Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının belirlenmesi. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı: tanımı, bulma örnekleri

Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı kavramı, çizginin ve düzlemin herhangi bir göreceli konumu için tanıtılabilir.

Düz çizgi l düzleme dik ise, o zaman l ile arasındaki açının 90'a eşit olduğu kabul edilir.

Düz çizgi l düzleme paralelse veya bu düzlemde yer alıyorsa, l ile arasındaki açının sıfıra eşit olduğu kabul edilir.

Düz çizgi l düzleme eğimliyse, o zaman l ile bu arasındaki açı "düz çizgi l ile onun düzlem üzerindeki izdüşümü p arasındaki açıdır (Şekil 39).

Pirinç. 39. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı

Öyleyse, bu önemsiz olmayan durumun tanımını hatırlayalım: Eğer düz bir çizgi eğimliyse, o zaman düz çizgi ile düzlem arasındaki açı, bu düz çizgi arasındaki açıdır.

Ve belirli bir düzleme izdüşümüdür.

7.1 Problem çözme örnekleri

Artan zorluk derecesine göre düzenlenmiş üç göreve bakalım. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına ilişkin üçüncü görev düzeyi C2.

Problem 1. Düzgün bir dörtyüzlüde, yan kenar ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Problem 2. ABCA1 B1 C1 düzgün üçgen prizmasında yan kenar tabanın kenarına eşittir. AA1 doğrusu ile ABC1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. Düz çizgi birbirine paralel kaydırılırsa düz çizgi ile düzlem arasındaki açı değişmeyecektir. CC1, AA1'e paralel olduğundan gerekli açı, CC1 düz çizgisi ile ABC1 düzlemi arasındaki açıdır (Şekil 41).

B1"

Pirinç. 41. Görev 2'ye

AB'nin orta noktası M olsun. CC1 M üçgeninde CH yüksekliğini çizelim. CH'nin ABC1 düzlemine dik olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için, bu düzlemin CH'ye dik iki kesişen çizgisini sunmanız gerekir.

İlk düz çizgi açıktır - C1 M. Gerçekten CH ? Yapı itibariyle C1 M.

İkinci satır AB'dir. Aslında, eğimli CH'nin ABC düzlemine izdüşümü CM düz çizgisidir; AB iken? SANTİMETRE. Üç dik teoreminden AB ? CH.

Peki CH? ABC1. Dolayısıyla CC1 ile ABC1 arasındaki açı " = \CC1 H'dir. CH'nin değerini bağıntıdan buluruz.

C1 M CH = CC1 CM

(bu oranın her iki tarafı CC1 M üçgeninin alanının iki katına eşittir). Sahibiz:

CM = a 2 3;

Açıyı bulmaya devam ediyor ":

Cevap: arcsin 3 7 .

günah " = CH =3 : CC1 7

Problem 3. ABCDA1 B1 C1 D1 küpünün A1 B1 kenarında, A1 K: KB1 = 3: 1 olacak şekilde bir K noktası alınıyor. AK düz çizgisi ile BC1 D1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. Çizimi yaptıktan sonra (Şekil 42, sol), ek yapılara ihtiyaç olduğunu anlıyoruz.

Öncelikle AB çizgisinin BC1 D1 düzleminde olduğuna dikkat edin (AB k C1 D1 olduğundan). İkinci olarak B1 M'yi AK'ye paralel çizelim (Şekil 42, sağ). Ayrıca B1 C çizelim ve B1 C ile BC1'in kesişim noktası N olsun.

B1 C düz çizgisinin BC1 D1 düzlemine dik olduğunu gösterelim. Aslında:

1) B 1 C ? BC1 (bir karenin köşegenleri gibi);

2) B1C ? AB, üç dik teoremi ile (sonuçta AB, eğimli B1 C'nin ABC düzlemine izdüşümünün BC düz çizgisine diktir).

