Berita bintang
Rumus Pythagoras untuk sisi segi tiga. Cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras: contoh, penerangan dan ulasan
Cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras
pelajar kelas 9 "A".
Sekolah menengah institusi pendidikan perbandaran No. 8
Penasihat saintifik:
guru matematik,
Sekolah menengah institusi pendidikan perbandaran No. 8
Seni. Novorozhdestvenskaya
Wilayah Krasnodar.
Seni. Novorozhdestvenskaya
ANOtasi.
Teorem Pythagoras dianggap paling penting dalam perjalanan geometri dan patut diberi perhatian. Ia adalah asas untuk menyelesaikan banyak masalah geometri, asas untuk mempelajari kursus geometri teori dan praktikal pada masa hadapan. Teorem ini dikelilingi oleh banyak bahan sejarah yang berkaitan dengan penampilan dan kaedah pembuktiannya. Mempelajari sejarah perkembangan geometri menyemai rasa cinta kepada subjek ini, menggalakkan pembangunan minat kognitif, budaya umum dan kreativiti, dan juga membangunkan kemahiran penyelidikan.
Hasil daripada aktiviti pencarian, matlamat kerja telah dicapai, iaitu untuk menambah dan menyamaratakan pengetahuan tentang pembuktian teorem Pythagoras. Berjaya mencari dan menyemak pelbagai cara bukti dan mendalami pengetahuan mengenai topik tersebut, melangkaui halaman buku teks sekolah.
Bahan yang dikumpul seterusnya meyakinkan kita bahawa teorem Pythagoras adalah teorem geometri yang hebat dan mempunyai kepentingan teori dan praktikal yang sangat besar.
pengenalan. Rujukan sejarah 5 Bahagian utama 8
3. Kesimpulan 19
4. Sastera yang digunakan 20
1. PENGENALAN. RUJUKAN SEJARAH.
Intipati kebenaran adalah untuk kita selama-lamanya,
Apabila sekurang-kurangnya sekali dalam pandangannya kita melihat cahaya,
Dan teorem Pythagoras selepas bertahun-tahun
Bagi kami, baginya, ia tidak dapat dinafikan, sempurna.
Untuk bersukacita, Pythagoras bersumpah kepada para dewa:
Untuk menyentuh kebijaksanaan yang tidak terhingga,
Dia menyembelih seratus lembu jantan, terima kasih kepada yang kekal;
Dia menyampaikan doa dan pujian selepas mangsa.
Sejak itu, apabila lembu jantan menghidunya, mereka menolak,
Bahawa jejak itu sekali lagi membawa orang kepada kebenaran baru,
Mereka mengaum dengan marah, jadi tidak ada gunanya mendengar,
Pythagoras seperti itu menanamkan ketakutan dalam diri mereka selama-lamanya.
Lembu jantan, tidak berdaya untuk menentang kebenaran baru,
Apa yang tinggal? - Hanya memejamkan mata, mengaum, menggeletar.
Tidak diketahui bagaimana Pythagoras membuktikan teoremnya. Apa yang pasti beliau menemuinya di bawah pengaruh kuat sains Mesir. Kes khas teorem Pythagoras - sifat segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 - diketahui oleh pembina piramid lama sebelum kelahiran Pythagoras, dan dia sendiri belajar dengan imam Mesir selama lebih dari 20 tahun. Legenda telah dipelihara yang mengatakan bahawa, setelah membuktikan teoremnya yang terkenal, Pythagoras mengorbankan seekor lembu jantan kepada para dewa, dan menurut sumber lain, bahkan 100 lembu jantan. Ini, bagaimanapun, bercanggah dengan maklumat tentang pandangan moral dan agama Pythagoras. Dalam sumber sastera anda boleh membaca bahawa dia "melarang bahkan membunuh haiwan, apalagi memberi makan kepada mereka, kerana haiwan mempunyai jiwa, sama seperti kita." Pythagoras hanya makan madu, roti, sayur-sayuran dan kadangkala ikan. Sehubungan dengan semua ini, entri berikut boleh dianggap lebih masuk akal: "... dan walaupun dia mendapati bahawa dalam segi tiga tepat hipotenus sepadan dengan kaki, dia mengorbankan seekor lembu jantan yang diperbuat daripada doh gandum."
Populariti teorem Pythagoras sangat hebat sehingga buktinya ditemui walaupun dalam fiksyen, contohnya, dalam cerita "Young Archimedes" oleh penulis Inggeris terkenal Huxley. Bukti yang sama, tetapi untuk kes khas segi tiga sama kaki, diberikan dalam dialog Plato "Meno".
Kisah dongeng "Rumah".
