Kaldes vektorkoordinater. Vektorkoordinater. Retning cosinus. Summen af ​​to vektorer givet ved koordinater

Endelig fik jeg fingrene i dette store og længe ventede emne. analytisk geometri. Først lidt om dette afsnit af højere matematik... Sikkert husker du nu et skolegeometrikursus med talrige teoremer, deres beviser, tegninger osv. Hvad skal man skjule, et uelsket og ofte obskurt emne for en betydelig del af eleverne. Analytisk geometri kan mærkeligt nok virke mere interessant og tilgængelig. Hvad betyder adjektivet "analytisk"? To klichéagtige matematiske sætninger dukker straks op: "grafisk løsningsmetode" og "analytisk løsningsmetode." Grafisk metode er naturligvis forbundet med konstruktion af grafer og tegninger. Analytisk samme metode involverer løsning af problemer hovedsagelig gennem algebraiske operationer. I denne henseende er algoritmen til at løse næsten alle problemer med analytisk geometri enkel og gennemsigtig; ofte er det nok at omhyggeligt anvende de nødvendige formler - og svaret er klar! Nej, selvfølgelig vil vi slet ikke være i stand til at gøre dette uden tegninger, og udover det, for en bedre forståelse af materialet, vil jeg forsøge at citere dem ud over nødvendigheden.

Det nyåbnede undervisningsforløb om geometri foregiver ikke at være teoretisk komplet, det er fokuseret på at løse praktiske problemer. Jeg vil i mine forelæsninger kun inddrage det, der fra mit synspunkt er vigtigt i praksis. Hvis du har brug for mere komplet hjælp til et underafsnit, anbefaler jeg følgende ganske tilgængelige litteratur:

1) En ting, som flere generationer uden spøg er bekendt med: Skole lærebog i geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og Company. Denne skole-omklædningsbøjle har allerede gennemgået 20 (!) genoptryk, hvilket selvfølgelig ikke er grænsen.

2) Geometri i 2 bind. Forfattere L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur til gymnasiet, du skal bruge første bind. Sjældent stødte opgaver kan falde ud af mit syn, og selvstudiet vil være til uvurderlig hjælp.

Begge bøger kan downloades gratis online. Derudover kan du bruge mit arkiv med færdige løsninger, som kan findes på siden Download eksempler i højere matematik.

Blandt værktøjerne foreslår jeg igen min egen udvikling - softwarepakke i analytisk geometri, hvilket i høj grad vil forenkle livet og spare en masse tid.

Det forudsættes, at læseren er bekendt med grundlæggende geometriske begreber og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallelogram, parallelepipedum, terning mv. Det er tilrådeligt at huske nogle sætninger, i det mindste Pythagoras sætning, hej til gengangere)

Og nu vil vi overveje sekventielt: konceptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Jeg anbefaler at læse videre den vigtigste artikel Punktprodukt af vektorer, og også Vektor og blandet produkt af vektorer. En lokal opgave - Opdeling af et segment i denne henseende - vil heller ikke være overflødig. Baseret på ovenstående oplysninger kan du mestre ligning af en linje i et plan Med enkleste eksempler på løsninger, hvilket vil tillade lære at løse geometriske problemer. Følgende artikler er også nyttige: Ligning af et plan i rummet, Ligninger af en linje i rummet, Grundlæggende problemer på en ret linje og et plan, andre sektioner af analytisk geometri. Standardopgaver vil naturligvis blive overvejet undervejs.

Vektor koncept. Gratis vektor

Lad os først gentage skolens definition af en vektor. Vektor hedder instrueret et segment, for hvilket dets begyndelse og slutning er angivet:

I dette tilfælde er begyndelsen af ​​segmentet punktet, slutningen af ​​segmentet er punktet. Selve vektoren er angivet med . Retning er afgørende, hvis du flytter pilen til den anden ende af segmentet, får du en vektor, og det er det allerede helt anden vektor. Det er praktisk at identificere begrebet vektor med bevægelsen af ​​en fysisk krop: du skal være enig, at gå ind af dørene til et institut eller forlade dørene til et institut er helt forskellige ting.

Det er praktisk at overveje individuelle punkter i et fly eller rum som den såkaldte nul vektor. For en sådan vektor falder slutningen og begyndelsen sammen.

!!! Bemærk: Her og videre kan man antage, at vektorerne ligger i samme plan, eller man kan antage, at de er placeret i rummet - essensen af ​​det præsenterede materiale er gældende for både planet og rummet.

Betegnelser: Mange lagde straks mærke til pinden uden en pil i betegnelsen og sagde, der er også en pil øverst! Sandt nok kan du skrive det med en pil: , men det er også muligt den post, som jeg vil bruge i fremtiden. Hvorfor? Tilsyneladende udviklede denne vane sig af praktiske årsager; mine skytter på skolen og universitetet viste sig at være for forskellige i størrelse og pjuskede. I pædagogisk litteratur gider de nogle gange slet ikke kileskriftsskrivning, men fremhæver bogstaverne med fed skrift: , og antyder derved, at dette er en vektor.