Böylece, B1 C, BC1 D1 düzleminin kesişen iki çizgisine diktir; dolayısıyla B1 C ? BC1 D1. Bu nedenle MB düz çizgisinin izdüşümü

günah " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

Makale, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının tanımıyla başlıyor. Bu makale size koordinat yöntemini kullanarak düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı nasıl bulacağınızı gösterecek. Örnekler ve sorunların çözümleri detaylı olarak ele alınacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Öncelikle uzayda düz çizgi kavramını ve düzlem kavramını tekrarlamak gerekir. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı belirlemek için çeşitli yardımcı tanımlar gereklidir. Bu tanımlara ayrıntılı olarak bakalım.

Tanım 1

Bir doğru ile bir düzlem kesişir ortak bir noktaya sahip olmaları durumunda, yani bu, bir düz çizgi ile bir düzlemin kesişme noktasıdır.

Bir düzlemi kesen bir doğru, düzleme dik olabilir.

Tanım 2

Düz bir çizgi bir düzleme diktir bu düzlemde bulunan herhangi bir çizgiye dik olduğunda.

Tanım 3

M noktasının bir düzleme izdüşümüγ, belirli bir düzlemde bulunuyorsa noktanın kendisidir veya γ düzlemine ait olmaması koşuluyla, M noktasından geçen γ düzlemine dik bir çizgiyle düzlemin kesişme noktasıdır.

Tanım 4

A çizgisinin bir düzleme izdüşümüγ, belirli bir doğrunun tüm noktalarının düzlem üzerindeki izdüşümü kümesidir.

Bundan, γ düzlemine dik bir düz çizginin izdüşümünün bir kesişme noktasına sahip olduğunu elde ederiz. A doğrusu izdüşümünün γ düzlemine ait olan ve a doğrusu ile düzlemin kesişme noktasından geçen bir doğru olduğunu buluyoruz. Aşağıdaki şekle bakalım.

Açık şu an Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açının tanımını formüle etmek için gerekli tüm bilgi ve verilere sahibiz

Tanım 5

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı bu düz çizgi ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açıya denir ve düz çizgi ona dik değildir.

Yukarıda verilen açı tanımı, bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının, kesişen iki çizgi arasındaki açı, yani belirli bir çizginin düzlem üzerindeki izdüşümüyle birlikte olduğu sonucuna varmaya yardımcı olur. Bu, aralarındaki açının her zaman dar olacağı anlamına gelir. Aşağıdaki resme bir göz atalım.

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasında bulunan açının dik, yani 90 dereceye eşit olduğu kabul edilir, ancak paralel düz çizgiler arasında bulunan açı tanımlanmamıştır. Değerinin sıfıra eşit alındığı durumlar vardır.

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının bulunmasının gerekli olduğu problemlerin çözümünde birçok değişiklik vardır. Çözümün seyri, duruma ilişkin mevcut verilere bağlıdır. Çözümün sık sık eşlik edenleri, rakamların, kosinüslerin, sinüslerin, açıların teğetlerinin benzerliği veya eşitliğinin işaretleridir. Açıyı bulmak koordinat yöntemini kullanarak mümkündür. Gelin buna daha detaylı bakalım.

Üç boyutlu uzaya dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z eklenirse, o zaman içinde γ düzlemini M noktasında kesen ve düzleme dik olmayan bir düz çizgi a belirtilir. Belirli bir düz çizgi ile düzlem arasında bulunan α açısını bulmak gerekir.

Öncelikle koordinat yöntemini kullanarak düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açının tanımını uygulamanız gerekir. Daha sonra aşağıdakileri elde ederiz.

O x y z koordinat sisteminde, uzaydaki düz çizginin denklemlerine ve γ düzlemi için uzaydaki düz çizginin yönlendirici vektörüne karşılık gelen bir düz çizgi a belirtilir; burada düzlemin ve normalin denklemi karşılık gelir; uçağın vektörü. O halde a → = (a x , a y , a z) verilen a çizgisinin yön vektörüdür ve n → (n x , n y , n z) γ düzleminin normal vektörüdür. A çizgisinin yönlendirici vektörünün ve γ düzleminin normal vektörünün koordinatlarına sahip olduğumuzu hayal edersek, denklemleri bilinir, yani koşulla belirtilirler, o zaman a vektörlerini belirlemek mümkündür → ve n → denkleme göre.

