Numeriske og algebraiske udtryk. Konvertering af udtryk. Tal- og bogstavudtryk. Formel

JEG. Udtryk, hvori tal og tegn kan bruges sammen med bogstaver aritmetiske operationer og parenteser kaldes algebraiske udtryk.

Eksempler på algebraiske udtryk:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Da et bogstav i et algebraisk udtryk kan erstattes af nogle forskellige tal, kaldes bogstavet en variabel, og selve det algebraiske udtryk kaldes et udtryk med en variabel.

II. Hvis bogstaverne (variablerne) i et algebraisk udtryk erstattes af deres værdier, og de angivne handlinger udføres, kaldes det resulterende tal værdien algebraisk udtryk.

Eksempler. Find betydningen af ​​udtrykket:

1) a + 2b-c med a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| ved x = -8; y = -5; z = 6.

Løsning.

1) a + 2b-c med a = -2; b = 10; c = -3,5. I stedet for variabler, lad os erstatte deres værdier. Vi får:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| ved x = -8; y = -5; z = 6. Erstatning angivne værdier. Husk at modulet negativt tal er lig med dets modsatte tal, og modulet positivt tal lig med dette tal selv. Vi får:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Værdierne af bogstavet (variabel), som det algebraiske udtryk giver mening for, kaldes bogstavets (variable) tilladte værdier.

Eksempler. For hvilke værdier af variablen giver udtrykket ingen mening?

Løsning. Vi ved, at du ikke kan dividere med nul, derfor vil hvert af disse udtryk ikke give mening givet værdien af ​​bogstavet (variabelen), der gør brøkens nævner til nul!

I eksempel 1) er denne værdi a = 0. Hvis du erstatter 0 i stedet for a, bliver du nødt til at dividere tallet 6 med 0, men det kan ikke lade sig gøre. Svar: udtryk 1) giver ikke mening, når a = 0.

I eksempel 2) er nævneren for x 4 = 0 ved x = 4, derfor kan denne værdi x = 4 ikke tages. Svar: udtryk 2) giver ikke mening, når x = 4.

I eksempel 3) er nævneren x + 2 = 0, når x = -2. Svar: udtryk 3) giver ikke mening, når x = -2.

I eksempel 4) er nævneren 5 -|x| = 0 for |x| = 5. Og siden |5| = 5 og |-5| = 5, så kan du ikke tage x = 5 og x = -5. Svar: udtryk 4) giver ikke mening ved x = -5 og ved x = 5.
IV. To udtryk siges at være identisk ens, hvis de tilsvarende værdier af disse udtryk er ens for eventuelle tilladelige værdier af variablerne.

Eksempel: 5 (a – b) og 5a – 5b er også ens, da ligheden 5 (a – b) = 5a – 5b vil være sand for alle værdier af a og b. Ligheden 5 (a – b) = 5a – 5b er en identitet.

Identitet er en lighed, der er gyldig for alle tilladte værdier af de variable, der er inkluderet i den. Eksempler på identiteter, du allerede kender, er f.eks. egenskaberne addition og multiplikation og den fordelende egenskab.

At erstatte et udtryk med et andet identisk ens udtryk kaldes en identitetstransformation eller blot en transformation af et udtryk. Identiske transformationer af udtryk med variable udføres baseret på egenskaberne ved operationer på tal.

Eksempler.

en) konverter udtrykket til identisk lige ved hjælp af den fordelende egenskab ved multiplikation:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5-(a-2b + 4c); 3) a·(6m-2n + k).

Løsning. Lad os huske den fordelende egenskab (lov) for multiplikation:

(a+b)c=ac+bc(distributiv lov om multiplikation i forhold til addition: for at gange summen af ​​to tal med et tredje tal, kan du gange hvert led med dette tal og tilføje de resulterende resultater).
(a-b) c=a c-b c(Distributiv lov om multiplikation i forhold til subtraktion: For at gange forskellen mellem to tal med et tredje tal, kan du gange minuenden og subtrahere med dette tal separat og trække det andet fra det første resultat).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformer udtrykket til identisk lige, ved hjælp af de kommutative og associative egenskaber (love) for addition:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Løsning. Lad os anvende lovene (egenskaberne) for tilføjelse:

a+b=b+a(kommutativ: omarrangering af vilkårene ændrer ikke summen).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativ: for at tilføje et tredje tal til summen af ​​to led, kan du tilføje summen af ​​det andet og tredje tal til det første tal).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Konverter udtrykket til identisk lige ved hjælp af de kommutative og associative egenskaber (love) for multiplikation:

