ് ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുക. പലപ്പോഴും രണ്ട് ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഗുണിച്ചാൽ NOD കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിന് x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 നൽകിയാൽ, NOS = 8*9 = 72.
ഒന്നോ അതിലധികമോ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, പ്രക്രിയ കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാകും (പക്ഷേ അസാധ്യമല്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, NOC എന്നത് ഓരോ ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഹരിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ (ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ) ആണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിൽ 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), കാരണം ഈ പദപ്രയോഗം ഓരോ ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും NOC യെ ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും അനുബന്ധ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയെ 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്, 2/2 = 1 അല്ലെങ്കിൽ 3/3 = 1).

അതിനാൽ ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, 2x/6 ലഭിക്കാൻ x/3 നെ 2/2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, 3/6 ലഭിക്കാൻ 1/2 നെ 3/3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (3x +1/6 ഭിന്നസംഖ്യയെ ഗുണിക്കേണ്ടതില്ല, കാരണം അത് ഡിനോമിനേറ്റർ 6).
വേരിയബിൾ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ സമാനമായി തുടരുക. ഞങ്ങളുടെ രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, NOZ = 3x(x-1), അതിനാൽ 5(3x)/(3x)(x-1) ലഭിക്കുന്നതിന് 5/(x-1) നെ (3x)/(3x) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക; 1/x 3(x-1)/3(x-1) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് 3(x-1)/3x(x-1) ലഭിക്കും; 2/(3x) (x-1)/(x-1) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് 2(x-1)/3x(x-1) ലഭിക്കും.

x കണ്ടെത്തുക.ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, നിങ്ങൾക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ ഒഴിവാക്കാനാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഓരോ വശവും പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക, അതായത്, "x" കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് വേരിയബിൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിനൊപ്പം നിങ്ങൾക്ക് 2 ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതുക: (2x+3)/6=(3x+1)/6. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഒഴിവാക്കുക: 2x+3 = 3x +1. പരിഹരിച്ച് x = 2 നേടുക.
ഞങ്ങളുടെ രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ (ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ഒരു വേരിയബിളിനൊപ്പം), സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു (ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറച്ചതിന് ശേഷം): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും N3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ ഒഴിവാക്കി ലഭിക്കും: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), അല്ലെങ്കിൽ 15x = 3x - 3 + 2x -2, അല്ലെങ്കിൽ 15x = x - 5 പരിഹരിച്ച് നേടുക: x = -5/14.

നമുക്ക് സംസാരിക്കുന്നത് തുടരാം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ വിശദമായി പരിഗണിക്കും യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വങ്ങളും. ആദ്യം, ഏത് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ് യുക്തിസഹമെന്ന് വിളിക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, സമ്പൂർണ്ണ യുക്തിസഹവും ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹവുമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർവചനം നൽകുക, ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക. അടുത്തതായി, യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ നേടും, കൂടാതെ, ആവശ്യമായ എല്ലാ വിശദീകരണങ്ങളോടും കൂടിയ സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

പ്രസ്താവിച്ച നിർവചനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , എന്നിവയെല്ലാം യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളാണ്.

കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന്, യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളും ഒരു വേരിയബിളിലോ രണ്ട്, മൂന്ന് മുതലായവയിലോ ആകാം എന്ന് വ്യക്തമാണ്. വേരിയബിളുകൾ. ഇനിപ്പറയുന്ന ഖണ്ഡികകളിൽ ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കും. രണ്ട് വേരിയബിളുകളിൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുഅവരും ഒരു വലിയ സംഖ്യപ്രത്യേക ശ്രദ്ധ അർഹിക്കുന്നു.

അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളെ ഹരിക്കുന്നതിനു പുറമേ, അവയെ പൂർണ്ണസംഖ്യയായും ഭിന്നസംഖ്യയായും തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം വിളിക്കുന്നു മുഴുവൻ, അതിൻ്റെ ഇടതും വലതും രണ്ടും പൂർണ്ണസംഖ്യ യുക്തിപരമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണെങ്കിൽ.

നിർവ്വചനം.

യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ ആണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ഭാഗികമായി യുക്തിസഹമായ(അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ).

മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളിലും ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ വിഭജനം അടങ്ങിയിട്ടില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്; നേരെമറിച്ച്, ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ (അല്ലെങ്കിൽ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ഒരു വേരിയബിൾ) വിഭജനം ഉണ്ടായിരിക്കണം. അതിനാൽ 3 x+2=0 ഒപ്പം (x+y)·(3·x 2 -1)+x=−y+0.5- ഇവ മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളാണ്, അവയുടെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും മുഴുവൻ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്. A, x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.

ഈ പോയിൻ്റ് അവസാനിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ഈ പോയിൻ്റ് വരെ അറിയപ്പെടുന്ന രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളാണെന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം.

മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നു

മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന സമീപനങ്ങളിലൊന്ന് അവയെ തുല്യമായവയിലേക്ക് ചുരുക്കുക എന്നതാണ് ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യാൻ കഴിയും:

ആദ്യം, യഥാർത്ഥ പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത് വശത്ത് നിന്നുള്ള പദപ്രയോഗം വലതുവശത്ത് പൂജ്യം ലഭിക്കുന്നതിന് വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു;
ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഫലം സാധാരണ കാഴ്ച.

യഥാർത്ഥ പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യമാണ് ഫലം. അതിനാൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നത് ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്കും പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡിഗ്രി n ൻ്റെ ബീജഗണിത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്കും ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

പരിഹാരം.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ പരിഹാരവും തുല്യമായ ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യം, ഞങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷൻ വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. രണ്ടാമതായി, ഇടതുവശത്ത് രൂപംകൊണ്ട പദപ്രയോഗം ആവശ്യമായത് പൂർത്തീകരിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഒരു സാധാരണ ഫോം പോളിനോമിയലായി മാറ്റുന്നു: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 -9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 -5 x−6. അങ്ങനെ, യഥാർത്ഥ പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് x 2 −5·x−6=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

അതിൻ്റെ വിവേചനം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു D=(-5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ഇത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്, അത് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

പൂർണ്ണമായും ഉറപ്പിക്കാൻ, നമുക്ക് അത് ചെയ്യാം സമവാക്യത്തിൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ആദ്യം നമ്മൾ റൂട്ട് 6 പരിശോധിക്കുക, യഥാർത്ഥ പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യത്തിലെ x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, അത് സമാനമാണ്, 63=63. ഇതൊരു സാധുവായ സംഖ്യാ സമവാക്യമാണ്, അതിനാൽ x=6 എന്നത് തീർച്ചയായും സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ റൂട്ട് −1 പരിശോധിക്കുന്നു, നമുക്കുണ്ട് 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, എവിടെ നിന്ന്, 0=0 . x=−1 ആകുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യവും ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമായി മാറുന്നു, അതിനാൽ, x=-1 എന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് കൂടിയാണ്.

ഉത്തരം:

6 , −1 .

"മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ഡിഗ്രി" എന്ന പദം ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രതിനിധാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നതും ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനം നൽകാം:

നിർവ്വചനം.

മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ശക്തിഒരു തത്തുല്യ ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, മുഴുവൻ സമവാക്യവും മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണംരണ്ടാം ബിരുദമുണ്ട്.

ഒരു കാര്യത്തിനല്ലെങ്കിൽ, ഇത് മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അവസാനമാകുമായിരുന്നു. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ ഉയർന്ന ഡിഗ്രി ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് കാര്യമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ നാലാമത്തേതിനേക്കാൾ ഉയർന്ന ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഇല്ല പൊതു സൂത്രവാക്യങ്ങൾവേരുകൾ അതിനാൽ, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും അതിലധികവും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉയർന്ന ഡിഗ്രികൾപലപ്പോഴും നിങ്ങൾ മറ്റ് പരിഹാര മാർഗ്ഗങ്ങൾ അവലംബിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സമീപനം ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം പാലിക്കുന്നു:

ആദ്യം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടെന്ന് അവർ ഉറപ്പാക്കുന്നു; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റുന്നു;
തുടർന്ന്, ഇടതുവശത്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് നിരവധി ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ വഴി ഒരു സമവാക്യം മുഴുവനും പരിഹരിക്കുന്നതിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന അൽഗോരിതത്തിന് ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് വിശദമായ വിശദീകരണം ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം.

