Örneğin \(2\); dizisi \(5\); \(8\); \(onbir\); \(14\)... aritmetik bir ilerlemedir çünkü her biri sonraki öğeöncekinden üç kat farklıdır (öncekiden üç eklenerek elde edilebilir):

Bu ilerlemede, \(d\) farkı pozitiftir (\(3\'e eşittir) ve dolayısıyla her bir sonraki terim bir öncekinden daha büyüktür. Bu tür ilerlemelere denir artan.

Ancak \(d\) aynı zamanda negatif sayı. Örneğin, aritmetik ilerlemede \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ilerleme farkı \(d\) eksi altıya eşittir.

Ve bu durumda, sonraki her öğe bir öncekinden daha küçük olacaktır. Bu ilerlemelere denir azalan.

Aritmetik ilerleme gösterimi

İlerleme küçük bir Latin harfiyle gösterilir.

Bir dizi oluşturan sayılara denir üyeler(veya öğeler).

Aritmetik ilerlemeyle aynı harfle gösterilirler, ancak sıradaki öğenin numarasına eşit bir sayısal indeksle gösterilirler.

Örneğin, \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetik ilerlemesi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) vb.

Başka bir deyişle, ilerleme için \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmetik ilerleme problemlerini çözme

Prensip olarak, yukarıda sunulan bilgiler hemen hemen her aritmetik ilerleme problemini (OGE'de sunulanlar dahil) çözmek için zaten yeterlidir.

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme\(b_1=7; d=4\) koşulları tarafından verilir. \(b_5\) bulun.
Çözüm:

Cevap: \(b_5=23\)

Örnek (OGE). Bir aritmetik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: \(62; 49; 36…\) Bu ilerlemenin ilk negatif teriminin değerini bulun.
Çözüm:

	Bize dizinin ilk elemanları veriliyor ve bunun aritmetik bir ilerleme olduğunu biliyoruz. Yani her element komşusundan aynı sayıda farklılık gösterir. Bir öncekini sonraki elemandan çıkararak hangisi olduğunu bulalım: \(d=49-62=-13\).
	Artık ilerlememizi ihtiyacımız olan (ilk olumsuz) unsura geri döndürebiliriz.
	Hazır. Cevap yazabilirsiniz.

Cevap: \(-3\)

Örnek (OGE). Bir aritmetik dizinin ardışık birkaç elemanı verildiğinde: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) harfiyle gösterilen elemanın değerini bulun.
Çözüm:

	\(x\)'i bulmak için bir sonraki elemanın bir öncekinden ne kadar farklı olduğunu yani ilerleme farkını bilmemiz gerekir. Bunu bilinen iki komşu elemandan bulalım: \(d=12.5-10=2.5\).
	Artık aradığımız şeyi kolaylıkla bulabiliyoruz: \(x=5+2.5=7.5\).
	Hazır. Cevap yazabilirsiniz.

Cevap: \(7,5\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme aşağıdaki koşullarla tanımlanır: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu ilerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulun.
Çözüm:

	İlerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulmamız gerekiyor. Ama biz onların anlamlarını bilmiyoruz; bize yalnızca ilk unsur veriliyor. Bu nedenle öncelikle bize verilenleri kullanarak değerleri tek tek hesaplıyoruz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) İhtiyacımız olan altı elementi hesapladıktan sonra toplamlarını buluyoruz.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Gerekli miktar bulunmuştur.

Cevap: \(S_6=9\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerlemede \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu ilerlemenin farkını bulun.
Çözüm:

Cevap: \(d=7\).

Aritmetik ilerleme için önemli formüller

Gördüğünüz gibi, aritmetik ilerlemeyle ilgili birçok problem, asıl meselenin anlaşılmasıyla çözülebilir - aritmetik ilerlemenin bir sayı zinciri olduğu ve bu zincirdeki sonraki her öğenin, aynı sayının bir öncekine eklenmesiyle elde edildiği ( ilerleme farkı).

Ancak bazen "kafa kafaya" karar vermenin çok sakıncalı olduğu durumlar vardır. Örneğin, ilk örnekte beşinci elementi \(b_5\) değil, üç yüz seksen altıncı \(b_(386)\) bulmamız gerektiğini düşünün. Dört \(385\) kez mi eklememiz gerekiyor? Veya sondan bir önceki örnekte ilk yetmiş üç elementin toplamını bulmanız gerektiğini hayal edin. Saymaktan yorulacaksınız...

Dolayısıyla bu gibi durumlarda işleri “birdenbire” çözmezler, aritmetik ilerleme için türetilmiş özel formüller kullanırlar. Ve bunların başlıcaları ilerlemenin n'inci terimi formülü ve \(n\) ilk terimin toplamı formülüdür.

