Sådan finder du domænet for en funktion

Lad os først lære at finde definitionsdomæne af summen af ​​funktioner. Det er klart, at en sådan funktion giver mening for alle sådanne værdier af variablen, som alle funktionerne, der udgør summen, giver mening. Derfor er der ingen tvivl om gyldigheden af ​​følgende udsagn:

Hvis funktionen f er summen af ​​n funktioner f 1, f 2, …, f n, dvs. funktionen f er givet ved formlen y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), så er definitionsdomænet for funktionen f skæringspunktet mellem definitionsdomænerne for funktionerne f 1, f 2, ..., f n. Lad os skrive dette som .

Lad os acceptere at fortsætte med at bruge poster, der ligner den sidste, hvormed vi mener skrevet inden for en krøllet bøjle, eller samtidig opfyldelse af eventuelle betingelser. Dette er praktisk og helt naturligt resonerer med betydningen af ​​systemerne.

Eksempel.

Funktionen y=x 7 +x+5+tgx er givet, og vi skal finde dens definitionsdomæne.

Løsning.

Funktionen f er repræsenteret ved summen af ​​fire funktioner: f 1 - potensfunktion med eksponent 7, f 2 - potensfunktion med eksponent 1, f 3 - konstant funktion og f 4 - tangentfunktion.

Ser på tabellen over områder for at definere det vigtigste elementære funktioner, finder vi, at D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , og domænet af definition af tangenten er mængden af ​​alle reelle tal undtagen tal .

Definitionsdomænet for funktionen f er skæringspunktet mellem definitionsdomænerne for funktionerne f 1, f 2, f 3 og f 4. Det er helt indlysende, at dette er mængden af ​​alle reelle tal, med undtagelse af tallene .

Svar:

mængden af ​​alle reelle tal undtagen .

Lad os gå videre til at finde definitionsdomæne for et produkt af funktioner. For dette tilfælde gælder en lignende regel:

Hvis funktionen f er produktet af n funktioner f 1, f 2, ..., f n, dvs. funktionen f er givet af formlen y=f 1 (x) f 2 (x)... f n (x), så er definitionsdomænet for funktionen f skæringspunktet mellem definitionsdomænerne for funktionerne f 1, f 2, ..., f n. Så, .

Dette er forståeligt, i det angivne område er alle produktfunktioner defineret, og dermed selve funktionen f.

Eksempel.

Y=3·arctgx·lnx .

Løsning.

Strukturen af ​​højre side af formlen, der definerer funktionen, kan betragtes som f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), hvor f 1 er en konstant funktion, f 2 er den arctangent funktion, og f 3 er en logaritmisk funktion med grundtallet e.

Vi ved, at D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) og D(f 3)=(0, +∞) . Derefter .

Svar:

Definitionsdomænet for funktionen y=3·arctgx·lnx er mængden af ​​alle reelle positive tal.

Lad os separat fokusere på at finde definitionsdomænet for en funktion specificeret af formlen y=C·f(x), hvor C er et reelt tal. Det er let at vise, at definitionsdomænet for denne funktion og definitionsdomænet for funktionen f er sammenfaldende. Faktisk er funktionen y=C·f(x) produktet af en konstant funktion og en funktion f. Domænet af en konstant funktion er mængden af ​​alle reelle tal, og domænet af en funktion f er D(f) . Så er definitionsdomænet for funktionen y=C f(x). , hvilket er det, der skulle vises.

Så definitionsdomænerne for funktionerne y=f(x) og y=C·f(x), hvor C er et reelt tal, falder sammen. For eksempel er rodens domæne , det bliver klart, at D(f) er mængden af ​​alle x fra domænet af funktionen f 2, for hvilke f 2 (x) er inkluderet i domænet for funktionen f 1 .

Dermed, definitionsdomæne af en kompleks funktion y=f 1 (f 2 (x)) er skæringspunktet mellem to mængder: mængden af ​​alle sådanne x, som x∈D(f 2) og mængden af ​​alle sådanne x, for hvilke f 2 (x)∈D(f) 1). Altså i den notation, vi har vedtaget (dette er i bund og grund et system af uligheder).

Lad os se på nogle eksempler på løsninger. Vi vil ikke beskrive processen i detaljer, da dette er uden for rammerne af denne artikel.

