Berita bintang
Bagaimana untuk menentukan bilangan punca persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik
Persamaan kuadratik ialah persamaan dalam bentuk a*x^2 +b*x+c=0, dengan a,b,c ialah beberapa nombor nyata arbitrari, dan x ialah pembolehubah. Selain itu, nombor a tidak sama dengan 0.
Nombor a,b,c dipanggil pekali. Nombor a dipanggil pekali pendahulu, nombor b ialah pekali x, dan nombor c dipanggil sebutan bebas. Nama lain juga terdapat dalam beberapa literatur. Nombor a dipanggil pekali pertama, dan nombor b dipanggil pekali kedua.
Pengelasan persamaan kuadratik
Persamaan kuadratik mempunyai klasifikasinya sendiri.
Berdasarkan ketersediaan kemungkinan:
1. Penuh
2. Tidak lengkap
Dengan nilai pekali tahap tertinggi yang tidak diketahui(nilai pekali utama):
1. Diberi
2. Tidak diwakili
Persamaan kuadratik dipanggil lengkap jika ketiga-tiga pekali terdapat di dalamnya dan ia berbeza daripada sifar. Pandangan umum lengkap persamaan kuadratik: a*x^2 +b*x+c=0;
Persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap jika dalam persamaan a*x^2 +b*x+c=0 salah satu daripada pekali b atau c adalah sama dengan sifar (b=0 atau c=0), namun, persamaan kuadratik yang tidak lengkap akan menjadi persamaan yang mempunyai kedua-dua pekali b dan pekali c sama dengan sifar pada masa yang sama (kedua-dua b=0 dan c=0).
Perlu diingat bahawa tiada apa yang dikatakan di sini tentang pekali pendahuluan, kerana, mengikut takrifan persamaan kuadratik, ia mestilah berbeza daripada sifar.
diberi jika pekali pendahulunya adalah sama dengan satu (a=1). Bentuk umum persamaan kuadratik di atas ialah: x^2 +d*x+e=0.
Persamaan kuadratik dipanggil tidak diketahui, jika pekali pendahuluan dalam persamaan adalah berbeza daripada sifar. Bentuk umum persamaan kuadratik tidak dikurangkan ialah: a*x^2 +b*x+c=0.
Perlu diingat bahawa mana-mana persamaan kuadratik yang tidak dikurangkan boleh dikurangkan kepada yang dikurangkan. Untuk melakukan ini, anda perlu membahagikan pekali persamaan kuadratik dengan pekali utama.
Contoh Persamaan Kuadratik
Mari lihat contoh: kita mempunyai persamaan 2*x^2 - 6*x+7 =0;
Mari kita ubah menjadi persamaan yang diberikan. Pekali pendahulu ialah 2. Mari kita bahagikan pekali persamaan kita dengannya dan tuliskan jawapannya.
x^2 - 3*x+3.5 =0;
Seperti yang anda perhatikan, di sebelah kanan persamaan kuadratik terdapat polinomial darjah kedua a*x^2 +b*x+c. Ia juga dipanggil trinomial kuadratik.
Nota PENTING!
1. Jika anda melihat gobbledygook dan bukannya formula, kosongkan cache anda. Bagaimana untuk melakukan ini dalam penyemak imbas anda ditulis di sini:
2. Sebelum anda mula membaca artikel itu, perhatikan pelayar kami sepenuhnya sumber yang berguna Untuk
Dalam istilah "persamaan kuadratik," kata kuncinya ialah "kuadrat." Ini bermakna bahawa persamaan mesti semestinya mengandungi pembolehubah (x yang sama) kuasa dua, dan tidak boleh ada xes kepada kuasa ketiga (atau lebih besar).
Penyelesaian banyak persamaan datang kepada menyelesaikan persamaan kuadratik.
Mari belajar untuk menentukan bahawa ini adalah persamaan kuadratik dan bukan persamaan lain.
Contoh 1.
Mari kita hapuskan penyebut dan darab setiap sebutan persamaan dengan
Mari kita gerakkan segala-galanya ke sebelah kiri dan susun istilah dalam susunan menurun bagi kuasa X
Sekarang kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa persamaan ini adalah kuadratik!
Contoh 2.
Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:
Persamaan ini, walaupun pada asalnya terdapat di dalamnya, bukan kuadratik!
Contoh 3.
Mari kita darabkan semuanya dengan:
menakutkan? Darjah keempat dan kedua... Walau bagaimanapun, jika kita membuat penggantian, kita akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik mudah:
Contoh 4.
Nampaknya ada, tetapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita alihkan semuanya ke sebelah kiri:
Lihat, ia dikurangkan - dan kini ia adalah persamaan linear yang mudah!