Det var stilistik, og nu om måder at skrive vektorer på:

1) Vektorer kan skrives med to store latinske bogstaver:
og så videre. I dette tilfælde det første bogstav Nødvendigvis angiver vektorens begyndelsespunkt, og det andet bogstav angiver vektorens slutpunkt.

2) Vektorer er også skrevet med små latinske bogstaver:
Især kan vores vektor omdesignes for kortheds skyld med et lille latinsk bogstav.

Længde eller modul en ikke-nul vektor kaldes længden af ​​segmentet. Længden af ​​nulvektoren er nul. Logisk.

Længden af ​​vektoren er angivet med modultegnet: ,

Vi lærer, hvordan man finder længden af ​​en vektor (eller vi gentager den, afhængigt af hvem) lidt senere.

Dette var grundlæggende information om vektorer, som alle skolebørn kender. I analytisk geometri, den såkaldte gratis vektor.

For at sige det enkelt - vektoren kan plottes fra ethvert punkt:

Vi er vant til at kalde sådanne vektorer lige (definitionen af ​​lige vektorer vil blive givet nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er de den SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løbet af løsningen af ​​problemer, kan du "vedhæfte" denne eller hin "skole" vektor til ethvert punkt i flyet eller rummet, du har brug for. Dette er en meget fed funktion! Forestil dig et rettet segment af vilkårlig længde og retning - det kan "klones" et uendeligt antal gange og på ethvert punkt i rummet, faktisk eksisterer det OVERALT. Der er sådan en studerende, der siger: Enhver underviser giver en helvede til vektoren. Det er trods alt ikke bare et vittigt rim, alt er næsten korrekt - der kan også tilføjes et instrueret segment. Men skynd dig ikke at glæde dig, det er eleverne selv, der ofte lider =)

Så, gratis vektor- Det her en masse identiske rettede segmenter. Skoledefinitionen af ​​en vektor, givet i begyndelsen af ​​afsnittet: "Et rettet segment kaldes en vektor..." indebærer bestemt et rettet segment taget fra et givet sæt, som er bundet til et bestemt punkt i planet eller rummet.

Det skal bemærkes, at fra et fysisk synspunkt er begrebet en fri vektor generelt forkert, og anvendelsespunktet er vigtigt. Faktisk medfører et direkte slag af samme kraft på næsen eller panden, nok til at udvikle mit dumme eksempel, forskellige konsekvenser. Imidlertid, ufri vektorer findes også i løbet af vyshmat (gå ikke derhen :)).

Handlinger med vektorer. Kollinearitet af vektorer

Et skolegeometrikursus dækker en række handlinger og regler med vektorer: addition efter trekantsreglen, addition efter parallelogramreglen, vektordifferensregel, multiplikation af en vektor med et tal, skalarprodukt af vektorer osv. Lad os som udgangspunkt gentage to regler, der er særligt relevante for at løse problemer med analytisk geometri.

Reglen for at tilføje vektorer ved hjælp af trekantsreglen

Overvej to vilkårlige ikke-nul vektorer og:

Du skal finde summen af ​​disse vektorer. På grund af det faktum, at alle vektorer betragtes som frie, vil vi afsætte vektoren fra ende vektor:

Summen af ​​vektorer er vektoren. For en bedre forståelse af reglen er det tilrådeligt at lægge en fysisk betydning ind i den: lad noget krop rejse langs vektoren og derefter langs vektoren. Så er summen af ​​vektorer vektoren af ​​den resulterende sti med begyndelsen ved afgangspunktet og slutningen ved ankomstpunktet. En lignende regel er formuleret for summen af ​​et hvilket som helst antal vektorer. Som de siger, kan kroppen gå sin vej meget magert langs en zigzag, eller måske på autopilot - langs den resulterende vektor af summen.

Forresten, hvis vektoren er udskudt fra startede vektor, så får vi det tilsvarende parallelogram regel tilføjelse af vektorer.

Først om vektorers kollinearitet. De to vektorer kaldes collineær, hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Groft sagt taler vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem bruges adjektivet "collinear" altid.

Forestil dig to kollineære vektorer. Hvis pilene på disse vektorer er rettet i samme retning, kaldes sådanne vektorer co-instrueret. Hvis pilene peger i forskellige retninger, så vil vektorerne være det modsatte retninger.

Betegnelser: kollinearitet af vektorer skrives med det sædvanlige parallelitetssymbol: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-dirigeret) eller (vektorer er modsat rettet).

Arbejdet en ikke-nul vektor på et tal er en vektor, hvis længde er lig med , og vektorerne og er co-rettet mod og modsat rettet mod.