Eksempel.

Find definitionsdomænet for funktionen y=lnx 2 .

Løsning.

Den oprindelige funktion kan repræsenteres som y=f 1 (f 2 (x)), hvor f 1 er en logaritme med grundtallet e, og f 2 er power funktion med en indikator på 2.

Når vi vender os til de kendte definitionsdomæner af de vigtigste elementære funktioner, har vi D(f 1)=(0, +∞) og D(f 2)=(−∞, +∞) .

Derefter

Så vi fandt definitionsdomænet for den funktion, vi havde brug for, det er mængden af ​​alle reelle tal undtagen nul.

Svar:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Eksempel.

Hvad er en funktions domæne ?

Løsning.

Denne funktion er kompleks, den kan betragtes som y=f 1 (f 2 (x)), hvor f 1 er en potensfunktion med eksponent, og f 2 er arcsinusfunktionen, og vi skal finde dens definitionsdomæne.

Lad os se, hvad vi ved: D(f 1)=(0, +∞) og D(f 2)=[−1, 1] . Det er tilbage at finde skæringspunktet mellem værdisæt x, således at x∈D(f 2) og f 2 (x)∈D(f 1):

For at arcsinx>0 skal du huske egenskaberne for arcsine-funktionen. Arcsinen stiger gennem hele definitionsdomænet [−1, 1] og går til nul ved x=0, derfor er arcsinx>0 for enhver x fra intervallet (0, 1] .

Lad os vende tilbage til systemet:

Det krævede definitionsdomæne for funktionen er således halvintervallet (0, 1].

Svar:

(0, 1] .

Lad os nu gå videre til komplekse funktioner generel opfattelse y=fi (f 2 (…f n (x)))) . Definitionsdomænet for funktionen f findes i dette tilfælde som .

Eksempel.

Find domænet for en funktion .

Løsning.

Givet kompleks funktion kan skrives som y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), hvor f 1 – sin, f 2 – fjerdegrads rodfunktion, f 3 – log.

Vi ved, at D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= ∪ ∪

I den verbale metode til at specificere en funktion skal du omhyggeligt læse betingelsen og finde begrænsninger på X'erne der. Nogle gange leder øjnene efter formler, men ordene fløjter forbi bevidstheden ja...) Eksempel fra forrige lektion:

Funktionen er specificeret af betingelsen: hver værdi af det naturlige argument x er forbundet med summen af ​​de cifre, der udgør værdien af ​​x.

Det skal her bemærkes, at vi taler kun om naturværdierne af X. Derefter D(f) med det samme skrevet:

D(f): x ∈ N

Som du kan se, er omfanget af en funktion ikke sådan komplekst koncept. At finde denne region kommer ned til at undersøge funktionen, skrive et system af uligheder og løse dette system. Selvfølgelig er der alle slags systemer, enkle og komplekse. Men...

Jeg åbner den lille hemmelighed. Nogle gange ser en funktion, som du skal finde definitionsdomænet, simpelthen skræmmende ud. Jeg vil blive bleg og græde.) Men så snart jeg skriver systemet af uligheder ned... Og pludselig viser systemet sig at være elementært! Desuden er det ofte, jo mere forfærdeligt funktionen er, jo enklere er systemet...

Moral: øjnene frygter, hovedet bestemmer!)

Ethvert udtryk med en variabel har sit eget område af gyldige værdier, hvor det findes. ODZ skal altid tages i betragtning ved beslutninger. Hvis det er fraværende, kan du få et forkert resultat.

Denne artikel viser, hvordan man korrekt finder ODZ og bruger eksempler. Vigtigheden af ​​at angive DZ, når der træffes en beslutning, vil også blive diskuteret.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gyldige og ugyldige variabelværdier

Denne definition er relateret til variablens tilladte værdier. Når vi introducerer definitionen, lad os se, hvilket resultat det vil føre til.

Fra 7. klasse begynder vi at arbejde med tal og numeriske udtryk. Indledende definitioner med variabler går videre til betydningen af ​​udtryk med de valgte variable.

Når der er udtryk med udvalgte variabler, opfylder nogle af dem muligvis ikke. For eksempel et udtryk på formen 1: a, hvis a = 0, så giver det ikke mening, da det er umuligt at dividere med nul. Det vil sige, at udtrykket skal have værdier, der er egnede under alle omstændigheder og vil give et svar. Med andre ord giver de mening med de eksisterende variabler.