മുഴുവൻ സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുക (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

പരിഹാരം.

ആദ്യം, പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടതുവശത്തേക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റുന്നു, ചിഹ്നം മാറ്റാൻ മറക്കാതെ, നമുക്ക് ലഭിക്കും (x 2 -1)·(x 2 -10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വശം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൻ്റെ ഒരു ബഹുപദമാക്കി മാറ്റുന്നത് ഉചിതമല്ല എന്നത് ഇവിടെ വളരെ വ്യക്തമാണ്, കാരണം ഇത് ഫോമിൻ്റെ നാലാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യം നൽകും. x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x−13=0, അതിൻ്റെ പരിഹാരം ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

മറുവശത്ത്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നമുക്ക് x 2 -10 x+13 നൽകാം, അതുവഴി അതിനെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി അവതരിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട് (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x−1)=0. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഇത് രണ്ട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം x 2 -10·x+13=0, x 2 -2·x−1=0 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ അറിയപ്പെടുന്ന റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവയുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല; വേരുകൾ തുല്യമാണ്. അവ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള വേരുകളാണ്.

ഉത്തരം:

മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനും ഉപയോഗപ്രദമാണ് ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രിയേക്കാൾ കുറവുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.

യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

പരിഹാരം.

ഈ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം മുഴുവനായും ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നത്, മിതമായ രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, അത്ര നല്ല ആശയമല്ല, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഇല്ലാത്ത ഒരു നാലാം-ഡിഗ്രി സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയിൽ നാം എത്തിച്ചേരും. യുക്തിസഹമായ വേരുകൾ. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ മറ്റൊരു പരിഹാരം തേടേണ്ടിവരും.

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ y അവതരിപ്പിക്കാനും x 2 +3·x എന്ന പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനും കഴിയും. ഈ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ നമ്മെ മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , അത് −2·(y−4) എന്ന പദപ്രയോഗം ഇടതുവശത്തേക്കും തുടർന്നുള്ള പദ പരിവർത്തനത്തിനും ശേഷം അവിടെ രൂപം കൊള്ളുന്നു, y 2 +4·y+3=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ y=−1, y=−3 എന്നിവയുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വിപരീത സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അവ തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതിയുടെ രണ്ടാം ഭാഗത്തേക്ക് പോകുന്നു, അതായത്, ഒരു റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെൻ്റ് നടത്തുന്നതിന്. റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ നടത്തിയ ശേഷം, x 2 +3 x=−1, x 2 +3 x=−3 എന്നീ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും, അത് x 2 +3 x+1=0, x 2 +3 x+3 എന്നിങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം. =0. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. രണ്ടാമത്തേതും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംയഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല, കാരണം അതിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ് (D=3 2 -4·3=9−12=−3 ).

ഉത്തരം:

പൊതുവേ, ഉയർന്ന ഡിഗ്രികളുടെ മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു നിലവാരമില്ലാത്ത രീതി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കൃത്രിമ സാങ്കേതികതയ്ക്കായി തിരയാൻ ഞങ്ങൾ എപ്പോഴും തയ്യാറായിരിക്കണം.

ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ആദ്യം, p(x), q(x) എന്നിവ പൂർണ്ണമായ യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങളായ ഫോമിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാകും. സൂചിപ്പിച്ച തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മറ്റ് ഫ്രാക്ഷണലി യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സമീപനം ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: സംഖ്യാ അംശം u/v, ഇവിടെ v പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ് (അല്ലെങ്കിൽ നമ്മൾ അഭിമുഖീകരിക്കും , അത് നിർവചിച്ചിട്ടില്ല), അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ u=0 ആണെങ്കിൽ മാത്രം. ഈ പ്രസ്താവനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് p(x)=0, q(x)≠0 എന്നീ രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ നിറവേറ്റുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഈ നിഗമനം ഇനിപ്പറയുന്നവയുമായി യോജിക്കുന്നു ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം. ഫോമിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്

മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുക p(x)=0 ;
കണ്ടെത്തുന്ന ഓരോ റൂട്ടിനും q(x)≠0 എന്ന വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക

ശരിയാണെങ്കിൽ, ഈ റൂട്ട് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്;
ഇത് തൃപ്തികരമല്ലെങ്കിൽ, ഈ റൂട്ട് ബാഹ്യമാണ്, അതായത്, ഇത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമല്ല.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രഖ്യാപിച്ച അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ഇതൊരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യമാണ്, കൂടാതെ ഫോം , ഇവിടെ p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

ഈ തരത്തിലുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച്, നമ്മൾ ആദ്യം 3 x−2=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ രേഖീയ സമവാക്യം, അതിൻ്റെ റൂട്ട് x=2/3 ആണ്.

