Kajian tentang objek analisis matematik seperti fungsi adalah sangat penting maksudnya dan dalam bidang sains yang lain. Sebagai contoh, dalam analisis ekonomi terdapat keperluan berterusan untuk menilai tingkah laku fungsi keuntungan, iaitu untuk menentukan yang terbesar maksudnya dan membangunkan strategi untuk mencapainya.

Arahan

Kajian tentang sebarang tingkah laku hendaklah sentiasa dimulakan dengan mencari domain definisi. Biasanya, mengikut syarat masalah tertentu, adalah perlu untuk menentukan yang terbesar maksudnya fungsi sama ada di seluruh kawasan ini, atau dalam selang waktu tertentu dengan sempadan terbuka atau tertutup.

Berdasarkan , yang terbesar ialah maksudnya fungsi y(x0), di mana bagi mana-mana titik dalam domain takrifan ketaksamaan y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) dipegang. Secara grafik, titik ini akan menjadi yang tertinggi jika nilai hujah diletakkan di sepanjang paksi abscissa, dan fungsi itu sendiri di sepanjang paksi ordinat.

Untuk menentukan yang terhebat maksudnya fungsi, ikut algoritma tiga langkah. Sila ambil perhatian bahawa anda mesti boleh bekerja dengan satu sisi dan , serta mengira derivatif. Jadi, biarkan beberapa fungsi y(x) diberikan dan anda perlu mencari yang terbesar maksudnya pada selang waktu tertentu dengan nilai sempadan A dan B.

Ketahui sama ada selang ini berada dalam skop definisi fungsi. Untuk melakukan ini, anda perlu mencarinya dengan mempertimbangkan semua sekatan yang mungkin: kehadiran pecahan dalam ungkapan, punca kuasa dua dan lain-lain. Domain definisi ialah set nilai hujah yang mana fungsi itu masuk akal. Tentukan sama ada selang yang diberi ialah subset daripadanya. Jika ya, teruskan ke langkah seterusnya.

Cari terbitan fungsi dan selesaikan persamaan yang terhasil dengan menyamakan terbitan kepada sifar. Dengan cara ini anda akan mendapat nilai-nilai yang dipanggil titik pegun. Nilaikan sama ada sekurang-kurangnya satu daripadanya tergolong dalam selang A, B.

Pada peringkat ketiga, pertimbangkan perkara ini dan gantikan nilainya ke dalam fungsi. Bergantung pada jenis selang waktu, lakukan langkah tambahan berikut. Jika terdapat segmen dalam bentuk [A, B], titik sempadan dimasukkan dalam selang; ini ditunjukkan dengan tanda kurungan. Kira Nilai fungsi untuk x = A dan x = B. Jika selang terbuka (A, B), nilai sempadan ditebuk, i.e. tidak termasuk di dalamnya. Selesaikan had sebelah untuk x→A dan x→B. Selang gabungan bentuk [A, B) atau (A, B), satu daripada sempadannya adalah miliknya, satu lagi tidak. Cari had sebelah kerana x cenderung kepada nilai tertusuk, dan gantikan satu lagi ke dalam fungsi. Selang dua belah tak terhingga (-∞, +∞) atau selang tak terhingga satu sisi dalam bentuk: , (-∞, B). Untuk had nyata A dan B, teruskan mengikut prinsip yang telah diterangkan dan untuk yang tidak terhingga, cari had untuk x→-∞ dan x→+∞, masing-masing.

Tugas pada peringkat ini

Nilai terbesar dan terkecil sesuatu fungsi

Nilai terbesar bagi sesuatu fungsi ialah yang terbesar, nilai terkecil ialah terkecil daripada semua nilainya.

Satu fungsi hanya boleh mempunyai satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau ia mungkin tidak mempunyai nilai sama sekali. Mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan adalah berdasarkan sifat berikut bagi fungsi ini:

1) Jika dalam selang tertentu (terhingga atau tidak terhingga) fungsi y=f(x) adalah berterusan dan hanya mempunyai satu ekstrem dan jika ini adalah maksimum (minimum), maka ia akan menjadi nilai terbesar (terkecil) fungsi dalam selang ini.

