Düz viraj. Düzlemsel enine eğilme Kirişler için iç kuvvet faktörlerinin diyagramlarının oluşturulması Denklemler kullanılarak Q ve M diyagramlarının oluşturulması Karakteristik kesitler (noktalar) kullanılarak Q ve M diyagramlarının oluşturulması düz viraj kirişler Bükülme sırasındaki temel gerilmeler. Kirişlerin mukavemetinin tam kontrolü. Bükülme merkezi kavramı. Bükme sırasında kirişlerdeki yer değiştirmelerin belirlenmesi. Kiriş deformasyonu kavramları ve sertlik koşulları Diferansiyel denklem bir kirişin kavisli ekseni Doğrudan entegrasyon yöntemi Doğrudan entegrasyon yöntemiyle kirişlerdeki yer değiştirmeleri belirleme örnekleri Entegrasyon sabitlerinin fiziksel anlamı Başlangıç ​​parametreleri yöntemi (bir kirişin kavisli ekseninin evrensel denklemi). Başlangıç ​​parametreleri yöntemini kullanarak bir kirişteki yer değiştirmeleri belirleme örnekleri. Mohr yöntemini kullanarak yer değiştirmeleri belirleme. Kural A.K. Vereşçagin. A.K. kuralına göre Mohr integralinin hesaplanması. Vereshchagina Mohr integrali kullanılarak yer değiştirmelerin belirlenmesine ilişkin örnekler Kaynakça Doğrudan bükülme. Düz enine viraj. 1.1. Kirişler için iç kuvvet faktörlerinin diyagramlarının oluşturulması Doğrudan bükülme, çubuğun kesitlerinde iki iç kuvvet faktörünün ortaya çıktığı bir deformasyon türüdür: bir bükülme momenti ve bir enine kuvvet. Özel bir durumda kesme kuvveti sıfır olabilir, bu durumda bükülme saf olarak adlandırılır. Düz enine bükülmede, tüm kuvvetler çubuğun ana atalet düzlemlerinden birinde ve uzunlamasına eksenine dik olarak yerleştirilir ve momentler aynı düzlemde bulunur (Şekil 1.1, a, b). Pirinç. 1.1 Bir kirişin isteğe bağlı bir kesitindeki enine kuvvet sayısal olarak eşittir cebirsel toplam Söz konusu bölümün bir tarafına etki eden tüm dış kuvvetlerin kiriş eksenine normal üzerindeki projeksiyonları. Kesitteki kesme kuvveti m-n kirişler(Şekil 1.2, a), bölümün solundaki dış kuvvetlerin sonucu yukarıya, sağa - aşağıya ve negatif - ters durumda yönlendirilirse pozitif kabul edilir (Şekil 1.2, b). Pirinç. 1.2 Belirli bir kesitteki kesme kuvvetinin hesaplanması, dış kuvvetler kirişler (Şekil 1.3, a), bölümün solundaki dış kuvvetlerin bileşke momenti saat yönünde ve sağa - saat yönünün tersine ve negatif - ters durumda yönlendirilirse pozitif kabul edilir (Şekil 1.3, b). Pirinç. 1.3 Belirli bir bölümde bükülme momenti hesaplanırken, bölümün solunda bulunan dış kuvvetlerin momentleri, saat yönünde yönlendirilmeleri halinde pozitif kabul edilir. Kirişin sağ tarafı için - tam tersi. Kirişin deformasyonunun doğası gereği bükülme momentinin işaretini belirlemek uygundur. Eğilme momenti, söz konusu bölümde kirişin kesilen kısmı dışbükey olarak aşağıya doğru bükülürse, yani alt lifler gerilirse pozitif kabul edilir. Tersi durumda kesitteki eğilme momenti negatiftir. Eğilme momenti M, kesme kuvveti Q ve yük yoğunluğu q arasında diferansiyel ilişkiler vardır. 1. Kesitin apsisi boyunca kesme kuvvetinin birinci türevi, yayılı yükün yoğunluğuna eşittir; M ve Q diyagramlarının analizine dayanarak kirişin tehlikeli bölümleri belirlenir. Q diyagramının pozitif koordinatları yukarı doğru, negatif koordinatları ise kirişin uzunlamasına eksenine paralel çizilen taban çizgisinden itibaren uzanır. M diyagramının pozitif koordinatları, negatif koordinatları yukarı doğru, yani M diyagramı gerilmiş liflerin yanından oluşturulmuştur. Kirişler için Q ve M diyagramlarının oluşturulması mesnet reaksiyonlarının belirlenmesiyle başlamalıdır. Bir ucu kelepçeli, diğer ucu serbest olan bir kiriş için Q ve M diyagramlarının yapımına, gömmedeki reaksiyonlar belirlenmeden serbest uçtan başlanabilir. 1.2. Kiriş denklemlerini kullanan Q ve M diyagramlarının oluşturulması, bükülme momenti ve kesme kuvveti fonksiyonlarının sabit kaldığı (süreksizliklerin olmadığı) bölümlere ayrılmıştır. Bölümlerin sınırları, konsantre kuvvetlerin uygulama noktaları, kuvvet çiftleri ve dağıtılmış yükün yoğunluğunun değişim yerleridir. Her bölümde, koordinatların başlangıç ​​noktasından x kadar uzaklıkta rastgele bir bölüm alınır ve bu bölüm için Q ve M denklemleri oluşturulur. Bu denklemler kullanılarak Q ve M diyagramları oluşturulur. Örnek 1.1 Enine diyagramlar oluşturulur. Belirli bir kiriş için Q kuvvetleri ve M eğilme momentleri (Şekil 1.4,a). Çözüm: 1. Destek reaksiyonlarının belirlenmesi. Denge denklemleri oluşturuyoruz: buradan elde ediyoruz Desteklerin reaksiyonları doğru şekilde belirleniyor. Kirişin dört bölümü vardır. 1,4 yükleme: CA, AD, DB, BE. 2. Diyagramın oluşturulması Q. Bölüm CA. CA 1 kesitinde kirişin sol ucundan x1 uzaklıkta rastgele bir 1-1 kesiti çiziyoruz. Q'yu, 1-1 bölümünün soluna etki eden tüm dış kuvvetlerin cebirsel toplamı olarak tanımlarız: Bölümün soluna etki eden kuvvet aşağıya doğru yönlendirildiği için eksi işareti alınır. Q'nun ifadesi x1 değişkenine bağlı değildir. Bu bölümdeki Q diyagramı apsis eksenine paralel düz bir çizgi olarak gösterilecektir. Bölüm AD. Kesit üzerinde kirişin sol ucundan x2 uzaklıkta keyfi bir kesit 2-2 çiziyoruz. Q2'yi, kesit 2-2'nin soluna etkiyen tüm dış kuvvetlerin cebirsel toplamı olarak tanımlarız: 8 Q'nun değeri kesitte sabittir (x2 değişkenine bağlı değildir). Kesitteki Q grafiği apsis eksenine paralel düz bir çizgidir. DB'yi çizin. Sahada kirişin sağ ucundan x3 mesafede keyfi bir bölüm 3-3 çiziyoruz. Q3'ü, bölüm 3-3'ün sağına etki eden tüm dış kuvvetlerin cebirsel toplamı olarak tanımlıyoruz: Ortaya çıkan ifade, eğimli bir doğrunun denklemidir. Bölüm BE. Sahada kirişin sağ ucundan x4 uzaklıkta 4-4 kesiti çiziyoruz. Q'yu, bölüm 4-4'ün sağına etki eden tüm dış kuvvetlerin cebirsel toplamı olarak tanımlarız: 4 Burada artı işareti alınır çünkü bölüm 4-4'ün sağındaki bileşke yük aşağıya doğru yönlendirilir. Elde edilen değerlere dayanarak Q diyagramlarını oluşturuyoruz (Şekil 1.4, b). 3. Diyagram M'nin oluşturulması. Bölüm m1. Bölüm 1-1'deki eğilme momentini, bölüm 1-1'in soluna etkiyen kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı olarak tanımlıyoruz. Bölümün solunda bulunanlar yukarıya doğru yönlendirilirse artı işaretiyle, aşağıya doğru yönlendirilirse eksi işaretiyle alınır. Kirişin sağ tarafı için - tam tersi. yoğunluğu doğrusal bir yasaya göre değişir (Şekil 1.5, a). Çözüm Destek reaksiyonlarının belirlenmesi. Dağıtılmış yükün sonucu, yükün diyagramı olan ve bu üçgenin ağırlık merkezine uygulanan üçgenin alanına eşittir. A ve B noktalarına göre tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamını derliyoruz: Q diyagramını oluşturma. Sol destekten x mesafesinde rastgele bir kesit çizelim. Bölüme karşılık gelen yük diyagramının ordinatı üçgenlerin benzerliğinden belirlenir. Yükün bölümün solunda bulunan kısmının bileşkesi, kesitteki enine kuvvete göre değişir. Enine kuvvet denklemini sıfıra eşitlersek, Q diyagramının sıfırdan geçtiği bölümün apsisini buluruz: Q diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.5,b. Herhangi bir bölümdeki bükülme momenti eşittir: Bükülme momenti kübik parabol yasasına göre değişir: Bükülme momenti, 0'ın olduğu bölümde, yani Şekil 2'de Diyagram M'de maksimum değere sahiptir. 1.5, c. 1.3. Karakteristik bölümlerden (noktalardan) Q ve M diyagramlarının oluşturulması M, Q, q arasındaki diferansiyel bağımlılıkları ve bunlardan kaynaklanan sonuçları kullanarak, karakteristik bölümlerden (denklemler oluşturmadan) Q ve M diyagramlarının oluşturulması tavsiye edilir. Bu yöntem kullanılarak karakteristik bölümlerde Q ve M değerleri hesaplanır. Karakteristik bölümler, bölümlerin sınır bölümlerinin yanı sıra belirli bir iç kuvvet faktörünün aşırı bir değere sahip olduğu bölümlerdir. Karakteristik bölümler arasındaki sınırlar dahilinde, diyagramın ana hatları (12), M, Q, q arasındaki diferansiyel bağımlılıklar ve bunlardan kaynaklanan sonuçlar temelinde oluşturulur. Örnek 1.3 Şekil 2'de gösterilen kiriş için Q ve M diyagramlarını oluşturun. 1.6, a. Pirinç. 1.6. Çözüm: Gömmedeki reaksiyonların belirlenmesine gerek kalmadan Q ve M diyagramlarını kirişin serbest ucundan oluşturmaya başlıyoruz. Kirişin üç yükleme bölümü vardır: AB, BC, CD. AB ve BC kesitlerinde yayılı yük yoktur. Kesme kuvvetleri sabittir. Q diyagramı x eksenine paralel düz çizgilerle sınırlıdır. Eğilme momentleri doğrusal olarak değişir. Diyagram M apsis eksenine eğimli düz çizgilerle sınırlandırılmıştır. CD bölümünde düzgün dağılmış bir yük vardır. Enine kuvvetler doğrusal bir yasaya göre değişir ve bükülme momentleri, dağıtılmış yük yönünde dışbükey bir kare parabol yasasına göre değişir. AB ve BC bölümlerinin sınırında enine kuvvet aniden değişiyor. BC ve CD kesitlerinin sınırında eğilme momenti aniden değişiyor. 1. Q diyagramının oluşturulması. Bölümlerin sınır bölümlerinde Q enine kuvvetlerinin değerlerini hesaplıyoruz: Hesaplama sonuçlarına dayanarak kiriş için Q diyagramını oluşturuyoruz (Şekil 1, b). Q diyagramından, CD kesiti üzerindeki enine kuvvetin, bu kesitin başlangıcından qa a q kadar uzakta bulunan kesitte sıfıra eşit olduğu anlaşılmaktadır. Bu bölümde eğilme momenti maksimum değere sahiptir. 2. M diyagramının oluşturulması. Bölümlerin sınır bölümlerinde bükülme momentlerinin değerlerini hesaplıyoruz: Bölümdeki maksimum momentte Hesaplama sonuçlarına dayanarak M diyagramını oluşturuyoruz (Şekil 5.6, c). Örnek 1.4 Bir kiriş için (Şekil 1.7, b) belirli bir bükülme momentleri diyagramını (Şekil 1.7, a) kullanarak, belirleyin 5 Bir kirişin rastgele bir kesitindeki bükülme momenti, söz konusu bölümün bir tarafına etki eden tüm dış kuvvetlerin bölümünün z merkezi ekseni etrafındaki momentlerin cebirsel toplamına sayısal olarak eşittir. Bükülme anı ve bir Q diyagramı oluşturun. Daire, kare bir parabolün tepe noktasını gösterir. Çözüm: Kirişe etki eden yükleri bulalım. AC bölümü düzgün dağılmış bir yük ile yüklenmiştir, çünkü bu bölümdeki M diyagramı kare bir paraboldür. B referans bölümünde, saat yönünde hareket eden kirişe yoğunlaştırılmış bir moment uygulanır, çünkü M diyagramında momentin büyüklüğüne göre yukarı doğru bir sıçrama vardır. NE bölümünde, bu bölümdeki M diyagramı eğimli bir düz çizgi ile sınırlandığından kiriş yüklenmez. B desteğinin tepkisi, C bölümündeki bükülme momentinin sıfıra eşit olması durumundan belirlenir; yani dağıtılan yükün yoğunluğunu belirlemek için, A bölümündeki bükülme momenti için momentlerin toplamı olarak bir ifade oluştururuz. Sağdaki kuvvetleri sıfıra eşitleyelim. Şimdi A desteğinin tepkisini belirliyoruz. Bunun için kesitteki eğilme momentleri için soldaki kuvvetlerin momentlerinin toplamı şeklinde bir ifade oluşturalım. Şekil 2'de bir yük gösterilmektedir. 