"Jauh, jauh, di mana pesawat tidak terbang, adalah negara Geometri. Di negara yang luar biasa ini terdapat satu bandar yang menakjubkan - bandar Teorem. Suatu hari saya datang ke bandar ini perempuan cantik bernama Hypotenuse. Dia cuba menyewa bilik, tetapi tidak kira di mana dia memohon, dia ditolak. Akhirnya dia menghampiri rumah reyot itu dan mengetuk. Seorang lelaki yang menggelar dirinya Right Angle membuka pintu kepadanya, dan dia menjemput Hypotenuse untuk tinggal bersamanya. Hipotenus kekal di rumah di mana Sudut Tepat dan dua anak lelakinya yang bernama Katetes tinggal. Sejak itu, kehidupan di rumah Sudut Kanan telah berubah dengan cara yang baharu. Si hipotenus menanam bunga di tingkap dan menanam bunga ros merah di taman hadapan. Rumah itu berbentuk segi tiga tepat. Kedua-dua kakinya sangat menyukai Hypotenuse dan memintanya untuk tinggal selama-lamanya di rumah mereka. Pada sebelah malam, keluarga yang mesra ini berkumpul di meja keluarga. Kadangkala Right Angle bermain sorok-sorok dengan anak-anaknya. Selalunya dia perlu melihat, dan Hypotenuse bersembunyi dengan begitu mahir sehingga sukar dicari. Pada suatu hari, semasa bermain, Sudut Kanan melihat sifat yang menarik: jika dia berjaya mencari kaki, maka mencari Hypotenuse tidak sukar. Jadi Sudut Tepat menggunakan corak ini, saya mesti katakan, sangat berjaya. Teorem Pythagoras adalah berdasarkan sifat segi tiga tegak ini.”
(Dari buku oleh A. Okunev "Terima kasih atas pelajaran, anak-anak").
Rumusan lucu teorem:
Jika kita diberi segitiga
Dan, lebih-lebih lagi, dengan sudut tepat,
Itulah kuasa dua hipotenus
Kami sentiasa boleh mencari dengan mudah:
Kami persegi kaki,
Kami dapati jumlah kuasa -
Dan dengan cara yang begitu mudah
Kami akan sampai kepada keputusannya.
Semasa mempelajari algebra dan permulaan analisis dan geometri dalam gred ke-10, saya menjadi yakin bahawa sebagai tambahan kepada kaedah pembuktian teorem Pythagoras yang dibincangkan dalam gred ke-8, terdapat kaedah pembuktian lain. Saya mengemukakannya untuk pertimbangan anda.
2. BAHAGIAN UTAMA.
Teorem. Dalam segi tiga tegak terdapat segi empat sama
hipotenus sama dengan jumlah segi empat sama kaki.
1 KAEDAH.
Dengan menggunakan sifat-sifat kawasan poligon, kita akan mewujudkan hubungan yang luar biasa antara hipotenus dan kaki segi tiga tegak.
Bukti.
a, c dan hipotenus Dengan(Gamb. 1, a).
Mari kita buktikan c²=a²+b².
Bukti.
Mari lengkapkan segi tiga kepada segi empat sama dengan sisi a + b seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 1, b. Luas S petak ini ialah (a + b)². Sebaliknya, segi empat sama ini terdiri daripada empat segi tiga sama sudut tegak, setiap satunya mempunyai luas ½ aw, dan segi empat sama dengan sisi dengan, oleh itu S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².
Oleh itu,
(a + b)² = 2 aw + c²,
c²=a²+b².
Teorem telah terbukti.
2 KAEDAH.
Selepas mempelajari topik "Segitiga serupa", saya mendapati bahawa anda boleh menggunakan persamaan segitiga kepada bukti teorem Pythagoras. Iaitu, saya menggunakan pernyataan bahawa kaki segi tiga tepat adalah berkadar min dengan hipotenus dan segmen hipotenus yang tertutup di antara kaki dan ketinggian yang dilukis dari bucu. sudut tepat.
Pertimbangkan segi tiga tegak dengan sudut tegak C, CD – ketinggian (Rajah 2). Mari kita buktikan AC² +NE² = AB²
.
Bukti.
Berdasarkan pernyataan tentang kaki segi tiga tegak:
AC = , SV = .
Mari kita kuasai dua dan tambahkan kesamaan yang terhasil:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), dengan AD+DB=AB, kemudian
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Buktinya lengkap.
3 KAEDAH.
Untuk membuktikan teorem Pythagoras, anda boleh menggunakan takrifan kosinus sudut akut bagi segi tiga tegak. Mari lihat Rajah. 3.
Bukti:
Biarkan ABC ialah segi tiga tegak yang diberi dengan sudut tegak C. Mari kita lukis CD altitud dari bucu sudut tegak C.
Mengikut takrifan kosinus sudut:
cos A = AD/AC = AC/AB. Oleh itu AB * AD = AC²
Begitu juga,
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Oleh itu AB * BD = BC².
Menambah istilah kesamaan yang terhasil mengikut sebutan dan mencatat bahawa AD + DB = AB, kita memperoleh:
AC² + matahari² = AB (AD + DB) = AB²
Buktinya lengkap.
4 KAEDAH.
Setelah mempelajari topik "Hubungan antara sisi dan sudut segi tiga tepat", saya berpendapat bahawa teorem Pythagoras boleh dibuktikan dengan cara lain.