2) Jika fungsi f(x) adalah selanjar pada beberapa selang, maka ia semestinya mempunyai terbesar dan nilai terkecil. Nilai ini dicapai sama ada pada titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau di sempadan segmen ini.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil pada segmen, disyorkan untuk menggunakan skema berikut:

1. Cari terbitan.

2. Cari titik genting bagi fungsi yang =0 atau tidak wujud.

3. Cari nilai fungsi pada titik kritikal dan di hujung segmen dan pilih daripadanya f maks terbesar dan f maks terkecil.

Apabila menyelesaikan masalah yang digunakan, khususnya pengoptimuman, penting mempunyai tugas mencari nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) fungsi pada selang X. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, seseorang harus, berdasarkan syarat, memilih pembolehubah bebas dan menyatakan nilai yang dikaji melalui pembolehubah ini. Kemudian cari nilai terbesar atau terkecil yang dikehendaki bagi fungsi yang terhasil. Dalam kes ini, selang perubahan pembolehubah bebas, yang boleh terhingga atau tidak terhingga, juga ditentukan daripada keadaan masalah.

Contoh. Tangki, yang mempunyai bentuk atas terbuka segi empat tepat selari paip dengan bahagian bawah persegi, mesti ditindih dalam tin dengan timah. Apakah ukuran tangki yang sepatutnya jika kapasitinya ialah 108 liter? air supaya kos tinningnya minima?

Penyelesaian. Kos menyalut tangki dengan timah akan menjadi minimum jika, untuk kapasiti tertentu, luas permukaannya adalah minimum. Mari kita nyatakan dengan a dm sisi tapak, b dm ketinggian tangki. Maka luas S permukaannya adalah sama dengan

DAN

Hubungan yang terhasil mewujudkan hubungan antara luas permukaan takungan S (fungsi) dan sisi tapak a (argumen). Mari kita periksa fungsi S untuk ekstrem. Mari kita cari derivatif pertama, samakan dengan sifar dan selesaikan persamaan yang terhasil:

Oleh itu a = 6. (a) > 0 untuk a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Contoh. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi pada selang waktu.

Penyelesaian: Fungsi yang diberi adalah selanjar sepanjang garis nombor. Terbitan fungsi

Derivatif untuk dan untuk . Mari kita hitung nilai fungsi pada titik ini:

.

Nilai fungsi pada hujung selang yang diberikan adalah sama. Oleh itu, nilai tertinggi fungsi adalah sama dengan at , nilai terkecil fungsi adalah sama dengan at .

Soalan ujian kendiri

1. Merumuskan peraturan L'Hopital untuk mendedahkan ketidakpastian bentuk. Senaraikan Pelbagai jenis ketidakpastian yang mana peraturan L'Hopital boleh digunakan.

2. Merumus tanda-tanda peningkatan dan penurunan fungsi.

3. Tentukan maksimum dan minimum fungsi.

4. Merumus syarat yang perlu kewujudan ekstrem.

5. Apakah nilai hujah (titik mana) yang dipanggil kritikal? Bagaimana untuk mencari mata ini?

6. Apakah tanda-tanda yang mencukupi tentang kewujudan ekstrem bagi sesuatu fungsi? Gariskan skema untuk mengkaji fungsi pada ekstrem menggunakan terbitan pertama.

7. Gariskan skema untuk mengkaji fungsi pada ekstrem menggunakan terbitan kedua.

8. Mentakrifkan kecembungan dan lekuk lengkung.

9. Apakah yang dipanggil titik fleksi bagi graf fungsi? Nyatakan kaedah untuk mencari titik ini.

10. Merumus yang perlu dan tanda-tanda yang mencukupi cembung dan lekuk lengkung pada segmen tertentu.

11. Takrifkan asimtot bagi suatu lengkung. Bagaimana untuk mencari asimtot menegak, mendatar dan serong bagi graf fungsi?

12. Gariskan skema umum untuk mengkaji fungsi dan membina grafnya.

13. Merumuskan peraturan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada selang tertentu.

Dalam artikel ini saya akan bercakap tentang algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi, mata minimum dan maksimum.

Dari teori ia pasti akan berguna kepada kita jadual terbitan Dan peraturan pembezaan. Semuanya ada di atas pinggan ini:

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil.

Lebih senang untuk saya jelaskan contoh khusus. Pertimbangkan:

Contoh: Cari nilai terbesar bagi fungsi y=x^5+20x^3–65x pada ruas [–4;0].

Langkah 1. Kami mengambil derivatif.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Langkah 2. Mencari titik ekstrem.