1.7, c. Kirişin sol ucundan başlayarak bölümlerin sınır bölümlerindeki enine kuvvetlerin değerlerini hesaplıyoruz: Diyagram Q, Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.7, d. Ele alınan problem, her bölümde M, Q için fonksiyonel bağımlılıklar oluşturularak çözülebilir. Kirişin sol ucundaki koordinatların kökenini seçelim. AC bölümünde, M diyagramı, denklemi şu şekilde olan kare bir parabol ile ifade edilir: a, b, c sabitleri, parabolün koordinatları bilinen üç noktadan geçmesi koşulundan bulunur: Noktaların koordinatlarının değiştirilmesi Parabol denkleminde şunu elde ederiz: Eğilme momentinin ifadesi şöyle olacaktır: M1 fonksiyonunun türevini alarak, enine kuvvetin bağımlılığını elde ederiz. Q fonksiyonunun türevini aldıktan sonra, dağıtılan yükün yoğunluğu için bir ifade elde ederiz. NE bölümünde eğilme momentinin ifadesi doğrusal bir fonksiyon şeklinde sunulmaktadır. a ve b sabitlerini belirlemek için bu düz çizginin koordinatları bilinen iki noktadan geçmesi koşullarını kullanırız. iki denklem elde ederiz: ,b'den 20'ye sahibiz. NE bölümündeki bükülme momenti denklemi şöyle olacaktır: M2'nin çift farklılaşmasından sonra bulacağız M ve Q'nun bulunan değerlerini kullanarak, diyagramlarını oluşturuyoruz. Kiriş için eğilme momentleri ve kesme kuvvetleri. Yayılı yüke ek olarak, Q diyagramında sıçramaların olduğu ve M diyagramında sıçramanın olduğu bölümde yoğunlaşmış momentlerin olduğu üç bölümde kirişe yoğunlaşmış kuvvetler uygulanmaktadır. Örnek 1.5 Bir kiriş için (Şekil 1.8, a), açıklıktaki en büyük bükülme momentinin gömmedeki bükülme momentine (mutlak değer olarak) eşit olduğu C menteşesinin rasyonel konumunu belirleyin. Q ve M diyagramlarını oluşturun. Destek reaksiyonlarının çözümü. Rağmen kesit m-n destek bağlantıları dörde eşittir, kiriş statik olarak belirlidir. C menteşesindeki bükülme momenti sıfıra eşittir, bu da ek bir denklem oluşturmamıza olanak tanır: bu menteşenin bir tarafına etki eden tüm dış kuvvetlerin menteşeye göre momentlerinin toplamı sıfıra eşittir. C menteşesinin sağındaki tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamını derleyelim. q = sabit olduğundan kirişin Q diyagramı eğimli bir düz çizgi ile sınırlıdır. Kirişin sınır bölümlerindeki enine kuvvetlerin değerlerini belirliyoruz: Q = 0 olan bölümün apsis xK'si, kiriş için M diyagramının bir kare parabol ile sınırlandığı denklemden belirlenir. Q = 0 olan kesitlerdeki ve gömmedeki eğilme momentleri için ifadeler sırasıyla şu şekilde yazılır: Momentlerin eşitliği koşulundan elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemİstenilen x parametresine göre: Gerçek değer x2x 1.029 m. Kirişin karakteristik kesitlerindeki enine kuvvetlerin ve eğilme momentlerinin sayısal değerlerini belirliyoruz. Şekil 1.8, b'de Q diyagramı gösterilmektedir. . 1.8, c – M diyagramı. Ele alınan problem, mafsallı kirişin Şekil 1'de gösterildiği gibi kendisini oluşturan elemanlara bölünmesiyle çözülebilir. 1.8, d. Başlangıçta VC ve VB desteklerinin tepkileri belirlenir. Q ve M diyagramları, kendisine uygulanan yükün hareketinden SV asılı kirişi için oluşturulmuştur. Daha sonra AC ana kirişine doğru hareket ederek, CB kirişinin AC kirişi üzerindeki basınç kuvveti olan ek bir VC kuvveti yüklerler. Daha sonra AC kirişi için Q ve M diyagramları oluşturulur. 1.4. Kirişlerin doğrudan bükülmesi için mukavemet hesaplamaları Normal ve kesme gerilmelerine dayalı mukavemet hesaplamaları. Bir kiriş doğrudan kesitinde büküldüğünde normal ve teğetsel gerilmeler ortaya çıkar (Şekil 1.9). yuvarlak bölümçap d: (1,8) Dairesel bölüm için   – iç ve sırasıyla dış çaplar yüzükler. Plastik malzemelerden yapılmış kirişler için en rasyonel olanı simetrik 20 bölümlü şekillerdir (I-kiriş, kutu şeklinde, halka şeklinde). Gerilme ve sıkıştırmaya eşit derecede direnç göstermeyen kırılgan malzemelerden yapılmış kirişler için, nötr z eksenine göre asimetrik olan bölümler (T-kiriş, U-şekilli, asimetrik I-kiriş) rasyoneldir. Simetrik kesit şekillerine sahip plastik malzemelerden yapılmış sabit kesitli kirişler için mukavemet koşulu aşağıdaki şekilde yazılır: (1.10) burada Mmax, modüldeki maksimum eğilme momentidir; – malzeme için izin verilen gerilim. Asimetrik kesit şekillerine sahip plastik malzemelerden yapılmış sabit kesitli kirişler için mukavemet koşulu aşağıdaki formda yazılır: (1.11) Nötr eksene göre asimetrik kesitli kırılgan malzemelerden yapılmış kirişler için, eğer M şeması nettir (Şekil 1.12), iki güç koşulu yazmanız gerekir - tarafsız eksenden sırasıyla tehlikeli bölümün gerilmiş ve sıkıştırılmış bölgelerinin en uzak noktalarına olan mesafeler; P – sırasıyla çekme ve basma için izin verilen gerilmeler. Şekil 1.12. 17) burada Szo,тmсax yarım kesitin tarafsız eksene göre statik momentidir; d – I-kirişin duvar kalınlığı. Tipik olarak bir kirişin kesit boyutları normal gerilmeler altındaki mukavemet durumuna göre belirlenir. Desteklerin yakınında büyük büyüklükte konsantre kuvvetler varsa, kısa kirişler ve herhangi bir uzunluktaki kirişlerin yanı sıra ahşap, perçinlenmiş ve kaynaklı kirişler için kirişlerin mukavemetinin teğetsel gerilimlerle kontrol edilmesi zorunludur. Örnek 1.6 MPa ise normal ve kayma gerilimlerini kullanarak kutu kesitli bir kirişin mukavemetini kontrol edin (Şekil 1.14). Kirişin tehlikeli bölümünde diyagramlar oluşturun. Pirinç. 1.14 Çözüm 23 1. Karakteristik kesitleri kullanarak Q ve M diyagramlarının oluşturulması. Kirişin sol tarafını göz önünde bulundurarak şunu elde ederiz: Enine kuvvetlerin diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.14, yak. Eğilme momentlerinin diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 5.14, g. 2. Kesitin geometrik özellikleri 3. Mmax'ın etki ettiği C bölümündeki en yüksek normal gerilmeler (modülo): MPa. Kirişteki maksimum normal gerilmeler izin verilenlere neredeyse eşittir. 4. Maksimum Q'nun etki ettiği (modülo) C (veya A) bölümündeki en yüksek teğetsel gerilmeler: Burada yarım kesit alanının tarafsız eksene göre statik momenti verilmiştir; b2 cm – tarafsız eksen seviyesinde kesit genişliği. 5. C kesitindeki bir noktada (duvarda) teğetsel gerilmeler: Şek. 1.15 Burada Szomc 834.5 108 cm3 K1 noktasından geçen çizginin üzerinde yer alan kesitin alanının statik momentidir; b2 cm – K1 noktası seviyesinde duvar kalınlığı. Kirişin C bölümü için  ve  diyagramları Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.15. Örnek 1.7 Şekil 2'de gösterilen kiriş için. 1.16, a, gerekli: 1. Karakteristik kesitler (noktalar) boyunca enine kuvvetlerin ve eğilme momentlerinin diyagramlarını oluşturun. 2. Normal gerilmeler altında mukavemet durumundan daire, dikdörtgen ve I-kiriş şeklindeki kesitin boyutlarını belirleyin, kesit alanlarını karşılaştırın. 3. Teğetsel gerilime göre kiriş kesitlerinin seçilen boyutlarını kontrol edin. Verilen: Çözüm: 1. Kiriş desteklerinin tepkilerini belirleyin. Kontrol edin: 2. Q ve M diyagramlarının oluşturulması. Kirişin karakteristik bölümlerindeki enine kuvvetlerin değerleri 25 Şekil. 1.16 CA ve AD bölümlerinde yük yoğunluğu q = sabit. Sonuç olarak, bu alanlarda Q diyagramı eksene eğimli düz çizgilerle sınırlıdır. DB bölümünde, dağıtılan yükün yoğunluğu q = 0'dır, dolayısıyla bu bölümde Q diyagramı x eksenine paralel bir düz çizgi ile sınırlıdır. Kirişin Q diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.16, b. Kirişin karakteristik kesitlerindeki eğilme momentlerinin değerleri: İkinci bölümde Q = 0 olan bölümün apsis x2'sini belirliyoruz: İkinci bölümdeki maksimum moment Şekil 2'de kiriş için M diyagramı gösterilmektedir. 1.16, yak. 2. Dairesel kesitli bir kirişin gerekli çapı d tarafından belirlenen ifadeden kesitin gerekli eksenel direnç momentini belirlediğimiz normal gerilimlere dayalı bir mukavemet koşulu yaratıyoruz. Dikdörtgen kesitli bir kiriş için gerekli kesit yüksekliği. I-kirişin gerekli sayısını belirleyin. GOST 8239-89 tablolarını kullanarak en yakın olanı buluyoruz daha yüksek değer eksenel direnç momenti 597 cm3, bu da aşağıdaki özelliklere sahip 33 numaralı I-kirişe karşılık gelir: A z 9840 cm4. Tolerans kontrolü: (izin verilen %5'in %1'i oranında düşük yük) en yakın 30 numaralı I-kiriş (W 2 cm3) ciddi aşırı yüke (%5'ten fazla) yol açar. Sonunda 33 numaralı I-kirişini kabul ediyoruz. Yuvarlak ve dikdörtgen kesitlerin alanlarını I-kirişin en küçük A alanıyla karşılaştırıyoruz: Ele alınan üç bölümden en ekonomik olanı I-kiriş bölümüdür. 3. I-kirişin 27 numaralı tehlikeli bölümündeki en yüksek normal gerilimleri hesaplıyoruz (Şekil 1.17, a): I-kiriş bölümünün flanşının yakınındaki duvardaki normal gerilimler Tehlikeli bölümdeki normal gerilimlerin diyagramı ışın Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.17, b. 5. Kirişin seçilen bölümleri için en yüksek kesme gerilmelerini belirleyin. A) dikdörtgen bölüm kirişler: b) kirişin yuvarlak kesiti: c) I-kiriş kesiti: Tehlikeli bölümdeki I-kirişin flanşının yakınındaki duvardaki teğetsel gerilmeler A (sağ) (2 noktasında): Tehlikeli bölgedeki teğetsel gerilmelerin diyagramı I-kirişin bölümleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.17, yak. Kirişteki maksimum teğetsel gerilmeler izin verilen gerilmeleri aşmıyor Örnek 1.8 Kirişte izin verilen yükü belirleyin (Şekil 1.18, a), eğer 60 MPa ise kesit boyutları verilir (Şekil 1.19, a). İzin verilen bir yük altında bir kirişin tehlikeli bir bölümündeki normal gerilmelerin bir diyagramını oluşturun.