Açıyı hesaplamak için, düz çizginin yönlendirici vektörünün ve normal vektörün mevcut koordinatlarını kullanarak bu açının değerini elde edecek formülü dönüştürmek gerekir.

a → ve n → vektörlerini, a düz çizgisinin γ düzlemiyle kesişme noktasından başlayarak çizmek gerekir. Bu vektörlerin verilen doğru ve düzlemlere göre konumu için 4 seçenek vardır. 4 varyasyonun tamamını gösteren aşağıdaki resme bakın.

Buradan, a → ve n → vektörleri arasındaki açının a → , n → ^ olarak belirlendiğini ve dar olduğunu elde ederiz, ardından düz çizgi ile düzlem arasında bulunan istenen α açısı tamamlanır, yani bir ifade elde ederiz. a → , n → ^ = 90 ° - α formundadır. Koşul olarak a →, n → ^ > 90 ° olduğunda, o zaman a →, n → ^ = 90 ° + α'ya sahip oluruz.

Buradan kosinüsleri elde ederiz eşit açılar eşitse son eşitlikler bir sistem şeklinde yazılır

çünkü a → , n → ^ = çünkü 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

İfadeleri basitleştirmek için indirgeme formüllerini kullanmalısınız. Daha sonra şu formdaki eşitlikleri elde ederiz: cos a → , n → ^ = sin α, a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

Dönüşümler gerçekleştirildikten sonra sistem sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ formunu alır.< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = çünkü a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - çünkü a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Bundan, düz çizgi ile düzlem arasındaki açının sinüsünün, düz çizginin yönlendirici vektörü ile verilen düzlemin normal vektörü arasındaki açının kosinüsünün modülüne eşit olduğunu elde ederiz.

İki vektörün oluşturduğu açının bulunması bölümünde bu açının vektörlerin skaler çarpımı ile bu uzunlukların çarpımı değerini aldığı ortaya çıktı. Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişmesiyle elde edilen açının sinüsünü hesaplama işlemi formüle göre gerçekleştirilir.

sin α = çünkü a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Bu, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı, düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları ve dönüşümden sonra düzlemin normal vektörü ile hesaplamak için formülün şu şekilde olduğu anlamına gelir:

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Bilinen bir sinüs için kosinüsü bulmak, temel trigonometrik özdeşliğin uygulanmasıyla mümkündür. Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişimi dar bir açı oluşturur. Bu, değerinin artacağını gösteriyor pozitif sayı ve hesaplaması cos α = 1 - sin α formülünden yapılır.

Malzemeyi pekiştirmek için birkaç benzer örneği çözelim.

örnek 1

x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 düz çizgisinin ve 2 x + z - 1 = 0 düzleminin oluşturduğu açının açısını, sinüsünü, kosinüsünü bulun.

Çözüm

Yön vektörünün koordinatlarını elde etmek için uzaydaki düz bir çizginin kanonik denklemlerini dikkate almak gerekir. O zaman a → = (3, - 2, 6)'nın x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 düz çizgisinin yön vektörü olduğunu elde ederiz.

Normal vektörün koordinatlarını bulmak için şunu dikkate almak gerekir: genel denklem uçakların varlığı önlerindeki katsayılar tarafından belirlendiğinden denklemin değişkenleri. Daha sonra 2 x + z - 1 = 0 düzlemi için normal vektörün n → = (2, 0, 1) biçiminde olduğunu buluruz.

Düz çizgi ile düzlem arasındaki açının sinüsünü hesaplamaya devam etmek gerekir. Bunu yapmak için a → ve b → vektörlerinin koordinatlarını verilen formülde değiştirmek gerekir. Formun bir ifadesini alıyoruz

sin α = çünkü a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Buradan kosinüsün değerini ve açının değerini buluyoruz. Şunu elde ederiz:

çünkü α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Cevap: sin α = 12 7 5, çünkü α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

Örnek 2

A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 vektörlerinin değerleri kullanılarak oluşturulmuş bir piramit vardır. A D düz çizgisi ile A B C düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

İstenilen açıyı hesaplamak için düz çizginin yönlendirici vektörünün ve düzlemin normal vektörünün koordinatlarına sahip olmak gerekir. A D düz çizgisi için yön vektörünün koordinatları AD → = 4, 1, 1'dir.

A B C düzlemine ait normal vektör n → A B → ve A C → vektörüne diktir. Bu, A B C düzleminin normal vektörünün, A B → ve A C → vektörlerinin vektör çarpımı olarak kabul edilebileceği anlamına gelir. Bunu formülü kullanarak hesaplıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

n → = A B → × A C → = ben → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · ben → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

Düz bir çizgi ile düzlemin kesişmesiyle oluşan istenilen açıyı hesaplamak için vektörlerin koordinatlarını değiştirmek gerekir. formun bir ifadesini elde ederiz:

α = a r c sin AD → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

Cevap: a r c sin 23 21 2 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Düz çizgi l ile düzlem 6 arasındaki açı a, belirli bir düz çizgi l ile düz çizgi üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen belirli bir düzleme dik olan n arasındaki ek açı p aracılığıyla belirlenebilir (Şekil 144). P açısı istenen a açısını 90°'ye kadar tamamlar. Düz çizgi l tarafından oluşturulan açının düzlem seviyesini ve dik ve düz çizgi etrafında döndürerek P açısının gerçek değerini belirledikten sonra, onu tamamlamaya devam eder. dik açı. Bu ek açı, l düz çizgisi ile 0 düzlemi arasındaki a açısının gerçek değerini verecektir.

27.İki düzlem arasındaki açının belirlenmesi.

Gerçek değer Dihedral açı- iki Q ve l düzlemi arasında. - dihedral açının kenarını çıkıntılı bir çizgiye dönüştürmek için izdüşüm düzleminin değiştirilmesiyle (problem 1 ve 2) veya kenar belirtilmemişse, iki dik n1 ve n2 arasındaki açı olarak belirlenebilir. Bu düzlemler, uzayın B düzleminin keyfi bir M noktasından, M noktasındaki bu diklerin düzlemi, q ve l düzlemleri tarafından oluşturulan iki bitişik açının (dihedral) doğrusal açılarına sırasıyla eşit olan iki düzlem açısı a ve P elde ederiz. Seviyenin düz çizgisi etrafında dönerek n1 ve n2 dikleri arasındaki açıların gerçek değerini belirledikten sonra, q ve l düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısını belirleyeceğiz.

Kıvrımlı çizgiler. Eğri çizgilerin özel noktaları.

Karmaşık bir eğri çiziminde, bükülme noktaları, geri dönüş, kırılma noktaları ve düğüm noktalarını içeren özel noktaları aynı zamanda izdüşümünde de özel noktalardır. Bu durum eğrilerin tekil noktalarının bu noktalardaki teğetlere bağlanmasıyla açıklanmaktadır.

Eğrinin düzlemi çıkıntılı bir pozisyonda bulunuyorsa (Şek. A), o zaman bu eğrinin bir izdüşümü düz bir çizgi şeklindedir.

Uzaysal bir eğri için tüm projeksiyonları eğri çizgilerdir (Şekil 1). B).

Hangi eğrinin verildiğini (düzlemsel veya uzaysal) çizimden belirlemek için eğrinin tüm noktalarının aynı düzleme ait olup olmadığını bulmak gerekir. Şekil 2'de belirtilmiştir. B eğri uzaysaldır, çünkü nokta D eğri diğer üç nokta tarafından tanımlanan düzleme ait değildir A, B Ve e bu eğri.

Daire - dik izdüşümü bir daire ve bir elips olabilen ikinci dereceden bir düzlem eğrisi

Silindirik bir sarmal çizgi (sarmal), sarmal bir hareket gerçekleştiren bir noktanın yörüngesini temsil eden uzamsal bir eğridir.

29.Düz ve uzaysal eğri çizgiler.

28. soruya bakın

30. Karmaşık yüzey çizimi. Temel hükümler.

Yüzey, uzayda hareket eden çizgilerin sıralı konumları kümesidir. Bu çizgi düz veya kavisli olabilir ve denir nesil yüzeyler. Generatrix bir eğri ise sabit veya değişken bir görünüme sahip olabilir. Generatrix birlikte hareket ediyor rehberler, jeneratörlerden farklı yöndeki hatları temsil eder. Kılavuz çizgileri jeneratörlerin hareket yasasını belirler. Generatrix'i kılavuzlar boyunca hareket ettirirken, çerçeve jeneriklerin ve kılavuzların birbirini takip eden birkaç konumundan oluşan bir dizi yüzey (Şekil 84). Çerçeveyi inceleyerek jeneratörlerin ben ve rehberler T değiştirilebilir ancak yüzey aynı kalır.

Herhangi bir yüzey çeşitli şekillerde elde edilebilir.

Generatrix'in şekline bağlı olarak tüm yüzeyler bölünebilir hükmetti,üretken bir düz çizgiye sahip olan ve yönetilmeyen, oluşturan kavisli bir çizgiye sahiptir.

Geliştirilebilir yüzeyler, tüm çokyüzlü, silindirik, konik ve gövde yüzeylerinin yüzeylerini içerir. Diğer tüm yüzeyler geliştirilemez. Kuralsız yüzeyler, sabit bir şekle sahip bir generatrise (dönüş yüzeyleri ve boru şeklindeki yüzeyler) ve değişken bir şekle (kanal ve çerçeve yüzeyleri) sahip olabilir.

Karmaşık bir çizimdeki bir yüzey, determinantının geometrik kısmının izdüşümleri ile belirlenir ve bu, üreteçlerinin yapım yöntemini gösterir. Bir yüzeyin çiziminde, uzaydaki herhangi bir noktanın belirli bir yüzeye ait olup olmadığı sorusu açık bir şekilde çözülür. Yüzey belirleyicinin elemanlarının grafiksel olarak belirtilmesi, çizimin tersine çevrilebilirliğini sağlar, ancak görselleştirmez. Netlik sağlamak için, oldukça yoğun bir genel çerçeve çerçevesinin projeksiyonlarını oluşturmaya ve yüzeyin ana hatlarını oluşturmaya başvuruyorlar (Şekil 86). Q yüzeyi projeksiyon düzlemine yansıtıldığında, çıkıntı yapan ışınlar bu yüzeye üzerinde belirli bir çizgi oluşturan noktalarda temas eder. ben, buna denir kontur astar. Kontur çizgisinin izdüşümüne denir makale yüzeyler. Karmaşık bir çizimde herhangi bir yüzey şunları içerir: P 1 - yatay taslak, P 2'de - ön taslak, P 3'te - yüzeyin profil taslağı. Çizim, kontur çizgisinin çıkıntılarına ek olarak kesim çizgilerinin çıkıntılarını da içerir.

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının tanımı eğik izdüşüm kavramına dayanmaktadır. Tanım. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı, bu düz çizgi ile onun belirli bir düzleme izdüşümü arasındaki açıdır.

İncirde. Şekil 341, eğimli AM ile bunun K düzlemine izdüşümü arasındaki a açısını gösterir.

Not. Düz bir çizgi bir düzleme paralelse veya içinde yer alıyorsa, düzlemle açısının sıfıra eşit olduğu kabul edilir. Eğer düzleme dik ise, o zaman açının doğru olduğu bildirilir (önceki tanım burada tam anlamıyla uygulanamaz!). Diğer durumlarda, düz çizgi ile onun izdüşümü arasında dar bir açı ima edilir. Bu nedenle düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı hiçbir zaman dik açıyı aşmaz. Ayrıca burada açıdan değil açının ölçüsünden bahsetmenin daha doğru olduğunu da belirtelim (aslında, Hakkında konuşuyoruz düz bir çizginin bir düzleme eğim derecesi hakkında; iki ışınla sınırlanan düz bir şekil olarak açı kavramının burada doğrudan bir ilişkisi yoktur).