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Løsning. Lad os anvende lovene (egenskaberne) for multiplikation:

a·b=b·a(kommutativ: omarrangering af faktorerne ændrer ikke produktet).
(a b) c=a (b c)(kombinativ: for at gange produktet af to tal med et tredje tal, kan du gange det første tal med produktet af det andet og tredje tal).

7) 4 · x · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Hvis et algebraisk udtryk er givet i form af en reducerbar brøk, så kan den ved hjælp af reglen for reduktion af en brøk forenkles, dvs. erstatte det med et identisk lige simplere udtryk.

Eksempler. Forenkle ved hjælp af brøkreduktion.

Løsning. At reducere en brøk betyder at dividere dens tæller og nævner med det samme tal (udtryk), bortset fra nul. Fraktion 10) vil blive reduceret med 3b; brøk 11) reduceres med EN og fraktion 12) reduceres med 7n. Vi får:

Algebraiske udtryk bruges til at skabe formler.

En formel er et algebraisk udtryk skrevet som en lighed og udtrykker forholdet mellem to eller flere variable. Eksempel: stiformel du kender s=v t(s - tilbagelagt distance, v - hastighed, t - tid). Husk hvilke andre formler du kender.

Side 1 af 1 1

Når du studerer emnet numeriske, bogstavudtryk og udtryk med variabler, skal du være opmærksom på konceptet udtryksværdi. I denne artikel vil vi besvare spørgsmålet om, hvad værdien af ​​et numerisk udtryk er, og hvad der kaldes værdien af ​​et bogstaveligt udtryk og et udtryk med variabler for udvalgte variabelværdier. For at tydeliggøre disse definitioner giver vi eksempler.

Sidenavigation.

Hvad er værdien af ​​et numerisk udtryk?

Bekendtskabet med numeriske udtryk begynder næsten fra de første matematiktimer på skolen. Næsten øjeblikkeligt introduceres begrebet "værdien af ​​et numerisk udtryk". Det refererer til udtryk, der består af tal forbundet med aritmetiske operationstegn (+, −, ·, :). Lad os give den tilsvarende definition.

Definition.

Numerisk udtryksværdi– dette er det tal, der opnås efter at have udført alle handlingerne i det oprindelige numeriske udtryk.

Overvej f.eks numerisk udtryk 1+2. Når vi er færdige, får vi tallet 3, som er værdien af ​​det numeriske udtryk 1+2.

Ofte i sætningen "betydningen af ​​et numerisk udtryk" udelades ordet "numerisk", og de siger blot "betydningen af ​​udtrykket", da det stadig er klart, hvad meningen med udtrykket diskuteres.

Ovenstående definition af betydningen af ​​et udtryk gælder også for numeriske udtryk på mere end kompleks type som studeres i gymnasiet. Det skal her bemærkes, at du kan støde på numeriske udtryk, hvis værdier ikke kan specificeres. Dette skyldes, at det i nogle udtryk ikke er muligt at udføre de registrerede handlinger. For eksempel er det derfor, vi ikke kan angive værdien af ​​udtrykket 3:(2−2) . Sådanne numeriske udtryk kaldes udtryk, der ikke giver mening.

Ofte i praksis er det ikke så meget det numeriske udtryk, der er af interesse, som dets betydning. Det vil sige, at opgaven opstår med at bestemme betydningen af ​​et givet udtryk. I dette tilfælde plejer de at sige, at du skal finde værdien af ​​udtrykket. Denne artikel diskuterer i detaljer processen med at finde værdien af ​​numeriske udtryk forskellige typer, og en masse eksempler med detaljerede beskrivelser af løsninger overvejes.