\(n\)'inci terimin formülü: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) ilerlemenin ilk terimidir;
\(n\) – gerekli öğenin numarası;
\(a_n\) – \(n\) sayısıyla ilerlemenin terimi.

Bu formül, yalnızca ilkini ve ilerlemenin farkını bilerek üç yüzüncü veya milyonuncu elementi bile hızlı bir şekilde bulmamızı sağlar.

Örnek. Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\)'ı bulun.
Çözüm:

Cevap: \(b_(246)=1850\).

İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) – son toplanan terim;

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme \(a_n=3.4n-0.6\) koşullarıyla belirtilir. Bu ilerlemenin ilk \(25\) teriminin toplamını bulun.
Çözüm:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		İlk yirmi beş terimin toplamını hesaplamak için birinci ve yirmi beşinci terimin değerini bilmemiz gerekir. İlerlememiz, sayısına bağlı olarak n'inci terimin formülü ile verilmektedir (daha fazla ayrıntı için bkz.). \(n\) yerine bir tane koyarak ilk elemanı hesaplayalım.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Şimdi \(n\) yerine yirmi beş koyarak yirmi beşinci terimi bulalım.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Artık gerekli miktarı kolayca hesaplayabiliriz.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Cevap hazır.

Cevap: \(S_(25)=1090\).

İlk terimlerin \(n\) toplamı için başka bir formül elde edebilirsiniz: sadece \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \'ye ihtiyacınız var (\cdot 25\ ) \(a_n\) yerine \(a_n=a_1+(n-1)d\) formülünü kullanın. Şunu elde ederiz:

İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – \(n\) ilk elemanın gerekli toplamı;
\(a_1\) – ilk toplanan terim;
\(d\) – ilerleme farkı;
\(n\) – toplam öğe sayısı.

Örnek. Aritmetik ilerlemenin ilk \(33\)-ex terimlerinin toplamını bulun: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Çözüm:

Cevap: \(S_(33)=-231\).

Daha karmaşık aritmetik ilerleme problemleri

Artık hemen hemen her aritmetik ilerleme problemini çözmek için ihtiyacınız olan tüm bilgilere sahipsiniz. Sadece formülleri uygulamanız değil, biraz da düşünmeniz gereken problemleri ele alarak konuyu bitirelim (matematikte bu işinize yarayabilir ☺)

Örnek (OGE). İlerlemedeki tüm negatif terimlerin toplamını bulun: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Çözüm:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Görev bir öncekine çok benzer. Aynı şeyi çözmeye başlıyoruz: önce \(d\)'yi buluyoruz.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Şimdi toplam formülüne \(d\) koymak istiyorum... ve burada küçük bir nüans ortaya çıkıyor - \(n\)'i bilmiyoruz. Başka bir deyişle kaç terimin eklenmesi gerektiğini bilmiyoruz. Nasıl öğrenilir? Düşünelim. İlk pozitif öğeye ulaştığımızda öğe eklemeyi bırakacağız. Yani bu elementin sayısını bulmanız gerekiyor. Nasıl? Bizim durumumuz için aritmetik ilerlemenin herhangi bir elemanını hesaplamak için formülü yazalım: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Sıfırdan büyük olması için \(a_n\)'a ihtiyacımız var. Bunun ne zaman olacağını \(n\) öğrenelim.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Eşitsizliğin her iki tarafını \(0,3\)'a bölüyoruz.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		İşaretleri değiştirmeyi unutmadan eksi bir aktarıyoruz
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Hadi hesaplayalım...
\(n>65,333…\)		...ve ilk pozitif elemanın \(66\) sayısına sahip olacağı ortaya çıktı. Buna göre son negatif \(n=65\) olur. Her ihtimale karşı şunu kontrol edelim.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Bu yüzden ilk \(65\) elemanını eklememiz gerekiyor.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Cevap hazır.

Cevap: \(S_(65)=-630.5\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)th'den \(42\) elemanına kadar olan toplamı bulun.
Çözüm:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu problemde ayrıca elemanların toplamını bulmanız gerekir, ancak ilkinden değil \(26\)'dan başlayarak. Böyle bir durum için elimizde bir formül yok. Nasıl karar verilir? Çok kolay - \(26\)'dan \(42\)'ye kadar olan toplamı bulmak için, önce \(1\)'den \(42\)'ye kadar olan toplamı bulmalı ve sonra çıkarmalısınız ondan birinciden \(25\)'inciye kadar olan toplam (resme bakın).
	İlerlememiz için \(a_1=-33\) ve fark \(d=4\) (sonuçta, bir sonrakini bulmak için dördünü önceki öğeye ekleriz). Bunu bilerek ilk \(42\)-y elemanlarının toplamını buluyoruz.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Şimdi ilk \(25\) elemanların toplamı.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Ve son olarak cevabı hesaplıyoruz.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Cevap: \(S=1683\).