Reglen for at gange en vektor med et tal er lettere at forstå ved hjælp af et billede:

Lad os se på det mere detaljeret:

1) Retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så er vektoren skifter retning til det modsatte.

2) Længde. Hvis multiplikatoren er indeholdt i eller , så længden af ​​vektoren falder. Så længden af ​​vektoren er halvdelen af ​​længden af ​​vektoren. Hvis multiplikatorens modul er større end én, så længden af ​​vektoren stiger i tide.

3) Bemærk venligst at alle vektorer er kollineære, mens en vektor udtrykkes gennem en anden, f.eks. Det omvendte er også sandt: hvis en vektor kan udtrykkes gennem en anden, så er sådanne vektorer nødvendigvis kollineære. Dermed: hvis vi gange en vektor med et tal, får vi collinear(i forhold til originalen) vektor.

4) Vektorerne er co-dirigeret. Vektorer og er også co-directed. Enhver vektor i den første gruppe er modsat rettet i forhold til enhver vektor i den anden gruppe.

Hvilke vektorer er lige store?

To vektorer er ens, hvis de er i samme retning og har samme længde. Bemærk, at codirectionality indebærer collinearitet af vektorer. Definitionen ville være unøjagtig (overflødig), hvis vi sagde: "To vektorer er ens, hvis de er collineære, codirectional og har samme længde."

Fra synspunktet om begrebet en fri vektor er lige vektorer den samme vektor, som diskuteret i det foregående afsnit.

Vektorkoordinater på flyet og i rummet

Det første punkt er at overveje vektorer på planet. Lad os afbilde et kartesisk rektangulært koordinatsystem og plotte det fra koordinaternes oprindelse enkelt vektorer og:

Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelret. Jeg anbefaler, at du langsomt vænner dig til begreberne: i stedet for parallelitet og vinkelrethed bruger vi ordene hhv. kolinearitet Og ortogonalitet.

Betegnelse: Ortogonaliteten af ​​vektorer skrives med det sædvanlige vinkelret symbol, for eksempel: .

De betragtede vektorer kaldes koordinatvektorer eller orts. Disse vektorer dannes basis på overfladen. Hvad et grundlag er, tror jeg, er intuitivt klart for mange; mere detaljeret information kan findes i artiklen Lineær (ikke) afhængighed af vektorer. Grundlag for vektorer Med enkle ord definerer grundlaget og oprindelsen af ​​koordinater hele systemet - dette er en slags fundament, hvorpå et fuldt og rigt geometrisk liv koger.

Nogle gange kaldes det konstruerede grundlag ortonormale basis af planet: "ortho" - fordi koordinatvektorerne er ortogonale, betyder adjektivet "normaliseret" enhed, dvs. længderne af basisvektorerne er lig med én.

Betegnelse: grundlaget er normalt skrevet i parentes, inden for hvilke i streng rækkefølge basisvektorer er angivet, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt omarrangere.

Nogen plan vektor den eneste måde udtrykt som:
, Hvor - tal som kaldes vektor koordinater på dette grundlag. Og selve udtrykket hedder vektor nedbrydningpå grundlag .

Middag serveret:

Lad os starte med det første bogstav i alfabetet: . Tegningen viser tydeligt, at når en vektor dekomponeres til en basis, bruges de netop omtalte:
1) reglen for at gange en vektor med et tal: og ;
2) addition af vektorer efter trekantsreglen:.

Plot nu vektoren mentalt fra et hvilket som helst andet punkt på flyet. Det er helt indlysende, at hans forfald vil "følge ham ubønhørligt." Her er det, vektorens frihed - vektoren "bærer alt med sig selv." Denne egenskab er selvfølgelig sand for enhver vektor. Det er sjovt, at selve basisvektorerne (frie) ikke skal plottes fra oprindelsen; den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre og den anden øverst til højre, og intet vil ændre sig! Sandt nok, du behøver ikke at gøre dette, da læreren også vil vise originalitet og trække dig en "kredit" på et uventet sted.

Vektorer illustrerer nøjagtigt reglen for at gange en vektor med et tal, vektoren er codirectional med basisvektoren, vektoren er rettet modsat grundvektoren. For disse vektorer er en af ​​koordinaterne lig nul; du kan omhyggeligt skrive det sådan her:


Og basisvektorerne er i øvrigt sådan her: (faktisk udtrykkes de gennem sig selv).

Og endelig: , . Forresten, hvad er vektorsubtraktion, og hvorfor talte jeg ikke om subtraktionsreglen? Et sted i lineær algebra, jeg kan ikke huske hvor, bemærkede jeg, at subtraktion er et særligt tilfælde af addition. Udvidelserne af vektorerne "de" og "e" skrives således let som en sum: , . Følg tegningen for at se, hvor tydeligt den gode gamle addition af vektorer ifølge trekantsreglen fungerer i disse situationer.