Sekarang cuba tentukan sendiri mana antara persamaan berikut adalah kuadratik dan yang mana bukan:
Contoh:
Jawapan:
- segi empat sama;
- segi empat sama;
- bukan persegi;
- bukan persegi;
- bukan persegi;
- segi empat sama;
- bukan persegi;
- segi empat sama.
Ahli matematik secara konvensional membahagikan semua persamaan kuadratik kepada jenis berikut:
- Lengkapkan persamaan kuadratik- persamaan di mana pekali dan, serta sebutan bebas c, tidak sama dengan sifar (seperti dalam contoh). Di samping itu, antara persamaan kuadratik lengkap terdapat diberi- ini adalah persamaan di mana pekali (persamaan dari contoh satu bukan sahaja lengkap, tetapi juga dikurangkan!)
- Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:
Mereka tidak lengkap kerana mereka kehilangan beberapa elemen. Tetapi persamaan mesti sentiasa mengandungi x kuasa dua!!! Jika tidak, ia bukan lagi persamaan kuadratik, tetapi beberapa persamaan lain.
Mengapa mereka membuat pembahagian sedemikian? Nampaknya terdapat X kuasa dua, dan okay. Pembahagian ini ditentukan oleh kaedah penyelesaian. Mari kita lihat setiap daripada mereka dengan lebih terperinci.
Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap
Mula-mula, mari fokus pada menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah!
Terdapat jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:
- , dalam persamaan ini pekali adalah sama.
- , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.
- , dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.
1. i. Oleh kerana kita tahu cara mengambil punca kuasa dua, mari kita ungkapkan daripada persamaan ini
Ungkapan boleh sama ada negatif atau positif. Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila mendarab dua negatif atau dua nombor positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif, jadi: jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian.
Dan jika, maka kita mendapat dua akar. Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama ialah anda mesti tahu dan sentiasa ingat bahawa ia tidak boleh kurang.
Mari cuba selesaikan beberapa contoh.
Contoh 5:
Selesaikan persamaan
Sekarang yang tinggal hanyalah mengekstrak akar dari sisi kiri dan kanan. Lagipun, anda masih ingat bagaimana untuk mengekstrak akar?
Jawapan:
Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!!!
Contoh 6:
Selesaikan persamaan
Jawapan:
Contoh 7:
Selesaikan persamaan
Oh! Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu
tiada akar!
Untuk persamaan yang tidak mempunyai akar, ahli matematik menghasilkan ikon khas - (set kosong). Dan jawapannya boleh ditulis seperti ini:
Jawapan:
Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca. Tiada sekatan di sini, kerana kami tidak mengekstrak akarnya.
Contoh 8:
Selesaikan persamaan
Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:
Oleh itu,
Persamaan ini mempunyai dua punca.
Jawapan:
Jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang paling mudah (walaupun semuanya mudah, bukan?). Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:
Kami akan mengetepikan contoh di sini.
Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap
Kami mengingatkan anda bahawa persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan persamaan bentuk di mana
Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap adalah lebih sukar (sedikit sahaja) daripada ini.
ingat, Mana-mana persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.
Kaedah lain akan membantu anda melakukannya dengan lebih pantas, tetapi jika anda menghadapi masalah dengan persamaan kuadratik, mula-mula kuasai penyelesaian menggunakan diskriminasi.
1. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi.
Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah ini sangat mudah; perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula.
Jika, maka persamaan itu mempunyai punca. Perhatian istimewa ambil langkah. Diskriminasi () memberitahu kita bilangan punca persamaan.
- Jika, maka formula dalam langkah akan dikurangkan kepada. Oleh itu, persamaan hanya akan mempunyai punca.
- Jika, maka kami tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi pada langkah itu. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.
Mari kita kembali kepada persamaan kita dan lihat beberapa contoh.
Contoh 9:
Selesaikan persamaan
Langkah 1 kita ponteng.
Langkah 2.
Kami mendapati diskriminasi:
Ini bermakna persamaan mempunyai dua punca.
Langkah 3.
Jawapan:
Contoh 10:
Selesaikan persamaan
Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.
Langkah 2.
Kami mendapati diskriminasi:
Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca.
Jawapan:
Contoh 11:
Selesaikan persamaan
Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.
Langkah 2.
Kami mendapati diskriminasi:
Ini bermakna kita tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi. Tiada punca persamaan.
Sekarang kita tahu cara menulis jawapan sedemikian dengan betul.
Jawapan: tiada akar
2. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta.
Jika anda masih ingat, terdapat sejenis persamaan yang dipanggil berkurangan (apabila pekali a adalah sama dengan):
Persamaan sedemikian sangat mudah untuk diselesaikan menggunakan teorem Vieta:
Jumlah akar diberi persamaan kuadratik adalah sama, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama.
Contoh 12:
Selesaikan persamaan
Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana .
Hasil tambah punca persamaan adalah sama, i.e. kita mendapat persamaan pertama:
Dan produk adalah sama dengan:
Mari kita karang dan selesaikan sistem:
- Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
- Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
- Dan. Jumlahnya sama.
dan merupakan penyelesaian kepada sistem:
Jawapan: ; .
Contoh 13:
Selesaikan persamaan
Jawapan:
Contoh 14:
Selesaikan persamaan
Persamaan diberikan, yang bermaksud:
Jawapan:
PERSAMAAN KUADRATIK. TAHAP PURATA
Apakah persamaan kuadratik?
Dalam erti kata lain, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - beberapa nombor, dan.
Nombor itu dipanggil tertinggi atau pekali pertama persamaan kuadratik, - pekali kedua, A - ahli percuma.
kenapa? Kerana jika persamaan segera menjadi linear, kerana akan hilang.
Dalam kes ini, dan boleh sama dengan sifar. Dalam persamaan kerusi ini dipanggil tidak lengkap. Jika semua istilah sudah ada, iaitu persamaannya sudah lengkap.
Penyelesaian kepada pelbagai jenis persamaan kuadratik
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap:
Mula-mula, mari kita lihat kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah.
Kita boleh membezakan jenis persamaan berikut:
I., dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.
II. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.
III. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.
Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada setiap subjenis ini.
Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:
Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila anda mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif. Itulah sebabnya:
jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian;
jika kita mempunyai dua akar
Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama yang perlu diingat ialah ia tidak boleh kurang.
Contoh:
Penyelesaian:
Jawapan:
Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!
Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu
tiada akar.
Untuk menulis secara ringkas bahawa masalah tidak mempunyai penyelesaian, kami menggunakan ikon set kosong.
Jawapan:
Jadi, persamaan ini mempunyai dua punca: dan.
Jawapan:
Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:
Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Ini bermakna persamaan mempunyai penyelesaian apabila:
Jadi, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca: dan.
Contoh:
Selesaikan persamaan.
Penyelesaian:
Mari kita faktorkan sisi kiri persamaan dan cari puncanya:
Jawapan:
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap:
1. Diskriminasi
Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara ini adalah mudah, perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula. Ingat, sebarang persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.
Adakah anda perasan akar daripada diskriminasi dalam formula untuk akar? Tetapi diskriminasi boleh menjadi negatif. Apa nak buat? Kita perlu memberi perhatian khusus kepada langkah 2. Diskriminasi memberitahu kita bilangan punca persamaan.
- Jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar:
- Jika kemudian persamaan mempunyai akar yang sama, tetapi pada asasnya satu akar:
Akar sedemikian dipanggil akar berganda.
- Jika, maka akar diskriminasi tidak diekstrak. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.
Kenapa boleh kuantiti yang berbeza akar? Mari beralih kepada deria geometri persamaan kuadratik. Graf fungsi ialah parabola:
Dalam kes khas, iaitu persamaan kuadratik, . Ini bermakna punca-punca persamaan kuadratik ialah titik-titik persilangan dengan paksi absis (paksi). Parabola mungkin tidak memotong paksi sama sekali, atau mungkin bersilang pada satu (apabila puncak parabola terletak pada paksi) atau dua titik.
Di samping itu, pekali bertanggungjawab untuk arah cabang parabola. Jika, maka cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika, maka ke bawah.
Contoh:
Penyelesaian:
Jawapan:
Jawapan: .
Jawapan:
Ini bermakna tiada penyelesaian.
Jawapan: .
2. Teorem Vieta
Sangat mudah untuk menggunakan teorem Vieta: anda hanya perlu memilih sepasang nombor yang hasil darabnya sama dengan sebutan bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda bertentangan.
Adalah penting untuk diingat bahawa teorem Vieta hanya boleh digunakan dalam persamaan kuadratik terkurang ().
Mari lihat beberapa contoh:
Contoh #1:
Selesaikan persamaan.
Penyelesaian:
Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana . Pekali lain: ; .
Jumlah punca-punca persamaan ialah:
Dan produk adalah sama dengan:
Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dan semak sama ada jumlahnya sama:
- Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
- Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
- Dan. Jumlahnya sama.
dan merupakan penyelesaian kepada sistem:
Oleh itu, dan merupakan punca persamaan kita.
Jawapan: ; .
Contoh #2:
Penyelesaian:
Mari pilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan kemudian semak sama ada jumlahnya sama:
dan: mereka memberi secara keseluruhan.
dan: mereka memberi secara keseluruhan. Untuk mendapatkannya, cukup untuk menukar tanda-tanda akar yang sepatutnya: dan, selepas semua, produk.
Jawapan:
Contoh #3:
Penyelesaian:
Sebutan bebas bagi persamaan adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar-akarnya ialah nombor negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan satu lagi positif. Oleh itu jumlah akar-akar adalah sama dengan perbezaan modul mereka.