Aritmetik ilerleme için, pratik kullanışlılığının düşük olması nedeniyle bu makalede dikkate almadığımız birkaç formül daha vardır. Ancak bunları kolayca bulabilirsiniz.

Aritmetik ilerlemeyle ilgili problemler eski zamanlarda zaten mevcuttu. Pratik bir ihtiyaçları olduğu için ortaya çıktılar ve çözüm talep ettiler.

Yani papirüslerden birinde Antik Mısır"Matematiksel bir içeriğe sahip olan Rhind papirüsü (M.Ö. 19. yüzyıl) şu görevi içerir: on ölçek ekmeği, aralarındaki farkın ölçünün sekizde biri olması şartıyla on kişiye bölmek."

Antik Yunanlıların matematik eserlerinde aritmetik ilerlemeyle ilgili zarif teoremler vardır. Böylece, İskenderiyeli Hypsicles (2. yüzyıl, birçok ilginç problemi derleyen ve Öklid'in Elementleri'ne on dördüncü kitabı ekleyen) şu fikri formüle etti: “Çift sayıda terimi olan bir aritmetik dizide, 2. yarının terimlerinin toplamı üye sayısının 1/2 karesindeki 1'incinin terimlerinin toplamından daha büyüktür."

Sıra bir ile gösterilir. Bir dizinin sayıları, üyeleri olarak adlandırılır ve genellikle şunu belirten indeksli harflerle gösterilir: seri numarası bu üye (a1, a2, a3 ... şunu okur: “1.”, “2.”, “3.” vb.).

Dizi sonsuz veya sonlu olabilir.

Aritmetik ilerleme nedir? Bununla, ilerleme farkı olan önceki terimi (n) aynı d sayısıyla toplayarak elde edilen terimi kastediyoruz.

Eğer d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ise bu ilerlemenin arttığı kabul edilir.

Bir aritmetik ilerlemenin yalnızca ilk birkaç terimi dikkate alınırsa sonlu olarak adlandırılır. çok Büyük miktarlarüyeler zaten sonsuz bir ilerlemedir.

Herhangi bir aritmetik ilerleme aşağıdaki formülle tanımlanır:

an =kn+b, b ve k ise bazı sayılardır.

Bunun tersi ifade kesinlikle doğrudur: Eğer bir dizi benzer bir formülle veriliyorsa, bu tam olarak şu özelliklere sahip bir aritmetik ilerlemedir:

1. İlerlemedeki her terim, bir önceki ve bir sonraki terimin aritmetik ortalamasıdır.
2. Tersi: eğer, 2.den başlayarak, her terim bir önceki ve bir sonraki terimin aritmetik ortalaması ise, yani; koşul karşılanırsa bu dizi aritmetik bir ilerlemedir. Bu eşitlik aynı zamanda ilerlemenin de bir işaretidir, bu nedenle genellikle ilerlemenin karakteristik özelliği olarak adlandırılır.
   Aynı şekilde, bu özelliği yansıtan teorem doğrudur: Bir dizi, ancak bu eşitliğin 2'den başlayarak dizinin herhangi bir terimi için doğru olması durumunda aritmetik bir ilerlemedir.

Bir aritmetik ilerlemenin herhangi dört sayısının karakteristik özelliği, eğer n + m = k + l ise (m, n, k ilerleme sayılarıdır), an + am = ak + al formülüyle ifade edilebilir.

Aritmetik ilerlemede gerekli herhangi bir (N'inci) terim aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Örneğin: bir aritmetik dizide ilk terim (a1) verilir ve üçe eşittir, fark (d) ise dörde eşittir. Bu ilerlemenin kırk beşinci terimini bulmanız gerekiyor. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) formülü şunu belirlememizi sağlar: n'inci terim bilinmesi koşuluyla, k'inci terimlerinden herhangi biri boyunca aritmetik ilerleme.

Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı (sonlu bir ilerlemenin ilk n terimi anlamına gelir) şu şekilde hesaplanır:

Sn = (a1+an) n/2.

1. terim de biliniyorsa, hesaplama için başka bir formül uygundur:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

N terim içeren bir aritmetik ilerlemenin toplamı şu şekilde hesaplanır:

Hesaplamalar için formüllerin seçimi problemlerin koşullarına ve ilk verilere bağlıdır.

1,2,3,...,n,...- gibi herhangi bir sayının doğal serisi en basit örnek aritmetik ilerleme.

Aritmetik ilerlemenin yanı sıra kendine has özellikleri ve özellikleri olan geometrik bir ilerleme de vardır.

Bazı insanlar "ilerleme" sözcüğünü, bu bölümlerden çok karmaşık bir terim olarak dikkatle ele alıyorlar. yüksek Matematik. Bu arada, en basit aritmetik ilerleme taksi sayacının (hala mevcut oldukları yerde) çalışmasıdır. Ve bir aritmetik dizinin özünü anlamak (ve matematikte "özünü anlamaktan" daha önemli bir şey yoktur), birkaç temel kavramı analiz ettikten sonra o kadar da zor değildir.