Titik melampau kita memanggil titik di mana fungsi mencapai nilai terbesar atau minimumnya.

Untuk mencari titik ekstrem, anda perlu menyamakan terbitan fungsi kepada sifar (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sekarang kita selesaikan persamaan biquadratik ini dan punca yang ditemui ialah titik ekstrem kita.

Saya menyelesaikan persamaan tersebut dengan menggantikan t = x^2, kemudian 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Mari kita kurangkan persamaan dengan 5, kita dapat: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Kami membuat perubahan terbalik x^2 = t:

X_(1 dan 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dan 4) = ±sqrt(-13) (kami tidak termasuk, tidak boleh ada nombor negatif, melainkan sudah tentu kita bercakap tentang nombor kompleks)

Jumlah: x_(1) = 1 dan x_(2) = -1 - ini adalah titik ekstrem kami.

Langkah 3. Tentukan nilai terbesar dan terkecil.

Kaedah penggantian.

Dalam keadaan itu, kami diberi segmen [b][–4;0]. Titik x=1 tidak termasuk dalam segmen ini. Jadi kami tidak mempertimbangkannya. Tetapi sebagai tambahan kepada titik x=-1, kita juga perlu mempertimbangkan sempadan kiri dan kanan segmen kita, iaitu titik -4 dan 0. Untuk melakukan ini, kita menggantikan ketiga-tiga titik ini ke dalam fungsi asal. Perhatikan bahawa yang asal adalah yang diberikan dalam keadaan (y=x^5+20x^3–65x), sesetengah orang mula menggantikannya ke dalam derivatif...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Ini bermakna nilai terbesar bagi fungsi ialah [b]44 dan ia dicapai pada titik [b]-1, yang dipanggil titik maksimum fungsi pada segmen [-4; 0].

Kami memutuskan dan menerima jawapan, kami hebat, anda boleh berehat. Tetapi berhenti! Tidakkah anda fikir bahawa mengira y(-4) entah bagaimana terlalu sukar? Dalam keadaan masa yang terhad, lebih baik menggunakan kaedah lain, saya memanggilnya ini:

Melalui selang ketekalan tanda.

Selang ini ditemui untuk terbitan fungsi, iaitu, untuk persamaan biquadratik kami.

Saya buat macam ni. Saya melukis segmen terarah. Saya meletakkan mata: -4, -1, 0, 1. Walaupun fakta bahawa 1 tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, ia masih perlu diperhatikan untuk menentukan dengan betul selang ketekalan tanda. Mari kita ambil beberapa nombor berkali-kali lebih besar daripada 1, katakan 100, dan secara mental menggantikannya ke dalam persamaan dwikuadrat kita 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Walaupun tanpa mengira apa-apa, ia menjadi jelas bahawa pada titik 100 fungsi mempunyai tanda tambah. Ini bermakna untuk selang dari 1 hingga 100 ia mempunyai tanda tambah. Apabila melalui 1 (kita pergi dari kanan ke kiri), fungsi akan menukar tanda kepada tolak. Apabila melalui titik 0, fungsi akan mengekalkan tandanya, kerana ini hanya sempadan segmen, dan bukan punca persamaan. Apabila melalui -1, fungsi itu akan menukar semula tanda kepada tambah.

Dari teori kita tahu bahawa di mana terbitan fungsi itu (dan kami menarik ini dengan tepat untuknya) menukar tanda daripada tambah kepada tolak (titik -1 dalam kes kami) fungsi mencapai maksimum tempatannya (y(-1)=44, seperti yang dikira sebelum ini) pada segmen ini (ini secara logiknya sangat difahami, fungsi itu berhenti meningkat kerana ia mencapai maksimum dan mula berkurangan).

Sehubungan itu, di mana terbitan fungsi perubahan tanda dari tolak kepada tambah, tercapai minimum tempatan sesuatu fungsi. Ya, ya, kami juga mendapati titik minimum tempatan ialah 1, dan y(1) ialah nilai minimum fungsi pada segmen, katakan dari -1 hingga +∞. Sila ambil perhatian bahawa ini hanyalah MINIMUM TEMPATAN, iaitu, minimum pada segmen tertentu. Oleh kerana minimum sebenar (global) fungsi akan sampai ke suatu tempat di sana, pada -∞.