Marilah kita memilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan perbezaannya adalah sama dengan:
dan: perbezaan mereka adalah sama - tidak sesuai;
dan: - tidak sesuai;
dan: - tidak sesuai;
dan: - sesuai. Apa yang tinggal ialah ingat bahawa salah satu akarnya adalah negatif. Oleh kerana jumlahnya mestilah sama, punca dengan modulus yang lebih kecil mestilah negatif: . Kami menyemak:
Jawapan:
Contoh #4:
Selesaikan persamaan.
Penyelesaian:
Persamaan diberikan, yang bermaksud:
Istilah bebas adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar adalah negatif. Dan ini hanya mungkin apabila satu punca persamaan adalah negatif dan satu lagi positif.
Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama, dan kemudian tentukan punca mana yang sepatutnya mempunyai tanda negatif:
Jelas sekali, hanya akar dan sesuai untuk keadaan pertama:
Jawapan:
Contoh #5:
Selesaikan persamaan.
Penyelesaian:
Persamaan diberikan, yang bermaksud:
Jumlah akar adalah negatif, yang bermaksud bahawa, menurut sekurang-kurangnya, salah satu akarnya adalah negatif. Tetapi kerana produk mereka positif, ini bermakna kedua-dua akar mempunyai tanda tolak.
Mari kita pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dengan:
Jelas sekali, akarnya ialah nombor dan.
Jawapan:
Setuju, adalah sangat mudah untuk menghasilkan akar secara lisan, bukannya mengira diskriminasi jahat ini. Cuba gunakan teorem Vieta sekerap mungkin.
Tetapi teorem Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepatkan mencari punca. Untuk anda mendapat manfaat daripada menggunakannya, anda mesti membawa tindakan kepada keautomasian. Dan untuk ini, selesaikan lima lagi contoh. Tetapi jangan menipu: anda tidak boleh menggunakan diskriminasi! Hanya teorem Vieta:
Penyelesaian kepada tugasan untuk kerja bebas:
Tugasan 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Menurut teorem Vieta:
Seperti biasa, kami memulakan pemilihan dengan sekeping:
Tidak sesuai kerana jumlahnya;
: jumlahnya adalah apa yang anda perlukan.
Jawapan: ; .
Tugasan 2.
Dan sekali lagi teorem Vieta kegemaran kami: jumlah mesti sama, dan hasil darab mestilah sama.
Tetapi kerana ia mesti tidak, tetapi, kita menukar tanda-tanda akar: dan (secara keseluruhan).
Jawapan: ; .
Tugasan 3.
Hmm... Mana tu?
Anda perlu memindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian:
Jumlah akar adalah sama dengan hasil darab.
Okay, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tetapi teorem Vieta hanya terpakai dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama anda perlu memberikan persamaan. Jika anda tidak boleh memimpin, tinggalkan idea ini dan selesaikan dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi). Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk memberikan persamaan kuadratik bermakna menjadikan pekali pendahulu sama:
Hebat. Maka jumlah akar adalah sama dengan dan hasil darab.
Di sini, semudah memerah pear untuk dipilih: lagipun, ia adalah nombor perdana (maaf atas tautologi).
Jawapan: ; .
Tugasan 4.
Ahli percuma adalah negatif. Apa yang istimewa tentang ini? Dan hakikatnya ialah akar akan mempunyai tanda yang berbeza. Dan sekarang, semasa pemilihan, kami tidak menyemak jumlah akar, tetapi perbezaan dalam modul mereka: perbezaan ini sama, tetapi produk.
Jadi, akarnya adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. Teorem Vieta memberitahu kita bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, iaitu. Ini bermakna bahawa akar yang lebih kecil akan mempunyai tolak: dan, sejak.
Jawapan: ; .
Tugasan 5.
Apa yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, berikan persamaan:
Sekali lagi: kami memilih faktor nombor, dan perbezaannya hendaklah sama dengan:
Akar adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. yang mana? Jumlah mereka harus sama, yang bermaksud bahawa tolak akan mempunyai akar yang lebih besar.
Jawapan: ; .
Biar saya ringkaskan:
- Teorem Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadratik yang diberikan.
- Menggunakan teorem Vieta, anda boleh mencari akar dengan pemilihan, secara lisan.
- Jika persamaan tidak diberikan atau tiada pasangan faktor yang sesuai bagi istilah bebas ditemui, maka tiada punca keseluruhan, dan anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi).
3. Kaedah untuk memilih petak lengkap
Jika semua istilah yang mengandungi yang tidak diketahui diwakili dalam bentuk sebutan daripada rumus pendaraban yang disingkatkan - kuasa dua jumlah atau perbezaan - maka selepas menggantikan pembolehubah, persamaan boleh dibentangkan dalam bentuk persamaan kuadratik tidak lengkap jenis.