Matematiksel sayı dizisi

Sayısal diziye genellikle her biri kendi numarasına sahip olan bir sayı dizisi denir.

a 1 dizinin ilk üyesidir;

ve 2, dizinin ikinci terimidir;

ve 7, dizinin yedinci üyesidir;

ve n, dizinin n'inci üyesidir;

Ancak herhangi bir keyfi sayı ve sayı dizisi bizi ilgilendirmiyor. Dikkatimizi, n'inci terimin değerinin matematiksel olarak açıkça formüle edilebilecek bir ilişki yoluyla sıra numarasıyla ilişkilendirildiği sayısal diziye odaklayacağız. Başka bir deyişle: n'inci sayının sayısal değeri, n'nin bir fonksiyonudur.

a, sayısal bir dizinin bir üyesinin değeridir;

n seri numarasıdır;

f(n), n sayısal dizisindeki sıra numarasının argüman olduğu bir fonksiyondur.

Tanım

Aritmetik ilerlemeye genellikle birbirini takip eden her terimin bir öncekinden aynı sayı kadar büyük (küçük) olduğu sayısal dizi denir. Bir aritmetik dizinin n'inci teriminin formülü aşağıdaki gibidir:

a n - aritmetik ilerlemenin mevcut üyesinin değeri;

bir n+1 - sonraki sayının formülü;

d - fark (belirli bir sayı).

Farkın pozitif olması durumunda (d>0), söz konusu serinin her bir sonraki üyesinin bir öncekinden daha büyük olacağını ve böyle bir aritmetik ilerlemenin artacağını belirlemek kolaydır.

Aşağıdaki grafikte sayı dizisinin neden “artan” olarak adlandırıldığını görmek kolaydır.

Farkın negatif olduğu durumlarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Belirtilen üye değeri

Bazen bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir rastgele teriminin (n) değerini belirlemek gerekir. Bu, ilkinden istenilene kadar aritmetik ilerlemenin tüm üyelerinin değerlerinin sırayla hesaplanmasıyla yapılabilir. Ancak örneğin beş bininci veya sekiz milyonuncu terimin değerini bulmak gerekiyorsa bu yol her zaman kabul edilebilir değildir. Geleneksel hesaplamalar çok zaman alacaktır. Ancak belirli formüller kullanılarak belirli bir aritmetik ilerleme incelenebilir. Ayrıca n'inci terim için de bir formül vardır: Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir teriminin değeri, ilerlemenin ilk teriminin ilerlemenin farkıyla toplamının istenen terimin sayısıyla çarpımı ve eksiltilmesiyle belirlenebilir. bir.

Formül, ilerlemeyi artırmak ve azaltmak için evrenseldir.

Belirli bir terimin değerini hesaplamaya bir örnek

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin değerini bulmayla ilgili aşağıdaki problemi çözelim.

Durum: parametrelerle aritmetik bir ilerleme var:

Dizinin ilk terimi 3'tür;

Sayı serisindeki fark 1,2'dir.

Görev: 214 terimin değerini bulmanız gerekiyor

Çözüm: Belirli bir terimin değerini belirlemek için aşağıdaki formülü kullanırız:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sorun ifadesindeki verileri ifadeye koyarsak:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cevap: Dizinin 214. terimi 258,6'ya eşittir.

Bu hesaplama yönteminin avantajları açıktır - çözümün tamamı 2 satırdan fazla sürmez.

Belirli sayıda terimin toplamı

Çoğu zaman, belirli bir aritmetik seride, bazı bölümlerinin değerlerinin toplamını belirlemek gerekir. Bunu yapmak için her terimin değerlerini hesaplayıp daha sonra toplamaya da gerek yoktur. Toplamı bulunması gereken terim sayısının az olması durumunda bu yöntem uygulanabilir. Diğer durumlarda aşağıdaki formülü kullanmak daha uygundur.

1'den n'ye bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı, birinci ve n'inci terimlerin toplamına eşittir, n terimi sayısıyla çarpılır ve ikiye bölünür. Formülde n'inci terimin değeri makalenin önceki paragrafındaki ifadeyle değiştirilirse şunu elde ederiz:

Hesaplama örneği

Örneğin, aşağıdaki koşullarla ilgili bir problemi çözelim:

Dizinin ilk terimi sıfırdır;

Fark 0,5.

Problem 56'dan 101'e kadar olan serinin terimlerinin toplamının belirlenmesini gerektirmektedir.