ഈ റൂട്ട് പരിശോധിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു, അതായത്, ഇത് 5 x 2 −2≠0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക. x ന് പകരം 5 x 2 -2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ 2/3 എന്ന സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും. വ്യവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെട്ടു, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x=2/3 ആണ്.

ഉത്തരം:

2/3 .

അല്പം വ്യത്യസ്തമായ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് സമീപിക്കാം. ഈ സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ x വേരിയബിളിലെ p(x)=0 എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് ഇതിൽ ഉറച്ചുനിൽക്കാം ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം :

p(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക;
വേരിയബിൾ x ൻ്റെ ODZ കണ്ടെത്തുക;
സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ മേഖലയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന വേരുകൾ എടുക്കുക - അവ യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള വേരുകളാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ആദ്യം, നമ്മൾ x 2 -2·x−11=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു. നമുക്കുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാം D 1 =(-1) 2 −1·(-11)=12, ഒപ്പം .

രണ്ടാമതായി, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായി x വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ കണ്ടെത്തുന്നു. x 2 +3·x≠0, x·(x+3)≠0, എവിടെനിന്ന് x≠0, x≠−3 എന്നതിന് തുല്യമായ എല്ലാ സംഖ്യകളും ഇതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ ODZ-ൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. അതെ എന്ന് വ്യക്തം. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഉത്തരം:

ODZ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണെങ്കിൽ, ഈ സമീപനം ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ ലാഭകരമാണെന്നും p(x) = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ യുക്തിരഹിതമാണെങ്കിൽ പ്രത്യേകിച്ചും പ്രയോജനകരമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ യുക്തിസഹമാണ്, പക്ഷേ ഒരു വലിയ ന്യൂമറേറ്ററും /അല്ലെങ്കിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ, ഉദാഹരണത്തിന്, 127/1101, −31/59. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, q(x)≠0 എന്ന അവസ്ഥ പരിശോധിക്കുന്നതിന് കാര്യമായ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രയത്നം ആവശ്യമായി വരും, കൂടാതെ ODZ ഉപയോഗിച്ച് പുറമേയുള്ള വേരുകൾ ഒഴിവാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് എന്നതാണ് ഇതിന് കാരണം.

മറ്റു സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പ്രത്യേകിച്ചും p(x) = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അൽഗോരിതങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേത് ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്. അതായത്, p(x)=0 എന്ന മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും വേരുകൾ ഉടനടി കണ്ടെത്തുന്നതാണ് ഉചിതം, തുടർന്ന് ODZ കണ്ടെത്തുന്നതിനുപകരം q(x)≠0 വ്യവസ്ഥ അവർക്ക് തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക, തുടർന്ന് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക ഈ ODZ-ൽ p(x)=0 . അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ DZ കണ്ടെത്തുന്നതിനേക്കാൾ സാധാരണയായി പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് എന്നതാണ് ഇതിന് കാരണം.

നിർദ്ദിഷ്ട സൂക്ഷ്മതകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ആദ്യം, നമുക്ക് മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും വേരുകൾ കണ്ടെത്താം (2 x−1) (x−6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് രചിച്ചത്. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വശം ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണ്, വലതുഭാഗം പൂജ്യമാണ്, അതിനാൽ, ഫാക്‌ടറൈസേഷനിലൂടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന രീതി അനുസരിച്ച്, ഈ സമവാക്യം നാല് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന് തുല്യമാണ് 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ മൂന്നെണ്ണം രേഖീയമാണ്, ഒന്ന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണ്; നമുക്ക് അവ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ x=1/2, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് - x=6, മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് - x=7, x=−2, നാലാമത്തേതിൽ നിന്ന് - x=−1.

കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, എന്നാൽ ODZ നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, നേരെമറിച്ച്, അത്ര ലളിതമല്ല, ഇതിനായി നിങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. അഞ്ചാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യം. അതിനാൽ, വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായി ODZ കണ്ടെത്തുന്നത് ഞങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, എക്സ്പ്രഷനിലെ x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം ഞങ്ങൾ അവയെ ഒന്നൊന്നായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112, പകരം വയ്ക്കുന്നതിന് ശേഷം ലഭിച്ചു, അവയെ പൂജ്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 -15·(-2) 4 +57·(-2) 3 -13·(-2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 -15·(-1) 4 +57·(-1) 3 -13·(-1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

അങ്ങനെ, 1/2, 6, −2 എന്നിവ യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള വേരുകളാണ്, കൂടാതെ 7 ഉം -1 ഉം പുറമേയുള്ള വേരുകളാണ്.

ഉത്തരം:

1/2 , 6 , −2 .

ഉദാഹരണം.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ആദ്യം, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം (5 x 2 -7 x−1) (x−2)=0. ഈ സമവാക്യം രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന് തുല്യമാണ്: ചതുരം 5 x 2 -7 x−1=0, രേഖീയം x−2=0. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x=2 ഉണ്ട്.

x ൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് തികച്ചും അരോചകമാണ്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലെ x വേരിയബിളിൻ്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ODZ വഴി പ്രവർത്തിക്കും.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഒറിജിനൽ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ x വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ-ൽ x 2 +5·x−14=0 എന്ന വ്യവസ്ഥ തൃപ്‌തിപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നവ ഒഴികെ എല്ലാ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ x=−7, x=2 എന്നിവയാണ്, അതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ ODZ-നെ കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു: അതിൽ എല്ലാ x-ഉം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

കണ്ടെത്തിയ റൂട്ടുകളും x=2 ഉം സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വേരുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ, അവ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്, x=2 ഉൾപ്പെടുന്നില്ല, അതിനാൽ, ഇത് ഒരു ബാഹ്യ മൂലമാണ്.

ഉത്തരം:

ഫോമിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൽ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ, അതായത്, p(x) ചില സംഖ്യകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുന്നതും ഉപയോഗപ്രദമാകും. അതിൽ

ഈ സംഖ്യ പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, കാരണം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം;
ഈ സംഖ്യ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ODZ-ൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്.

ഉദാഹരണം.

പരിഹാരം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഏത് x നും ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കില്ല. അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

ഉത്തരം:

വേരുകളില്ല.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഈ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ പൂജ്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം അത് അർത്ഥമാക്കുന്ന ഏത് x നും പൂജ്യമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഈ വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ-ൽ നിന്നുള്ള x ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യമാണ് ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം.

സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ഈ ശ്രേണി നിർണ്ണയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. x 4 +5 x 3 ≠0 ആയ x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. x 4 +5 x 3 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ 0 ഉം −5 ഉം ആണ്, കാരണം ഈ സമവാക്യം x 3 (x+5)=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഇത് x എന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിന് തുല്യമാണ്. 3 =0, x +5=0, ഈ വേരുകൾ ദൃശ്യമാകുന്നിടത്ത് നിന്ന്. അതിനാൽ, x=0, x=−5 എന്നിവ ഒഴികെയുള്ള ഏതെങ്കിലും x ആണ് സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ആവശ്യമുള്ള ശ്രേണി.

അങ്ങനെ, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, അവ പൂജ്യവും മൈനസ് അഞ്ച് ഒഴികെയുള്ള സംഖ്യകളുമാണ്.

ഉത്തരം:

അവസാനമായി, അനിയന്ത്രിതമായ രൂപത്തിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കേണ്ട സമയമാണിത്. അവ r(x)=s(x) എന്ന് എഴുതാം, ഇവിടെ r(x), s(x) എന്നിവ യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്നെങ്കിലും ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. മുന്നോട്ട് നോക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇതിനകം പരിചിതമായ ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് അവരുടെ പരിഹാരം വരുന്നു എന്ന് പറയാം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദത്തെ മാറ്റുന്നത് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് അറിയാം, അതിനാൽ r(x)=s(x) എന്ന സമവാക്യം r(x)−s(x എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. )=0.