Den overvejede nedbrydning af formen nogle gange kaldet vektornedbrydning i ort-systemet(dvs. i et system af enhedsvektorer). Men dette er ikke den eneste måde at skrive en vektor på; følgende mulighed er almindelig:

Eller med et lighedstegn:

Selve basisvektorerne er skrevet som følger: og

Det vil sige, at vektorens koordinater er angivet i parentes. I praktiske problemer bruges alle tre notationsmuligheder.

Jeg tvivlede på, om jeg skulle tale, men jeg siger det alligevel: vektorkoordinater kan ikke omarrangeres. Strengt på førstepladsen vi skriver den koordinat ned, der svarer til enhedsvektoren, strengt taget på andenpladsen vi skriver den koordinat ned, der svarer til enhedsvektoren. Faktisk, og er to forskellige vektorer.

Vi fandt ud af koordinaterne på flyet. Lad os nu se på vektorer i tredimensionelt rum, næsten alt er det samme her! Det vil blot tilføje en koordinat mere. Det er svært at lave tredimensionelle tegninger, så jeg begrænser mig til én vektor, som jeg for nemheds skyld sætter til side fra oprindelsen:

Nogen 3D rum vektor den eneste måde ekspandere på ortonormal basis:
, hvor er koordinaterne for vektoren (tallet) i denne basis.

Eksempel fra billedet: . Lad os se, hvordan vektorreglerne fungerer her. Først skal du gange vektoren med et tal: (rød pil), (grøn pil) og (hindbærpil). For det andet er her et eksempel på tilføjelse af flere, i dette tilfælde tre, vektorer: . Sumvektoren begynder ved det indledende udgangspunkt (begyndelsen af ​​vektoren) og slutter ved det endelige ankomstpunkt (enden af ​​vektoren).

Alle vektorer af tredimensionelt rum er naturligvis også frie; prøv mentalt at tilsidesætte vektoren fra ethvert andet punkt, og du vil forstå, at dens nedbrydning "vil forblive med den."

Svarende til den flade sag, foruden at skrive versioner med beslag er meget brugt: enten .

Hvis der mangler en (eller to) koordinatvektorer i udvidelsen, sættes nuller i stedet for. Eksempler:
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive ;
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive ;
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive .

Basisvektorerne er skrevet som følger:

Dette er måske al den minimale teoretiske viden, der er nødvendig for at løse problemer med analytisk geometri. Der kan være mange udtryk og definitioner, så jeg anbefaler, at tekander genlæser og forstår denne information igen. Og det vil være nyttigt for enhver læser at henvise til den grundlæggende lektion fra tid til anden for bedre at assimilere materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektornedbrydning - disse og andre begreber vil ofte blive brugt i fremtiden. Jeg bemærker, at materialerne på webstedet ikke er nok til at bestå den teoretiske prøve eller kollokvium om geometri, da jeg omhyggeligt krypterer alle teoremer (og uden beviser) - til skade for den videnskabelige præsentationsstil, men et plus for din forståelse af emnet. For at modtage detaljeret teoretisk information, skal du bøje dig for professor Atanasyan.

Og vi går videre til den praktiske del:

De simpleste problemer med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Det er stærkt tilrådeligt at lære at løse de opgaver, der vil blive overvejet fuldautomatisk, og formlerne lære udenad, du behøver ikke engang at huske det med vilje, de husker det selv =) Dette er meget vigtigt, da andre problemer med analytisk geometri er baseret på de enkleste elementære eksempler, og det vil være irriterende at bruge ekstra tid på at spise bønder . Der er ingen grund til at fastgøre de øverste knapper på din skjorte; mange ting kender du fra skolen.

Præsentationen af ​​materialet vil følge et parallelt forløb - både for flyet og for rummet. Af den grund, at alle formlerne... vil du selv se.

Hvordan finder man en vektor fra to punkter?

Hvis to punkter i planet og er givet, så har vektoren følgende koordinater:

Hvis der er givet to punkter i rummet, har vektoren følgende koordinater:

Det er, fra koordinaterne for enden af ​​vektoren du skal trække de tilsvarende koordinater fra begyndelsen af ​​vektoren.

Dyrke motion: For de samme punkter skal du nedskrive formlerne for at finde vektorens koordinater. Formler i slutningen af ​​lektionen.

Eksempel 1

Givet to punkter af flyet og . Find vektorkoordinater

Løsning: efter den tilsvarende formel:

Alternativt kan følgende indgang bruges:

Æsteter vil afgøre dette:

Personligt er jeg vant til den første version af optagelsen.

Svar:

Ifølge betingelsen var det ikke nødvendigt at konstruere en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for at præcisere nogle punkter for dummies, vil jeg ikke være doven:

Du skal helt sikkert forstå forskel mellem punktkoordinater og vektorkoordinater:

Punktkoordinater– det er almindelige koordinater i et rektangulært koordinatsystem. Jeg tror, ​​at alle ved, hvordan man plotter punkter på et koordinatplan fra 5.-6. klasse. Hvert punkt har en streng plads på flyet, og de kan ikke flyttes nogen steder.