Betydning af bogstavelige og variable udtryk

Ud over numeriske udtryk studeres bogstavelige udtryk, det vil sige udtryk, hvor et eller flere bogstaver er til stede sammen med tal. Bogstaverne i et bogstaveligt udtryk kan repræsentere forskellige tal, og hvis bogstaverne erstattes af disse tal, bliver det bogstavelige udtryk et numerisk udtryk.

Definition.

Tal, der erstatter bogstaver i et bogstaveligt udtryk kaldes betydningen af ​​disse bogstaver, og værdien af ​​det resulterende numeriske udtryk kaldes værdien af ​​et bogstaveligt udtryk for givne bogstavværdier.

Så for bogstavelige udtryk taler man ikke kun om betydningen af ​​det bogstavelige udtryk, men om betydningen af ​​det bogstavelige udtryk givet de givne (givne, angivne osv.) værdier af bogstaverne.

Lad os give et eksempel. Lad os tage det bogstavelige udtryk 2·a+b. Lad værdierne af bogstaverne a og b være givet, for eksempel a=1 og b=6. Ved at erstatte bogstaverne i det oprindelige udtryk med deres værdier, får vi et numerisk udtryk på formen 2·1+6, dets værdi er 8. Således er tallet 8 værdien af ​​det bogstavelige udtryk 2·a+b for de givne værdier af bogstaverne a=1 og b=6. Hvis andre bogstavværdier blev givet, ville vi få værdien af ​​bogstavudtrykket for disse bogstavværdier. For eksempel, med a=5 og b=1 har vi værdien 2·5+1=11.

I gymnasiet, når man studerer algebra, er bogstaver i bogstavudtryk tilladt at tage forskellige betydninger, sådanne bogstaver kaldes variable, og bogstavudtryk kaldes udtryk med variable. For disse udtryk introduceres begrebet værdien af ​​et udtryk med variabler for udvalgte værdier af variablerne. Lad os finde ud af, hvad det er.

Definition.

Værdien af ​​et udtryk med variabler for de valgte variabelværdier er værdien af ​​et numerisk udtryk, der opnås efter at have erstattet de valgte variabelværdier i det oprindelige udtryk.

Lad os forklare den angivne definition med et eksempel. Betragt et udtryk med variable x og y på formen 3·x·y+y. Lad os tage x=2 og y=4, erstatte disse variabelværdier i det oprindelige udtryk og få det numeriske udtryk 3·2·4+4. Lad os beregne værdien af ​​dette udtryk: 3·2·4+4=24+4=28. Den fundne værdi 28 er værdien af ​​det oprindelige udtryk med variablerne 3·x·y+y for de valgte værdier af variablerne x=2 og y=4.

Hvis du vælger andre variabelværdier, for eksempel x=5 og y=0, vil disse valgte variabelværdier svare til værdien af ​​variabeludtrykket lig med 3·5·0+0=0.

Det kan bemærkes, at nogle gange kan forskellige udvalgte værdier af variable resultere i ens udtryksværdier. For eksempel for x=9 og y=1 er værdien af ​​udtrykket 3 x y+y 28 (da 3 9 1+1=27+1=28), og ovenfor viste vi, at den samme værdi er udtryk med variable har ved x=2 og y=4 .

Variable værdier kan vælges fra deres tilsvarende regioner acceptable værdier . Ellers vil du, når du erstatter værdierne af disse variable i det oprindelige udtryk, få et numerisk udtryk, der ikke giver mening. For eksempel, hvis du vælger x=0 og erstatter denne værdi med udtrykket 1/x, får du det numeriske udtryk 1/0, hvilket ikke giver mening, da division med nul ikke er defineret.

Det er kun tilbage at tilføje, at der er udtryk med variabler, hvis værdier ikke afhænger af værdierne af de variabler, der er inkluderet i dem. For eksempel afhænger værdien af ​​et udtryk med en variabel x af formen 2+x−x ikke af værdien af ​​denne variabel; den er lig med 2 for enhver valgt værdi af variablen x fra intervallet af dens tilladte værdier , som i I dette tilfælde er mængden af ​​alle reelle tal.

Bibliografi.