Pada pendapat saya, kaedah pertama adalah lebih mudah secara teori, dan yang kedua adalah lebih mudah dari sudut pandangan operasi aritmetik, tetapi jauh lebih rumit dari sudut pandangan teori. Lagipun, kadang-kadang terdapat kes apabila fungsi tidak mengubah tanda apabila melalui punca persamaan, dan secara umum anda boleh keliru dengan maxima dan minima tempatan, global ini, walaupun anda perlu menguasai ini dengan baik jika anda merancang untuk memasuki universiti teknikal (dan untuk apa lagi mengambil profil Unified State Exam dan menyelesaikan tugas ini). Tetapi berlatih dan hanya berlatih akan mengajar anda untuk menyelesaikan masalah tersebut sekali dan untuk semua. Dan anda boleh berlatih di laman web kami. Di sini.

Jika anda mempunyai sebarang soalan atau sesuatu yang kurang jelas, pastikan anda bertanya. Saya dengan senang hati akan menjawab anda dan membuat perubahan dan penambahan pada artikel. Ingat kami membuat laman web ini bersama-sama!

Biarkan fungsi y =f(X) adalah berterusan pada selang [ a, b]. Seperti yang diketahui, fungsi sedemikian mencapai nilai maksimum dan minimum pada segmen ini. Fungsi ini boleh mengambil nilai ini sama ada pada titik dalaman segmen [ a, b], atau pada sempadan segmen.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen [ a, b] perlu:

1) cari titik genting bagi fungsi dalam selang ( a, b);

2) hitung nilai fungsi pada titik kritikal yang ditemui;

3) hitung nilai fungsi di hujung segmen, iaitu, apabila x=A dan x = b;

4) daripada semua nilai pengiraan fungsi, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Cari nilai terbesar dan terkecil bagi sesuatu fungsi

pada segmen.

Mencari titik kritikal:

Titik ini terletak di dalam segmen; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pada titik x= 3 dan pada titik x= 0.

Kajian fungsi untuk kecembungan dan titik infleksi.

Fungsi y = f (x) dipanggil cembung di antara (a, b) , jika grafnya terletak di bawah tangen yang dilukis pada mana-mana titik dalam selang ini, dan dipanggil cembung ke bawah (cekung), jika grafnya terletak di atas tangen.

Titik di mana kecembungan digantikan oleh kekosongan atau sebaliknya dipanggil titik infleksi.

Algoritma untuk memeriksa kecembungan dan titik infleksi:

1. Cari titik kritikal jenis kedua, iaitu titik di mana terbitan kedua adalah sama dengan sifar atau tidak wujud.

2. Plot titik kritikal pada garis nombor, bahagikannya kepada selang. Cari tanda terbitan kedua pada setiap selang; jika , maka fungsi itu cembung ke atas, jika, maka fungsi itu cembung ke bawah.

3. Jika, apabila melalui titik kritikal jenis kedua, tanda berubah dan pada ketika ini terbitan kedua adalah sama dengan sifar, maka titik ini adalah absis titik infleksi. Cari ordinatnya.

Asimtot graf fungsi. Kajian fungsi untuk asimtot.

Definisi. Asimtot bagi graf fungsi dipanggil lurus, yang mempunyai sifat bahawa jarak dari mana-mana titik pada graf ke garis ini cenderung kepada sifar apabila titik pada graf bergerak tanpa had dari asal.

Terdapat tiga jenis asimtot: menegak, mendatar dan condong.

Definisi. Garis lurus dipanggil asimtot menegak grafik fungsi y = f(x), jika sekurang-kurangnya satu daripada had satu sisi bagi fungsi pada ketika ini adalah sama dengan infiniti, iaitu

di manakah titik ketakselanjaran fungsi, iaitu, ia tidak tergolong dalam domain definisi.

Contoh.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – titik putus.

Definisi. Lurus y =A dipanggil asimtot mendatar grafik fungsi y = f(x) pada , jika

Contoh.

Definisi. Lurus y =kx +b (k≠ 0) dipanggil asimtot serong grafik fungsi y = f(x) di mana

Skema umum untuk mengkaji fungsi dan membina graf.

