Mereka yang berminat dengan sejarah teorem Pythagoras, yang dipelajari dalam kurikulum sekolah, juga akan ingin tahu tentang fakta seperti penerbitan pada tahun 1940 sebuah buku dengan tiga ratus tujuh puluh bukti teorem yang kelihatan mudah ini. Tetapi ia menarik minat ramai ahli matematik dan ahli falsafah dari zaman yang berbeza. Dalam Buku Rekod Guinness ia direkodkan sebagai teorem dengan bilangan bukti maksimum.

Sejarah Teorem Pythagoras

Dikaitkan dengan nama Pythagoras, teorem itu diketahui lama sebelum kelahiran ahli falsafah yang hebat. Oleh itu, di Mesir, semasa pembinaan struktur, nisbah aspek segi tiga tepat telah diambil kira lima ribu tahun yang lalu. Teks Babylon menyebut nisbah aspek yang sama bagi segi tiga tepat 1200 tahun sebelum kelahiran Pythagoras.

Timbul persoalan, mengapa pula sejarah mengatakan bahawa asal usul teorem Pythagoras adalah miliknya? Hanya ada satu jawapan - dia membuktikan nisbah sisi dalam segitiga. Dia melakukan apa yang mereka yang hanya menggunakan nisbah aspek dan hipotenus yang ditetapkan oleh pengalaman tidak lakukan berabad-abad yang lalu.

Dari kehidupan Pythagoras

Ahli sains masa depan, ahli matematik, ahli falsafah yang hebat dilahirkan di pulau Samos pada 570 SM. Dokumen sejarah maklumat terpelihara tentang bapa Pythagoras, yang merupakan seorang pengukir Batu berharga, tetapi tiada maklumat tentang ibu. Mereka berkata tentang budak lelaki yang dilahirkan itu bahawa dia adalah seorang kanak-kanak yang luar biasa yang menunjukkan zaman kanak-kanak minat terhadap muzik dan puisi. Ahli sejarah termasuk Hermodamas dan Pherecydes of Syros sebagai guru Pythagoras muda. Yang pertama memperkenalkan budak lelaki itu ke dunia muses, dan yang kedua, sebagai ahli falsafah dan pengasas sekolah falsafah Itali, mengarahkan pandangan lelaki muda itu ke logo.

Pada usia 22 tahun (548 SM), Pythagoras pergi ke Naucratis untuk mempelajari bahasa dan agama orang Mesir. Seterusnya, jalannya terletak di Memphis, di mana, terima kasih kepada para imam, setelah melalui ujian cerdik mereka, dia memahami geometri Mesir, yang, mungkin, mendorong lelaki muda yang ingin tahu itu untuk membuktikan teorem Pythagoras. Sejarah kemudiannya akan memberikan nama ini kepada teorem.

Tawanan Raja Babylon

Dalam perjalanan pulang ke Hellas, Pythagoras ditangkap oleh raja Babylon. Tetapi berada dalam kurungan memberi manfaat kepada minda ingin tahu ahli matematik yang bercita-cita tinggi; dia perlu belajar banyak perkara. Sesungguhnya, pada tahun-tahun itu matematik di Babylon lebih berkembang daripada di Mesir. Dia menghabiskan dua belas tahun belajar matematik, geometri dan sihir. Dan, mungkin, geometri Babylon yang terlibat dalam pembuktian nisbah sisi segitiga dan sejarah penemuan teorem. Pythagoras mempunyai pengetahuan dan masa yang cukup untuk ini. Tetapi tidak ada pengesahan atau penolakan dokumentari bahawa ini berlaku di Babylon.

Pada tahun 530 SM. Pythagoras melarikan diri dari kurungan ke tanah airnya, di mana dia tinggal di mahkamah Polycrates yang zalim dalam status separuh hamba. Pythagoras tidak berpuas hati dengan kehidupan sedemikian, dan dia bersara ke gua-gua Samos, dan kemudian pergi ke selatan Itali, di mana pada masa itu koloni Yunani Croton terletak.

Perintah monastik rahsia

Atas dasar koloni ini, Pythagoras menganjurkan perintah monastik rahsia, yang merupakan kesatuan agama dan masyarakat saintifik pada masa yang sama. Masyarakat ini mempunyai piagamnya sendiri, yang bercakap tentang memerhatikan cara hidup yang istimewa.

Pythagoras berhujah bahawa untuk memahami Tuhan, seseorang mesti mengetahui sains seperti algebra dan geometri, mengetahui astronomi dan memahami muzik. Penyelidikan disimpulkan kepada pengetahuan tentang sisi mistik nombor dan falsafah. Perlu diingatkan bahawa prinsip-prinsip yang dikhotbahkan pada masa itu oleh Pythagoras masuk akal dalam meniru pada masa sekarang.

Banyak penemuan yang dibuat oleh pelajar Pythagoras dikaitkan dengannya. Walau bagaimanapun, secara ringkasnya, sejarah penciptaan teorem Pythagoras oleh ahli sejarah dan ahli biografi kuno pada masa itu dikaitkan secara langsung dengan nama ahli falsafah, pemikir dan ahli matematik ini.

Ajaran Pythagoras

Mungkin idea hubungan antara teorem dan nama Pythagoras didorong oleh pernyataan orang Yunani yang hebat bahawa semua fenomena kehidupan kita disulitkan dalam segitiga terkenal dengan kaki dan hipotenusnya. Dan segi tiga ini adalah "kunci" untuk menyelesaikan semua masalah yang muncul. Ahli falsafah yang hebat berkata bahawa anda harus melihat segitiga, maka anda boleh menganggap bahawa masalahnya adalah dua pertiga diselesaikan.

Pythagoras bercakap tentang pengajarannya hanya kepada pelajarnya secara lisan, tanpa membuat sebarang nota, merahsiakannya. Malangnya, pengajaran ahli falsafah terhebat tidak bertahan hingga ke hari ini. Sesuatu bocor daripadanya, tetapi adalah mustahil untuk mengatakan berapa banyak yang benar dan berapa banyak yang salah dalam apa yang diketahui. Walaupun dengan sejarah teorem Pythagoras, tidak semuanya pasti. Ahli sejarah matematik meragui kepengarangan Pythagoras; pada pendapat mereka, teorem itu digunakan berabad-abad sebelum kelahirannya.