Sebagai contoh:
Contoh 1:
Selesaikan persamaan: .
Penyelesaian:
Jawapan:
Contoh 2:
Selesaikan persamaan: .
Penyelesaian:
Jawapan:
DALAM Pandangan umum transformasi akan kelihatan seperti ini:
Ini bermakna: .
Tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Ini adalah perkara yang diskriminasi! Itulah cara kami mendapat formula diskriminasi.
PERSAMAAN KUADRATIK. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
Persamaan kuadratik- ini ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - pekali persamaan kuadratik, - sebutan bebas.
Persamaan kuadratik lengkap- persamaan di mana pekalinya tidak sama dengan sifar.
Persamaan kuadratik terkurang- persamaan di mana pekalinya, iaitu: .
Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:
- jika pekali, persamaannya kelihatan seperti: ,
- jika terdapat istilah bebas, persamaan mempunyai bentuk: ,
- jika dan, persamaannya kelihatan seperti: .
1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap
1.1. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :
1) Mari kita nyatakan yang tidak diketahui: ,
2) Semak tanda ungkapan:
- jika, maka persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian,
- jika, maka persamaan itu mempunyai dua punca.
1.2. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :
1) Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan: ,
2) Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan mempunyai dua punca:
1.3. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana:
Persamaan ini sentiasa mempunyai satu punca sahaja: .
2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap bentuk di mana
2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminasi
1) Mari kita kurangkan persamaan kepada pandangan standard: ,
2) Mari kita hitung diskriminasi menggunakan formula: , yang menunjukkan bilangan punca persamaan:
3) Cari punca-punca persamaan:
- jika, maka persamaan mempunyai punca-punca, yang didapati dengan formula:
- jika, maka persamaan mempunyai punca, yang ditemui oleh formula:
- jika, maka persamaan itu tidak mempunyai punca.
2.2. Penyelesaian menggunakan teorem Vieta
Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang (persamaan bentuk di mana) adalah sama, dan hasil darab punca adalah sama, i.e. , A.
2.3. Penyelesaian dengan kaedah memilih segi empat sama lengkap
Jika persamaan kuadratik bentuk mempunyai punca, maka ia boleh ditulis dalam bentuk: .
Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.
Kerana hanya 5% orang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!
Sekarang perkara yang paling penting.
Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.
Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...
Untuk apa?
Untuk berjaya disiapkan Peperiksaan Negeri Bersatu, untuk kemasukan ke kolej mengikut bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...
Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tetapi ini bukan perkara utama.
Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? tidak tahu...
Tapi fikir sendiri...
Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.
Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.
Anda perlu menyelesaikan masalah melawan masa.
Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan mempunyai masa.
Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.
Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!
Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.
Bagaimana? Terdapat dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini -
- Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR
Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.
Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk KESELURUHAN hayat tapak.
Kesimpulannya...
Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.
"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.
Cari masalah dan selesaikan!
Masalah persamaan kuadratik juga dikaji dalam kurikulum sekolah dan di universiti. Mereka bermaksud persamaan bentuk a*x^2 + b*x + c = 0, di mana x- pembolehubah, a, b, c – pemalar; a<>0 . Tugasnya ialah mencari punca-punca persamaan.
Makna geometri persamaan kuadratik
Graf fungsi yang diwakili oleh persamaan kuadratik ialah parabola. Penyelesaian (akar) persamaan kuadratik ialah titik persilangan parabola dengan paksi absis (x). Ia berikutan bahawa terdapat tiga kes yang mungkin:
1) parabola tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi absis. Ini bermakna ia berada di satah atas dengan cawangan ke atas atau bahagian bawah dengan cawangan ke bawah. Dalam kes sedemikian, persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar (ia mempunyai dua punca kompleks).
2) parabola mempunyai satu titik persilangan dengan paksi Lembu. Titik sedemikian dipanggil puncak parabola, dan persamaan kuadratik padanya memperoleh nilai minimum atau maksimumnya. Dalam kes ini, persamaan kuadratik mempunyai satu punca nyata (atau dua punca yang sama).
3) Kes terakhir lebih menarik dalam amalan - terdapat dua titik persilangan parabola dengan paksi absis. Ini bermakna terdapat dua punca sebenar persamaan.
Berdasarkan analisis pekali kuasa pembolehubah, kesimpulan yang menarik boleh dibuat tentang peletakan parabola.
1) Jika pekali a lebih besar daripada sifar, maka cabang parabola diarahkan ke atas; jika negatif, cabang parabola diarahkan ke bawah.
2) Jika pekali b lebih besar daripada sifar, maka bucu parabola terletak pada separuh satah kiri jika ia mengambil makna negatif- kemudian di sebelah kanan.
Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik
Mari kita pindahkan pemalar daripada persamaan kuadratik 
untuk tanda sama, kita mendapat ungkapan
Darab kedua-dua belah dengan 4a 
Untuk mendapatkan segi empat sama lengkap di sebelah kiri, tambah b^2 pada kedua-dua belah dan jalankan penjelmaan
Dari sini kita dapati
Formula untuk diskriminasi dan punca persamaan kuadratik
Diskriminasi ialah nilai ungkapan radikal. Jika ia positif, maka persamaan mempunyai dua punca nyata, dikira dengan formula 
Apabila diskriminasi adalah sifar, persamaan kuadratik mempunyai satu penyelesaian (dua punca bertepatan), yang boleh didapati dengan mudah daripada formula di atas untuk D=0. Apabila diskriminasi negatif, persamaan tidak mempunyai punca sebenar. Walau bagaimanapun, penyelesaian kepada persamaan kuadratik ditemui dalam satah kompleks, dan nilainya dikira menggunakan formula 
Teorem Vieta
Mari kita pertimbangkan dua punca persamaan kuadratik dan bina persamaan kuadratik berdasarkan asasnya. Teorem Vieta itu sendiri mudah mengikuti dari notasi: jika kita mempunyai persamaan kuadratik bentuk 
maka hasil tambah punca-puncanya adalah sama dengan pekali p yang diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darab punca-punca persamaan itu adalah sama dengan sebutan bebas q. Perwakilan formula di atas akan kelihatan seperti Jika dalam persamaan klasik pemalar a adalah bukan sifar, maka anda perlu membahagikan keseluruhan persamaan dengannya, dan kemudian menggunakan teorem Vieta.
Jadual persamaan kuadratik pemfaktoran
Biarkan tugasan ditetapkan: faktorkan persamaan kuadratik. Untuk melakukan ini, kita terlebih dahulu menyelesaikan persamaan (cari punca). Seterusnya, kita menggantikan punca yang ditemui ke dalam formula pengembangan untuk persamaan kuadratik. Ini akan menyelesaikan masalah.
Masalah persamaan kuadratik
Tugasan 1. Cari punca-punca persamaan kuadratik
x^2-26x+120=0 .
Penyelesaian: Tuliskan pekali dan gantikannya ke dalam formula diskriminasi
Akar daripada nilai yang diberikan adalah sama dengan 14, ia adalah mudah untuk mencari dengan kalkulator, atau ingat dengan penggunaan yang kerap, bagaimanapun, untuk kemudahan, pada akhir artikel saya akan memberikan anda senarai petak nombor yang sering boleh dihadapi dalam masalah tersebut.
Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula akar 
dan kita dapat 
Tugasan 2. Selesaikan persamaan
2x 2 +x-3=0.
Penyelesaian: Kami mempunyai persamaan kuadratik lengkap, tulis pekali dan cari diskriminasi 
Menggunakan formula yang diketahui kita mencari punca-punca persamaan kuadratik 
Tugasan 3. Selesaikan persamaan
9x 2 -12x+4=0.
Penyelesaian: Kami mempunyai persamaan kuadratik lengkap. Menentukan diskriminasi
Kami mendapat kes di mana akarnya bertepatan. Cari nilai akar menggunakan formula 
Tugasan 4. Selesaikan persamaan
x^2+x-6=0 .
Penyelesaian: Dalam kes di mana terdapat pekali kecil untuk x, adalah dinasihatkan untuk menggunakan teorem Vieta. Dengan keadaannya kita memperoleh dua persamaan
Daripada syarat kedua kita dapati bahawa produk mestilah sama dengan -6. Ini bermakna bahawa salah satu akar adalah negatif. Kami mempunyai pasangan penyelesaian yang mungkin berikut (-3;2), (3;-2) . Dengan mengambil kira syarat pertama, kami menolak pasangan penyelesaian kedua.
Punca-punca persamaan adalah sama
Masalah 5. Cari panjang sisi sebuah segi empat tepat jika perimeternya ialah 18 cm dan luasnya ialah 77 cm 2.
Penyelesaian: Separuh perimeter segi empat tepat adalah sama dengan hasil tambah sisi bersebelahan. Mari kita nyatakan x sebagai sisi yang lebih besar, maka 18-x ialah sisi yang lebih kecil. Luas segi empat tepat adalah sama dengan hasil darab panjang ini:
x(18-x)=77;
atau
x 2 -18x+77=0.
Mari kita cari diskriminasi persamaan
Mengira punca-punca persamaan 
Jika x=11, Itu 18's=7 , sebaliknya juga benar (jika x=7, maka 21's=9).
Masalah 6. Faktorkan persamaan kuadratik 10x 2 -11x+3=0.
Penyelesaian: Mari kita hitung punca persamaan, untuk melakukan ini kita dapati diskriminasi 
Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula akar dan mengira 
Kami menggunakan formula untuk mengurai persamaan kuadratik dengan punca 
Membuka kurungan kita memperoleh identiti.