Pertimbangkan segi tiga tepat dengan kaki a, c dan hipotenus Dengan. (Gamb. 4).
Mari kita buktikan c²=a²+b².
Bukti.
dosa B= kualiti tinggi ; cos B= a/c , kemudian, mengkuadratkan kesamaan yang terhasil, kita dapat:
dosa² B= dalam²/s²; cos² DALAM= a²/c².
Menambahnya, kita dapat:
dosa² DALAM+cos² B=в²/с²+ а²/с², di mana sin² DALAM+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², oleh itu,
c²= a² + b².
Buktinya lengkap.
5 KAEDAH.
Bukti ini adalah berdasarkan petak pemotongan yang dibina pada kaki (Rajah 5) dan meletakkan bahagian yang terhasil pada petak yang dibina di atas hipotenus.
6 KAEDAH.
Untuk bukti di sebelah matahari kami sedang membina BCD ABC(Gamb. 6). Kita tahu bahawa kawasan bagi rajah yang serupa adalah berkaitan sebagai kuasa dua dimensi linear yang serupa:
Menolak yang kedua daripada kesamaan pertama, kita dapat
c2 = a2 + b2.
Buktinya lengkap.
7 KAEDAH.
Diberi(Gamb. 7):
ABC,= 90° , matahari= a, AC=b, AB = c.
Buktikan:c2 = a2 +b2.
Bukti.
Biarkan kaki b A. Jom teruskan segmen NE setiap mata DALAM dan membina segitiga BMD supaya mata M Dan A berbaring di sebelah garis lurus CD dan selain itu, BD =b, BDM= 90°, DM= a, maka BMD= ABC pada dua sisi dan sudut di antara mereka. Mata A dan M berhubung dengan segmen pagi. Kami ada M.D. CD Dan A.C. CD, itu bermakna ia lurus AC selari dengan garisan M.D. Kerana M.D.< АС, kemudian lurus CD Dan A.M. tidak selari. Oleh itu, AMDC- trapezoid segi empat tepat.
Dalam segi tiga tepat ABC dan BMD 1 + 2 = 90° dan 3 + 4 = 90°, tetapi sejak = =, maka 3 + 2 = 90°; Kemudian AVM=180° - 90° = 90°. Ia ternyata bahawa trapezoid AMDC dibahagikan kepada tiga segi tiga tepat tidak bertindih, kemudian dengan aksiom luas
(a+b)(a+b)
Membahagikan semua sebutan ketaksamaan dengan , kita dapat
Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Buktinya lengkap.
8 KAEDAH.
Kaedah ini adalah berdasarkan hipotenus dan kaki segi tiga tegak ABC. Dia membina petak yang sepadan dan membuktikan bahawa petak yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah petak yang dibina pada kaki (Rajah 8).
Bukti.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, Bermaksud, FBC = DBA.
Oleh itu, FBC=ABD(pada dua sisi dan sudut di antara mereka).
2) 
,
di mana AL DE, kerana BD ialah asas biasa, DL- jumlah ketinggian.
3) 
, kerana FB adalah asas, AB- jumlah ketinggian.
4) 
5) Begitu juga, boleh dibuktikan bahawa 
6) Menambah istilah demi istilah, kita dapat:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Buktinya lengkap.
9 KAEDAH.
Bukti.
1) Biarkan ABDE- segi empat sama (Rajah 9), sisi yang sama dengan hipotenus segi tiga tepat ABC= s, BC = a, AC =b).
2) Biarkan DK B.C. Dan DK = matahari, sejak 1 + 2 = 90° (seperti sudut akut segi tiga tepat), 3 + 2 = 90° (seperti sudut segi empat sama), AB= BD(sisi petak).
Bermaksud, ABC= BDK(mengikut hipotenus dan sudut akut).
3) Biarkan EL D.K., A.M. E.L. Ia boleh dibuktikan dengan mudah bahawa ABC = BDK = DEL = EAM (dengan kaki A Dan b). Kemudian KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),Dengan2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Buktinya lengkap.
10 KAEDAH.
Buktinya boleh dilakukan pada angka berseloroh dipanggil "seluar Pythagoras" (Rajah 10). Ideanya adalah untuk menukar segi empat sama yang dibina pada sisi kepada segi tiga sama yang bersama-sama membentuk segi empat sama hipotenus.
ABC gerakkannya seperti yang ditunjukkan oleh anak panah, dan ia mengambil kedudukan KDN. Selebihnya angka itu AKTCB luas segi empat sama AKDC ini ialah segi empat selari AKNB.
Model segiempat selari telah dibuat AKNB. Kami menyusun semula segi empat selari seperti yang dilakarkan dalam kandungan kerja. Untuk menunjukkan transformasi segi empat selari kepada segi tiga sama luas, di hadapan pelajar, kami memotong segi tiga pada model dan menggerakkannya ke bawah. Oleh itu, luas segi empat sama AKDC ternyata sama dengan luas segi empat tepat. Begitu juga, kita menukar luas segi empat sama kepada luas segi empat tepat.