Şekil 1.18 1. Kiriş mesnetlerinin reaksiyonlarının belirlenmesi. Sistemin simetrisi nedeniyle 2. Karakteristik kesitler kullanılarak Q ve M diyagramlarının oluşturulması. Bir kirişin karakteristik kesitlerindeki enine kuvvetler: Bir kiriş için Q diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 5.18, b. Kirişin karakteristik bölümlerindeki bükülme momentleri Kirişin ikinci yarısı için M koordinatları simetri eksenleri boyuncadır. Kirişin M diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.18, b. 3. Kesitin geometrik özellikleri (Şekil 1.19). Şekli iki basit öğeye ayırıyoruz: I-kiriş - 1 ve dikdörtgen - 2. Şek. 1.19 20 numaralı I-kiriş çeşidine göre, bir dikdörtgen için: z1 eksenine göre kesit alanının statik momenti z1 ekseninden kesitin ağırlık merkezine olan uzaklık Kesitin göreceli atalet momenti Paralel eksenlere geçiş formüllerine göre tüm bölümün ana merkezi ekseni z'ye 4. Tehlikeli bölüm I'deki (Şekil 1.18) tehlikeli nokta “a” (Şekil 1.19) için normal gerilimler için mukavemet koşulu: Değiştirildikten sonra sayısal veriler 5. Tehlikeli bir bölümde izin verilen bir yükle, "a" ve "b" noktalarındaki normal gerilmeler eşit olacaktır: Tehlikeli bölüm 1-1 için normal gerilmelerin şeması Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.19, b.

