Uligheder og ulighedssystemer med to variable. Ligninger med to variable og deres geometriske løsning Uligheder med to variable og deres systemer

Gips

22.01.2024

Det er ofte nødvendigt at afbilde på koordinatplanet et sæt af løsninger på en ulighed med to variable. En løsning på en ulighed i to variable er et par værdier af disse variable, der gør uligheden til en ægte numerisk ulighed.

2у+ Zx< 6.

Lad os først konstruere en lige linje. For at gøre dette skriver vi uligheden i form af ligningen 2у+ Zx = 6 og udtrykke y. Således får vi: y=(6-3x)/2.

Denne linje opdeler sættet af alle punkter i koordinatplanet i punkter placeret over det og punkter placeret under det.

Tag en meme fra hvert område kontrolpunkt, for eksempel A (1;1) og B (1;3)

Koordinaterne til punkt A opfylder denne ulighed 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Koordinater for punkt B Ikke tilfredsstille denne ulighed 2∙3 + 3∙1< 6.

Da denne ulighed kan skifte fortegn på den rette linie 2y + 3x = 6, så er uligheden opfyldt af det sæt af punkter i området, hvor punkt A er placeret. Lad os skygge for dette område.

Således har vi afbildet sæt af løsninger på uligheden 2 år + 3x< 6.

Eksempel

Lad os afbilde mængden af løsninger til uligheden x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 på koordinatplanet.

Lad os først bygge en graf af ligningen x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 = 0. Lad os adskille cirklens ligning i denne ligning: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) = 4 eller (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 2 2 .

Dette er ligningen for en cirkel med centrum i punktet 0 (-1; 2) og radius R = 2. Lad os konstruere denne cirkel.

Da denne ulighed er streng, og de punkter, der ligger på selve cirklen, ikke opfylder uligheden, konstruerer vi cirklen med en stiplet linje.

Det er let at kontrollere, at koordinaterne til centrum O i cirklen ikke opfylder denne ulighed. Udtrykket x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 ændrer sit fortegn på den konstruerede cirkel. Så er uligheden opfyldt af punkter placeret uden for cirklen. Disse punkter er skraverede.

Eksempel

Lad os på koordinatplanet skildre mængden af løsninger på uligheden

(y - x 2)(y - x - 3)< 0.

Lad os først bygge en graf af ligningen (y - x 2)(y - x - 3) = 0. Det er en parabel y = x 2 og en ret linje y = x + 3. Lad os bygge disse linjer og bemærke, at ændring af udtrykkets fortegn (y - x 2)(y - x - 3) forekommer kun på disse linjer. For punkt A (0; 5) bestemmer vi fortegnet for dette udtryk: (5- 3) > 0 (dvs. denne ulighed holder ikke). Nu er det let at markere det sæt af punkter, som denne ulighed er opfyldt for (disse områder er skraverede).

Algoritme til løsning af uligheder med to variable

1. Lad os reducere uligheden til formen f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) < 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Skriv ligheden f (x; y) = 0

3. Genkend graferne skrevet i venstre side.

4. Vi bygger disse grafer. Hvis uligheden er streng (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), så - med bindestreger, hvis uligheden ikke er streng (f (x; y) ≤ 0 eller f (x; y) ≥ 0), så - med en ubrudt linje.

5. Bestem, hvor mange dele af grafikken koordinatplanet er opdelt i

6. Vælg et kontrolpunkt i en af disse dele. Bestem tegnet for udtrykket f (x; y)

7. Vi placerer skilte i andre dele af flyet under hensyntagen til alternering (som ved brug af intervalmetoden)

8. Vi udvælger de dele, vi har brug for i overensstemmelse med tegnet på den ulighed, vi løser, og anvender skygge

Emne: Ligninger og uligheder. Systemer af ligninger og uligheder

Lektie:Ligninger og uligheder med to variable

Lad os generelt betragte en ligning og en ulighed med to variable.

Ligning med to variable;

Ulighed med to variable, ulighedstegnet kan være hvad som helst;

Her er x og y variable, p er et udtryk, der afhænger af dem

Et talpar () kaldes en partiel løsning af en sådan ligning eller ulighed, hvis vi, når vi substituerer dette par i udtrykket, får den korrekte ligning eller ulighed.

Opgaven er at finde eller afbilde på et plan sættet af alle løsninger. Du kan omskrive denne opgave - find punkternes locus (GLP), konstruer en graf af en ligning eller ulighed.