Mari kita buat transformasi untuk segi empat sama yang dibina pada sisi A(Gamb. 11,a):
a) segi empat sama diubah menjadi segi empat selari yang sama (Rajah 11.6):
b) segi empat selari berputar suku pusingan (Rajah 12):
c) segi empat selari diubah menjadi segi empat sama (Rajah 13): 11 KAEDAH.
Bukti:
PCL - lurus (Rajah 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah habis .
12 KAEDAH.
nasi. Rajah 15 menggambarkan satu lagi bukti asal teorem Pythagoras.
Di sini: segitiga ABC dengan sudut tepat C; segmen garisan B.F. berserenjang NE dan sama dengannya, segmen JADILAH berserenjang AB dan sama dengannya, segmen AD berserenjang AC dan sama dengannya; mata F, C,D tergolong dalam barisan yang sama; segi empat ADFB Dan ASVE sama saiz, sejak ABF = ECB; segi tiga ADF Dan ACE sama saiz; tolak daripada kedua-dua segi empat sama segi tiga yang mereka kongsi ABC, kita mendapatkan
, c2 = a2 +
b2.
Buktinya lengkap.
13 KAEDAH.
Luas segi tiga tepat yang diberikan, pada satu sisi, adalah sama dengan ,
dengan yang lain, ,
3. KESIMPULAN.
Hasil daripada aktiviti pencarian, matlamat kerja telah dicapai, iaitu untuk menambah dan menyamaratakan pengetahuan tentang pembuktian teorem Pythagoras. Ia adalah mungkin untuk mencari dan mempertimbangkan pelbagai cara untuk membuktikannya dan mendalami pengetahuan mengenai topik itu, melangkaui halaman buku teks sekolah.
Bahan yang saya kumpulkan lebih meyakinkan saya bahawa teorem Pythagoras adalah teorem geometri yang hebat dan mempunyai kepentingan teori dan praktikal yang sangat besar. Sebagai kesimpulan, saya ingin mengatakan: sebab populariti teorem triune Pythagoras adalah keindahan, kesederhanaan dan kepentingannya!
4. LITERATUR YANG DIGUNAKAN.
1. Algebra yang menghiburkan. . Moscow "Sains", 1978.
2. Tambahan pendidikan dan metodologi mingguan kepada akhbar "Pertama September", 24/2001.
3. Geometri 7-9. dan lain-lain.
4. Geometri 7-9. dan lain-lain.
Teorem Pythagoras
Begitu juga, segi tiga CBH adalah serupa dengan ABC. Dengan memperkenalkan notasi 
1. Letakkan empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam rajah. 
Idea pembuktian Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba buktikan bahawa separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina pada kaki, dan kemudian luas segi empat sama besar dan dua petak kecil adalah sama. Mari lihat lukisan di sebelah kiri. Di atasnya kami membina segi empat sama pada sisi segi tiga tepat dan melukis sinar s dari bucu sudut tepat C berserenjang dengan hipotenus AB, ia memotong segi empat sama ABIK, dibina di atas hipotenus, menjadi dua segi empat tepat - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas segi empat tepat ini sama persis dengan luas segi empat yang dibina pada kaki yang sepadan. Mari cuba buktikan bahawa luas segi empat DECA adalah sama dengan luas segi empat tepat AHJK. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segi tiga dengan ketinggian dan tapak yang sama dengan segi empat tepat yang diberi adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat yang diberi. Ini adalah akibat daripada menentukan luas segi tiga sebagai separuh hasil darab tapak dan ketinggian. Daripada pemerhatian ini menunjukkan bahawa luas segi tiga ACK adalah sama dengan luas segi tiga AHK (tidak ditunjukkan dalam rajah), yang seterusnya adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat AHJK. Mari kita buktikan bahawa luas segi tiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA persegi. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan untuk ini ialah membuktikan kesamaan segi tiga ACK dan BDA (kerana luas segi tiga BDA adalah sama dengan separuh luas segi empat mengikut sifat di atas). Kesamaan ini jelas, segi tiga adalah sama pada kedua-dua belah dan sudut di antara mereka. Iaitu - AB=AK,AD=AC - kesamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: kita memutarkan segi tiga CAK 90° lawan jam, maka jelaslah bahawa sisi yang sepadan bagi kedua-dua segi tiga dalam soalan akan bertepatan (kerana sudut pada bucu segi empat sama ialah 90°). Alasan untuk kesamaan luas segi empat sama BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama sepenuhnya. Oleh itu, kami membuktikan bahawa luas segi empat yang dibina di atas hipotenus terdiri daripada kawasan segi empat sama yang dibina di atas kaki. 