Koordinaterne for vektoren– dette er dens udvidelse i henhold til grundlaget, i dette tilfælde. Enhver vektor er gratis, så hvis det ønskes eller er nødvendigt, kan vi nemt flytte den væk fra et andet punkt på flyet. Det er interessant, at du for vektorer slet ikke behøver at bygge akser eller et rektangulært koordinatsystem; du behøver kun en basis, i dette tilfælde en ortonormal basis af planet.

Registreringerne af koordinater for punkter og koordinater af vektorer ser ud til at være ens: , og betydning af koordinater absolut forskellige, og du bør være udmærket klar over denne forskel. Denne forskel gælder naturligvis også for rummet.

Mine damer og herrer, lad os fylde vores hænder:

Eksempel 2

a) Point og gives. Find vektorer og .
b) Der gives point Og . Find vektorer og .
c) Point og gives. Find vektorer og .
d) Der gives point. Find vektorer .

Måske er det nok. Dette er eksempler for dig at bestemme på egen hånd, prøv ikke at forsømme dem, det vil betale sig ;-). Der er ingen grund til at lave tegninger. Løsninger og svar i slutningen af ​​lektionen.

Hvad er vigtigt ved løsning af analytiske geometriproblemer? Det er vigtigt at være EKSTREMT FORSIGTIG for at undgå at begå den mesterlige "to plus to er lig nul" fejl. Jeg undskylder med det samme, hvis jeg har lavet en fejl et sted =)

Hvordan finder man længden af ​​et segment?

Længden, som allerede nævnt, er angivet med modultegnet.

Hvis to punkter i flyet er givet og , så kan længden af ​​segmentet beregnes ved hjælp af formlen

Hvis der er givet to punkter i rummet, så kan længden af ​​segmentet beregnes ved hjælp af formlen

Bemærk: Formlerne forbliver korrekte, hvis de tilsvarende koordinater byttes om: og , men den første mulighed er mere standard

Eksempel 3

Løsning: efter den tilsvarende formel:

Svar:

For klarhedens skyld vil jeg lave en tegning

Linjestykke - dette er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den nogen steder. Hvis du derudover tegner i målestok: 1 enhed. = 1 cm (to notesbogceller), så kan det resulterende svar kontrolleres med en almindelig lineal ved direkte at måle længden af ​​segmentet.

Ja, løsningen er kort, men der er et par vigtigere punkter i den, som jeg gerne vil præcisere:

For det første sætter vi i svaret dimensionen: "enheder". Tilstanden siger ikke HVAD det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor ville en matematisk korrekt løsning være den generelle formulering: "enheder" - forkortet som "enheder."

For det andet, lad os gentage skolematerialet, som ikke kun er nyttigt til den overvejede opgave:

Vær opmærksom på vigtig teknik – fjerner multiplikatoren fra under roden. Som et resultat af beregningerne har vi et resultat, og god matematisk stil involverer at fjerne faktoren fra under roden (hvis det er muligt). Mere detaljeret ser processen sådan ud: . Det ville selvfølgelig ikke være en fejl at lade svaret være som det er – men det ville bestemt være en mangel og et tungtvejende argument for at skændes fra lærerens side.

Her er andre almindelige tilfælde:

Ofte producerer roden et ret stort antal, f.eks. Hvad skal man gøre i sådanne tilfælde? Ved hjælp af lommeregneren tjekker vi, om tallet er deleligt med 4: . Ja, det var helt opdelt, således: . Eller måske kan tallet divideres med 4 igen? . Dermed: . Det sidste ciffer i tallet er ulige, så at dividere med 4 for tredje gang vil naturligvis ikke fungere. Lad os prøve at dividere med ni: . Som resultat:
Parat.

Konklusion: hvis vi under roden får et tal, der ikke kan udtrækkes som en helhed, så forsøger vi at fjerne faktoren fra under roden - ved hjælp af en lommeregner tjekker vi om tallet er deleligt med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.

Når man løser forskellige problemer, støder man ofte på rødder; prøv altid at trække faktorer ud under roden for at undgå en lavere karakter og unødvendige problemer med at færdiggøre dine løsninger baseret på lærerens kommentarer.

Lad os også gentage kvadratrødder og andre kræfter:

Reglerne for at arbejde med beføjelser i generel form kan findes i en skolealgebra-lærebog, men jeg tror, ​​ud fra de angivne eksempler, alt eller næsten alt allerede er klart.

Opgave til selvstændig løsning med et segment i rummet:

Eksempel 4

Point og gives. Find længden af ​​segmentet.

Løsningen og svaret er i slutningen af ​​lektionen.

Hvordan finder man længden af ​​en vektor?

Hvis en plan vektor er givet, beregnes dens længde ved formlen.