Teorem Pythagoras

Ia mungkin kelihatan pelik, tetapi fakta sejarah tiada bukti teorem oleh Pythagoras sendiri - tidak dalam arkib mahupun dalam mana-mana sumber lain. Dalam versi moden dipercayai bahawa ia adalah milik Euclid sendiri.

Terdapat bukti daripada salah seorang ahli sejarah terbesar matematik, Moritz Cantor, yang menemui pada papirus yang disimpan di Muzium Berlin, yang ditulis oleh orang Mesir sekitar 2300 SM. e. kesamaan, yang berbunyi: 3² + 4² = 5².

Sejarah ringkas teorem Pythagoras

Rumusan teorem daripada "Prinsip" Euclidean dalam terjemahan, bunyinya sama seperti dalam tafsiran moden. Tiada perkara baharu dalam bacaannya: segi empat sama sisi bertentangan dengan sudut tepat, sama dengan jumlah segi empat sama sisi yang bersebelahan dengan sudut kanan. Fakta bahawa tamadun purba India dan China menggunakan teorem itu disahkan oleh risalah "Zhou - bi suan jin". Ia mengandungi maklumat tentang segi tiga Mesir, yang menerangkan nisbah bidang sebagai 3:4:5.

Tidak kurang menarik adalah satu lagi buku matematik Cina "Chu-pei", yang juga menyebut Segitiga Pythagoras dengan penerangan dan lukisan bertepatan dengan lukisan geometri Hindu Bashara. Mengenai segi tiga itu sendiri, buku itu mengatakan bahawa jika sudut tegak boleh diuraikan menjadi bahagian komponennya, maka garis yang menghubungkan hujung sisi akan sama dengan lima jika tapaknya sama dengan tiga dan ketinggiannya sama dengan empat. .

Risalah India "Sulva Sutra", sejak kira-kira abad ke-7-5 SM. e., bercakap tentang pembinaan sudut tepat menggunakan segitiga Mesir.

Bukti teorem

Pada Zaman Pertengahan, pelajar menganggap membuktikan teorem terlalu sukar. Pelajar yang lemah mempelajari teorem dengan hati, tanpa memahami maksud pembuktiannya. Dalam hal ini, mereka menerima nama panggilan "keldai", kerana teorem Pythagoras adalah halangan yang tidak dapat diatasi untuk mereka, seperti jambatan untuk keldai. Pada Zaman Pertengahan, pelajar menghasilkan ayat lucu mengenai subjek teorem ini.

Untuk membuktikan teorem Pythagoras paling banyak cara yang mudah, anda hanya perlu mengukur sisinya tanpa menggunakan konsep kawasan dalam bukti. Panjang sisi yang bertentangan dengan sudut tegak ialah c, dan a dan b bersebelahan dengannya, hasilnya kita memperoleh persamaan: a 2 + b 2 = c 2. Pernyataan ini, seperti yang dinyatakan di atas, disahkan dengan mengukur panjang sisi segi tiga tegak.

Jika kita memulakan pembuktian teorem dengan mempertimbangkan luas segi empat tepat yang dibina pada sisi segi tiga, kita boleh menentukan luas keseluruhan rajah. Ia akan sama dengan luas segi empat sama dengan sisi (a+b), dan sebaliknya, jumlah luas empat segi tiga dan segi empat sama dalam.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , iaitu apa yang perlu dibuktikan.

Kepentingan praktikal teorem Pythagoras ialah ia boleh digunakan untuk mencari panjang segmen tanpa mengukurnya. Semasa pembinaan struktur, jarak, penempatan sokongan dan rasuk dikira, dan pusat graviti ditentukan. Teorem Pythagoras terpakai dalam semua teknologi moden. Mereka tidak lupa tentang teorem semasa membuat filem dalam dimensi 3D-6D, di mana sebagai tambahan kepada tiga dimensi yang kita gunakan untuk: ketinggian, panjang, lebar, masa, bau dan rasa diambil kira. Bagaimanakah rasa dan bau berkaitan dengan teorem, anda bertanya? Segala-galanya sangat mudah - apabila menayangkan filem, anda perlu mengira di mana dan apa bau dan rasa untuk mengarahkan di auditorium.

Ia hanya permulaan. Skop tanpa had untuk menemui dan mencipta teknologi baharu menanti minda yang ingin tahu.

Potensi untuk kreativiti biasanya dikaitkan dengan kemanusiaan, meninggalkan sains semula jadi untuk analisis, pendekatan praktikal dan bahasa kering formula dan nombor. Matematik tidak boleh diklasifikasikan sebagai mata pelajaran kemanusiaan. Tetapi tanpa kreativiti anda tidak akan pergi jauh dalam "ratu semua sains" - orang telah mengetahui ini untuk masa yang lama. Sejak zaman Pythagoras, misalnya.

Buku teks sekolah, malangnya, biasanya tidak menjelaskan bahawa dalam matematik adalah penting bukan sahaja untuk menjejalkan teorem, aksiom dan formula. Adalah penting untuk memahami dan merasakan prinsip asasnya. Dan pada masa yang sama, cuba bebaskan fikiran anda daripada klise dan kebenaran asas - hanya dalam keadaan sedemikian semua penemuan hebat dilahirkan.

Penemuan sedemikian termasuk apa yang kita ketahui hari ini sebagai teorem Pythagoras. Dengan bantuannya, kami akan cuba menunjukkan bahawa matematik bukan sahaja boleh, tetapi harus menarik. Dan pengembaraan ini sesuai bukan sahaja untuk kutu buku berkaca mata tebal, tetapi untuk semua orang yang kuat fikiran dan kuat semangat.

Daripada sejarah isu tersebut

Tegasnya, walaupun teorem itu dipanggil "teorem Pythagoras," Pythagoras sendiri tidak menemuinya. Segitiga tepat dan sifat istimewanya telah dikaji jauh sebelum itu. Terdapat dua pandangan polar mengenai isu ini. Menurut satu versi, Pythagoras adalah orang pertama yang menemui bukti lengkap teorem tersebut. Menurut yang lain, bukti itu bukan milik pengarang Pythagoras.