Mari kita pertimbangkan lukisan itu, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen CI memotong segi empat sama ABHJ kepada dua bahagian yang sama (kerana segi tiga ABC dan JHI adalah sama dalam pembinaan). Menggunakan putaran 90 darjah lawan jam, kita melihat kesamaan angka berlorek CAJI dan GDAB. Kini jelas bahawa luas rajah yang telah kita lorekkan adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina di atas kaki dan luas segi tiga asal. Sebaliknya, ia adalah sama dengan separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus, ditambah dengan luas segi tiga asal. Teorem Pythagoras- salah satu teorem asas geometri Euclidean, mewujudkan hubungan
antara sisi segi tiga tegak.
Adalah dipercayai bahawa ia telah dibuktikan oleh ahli matematik Yunani Pythagoras, yang dinamakan sempena namanya.
Rumusan geometri teorem Pythagoras.
Teorem pada asalnya dirumuskan seperti berikut:
Dalam segi tiga tegak, luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah luas segi empat sama,
dibina di atas kaki.
Rumusan algebra bagi teorem Pythagoras.
Dalam segi tiga tegak, kuasa dua panjang hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang kaki.
Iaitu, menandakan panjang hipotenus segi tiga oleh c, dan panjang kaki melalui a Dan b:
Kedua-dua formulasi Teorem Pythagoras adalah setara, tetapi rumusan kedua adalah lebih asas, ia tidak
memerlukan konsep kawasan. Maksudnya, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang kawasan dan
dengan hanya mengukur panjang sisi segi tiga tegak.
Teorem Converse Pythagoras.
Jika segi empat sama satu sisi segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain, maka
segi tiga tepat.
Atau, dengan kata lain:
Untuk setiap tiga kali ganda nombor positif a, b Dan c, seperti itu
terdapat segi tiga tepat dengan kaki a Dan b dan hipotenus c.
Teorem Pythagoras untuk segi tiga sama kaki.
Teorem Pythagoras untuk segi tiga sama sisi.
Bukti teorem Pythagoras.
Pada masa ini, 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam kesusasteraan saintifik. Mungkin teorem
Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Kepelbagaian sedemikian
hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.
Sudah tentu, secara konsep semuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal di antara mereka:
bukti kaedah kawasan, aksiomatik Dan bukti eksotik(Sebagai contoh,
dengan menggunakan persamaan pembezaan).
1. Bukti teorem Pythagoras menggunakan segi tiga yang serupa.
Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti termudah yang dibina
terus dari aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.
biarlah ABC terdapat segi tiga tegak dengan sudut tegak C. Mari kita lukis ketinggian dari C dan menandakan
asasnya melalui H.
Segi tiga ACH serupa dengan segi tiga AB C di dua penjuru. Begitu juga, segi tiga CBH serupa ABC.
Dengan memperkenalkan notasi:
kita mendapatkan:
,
yang sepadan dengan -
dilipat a 2 dan b 2, kita dapat:
atau , itulah yang perlu dibuktikan.
2. Bukti teorem Pythagoras menggunakan kaedah luas.
Bukti di bawah, walaupun nampak sederhana, tidak begitu mudah sama sekali. Kesemuanya
gunakan sifat kawasan, buktinya lebih kompleks daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.
- Bukti melalui ekuipelengkap.
Mari kita susun empat segi empat sama
segi tiga seperti yang ditunjukkan dalam rajah
di sebelah kanan.
Segi empat dengan sisi c- persegi,
kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90°, dan
sudut terbentang - 180°.
Luas keseluruhan rajah adalah sama, di satu pihak,
luas segi empat sama dengan sisi ( a+b), dan sebaliknya, hasil tambah luas empat segi tiga dan
Q.E.D.
3. Bukti teorem Pythagoras dengan kaedah infinitesimal.
Melihat lukisan yang ditunjukkan dalam rajah dan
melihat perubahan sisia, kita boleh
tulis hubungan berikut untuk infiniti
kecil kenaikan sampinganDengan Dan a(menggunakan persamaan
segi tiga):
Menggunakan kaedah pemisahan berubah-ubah, kami dapati:
Ungkapan yang lebih umum untuk perubahan hipotenus dalam kes kenaikan pada kedua-dua belah:
Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan syarat awal, kami memperoleh:
Oleh itu kita sampai pada jawapan yang dikehendaki:
Seperti yang mudah dilihat, pergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul disebabkan oleh linear
perkadaran antara sisi segi tiga dan kenaikan, manakala hasil tambah adalah berkaitan dengan bebas
sumbangan daripada kenaikan kaki yang berbeza.
Bukti yang lebih mudah boleh diperoleh jika kita mengandaikan bahawa sebelah kaki tidak mengalami peningkatan
(V dalam kes ini kaki b). Kemudian untuk pemalar penyepaduan kita peroleh:
Setiap murid sekolah tahu bahawa kuasa dua hipotenus sentiasa sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua. Pernyataan ini dipanggil teorem Pythagoras. Ia adalah salah satu teorem trigonometri dan matematik yang paling terkenal secara umum. Mari kita lihat lebih dekat.
Konsep segi tiga tepat
Sebelum meneruskan untuk mempertimbangkan teorem Pythagoras, di mana kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki yang kuasa dua, kita harus mempertimbangkan konsep dan sifat segi tiga tepat yang mana teoremnya adalah benar.