Çözüm. İlerleme miktarını belirlemek için formülü kullanalım:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Öncelikle problemimizin verilen koşullarını formülde yerine koyarak ilerlemenin 101 teriminin değerlerinin toplamını belirliyoruz:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Açıkçası, 56. sıradan 101. sıraya ilerlemenin terimlerinin toplamını bulmak için S 101'den S 55'i çıkarmak gerekir.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dolayısıyla, bu örnek için aritmetik ilerlemenin toplamı şöyledir:

sn 101 - sn 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Aritmetik ilerlemenin pratik uygulamasına örnek

Makalenin sonunda, ilk paragrafta verilen aritmetik dizi örneğine - taksimetreye (taksi araba sayacı) dönelim. Bu örneği ele alalım.

Taksiye binmek (3 km'lik yolculuk dahil) 50 rubleye mal oluyor. Sonraki her kilometre için 22 ruble/km oranında ödeme yapılır. Seyahat mesafesi 30 km'dir. Yolculuğun maliyetini hesaplayın.

1. İniş ücretine dahil olan ilk 3 km’yi bir kenara bırakalım.

30 - 3 = 27 km.

2. Daha fazla hesaplama, bir aritmetik sayı serisinin ayrıştırılmasından başka bir şey değildir.

Üye numarası - kat edilen kilometre sayısı (ilk üç eksi).

Üyenin değeri toplamdır.

Bu problemdeki ilk terim 1 = 50 rubleye eşit olacaktır.

İlerleme farkı d = 22 r.

ilgilendiğimiz sayı aritmetik ilerlemenin (27+1)'inci teriminin değeridir - 27. kilometrenin sonundaki sayaç okuması 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

İsteğe bağlı olarak uzun bir süre için takvim verileri hesaplamaları, belirli sayısal dizileri açıklayan formüllere dayanmaktadır. Astronomide yörüngenin uzunluğu geometrik olarak gök cisminin yıldıza olan uzaklığına bağlıdır. Ayrıca çeşitli sayı serileri istatistikte ve matematiğin diğer uygulamalı alanlarında başarıyla kullanılmaktadır.

Başka bir sayı dizisi türü geometriktir

Geometrik ilerleme, aritmetik ilerlemeye kıyasla daha yüksek değişim oranlarıyla karakterize edilir. Siyasette, sosyolojide ve tıpta belirli bir olgunun, örneğin bir hastalığın salgın sırasındaki yüksek yayılma hızını göstermek için sürecin geometrik ilerlemeyle geliştiğini söylemeleri tesadüf değildir.

Geometrik sayı serisinin N'inci terimi, bazı sabit sayılarla çarpılması bakımından öncekinden farklıdır - payda, örneğin, ilk terim 1'dir, payda buna karşılık olarak 2'ye eşittir, o zaman:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrik ilerlemenin mevcut teriminin değeri;

b n+1 - geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin formülü;

q geometrik ilerlemenin paydasıdır (sabit bir sayı).

Aritmetik ilerlemenin grafiği düz bir çizgi ise, geometrik ilerleme biraz farklı bir tablo çizer:

Aritmetikte olduğu gibi geometrik ilerlemenin de keyfi bir terimin değeri için bir formülü vardır. Geometrik ilerlemenin herhangi bir n'inci terimi, ilk terimin çarpımına ve n'nin kuvvetine doğru ilerlemenin paydasının bir eksiltilmesine eşittir:

Örnek. İlk terimi 3'e ve ilerlemenin paydası 1,5'e eşit olan geometrik bir ilerlememiz var. İlerlemenin 5. terimini bulalım

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Belirli sayıda terimin toplamı da özel bir formül kullanılarak hesaplanır. Bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı, ilerlemenin n'inci teriminin çarpımı ile paydası ile ilerlemenin ilk terimi arasındaki farkın paydanın bir eksiltilmesiyle bölünmesine eşittir:

Yukarıda tartışılan formül kullanılarak b n değiştirilirse, söz konusu sayı serisinin ilk n teriminin toplamının değeri şu şekli alacaktır:

Örnek. Geometrik ilerleme ilk terimin 1'e eşit olmasıyla başlar. Payda 3'e eşitlenir. İlk sekiz terimin toplamını bulalım.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Aritmetik ilerlemenin toplamı.

Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuyla ilgili her türlü görev var. Temelden oldukça sağlama.

Öncelikle miktarın anlamını ve formülünü anlayalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Miktarın anlamı möö kadar basittir. Aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm terimlerini dikkatlice eklemeniz yeterlidir. Bu terimler azsa formül kullanmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok ya da çok varsa... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül imdadımıza yetişir.

Miktarın formülü basittir:

Formülde ne tür harflerin yer aldığını bulalım. Bu, işleri büyük ölçüde açıklığa kavuşturacaktır.