Persamaan kuadratik dengan parameter
Contoh 1. Apakah nilai parameter A , adakah persamaan (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 mempunyai satu punca?
Penyelesaian: Dengan penggantian langsung nilai a=3 kita melihat bahawa ia tidak mempunyai penyelesaian. Seterusnya, kita akan menggunakan fakta bahawa dengan diskriminasi sifar persamaan mempunyai satu punca multiplicity 2. Mari kita tuliskan diskriminasi 
Mari kita permudahkan dan samakan dengan sifar
Kami telah memperoleh persamaan kuadratik berkenaan dengan parameter a, penyelesaiannya boleh didapati dengan mudah menggunakan teorem Vieta. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darabnya ialah 12. Dengan carian mudah kita menetapkan bahawa nombor 3,4 akan menjadi punca persamaan. Oleh kerana kita sudah menolak penyelesaian a=3 pada permulaan pengiraan, satu-satunya yang betul ialah - a=4. Oleh itu, untuk a=4 persamaan mempunyai satu punca.
Contoh 2. Apakah nilai parameter A , persamaan a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 mempunyai lebih daripada satu punca?
Penyelesaian: Mari kita pertimbangkan dahulu titik tunggal, ia akan menjadi nilai a=0 dan a=-3. Apabila a=0, persamaan akan dipermudahkan kepada bentuk 6x-9=0; x=3/2 dan akan ada satu punca. Untuk a= -3 kita memperoleh identiti 0=0.
Mari kita mengira diskriminasi 
dan cari nilai a di mana ia adalah positif 
Daripada syarat pertama kita mendapat a>3. Untuk yang kedua, kita dapati diskriminasi dan punca persamaan 
Mari kita tentukan selang di mana fungsi mengambil nilai-nilai positif. Dengan menggantikan titik a=0 kita dapat 3>0
.
Jadi, di luar selang (-3;1/3) fungsinya adalah negatif. Jangan lupa maksudnya a=0, yang harus dikecualikan kerana persamaan asal mempunyai satu punca di dalamnya.
Akibatnya, kami memperoleh dua selang yang memenuhi syarat masalah 
Terdapat banyak tugas yang serupa dalam amalan, cuba fikirkan tugas itu sendiri dan jangan lupa untuk mengambil kira syarat-syarat yang saling eksklusif. Kaji dengan baik formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik; ia sering diperlukan dalam pengiraan dalam pelbagai masalah dan sains.
5x (x - 4) = 0
5 x = 0 atau x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Setelah belajar menyelesaikan persamaan darjah pertama, sudah tentu, anda ingin bekerja dengan orang lain, khususnya, dengan persamaan darjah kedua, yang sebaliknya dipanggil kuadratik.
Persamaan kuadratik ialah persamaan seperti ax² + bx + c = 0, di mana pembolehubah ialah x, nombornya ialah a, b, c, di mana a tidak sama dengan sifar.
Jika dalam persamaan kuadratik satu atau pekali lain (c atau b) adalah sama dengan sifar, maka persamaan ini akan diklasifikasikan sebagai persamaan kuadratik tidak lengkap.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jika pelajar setakat ini hanya dapat menyelesaikan persamaan darjah pertama? Pertimbangkan persamaan kuadratik tidak lengkap jenis yang berbeza dan cara mudah untuk menyelesaikannya.
a) Jika pekali c bersamaan dengan 0, dan pekali b tidak sama dengan sifar, maka ax ² + bx + 0 = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² + bx = 0.
Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, anda perlu mengetahui formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, yang terdiri daripada memfaktorkan bahagian kirinya dan kemudian menggunakan syarat bahawa hasil darab adalah sama dengan sifar.
Sebagai contoh, 5x² - 20x = 0. Kami memfaktorkan bahagian kiri persamaan, semasa menjalankan operasi matematik biasa: mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan
5x (x - 4) = 0
Kami menggunakan syarat bahawa produk adalah sama dengan sifar.
5 x = 0 atau x - 4 = 0
Jawapannya ialah: punca pertama ialah 0; punca kedua ialah 4.
b) Jika b = 0, dan sebutan bebas tidak sama dengan sifar, maka persamaan ax ² + 0x + c = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² + c = 0. Persamaan diselesaikan dalam dua cara : a) dengan memfaktorkan polinomial persamaan di sebelah kiri ; b) menggunakan sifat aritmetik punca kuasa dua. Persamaan sedemikian boleh diselesaikan menggunakan salah satu kaedah, contohnya:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Jawapannya ialah: punca pertama ialah 5/2; punca kedua adalah sama dengan - 5/2.
c) Jika b bersamaan dengan 0 dan c adalah bersamaan dengan 0, maka ax ² + 0 + 0 = 0 dikurangkan kepada persamaan dalam bentuk ax ² = 0. Dalam persamaan tersebut x akan sama dengan 0.