Eksempel 1 - løs ligning og ulighed:

Med andre ord involverer opgaven at finde GMT.

Lad os overveje løsningen til ligningen. I dette tilfælde kan værdien af variablen x være en hvilken som helst, så vi har:

Det er klart, at løsningen på ligningen er det sæt af punkter, der danner en lige linje

Ris. 1. Eksempel på ligningsgraf 1

Løsningerne til en given ligning er især punkterne (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Løsningen på den givne ulighed er et halvplan placeret over linjen, inklusive linjen selv (se figur 1). Faktisk, hvis vi tager et punkt x 0 på linjen, så har vi ligheden . Hvis vi tager et punkt i et halvt plan over en linje, har vi . Hvis vi tager et punkt i halvplanet under linjen, så vil det ikke tilfredsstille vores ulighed:.

Overvej nu problemet med en cirkel og en cirkel.

Eksempel 2 - løs ligning og ulighed:

Vi ved, at den givne ligning er ligningen for en cirkel med centrum i origo og radius 1.

Ris. 2. Illustration for eksempel 2

Ved et vilkårligt punkt x 0 har ligningen to løsninger: (x 0; y 0) og (x 0; -y 0).

Løsningen på en given ulighed er et sæt punkter placeret inde i cirklen, uden at tage højde for selve cirklen (se figur 2).

Lad os overveje en ligning med moduler.

Eksempel 3 - løs ligningen:

I dette tilfælde ville det være muligt at udvide modulerne, men vi vil overveje ligningens detaljer. Det er let at se, at grafen for denne ligning er symmetrisk om begge akser. Så hvis punktet (x 0 ; y 0) er en løsning, så er punktet (x 0 ; -y 0) også en løsning, punkterne (-x 0 ; y 0) og (-x 0 ; -y 0 ) er også en løsning .

Det er således nok at finde en løsning, hvor begge variabler er ikke-negative og tager symmetri om akserne:

Ris. 3. Illustration for eksempel 3

Så som vi ser, er løsningen på ligningen et kvadrat.

Lad os se på den såkaldte arealmetode ved hjælp af et specifikt eksempel.

Eksempel 4 - skildrer mængden af løsninger til uligheden:

Ifølge domænemetoden betragter vi først og fremmest funktionen på venstre side, hvis der er nul til højre. Dette er en funktion af to variable:

I lighed med metoden med intervaller bevæger vi os midlertidigt væk fra uligheden og studerer træk og egenskaber ved den sammensatte funktion.

ODZ: det betyder, at x-aksen bliver punkteret.

Nu angiver vi, at funktionen er lig nul, når brøkens tæller er lig nul, vi har:

Vi bygger en graf over funktionen.

Ris. 4. Graf over funktionen under hensyntagen til ODZ

Overvej nu områderne med konstant fortegn for funktionen; de er dannet af en ret linje og en brudt linje. inden for den stiplede linje er der område D 1. Mellem et stykke af en stiplet linje og en ret linje - område D 2, under linjen - område D 3, mellem et stykke af en stiplet linje og en ret linje - område D 4

I hvert af de valgte områder bevarer funktionen sit fortegn, hvilket betyder, at det er nok at kontrollere et vilkårligt testpunkt i hvert område.

I området tager vi punktet (0;1). Vi har:

I området tager vi punktet (10;1). Vi har:

Hele regionen er således negativ og tilfredsstiller ikke den givne ulighed.

I området skal du tage punktet (0;-5). Vi har:

Dermed er hele regionen positiv og tilfredsstiller den givne ulighed.

Løsning af en ulighed i to variable, og endnu mere ulighedssystemer med to variable, synes at være en ret svær opgave. Der er dog en simpel algoritme, der hjælper med at løse tilsyneladende meget komplekse problemer af denne art nemt og uden stor indsats. Lad os prøve at finde ud af det.

Lad os have en ulighed med to variable af en af følgende typer:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

For at skildre sættet af løsninger til en sådan ulighed på koordinatplanet, fortsæt som følger:

1. Vi bygger en graf af funktionen y = f(x), som deler planet i to områder.

2. Vi vælger et af de resulterende områder og betragter et vilkårligt punkt i det. Vi kontrollerer gennemførligheden af den oprindelige ulighed for dette punkt. Hvis testen resulterer i en korrekt numerisk ulighed, konkluderer vi, at den oprindelige ulighed er opfyldt i hele den region, som det valgte punkt hører til. Sættet af løsninger på uligheden er således den region, som det valgte punkt tilhører. Hvis resultatet af kontrollen er en forkert numerisk ulighed, vil sættet af løsninger til uligheden være den anden region, som det valgte punkt ikke tilhører.