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki dar açının bir özelliğini daha doğrulayalım.

Belirli bir düz çizginin ve bir düzlemdeki olası tüm düz çizgilerin oluşturduğu tüm açılar arasında, belirli bir düz çizginin izdüşümüyle olan açı en küçüğüdür.

Kanıt. Şekil 2'ye dönelim. 342. A belirli bir çizgi olsun, bunun düzlem üzerindeki izdüşümü K düzleminde rastgele başka bir çizgi olsun (kolaylık sağlamak için onu a çizgisinin düzlemle kesiştiği A noktasından çizdik). Bunu düz bir parça üzerine koyalım, yani eğimli MA'nın tabanına eşit, burada eğimli a'nın noktalarından birinin izdüşümüdür.

O zaman üçgenlerde iki taraf eşittir: AM tarafı ortaktır, yapı olarak eşittirler. Ancak üçgenin üçüncü kenarı üçgenin üçüncü kenarından daha büyüktür (eğik kenar dik kenardan daha büyüktür). Bu, karşıt açı b'nin karşılık gelen a b açısından daha büyük olduğu anlamına gelir (bkz. paragraf 217): , bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açı, belirli bir doğru ile düzlemdeki olası tüm doğrular arasındaki açıların en küçüğüdür.

Adil falan

Teorem. Keskin köşe Bir düzlemde uzanan düz bir çizgi ile eğimli bir çizginin bu düzleme izdüşümü arasındaki açı, bu düz çizgi ile eğimli olan arasındaki açıdan daha küçüktür.

Kanıt. Düzlemde uzanan düz bir çizgi olsun (Şekil 342), a düzleme eğimli olsun, t düzlem üzerine izdüşümü olsun. Düz çizginin düzleme eğimli olduğunu düşüneceğiz, sonra bu çizginin belirtilen düzleme izdüşümü olacak ve önceki özelliği kullanarak şunu bulacağız: kanıtlamamız gereken şey buydu. Üç dik teoremine göre, bir düzlemdeki düz bir çizginin eğik çıkıntıya dik olması durumunda (durum dar değil dik açıdır), düz çizginin aynı zamanda düzleme de dik olduğu açıktır. eğik olan; bu durumda bahsettiğimiz her iki açı da dik açıdır ve dolayısıyla birbirine eşittir.

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının tanımını tekrarlayalım.

Tanım. Düz bir çizgi ile bu düz çizgiyi kesen ve ona dik olmayan bir düzlem arasındaki açı, düz bir çizgi ile onun bir düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açıdır.

Bu düzlemi kesen ve ona dik olmayan bir γ düzlemi ve bir a doğrusu verilsin.

A düz çizgisi ile γ düzlemi arasındaki açıyı oluşturalım:

1. A düz çizgisi üzerinde bizim için uygun olan herhangi bir noktadan, γ düzlemine dik bir nokta indiririz;
2. Eğimli ve dik tabanların noktalarından düz bir çizgi çiziyoruz b. b çizgisi, a çizgisinin γ düzlemine izdüşümüdür;
3. A ve b düz çizgileri arasındaki dar açı, a düz çizgisi ile γ düzlemi arasındaki açıdır, yani. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , burada ∠(a;b) a ve b çizgileri arasındaki açıdır; ∠(a;γ) - a düz çizgisi ile γ düzlemi arasındaki açı.

Koordinat yöntemini kullanarak problemleri çözmek için aşağıdakileri hatırlamamız gerekir:

3. Yön vektörünün ( a 1 ; b 1 ; c 1 ) ve normal vektörünün koordinatları biliniyorsa
(a; b; c), o zaman a düz çizgisi ile γ düzlemi arasındaki açı, şimdi türeteceğimiz formül kullanılarak hesaplanır.