Bükülmekçubuğun ekseninin ve tüm liflerinin, yani çubuğun eksenine paralel uzunlamasına çizgilerin dış kuvvetlerin etkisi altında büküldüğü deformasyon olarak adlandırılır. En basit bükülme durumu, dış kuvvetlerin çubuğun merkezi ekseninden geçen bir düzlemde yer alması ve bu eksen üzerinde çıkıntı oluşturmaması durumunda meydana gelir. Bu tür bükülmeye enine bükülme denir. Düz virajlar ve eğik virajlar vardır.

Düz viraj- Çubuğun kavisli ekseninin, dış kuvvetlerin etkidiği aynı düzlemde yer aldığı böyle bir durum.

Eğik (karmaşık) viraj - Çubuğun bükülme ekseninin dış kuvvetlerin etki düzleminde yer almaması durumunda bükülme durumu.

y0x koordinat sistemine sahip bir kesitteki kirişlerin düz enine bükülmesi sırasında iki iç kuvvet ortaya çıkabilir - enine kuvvet Q y ve bükülme momenti M x; aşağıda onlar için notasyonu tanıtacağız Q Ve M. Bir kirişin bir bölümünde veya kesitinde enine kuvvet yoksa (Q = 0) ve bükülme momenti sıfır değilse veya M sabitse, bu tür bir bükülme genellikle denir. temiz.

Yanal kuvvet kirişin herhangi bir bölümündeki, çizilen bölümün bir tarafında (her ikisinde de) bulunan tüm kuvvetlerin (destek reaksiyonları dahil) ekseni üzerindeki izdüşümlerinin cebirsel toplamına sayısal olarak eşittir.

Bükülme anı bir kiriş bölümündeki, bu bölümün ağırlık merkezine göre, daha kesin olarak eksene göre çizilmiş bölümün bir tarafında (herhangi bir) bulunan tüm kuvvetlerin (destek reaksiyonları dahil) momentlerinin cebirsel toplamına sayısal olarak eşittir çizilen kesitin ağırlık merkezinden çizim düzlemine dik olarak geçen.

Q'yu zorla temsil etmek sonuç iç kesit boyunca dağıtılmış kayma gerilimi, A an M– anların toplamı X bölümünün iç merkezi ekseni etrafında normal stres.

İç kuvvetler arasında diferansiyel bir ilişki vardır.

Q ve M diyagramlarının oluşturulmasında ve kontrol edilmesinde kullanılır.

Kirişin liflerinden bazıları gerildiğinden ve bazıları sıkıştırıldığından ve gerilimden sıkıştırmaya geçiş atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde gerçekleştiğinden, kirişin orta kısmında lifleri yalnızca bükülen ancak ikisini de deneyimlemeyen bir katman vardır. gerginlik veya sıkıştırma. Bu katmana denir nötr katman. Nötr tabakanın kirişin kesitiyle kesiştiği çizgiye denir nötr çizgi bu veya tarafsız eksen bölümler. Kirişin eksenine nötr çizgiler dizilir.

Kirişin eksene dik yan yüzeyine çizilen çizgiler bükülme sırasında düz kalır. Bu deneysel veriler, formüllerin sonuçlarının düzlem kesitler hipotezine dayandırılmasını mümkün kılar. Bu hipoteze göre kirişin kesitleri bükülmeden önce düz ve eksenine dik iken, büküldüğünde düz kalır ve kirişin eğri eksenine dik olur. Kirişin kesiti bükme sırasında bozulur. Enine deformasyon nedeniyle kirişin sıkıştırılmış bölgesindeki kesit boyutları artar ve çekme bölgesinde sıkıştırılır.

Formüllerin türetilmesi için varsayımlar. Normal voltajlar

1) Düzlem kesitler hipotezi yerine getirildi.

2) Boyuna lifler birbirine baskı yapmaz ve bu nedenle normal gerilimlerin etkisi altında doğrusal gerilim veya sıkıştırma çalışır.

3) Liflerin deformasyonları kesit genişliği boyunca konumlarına bağlı değildir. Sonuç olarak kesitin yüksekliği boyunca değişen normal gerilmeler genişlik boyunca aynı kalır.

4) Kirişin en az bir simetri düzlemi vardır ve tüm dış kuvvetler bu düzlemde bulunur.

5) Kirişin malzemesi Hooke kanununa uygundur ve çekme ve basmadaki esneklik modülü aynıdır.

6) Kirişin boyutları arasındaki ilişkiler, kirişin aşağıdaki koşullar altında çalışacak şekilde olmasıdır. düz viraj bükülme veya kıvrılma yok.

Bir kirişin saf bükülmesi durumunda, yalnızca normal stres aşağıdaki formülle belirlenir:

burada y, nötr çizgiden (ana merkezi eksen x) ölçülen rastgele bir kesit noktasının koordinatıdır.

Kesitin yüksekliği boyunca normal eğilme gerilmeleri dağıtılır doğrusal yasa. En dıştaki liflerde normal gerilimler maksimum değerlerine ulaşır ve bölümün ağırlık merkezinde sıfıra eşittir.

Nötr çizgiye göre simetrik bölümler için normal gerilim diyagramlarının doğası

Nötr çizgiye göre simetriye sahip olmayan bölümler için normal gerilim diyagramlarının doğası

Tehlikeli noktalar tarafsız çizgiye en uzak noktalardır.

Hadi bir bölüm seçelim

Kesitin herhangi bir noktası için buna nokta diyelim İLE normal gerilmeler için kiriş mukavemet koşulu şu şekildedir:

, nerede yok - Bu tarafsız eksen

Bu eksenel bölüm modülü tarafsız eksene göre. Boyutu cm3, m3'tür. Direnç momenti, kesitin şeklinin ve boyutunun gerilimin büyüklüğü üzerindeki etkisini karakterize eder.

Normal stres gücü durumu:

Normal gerilim, maksimum bükülme momentinin, kesitin nötr eksene göre eksenel direnç momentine oranına eşittir.

Malzeme çekme ve sıkıştırmaya eşit derecede direnç göstermiyorsa iki mukavemet koşulu kullanılmalıdır: izin verilen çekme gerilimine sahip çekme bölgesi için; izin verilen basınç gerilimine sahip bir sıkıştırma bölgesi için.

Enine bükme sırasında, kesitindeki platformlardaki kirişler, normal, Bu yüzden teğetler Gerilim.

Bükülme, kirişin boyuna ekseninin büküldüğü bir deformasyon türüdür. Bükülebilen düz kirişlere kiriş denir. Doğrudan bükülme, kirişe etki eden dış kuvvetlerin, kirişin uzunlamasına ekseninden ve kesitin ana merkezi atalet ekseninden geçen bir düzlemde (kuvvet düzlemi) yer aldığı bir bükülmedir.

Bükülmeye saf denir kirişin herhangi bir kesitinde yalnızca bir bükülme momenti meydana gelirse.