Hvis der er givet en rumvektor, beregnes dens længde ved formlen .

Indtil nu har man troet, at vektorer betragtes i rummet. Fra dette øjeblik antager vi, at alle vektorer betragtes på planet. Vi vil også antage, at et kartesisk koordinatsystem er specificeret på planet (selvom dette ikke er angivet), der repræsenterer to indbyrdes vinkelrette numeriske akser - den vandrette akse og den lodrette akse . Derefter hvert punkt
et par tal er tildelt på flyet
, som er dens koordinater. Omvendt, hvert par tal
svarer til et punkt på planet, således at et par tal
er dens koordinater.

Fra elementær geometri ved man, at hvis der er to punkter på et plan
Og
, derefter afstanden
mellem disse punkter udtrykkes gennem deres koordinater ifølge formlen

Lad et kartesisk koordinatsystem angives på planet. Orth akse vi vil betegne med symbolet , og enhedsvektoren for aksen symbol . Projektion af en vilkårlig vektor pr akse vi vil betegne med symbolet
, og projektionen på aksen symbol
.

Lade - en vilkårlig vektor på flyet. Følgende sætning gælder.

Sætning 22.

For enhver vektor der er et par tal på flyet

.

Hvori
,
.

Bevis.

Lad en vektor være givet . Lad os lægge vektoren til side fra oprindelsen. Lad os betegne med vektor-projektionsvektor pr akse , og igennem vektor-projektionsvektor pr akse . Så, som det kan ses af figur 21, holder ligestillingen

.

Ifølge sætning 9,

,

.

Lad os betegne
,
. Så får vi

.

Så det er blevet bevist for enhver vektor der er et par tal
sådan at ligestillingen er sand

,

,

.

Med en anden vektorplacering Beviset er det samme med hensyn til akserne.

Definition.

Et par tal Og sådan at
, kaldes vektorkoordinater . Nummer kaldes x-koordinaten, og tallet spilkoordinat.

Definition.

Et par enhedsvektorer af koordinatakser
kaldes en ortonormal basis på planet. Repræsentation af enhver vektor som
kaldet vektornedbrydning på grundlag
.

Det følger direkte af definitionen af ​​vektorkoordinater, at hvis vektorernes koordinater er ens, så er vektorerne selv ens. Det modsatte er også sandt.

Sætning.

Lige vektorer har lige koordinater.

Bevis.

,

Og
. Lad os bevise det
,
.

Af vektorernes lighed følger det

.

Lad os antage det
, A
.

Derefter
og det betyder
, hvilket ikke er sandt. Ligeledes hvis
, Men
, At
. Herfra
, hvilket ikke er sandt. Endelig, hvis vi antager det
Og
, så får vi det

.

Det betyder, at vektorerne Og collinearer. Men dette er ikke sandt, da de er vinkelrette. Derfor forbliver det det
,
, hvilket var det, der skulle bevises.

Således bestemmer vektorens koordinater fuldstændigt selve vektoren. At kende koordinaterne Og vektor du kan bygge selve vektoren , efter at have konstrueret vektorerne
Og
og folde dem. Derfor ofte selve vektoren angivet som et par af dets koordinater og skrevet
. Denne post betyder det
.

Følgende sætning følger direkte af definitionen af ​​vektorkoordinater.

Sætning.

Når man tilføjer vektorer, tilføjes deres koordinater, og når man multiplicerer en vektor med et tal, ganges dens koordinater med dette tal. Disse udsagn er skrevet i formularen

.

Bevis.

,

Sætning.

Lade
, og begyndelsen af ​​vektoren er punkt har koordinater
, og enden af ​​vektoren er et punkt
. Så er vektorens koordinater relateret til koordinaterne for dens ender ved følgende relationer

,

.

Bevis.

Lade
og lad vektoren være projektionen af ​​vektoren pr akse på linje med aksen (se fig. 22). Derefter

T som længden af ​​et segment på tallinjen lig med koordinaten til højre ende minus koordinaten til venstre ende. Hvis vektoren

modsat aksen (som i fig. 23), så

Ris. 23.

Hvis
, så i dette tilfælde
og så får vi

.

Således for enhver placering af vektoren
i forhold til koordinatakserne dens koordinat svarende til

.

På samme måde er det bevist

.

Eksempel.

Koordinaterne for vektorens ender er givet
:
. Find vektorkoordinater
.

Løsning.

Følgende sætning giver et udtryk for længden af ​​en vektor i form af dens koordinater.

Sætning 15.

Lade
.Derefter

.

Bevis.

Lade Og - vektorprojektionsvektor på aksen Og , henholdsvis. Så, som vist i beviset for sætning 9, gælder ligheden

.

På samme tid, vektorer Og indbyrdes vinkelret. Når man adderer disse vektorer efter trekantsreglen, får man en retvinklet trekant (se fig. 24).