Algoritma Kajian Fungsiy = f(x) :

1. Cari domain bagi fungsi tersebut D (y).

2. Cari (jika boleh) titik persilangan graf dengan paksi koordinat (jika x= 0 dan pada y = 0).

3. Periksa kesamaan dan keganjilan fungsi ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ganjil).

4. Cari asimtot bagi graf fungsi itu.

5. Cari selang kemonotonan fungsi.

6. Cari ekstrem bagi fungsi itu.

7. Cari selang cembung (concavity) dan titik infleksi graf fungsi.

8. Berdasarkan kajian yang dijalankan, bina graf bagi fungsi tersebut.

Contoh. Terokai fungsi dan bina grafnya.

1) D (y) =

x= 4 – titik putus.

2) Bila x = 0,

(0; ‒ 5) – titik persilangan dengan oh.

Pada y = 0,

3) y(‒ x)= fungsi Pandangan umum(tidak genap mahupun ganjil).

4) Kami memeriksa untuk asimtot.

a) menegak

b) mendatar

c) cari asimtot serong di mana

‒persamaan asimtot serong

5) Dalam persamaan ini tidak perlu mencari selang kemonotonan fungsi.

6)

Titik kritikal ini membahagikan keseluruhan domain definisi fungsi kepada selang (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Adalah mudah untuk membentangkan keputusan yang diperoleh dalam bentuk jadual berikut.

Bagaimana untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen?

Untuk ini kami mengikuti algoritma yang terkenal:

1 . Mencari fungsi ODZ.

2 . Mencari terbitan bagi fungsi tersebut

3 . Menyamakan terbitan kepada sifar

4 . Kami mencari selang di mana derivatif mengekalkan tandanya, dan daripadanya kami menentukan selang peningkatan dan penurunan fungsi:

Jika pada selang I terbitan fungsi ialah 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} meningkat sepanjang selang ini.

Jika pada selang I terbitan bagi fungsi , maka fungsi itu berkurangan sepanjang selang ini.

5 . Kita dapati titik maksimum dan minimum fungsi.

DALAM pada titik maksimum fungsi, derivatif bertukar tanda daripada “+” kepada “-”.

DALAM titik minimum fungsitanda derivatif berubah daripada "-" kepada "+".

6 . Kami mencari nilai fungsi di hujung segmen,

• kemudian kita membandingkan nilai fungsi di hujung segmen dan pada titik maksimum, dan pilih yang terbesar jika anda perlu mencari nilai terbesar bagi fungsi tersebut
• atau bandingkan nilai fungsi pada hujung segmen dan pada titik minimum, dan pilih yang terkecil jika anda perlu mencari nilai terkecil bagi fungsi tersebut

Walau bagaimanapun, bergantung pada cara fungsi berfungsi pada segmen, algoritma ini boleh dikurangkan dengan ketara.

Pertimbangkan fungsinya . Graf fungsi ini kelihatan seperti ini:

Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian masalah daripada Buka bank tugasan untuk

1 . Tugas B15 (No. 26695)

Pada segmen.

1. Fungsi ditakrifkan untuk semua nilai sebenar x

Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, dan derivatifnya adalah positif untuk semua nilai x. Akibatnya, fungsi bertambah dan mengambil nilai terbesar di hujung kanan selang, iaitu, pada x=0.

Jawapan: 5.

2 . Tugas B15 (No. 26702)

Cari nilai terbesar bagi fungsi tersebut pada segmen.

1. Fungsi ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivatif adalah sama dengan sifar pada , bagaimanapun, pada titik ini ia tidak mengubah tanda:

Oleh itu, tajuk="3/(cos^2(x)))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} meningkat dan mengambil nilai terbesar di hujung kanan selang, pada .

Untuk menjelaskan mengapa derivatif tidak menukar tanda, kami mengubah ungkapan untuk derivatif seperti berikut:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Jawapan: 5.

3. Tugas B15 (No. 26708)

Cari nilai terkecil bagi fungsi pada segmen.

1. Fungsi ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Mari letakkan punca-punca persamaan ini pada bulatan trigonometri.

Selang mengandungi dua nombor: dan

Mari letak papan tanda. Untuk melakukan ini, kita tentukan tanda terbitan pada titik x=0: . Apabila melalui titik dan, tanda perubahan terbitan.

Mari kita gambarkan perubahan tanda terbitan fungsi pada garis koordinat:

Jelas sekali, titik itu ialah titik minimum (di mana derivatif bertukar tanda daripada "-" kepada "+"), dan untuk mencari nilai terkecil fungsi pada segmen, anda perlu membandingkan nilai fungsi pada titik minimum dan di hujung kiri segmen, .