• Matematik: lærebog for 5. klasse. almen uddannelse institutioner / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: lærebog for 7. klasse almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 17. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 240 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: lærebog for 8. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Et udtryk er det bredeste matematiske udtryk. I det væsentlige består alt i denne videnskab af dem, og alle operationer udføres også på dem. Et andet spørgsmål er, at der afhængig af den konkrete type bruges helt andre metoder og teknikker. Så at arbejde med trigonometri, brøker eller logaritmer er tre forskellige handlinger. Et udtryk, der ikke giver mening, kan være en af ​​to typer: numerisk eller algebraisk. Men hvad dette koncept betyder, hvordan dets eksempel ser ud og andre punkter vil blive diskuteret yderligere.

Numeriske udtryk

Hvis et udtryk består af tal, parenteser, plusser og minusser og andre symboler for aritmetiske operationer, kan det roligt kaldes numerisk. Hvilket er ret logisk: du skal bare se igen på dens først navngivne komponent.

Et numerisk udtryk kan være hvad som helst: det vigtigste er, at det ikke indeholder bogstaver. Og med "hvad som helst" i dette tilfælde mener vi alt: fra et simpelt tal, der står alene, for sig selv, til en enorm liste over dem og tegn på aritmetiske operationer, der kræver efterfølgende beregning af det endelige resultat. En brøk er også et numerisk udtryk, hvis den ikke indeholder nogen a, b, c, d osv., for så er det en helt anden type, som vil blive diskuteret lidt senere.

Betingelser for et udtryk, der ikke giver mening

Når en opgave begynder med ordet "beregn", kan vi tale om transformation. Sagen er, at denne handling ikke altid er tilrådelig: Det er ikke, at der er meget behov for det, hvis et udtryk, der ikke giver mening, kommer til syne. Eksemplerne er uendelige fantastiske: nogle gange, for at forstå, at det har overhalet os, er vi nødt til at åbne beslagene i lang tid og trættende og tælle-tæl-tælle...

Det vigtigste at huske er, at der ikke er nogen mening i udtryk, hvis endelige resultat koger ned til en handling, der er forbudt i matematik. For at være helt ærlig, så bliver selve transformationen meningsløs, men for at finde ud af det, skal man udføre den først. Sådan et paradoks!

Den mest berømte, men ikke mindre vigtige forbudte matematiske operation er division med nul.

Derfor er her for eksempel et udtryk, der ikke giver mening:

(17+11):(5+4-10+1).

Hvis vi ved hjælp af simple beregninger reducerer den anden parentes til et ciffer, vil den være nul.

Efter samme princip gives en "ærestitel" til dette udtryk:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebraiske udtryk

Dette er det samme numeriske udtryk, hvis der tilføjes forbudte bogstaver. Så bliver det fuldgyldigt algebraisk. Den kan også komme i alle størrelser og former. Et algebraisk udtryk er et bredere begreb, der omfatter det foregående. Men det gav mening at starte samtalen ikke med det, men med et nummer, så det blev klarere og lettere at forstå. Om et algebraisk udtryk giver mening er jo ikke et meget kompliceret spørgsmål, men et der har flere afklaringer.

Hvorfor det?

Et bogstaveligt udtryk eller et udtryk med variabler er synonymer. Det første udtryk er nemt at forklare: det indeholder trods alt bogstaver! Den anden er heller ikke århundredets mysterium: I stedet for bogstaver kan du erstatte forskellige tal, som følge heraf vil betydningen af ​​udtrykket ændre sig. Det er ikke svært at gætte, at bogstaverne i dette tilfælde er variablerne. I analogi er tal konstanter.

Og her vender vi tilbage til hovedemnet: meningsløst?

Eksempler på algebraiske udtryk, der ikke giver mening

Betingelsen for meningsløsheden af ​​et algebraisk udtryk er den samme som for et numerisk, med kun én undtagelse, eller mere præcist, en tilføjelse. Når du konverterer og beregner det endelige resultat, skal du tage højde for variable, så spørgsmålet stilles ikke som "hvilket udtryk giver ikke mening?", men "hvilken værdi af variablen vil dette udtryk ikke give mening?" og "er der en værdi af variablen, hvor udtrykket ikke længere giver mening?"