Ved Pythagoras sætning har vi

.

,

.

Derfor

,

.

.

.

Eksempel.

.Find .

Lad os introducere begrebet retningscosinus af en vektor.

Definition.

Lad vektoren
er med aksen hjørne , og med aksen hjørne (Se fig. 25).

,

.

Derfor,

Siden for enhver vektor der er lighed

,

Hvor - enhedsvektor , det vil sige en vektor af enhedslængde, codirectional med vektoren , At

Vektor bestemmer retningen af ​​vektoren . Dens koordinater
Og
kaldes retningscosinus af vektoren . Retningscosinuserne for en vektor kan udtrykkes gennem dens koordinater ved hjælp af formlerne

,

.

Der er et forhold

.

Indtil nu i dette afsnit har man antaget, at alle vektorer er placeret i samme plan. Lad os nu generalisere for vektorer i rummet.

Vi vil antage, at et kartesisk koordinatsystem med akser er givet i rummet ,Og .

Akseenhedsvektorer ,Og vi vil betegne med symboler ,Og henholdsvis (fig. 26).

Det kan vises, at alle de begreber og formler, der blev opnået for vektorer på planet, er generaliseret for

Ris. 26.

vektorer i rummet. Trojka af vektorer
kaldes en ortonormal basis i rummet.

Lade ,Og - vektorprojektionsvektor på aksen ,Og , henholdsvis. Derefter

.

I sin tur

,

,

.

Hvis vi udpeger

,

,

,

Så får vi ligestillingen

.

Koefficienter før basisvektorer ,Og kaldes vektorkoordinater . Således for enhver vektor der er en tredobbelt af tal i rummet ,,, kaldet vektorkoordinater sådan at for denne vektor er følgende repræsentation gyldig:

.

Vektor i dette tilfælde også angivet i formularen
. I dette tilfælde er vektorens koordinater lig med projektionerne af denne vektor på koordinatakserne

,

,

,

Hvor - vinkel mellem vektor og akse ,- vinkel mellem vektor og akse ,- vinkel mellem vektor og akse .

Vektor længde udtrykt gennem dets koordinater ved hjælp af formlen

.

Udsagn er sande, at lige store vektorer har lige store koordinater; når man tilføjer vektorer, tilføjes deres koordinater, og når man multiplicerer en vektor med et tal, ganges dens koordinater med dette tal.
,
Og
kaldes retningscosinus af vektoren . De er relateret til vektorkoordinater ved formlerne

,
,
.

Dette indebærer forholdet

Hvis enderne af vektoren
har koordinater
,
, derefter vektorens koordinater
er relateret til koordinaterne af vektorens ender ved relationerne

,

,

.

Eksempel.

Der gives point
Og
. Find vektorkoordinater
.

At finde koordinaterne for en vektor er en ret almindelig betingelse for mange problemer i matematik. Evnen til at finde vektorkoordinater vil hjælpe dig i andre, mere komplekse problemer med lignende emner. I denne artikel vil vi se på formlen til at finde vektorkoordinater og flere problemer.

At finde koordinaterne for en vektor i et plan

Hvad er et fly? Et plan anses for at være et todimensionelt rum, et rum med to dimensioner (x-dimensionen og y-dimensionen). For eksempel er papir fladt. Bordets overflade er flad. Enhver ikke-volumetrisk figur (firkant, trekant, trapez) er også et plan. Hvis du således i problemformuleringen skal finde koordinaterne for en vektor, der ligger på et plan, husker vi straks om x og y. Du kan finde koordinaterne for en sådan vektor som følger: Koordinater AB for vektoren = (xB – xA; yB – xA). Formlen viser, at du skal trække startpunktets koordinater fra slutpunktets koordinater.

Eksempel:

• Vektor-CD har indledende (5; 6) og sidste (7; 8) koordinater.
• Find koordinaterne for selve vektoren.
• Ved at bruge ovenstående formel får vi følgende udtryk: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Således er koordinaterne for CD-vektoren = (2; 2).
• Følgelig er x-koordinaten lig med to, y-koordinaten er også to.

At finde koordinaterne for en vektor i rummet

Hvad er plads? Rummet er allerede en tredimensionel dimension, hvor der er givet 3 koordinater: x, y, z. Hvis du skal finde en vektor, der ligger i rummet, ændres formlen praktisk talt ikke. Der tilføjes kun én koordinat. For at finde en vektor skal du trække begyndelsens koordinater fra slutkoordinaterne. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Eksempel:

• Vektor DF har initial (2; 3; 1) og slut (1; 5; 2).
• Ved at anvende ovenstående formel får vi: Vektorkoordinater DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Husk, at koordinatværdien kan være negativ, der er ikke noget problem.

Hvordan finder man vektorkoordinater online?

Hvis du af en eller anden grund ikke selv ønsker at finde koordinaterne, kan du bruge en online lommeregner. For at begynde skal du vælge vektordimensionen. En vektors dimension er ansvarlig for dens dimensioner. Dimension 3 betyder, at vektoren er i rummet, dimension 2 betyder, at den er på planet. Indsæt derefter punkternes koordinater i de relevante felter, og programmet vil bestemme for dig selve vektorens koordinater. Alt er meget enkelt.

Ved at klikke på knappen vil siden automatisk rulle ned og give dig det rigtige svar sammen med løsningstrinnene.

Det anbefales at studere dette emne godt, fordi begrebet vektor findes ikke kun i matematik, men også i fysik. Studerende fra Det Informationsteknologiske Fakultet studerer også emnet vektorer, men på et mere komplekst niveau.

Det er nødvendigt at bestemme vektoren på et plan eller i rummet, det vil sige at give information om dens retning og længde.

Vektorkoordinater

Lad et rektangulært kartesisk koordinatsystem (RCCS) $x O y$ og en vilkårlig vektor $\overline(a)$ angives, hvis oprindelse falder sammen med oprindelsen af ​​koordinatsystemet (fig. 1).

Definition

Vektorkoordinater$\overline(a)$ er projektionerne $a_(x)$ og $a_(y)$ af en given vektor på henholdsvis $O x$- og $O y$-akserne:

Mængden $a_(x)$ kaldes vektorens abscisse$\overline(a)$, og tallet $a_(y)$ er dens ordinere. At vektoren $\overline(a)$ har koordinaterne $a_(x)$ og $a_(y)$ skrives som følger: $\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y ) \right)$.

Eksempel

Notationen $\overline(a)=(5 ;-2)$ betyder, at vektoren $\overline(a)$ har følgende koordinater: abscissen er 5, ordinaten er -2.

Summen af ​​to vektorer givet ved koordinater

Lad $\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y)\right)$ og $\overline(b)=\left(b_(x) ; b_(y)\right)$ blive givet , så har vektoren $\overline(c)=\overline(a)+\overline(b)$ koordinater $\left(a_(x)+b_(x) ; a_(y)+b_(y)\right )$ (fig. 2).

Definition

Til find summen af ​​to vektorer, givet ved deres koordinater, skal du tilføje deres tilsvarende koordinater.

Eksempel

Dyrke motion. Givet $\overline(a)=(-3 ; 5)$ og $\overline(b)=(0 ;-1)$. Find koordinaterne for vektoren $\overline(c)=\overline(a)+\overline(b)$

Løsning.$\overline(c)=\overline(a)+\overline(b)=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$

Multiplicer en vektor med et tal

Hvis $\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y)\right)$ er givet, så har vektoren $m \overline(a)$ koordinater $m \overline(a)=\venstre ( m a_(x); m a_(y)\right)$, her er $m$ et bestemt tal (fig. 3).

Eksempel

Dyrke motion. Vektor $\overline(a)=(3 ;-2)$. Find koordinaterne for vektor 2$\overline(a)$

Løsning.$2 \overline(a)=2 \cdot(3 ;-2)=(2 \cdot 3 ; 2 \cdot(-2))=(6 ;-4)$

Lad os yderligere overveje det tilfælde, hvor oprindelsen af ​​vektoren ikke falder sammen med oprindelsen af ​​koordinatsystemet. Lad os antage, at to punkter $A\left(a_(x) ; a_(y)\right)$ og $B\left(b_(x) ; b_(y)\right)$ er givet i PDCS. Derefter findes koordinaterne for vektoren $\overline(A B)=\left(x_(1) ; y_(1)\right)$ ifølge formlerne (fig. 4):

$x_(1)=b_(x)-a_(x), y_(1)=b_(y)-a_(y)$

Definition

Til finde vektorkoordinater, givet af koordinaterne for begyndelsen og slutningen, er det nødvendigt at trække de tilsvarende koordinater for begyndelsen fra slutkoordinaterne.

Eksempel

Dyrke motion. Find koordinaterne for vektoren $\overline(A B)$ hvis $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$

Løsning.$\overline(A B)=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$

Retning cosinus

Definition

Retningscosinus af en vektor kaldes cosinus af vinklerne dannet af en vektor med de positive retninger af koordinatakserne.

Vektorens retning er unikt specificeret af retningscosinus. For en enhedsvektor er retningscosinuserne lig med dens koordinater.

Hvis en vektor $\overline(a)=\venstre(a_(x) ; a_(y) ; a_(z)\right)$ er givet i rummet, så beregnes dens retningscosinus ved hjælp af formlerne:

$\cos \alpha=\frac(a_(x))(\sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^(2))), \cos \ beta=\frac(a_(y))(\sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^(2))), \cos \gamma=\frac (a_(z))(\sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^(2)))$

Her er $\alpha$, $\beta$ og $\gamma$ vinklerne lavet af vektoren med de positive retninger af henholdsvis $O x$, $O y$ og $O z$ akserne.