Definition 1

Hvis der er et udtryk med variable, så giver det kun mening, hvis værdien kan beregnes ved at erstatte dem.

Definition 2

Hvis der er et udtryk med variable, så giver det ikke mening, når værdien ikke kan beregnes ved substituering af dem.

Det vil sige, at dette indebærer en fuldstændig definition

Definition 3

Eksisterende tilladelige variabler er de værdier, som udtrykket giver mening. Og hvis det ikke giver mening, så anses de for at være uacceptable.

For at præcisere ovenstående: hvis der er mere end én variabel, kan der være et par passende værdier.

Eksempel 1

Overvej for eksempel et udtryk på formen 1 x - y + z, hvor der er tre variable. Ellers kan du skrive det som x = 0, y = 1, z = 2, mens en anden post har formen (0, 1, 2). Disse værdier kaldes valid, hvilket betyder, at værdien af ​​udtrykket kan findes. Vi får, at 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Heraf ser vi, at (1, 1, 2) er uacceptable. Substitutionen resulterer i division med nul, det vil sige 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Hvad er ODZ?

Interval af acceptable værdier – vigtigt element ved evaluering af algebraiske udtryk. Derfor er det værd at være opmærksom på dette, når du laver beregninger.

Definition 4

ODZ område er det sæt af værdier, der er tilladt for et givet udtryk.

Lad os se på et eksempel på udtryk.

Eksempel 2

Hvis vi har et udtryk på formen 5 z - 3, så har ODZ formen (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Dette er intervallet af gyldige værdier, der opfylder variablen z for et givet udtryk.

Hvis der er udtryk af formen z x - y, så er det klart, at x ≠ y, z har en hvilken som helst værdi. Dette kaldes ODZ-udtryk. Det skal tages i betragtning for ikke at opnå division med nul ved udskiftning.

Området af tilladte værdier og definitionsområdet har samme betydning. Kun den anden af ​​dem bruges til udtryk, og den første bruges til ligninger eller uligheder. Ved hjælp af DL giver udtrykket eller uligheden mening. Funktionens definitionsdomæne falder sammen med intervallet af tilladte værdier for variablen x for udtrykket f (x).

Hvordan finder man ODZ? Eksempler, løsninger

At finde ODZ betyder at finde alt gyldige værdier, egnet til en given funktion eller ulighed. Manglende overholdelse af disse betingelser kan resultere i forkerte resultater. For at finde ODZ'en er det ofte nødvendigt at gennemgå transformationer i et givet udtryk.

Der er udtryk, hvor deres beregning er umulig:

• hvis der er division med nul;
• tage roden af ​​et negativt tal;
• tilstedeværelsen af ​​en negativ heltalsindikator - kun for positive tal;
• beregning af logaritmen af ​​et negativt tal;
• definitionsdomæne for tangent π 2 + π · k, k ∈ Z og cotangens π · k, k ∈ Z;
• at finde værdien af ​​arcsine og arccosine af et tal for en værdi, der ikke tilhører [-1; 1].

Alt dette viser, hvor vigtigt det er at have ODZ.

Eksempel 3

Find ODZ-udtrykket x 3 + 2 x y − 4 .

Løsning

Ethvert tal kan kuberes. Dette udtryk har ikke en brøk, så værdierne af x og y kan være enhver. Det vil sige, ODZ er et hvilket som helst tal.

Svar: x og y – alle værdier.

Eksempel 4

Find ODZ for udtrykket 1 3 - x + 1 0.

Løsning

Det kan ses, at der er én brøk, hvor nævneren er nul. Det betyder, at for enhver værdi af x vil vi få division med nul. Det betyder, at vi kan konkludere, at dette udtryk betragtes som udefineret, det vil sige, at det ikke har noget yderligere ansvar.

Svar: ∅ .

Eksempel 5

Find ODZ for det givne udtryk x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Løsning

Tilgængelighed kvadrat rod angiver, at dette udtryk skal være større end eller lig med nul. På negativ værdi det giver ikke mening. Det betyder, at det er nødvendigt at skrive en ulighed på formen x + 2 · y + 3 ≥ 0. Det vil sige, at dette er det ønskede interval af acceptable værdier.