3. Hvis uligheden er streng, er grænserne for regionen, det vil sige punkterne i grafen for funktionen y = f(x), ikke inkluderet i løsningssættet, og grænsen er afbildet med en stiplet linje. Hvis uligheden ikke er streng, er grænserne for regionen, det vil sige punkterne på grafen for funktionen y = f(x), inkluderet i løsningssættet til denne ulighed, og grænsen i dette tilfælde er afbildet som en fast linje.
Lad os nu se på flere problemer om dette emne.

Opgave 1.

Hvilket sæt af point er givet ved uligheden x · y ≤ 4?

Løsning.

1) Vi bygger en graf af ligningen x · y = 4. For at gøre dette transformerer vi den først. Det er klart, at x i dette tilfælde ikke bliver til 0, da vi ellers ville have 0 · y = 4, hvilket er forkert. Det betyder, at vi kan dividere vores ligning med x. Vi får: y = 4/x. Grafen for denne funktion er en hyperbel. Den deler hele planet op i to områder: den mellem hyperbelens to grene og den udenfor dem.

2) Lad os vælge et vilkårligt punkt fra den første region, lad det være punkt (4; 2).
Lad os tjekke uligheden: 4 · 2 ≤ 4 – falsk.

Det betyder, at punkterne i denne region ikke opfylder den oprindelige ulighed. Så kan vi konkludere, at sættet af løsninger på uligheden vil være den anden region, som det valgte punkt ikke tilhører.

3) Da uligheden ikke er streng, tegner vi grænsepunkterne, det vil sige punkterne på grafen for funktionen y = 4/x, med en fuldt optrukket linje.

Lad os male det sæt af punkter, der definerer den oprindelige ulighed, med gult (Fig. 1).

Opgave 2.

Tegn området defineret på koordinatplanet af systemet
(y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Løsning.

Til at begynde med bygger vi grafer over følgende funktioner (Fig. 2):

y = x 2 + 2 – parabel,

y + x = 1 – ret linje

x 2 + y 2 = 9 – cirkel.

1) y > x 2 + 2.

Vi tager punktet (0; 5), som ligger over funktionens graf.
Lad os tjekke uligheden: 5 > 0 2 + 2 – sand.

Følgelig opfylder alle punkter, der ligger over den givne parabel y = x 2 + 2, systemets første ulighed. Lad os male dem gule.

2) y + x > 1.

Vi tager punktet (0; 3), som ligger over funktionens graf.
Lad os tjekke uligheden: 3 + 0 > 1 – sand.

Følgelig opfylder alle punkter, der ligger over den rette linje y + x = 1, systemets anden ulighed. Lad os male dem med grøn skygge.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Tag punktet (0; -4), som ligger uden for cirklen x 2 + y 2 = 9.
Lad os tjekke uligheden: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – forkert.

Derfor er alle punkter, der ligger uden for cirklen x 2 + y 2 = 9, ikke tilfredsstiller den tredje ulighed i systemet. Så kan vi konkludere, at alle punkter, der ligger inde i cirklen x 2 + y 2 = 9, opfylder den tredje ulighed i systemet. Lad os male dem med lilla skygge.

Glem ikke, at hvis uligheden er streng, skal den tilsvarende grænselinje tegnes med en stiplet linje. Vi får følgende billede (Fig. 3).

(Fig. 4).

Opgave 3.

Tegn området defineret på koordinatplanet af systemet:
(x2 + y2 < 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Løsning.

Til at begynde med bygger vi grafer over følgende funktioner:

x 2 + y 2 = 16 – cirkel,

x = -y – ret linje

x 2 + y 2 = 4 – cirkel (Fig. 5).

Lad os nu se på hver ulighed for sig.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Tag punktet (0; 0), som ligger inde i cirklen x 2 + y 2 = 16.
Lad os tjekke uligheden: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – sand.

Derfor opfylder alle punkter, der ligger inde i cirklen x 2 + y 2 = 16, systemets første ulighed.
Lad os male dem med rød skygge.

Vi tager punkt (1; 1), som ligger over grafen for funktionen.
Lad os tjekke uligheden: 1 ≥ -1 – sand.