Bir kirişin kesitinde bükülme momentinin ve enine kuvvetin aynı anda etki ettiği bükülmeye enine denir. Kuvvet düzlemi ile kesit düzleminin kesişim çizgisine kuvvet çizgisi denir.

Kirişin bükülmesi sırasındaki iç kuvvet faktörleri.

Düzlemsel enine eğilme sırasında kiriş kesitlerinde iki iç kuvvet faktörü ortaya çıkar: enine kuvvet Q ve eğilme momenti M. Bunları belirlemek için kesit yöntemi kullanılır (bkz. Ders 1). Kiriş kesitindeki enine kuvvet Q, söz konusu kesitin bir tarafına etki eden tüm dış kuvvetlerin kesit düzlemi üzerindeki izdüşümlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Kesme kuvvetleri için işaret kuralı Q:

Bir kiriş kesitindeki bükülme momenti M, söz konusu kesitin bir tarafına etki eden tüm dış kuvvetlerin bu kesitin ağırlık merkezine göre momentlerinin cebirsel toplamına eşittir.

M eğilme momentleri için işaret kuralı:

Zhuravsky'nin diferansiyel bağımlılıkları.

Dağıtılmış yükün yoğunluğu q, enine kuvvet Q ifadeleri ve eğilme momenti M arasında farklı ilişkiler kurulmuştur:

Bu bağımlılıklara dayanarak aşağıdakiler ayırt edilebilir: genel desenler enine kuvvetlerin (Q) ve bükülme momentlerinin (M) diyagramları:

Bükülme sırasındaki iç kuvvet faktörlerinin diyagramlarının özellikleri.

1. Kirişin dağıtılmış yükün olmadığı bölümünde Q diyagramı sunulmuştur. düz çizgi , diyagramın tabanına paralel ve M diyagramı - eğimli düz bir çizgidir (Şekil a).

2. Yoğunlaştırılmış kuvvetin uygulandığı bölümde Q diyagramda olmalıdır sıçramak , bu kuvvetin değerine eşit ve M diyagramında - kırılma noktası (Şekil a).

3. Yoğunlaştırılmış momentin uygulandığı bölümde Q'nun değeri değişmez ve M diyagramı sıçramak , bu anın değerine eşittir (Şekil 26, b).

4. Dağıtılmış yük yoğunluğu q olan bir kirişin bir bölümünde, Q diyagramı doğrusal bir yasaya göre değişir ve M diyagramı parabolik bir yasaya göre değişir ve parabolün dışbükeyliği dağıtılmış yükün yönüne doğru yönlendirilir (Şekil c, d).

5. Karakteristik bir bölüm içinde Q diyagramı diyagramın tabanıyla kesişiyorsa, o zaman Q = 0 olan bölümde bükülme momenti M max veya M min uç değerine sahiptir (Şekil d).

Normal eğilme gerilmeleri.

Formülle belirlenir:

Bir bölümün bükülmeye karşı direnç momenti miktardır:

Tehlikeli kesit Bükme sırasında kirişin maksimum normal gerilmenin oluştuğu kesitine denir.

Düz bükme sırasındaki kayma gerilmeleri.

Tarafından belirlendi Zhuravsky'nin formülü düz kiriş bükülmesi sırasındaki kesme gerilmeleri için:

burada S ots, boyuna liflerin kesme katmanının enine alanının nötr çizgiye göre statik momentidir.

Eğilme mukavemetinin hesaplanması.

1. Şu tarihte: doğrulama hesaplaması Maksimum tasarım gerilimi belirlenir ve izin verilen gerilimle karşılaştırılır:

2. Şu tarihte: tasarım hesaplaması kiriş bölümünün seçimi şu koşula göre yapılır:

3. İzin verilen yükü belirlerken izin verilen bükülme momenti şu duruma göre belirlenir:

Bükülme hareketleri.

Bükme yükünün etkisi altında kirişin ekseni bükülür. Bu durumda kirişin dışbükey kısmında liflerin gerilmesi, içbükey kısmında ise sıkışma gözlenir. Ayrıca kesitlerin ağırlık merkezlerinin dikey bir hareketi ve tarafsız eksene göre dönmeleri vardır. Bükülme deformasyonunu karakterize etmek için şunu kullanın: aşağıdaki kavramlar:

Işın sapması Y- kirişin enine kesitinin ağırlık merkezinin eksenine dik yönde hareketi.

Ağırlık merkezi yukarı doğru hareket ederse sapma pozitif kabul edilir. Sapma miktarı kirişin uzunluğu boyunca değişir; y = y(z)

Bölüm dönüş açısı- her bölümün orijinal konumuna göre döndüğü θ açısı. Bölüm saat yönünün tersine döndürüldüğünde dönme açısı pozitif kabul edilir. Dönme açısının büyüklüğü kirişin uzunluğu boyunca değişir ve θ = θ(z)'nin bir fonksiyonudur.

Yer değiştirmeleri belirlemek için en yaygın yöntem, yöntemdir. mora Ve Vereshchagin'in kuralı.

Mohr'un yöntemi.

Mohr yöntemini kullanarak yer değiştirmeleri belirleme prosedürü:

1. Yer değiştirmenin belirlenmesi gereken noktada bir “yardımcı sistem” kurulur ve birim yük ile yüklenir. Doğrusal yer değiştirme belirlenirse yönünde birim kuvvet uygulanır; açısal yer değiştirmeler belirlendiğinde birim moment uygulanır.

2. Sistemin her bölümü için, uygulanan yükten M f ve birim yükten M 1 eğilme momentleri için ifadeler yazılmıştır.

3. Sistemin tüm bölümlerinde Mohr integralleri hesaplanır ve toplanır, böylece istenen yer değiştirme elde edilir:

4. Hesaplanan yer değiştirme ise olumlu işaret Bu, yönünün birim kuvvetin yönüyle çakıştığı anlamına gelir. Negatif işaret, gerçek yer değiştirmenin birim kuvvet yönünün tersi olduğunu gösterir.

Vereshchagin'in kuralı.

Belirli bir yükteki bükülme momentlerinin diyagramının keyfi bir taslağı olduğu ve birim yükten - doğrusal bir taslağı olduğu durumlarda, grafik-analitik yöntemi veya Vereshchagin kuralını kullanmak uygundur.

burada A f, belirli bir yükten M f bükülme momentinin diyagramının alanıdır; y c - M f diyagramının ağırlık merkezi altındaki birim yükten diyagramın koordinatı; EI x kiriş kesitinin kesit rijitliğidir. Bu formülü kullanan hesaplamalar, her birinde düz çizgi diyagramının kırılmaması gereken bölümler halinde yapılır. (A f *y c) değeri, her iki diyagram da kirişin aynı tarafında bulunuyorsa pozitif, yan yana bulunuyorlarsa negatif kabul edilir. farklı taraflar. Diyagramların çarpılmasının pozitif sonucu, hareket yönünün birim kuvvetin (veya momentin) yönüyle çakıştığı anlamına gelir. Karmaşık bir Mf diyagramı, her biri için ağırlık merkezinin ordinatını belirlemenin kolay olduğu basit şekillere bölünmelidir (“arsa tabakalaşması” denir). Bu durumda, her şeklin alanı ağırlık merkezinin altındaki koordinatla çarpılır.

Bükme sırasında kirişlerin (çubukların) deformasyonunun doğasını görselleştirmek için aşağıdaki deney gerçekleştirilir. Dikdörtgen kesitli bir kauçuk kirişin yan yüzlerine, kirişin eksenine paralel ve dik bir çizgi ızgarası uygulanır (Şekil 30.7, a). Daha sonra kirişe, kirişin simetri düzleminde hareket eden, her bir kesitinin ana merkezi atalet eksenlerinden biri boyunca kesişen uçlarında (Şekil 30.7, b) momentler uygulanır. Kirişin ekseninden ve her bir kesitinin ana merkezi atalet eksenlerinden birinden geçen düzleme ana düzlem adı verilecektir.

Momentlerin etkisi altında ışın düz, saf bir bükülme yaşar. Deformasyonun bir sonucu olarak, deneyimlerin gösterdiği gibi, kirişin eksenine paralel ızgara çizgileri, aralarında aynı mesafeleri koruyarak bükülür. Şekil 2'de belirtildiğinde. 30.7, b momentleri doğrultusunda bu çizgiler kirişin üst kısmında uzar, alt kısmında ise kısaltılır.

Kirişin eksenine dik olan her bir ızgara çizgisi, kirişin bazı kesitlerinin düzleminin bir izi olarak düşünülebilir. Bu çizgiler düz kaldığı için kirişin deformasyondan önce düz olan kesitlerinin deformasyon sırasında da düz kaldığı varsayılabilir.