Segitiga ialah rajah rata dengan tiga sudut dan tiga sisi. Segitiga tegak, seperti namanya, mempunyai satu sudut tegak, iaitu, sudut ini bersamaan dengan 90 o.
daripada sifat umum bagi semua segi tiga, diketahui bahawa hasil tambah ketiga-tiga sudut rajah ini ialah 180 o, bermakna bagi segi tiga tegak, hasil tambah dua sudut yang bukan sudut tegak ialah 180 o - 90 o = 90 o. Fakta terakhir bermakna mana-mana sudut dalam segi tiga tepat yang tidak betul akan sentiasa kurang daripada 90 o.
Sisi yang terletak bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus. Dua sisi yang lain ialah kaki segi tiga, mereka boleh sama antara satu sama lain, atau mereka boleh berbeza. Daripada trigonometri kita tahu bahawa semakin besar sudut terhadap mana sisi segitiga terletak, semakin besar panjang sisi itu. Ini bermakna bahawa dalam segi tiga tepat hipotenus (bertentang dengan sudut 90 o) akan sentiasa lebih besar daripada mana-mana kaki (bertentang dengan sudut< 90 o).
Tatatanda matematik teorem Pythagoras
Teorem ini menyatakan bahawa kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua sebelumnya. Untuk menulis rumusan ini secara matematik, pertimbangkan segi tiga tepat di mana sisi a, b dan c ialah dua kaki dan hipotenus, masing-masing. Dalam kes ini, teorem, yang dirumuskan sebagai kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki, boleh diwakili oleh formula berikut: c 2 = a 2 + b 2. Dari sini formula lain yang penting untuk latihan boleh diperolehi: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) dan c = √(a 2 + b 2).
Ambil perhatian bahawa dalam kes segi tiga sama sisi bersudut tegak, iaitu, a = b, rumusan: kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua, akan ditulis secara matematik seperti berikut: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, yang membayangkan kesamaan: c = a√2.
Rujukan sejarah
Teorem Pythagoras, yang menyatakan bahawa kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua, telah diketahui lama sebelum yang terkenal. ahli falsafah Yunani. Banyak papirus Mesir Purba, serta loh tanah liat orang Babylon mengesahkan bahawa orang-orang ini menggunakan sifat tercatat pada sisi segi tiga tepat. Sebagai contoh, salah satu yang pertama Piramid Mesir, piramid Khafre, pembinaannya bermula pada abad ke-26 SM (2000 tahun sebelum hayat Pythagoras), dibina berdasarkan pengetahuan nisbah bidang dalam segi tiga tepat 3x4x5.
Mengapa kemudian teorem itu kini membawa nama Yunani? Jawapannya mudah: Pythagoras adalah yang pertama membuktikan secara matematik teorem ini. Sumber bertulis Babylon dan Mesir yang masih hidup hanya bercakap tentang penggunaannya, tetapi tidak memberikan sebarang bukti matematik.
Adalah dipercayai bahawa Pythagoras membuktikan teorem berkenaan dengan menggunakan sifat segi tiga yang serupa, yang diperolehinya dengan melukis ketinggian dalam segi tiga tepat dari sudut 90 o ke hipotenus.
Contoh penggunaan teorem Pythagoras
Mari kita pertimbangkan tugas mudah: adalah perlu untuk menentukan panjang tangga condong L, jika diketahui bahawa ia mempunyai ketinggian H = 3 meter, dan jarak dari dinding di mana tangga itu terletak ke kakinya ialah P = 2.5 meter.
Dalam kes ini, H dan P ialah kaki, dan L ialah hipotenus. Oleh kerana panjang hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki, kita dapat: L 2 = H 2 + P 2, dari mana L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2 ) = 3.905 meter atau 3 m dan 90, 5 cm.
Teorem Pythagoras: Jumlah luas segi empat sama terletak pada kaki ( a Dan b), sama dengan luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus ( c).
Formulasi geometri:
Teorem pada asalnya dirumuskan seperti berikut:
Perumusan algebra:
Iaitu, menandakan panjang hipotenus segi tiga oleh c, dan panjang kaki melalui a Dan b :
a 2 + b 2 = c 2Kedua-dua rumusan teorem adalah setara, tetapi rumusan kedua lebih asas; ia tidak memerlukan konsep luas. Iaitu, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang luas dan dengan mengukur hanya panjang sisi segi tiga tepat.
Teorem Converse Pythagoras:
Bukti
Pada masa ini, 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam kesusasteraan saintifik. Mungkin, teorem Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Kepelbagaian tersebut hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.
Sudah tentu, secara konsep semuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal daripada mereka: bukti dengan kaedah kawasan, bukti aksiomatik dan eksotik (contohnya, menggunakan persamaan pembezaan).