Hari ini anda tidak lagi boleh menyemak siapa yang betul dan siapa yang salah. Apa yang diketahui ialah bukti Pythagoras, jika ia pernah wujud, tidak kekal. Walau bagaimanapun, terdapat cadangan bahawa bukti terkenal dari Elemen Euclid mungkin milik Pythagoras, dan Euclid hanya merekodkannya.

Ia juga diketahui hari ini bahawa masalah tentang segi tiga tepat ditemui dalam sumber Mesir dari zaman Firaun Amenemhat I, pada tablet tanah liat Babylon dari pemerintahan Raja Hammurabi, dalam risalah India kuno "Sulva Sutra" dan karya Cina kuno "Zhou-bi suan jin".

Seperti yang anda lihat, teorem Pythagoras telah menduduki fikiran ahli matematik sejak zaman purba. Ini disahkan oleh kira-kira 367 bukti berbeza yang wujud hari ini. Dalam hal ini, tiada teorem lain boleh bersaing dengannya. Antara pengarang bukti yang terkenal, kita boleh mengingati Leonardo da Vinci dan Presiden AS yang kedua puluh James Garfield. Semua ini bercakap tentang kepentingan melampau teorem ini untuk matematik: kebanyakan teorem geometri diperoleh daripadanya atau entah bagaimana berkaitan dengannya.

Bukti teorem Pythagoras

Buku teks sekolah kebanyakannya memberikan bukti algebra. Tetapi intipati teorem adalah dalam geometri, jadi mari kita pertimbangkan dahulu bukti-bukti teorem terkenal yang berdasarkan sains ini.

Bukti 1

Untuk bukti paling mudah teorem Pythagoras bagi segi tiga tepat, anda perlu menetapkan keadaan yang ideal: biar segitiga bukan sahaja segi empat tepat, tetapi juga sama kaki. Terdapat sebab untuk mempercayai bahawa segi tiga jenis inilah yang pada mulanya dipertimbangkan oleh ahli matematik purba.

Kenyataan "segi empat yang dibina pada hipotenus segi tiga tegak adalah sama dengan jumlah segi empat sama yang dibina pada kakinya" boleh digambarkan dengan lukisan berikut:

Lihat pada segi tiga tegak sama kaki ABC: Pada hipotenus AC, anda boleh membina segi empat sama yang terdiri daripada empat segi tiga sama dengan ABC asal. Dan pada sisi AB dan BC sebuah segi empat sama dibina, setiap satunya mengandungi dua segi tiga yang serupa.

Dengan cara ini, lukisan ini menjadi asas kepada banyak jenaka dan kartun yang didedikasikan untuk teorem Pythagoras. Yang paling terkenal mungkin "Seluar Pythagoras adalah sama dalam semua arah":

Bukti 2

Kaedah ini menggabungkan algebra dan geometri dan boleh dianggap sebagai varian bukti India kuno tentang ahli matematik Bhaskari.

Bina segi tiga tepat dengan sisi a, b dan c(Rajah 1). Kemudian bina dua segi empat sama dengan sisi sama dengan hasil tambah panjang dua kaki - (a+b). Dalam setiap petak, buat binaan seperti dalam Rajah 2 dan 3.

Dalam petak pertama, bina empat segi tiga sama seperti dalam Rajah 1. Hasilnya ialah dua petak: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi b.

Dalam segi empat sama kedua, empat segi tiga serupa dibina membentuk segi empat sama dengan sisi sama dengan hipotenus c.

Jumlah luas segi empat sama yang dibina dalam Rajah 2 adalah sama dengan luas segi empat sama yang kami bina dengan sisi c dalam Rajah 3. Ini boleh disemak dengan mudah dengan mengira luas segi empat sama dalam Rajah. 2 mengikut formula. Dan luas segi empat sama yang ditulis dalam Rajah 3. dengan menolak kawasan empat segi tiga sama tegak yang ditulis dalam segi empat sama daripada luas segi empat sama besar dengan sisi. (a+b).

Menulis semua ini, kami mempunyai: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Buka kurungan, jalankan semua pengiraan algebra yang diperlukan dan dapatkannya a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Dalam kes ini, kawasan yang ditulis dalam Rajah 3. kuasa dua juga boleh dikira menggunakan formula tradisional S=c 2. Itu. a 2 +b 2 =c 2– anda telah membuktikan teorem Pythagoras.

Bukti 3

Bukti India kuno itu sendiri diterangkan pada abad ke-12 dalam risalah "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani") dan sebagai hujah utama pengarang menggunakan daya tarikan yang ditujukan kepada bakat matematik dan kemahiran pemerhatian pelajar dan pengikut: " Tengok!”

Tetapi kami akan menganalisis bukti ini dengan lebih terperinci:

Di dalam segi empat sama, bina empat segi tiga tepat seperti yang ditunjukkan dalam lukisan. Mari kita nyatakan sisi segi empat sama besar, juga dikenali sebagai hipotenus, Dengan. Mari kita panggil kaki segi tiga A Dan b. Menurut lukisan, sisi segi empat sama dalam ialah (a-b).

Gunakan formula untuk luas segi empat sama S=c 2 untuk mengira luas segi empat sama luar. Dan pada masa yang sama hitung nilai yang sama dengan menambah luas segi empat dalam dan luas semua empat segi tiga tepat: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Anda boleh menggunakan kedua-dua pilihan untuk mengira luas segi empat sama untuk memastikan ia memberikan hasil yang sama. Dan ini memberi anda hak untuk menulisnya c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Hasil daripada penyelesaian, anda akan menerima formula teorem Pythagoras c 2 =a 2 +b 2. Teorem telah terbukti.

Bukti 4

Bukti Cina kuno yang ingin tahu ini dipanggil "Kerusi Pengantin" - kerana bentuk seperti kerusi yang terhasil daripada semua binaan:

Ia menggunakan lukisan yang telah kita lihat dalam Rajah 3 dalam bukti kedua. Dan segi empat sama dalam dengan sisi c dibina dengan cara yang sama seperti dalam bukti India purba yang diberikan di atas.