Sn - aritmetik ilerlemenin toplamı. Toplama sonucu herkesüyeleri ile Birinciİle son. Bu önemli. Tam olarak topluyorlar Tümüyeleri atlamadan veya atlamadan arka arkaya. Ve tam olarak şundan başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşinci ila yirminci terimlerin toplamını bulma gibi problemlerde formülün doğrudan uygulanması hayal kırıklığı yaratacaktır.)

1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.

BİR- son ilerlemenin üyesi. Serinin son sayısı. Çok tanıdık bir isim değil ama miktara uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.

N - son üyenin numarası. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen terimlerin sayısıyla örtüşür.

Konsepti tanımlayalım sonüye BİR. Zor soru: Hangi üye olacak sonuncu eğer verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?)

Kendinize güvenerek cevap verebilmek için aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve... görevi dikkatlice okumanız gerekir!)

Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde her zaman son terim görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), ki bu sınırlı olmalıdır. Aksi takdirde, nihai, belirli bir miktar basitçe mevcut değil.Çözüm için ilerlemenin verilip verilmediği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayı ya da n'inci terim için bir formül.

En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk döneminden sayı içeren döneme kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında formülün tam adı şuna benzer: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca göreve göre belirlenir. Bir görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet... Ama boş verin, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkarıyoruz.)

Aritmetik ilerlemenin toplamı ile ilgili görev örnekleri.

Öncelikle faydalı bilgiler:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren görevlerdeki temel zorluk, formülün öğelerinin doğru belirlenmesinde yatmaktadır.

Görev yazarları bu unsurları sınırsız hayal gücüyle şifreler.) Burada asıl önemli olan korkmamaktır. Elementlerin özünü anlamak, onları basitçe deşifre etmek yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.

1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a n = 2n-3,5. İlk 10 teriminin toplamını bulun.

Aferin. Kolay.) Formülü kullanarak miktarı belirlemek için neyi bilmemiz gerekiyor? İlk üye 1, son dönem BİR, evet son üyenin numarası N.

Son üyenin numarasını nereden alabilirim? N? Evet, şartla orada! Diyor ki: toplamı bul ilk 10 üye. Peki hangi numarayla olacak? son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR Formülde yerine koyacağız 10 ve bunun yerine N- on. Tekrar ediyorum, son üye sayısı üye sayısıyla örtüşüyor.

Belirlemek için kalır 1 Ve 10. Bu, problem tanımında verilen n'inci terim formülü kullanılarak kolayca hesaplanır. Bunu nasıl yapacağınızı bilmiyor musunuz? Önceki derse katılın, bu olmadan hiçbir yolu yoktur.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10=2·10 - 3,5 =16,5

Sn = S10.

Aritmetik ilerlemenin toplamı formülündeki tüm öğelerin anlamını bulduk. Geriye kalan tek şey bunları değiştirmek ve saymaktır:

Bu kadar. Cevap: 75.

GIA'ya dayanan başka bir görev. Biraz daha karmaşık:

2. Farkı 3,7 olan aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; a 1 =2,3. İlk 15 teriminin toplamını bulun.

Hemen toplam formülünü yazıyoruz:

Bu formül herhangi bir terimin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:

15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Aritmetik ilerlemenin toplamı için formüldeki tüm unsurları yerine koymak ve cevabı hesaplamak kalır:

Cevap: 423.

Bu arada, eğer toplam formülünde yerine BİR Formülü n'inci terimin yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

Benzerlerini sunalım ve bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı için yeni bir formül elde edelim:

Gördüğünüz gibi burada n'inci terime gerek yok BİR. Bazı problemlerde bu formül çok işe yarıyor evet... Bu formülü hatırlarsınız. Veya buradaki gibi doğru zamanda görüntüleyebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülünü ve n'inci terimin formülünü her zaman hatırlamanız gerekir.)

Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):

3. Üçün katı olan iki basamaklı tüm pozitif sayıların toplamını bulun.

Vay! Ne ilk üyen, ne son üyen, ne de ilerleyişin… Nasıl yaşanır!?

Kafanızla düşünmeniz ve durumdan aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayıların ne olduğunu biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) İki basamaklı sayı ne olacak? Birinci? 10, muhtemelen.) A son şeyçift ​​haneli sayı mı? 99 elbette! Üç haneli olanlar onu takip edecek...

Üçün katları... Hımm... Bunlar üçe bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünür! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Sorunun koşullarına göre zaten bir dizi yazabilirsiniz:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu seri aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç farklılık gösterir. Bir terime 2 veya 4 eklerseniz sonuç; yeni sayı artık 3'e bölünemez. Aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3.İşinize yarayacaktır!)

Böylece bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:

Sayı ne olacak? N son üye? 99'un ölümcül bir yanılgı olduğunu düşünenler... Rakamlar hep arka arkaya gidiyor ama üyelerimiz üçün üzerine atlıyor. Eşleşmiyorlar.