For eksempel (18-3):(a+11-9).

Ovenstående udtryk giver ikke mening, når a er lig med -2.

Men om (a+3):(12-4-8) kan vi roligt sige, at dette er et udtryk, der ikke giver mening for nogen a.

På samme måde, uanset b du erstatter udtrykket (b - 11): (12+1), vil det stadig give mening.

Typiske problemer om emnet "Et udtryk, der ikke giver mening"

7. klasse studerer dette emne i blandt andet matematik, og opgaver om det findes ofte både direkte efter den tilsvarende lektion, og som et "trick"-spørgsmål i moduler og eksamener.

Her er hvorfor det er værd at overveje typiske opgaver og metoder til at løse dem.

Eksempel 1.

Giver udtrykket mening:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Det er nødvendigt at udføre alle beregninger i parentes og bringe udtrykket til formen:

Slutresultatet indeholder derfor udtrykket er meningsløst.

Eksempel 2.

Hvilke udtryk giver ikke mening?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Du skal beregne den endelige værdi for hvert udtryk.

Svar: 1; 2.

Eksempel 3.

Find intervallet af acceptable værdier for følgende udtryk:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Rækken af ​​tilladte værdier (VA) er alle de tal, som, når de erstattes i stedet for variable, vil udtrykket give mening.

Det vil sige, at opgaven lyder sådan her: find værdier, hvor der ikke vil være nogen division med nul.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), eller b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), eller b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Eksempel 4.

Ved hvilke værdier giver udtrykket nedenfor ingen mening?

Den anden parentes er lig med nul, når spillet er lig med -3.

Svar: y=-3

Eksempel 4.

Hvilket af udtrykkene giver ikke mening kun ved x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 og 3, da hvis du i det første tilfælde erstatter x = -14, vil den anden parentes være lig med -28 og ikke nul, som det lyder i definitionen af ​​et meningsløst udtryk.

Eksempel 5.

Kom med og skriv et udtryk ned, der ikke giver mening.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebraiske udtryk med to variable

På trods af at alle udtryk, der ikke giver mening, har den samme essens, er der forskellige niveauer af deres kompleksitet. Så vi kan sige, at numeriske er simple eksempler, fordi de er lettere end algebraiske. Antallet af variabler i sidstnævnte øger vanskeligheden ved at løse. Men de bør ikke se ens ud: det vigtigste er at huske det generelle princip for løsningen og anvende det, uanset om eksemplet ligner et standardproblem eller har nogle ukendte tilføjelser.

Der kan fx opstå spørgsmål om, hvordan man løser en sådan opgave.

Find og skriv et par tal, der er ugyldige for udtrykket:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

Mulige svar:

Men faktisk ser det kun skræmmende og besværligt ud, for faktisk indeholder det det, man har vidst længe: Kvadrat- og kuberede tal, nogle regneoperationer som division, multiplikation, subtraktion og addition. For nemheds skyld kan du i øvrigt reducere problemet til brøkform.

Tælleren for den resulterende brøk er ikke tilfreds: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Det er et faktum. Men der er en anden grund til lykke: du behøver ikke engang at røre ved den for at løse opgaven! Ifølge definitionen diskuteret tidligere, kan du ikke dividere med nul, og hvad der præcist vil blive divideret med det er fuldstændig ligegyldigt. Derfor lader vi dette udtryk være uændret og erstatter talpar fra disse muligheder i nævneren. Allerede det tredje punkt passer perfekt, hvilket gør en lille beslag til nul. Men at stoppe der er en dårlig anbefaling, for noget andet kunne måske passe. Ja, det femte punkt passer også godt ind og passer til forholdene.

Vi skriver svaret ned: 3 og 5.

Endelig

Som du kan se, er dette emne meget interessant og ikke særlig kompliceret. Det bliver ikke svært at finde ud af det. Men det skader aldrig at øve et par eksempler!