Jika anda memotong secara mental dua segi tiga tepat hijau daripada lukisan dalam Rajah 1, gerakkannya ke sisi bertentangan pasangkan segi empat sama dengan sisi c dan hipotenus pada hipotenus segitiga ungu, anda akan mendapat angka yang dipanggil "kerusi pengantin perempuan" (Rajah 2). Untuk kejelasan, anda boleh melakukan perkara yang sama dengan petak kertas dan segi tiga. Anda akan memastikan bahawa "kerusi pengantin perempuan" dibentuk oleh dua petak: yang kecil dengan sisi b dan besar dengan sisi a.

Pembinaan ini membolehkan ahli matematik Cina kuno dan kami, mengikuti mereka, membuat kesimpulan bahawa c 2 =a 2 +b 2.

Bukti 5

Ini adalah satu lagi cara untuk mencari penyelesaian kepada teorem Pythagoras menggunakan geometri. Ia dipanggil Kaedah Garfield.

Bina segi tiga tepat ABC. Kita perlu membuktikannya BC 2 = AC 2 + AB 2.

Untuk melakukan ini, teruskan kaki AC dan membina satu segmen CD, yang sama dengan kaki AB. Turunkan serenjang AD segmen garisan ED. Segmen ED Dan AC adalah sama. Sambungkan titik E Dan DALAM, dan E Dan DENGAN dan dapatkan lukisan seperti gambar di bawah:

Untuk membuktikan menara itu, kami sekali lagi menggunakan kaedah yang telah kami cuba: kami mencari luas angka yang terhasil dalam dua cara dan menyamakan ungkapan antara satu sama lain.

Cari luas poligon SEBUAH KATIL boleh dilakukan dengan menjumlahkan luas tiga segi tiga yang membentuknya. Dan salah seorang daripada mereka, ERU, bukan sahaja segi empat tepat, tetapi juga sama kaki. Itu juga jangan kita lupakan AB=CD, AC=ED Dan BC=SE– ini akan membolehkan kami memudahkan rakaman dan tidak membebankannya. Jadi, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Pada masa yang sama, jelas sekali SEBUAH KATIL- Ini adalah trapezoid. Oleh itu, kami mengira kawasannya menggunakan formula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Untuk pengiraan kami, lebih mudah dan lebih jelas untuk mewakili segmen AD sebagai jumlah segmen AC Dan CD.

Mari tuliskan kedua-dua cara untuk mengira luas angka, meletakkan tanda yang sama di antara mereka: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kami menggunakan kesamaan segmen yang telah kami ketahui dan diterangkan di atas untuk memudahkan bahagian kanan notasi: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Sekarang mari kita buka kurungan dan ubah kesaksamaan: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Setelah menyelesaikan semua transformasi, kami mendapat apa yang kami perlukan: BC 2 = AC 2 + AB 2. Kami telah membuktikan teoremnya.

Sudah tentu, senarai bukti ini jauh dari lengkap. Teorem Pythagoras juga boleh dibuktikan menggunakan vektor, nombor kompleks, persamaan pembezaan, stereometri, dsb. Dan juga ahli fizik: jika, sebagai contoh, cecair dituangkan ke dalam jilid segi empat sama dan segi tiga sama dengan yang ditunjukkan dalam lukisan. Dengan menuangkan cecair, anda boleh membuktikan kesamaan kawasan dan teorem itu sendiri sebagai hasilnya.

Beberapa perkataan tentang kembar tiga Pythagoras

Isu ini sedikit atau tidak dipelajari langsung dalam kurikulum sekolah. Sementara itu, dia sangat menarik dan mempunyai sangat penting dalam geometri. Rangkap tiga Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematik. Memahami mereka mungkin berguna kepada anda dalam pendidikan lanjutan.

Jadi apakah kembar tiga Pythagoras? Itulah yang mereka panggil integer, dikumpul dalam tiga-tiga, jumlah petak dua daripadanya adalah sama dengan nombor ketiga dalam petak itu.

Rangkap tiga Pythagoras boleh menjadi:

• primitif (ketiga nombor adalah relatif perdana);
• bukan primitif (jika setiap nombor tiga kali ganda didarab dengan nombor yang sama, anda mendapat tiga kali ganda baharu, yang bukan primitif).

Malah sebelum era kita, orang Mesir purba terpesona oleh mania untuk bilangan kembar tiga Pythagoras: dalam masalah mereka menganggap segi tiga tepat dengan sisi 3, 4 dan 5 unit. Ngomong-ngomong, mana-mana segitiga yang sisinya sama dengan nombor dari triple Pythagoras adalah segi empat tepat secara lalai.

Contoh kembar tiga Pythagoras: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50), dsb.

Aplikasi praktikal teorem

Teorem Pythagoras digunakan bukan sahaja dalam matematik, tetapi juga dalam seni bina dan pembinaan, astronomi dan juga kesusasteraan.

Pertama tentang pembinaan: teorem Pythagoras terdapat di dalamnya aplikasi yang luas dalam tugasan tahap yang berbeza kesukaran. Sebagai contoh, lihat tetingkap Romanesque:

Mari kita nyatakan lebar tingkap sebagai b, maka jejari separuh bulatan utama boleh ditandakan sebagai R dan nyatakan melalui b: R=b/2. Jejari separuh bulatan yang lebih kecil juga boleh dinyatakan melalui b: r=b/4. Dalam masalah ini kami berminat dengan jejari bulatan dalam tetingkap (mari kita panggilnya hlm).

Teorem Pythagoras hanya berguna untuk mengira R. Untuk melakukan ini, kami menggunakan segi tiga tepat, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus dalam rajah. Hipotenus segitiga terdiri daripada dua jejari: b/4+p. Satu kaki mewakili jejari b/4, lain b/2-hlm. Dengan menggunakan teorem Pythagoras, kita menulis: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Seterusnya, kami membuka kurungan dan dapatkan b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Mari kita ubah ungkapan ini menjadi bp/2=b 2 /4-bp. Dan kemudian kami membahagikan semua istilah dengan b, kami membentangkan yang serupa untuk mendapatkan 3/2*p=b/4. Dan pada akhirnya kita dapati itu p=b/6- itulah yang kami perlukan.