Burada iki çözüm var. Bunun bir yolu süper çalışkanlar içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini yazabilir ve üye sayısını parmağınızla sayabilirsiniz.) İkinci yol düşünceli olanlar içindir. N'inci dönemin formülünü hatırlamanız gerekiyor. Formülü problemimize uygularsak 99'un ilerlemenin otuzuncu terimi olduğunu buluruz. Onlar. n = 30.

Aritmetik ilerlemenin toplamının formülüne bakalım:

Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorun ifadesinden tutarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:

1= 12.

30= 99.

Sn = S 30.

Geriye kalan tek şey temel aritmetiktir. Sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

Cevap: 1665

Başka bir popüler bulmaca türü:

4. Aritmetik ilerleme verildiğinde:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yirmiden otuz dörde kadar terimlerin toplamını bulun.

Miktarın formülüne bakıyoruz ve... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatayım, tutarı hesaplıyor. birincidenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekiyor yirminci yüzyıldan beri... Formül işe yaramayacak.

Elbette tüm ilerlemeyi bir seri halinde yazabilir ve 20'den 34'e kadar terimler ekleyebilirsiniz. Ama... bu bir şekilde aptalca ve uzun zaman alıyor, değil mi?)

Daha zarif bir çözüm var. Serimizi iki parçaya ayıralım. İlk bölüm olacak ilk dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci kısım - yirmiden otuz dörde kadar.İlk bölümün terimlerinin toplamını hesaplarsak açıktır ki S 1-19, ikinci bölümün terimlerinin toplamını ekleyelim S 20-34, birinci dönemden otuz dördüncü döneme kadar olan ilerlemenin toplamını elde ederiz S1-34. Bunun gibi:

S 1-19 + S 20-34 = S1-34

Bundan toplamı bulduğumuzu görebiliriz. S 20-34 basit çıkarma işlemiyle yapılabilir

S 20-34 = S1-34 - S 1-19

Sağ taraftaki her iki miktar da dikkate alınır birincidenüye, yani standart toplam formülü onlara oldukça uygulanabilir. Başlayalım?

İlerleme parametrelerini problem ifadesinden çıkarıyoruz:

d = 1,5.

1= -21,5.

İlk 19 ve ilk 34 terimin toplamını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları problem 2'deki gibi n'inci terim formülünü kullanarak hesaplıyoruz:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Hiçbirşey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Cevap: 262.5

Önemli bir not! Bu sorunu çözmenin çok faydalı bir hilesi var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacınız var (S 20-34), saydık ihtiyaç duyulmayan bir şey - S 1-19. Ve sonra karar verdiler S 20-34 gereksiz olanı sonuçtan çıkararak. Bu tür bir "kulak yanıltması" çoğu zaman sizi kötü sorunlardan kurtarır.)

Bu derste aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemlere baktık. Birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)

Pratik tavsiye:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren herhangi bir problemi çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.

N'inci terimin formülü:

Bu formüller size sorunu çözmek için neye bakmanız ve hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardım eder.

Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.

5. Üçe bölünemeyen iki basamaklı tüm sayıların toplamını bulun.

Harika mı?) İpucu 4. problemin notunda gizli. Peki, 3. problem yardımcı olacaktır.

6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. İlk 24 teriminin toplamını bulun.

Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür sorunlara Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanır.

7. Vasya tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevdiğim kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinize hiçbir şeyi inkar etmeden güzel yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Ta ki para bitene kadar. Vasya'nın kaç günü mutluluk vardı?

Zor mu?) 2. problemdeki ek formül yardımcı olacaktır.

Cevaplar (karışıklık içinde): 7, 3240, 6.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Cevrimici hesap makinesi.
Aritmetik ilerlemeyi çözme.
Verilen: a n , d, n
Bul: a 1

Bu matematik programı, kullanıcı tarafından belirlenen \(a_n, d\) ve \(n\) sayılarına dayalı bir aritmetik ilerlemenin \(a_1\) değerini bulur.
\(a_n\) ve \(d\) sayıları yalnızca tam sayı olarak değil aynı zamanda kesir olarak da belirtilebilir. Ayrıca kesirli sayı, ondalık kesir (\(2,5\)) ve sıradan kesir (\(-5\frac(2)(7)\)) biçiminde girilebilir.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm bulma sürecini de gösteriyor.

Bu çevrimiçi hesap makinesi, ortaokullardaki lise öğrencileri için testlere ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Sayı girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

Sayı girme kuralları

\(a_n\) ve \(d\) sayıları yalnızca tam sayı olarak değil aynı zamanda kesir olarak da belirtilebilir.
\(n\) sayısı yalnızca pozitif bir tam sayı olabilir.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerdeki tamsayı ve kesirli kısımlar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin 2,5 veya 2,5 gibi ondalık kesirleri girebilirsiniz.