Melalui segi tiga yang serupa
Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti yang paling mudah, dibina terus daripada aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.
biarlah ABC terdapat segi tiga tegak dengan sudut tegak C. Mari kita lukis ketinggian dari C dan nyatakan pangkalannya dengan H. Segi tiga ACH serupa dengan segi tiga ABC di dua sudut. Begitu juga, segi tiga CBH serupa ABC. Dengan memperkenalkan notasi
kita mendapatkan
Apa yang setara
Menambahnya, kita dapat
Bukti menggunakan kaedah kawasan
Bukti di bawah, walaupun nampak sederhana, tidak begitu mudah sama sekali. Mereka semua menggunakan sifat kawasan, buktinya lebih kompleks daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.
Bukti melalui equicomplementation
- Mari kita susun empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1.
- Segi empat dengan sisi c ialah segi empat sama, kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90°, dan sudut lurus ialah 180°.
- Luas keseluruhan rajah adalah sama, dalam satu tangan, dengan luas segi empat sama dengan sisi (a + b), dan sebaliknya, dengan jumlah luas empat segi tiga dan dua dalam. segi empat sama.
Q.E.D.
Pembuktian melalui kesetaraan
Bukti elegan menggunakan pilih atur
Contoh satu bukti sedemikian ditunjukkan dalam lukisan di sebelah kanan, di mana segi empat sama yang dibina pada hipotenus disusun semula menjadi dua petak yang dibina di atas kaki.
Bukti Euclid
Melukis untuk bukti Euclid
Ilustrasi untuk bukti Euclid
Idea pembuktian Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba buktikan bahawa separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina pada kaki, dan kemudian luas segi empat sama besar dan dua petak kecil adalah sama.
Mari lihat lukisan di sebelah kiri. Di atasnya kami membina segi empat sama pada sisi segi tiga tepat dan melukis sinar s dari bucu sudut tepat C berserenjang dengan hipotenus AB, ia memotong segi empat sama ABIK, dibina di atas hipotenus, menjadi dua segi empat tepat - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas segi empat tepat ini sama persis dengan luas segi empat yang dibina pada kaki yang sepadan.
Mari cuba buktikan bahawa luas segi empat DECA adalah sama dengan luas segi empat tepat AHJK. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segi tiga dengan ketinggian dan tapak yang sama dengan segi empat tepat yang diberi adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat yang diberi. Ini adalah akibat daripada menentukan luas segi tiga sebagai separuh hasil darab tapak dan ketinggian. Daripada pemerhatian ini menunjukkan bahawa luas segi tiga ACK adalah sama dengan luas segi tiga AHK (tidak ditunjukkan dalam rajah), yang seterusnya adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat AHJK.
Mari kita buktikan bahawa luas segi tiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA persegi. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan untuk ini ialah membuktikan kesamaan segi tiga ACK dan BDA (kerana luas segi tiga BDA adalah sama dengan separuh luas segi empat mengikut sifat di atas). Kesamaan ini jelas, segi tiga adalah sama pada kedua-dua belah dan sudut di antara mereka. Iaitu - AB=AK,AD=AC - kesamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: kita memutarkan segi tiga CAK 90° lawan jam, maka jelaslah bahawa sisi yang sepadan bagi kedua-dua segi tiga dalam soalan akan bertepatan (kerana sudut pada bucu segi empat sama ialah 90°).
Alasan untuk kesamaan luas segi empat sama BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama sepenuhnya.
Oleh itu, kami membuktikan bahawa luas segi empat yang dibina di atas hipotenus terdiri daripada kawasan segi empat sama yang dibina di atas kaki. Idea di sebalik bukti ini diilustrasikan lagi oleh animasi di atas.
Bukti Leonardo da Vinci
Bukti Leonardo da Vinci
Elemen utama pembuktian ialah simetri dan gerakan.
Mari kita pertimbangkan lukisan, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen Csaya memotong segi empat sama ABHJ kepada dua bahagian yang sama (sejak segitiga ABC Dan JHsaya sama dalam pembinaan). Menggunakan putaran 90 darjah lawan jam, kita melihat kesamaan angka berlorek CAJsaya Dan GDAB . Kini jelas bahawa luas rajah yang telah kita lorekkan adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina di atas kaki dan luas segi tiga asal. Sebaliknya, ia adalah sama dengan separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus, ditambah dengan luas segi tiga asal. Langkah terakhir dalam pembuktian diserahkan kepada pembaca.
Bukti dengan kaedah paling kecil
Bukti berikut menggunakan persamaan pembezaan sering dikaitkan dengan ahli matematik Inggeris terkenal Hardy, yang hidup pada separuh pertama abad ke-20.
Melihat lukisan yang ditunjukkan dalam rajah dan memerhatikan perubahan di sebelah a, kita boleh menulis hubungan berikut untuk kenaikan sisi yang sangat kecil Dengan Dan a(menggunakan persamaan segi tiga):
Bukti dengan kaedah paling kecil
Menggunakan kaedah pengasingan pembolehubah, kita dapati
Ungkapan yang lebih umum untuk perubahan hipotenus dalam kes kenaikan pada kedua-dua belah
Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan keadaan awal, kami memperoleh
c 2 = a 2 + b 2 + malar.Oleh itu kita sampai pada jawapan yang dikehendaki
c 2 = a 2 + b 2 .Seperti yang mudah dilihat, pergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul disebabkan oleh perkadaran linear antara sisi segi tiga dan kenaikan, manakala jumlahnya dikaitkan dengan sumbangan bebas daripada kenaikan kaki yang berbeza.