Menggunakan teorem, anda boleh mengira panjang kasau untuk bumbung gable. Tentukan berapa tinggi menara telefon bimbit diperlukan untuk isyarat mencapai tahap tertentu penyelesaian. Dan juga memasang secara berterusan pokok Krismas di dataran bandar. Seperti yang anda lihat, teorem ini tidak hanya hidup pada halaman buku teks, tetapi juga sering berguna dalam kehidupan sebenar.

Dalam kesusasteraan, teorem Pythagoras telah memberi inspirasi kepada penulis sejak zaman dahulu dan terus melakukannya pada zaman kita. Sebagai contoh, penulis Jerman abad kesembilan belas Adelbert von Chamisso telah diilhamkan untuk menulis soneta:

Cahaya kebenaran tidak akan segera hilang,
Tetapi, setelah bersinar, ia tidak mungkin hilang
Dan, seperti beribu-ribu tahun yang lalu,
Ia tidak akan menimbulkan keraguan atau kontroversi.

Paling bijak apabila ia menyentuh pandangan anda
Cahaya kebenaran, terima kasih kepada tuhan;
Dan seratus lembu jantan, disembelih, berbohong -
Hadiah balasan daripada Pythagoras yang bertuah.

Sejak itu lembu jantan telah mengaum dengan terdesak:
Selamanya mencemaskan puak lembu jantan
Peristiwa yang disebut di sini.

Nampaknya masanya hampir tiba,
Dan mereka akan dikorbankan lagi
Beberapa teorem yang hebat.

(terjemahan oleh Viktor Toporov)

Dan pada abad kedua puluh, penulis Soviet Evgeny Veltistov, dalam bukunya "The Adventures of Electronics," menumpukan seluruh bab untuk bukti teorem Pythagoras. Dan setengah bab lagi untuk cerita tentang dunia dua dimensi yang boleh wujud jika teorem Pythagoras menjadi undang-undang asas dan juga agama untuk satu dunia. Hidup di sana akan menjadi lebih mudah, tetapi juga lebih membosankan: sebagai contoh, tiada siapa di sana memahami maksud perkataan "bulat" dan "gebu".

Dan dalam buku "The Adventures of Electronics," penulis, melalui mulut guru matematik Taratar, berkata: "Perkara utama dalam matematik ialah pergerakan pemikiran, idea-idea baru." Justru aliran pemikiran kreatif inilah yang menimbulkan teorem Pythagoras - bukan tanpa alasan ia mempunyai banyak bukti yang pelbagai. Ia membantu anda melangkaui sempadan yang biasa dan melihat perkara yang biasa dengan cara yang baharu.

Kesimpulan

Artikel ini direka untuk membantu anda melihat lebih jauh kurikulum sekolah dalam matematik dan pelajari bukan sahaja bukti-bukti teorem Pythagoras yang diberikan dalam buku teks "Geometri 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dan "Geometri 7-11" (A.V. Pogorelov), tetapi dan cara menarik lain untuk membuktikan teorem yang terkenal. Dan lihat juga contoh bagaimana teorem Pythagoras boleh digunakan dalam kehidupan seharian.

Pertama, maklumat ini akan membolehkan anda layak mendapat markah yang lebih tinggi dalam pelajaran matematik - maklumat mengenai subjek daripada sumber tambahan sentiasa sangat dihargai.

Kedua, kami ingin membantu anda merasakan bagaimana matematik sains yang menarik. Pastikan contoh khusus bahawa sentiasa ada tempat untuk kreativiti di dalamnya. Kami berharap teorem Pythagoras dan artikel ini akan memberi inspirasi kepada anda untuk meneroka secara bebas dan membuat penemuan menarik dalam matematik dan sains lain.

Beritahu kami dalam ulasan jika anda mendapati bukti yang dibentangkan dalam artikel itu menarik. Adakah anda mendapati maklumat ini berguna dalam pengajian anda? Tulis kepada kami pendapat anda tentang teorem Pythagoras dan artikel ini - kami dengan senang hati akan membincangkan semua ini dengan anda.

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Teorem Pythagoras: Jumlah luas segi empat sama terletak pada kaki ( a Dan b), sama dengan luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus ( c).

Formulasi geometri:

Teorem pada asalnya dirumuskan seperti berikut:

Perumusan algebra:

Iaitu, menandakan panjang hipotenus segi tiga oleh c, dan panjang kaki melalui a Dan b :

a 2 + b 2 = c 2

Kedua-dua rumusan teorem adalah setara, tetapi rumusan kedua lebih asas; ia tidak memerlukan konsep luas. Iaitu, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang luas dan dengan mengukur hanya panjang sisi segi tiga tepat.

Teorem Converse Pythagoras:

Bukti

hidup masa ini 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam kesusasteraan saintifik. Mungkin, teorem Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Kepelbagaian tersebut hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.

Sudah tentu, secara konsep semuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal daripada mereka: bukti dengan kaedah kawasan, bukti aksiomatik dan eksotik (contohnya, menggunakan persamaan pembezaan).

Melalui segi tiga yang serupa

Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti yang paling mudah, dibina terus daripada aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.

biarlah ABC terdapat segi tiga tegak dengan sudut tegak C. Mari kita lukis ketinggian dari C dan nyatakan pangkalannya dengan H. Segi tiga ACH serupa dengan segi tiga ABC di dua sudut. Begitu juga, segi tiga CBH serupa ABC. Dengan memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setara

Menambahnya, kita dapat

Bukti menggunakan kaedah kawasan

Bukti di bawah, walaupun nampak sederhana, tidak begitu mudah sama sekali. Mereka semua menggunakan sifat kawasan, buktinya lebih kompleks daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.

Bukti melalui equicomplementation

1. Mari kita susun empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1.
2. Segi empat dengan sisi c ialah segi empat sama, kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90°, dan sudut lurus ialah 180°.
3. Luas keseluruhan rajah adalah sama, dalam satu tangan, dengan luas segi empat sama dengan sisi (a + b), dan sebaliknya, dengan jumlah luas empat segi tiga dan dua dalam. segi empat sama.

Q.E.D.

Pembuktian melalui kesetaraan

Bukti elegan menggunakan pilih atur

Contoh satu bukti sedemikian ditunjukkan dalam lukisan di sebelah kanan, di mana segi empat sama yang dibina pada hipotenus disusun semula menjadi dua petak yang dibina pada sisi.

Bukti Euclid

Melukis untuk bukti Euclid

Ilustrasi untuk bukti Euclid

Idea pembuktian Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba buktikan bahawa separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina pada kaki, dan kemudian luas segi empat sama besar dan dua petak kecil adalah sama.

Mari lihat lukisan di sebelah kiri. Di atasnya kami membina segi empat sama pada sisi segi tiga tepat dan melukis sinar s dari bucu sudut tepat C berserenjang dengan hipotenus AB, ia memotong segi empat sama ABIK, dibina di atas hipotenus, menjadi dua segi empat tepat - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas segi empat tepat ini sama persis dengan luas segi empat yang dibina pada kaki yang sepadan.

Mari cuba buktikan bahawa luas segi empat DECA adalah sama dengan luas segi empat tepat AHJK. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segi tiga dengan ketinggian dan tapak yang sama dengan segi empat tepat yang diberi adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat yang diberi. Ini adalah akibat daripada menentukan luas segi tiga sebagai separuh hasil darab tapak dan ketinggian. Daripada pemerhatian ini menunjukkan bahawa luas segi tiga ACK adalah sama dengan luas segi tiga AHK (tidak ditunjukkan dalam rajah), yang seterusnya adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat AHJK.

Mari kita buktikan bahawa luas segi tiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA persegi. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan untuk ini ialah membuktikan kesamaan segi tiga ACK dan BDA (kerana luas segi tiga BDA adalah sama dengan separuh luas segi empat mengikut sifat di atas). Kesamaan ini jelas, segi tiga adalah sama pada kedua-dua belah dan sudut di antara mereka. Iaitu - AB=AK,AD=AC - kesamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: kita memutarkan segitiga CAK 90° lawan jam, maka jelaslah bahawa sisi yang sepadan bagi kedua-dua segi tiga dalam soalan akan bertepatan (kerana sudut pada bucu segi empat sama ialah 90°).

Alasan untuk kesamaan luas segi empat sama BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama sepenuhnya.

Oleh itu, kami membuktikan bahawa luas segi empat yang dibina di atas hipotenus terdiri daripada kawasan segi empat sama yang dibina di atas kaki. Idea di sebalik bukti ini diilustrasikan lagi oleh animasi di atas.

Bukti Leonardo da Vinci

Bukti Leonardo da Vinci

Elemen utama pembuktian ialah simetri dan gerakan.

Mari kita pertimbangkan lukisan, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen Csaya memotong segi empat sama ABHJ kepada dua bahagian yang sama (sejak segitiga ABC Dan JHsaya sama dalam pembinaan). Menggunakan putaran 90 darjah lawan jam, kita melihat kesamaan angka berlorek CAJsaya Dan GDAB . Kini jelas bahawa luas rajah yang telah kita lorekkan adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina di atas kaki dan luas segi tiga asal. Sebaliknya, ia adalah sama dengan separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus, ditambah dengan luas segi tiga asal. Langkah terakhir bukti diberikan kepada pembaca.

Bukti dengan kaedah paling kecil

Bukti berikut menggunakan persamaan pembezaan sering dikaitkan dengan ahli matematik Inggeris terkenal Hardy, yang hidup pada separuh pertama abad ke-20.

Melihat lukisan yang ditunjukkan dalam rajah dan memerhatikan perubahan di sebelah a, kita boleh menulis hubungan berikut untuk kenaikan sisi yang sangat kecil Dengan Dan a(menggunakan persamaan segi tiga):

Bukti dengan kaedah paling kecil

Menggunakan kaedah pengasingan pembolehubah, kita dapati

Ungkapan yang lebih umum untuk perubahan hipotenus dalam kes kenaikan pada kedua-dua belah

Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan keadaan awal, kami memperoleh

c 2 = a 2 + b 2 + malar.

Oleh itu kita sampai pada jawapan yang dikehendaki

c 2 = a 2 + b 2 .

Seperti yang mudah dilihat, pergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul disebabkan oleh perkadaran linear antara sisi segitiga dan kenaikan, manakala jumlahnya dikaitkan dengan sumbangan bebas daripada kenaikan kaki yang berbeza.

Bukti yang lebih mudah boleh diperoleh jika kita mengandaikan bahawa salah satu kaki tidak mengalami peningkatan (dalam dalam kes ini kaki b). Kemudian untuk pemalar penyepaduan yang kami perolehi

Variasi dan generalisasi

• Jika bukannya segi empat sama kita membina angka lain yang serupa pada sisi, maka generalisasi teorem Pythagoras berikut adalah benar: Dalam segi tiga tegak, jumlah luas rajah serupa yang dibina pada sisi adalah sama dengan luas rajah yang dibina pada hipotenus. khususnya:
  • Jumlah luas segi tiga sekata yang dibina pada kaki adalah sama dengan luas segitiga sekata yang dibina pada hipotenus.
  • Jumlah kawasan separuh bulatan yang dibina pada kaki (seperti pada diameter) adalah sama dengan luas separuh bulatan yang dibina pada hipotenus. Contoh ini digunakan untuk membuktikan sifat-sifat angka yang dibatasi oleh lengkok dua bulatan dan dipanggil Hippocratic lunulae.

cerita

Chu-pei 500–200 SM. Di sebelah kiri terdapat tulisan: jumlah segi empat sama panjang ketinggian dan tapak ialah kuasa dua panjang hipotenus.