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Giriş:
Sonuç: \(-\frac(2)(3)\)

Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş:
Sonuç: \(-1\frac(2)(3)\)

Sayıları girin a n , d, n

1'i bul

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Numara dizisi

Günlük uygulamada, çeşitli nesnelerin numaralandırılması genellikle bunların düzenlenme sırasını belirtmek için kullanılır. Örneğin her sokaktaki evler numaralandırılmıştır. Kütüphanede okuyucuların abonelikleri numaralandırılmakta ve daha sonra özel kart dosyalarında atanan numara sırasına göre düzenlenmektedir.

Bir tasarruf bankasında, mevduat sahibinin kişisel hesap numarasını kullanarak bu hesabı kolayca bulabilir ve içinde ne kadar mevduat olduğunu görebilirsiniz. 1 No'lu hesap a1 ruble depozito içersin, 2 No'lu hesap a2 ruble depozito içersin vb. sayı dizisi
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
burada N, tüm hesapların sayısıdır. Burada, 1'den N'ye kadar her doğal sayı n, bir n sayısıyla ilişkilendirilir.

Ayrıca matematik okudu sonsuz sayı dizileri:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., an n , ... .
1 denilen sayıya dizinin ilk terimi, a 2 numarası - dizinin ikinci terimi, a 3 numarası - dizinin üçüncü terimi vesaire.
a n sayısına denir Dizinin n'inci (n'inci) üyesi ve n doğal sayısı onun sayı.

Örneğin, bir dizi karede doğal sayılar 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ve 1 = 1 dizinin ilk terimidir; ve n = n2 dizinin n'inci terimidir; a n+1 = (n + 1) 2, dizinin (n + 1)'inci (n artı birinci) terimidir. Çoğunlukla bir dizi, n'inci teriminin formülüyle belirtilebilir. Örneğin, \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) formülü \(1, \; \frac(1)(2) , \; dizisini tanımlar) \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetik ilerleme

Yılın uzunluğu yaklaşık 365 gündür. Daha doğru bir değer \(365\frac(1)(4)\) gündür, dolayısıyla her dört yılda bir bir günlük hata birikir.

Bu hatayı hesaba katmak için her dördüncü yıla bir gün eklenir ve uzatılan yıla artık yıl adı verilir.

Örneğin, üçüncü bin yılda artık yıllar 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Bu dizide, ikinciden başlayarak her üye bir öncekine eşittir ve aynı sayı olan 4'e eklenir. Bu tür dizilere denir. aritmetik ilerlemeler.

Tanım.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... sayı dizisine denir aritmetik ilerleme, eğer her şey için doğal bir eşitlik varsa
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
burada d bir sayıdır.

Bu formülden a n+1 - a n = d sonucu çıkar. d sayısına fark denir aritmetik ilerleme.

Aritmetik ilerlemenin tanımı gereği elimizde:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Neresi
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), burada \(n>1 \)

Böylece, bir aritmetik ilerlemenin ikinciden başlayarak her terimi, bitişik iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Bu, "aritmetik" ilerleme adını açıklar.

a 1 ve d verilirse, aritmetik ilerlemenin geri kalan terimlerinin a n+1 = a n + d yinelenen formülü kullanılarak hesaplanabileceğini unutmayın. Bu şekilde ilerlemenin ilk birkaç terimini hesaplamak zor değildir, ancak örneğin 100 zaten çok fazla hesaplama gerektirecektir. Tipik olarak bunun için n'inci terim formülü kullanılır. Aritmetik ilerlemenin tanımı gereği
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
vesaire.
Kesinlikle,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
Çünkü bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi, ilk terimden d sayısının (n-1) katıyla toplanmasıyla elde edilir.
Bu formül denir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

1'den 100'e kadar tüm doğal sayıların toplamını bulun.
Bu miktarı iki şekilde yazalım:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Bu eşitlikleri terim terim toplayalım:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Bu toplamın 100 terimi var
Dolayısıyla 2S = 101 * 100, dolayısıyla S = 101 * 50 = 5050.

Şimdi keyfi bir aritmetik ilerlemeyi ele alalım
a 1 , a 2 , a 3 , ..., bir n , ...
Bu ilerlemenin ilk n teriminin toplamı S n olsun:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Daha sonra bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı şuna eşittir:
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d\) olduğundan, bu formülde bir n'yi değiştirerek, bulmak için başka bir formül elde ederiz. bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavı özetleri ve Çevrimiçi Birleşik Devlet Sınavı testleri Oyunlar, bulmacalar Fonksiyon grafikleri çizme Rus dilinin yazım sözlüğü Gençlik argo sözlüğü Rus okulları kataloğu Rusya orta öğretim kurumları kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Liste görevlerin