Düz çizgiler arasındaki açıyı bulma formülünü biliyoruz:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a; b), o zaman cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
(1) ve (2)'den => ; (3)
m ve n vektörleri arasındaki açı nerede; (4)
(4)'ü (3)'ün yerine koyarız, vb. ∠(a;b)= ∠(a;γ), o zaman şunu elde ederiz:

4. Normal vektörün koordinatları bilinmiyorsa düzlemin denklemini bilmemiz gerekir.

Dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düzlem denklemle verilebilir.

balta + by + cz + d = 0,

burada a, b, c katsayılarından en az biri sıfırdan farklıdır. Bu katsayılar normal vektörün koordinatları olacaktır; (a; b; c).

Koordinat yöntemini kullanarak düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulma problemlerini çözmek için algoritma:

1. Düz bir çizgiyi ve düzlemi işaretlediğimiz bir çizim yapıyoruz;
2. Dikdörtgen bir koordinat sistemi sunuyoruz;
3. Yön vektörünün koordinatlarını başlangıç ​​ve bitiş koordinatlarından buluyoruz;
4. Düzlemin normal vektörünün koordinatlarını bulun;
5. Elde edilen verileri düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının sinüsü formülüne koyarız;
6. Açının değerini bulun.

Sorunu ele alalım:
1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünde AC 1 çizgisi ile BDD 1 düzlemi arasındaki açının tanjantını bulun..
Çözüm:

1. Orijini D noktasında olan dikdörtgen bir koordinat sistemini tanıtalım.
2. AC 1 yön vektörünün koordinatlarını bulun. Bunu yapmak için önce A ve C 1 noktalarının koordinatlarını belirleyin:
A(0; 1; 0);
C1(1; 0; 1).
{1; -1; 1}.
3. BB 1 D 1 düzlemine normal vektörün koordinatlarını bulun. Bunu yapmak için, düzlemin aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktasının koordinatlarını buluyoruz ve bir düzlem denklemi çiziyoruz:
D(0; 0; 0);
D1(0;0;1);
B(1; 1; 0);
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D 1: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.

Denklemde yerine koyalım: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:bir
x-y = 0.
Böylece BDD 1 düzlemine normal vektör koordinatlara sahiptir:
{1;-1; 0}.
4. AC 1 düz çizgisi ile BDD 1 düzlemi arasındaki sinüsü bulun:

5. Ana olanı kullanalım trigonometrik özdeşlik ve AC 1 düz çizgisi ile BDD 1 düzlemi arasındaki açının kosinüsünü bulun:

6. AC 1 düz çizgisi ile BDD 1 düzlemi arasındaki açının tanjantını bulun:

Cevap: .

2. Tüm kenarları 1'e eşit olan normal dörtgen SABCD piramidinde BD çizgisi ile SBC düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun.

Çözüm:

1. Orijini B noktasında olan dikdörtgen bir koordinat sistemini tanıtalım.
2. BD yön vektörünün koordinatlarını bulun. Bunu yapmak için önce B ve D noktalarının koordinatlarını belirleyin:

3. Normal vektörün SBC düzlemine koordinatlarını bulun. Bunu yapmak için düzlemin aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktasının koordinatlarını bulup SBC düzleminin denklemini oluşturuyoruz:

S noktasının koordinatlarını nasıl buldunuz?

S noktasından ABC taban düzlemine bir dikme indiriliyor. Kesişme noktası O olarak belirlendi. O noktası, S noktasının ABC düzlemine izdüşümüdür. X ve y koordinatları S noktasının ilk iki koordinatı olacaktır.

Piramidin yüksekliğini bulduktan sonra S noktasının üçüncü koordinatını (z ekseni boyunca) bulduk.

SOB üçgeni dikdörtgendir, dolayısıyla Pisagor teoremine göre:

Düzlem denklemi ax+by+cz+d=0'dır. Noktaların koordinatlarını bu denklemde yerine koyalım:

Üç denklemden oluşan bir sistem elde ettik:

Denklemde yerine koyalım:

Dolayısıyla SBD düzleminin normal vektörü aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

.
4. BD düz çizgisi ile SBD düzlemi arasındaki sinüsü bulun.