Buku Cina purba Chu-pei bercakap tentang segi tiga Pythagoras dengan sisi 3, 4 dan 5: Buku yang sama menawarkan lukisan yang bertepatan dengan salah satu lukisan geometri Hindu Bashara.

Cantor (sejarawan matematik Jerman terhebat) percaya bahawa persamaan 3² + 4² = 5² telah diketahui oleh orang Mesir sekitar 2300 SM. e., semasa zaman Raja Amenemhat I (menurut papirus 6619 Muzium Berlin). Menurut Cantor, harpedonaptes, atau "penarik tali", membina sudut tegak menggunakan segi tiga tegak dengan sisi 3, 4 dan 5.

Ia sangat mudah untuk menghasilkan semula kaedah pembinaan mereka. Mari kita ambil tali sepanjang 12 m dan ikat jalur berwarna padanya pada jarak 3 m. dari satu hujung dan 4 meter dari hujung yang lain. Sudut tepat akan ditutup di antara sisi 3 dan 4 meter panjang. Ia boleh dibantah oleh Harpedonaptians bahawa kaedah pembinaan mereka menjadi berlebihan jika seseorang menggunakan, sebagai contoh, persegi kayu, yang digunakan oleh semua tukang kayu. Malah, lukisan Mesir dikenali di mana alat sedemikian ditemui, sebagai contoh, lukisan yang menggambarkan bengkel tukang kayu.

Lebih banyak diketahui tentang teorem Pythagoras di kalangan orang Babylon. Dalam satu teks sejak zaman Hammurabi, iaitu 2000 SM. e., pengiraan anggaran hipotenus bagi segi tiga tegak diberikan. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa di Mesopotamia mereka dapat melakukan pengiraan dengan segi tiga tepat, mengikut sekurang-kurangnya dalam beberapa kes. Berdasarkan, di satu pihak, pada tahap pengetahuan semasa tentang matematik Mesir dan Babylon, dan pada satu lagi, pada kajian kritis sumber Yunani, Van der Waerden (ahli matematik Belanda) membuat kesimpulan berikut:

kesusasteraan

Dalam bahasa Rusia

• Skopets Z. A. Miniatur geometri. M., 1990
• Elensky Shch. Mengikut jejak langkah Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Ilmu Kebangkitan. Matematik Mesir Purba, Babylon dan Greece. M., 1959
• Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah. M., 1982
• W. Litzman, "Teorem Pythagoras" M., 1960.
  • Tapak mengenai teorem Pythagoras dengan sejumlah besar bukti, bahan yang diambil dari buku oleh V. Litzmann, sejumlah besar lukisan dibentangkan dalam bentuk fail grafik yang berasingan.
• Teorem Pythagoras dan Pythagoras tiga kali ganda bab dari buku oleh D. V. Anosov "Pandangan pada matematik dan sesuatu daripadanya"
• Mengenai teorem Pythagoras dan kaedah membuktikannya G. Glaser, ahli akademik Akademi Pendidikan Rusia, Moscow

Dalam Bahasa Inggeris

• Teorem Pythagoras di WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, bahagian teorem Pythagoras, kira-kira 70 bukti dan maklumat tambahan yang luas (Bahasa Inggeris)

Yayasan Wikimedia. 2010.

Geometri bukanlah sains yang mudah. Ia boleh berguna untuk kurikulum sekolah dan dalam kehidupan sebenar. Pengetahuan tentang banyak formula dan teorem akan memudahkan pengiraan geometri. Salah satu yang paling angka mudah dalam geometri ia adalah segitiga. Salah satu jenis segi tiga, sama sisi, mempunyai ciri tersendiri.

Ciri-ciri segi tiga sama sisi

Secara definisi, segitiga ialah polihedron yang mempunyai tiga sudut dan tiga sisi. Ini adalah angka dua dimensi rata, sifatnya dikaji dalam sekolah Menengah. Berdasarkan jenis sudut, terdapat segi tiga akut, tumpul dan tegak. Segitiga tepat adalah seperti ini angka geometri, di mana salah satu sudut ialah 90º. Segitiga sedemikian mempunyai dua kaki (mereka mencipta sudut tepat) dan satu hipotenus (ia bertentangan dengan sudut tepat). Bergantung kepada kuantiti yang diketahui, terdapat tiga cara mudah Kira hipotenus bagi segi tiga tegak.

Cara pertama ialah mencari hipotenus bagi segi tiga tegak. Teorem Pythagoras

Teorem Pythagoras - cara tertua Kira mana-mana sisi bagi segi tiga tegak. Bunyinya seperti ini: "Dalam segi tiga tepat, kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki." Oleh itu, untuk mengira hipotenus, seseorang mesti memperoleh punca kuasa dua hasil tambah dua kaki kuasa dua. Untuk kejelasan, formula dan gambar rajah diberikan.

Cara kedua. Pengiraan hipotenus menggunakan 2 kuantiti yang diketahui: kaki dan sudut bersebelahan

Salah satu sifat segi tiga tegak menyatakan bahawa nisbah panjang kaki kepada panjang hipotenus adalah bersamaan dengan kosinus sudut antara kaki ini dan hipotenus. Mari kita panggil sudut yang diketahui oleh kita α. Sekarang, terima kasih kepada definisi yang terkenal, anda boleh dengan mudah merumuskan formula untuk mengira hipotenus: Hypotenuse = leg/cos(α)

cara ketiga. Pengiraan hipotenus menggunakan 2 kuantiti yang diketahui: kaki dan sudut bertentangan

Jika sudut bertentangan diketahui, adalah mungkin untuk menggunakan sifat segi tiga tepat sekali lagi. Nisbah panjang kaki dan hipotenus adalah bersamaan dengan sinus sudut bertentangan. Mari kita panggil sekali lagi sudut yang diketahui α. Sekarang untuk pengiraan kami akan menggunakan formula yang sedikit berbeza:
Hypotenuse = kaki/sin (α)

Contoh untuk membantu anda memahami formula

Untuk pemahaman yang lebih mendalam tentang setiap formula, anda harus mempertimbangkan contoh ilustrasi. Jadi, katakan anda diberi segi tiga tepat, di mana terdapat data berikut:

• Kaki - 8 cm.
• Sudut bersebelahan cosα1 ialah 0.8.
• Sudut bertentangan sinα2 ialah 0.8.