Deneyime dayanan bu varsayım, düzlem kesitler hipotezi veya Bernoulli hipotezi olarak bilinir (bkz. § 6.1).

Düzlem kesitler hipotezi yalnızca saf eğilme için değil aynı zamanda enine eğilme için de geçerlidir. Enine bükülme için yaklaşıktır ve saf bükülme için katıdır; bu, elastiklik teorisi yöntemleri kullanılarak yürütülen teorik çalışmalarla doğrulanır.

Şimdi, kesiti dikey eksene göre simetrik olan, sağ ucunda gömülü ve sol ucunda kirişin ana düzlemlerinden birine etki eden bir dış momentle yüklenmiş düz bir kirişi ele alalım (Şekil 31.7). Bu kirişin her bir kesitinde sadece moment ile aynı düzlemde etki eden eğilme momentleri meydana gelir.

Böylece kiriş tüm uzunluğu boyunca düz ve saf bir bükülme durumundadır. Kirişin bireysel bölümleri, enine yüklere maruz kalsa bile saf bükülme durumunda olabilir; örneğin, Şekilde gösterilen kirişin 11. bölümü saf bükülmeye maruz kalır. 32.7; Bu bölümün kesitlerinde kesme kuvveti

Söz konusu kirişten (bkz. Şekil 31.7) bir uzunluk elemanı seçiyoruz. Deformasyon sonucunda, Bernoulli'nin hipotezinden de anlaşılabileceği gibi kesitler düz kalacak ancak birbirlerine göre belirli bir açıyla eğileceklerdir. Sol kesiti koşullu olarak durağan kabul edelim. Daha sonra sağ kısmın belli bir açıyla döndürülmesi sonucu pozisyonunu alacaktır (Şekil 33.7).

Düz çizgiler, şekilde gösterildiğinde söz konusu elemanın üst liflerinin eğrilik merkezi (veya daha doğrusu eğrilik ekseninin izi) olan belirli bir A noktasında kesişecektir. İncir. Moment yönünde 31.7 uzar, alttakiler kısalır. Anın etki düzlemine dik olan bazı ara katmanların lifleri uzunluklarını korur. Bu katmana nötr katman denir.

Nötr katmanın eğrilik yarıçapını, yani bu katmandan A eğriliğinin merkezine olan mesafeyi gösterelim (bkz. Şekil 33.7). Nötr katmandan y uzaklıkta bulunan belirli bir katmanı ele alalım. Bu tabakanın liflerinin mutlak uzaması eşittir ve bağıl uzaması

Benzer üçgenleri göz önünde bulundurarak şunu tespit ederiz: Bu nedenle,

Eğilme teorisinde kirişin boyuna liflerinin birbirine baskı yapmadığı varsayılmaktadır. Deneysel ve teorik çalışmalar bu varsayımın hesaplama sonuçlarını önemli ölçüde etkilemediğini göstermektedir.

Saf eğilme ile kirişin kesitlerinde kesme gerilmeleri oluşmaz. Bu nedenle, saf bükülmedeki tüm lifler, tek eksenli çekme veya sıkıştırma koşulları altındadır.

Hooke yasasına göre, tek eksenli çekme veya basma durumunda normal gerilme o ve buna karşılık gelen bağıl deformasyon bağımlılıkla ilişkilidir.

veya formül (11.7)'ye göre

Formül (12.7)'den, kirişin uzunlamasına liflerindeki normal gerilmelerin, nötr katmandan y mesafeleriyle doğru orantılı olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak, kirişin her bir noktasındaki kesitinde normal gerilmeler, bu noktadan nötr tabakanın kesit ile kesişme çizgisi olan nötr eksene olan y mesafesiyle orantılıdır (Şekil 1).

34.7, a). Kirişin ve yükün simetrisinden tarafsız eksenin yatay olduğu sonucu çıkar.

Tarafsız eksen noktalarında normal gerilmeler sıfırdır; tarafsız eksenin bir tarafında çekme, diğer tarafında ise basınç vardır.

Stres diyagramı o, nötr eksenden en uzak noktalar için en büyük mutlak stres değerlerine sahip, düz bir çizgiyle sınırlanan bir grafiktir (Şekil 34.7b).

Şimdi seçilen kiriş elemanının denge koşullarını ele alalım. Kirişin sol kısmının elemanın kesiti üzerindeki etkisini (bkz. Şekil 31.7) bir bükülme momenti şeklinde temsil edelim; saf bükülme ile bu bölümde kalan iç kuvvetler sıfıra eşittir. Kirişin sağ tarafının, elemanın kesiti üzerindeki hareketini, kesitin her bir temel alanına uygulanan temel kuvvetler şeklinde (Şekil 35.7) ve kirişin eksenine paralel olarak hayal edelim. ışın.

Bir element için altı denge koşulu oluşturalım

Burada sırasıyla elemana etki eden tüm kuvvetlerin eksenler üzerindeki projeksiyonlarının toplamları verilmiştir - eksenlere göre tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamı (Şekil 35.7).

Eksen kesitin tarafsız ekseniyle çakışmaktadır ve y ekseni ona diktir; bu eksenlerin her ikisi de kesit düzleminde bulunur

Bir temel kuvvet y ekseni üzerinde izdüşümler üretmez ve eksen etrafında bir moment oluşturmaz. Bu nedenle denge denklemleri o'nun herhangi bir değeri için sağlanır.

Denge denklemi şu şekildedir:

a'nın değerini formül (12.7)'ye göre denklem (13.7)'de yerine koyalım:

O zamandan beri (dikkate alındı) kavisli eleman bunun için kereste), o zaman

İntegral, kirişin nötr eksene göre kesitinin statik momentini temsil eder. Sıfıra eşit olması, tarafsız eksenin (yani eksenin) kesitin ağırlık merkezinden geçmesi anlamına gelir. Böylece kirişin tüm kesitlerinin ağırlık merkezi ve dolayısıyla ağırlık merkezlerinin geometrik konumu olan kirişin ekseni nötr tabakada yer alır. Bu nedenle, nötr tabakanın eğrilik yarıçapı, kirişin kavisli ekseninin eğrilik yarıçapıdır.

Şimdi nötr eksene göre kiriş elemanına uygulanan tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamı şeklinde denge denklemini oluşturalım:

Burada bir ilkokul anını temsil ediyoruz iç güç eksene göre.

Tarafsız eksenin üstünde - tarafsız eksenin altında bulunan kirişin kesit alanını gösterelim.

Daha sonra tarafsız eksenin üstünde, tarafsız eksenin altında uygulanan temel kuvvetlerin sonucunu temsil edecektir (Şekil 36.7).

Bu sonuçların her ikisi de mutlak değer olarak birbirine eşittir, çünkü (13.7) koşuluna dayalı cebirsel toplamları sıfıra eşittir. Bu bileşkeler kirişin kesitine etki eden bir iç kuvvet çifti oluşturur. Bu kuvvet çiftinin, birinin büyüklüğünün ve aralarındaki mesafenin çarpımına eşit olan momenti (Şekil 36.7), kirişin kesitindeki bir bükülme momentidir.

a'nın değerini formül (12.7)'ye göre denklem (15.7)'de yerine koyalım:

Burada eksenel atalet momenti, yani kesitin ağırlık merkezinden geçen eksen temsil edilmektedir. Buradan,

Formül (16.7)'deki değeri formül (12.7)'ye koyalım:

Formül (17.7) türetilirken, Şekil 1'de gösterildiği gibi harici bir torkun yönlendirildiği dikkate alınmamıştır. 31.7 kabul edilen işaret kuralına göre eğilme momenti negatiftir. Bunu dikkate alırsak (17.7) formülünün sağ tarafının önüne eksi işareti koymamız gerekir. Daha sonra, kirişin üst bölgesinde (yani, ) pozitif bir bükülme momenti ile, a'nın değerleri negatif olacaktır, bu da bu bölgede basınç gerilmelerinin varlığını gösterecektir. Ancak genellikle eksi işareti formül (17.7)'nin sağ tarafına yerleştirilmez ve bu formül yalnızca a gerilmelerinin mutlak değerlerini belirlemek için kullanılır. Bu nedenle, bükülme momentinin ve ordinat y'nin mutlak değerleri formül (17.7)'de değiştirilmelidir. Gerilmelerin işareti her zaman anın işaretiyle veya kirişin deformasyonunun doğasıyla kolayca belirlenir.