Et udtryk er det bredeste matematiske udtryk. I det væsentlige består alt i denne videnskab af dem, og alle operationer udføres også på dem. Et andet spørgsmål er, at der afhængig af den konkrete type bruges helt andre metoder og teknikker. Så at arbejde med trigonometri, brøker eller logaritmer er tre forskellige handlinger. Et udtryk, der ikke giver mening, kan være en af ​​to typer: numerisk eller algebraisk. Men hvad dette koncept betyder, hvordan dets eksempel ser ud og andre punkter vil blive diskuteret yderligere.

Numeriske udtryk

Hvis et udtryk består af tal, parenteser, plusser og minusser og andre symboler for aritmetiske operationer, kan det roligt kaldes numerisk. Hvilket er ret logisk: du skal bare se igen på dens først navngivne komponent.

Et numerisk udtryk kan være hvad som helst: det vigtigste er, at det ikke indeholder bogstaver. Og med "hvad som helst" i dette tilfælde mener vi alt: fra et simpelt tal, der står alene, for sig selv, til en enorm liste over dem og tegn på aritmetiske operationer, der kræver efterfølgende beregning af det endelige resultat. En brøk er også et numerisk udtryk, hvis den ikke indeholder nogen a, b, c, d osv., for så er det en helt anden type, som vil blive diskuteret lidt senere.

Betingelser for et udtryk, der ikke giver mening

Når en opgave begynder med ordet "beregn", kan vi tale om transformation. Sagen er, at denne handling ikke altid er tilrådelig: Det er ikke, at der er meget behov for det, hvis et udtryk, der ikke giver mening, kommer til syne. Eksemplerne er uendelige fantastiske: nogle gange, for at forstå, at det har overhalet os, er vi nødt til at åbne beslagene i lang tid og trættende og tælle-tæl-tælle...

Det vigtigste at huske er, at der ikke er nogen mening i udtryk, hvis endelige resultat koger ned til en handling, der er forbudt i matematik. For at være helt ærlig, så bliver selve transformationen meningsløs, men for at finde ud af det, skal man udføre den først. Sådan et paradoks!

Den mest berømte, men ikke mindre vigtige forbudte matematiske operation er division med nul.

Derfor er her for eksempel et udtryk, der ikke giver mening:

(17+11):(5+4-10+1).

Hvis vi ved hjælp af simple beregninger reducerer den anden parentes til et ciffer, vil den være nul.

Efter samme princip gives en "ærestitel" til dette udtryk:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebraiske udtryk

Dette er det samme numeriske udtryk, hvis der tilføjes forbudte bogstaver. Så bliver det fuldgyldigt algebraisk. Den kan også komme i alle størrelser og former. Et algebraisk udtryk er et bredere begreb, der omfatter det foregående. Men det gav mening at starte samtalen ikke med det, men med et nummer, så det blev klarere og lettere at forstå. Om et algebraisk udtryk giver mening er jo ikke et meget kompliceret spørgsmål, men et der har flere afklaringer.

Hvorfor det?

Et bogstaveligt udtryk eller et udtryk med variabler er synonymer. Det første udtryk er nemt at forklare: det indeholder trods alt bogstaver! Den anden er heller ikke et århundredes mysterium: i stedet for bogstaver kan du erstatte forskellige tal, som et resultat af, at betydningen af ​​udtrykket ændres. Det er ikke svært at gætte, at bogstaverne i dette tilfælde er variablerne. I analogi er tal konstanter.

Og her vender vi tilbage til hovedemnet: hvad er et udtryk, der ikke har nogen betydning?

Eksempler på algebraiske udtryk, der ikke giver mening

Betingelsen for meningsløsheden af ​​et algebraisk udtryk er den samme som for et numerisk, med kun én undtagelse, eller mere præcist, en tilføjelse. Når du konverterer og beregner det endelige resultat, skal du tage højde for variable, så spørgsmålet stilles ikke som "hvilket udtryk giver ikke mening?", men "hvilken værdi af variablen vil dette udtryk ikke give mening?" og "er der en værdi af variablen, hvor udtrykket ikke længere giver mening?"

For eksempel (18-3):(a+11-9).

Ovenstående udtryk giver ikke mening, når a er lig med -2.

Men om (a+3):(12-4-8) kan vi roligt sige, at dette er et udtryk, der ikke giver mening for nogen a.

På samme måde, uanset b du erstatter udtrykket (b - 11): (12+1), vil det stadig give mening.

Typiske problemer om emnet "Et udtryk, der ikke giver mening"

7. klasse studerer dette emne i blandt andet matematik, og opgaver om det findes ofte både direkte efter den tilsvarende lektion, og som et "trick"-spørgsmål i moduler og eksamener.

Derfor er det værd at overveje typiske problemer og metoder til at løse dem.

Eksempel 1.

Giver udtrykket mening:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Det er nødvendigt at udføre alle beregninger i parentes og bringe udtrykket til formen:

Det endelige resultat indeholder division med nul, så udtrykket er meningsløst.

Eksempel 2.

Hvilke udtryk giver ikke mening?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Du skal beregne den endelige værdi for hvert udtryk.

Svar: 1; 2.

Eksempel 3.

Find intervallet af acceptable værdier for følgende udtryk:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Rækken af ​​tilladte værdier (VA) er alle de tal, som, når de erstattes i stedet for variable, vil udtrykket give mening.

Det vil sige, at opgaven lyder sådan her: find værdier, hvor der ikke vil være nogen division med nul.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), eller b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), eller b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Eksempel 4.

Ved hvilke værdier giver udtrykket nedenfor ingen mening?

Den anden parentes er lig med nul, når spillet er lig med -3.

Svar: y=-3

Eksempel 4.

Hvilket af udtrykkene giver ikke mening kun ved x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 og 3, da hvis du i det første tilfælde erstatter x = -14, vil den anden parentes være lig med -28 og ikke nul, som det lyder i definitionen af ​​et meningsløst udtryk.

Eksempel 5.

Kom med og skriv et udtryk ned, der ikke giver mening.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebraiske udtryk med to variable

På trods af at alle udtryk, der ikke giver mening, har den samme essens, er der forskellige niveauer af deres kompleksitet. Så vi kan sige, at numeriske er simple eksempler, fordi de er lettere end algebraiske. Antallet af variabler i sidstnævnte øger vanskeligheden ved at løse. Men de bør ikke være forvirrende i deres udseende: det vigtigste er at huske det generelle princip for løsningen og anvende det, uanset om eksemplet ligner et standardproblem eller har nogle ukendte tilføjelser.

Der kan fx opstå spørgsmål om, hvordan man løser en sådan opgave.

Find og skriv et par tal, der er ugyldige for udtrykket:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Mulige svar:

Men faktisk ser det kun skræmmende og besværligt ud, for faktisk indeholder det det, man har vidst længe: Kvadrat- og kuberede tal, nogle regneoperationer som division, multiplikation, subtraktion og addition. For nemheds skyld kan du i øvrigt reducere problemet til brøkform.

Tælleren for den resulterende brøk er ikke tilfreds: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Det er et faktum. Men der er en anden grund til lykke: du behøver ikke engang at røre ved den for at løse opgaven! Ifølge definitionen diskuteret tidligere, kan du ikke dividere med nul, og hvad der præcist vil blive divideret med det er fuldstændig ligegyldigt. Derfor lader vi dette udtryk være uændret og erstatter talpar fra disse muligheder i nævneren. Allerede det tredje punkt passer perfekt, hvilket gør en lille beslag til nul. Men at stoppe der er en dårlig anbefaling, for noget andet kunne måske passe. Ja, det femte punkt passer også godt ind og passer til forholdene.

Vi skriver svaret ned: 3 og 5.

Endelig

Som du kan se, er dette emne meget interessant og ikke særlig kompliceret. Det bliver ikke svært at finde ud af det. Men det skader aldrig at øve et par eksempler!

Numerisk udtryk– dette er enhver registrering af tal, aritmetiske symboler og parenteser. Et numerisk udtryk kan blot bestå af ét tal. Husk, at de grundlæggende aritmetiske operationer er "addition", "subtraktion", "multiplikation" og "division". Disse handlinger svarer til tegnene "+", "-", "∙", ":".

For at vi kan få et numerisk udtryk skal registreringen af ​​tal og regnesymboler selvfølgelig være meningsfuld. Så for eksempel kan sådan en post 5: + ∙ ikke kaldes et numerisk udtryk, da det er et tilfældigt sæt symboler, der ikke har nogen betydning. Tværtimod er 5 + 8 ∙ 9 allerede et rigtigt numerisk udtryk.

Værdien af ​​et numerisk udtryk.

Lad os sige med det samme, at hvis vi udfører handlingerne angivet i det numeriske udtryk, vil vi som et resultat få et tal. Dette nummer kaldes værdien af ​​et numerisk udtryk.

Lad os prøve at beregne, hvad vi får som et resultat af at udføre handlingerne i vores eksempel. I henhold til rækkefølgen, som aritmetiske operationer udføres i, udfører vi først multiplikationsoperationen. Gang 8 med 9. Vi får 72. Tilføj nu 72 og 5. Vi får 77.
Så, 77 - betyder numerisk udtryk 5 + 8 ∙ 9.

Numerisk lighed.

Du kan skrive det på denne måde: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Her brugte vi tegnet "=" ("Lige med") for første gang. En sådan notation, hvor to numeriske udtryk er adskilt af tegnet "=" kaldes numerisk lighed. Desuden, hvis værdierne på venstre og højre side af ligheden falder sammen, så kaldes ligheden trofast. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – korrekt lighed.
Hvis vi skriver 5 + 8 ∙ 9 = 100, vil dette allerede være det falsk ligestilling, da værdierne af venstre og højre side af denne lighed ikke længere er sammenfaldende.

Det skal bemærkes, at i numerisk udtryk kan vi også bruge parenteser. Parenteser påvirker rækkefølgen, hvori handlinger udføres. Så lad os for eksempel ændre vores eksempel ved at tilføje parenteser: (5 + 8) ∙ 9. Nu skal du først tilføje 5 og 8. Vi får 13. Og gange derefter 13 med 9. Vi får 117. Således, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – betyder numerisk udtryk (5 + 8) ∙ 9.

For at læse et udtryk korrekt, skal du bestemme, hvilken handling der udføres sidst for at beregne værdien af ​​et givet numerisk udtryk. Så hvis den sidste handling er subtraktion, kaldes udtrykket "forskel". Følgelig, hvis den sidste handling er sum - "sum", division - "kvotient", multiplikation - "produkt", eksponentiering - "potens".

For eksempel lyder det numeriske udtryk (1+5)(10-3) sådan: "produktet af summen af ​​tallene 1 og 5 og forskellen af ​​tallene 10 og 3."

Eksempler på numeriske udtryk.

Her er et eksempel på et mere komplekst numerisk udtryk:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

Dette numeriske udtryk bruger primtal, almindelige brøker og decimaler. Additions-, subtraktions-, multiplikations- og divisionstegn bruges også. Brøklinjen erstatter også deletegnet. På trods af den tilsyneladende kompleksitet er det ret simpelt at finde værdien af ​​dette numeriske udtryk. Det vigtigste er at være i stand til at udføre operationer med brøker samt omhyggeligt og nøjagtigt at foretage beregninger, og observere rækkefølgen, hvori handlingerne udføres.

I parentes har vi udtrykket $\frac(1)(4)+3.75$ . Konverter decimalbrøken 3,75 til en almindelig brøk.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Så, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Dernæst i tælleren af ​​brøken \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] vi har udtrykket 1,25+3,47+4,75-1,47. For at forenkle dette udtryk anvender vi den kommutative additionslov, som siger: "Summen ændres ikke ved at ændre termernes placering." Det vil sige 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

I brøkens nævner udtrykket $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Vi får $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Hvornår giver numeriske udtryk ingen mening?

Lad os se på et andet eksempel. I brøkens nævner $\frac(5+5)(3\centerprik 3-9)$ værdien af ​​udtrykket $3\centerdot 3-9$ er 0. Og som vi ved, er division med nul umuligt. Derfor har brøken $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ ingen betydning. Numeriske udtryk, der ikke har nogen betydning, siges at have "ingen betydning".

Hvis vi bruger bogstaver ud over tal i numeriske udtryk, så har vi det