ഈ പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമായ ഏതെങ്കിലും, സാധ്യമാണെന്നും ഞങ്ങൾക്കറിയാം. അങ്ങനെ, r(x)−s(x)=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗം ഫോമിൻ്റെ തുല്യമായ യുക്തിസഹമായ ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റാം.

അതിനാൽ നമ്മൾ യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് r(x)=s(x) സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു, അതിൻ്റെ പരിഹാരം, മുകളിൽ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ, p(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് കുറയുന്നു.

എന്നാൽ ഇവിടെ r(x)−s(x)=0 എന്നത് മാറ്റി പകരം p(x)=0 എന്നാക്കി മാറ്റുമ്പോൾ x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി വികസിക്കുമെന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. .

തൽഫലമായി, യഥാർത്ഥ സമവാക്യം r(x)=s(x) ഉം p(x)=0 എന്ന സമവാക്യവും അസമമായി മാറിയേക്കാം, p(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് വേരുകൾ ലഭിക്കും. അത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യമായ r(x)=s(x) ൻ്റെ ബാഹ്യമായ വേരുകളായിരിക്കും. ഒരു പരിശോധന നടത്തിയോ അല്ലെങ്കിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ-ലേത് എന്ന് പരിശോധിച്ചോ നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരത്തിൽ അധിക വേരുകൾ തിരിച്ചറിയാനും ഉൾപ്പെടുത്താതിരിക്കാനും കഴിയും.

ഈ വിവരങ്ങൾ നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം r(x)=s(x). r(x)=s(x) എന്ന ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്

എതിർ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് വലതുവശത്ത് നിന്ന് എക്സ്പ്രഷൻ നീക്കി വലതുവശത്ത് പൂജ്യം നേടുക.
സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളും ബഹുപദങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക, അതുവഴി അതിനെ ഫോമിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ അംശമാക്കി മാറ്റുക.
p(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
ബാഹ്യമായ വേരുകൾ തിരിച്ചറിയുകയും ഇല്ലാതാക്കുകയും ചെയ്യുക, അവ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി സ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെയോ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ-ൽ അവ ഉൾപ്പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിച്ച് കൊണ്ടോ ആണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്.

കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഭിന്നമായ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ ശൃംഖലയും ഞങ്ങൾ കാണിക്കും:
.

നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കാം വിശദമായ വിശദീകരണംനൽകിയിരിക്കുന്ന വിവരങ്ങളുടെ ബ്ലോക്ക് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് പരിഹാരത്തിൻ്റെ പുരോഗതി.

ഉദാഹരണം.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഇപ്പോൾ ലഭിച്ച പരിഹാര അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കും. ആദ്യം നമ്മൾ പദങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ യുക്തിസഹമായ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: . അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് വരുന്നു.

അടുത്ത ഘട്ടത്തിൽ, നമ്മൾ −2·x−1=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമ്മൾ x=-1/2 കണ്ടെത്തുന്നു.

കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യ −1/2 യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അധികമൂലമല്ലേ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ x വേരിയബിളിൻ്റെ VA പരിശോധിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ കണ്ടെത്താം. രണ്ട് സമീപനങ്ങളും നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം.

നമുക്ക് പരിശോധിക്കുന്നതിലൂടെ ആരംഭിക്കാം. x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് −1/2 എന്ന സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് അതേ കാര്യം ലഭിക്കും, −1=-1. പകരം വയ്ക്കുന്നത് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം നൽകുന്നു, അതിനാൽ x=−1/2 യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

ODZ വഴി അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ അവസാന പോയിൻ്റ് എങ്ങനെ നിർവഹിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ കാണിക്കും. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി -1, 0 എന്നിവ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ് (x=−1, x=0 എന്നിവയിൽ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു). മുമ്പത്തെ ഘട്ടത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ x=−1/2 എന്ന റൂട്ട് ODZ-ൻ്റേതാണ്, അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x=−1/2 ആണ്.

ഉത്തരം:

−1/2 .

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളിലൂടെയും നമുക്ക് പോകാം.

ആദ്യം, ഞങ്ങൾ പദം വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും .

രണ്ടാമതായി, ഇടതുവശത്ത് രൂപംകൊണ്ട എക്സ്പ്രഷൻ ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു: . തൽഫലമായി, നമ്മൾ x=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു.

അതിൻ്റെ റൂട്ട് വ്യക്തമാണ് - ഇത് പൂജ്യമാണ്.

നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, കണ്ടെത്തിയ റൂട്ട് യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിന് പുറത്താണോ എന്ന് കണ്ടെത്താൻ അവശേഷിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും. വ്യക്തമായും, ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം അതിൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എവിടെ നിന്നാണ് 0 എന്നത് ഒരു ബാഹ്യമൂലമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

7, ഇത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം, ഇടതുവശത്തെ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ പദപ്രയോഗം വലത് വശത്ത് തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത്, . ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ട്രിപ്പിൾ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും കുറയ്ക്കുന്നു: . സാമ്യമനുസരിച്ച്, എവിടെ നിന്ന്, കൂടാതെ.

കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് വേരുകളും യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണെന്ന് പരിശോധന കാണിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം എട്ടാം ക്ലാസിന്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019243-9.
മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. എട്ടാം ക്ലാസ്. ഉച്ചയ്ക്ക് 2 മണിക്ക് ഭാഗം 1. വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ/ എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - 11-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
ബീജഗണിതം:ഒമ്പതാം ക്ലാസ്: വിദ്യാഭ്യാസം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2009. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-021134-5.

സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകളും അക്ഷര വേരിയബിളുകളും ചേർന്ന ഒരു ഗണിത പദപ്രയോഗമാണ് പൂർണ്ണസംഖ്യ പദപ്രയോഗം. പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ എന്ന ആശയം

അക്കങ്ങളും അക്ഷര വേരിയബിളുകളും ഉപയോഗിച്ച് നടത്തുന്ന സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പുറമേ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, അക്ഷര വേരിയബിളുകളുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളായി വിഭജനം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗണിത പദപ്രയോഗമാണ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ.

യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ എല്ലാം പൂർണ്ണവും ഭിന്നവുമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്. യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾഇടത് വലത് വശങ്ങൾ യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങളായ സമവാക്യങ്ങളാണ്. ഒരു യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൽ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, അത്തരം യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൽ ഇടത് അല്ലെങ്കിൽ വലത് വശങ്ങൾ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷനുകളാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തെ ഫ്രാക്ഷണൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം

1. സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും പൊതുവിഭാഗം കണ്ടെത്തുക.

2. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു പൊതു ഛേദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മുഴുവൻ സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുക.

4. വേരുകൾ പരിശോധിച്ച് പൊതു വിഭജനം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നവ ഒഴിവാക്കുക.

നമ്മൾ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ടാകും. ഇതിനർത്ഥം അവർ ഒരു പൊതു വിഭാഗമായിരിക്കും എന്നാണ്. അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്താൽ ഗുണിക്കുന്നു, തുടർന്ന് പുറമേയുള്ള വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. അതിൽ പൊതുവിഭജനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതായത് അത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് അർത്ഥശൂന്യമായിരിക്കും. അതിനാൽ, അവസാനം ലഭിച്ച വേരുകൾ പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

ഞങ്ങൾ പൊതുവായ സ്കീമിന് അനുസൃതമായി പ്രവർത്തിക്കും: ആദ്യം എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക. നമുക്ക് x*(x-5) ലഭിക്കും.

ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയും ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മുഴുവൻ സമവാക്യവും എഴുതുക.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം നമുക്ക് ലളിതമാക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. അറിയപ്പെടുന്ന ഏതെങ്കിലും രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇത് പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് x=-2, x=5 എന്നീ വേരുകൾ ലഭിക്കും.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച പരിഹാരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

അക്കങ്ങൾ -2, 5 എന്നിവ പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. x=-2-ൽ, പൊതുവിഭാഗം x*(x-5) അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നില്ല, -2*(-2-5)=14. യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് സംഖ്യ -2 ആയിരിക്കും എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

x=5-ൽ പൊതുവിഭജനം x*(x-5) പൂജ്യമാകുന്നു. അതിനാൽ, ഈ സംഖ്യ യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടല്ല, കാരണം പൂജ്യം കൊണ്ട് ഒരു വിഭജനം ഉണ്ടാകും.