Şimdi denge denklemini kiriş elemanına y eksenine göre uygulanan tüm kuvvetlerin momentlerinin toplamı şeklinde oluşturalım:

Burada temel iç kuvvetin y eksenine göre momentini temsil eder (bkz. Şekil 35.7).

a'nın değerini formül (12.7)'ye göre ifadede (18.7) yerine koyalım:

Burada integral, kirişin kesitinin y ve eksene göre merkezkaç atalet momentini temsil eder. Buradan,

Ama o zamandan beri

Bilindiği gibi (bkz. § 7.5), bölümün merkezkaç atalet momenti, ana atalet eksenlerine göre sıfıra eşittir.

Söz konusu durumda, y ekseni kirişin enine kesitinin simetri eksenidir ve dolayısıyla y eksenleri de bu bölümün ana merkezi atalet eksenleridir. Dolayısıyla burada (19.7) koşulu sağlanmıştır.

Bükülmüş kirişin kesitinin herhangi bir simetri eksenine sahip olmadığı durumda, bükülme momentinin etki düzlemi kesitin ana merkezi atalet eksenlerinden birinden geçiyorsa veya paralelse koşul (19.7) karşılanır. bu eksene.

Eğilme momentinin etki düzlemi, kirişin enine kesitinin ana merkezi atalet eksenlerinin herhangi birinden geçmiyorsa ve ona paralel değilse, bu durumda (19.7) koşulu sağlanmaz ve dolayısıyla herhangi bir durum söz konusu değildir. doğrudan bükülme - kiriş eğik bükülme yaşar.

Söz konusu kiriş bölümünün keyfi bir noktasında normal gerilimi belirleyen formül (17.7), bükülme momentinin etki düzleminin bu bölümün ana atalet eksenlerinden birinden geçmesi veya ona paralel olması koşuluyla uygulanabilir. . Bu durumda, kesitin tarafsız ekseni, bükülme momentinin hareket düzlemine dik olan ana merkezi atalet eksenidir.

Formül (16.7), doğrudan saf bükülme sırasında kirişin kavisli ekseninin eğriliğinin, elastik modül E ve atalet momentinin çarpımı ile doğru orantılı olduğunu göstermektedir. Bu çarpıma, bükülme sırasındaki kesitin sertliği diyeceğiz; vb. şeklinde ifade edilir.

Sabit kesitli bir kirişin saf bükülmesinde, bükülme momentleri ve kesit katılıkları kirişin uzunluğu boyunca sabittir. Bu durumda kirişin kavisli ekseninin eğrilik yarıçapı sabit bir değere sahiptir [bkz. ifade (16.7)], yani kiriş dairesel bir yay boyunca bükülür.

Formül (17.7)'den, kirişin enine kesitindeki en büyük (pozitif - çekme) ve en küçük (negatif - sıkıştırma) normal gerilmelerin, her iki yanında bulunan nötr eksenden en uzak noktalarda ortaya çıktığı anlaşılmaktadır. Tarafsız eksene göre simetrik bir kesit için, en büyük çekme ve basma gerilmelerinin mutlak değerleri aynıdır ve formülle belirlenebilir.

tarafsız eksenden kesitin en uzak noktasına olan mesafe nerede.

Yalnızca kesitin boyutuna ve şekline bağlı olan değere kesitin eksenel direnç momenti denir ve gösterilir.

(20.7)

Buradan,

Dikdörtgen ve dairesel kesitler için eksenel direnç momentlerini belirleyelim.

Genişliği b ve yüksekliği olan dikdörtgen bir kesit için

Çapı d olan dairesel bir kesit için

Direnç anı ile ifade edilir.

Nötr eksen etrafında simetrik olmayan bölümler için, örneğin bir üçgen, tee vb. için, nötr eksenden en uzak gerilmiş ve sıkıştırılmış liflere olan mesafeler farklıdır; Bu nedenle, bu tür bölümler için iki direnç anı vardır:

nötr eksenden en uzak gerilmiş ve sıkıştırılmış liflere kadar olan mesafeler nerede?

Eğilme momenti ve kesme kuvveti

Bükme ile ilgili temel kavramlar. Saf ve enine kiriş bükme

Saf eğilme, kirişin herhangi bir kesitinde yalnızca bir bükülme momentinin meydana geldiği bir deformasyon türüdür.
Örneğin, eksenden geçen bir düzlemdeki düz bir kirişe eşit büyüklükte ve zıt işaretli iki kuvvet çifti uygulandığında saf bükülme deformasyonu meydana gelecektir.
Kirişler, akslar, miller ve diğer yapısal parçalar bükülmeye yarar. Kirişin en az bir simetri ekseni varsa ve yüklerin hareket düzlemi onunla çakışıyorsa, o zaman düz viraj , eğer bu koşul karşılanmıyorsa, o zaman eğik viraj .

Eğilme deformasyonunu incelerken, kirişin (kirişin) eksene paralel sayısız sayıda uzunlamasına elyaftan oluştuğunu zihinsel olarak hayal edeceğiz.
Düz bir virajın deformasyonunu görselleştirmek için, üzerine uzunlamasına ve enine çizgilerden oluşan bir ızgaranın uygulandığı lastik çubukla bir deney yapacağız.
Böyle bir kirişi düz bükülmeye maruz bıraktığınızda şunu görebilirsiniz (Şekil 1):
- enine çizgiler deforme olduğunda düz kalacak, ancak birbirine açılı dönecek;
- kirişin bölümleri içbükey tarafta enine yönde genişleyecek ve dışbükey tarafta daralacaktır;
- boyuna düz çizgiler bükülecektir.

Bu deneyimden şu sonucu çıkarabiliriz:
- saf bükülme durumunda düz kesitler hipotezi geçerlidir;
- dışbükey tarafta bulunan lifler gerilir, içbükey tarafta sıkıştırılır ve aralarındaki sınırda uzunluklarını değiştirmeden yalnızca bükülen nötr bir lif tabakası bulunur.

Lifler üzerinde herhangi bir baskının olmadığı hipotezinin geçerli olduğu varsayılarak, kirişin enine kesitindeki saf bükülme ile, yalnızca enine kesit üzerinde eşit olmayan bir şekilde dağıtılan normal çekme ve basma gerilmelerinin ortaya çıktığı iddia edilebilir.
Nötr tabakanın kesit düzlemi ile kesişme çizgisine denir tarafsız eksen . Tarafsız eksende normal gerilmelerin sıfır olduğu açıktır.

Eğilme momenti ve kesme kuvveti

Teorik mekanikten bilindiği üzere kirişlerin mesnet reaksiyonları kirişin tamamı için statik denge denklemlerinin oluşturulup çözülmesiyle belirlenmektedir. Malzemelerin direnç problemlerini çözerken ve kirişlerdeki iç kuvvet faktörlerini belirlerken, kirişlere etkiyen dış yüklerin yanı sıra bağlantıların tepkilerini de dikkate aldık.
İç kuvvet faktörlerini belirlemek için kesit yöntemini kullanacağız ve kirişi yalnızca tek bir çizgiyle (aktif ve reaktif kuvvetlerin uygulandığı eksen (yükler ve reaksiyon reaksiyonları)) tasvir edeceğiz.

İki durumu ele alalım:

1. Kirişe eşit ve zıt işaretli iki çift kuvvet uygulanıyor.
Kirişin kesitin solunda veya sağında yer alan kısmının dengesi dikkate alınarak 1-1 (Şekil 2), tüm kesitlerde sadece bir bükülme momentinin meydana geldiğini görüyoruz. M ve , dış momente eşittir. Dolayısıyla bu saf bir bükülme durumudur.

Eğilme momenti, kirişin kesitine etki eden iç normal kuvvetlerin tarafsız ekseni etrafında ortaya çıkan momenttir.
Eğilme momentinin olduğuna dikkat edelim. farklı yön kirişin sol ve sağ kısımları için. Bu durum eğilme momentinin işaretini belirlerken statik işaret kuralının uygun olmadığını gösterir.

2. Kirişe eksene dik aktif ve reaktif kuvvetler (yükler ve reaksiyon reaksiyonları) uygulanır (Şekil 3). Kirişin sol ve sağdaki kısımlarının dengesi dikkate alındığında kesitlerde bir bükülme momentinin etki etmesi gerektiğini görüyoruz. M ve ve kesme kuvveti Q .
Bundan, incelenen durumda kesit noktalarında sadece bükülme momentine karşılık gelen normal gerilimlerin değil, aynı zamanda enine kuvvete karşılık gelen teğet gerilimlerin de bulunduğu sonucu çıkar.