Mengikut teorem Pythagoras: Hypotenuse = punca kuasa dua (36+64) = 10 cm.
Mengikut saiz kaki dan sudut bersebelahan: 8/0.8 = 10 cm.
Mengikut saiz kaki dan sudut bertentangan: 8/0.8 = 10 cm.

Sebaik sahaja anda memahami formula, anda boleh mengira hipotenus dengan mudah dengan sebarang data.

Video: Teorem Pythagoras

Arahan

Jika anda perlu mengira menggunakan teorem Pythagoras, gunakan algoritma berikut: - Tentukan dalam segitiga yang mana sisi adalah kaki dan yang mana hipotenus. Kedua-dua sisi yang membentuk sudut sembilan puluh darjah adalah kaki, yang ketiga adalah hipotenus. (cm) - Naikkan setiap kaki segi tiga ini kepada kuasa kedua, iaitu, darab dengan sendirinya. Contoh 1. Katakan kita perlu mengira hipotenus jika satu kaki dalam segi tiga ialah 12 cm dan satu lagi ialah 5 cm Pertama, segi empat sama kaki adalah sama: 12 * 12 = 144 cm dan 5 * 5 = 25 cm. Seterusnya, tentukan jumlah kaki segi empat sama. Nombor tertentu ialah hipotenus, anda perlu menyingkirkan kuasa kedua nombor untuk mencari panjang sisi segi tiga ini. Untuk melakukan ini, keluarkan dari bawah punca kuasa dua nilai hasil tambah kuasa dua kaki. Contoh 1. 144+25=169. Punca kuasa dua bagi 169 ialah 13. Oleh itu, panjang ini hipotenus sama dengan 13 cm.

Satu lagi cara untuk mengira panjang hipotenus terletak pada terminologi sinus dan sudut dalam segitiga. Mengikut definisi: sinus sudut alfa - kaki bertentangan dengan hipotenus. Iaitu, melihat rajah, sin a = CB / AB. Oleh itu, hipotenus AB = CB / sin a. Contoh 2. Biarkan sudut itu 30 darjah, dan sisi bertentangan ialah 4 cm. Kita perlu mencari hipotenus. Penyelesaian: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0.5 = 8 cm. Jawapan: panjang hipotenus sama dengan 8 cm.

Cara yang sama untuk mencari hipotenus daripada takrifan kosinus sudut. Kosinus sudut ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengannya dan hipotenus. Iaitu, cos a = AC/AB, maka AB = AC/cos a. Contoh 3. Dalam segi tiga ABC, AB ialah hipotenus, sudut BAC ialah 60 darjah, kaki AC ialah 2 cm. Cari AB.
Penyelesaian: AB = AC/cos 60 = 2/0.5 = 4 cm Jawapan: Hipotenus adalah 4 cm panjang.

Nasihat yang berguna

Apabila mencari nilai sinus atau kosinus sudut, gunakan sama ada jadual sinus dan kosinus atau jadual Bradis.

Petua 2: Bagaimana untuk mencari panjang hipotenus dalam segi tiga tegak

Hipotenus ialah sisi terpanjang dalam segi tiga tepat, jadi tidak menghairankan itu bahasa Yunani perkataan ini diterjemahkan sebagai "ketat". Sisi ini sentiasa terletak bertentangan dengan sudut 90°, dan sisi yang membentuk sudut ini dipanggil kaki. Mengetahui panjang sisi ini dan nilai sudut akut dalam kombinasi berbeza nilai ini, kita boleh mengira panjang hipotenus.

Arahan

Jika panjang kedua-dua segi tiga (A dan B) diketahui, maka gunakan panjang hipotenus (C), mungkin postulat matematik yang paling terkenal - teorem Pythagoras. Ia menyatakan bahawa kuasa dua panjang hipotenus ialah hasil tambah kuasa dua panjang kaki, dari mana ia berikutan bahawa anda harus mengira punca hasil tambah panjang kuasa dua dua sisi: C = √ ( A² + B²). Sebagai contoh, jika panjang satu kaki ialah 15 dan - 10 sentimeter, maka panjang hipotenus akan menjadi lebih kurang 18.0277564 sentimeter, kerana √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564.

Jika panjang hanya satu kaki (A) dalam segi tiga tegak diketahui, serta nilai sudut yang bertentangan dengannya (α), maka panjang hipotenus (C) boleh digunakan menggunakan salah satu trigonometri. fungsi - sinus. Untuk melakukan ini, bahagikan panjangnya parti yang dikenali oleh sinus sudut yang diketahui: C=A/sin(α). Sebagai contoh, jika panjang salah satu kaki ialah 15 sentimeter, dan sudut pada bucu bertentangan segitiga ialah 30°, maka panjang hipotenus akan sama dengan 30 sentimeter, kerana 15/sin(30°) =15/0.5=30.

Jika dalam segi tiga tepat saiz salah satu sudut akut (α) dan panjang kaki bersebelahan (B) diketahui, maka untuk mengira panjang hipotenus (C) anda boleh menggunakan satu lagi fungsi trigonometri- kosinus. Anda harus membahagikan panjangnya kaki terkenal dengan kosinus sudut yang diketahui: C=B/ cos(α). Sebagai contoh, jika panjang kaki ini ialah 15 sentimeter, dan nilainya sudut akut, bersebelahan dengannya, ialah 30°, maka panjang hipotenus ialah lebih kurang 17.3205081 sentimeter, kerana 15/cos(30°)=15/(0.5*√3)=30/√3≈17.3205081.

Panjang biasanya digunakan untuk menunjukkan jarak antara dua titik pada segmen garis. Ia boleh menjadi garis lurus, patah atau tertutup. Anda boleh mengira panjang dengan mudah jika anda mengetahui beberapa penunjuk segmen lain.

Arahan

Jika anda perlu mencari panjang sisi segi empat sama, maka ia tidak akan menjadi , jika anda tahu luasnya S. Disebabkan fakta bahawa semua sisi segi empat sama mempunyai