Bukti yang lebih mudah boleh diperoleh jika kita menganggap bahawa salah satu kaki tidak mengalami kenaikan (dalam kes ini, kaki b). Kemudian untuk pemalar penyepaduan yang kami perolehi
Variasi dan generalisasi
- Jika bukannya segi empat sama kita membina angka lain yang serupa pada sisi, maka generalisasi teorem Pythagoras berikut adalah benar: Dalam segi tiga tegak, jumlah luas rajah serupa yang dibina pada sisi adalah sama dengan luas rajah yang dibina pada hipotenus. khususnya:
- Jumlah luas segi tiga sekata yang dibina pada kaki adalah sama dengan luas segitiga sekata yang dibina pada hipotenus.
- Jumlah kawasan separuh bulatan yang dibina pada kaki (seperti pada diameter) adalah sama dengan luas separuh bulatan yang dibina pada hipotenus. Contoh ini digunakan untuk membuktikan sifat-sifat angka yang dibatasi oleh lengkok dua bulatan dan dipanggil Hippocratic lunulae.
cerita
Chu-pei 500–200 SM. Di sebelah kiri terdapat tulisan: jumlah segi empat sama panjang ketinggian dan tapak ialah kuasa dua panjang hipotenus.
Buku Cina purba Chu-pei bercakap tentang segi tiga Pythagoras dengan sisi 3, 4 dan 5: Buku yang sama menawarkan lukisan yang bertepatan dengan salah satu lukisan geometri Hindu Bashara.
Cantor (sejarawan matematik Jerman terhebat) percaya bahawa persamaan 3² + 4² = 5² telah diketahui oleh orang Mesir sekitar 2300 SM. e., semasa zaman Raja Amenemhet I (menurut papirus 6619 Muzium Berlin). Menurut Cantor, harpedonaptes, atau "penarik tali", membina sudut tegak menggunakan segi tiga tegak dengan sisi 3, 4 dan 5.
Ia sangat mudah untuk menghasilkan semula kaedah pembinaan mereka. Mari kita ambil tali sepanjang 12 m dan ikat jalur berwarna padanya pada jarak 3 m. dari satu hujung dan 4 meter dari hujung yang lain. Sudut tepat akan ditutup di antara sisi 3 dan 4 meter panjang. Ia boleh dibantah oleh Harpedonaptians bahawa kaedah pembinaan mereka menjadi berlebihan jika seseorang menggunakan, sebagai contoh, persegi kayu, yang digunakan oleh semua tukang kayu. Malah, lukisan Mesir dikenali di mana alat sedemikian ditemui, sebagai contoh, lukisan yang menggambarkan bengkel tukang kayu.
Lebih banyak diketahui tentang teorem Pythagoras di kalangan orang Babylon. Dalam satu teks sejak zaman Hammurabi, iaitu 2000 SM. e., pengiraan anggaran hipotenus bagi segi tiga tegak diberikan. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa di Mesopotamia mereka dapat melakukan pengiraan dengan segi tiga tepat, Oleh sekurang-kurangnya dalam beberapa kes. Berdasarkan, di satu pihak, pada tahap pengetahuan semasa tentang matematik Mesir dan Babylon, dan pada satu lagi, pada kajian kritis sumber Yunani, Van der Waerden (ahli matematik Belanda) membuat kesimpulan berikut:
kesusasteraan
Dalam bahasa Rusia
- Skopets Z. A. Miniatur geometri. M., 1990
- Elensky Shch. Mengikut jejak langkah Pythagoras. M., 1961
- Van der Waerden B. L. Ilmu Kebangkitan. Matematik Mesir Purba, Babylon dan Yunani. M., 1959
- Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah. M., 1982
- W. Litzman, "Teorem Pythagoras" M., 1960.
- Tapak mengenai teorem Pythagoras dengan sejumlah besar bukti, bahan yang diambil dari buku oleh V. Litzmann, sejumlah besar lukisan dibentangkan dalam bentuk fail grafik yang berasingan.
- Teorem Pythagoras dan Pythagoras tiga kali ganda bab dari buku oleh D. V. Anosov "Pandangan pada matematik dan sesuatu daripadanya"
- Mengenai teorem Pythagoras dan kaedah membuktikannya G. Glaser, ahli akademik Akademi Pendidikan Rusia, Moscow
Dalam Bahasa Inggeris
- Teorem Pythagoras di WolframMathWorld
- Cut-The-Knot, bahagian teorem Pythagoras, kira-kira 70 bukti dan maklumat tambahan yang luas (Bahasa Inggeris)
Yayasan Wikimedia. 2010.