Enine kuvvet, kirişin kesitindeki iç teğetsel kuvvetlerin sonucudur.
Enine kuvvetin işaretini belirlerken statik işaret kuralının uygunsuzluğunu gösteren enine kuvvetin kirişin sol ve sağ kısımları için zıt yöne sahip olmasına dikkat edelim.
Kirişin kesitinde bir bükülme momenti ve kesme kuvvetinin etki ettiği bükülmeye enine denir.

Düzlemsel kuvvetler sisteminin etkisi altında su dengesinde olan bir kiriş için, tüm aktif ve reaktif kuvvetlerin herhangi bir noktaya göre momentlerinin cebirsel toplamı sıfıra eşittir; dolayısıyla kesitin solundaki kirişe etki eden dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı, kesitin sağındaki kirişe etki eden tüm dış kuvvetlerin momentlerinin toplamına sayısal olarak eşittir.
Böylece kiriş kesitindeki eğilme momenti, kesitin sağında veya solunda kirişe etki eden tüm dış kuvvetlerin kesitin ağırlık merkezine göre momentlerinin cebirsel toplamına sayısal olarak eşittir.

Eksene dik olan düzlemsel kuvvetler sisteminin (yani paralel kuvvetler sistemi) etkisi altında dengede olan bir kiriş için, tüm dış kuvvetlerin cebirsel toplamı sıfırdır; dolayısıyla kesitin solundaki kirişe etki eden dış kuvvetlerin toplamı, kesitin sağındaki kirişe etki eden kuvvetlerin cebirsel toplamına sayısal olarak eşittir.
Böylece kiriş kesitindeki enine kuvvet sayısal olarak kesitin sağına veya soluna etki eden tüm dış kuvvetlerin cebirsel toplamına eşittir.

Eğilme momenti ve kesme kuvveti işaretlerinin belirlenmesinde statik işaretlerin kuralları kabul edilemez olduğundan, bunlar için başka işaret kuralları oluşturacağız: Eğer bir dış yük, kirişi dışbükeyliği ile aşağıya doğru eğme eğilimindeyse, o zaman kirişteki bükülme momenti kesit pozitif kabul edilir ve bunun tersi de geçerlidir, eğer dış yük kirişi dışbükey bir şekilde yukarı doğru bükme eğilimindeyse, kesitteki bükülme momenti negatif kabul edilir (Şekil 4a).

Bölümün sol tarafında bulunan dış kuvvetlerin toplamı yukarıya doğru bir sonuç veriyorsa, bölümdeki enine kuvvet pozitif kabul edilir; sonuç aşağıya doğru yönlendirilirse, bölümdeki enine kuvvet negatif olarak kabul edilir; kirişin kesitin sağında bulunan kısmı için kesme kuvveti işaretleri zıt olacaktır (Şekil 4b). Bu kuralları kullanarak, kirişin bölümünün katı bir şekilde kenetlenmiş olduğunu ve bağlantıların atıldığını ve yerine tepkilerin geldiğini hayal etmelisiniz.

Bağların reaksiyonlarını belirlemek için statik işaret kurallarının, bükülme momenti ve enine kuvvet işaretlerini belirlemek için ise malzemelerin direnç işaretleri kurallarının kullanıldığını bir kez daha belirtelim.
Eğilme momentleri için işaret kuralı bazen denir "yağmur kuralı" aşağı doğru bir dışbükeylik durumunda, yağmur suyunun tutulduğu bir huninin oluştuğunu (işaret pozitiftir) ve bunun tersini - eğer yüklerin etkisi altında kiriş yukarı doğru kavisliyse, su kalmaz üzerinde (bükülme momentlerinin işareti negatiftir).

Düz bükülme sırasındaki iç kuvvetlerin diyagramları.

Doğrudan bükülme, dış kuvvetler kirişin (kirişin) uzunlamasına eksenine dik olarak uygulandığında ve kirişin kesitinin konfigürasyonuna uygun olarak ana düzlemlerden birine yerleştirildiğinde bir tür basit dirençtir.

Bilindiği gibi kesitte doğrudan eğilme sırasında iki tür iç kuvvet ortaya çıkar: enine kuvvet ve iç eğilme momenti.

Yoğunlaştırılmış kuvvete sahip bir konsol kirişinin tasarım diyagramının bir örneğini ele alalım R, pirinç. 1 a., ...

a) Tasarım diyagramı, b) Sol taraf, c) Sağ taraf, d) Enine kuvvetlerin diyagramı, e) Eğilme momentlerinin diyagramı

Şekil 1. Doğrudan bükülme sırasında enine kuvvetlerin ve iç bükülme momentlerinin diyagramlarının oluşturulması:

En rasyonel kesit, kiriş üzerinde belirli bir yük (bükülme momenti) için minimum alana sahip olan bölüm olarak değerlendirilmelidir. Bu durumda kirişin üretimi için malzeme tüketimi minimum düzeyde olacaktır. Minimum malzeme tüketimine sahip bir kiriş elde etmek için, mümkün olan en büyük malzeme hacminin izin verilenlere eşit veya bunlara yakın gerilimlerde çalışmasını sağlamak için çaba gösterilmelidir. Her şeyden önce, kirişin bükülme sırasındaki rasyonel kesiti aşağıdaki şartları karşılamalıdır: kirişin çekme ve sıkıştırılmış bölgelerinin eşit mukavemet durumu. Diğerleri. Başka bir deyişle, en büyük çekme gerilmelerinin ( maksimum) n en yüksek basınç gerilimi ( maksimum) aynı anda izin verilen gerilimlere ulaştı ve .

Bu nedenle plastik malzemeden yapılmış bir kiriş için (gerilme ve basınçta eşit olarak çalışan): ), tarafsız eksene göre simetrik olan kesitler için eşit dayanım koşulu sağlanır. Bu bölümler örneğin dikdörtgen bir bölümü içerir (Şekil 6, A), eşitlik koşulunun sağlandığı . Bununla birlikte, bu durumda, bölümün yüksekliği boyunca eşit olarak dağıtılan malzeme, tarafsız eksen bölgesinde yetersiz şekilde kullanılmaktadır. Daha rasyonel bir kesit elde etmek için mümkün olduğu kadar fazla malzemenin tarafsız eksenden mümkün olduğu kadar uzak bölgelere taşınması gerekir. Böylece varıyoruz plastik malzeme için rasyonel formdaki bölüm simetrik I-kiriş(Şekil 6): Kalınlığı duvarın teğetsel gerilmeler açısından mukavemet koşullarına ve ayrıca stabilitesi dikkate alınarak belirlenen bir duvarla (dikey tabaka) birbirine bağlanan 2 yatay masif levha. Rasyonellik kriterine göre, kutu şeklindeki bölüm I bölümüne yakındır (Şekil 6, V).

Şekil 6. Simetrik kesitlerde normal gerilimlerin dağılımı

Benzer şekilde akıl yürüterek, kırılgan malzemeden yapılmış kirişler için en rasyonel bölümün, çekme ve sıkıştırmada eşit mukavemet koşulunu karşılayan asimetrik bir I-kiriş formunda olacağı sonucuna varıyoruz (Şekil 27). :

gereksinimden çıkan sonuç

Şekil 7. Bir kiriş kesitinin asimetrik profilinin gerilim dağılımı.

Bükme sırasında çubukların rasyonel kesiti fikri, sıradan ve alaşımlı yüksek kaliteli yapı çeliklerinin yanı sıra alüminyumdan sıcak presleme veya haddeleme yoluyla elde edilen standart ince duvarlı profillerde uygulanır. alüminyum alaşımları inşaat, makine mühendisliği ve havacılık mühendisliğinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Şekil 2'de gösterilenler. 7: A- I-kiriş, B- kanal, V- eşit olmayan köşe, G- eşkenar köşe. Daha az yaygın olanı ise tavr, tavroshveller, zeta profili vb.'dir.

Şekil 8. Kullanılan kesit profilleri: a) I-kiriş, b) kanal, c) eşit olmayan açı, d) eşkenar açı

Bükülme sırasında eksenel direnç momenti formülü basitçe türetilmiştir. Kirişin kesiti tarafsız eksene göre simetrik olduğunda, en uzak noktalardaki ('de) normal gerilmeler aşağıdaki formülle belirlenir:

Bir kirişin kesitinin geometrik karakteristiğine eşit denir eksenel bükülme direnci momenti. Eğilme sırasındaki eksenel direnç momenti uzunluk küpü cinsinden (genellikle cm3) ölçülür. Daha sonra .

Dikdörtgen kesit için: ;

bükülme sırasında eksenel direnç momenti formülü yuvarlak kesit için: .