Seperti yang anda lihat, persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh mempunyai tidak lebih daripada dua punca.
Lagi dengan cara yang mudah. Untuk melakukan ini, letakkan z daripada kurungan. Anda akan mendapat: z(аz + b) = 0. Faktor boleh ditulis: z=0 dan аz + b = 0, kerana kedua-duanya boleh menghasilkan sifar. Dalam notasi az + b = 0, kita gerakkan yang kedua ke kanan dengan tanda yang berbeza. Dari sini kita dapat z1 = 0 dan z2 = -b/a. Ini adalah akar asal.
Jika ada persamaan tidak lengkap bentuk az² + c = 0, in dalam kes ini adalah pemindahan mudah sebutan bebas di sebelah kanan persamaan. Tukar juga tandanya. Hasilnya ialah az² = -с. Ungkapkan z² = -c/a. Ambil punca dan tulis dua penyelesaian - punca kuasa dua positif dan negatif.
Nota
Jika terdapat pekali pecahan dalam persamaan, darabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sesuai untuk menyingkirkan pecahan itu.
Pengetahuan tentang cara menyelesaikan persamaan kuadratik adalah perlu untuk kedua-dua pelajar sekolah dan pelajar; kadang-kadang ini juga boleh membantu orang dewasa dalam kehidupan biasa. Terdapat beberapa kaedah penyelesaian khusus.
Menyelesaikan Persamaan Kuadratik
Persamaan kuadratik bentuk a*x^2+b*x+c=0. Pekali x ialah pembolehubah yang dikehendaki, a, b, c ialah pekali berangka. Ingat bahawa tanda “+” boleh bertukar kepada tanda “-”.Untuk menyelesaikan persamaan ini, perlu menggunakan teorem Vieta atau mencari diskriminasi. Kaedah yang paling biasa adalah untuk mencari diskriminasi, kerana untuk beberapa nilai a, b, c tidak mungkin untuk menggunakan teorem Vieta.
Untuk mencari diskriminasi (D), anda perlu menulis formula D=b^2 - 4*a*c. Nilai D boleh lebih besar daripada, kurang daripada, atau sama dengan sifar. Jika D lebih besar atau kurang daripada sifar, maka akan ada dua punca; jika D = 0, maka hanya tinggal satu punca; lebih tepat lagi, kita boleh mengatakan bahawa D dalam kes ini mempunyai dua punca yang setara. Gantikan pekali a, b, c yang diketahui ke dalam formula dan hitung nilainya.
Selepas anda menemui diskriminasi, gunakan formula untuk mencari x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, dengan sqrt ialah fungsi yang bermaksud mengambil punca kuasa dua nombor tertentu. Selepas mengira ungkapan ini, anda akan menemui dua punca persamaan anda, selepas itu persamaan dianggap diselesaikan.
Jika D kurang daripada sifar, maka ia masih mempunyai punca. Bahagian ini boleh dikatakan tidak dipelajari di sekolah. Pelajar universiti harus sedar bahawa nombor negatif muncul di bawah akar. Mereka menyingkirkannya dengan menyerlahkan bahagian khayalan, iaitu, -1 di bawah akar sentiasa sama dengan unsur khayalan "i", yang didarabkan dengan akar dengan yang sama nombor positif. Sebagai contoh, jika D=sqrt(-20), selepas penjelmaan kita mendapat D=sqrt(20)*i. Selepas transformasi ini, penyelesaian persamaan dikurangkan kepada penemuan punca yang sama seperti yang diterangkan di atas.
Teorem Vieta terdiri daripada memilih nilai x(1) dan x(2). Dua persamaan yang sama digunakan: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Dan sangat perkara penting ialah tanda di hadapan pekali b, ingat bahawa tanda ini bertentangan dengan tanda dalam persamaan. Pada pandangan pertama, nampaknya pengiraan x(1) dan x(2) adalah sangat mudah, tetapi apabila menyelesaikan, anda akan berhadapan dengan hakikat bahawa anda perlu memilih nombor.
Elemen penyelesaian persamaan kuadratik
Mengikut peraturan matematik, sesetengahnya boleh difaktorkan: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jika anda berjaya mengubah persamaan kuadratik ini dengan cara yang sama menggunakan formula matematik, maka jangan ragu untuk tulis jawapan. x(1) dan x(2) akan sama dengan pekali bersebelahan dalam kurungan, tetapi dengan tanda yang bertentangan.Juga, jangan lupa tentang persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Anda mungkin kehilangan beberapa istilah; jika ya, maka semua pekalinya adalah sama dengan sifar. Jika tiada apa-apa di hadapan x^2 atau x, maka pekali a dan b adalah sama dengan 1.