Svar: sæt af x og y, hvor x + 2 y + 3 ≥ 0.

Eksempel 6

Bestem ODZ-udtrykket af formen 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Løsning

Efter betingelse har vi en brøk, så dens nævner bør ikke være lig med nul. Vi får, at x + 1 - 1 ≠ 0. Det radikale udtryk giver altid mening, når det er større end eller lig med nul, det vil sige x + 1 ≥ 0. Da det har en logaritme, skal dets udtryk være strengt positivt, det vil sige x 2 + 3 > 0. Grundlaget for logaritmen skal også have positiv værdi og forskellig fra 1, så tilføjer vi betingelserne x + 8 > 0 og x + 8 ≠ 1. Det følger, at den ønskede ODZ vil have formen:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Med andre ord kaldes det et system af uligheder med én variabel. Løsningen vil føre til følgende ODZ-notation [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Svar: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Hvorfor er det vigtigt at overveje DPD, når man kører forandring?

Under identitetstransformationer er det vigtigt at finde ODZ. Der er tilfælde, hvor eksistensen af ​​ODZ ikke forekommer. For at forstå, om et givet udtryk har en løsning, skal du sammenligne VA af variablerne i det oprindelige udtryk og VA af det resulterende.

Identitetstransformationer:

• påvirker muligvis ikke DL;
• kan føre til udvidelse eller tilføjelse af DZ;
• kan indsnævre DZ.

Lad os se på et eksempel.

Eksempel 7

Hvis vi har et udtryk på formen x 2 + x + 3 · x, så er dens ODZ defineret over hele definitionsdomænet. Selv når man bringer lignende vilkår og forenkling af udtrykket ODZ ændres ikke.

Eksempel 8

Hvis vi tager eksemplet med udtrykket x + 3 x − 3 x, så er tingene anderledes. Vi har et brøkudtryk. Og vi ved, at division med nul er uacceptabelt. Så har ODZ formen (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Det kan ses, at nul ikke er en løsning, så vi tilføjer det med en parentes.

Lad os overveje et eksempel med tilstedeværelsen af ​​et radikalt udtryk.

Eksempel 9

Hvis der er x - 1 · x - 3, så skal du være opmærksom på ODZ, da den skal skrives som uligheden (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Det er muligt at løse ved intervalmetoden, så finder vi ud af, at ODZ vil tage formen (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Efter at have transformeret x - 1 · x - 3 og anvendt egenskaben af ​​rødder, har vi, at ODZ kan suppleres, og alt kan skrives i form af et system af uligheder af formen x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Når vi løser det, finder vi, at [ 3 , + ∞) . Det betyder, at ODZ er fuldstændig skrevet som følger: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Transformationer, der indsnævrer DZ, skal undgås.

Eksempel 10

Lad os overveje et eksempel på udtrykket x - 1 · x - 3, når x = - 1. Ved substituering får vi at - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Hvis vi transformerer dette udtryk og bringer det til formen x - 1 · x - 3, så finder vi ved beregningen, at 2 - 1 · 2 - 3 giver udtrykket ingen mening, da det radikale udtryk ikke bør være negativt.

Man bør overholde identiske transformationer, som ODZ ikke vil ændre.

Hvis der er eksempler, der udvider det, så skal det tilføjes til DL.

Eksempel 11

Lad os se på eksemplet med brøkdele af formen x x 3 + x. Hvis vi annullerer med x, får vi den 1 x 2 + 1. Så udvides ODZ og bliver (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Desuden arbejder vi allerede med den anden forenklede fraktion, når vi beregner.

I nærvær af logaritmer er situationen lidt anderledes.

Eksempel 12

Hvis der er et udtryk på formen ln x + ln (x + 3), erstattes det med ln (x · (x + 3)), baseret på logaritmens egenskab. Ud fra dette kan vi se, at ODZ fra (0 , + ∞) til (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . For at bestemme ODZ ln (x · (x + 3)) er det derfor nødvendigt at udføre beregninger på ODZ, det vil sige (0, + ∞) sættet.

Ved løsning er det altid nødvendigt at være opmærksom på det givne udtryks struktur og form. Hvis definitionsområdet findes korrekt, vil resultatet være positivt.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter