Hvad kaldes den n'te rod. Potensfunktion og rødder - definition, egenskaber og formler

Rodgrad n fra et reelt tal -en, Hvor n - naturligt tal, kaldes dette reelle tal x, n hvis th grad er lig med -en.

Rodgrad n fra nummeret -en er angivet med symbolet. Ifølge denne definition.

At finde roden n-th grad blandt -en kaldet rodudvinding. Nummer EN kaldes et radikalt tal (udtryk), n- rodindikator. For ulige n der er en rod n-te potens for ethvert reelt tal -en. Når endda n der er en rod n-th grad kun for ikke negativt tal-en. For at tvetydige roden n-th grad blandt -en, introduceres begrebet en aritmetisk rod n-th grad blandt -en.

Begrebet en aritmetisk rod af grad N

Hvis n- naturligt tal, større 1 , så er der, og kun ét, ikke-negativt tal x, sådan at ligestillingen er opfyldt. Dette nummer x kaldes en aritmetisk rod n potens af et ikke-negativt tal EN og er udpeget. Nummer EN kaldes et radikalt tal, n- rodindikator.

Altså ifølge definitionen betyder notationen , hvor , for det første det og for det andet at, dvs. .

Begrebet en grad med en rationel eksponent

Grad med naturlig eksponent: lad EN er et reelt tal, og n- et naturligt tal større end et, n-te potens af tallet EN ringe til arbejdet n faktorer, som hver er ens EN, dvs. . Nummer EN- grundlaget for graden, n- eksponent. En potens med en nuleksponent: per definition, hvis , så . Nulpotens af et tal 0 giver ikke mening. En grad med en negativ heltalseksponent: antaget per definition, hvis og n er et naturligt tal, så . En grad med en brøkeksponent: det antages per definition, hvis og n- naturligt tal, m er et heltal, så .

Operationer med rødder.

I alle nedenstående formler betyder symbolet en aritmetisk rod (det radikale udtryk er positivt).

1. Roden af ​​produktet af flere faktorer er lig med produktet af rødderne af disse faktorer:

2. Roden af ​​et forhold er lig med forholdet mellem rødderne af udbyttet og divisoren:

3. Når du hæver en rod til en magt, er det nok at hæve det radikale tal til denne magt:

4. Hvis du øger graden af ​​roden n gange og samtidig hæver det radikale tal til n. potens, så ændres værdien af ​​roden ikke:

5. Hvis du reducerer graden af ​​roden med n gange og samtidig udtrækker den n'te rod af radikaltallet, så ændres værdien af ​​roden ikke:

Udvidelse af begrebet grad. Hidtil har vi kun betragtet grader med naturlige eksponenter; men operationer med potenser og rødder kan også føre til negative, nul- og brøkeksponenter. Alle disse eksponenter kræver yderligere definition.

En grad med negativ eksponent. Potensen af ​​et bestemt tal med en negativ (heltal) eksponent er defineret som én divideret med potensen af ​​det samme tal med en eksponent lig med den absolutte værdi af den negative eksponent:

Nu kan formlen a m: a n = a m - n bruges ikke kun for m større end n, men også for m mindre end n.

EKSEMPEL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Hvis vi ønsker, at formlen a m: a n = a m - n skal være gyldig for m = n, skal vi have en definition af nulgrad.

En grad med et nulindeks. Potensen af ​​ethvert ikke-nul tal med eksponent nul er 1.

EKSEMPLER. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For at hæve et reelt tal a til potensen m / n, skal du udtrække den n'te rod af den mte potens af dette tal a:

Om udtryk, der ikke har nogen betydning. Der er flere sådanne udtryk.

Tilfælde 1.

Hvor a ≠ 0 ikke eksisterer.

Faktisk, hvis vi antager, at x er et vist tal, så har vi i overensstemmelse med definitionen af ​​divisionsoperationen: a = 0 x, dvs. a = 0, hvilket modsiger betingelsen: a ≠ 0

Tilfælde 2.

Ethvert nummer.

Faktisk, hvis vi antager, at dette udtryk er lig med et bestemt tal x, så har vi ifølge definitionen af ​​divisionsoperationen: 0 = 0 · x. Men denne lighed gælder for ethvert tal x, hvilket er det, der skulle bevises.

Virkelig,

Løsning. Lad os overveje tre hovedsager:

1) x = 0 – denne værdi opfylder ikke denne ligning

2) for x > 0 får vi: x / x = 1, dvs. 1 = 1, hvilket betyder, at x er et hvilket som helst tal; men under hensyntagen til, at i vores tilfælde x > 0, er svaret x > 0;

3) ved x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

i dette tilfælde er der ingen løsning. Altså x > 0.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Lektionsmanuskript til 11. klasse om emnet:

«Rod n. grad fra et reelt tal. »

Formålet med lektionen: Dannelse hos eleverne af en holistisk forståelse af roden n-grad og aritmetisk rod af n. grad, dannelse af beregningsevner, bevidst og rationel brug rodens egenskaber ved løsning forskellige opgaver indeholdende en radikal. Tjek niveauet af elevernes forståelse af emnets spørgsmål.

Emne:skabe meningsfulde og organisatoriske betingelser for at mestre materiale om emnet " Numerisk og bogstavelige udtryk» på niveau med opfattelse, forståelse og primær udenadslære; udvikle evnen til at bruge denne information ved beregning af den n'te rod af et reelt tal;

Meta-emne: fremme udviklingen af ​​computerfærdigheder; evne til at analysere, sammenligne, generalisere, drage konklusioner;

Personlig: opdyrke evnen til at udtrykke sit synspunkt, lytte til andres svar, deltage i dialog og udvikle evnen til positivt samarbejde.

Planlagt resultat.

Emne: kunne i en reel situation anvende egenskaberne for den n. rod af et reelt tal ved udregning af rødder og løsning af ligninger.

Personlig: at udvikle opmærksomhed og nøjagtighed i beregninger, en krævende holdning til sig selv og sit arbejde og at opdyrke en følelse af gensidig bistand.

Lektionstype: lektion om at studere og indledningsvis konsolidere ny viden

Motivation for pædagogiske aktiviteter:

Østlig visdom siger: "Du kan føre en hest til vandet, men du kan ikke tvinge ham til at drikke." Og det er umuligt at tvinge en person til at studere godt, hvis han ikke selv forsøger at lære mere og ikke har lyst til at arbejde med sin mentale udvikling. Viden er jo kun viden, når den erhverves gennem ens tankers indsats, og ikke gennem hukommelsen alene.

Vores lektion vil blive holdt under mottoet: "Vi vil erobre enhver top, hvis vi stræber efter det." I løbet af lektionen skal du og jeg have tid til at overvinde adskillige tinder, og hver af jer skal lægge alle jeres kræfter i at erobre disse tinder.

"I dag har vi en lektion, hvor vi skal stifte bekendtskab med et nyt begreb: "N. rod" og lære at anvende dette begreb til transformation af forskellige udtryk.

Dit mål er baseret på forskellige former arbejde med at aktivere eksisterende viden, bidrage til studiet af stoffet og få gode karakterer"
Vi studerede kvadratroden af ​​et reelt tal i 8. klasse. Kvadratroden er relateret til en funktion af formen y=x 2. Gutter, kan I huske, hvordan vi beregnede kvadratrødder, og hvilke egenskaber havde det?
a) individuel undersøgelse:

hvad er det for et udtryk

det man kalder kvadratrod

det man kalder aritmetisk kvadratrod

opregne egenskaberne ved kvadratrod

b) arbejde i par: beregn.

-

2. Opdatering af viden og skabelse af en problemsituation: Løs ligningen x 4 =1. Hvordan kan vi løse det? (Analytisk og grafisk). Lad os løse det grafisk. For at gøre dette vil vi i et koordinatsystem konstruere en graf af funktionen y = x 4 ret linje y = 1 (fig. 164 a). De skærer hinanden i to punkter: A (-1;1) og B(1;1). Abscisse af punkt A og B, dvs. x 1 = -1,

x 2 = 1 er rødderne til ligningen x 4 = 1.
Ræsonnerer på nøjagtig samme måde finder vi rødderne til ligningen x 4 =16: Lad os nu prøve at løse ligningen x 4 =5; en geometrisk illustration er vist i fig. 164 f. Det er tydeligt, at ligningen har to rødder x 1 og x 2, og disse tal er som i de to foregående tilfælde indbyrdes modsatte. Men for de to første ligninger blev rødderne fundet uden problemer (de kunne findes uden at bruge grafer), men med ligningen x 4 = 5 er der problemer: fra tegningen kan vi ikke angive røddernes værdier, men vi kan kun fastslå, at den ene rod er placeret til venstre punkt -1, og den anden er til højre for punkt 1.

x 2 = - (læs: "fjerde rod af fem").

Vi talte om ligningen x 4 = a, hvor a 0. Vi kunne lige så godt tale om ligningen x 4 = a, hvor a 0, og n er et hvilket som helst naturligt tal. Løser vi f.eks. grafisk ligningen x 5 = 1, finder vi x = 1 (fig. 165); løser vi ligningen x 5 "= 7, fastslår vi, at ligningen har én rod x 1, som er placeret på x-aksen lidt til højre for punkt 1 (se fig. 165). For tallet x 1 introducerer vi notation.

Definition 1. Den n-te rod af et ikke-negativt tal a (n = 2, 3,4, 5,...) er et ikke-negativt tal, der, når det hæves til potensen n, resulterer i tallet a.

Dette tal betegnes, tallet a kaldes det radikale tal, og tallet n er eksponenten for roden.
Hvis n=2, så siger de normalt ikke "anden rod", men siger "kvadratrod." I dette tilfælde skriver de ikke dette. Dette er det særlige tilfælde, som du specifikt studerede i 8. klasses algebrakursus .

Hvis n = 3, så siger de i stedet for "tredjegradsrod" ofte "kuberod". Dit første bekendtskab med terningroden fandt også sted i 8. klasses algebrakursus. Vi brugte terningrødder i 9. klasses algebra.

Så hvis a ≥0, n= 2,3,4,5,…, så 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Generelt er =b og b n =a det samme forhold mellem ikke-negative tal a og b, men kun det andet er beskrevet mere i et enkelt sprog(bruger enklere tegn) end den første.

Operationen med at finde roden af ​​et ikke-negativt tal kaldes normalt rodekstraktion. Denne operation er det omvendte af at hæve til den passende effekt. Sammenligne:

Bemærk igen: kun positive tal vises i tabellen, da dette er fastsat i definition 1. Og selvom f.eks. (-6) 6 = 36 er en korrekt lighed, så gå fra den til notation ved hjælp af kvadratroden, dvs. skriv at det er umuligt. Per definition betyder et positivt tal = 6 (ikke -6). På samme måde, selvom 2 4 =16, t (-2) 4 =16, bevæger sig til røddernes tegn, skal vi skrive = 2 (og samtidig ≠-2).

Nogle gange kaldes udtrykket en radikal (fra det latinske ord gadix - "rod"). På russisk bruges udtrykket radikal ret ofte, for eksempel "radikale ændringer" - dette betyder "radikale ændringer". Selve rodens betegnelse minder i øvrigt om ordet gadix: Symbolet er et stiliseret bogstav r.

Operationen med at udtrække roden bestemmes også for et negativt radikaltal, men kun i tilfælde af en ulige rodeksponent. Med andre ord kan ligheden (-2) 5 = -32 omskrives i ækvivalent form som =-2. Følgende definition anvendes.

Definition 2. En ulige rod n af et negativt tal a (n = 3,5,...) er et negativt tal, der, når det hæves til potensen n, resulterer i tallet a.

Dette tal, som i definition 1, er betegnet med , tallet a er det radikale tal, og tallet n er eksponenten for roden.
Så hvis a , n=,5,7,…, så: 1) 0; 2) () n = a.

Således har en lige rod kun betydning (dvs. defineret) for et ikke-negativt radikalt udtryk; en ulige rod giver mening for ethvert radikalt udtryk.

5. Primær konsolidering af viden:

1. Beregn: nr. 33,5; 33,6; 33,74 33,8 oralt a) ; b); V); G).

d) I modsætning til tidligere eksempler vi kan ikke angive den nøjagtige værdi af tallet. Det er kun tydeligt, at det er større end 2, men mindre end 3, da 2 4 = 16 (dette er mindre end 17), og 3 4 = 81 (dette er mere end 17 ). Vi bemærker, at 24 er meget tættere på 17 end 34, så der er grund til at bruge det omtrentlige lighedstegnet:
2. Find betydningen af ​​følgende udtryk.

Placer det tilsvarende bogstav ved siden af ​​eksemplet.

Lidt information om den store videnskabsmand. Rene Descartes (1596-1650) fransk adelsmand, matematiker, filosof, fysiolog, tænker. Rene Descartes lagde grundlaget for analytisk geometri og introducerede bogstavbetegnelserne x 2, y 3. Alle ved Cartesiske koordinater, der definerer variablens funktion.

3 . Løs ligningerne: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Løsning: a) Hvis = -2, så er y = -8. Faktisk skal vi kube begge sider af den givne ligning. Vi får: 3x+4= - 8; 3x = -12; x = -4. b) Ræsonnere som i eksempel a), vi hæver begge sider af ligningen til fjerde potens. Vi får: x=1.

c) Det er ikke nødvendigt at hæve den til fjerde potens; denne ligning har ingen løsninger. Hvorfor? For ifølge definition 1 er en lige rod et ikke-negativt tal.
Flere opgaver tilbydes til din opmærksomhed. Når du udfører disse opgaver, vil du lære den store matematikers navn og efternavn. Denne videnskabsmand var den første til at introducere rodtegnet i 1637.

6. Lad os hvile lidt.

Klassen rækker hænderne op - dette er "en".

Hovedet drejede - det var "to".

Hænder ned, se frem - det er "tre".

Hænderne vendt bredere til siderne til "fire"

At trykke dem med kraft i dine hænder er en "high five".

Alle fyrene skal sidde ned - det er "seks".

7. Selvstændigt arbejde:

mulighed: mulighed 2:

b) 3-. b)12-6.

2. Løs ligningen: a) x 4 = -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 = -3; b)0,3x9 – 2,4=0;

c) = -2; c)= 2

8. Gentagelse: Find roden af ​​ligningen = - x. Hvis ligningen har mere end én rod, så skriv svaret med den mindre rod.

9. Refleksion: Hvad lærte du i lektionen? Hvad var interessant? Hvad var svært?

Lektionens mål:

Pædagogisk: skabe betingelser for dannelsen hos eleverne af en holistisk idé om den n'te rod, færdigheder til bevidst og rationel brug af rodens egenskaber ved løsning af forskellige problemer.

Udviklingsmæssige: skabe betingelser for udvikling af algoritmisk, kreativ tænkning, udvikle selvkontrolevner.

Pædagogisk: fremme udviklingen af ​​interesse for faget, aktivitet, opdyrke nøjagtighed i arbejdet, evnen til at udtrykke sin egen mening og give anbefalinger.

Under timerne

1. Organisatorisk øjeblik.

God eftermiddag God time!

Jeg er så glad for at se dig.

Klokken har allerede ringet

Lektionen begynder.

Vi smilede. Vi indhentede.

Vi kiggede på hinanden

Og de satte sig stille sammen.

2. Lektionsmotivation.

Den fremragende franske filosof og videnskabsmand Blaise Pascal argumenterede: "En persons storhed ligger i hans evne til at tænke." I dag vil vi prøve at føle os som store mennesker ved selv at opdage viden. Mottoet for dagens lektion vil være ordene fra den antikke græske matematiker Thales:

Hvad er der mere end noget andet i verden? - Plads.

Hvad er hurtigst? - Husk.

Hvad er det klogeste? - Tid.

Hvad er den bedste del? - Opnå det, du ønsker.

Jeg vil gerne have, at hver enkelt af jer opnår det ønskede resultat i dagens lektion.

3. Opdatering af viden.

1. Navngiv de gensidige algebraiske operationer på tal. (Addition og subtraktion, multiplikation og division)

2. Er det altid muligt at udføre en algebraisk operation såsom division? (Nej, du kan ikke dividere med nul)

3. Hvilken anden handling kan du udføre med tal? (Eksponentiering)

4. Hvilken operation vil være hendes omvendte? (rodudvinding)

5. Hvilken grad af rod kan du udvinde? (Anden rod)

6. Hvilke egenskaber ved kvadratroden kender du? (Udtrækning af kvadratroden af ​​et produkt, fra en kvotient, fra en rod, hævning til en potens)

7. Find betydningen af ​​udtrykkene:

Fra historien. Selv for 4000 år siden kompilerede babylonske videnskabsmænd sammen med multiplikationstabeller og tabeller gensidige(hvorved delingen af ​​tal blev reduceret til multiplikation) tabeller med kvadrater af tal og kvadratrødder tal. Samtidig var de i stand til at finde den omtrentlige værdi af kvadratroden af ​​ethvert heltal.

4. At studere nyt materiale.

Det er klart, i overensstemmelse med de grundlæggende egenskaber af grader med naturlige eksponenter, fra evt positivt tal der er to modsatte værdier af en lige rod, for eksempel er tallene 4 og -4 kvadratrødder af 16, da (-4)2 = 42 = 16, og tallene 3 og -3 er fjerderødder af 81 , da (-3)4 = 34 = 81.

Desuden er der ingen lige rod af et negativt tal, fordi den lige potens af ethvert reelt tal er ikke-negativ. Hvad angår roden af ​​en ulige grad, for ethvert reelt tal er der kun én rod af en ulige grad fra dette tal. For eksempel er 3 den tredje rod af 27, da 33 = 27, og -2 er den femte rod af -32, da (-2)5 = 32.

På grund af eksistensen af ​​to rødder af lige grad fra et positivt tal, introducerer vi begrebet en aritmetisk rod for at eliminere denne tvetydighed af roden.

En ikke-negativ værdi af den n-te rod af et ikke-negativt tal kaldes en aritmetisk rod.

Betegnelse: - n'te rod grader.

Tallet n kaldes potensen af ​​den aritmetiske rod. Hvis n = 2, så er graden af ​​roden ikke angivet og skrives. Roden af ​​anden grad kaldes normalt kvadratroden, og roden af ​​tredje grad kaldes kubikroden.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = a, p - selv a ≥ 0, b ≥ 0

n - ulige a, b - enhver

Ejendomme

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b >0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - naturlige tal

5. Konsolidering af nyt materiale.

Mundtligt arbejde

a) Hvilke udtryk giver mening?

b) For hvilke værdier af variablen a giver udtrykket mening?

Løs nr. 3, 4, 7, 9, 11.

6. Idrætsminut.

Mådehold er nødvendig i alle forhold,

Lad det være hovedreglen.

Lav gymnastik, da du har tænkt i lang tid,

Gymnastik udmatter ikke kroppen,

Men det renser kroppen fuldstændig!

Luk øjnene, slap af i kroppen,

Forestil dig - du er fugle, du flyver pludselig!

Nu svømmer du i havet som en delfin,

Nu plukker du modne æbler i haven.

Venstre, højre, kiggede rundt,

Åbn dine øjne og kom tilbage til forretningen!

7. Selvstændigt arbejde.

Arbejd i par med. 178 nr. 1, nr. 2.

8. D/z. Lær punkt 10 (s. 160-161), løs nr. 5, 6, 8, 12, 16(1, 2).

9. Lektionsresumé. Refleksion af aktivitet.

Opnåede lektionen sit mål?

Hvad har du lært?

Potensfunktionens grundlæggende egenskaber er givet, herunder formler og egenskaber for rødderne. Afledt, integral, ekspansion i power serie og repræsentation gennem komplekse tal af en potensfunktion.

Definition

Definition
Power funktion med eksponent s er funktionen f (x) = x p, hvis værdi i punktet x er lig med værdien af ​​eksponentialfunktionen med grundtallet x i punktet p.
Desuden f (0) = 0 p = 0 for p > 0 .

For naturlige værdier af eksponenten er potensfunktionen produktet af n tal lig med x:
.
Det er defineret for alle gyldige.

For positive rationelle værdier af eksponenten er potensfunktionen produktet af n rødder af grad m af tallet x:
.
For ulige m er det defineret for alle reelle x. For lige m er potensfunktionen defineret for ikke-negative.

For negativ bestemmes potensfunktionen af ​​formlen:
.
Derfor er det ikke defineret på punktet.

For irrationelle værdier af eksponenten p bestemmes potensfunktionen af ​​formlen:
,
hvor a er et vilkårligt positivt tal, der ikke er lig med en: .
Hvornår er det defineret til .
Når er strømfunktionen defineret for .

Kontinuitet. En magtfunktion er kontinuerlig i sit definitionsdomæne.

Egenskaber og formler for potensfunktioner for x ≥ 0

Her vil vi overveje egenskaberne af potensfunktionen for ikke negative værdier argument x. Som nævnt ovenfor, for visse værdier af eksponenten p, er potensfunktionen også defineret for negative værdier af x. I dette tilfælde kan dets egenskaber opnås fra egenskaberne for , ved hjælp af lige eller ulige. Disse sager er diskuteret og illustreret i detaljer på siden "".

En potensfunktion, y = x p, med eksponent p har følgende egenskaber:
(1.1) defineret og kontinuerligt på settet
kl ,
kl ;
(1.2) har mange betydninger
kl ,
kl ;
(1.3) stiger strengt med,
aftager strengt som ;
(1.4) kl ;
kl ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Bevis for egenskaber er givet på siden "Power funktion (bevis for kontinuitet og egenskaber)"

Rødder - definition, formler, egenskaber

Definition
Rod af et tal x af grad n er det tal, som når det hæves til potensen n giver x:
.
Her er n = 2, 3, 4, ... - et naturligt tal større end et.

Du kan også sige, at roden af ​​et tal x af grad n er roden (dvs. løsningen) af ligningen
.
Bemærk, at funktionen er det omvendte af funktionen.

Kvadrat rod fra nummer x er en rod af grad 2:.

Terningrod af x er en rod af grad 3:.

Selv grad

For lige potenser n = 2 m, er roden defineret for x ≥ 0 . En formel, der ofte bruges, er gyldig for både positive og negative x:
.
For kvadratrod:
.

Den rækkefølge, som operationerne udføres i, er vigtig her - det vil sige, først udføres kvadratet, hvilket resulterer i et ikke-negativt tal, og derefter tages roden fra det (kvadratroden kan tages fra et ikke-negativt tal ). Hvis vi ændrede rækkefølgen: , så for negativ x ville roden være udefineret, og med den ville hele udtrykket være udefineret.

Ulige grad

For ulige potenser er roden defineret for alle x:
;
.

Egenskaber og formler for rødder

Roden af ​​x er en potensfunktion:
.
Når x ≥ 0 følgende formler gælder:
;
;
, ;
.

Disse formler kan også anvendes til negative værdier af variable. Du skal bare sørge for, at det radikale udtryk for lige magter ikke er negativt.

Private værdier

Roden af ​​0 er 0: .
Rod 1 er lig med 1:.
Kvadratroden af ​​0 er 0: .
Kvadratroden af ​​1 er 1: .

Eksempel. Rod af rødder

Lad os se på et eksempel på en kvadratrod af rødder:
.
Lad os transformere den indre kvadratrod ved hjælp af formlerne ovenfor:
.
Lad os nu transformere den oprindelige rod:
.
Så,
.

y = x p for forskellige værdier af eksponenten p.

Her er grafer for funktionen for ikke-negative værdier af argumentet x. Grafer for en potensfunktion defineret for negative værdier af x er angivet på siden "Power funktion, dens egenskaber og grafer"

Omvendt funktion

Det omvendte af en potensfunktion med eksponent p er en potensfunktion med eksponent 1/p.

Hvis så.

Afledt af en potensfunktion

Afledt af n. orden:
;

Udledning af formler > > >

Integral af en effektfunktion

P ≠ - 1 ;
.

Udvidelse af Power-serien

ved - 1 < x < 1 følgende nedbrydning finder sted:

Udtryk ved hjælp af komplekse tal

Overvej funktionen af ​​den komplekse variabel z:
f (z) = zt.
Lad os udtrykke den komplekse variabel z i form af modulet r og argumentet φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Vi repræsenterer det komplekse tal t i form af reelle og imaginære dele:
t = p + iq.
Vi har:

Dernæst tager vi højde for, at argumentet φ ikke er entydigt defineret:
,

Lad os overveje tilfældet, når q = 0 , dvs. eksponenten er et reelt tal, t = p. Derefter
.

Hvis p er et heltal, så er kp et heltal. Derefter, på grund af periodiciteten af ​​trigonometriske funktioner:
.
Det er eksponentiel funktion for en heltalseksponent har et givet z kun én værdi og er derfor utvetydigt.

Hvis p er irrationel, så producerer produkterne kp for enhver k ikke et heltal. Da k løber gennem en uendelig række af værdier k = 0, 1, 2, 3, ..., så har funktionen z p uendeligt mange værdier. Hver gang argumentet z øges 2π(en omgang), flytter vi til en ny gren af ​​funktionen.

Hvis p er rationel, kan den repræsenteres som:
, Hvor m, n- hel, ikke indeholdende fælles divisorer. Derefter
.
Først n værdier, med k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, give n forskellige betydninger kp:
.
Imidlertid giver efterfølgende værdier værdier, der adskiller sig fra de foregående med et heltal. For eksempel, når k = k 0+n vi har:
.
Trigonometriske funktioner, hvis argumenter adskiller sig med værdier, der er multipla af 2π, har lige værdier. Derfor, med en yderligere stigning i k, opnår vi de samme værdier af z p som for k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Således er en eksponentiel funktion med en rationel eksponent multiværdi og har n værdier (grene). Hver gang argumentet z øges 2π(en omgang), flytter vi til en ny gren af ​​funktionen. Efter n sådanne omdrejninger vender vi tilbage til den første gren, hvorfra nedtællingen begyndte.

Især en rod af grad n har n værdier. Som et eksempel kan du overveje den n'te rod af et reelt positivt tal z = x. I dette tilfælde φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Så for en kvadratrod er n = 2 ,
.
For selv k, (-1) k = 1. For ulige k, (-1) k = -1.
Det vil sige, at kvadratroden har to betydninger: + og -.

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.