Følgelig opfylder alle punkter, der ligger over linjen x = -y, systemets anden ulighed. Lad os male dem med blå skygge.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Tag punktet (0; 5), som ligger uden for cirklen x 2 + y 2 = 4.
Lad os tjekke uligheden: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – sand.

Følgelig opfylder alle punkter, der ligger uden for cirklen x 2 + y 2 = 4, systemets tredje ulighed. Lad os male dem blå.

I denne opgave er alle uligheder ikke strenge, hvilket betyder, at vi trækker alle grænser med en ubrudt linje. Vi får følgende billede (Fig. 6).

Søgeområdet er det område, hvor alle tre farvede områder skærer hinanden (Figur 7).

Har du stadig spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man løser et system af uligheder med to variable?
Tilmeld dig for at få hjælp fra en vejleder.
Den første lektion er gratis!

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

https://accounts.google.com

Slide billedtekster:

Uligheder med to variable og deres systemer Lektion 1

Uligheder med to variable Uligheder 3x – 4y  0; og er uligheder med to variable x og y. Løsningen på en ulighed i to variable er et par værdier af variablerne, der gør det til en ægte numerisk ulighed. For x = 5 og y = 3 bliver uligheden 3x - 4y  0 til den korrekte numeriske ulighed 3  0. Talparret (5;3) er en løsning på denne ulighed. Talparret (3;5) er ikke dets løsning.

Er talparret (-2; 3) en løsning på uligheden: nr. 482 (b, c) Er ikke Er

Løsningen på en ulighed er et ordnet par af reelle tal, der gør uligheden til en ægte numerisk ulighed. Grafisk svarer dette til at angive et punkt på koordinatplanet. At løse en ulighed betyder at finde mange løsninger på den.

Uligheder med to variable har formen: Mættet af løsninger til en ulighed er mængden af alle punkter på koordinatplanet, der opfylder en given ulighed.

Løsningssæt for uligheden F(x,y) ≥ 0 x y F(x,y)≤0 x y

F(x, y)>0 F(x, y)

Prøvepunktsregel Konstruer F(x ; y)=0 Tag et prøvepunkt fra et hvilket som helst område, afgør om dets koordinater er en løsning på uligheden Træk en konklusion om løsningen til uligheden x y 1 1 2 A(1;2) F (x; y) =0

Lineære uligheder med to variable En lineær ulighed med to variable kaldes en ulighed på formen ax + bx +c  0 eller ax + bx +c

Find fejlen! nr. 484 (b) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Løs grafisk uligheden: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Vi tegner grafer med fuldt optrukne linjer:

Lad os bestemme ulighedstegnet i hvert af områderne -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Løsningen til uligheden er et sæt punkter fra områderne, der indeholder plustegnet og løsninger til ligningen -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Lad os sammen løse nr. 485 (b) nr. 486 (b, d) nr. 1. Indstil uligheden og tegn på koordinatplanet det sæt af punkter, for hvilke: a) abscissen er større end ordinaten; b) summen af abscissen og ordinaten er større end deres dobbelte forskel.

Lad os sammen løse nr. 2. Definer ved ulighed et åbent halvplan placeret over den rette linje AB, der går gennem punkterne A(1;4) og B(3;5). Svar: y  0,5x +3,5 Nej. 3. For hvilke værdier af b repræsenterer mængden af løsninger til uligheden 3x – b y + 7  0 et åbent halvplan placeret over den rette linje 3x – b y + 7 = 0. Svar: b  0.

Hjemmearbejde S. 21, nr. 483; nr. 484(c,d); nr. 485(a); nr. 486(c).

Eksempel:

For at bruge præsentationseksempler skal du oprette en Google-konto og logge ind på den: https://accounts.google.com

Slide billedtekster:

Uligheder med to variable og deres systemer Lektion 2

Ulighedssystemer med to variable

Løsningen på et system af uligheder med to variable er et par værdier af variable, der gør hver af systemets uligheder til en ægte numerisk ulighed. Nr. 1. Tegn sæt af løsninger til systemer af uligheder. nr. 496 (mundtlig)

a) x y 2 2 x y 2 2 b)

Lad os sammen løse nr. 1. Ved hvilke værdier af k definerer ulighedssystemet en trekant på koordinatplanet? Svar: 0

Vi løser sammen x y 2 2 2 2 nr. 2. Figuren viser en trekant med toppunkter A(0;5), B(4;0), C(1;-2), D(-4;2). Definer denne firkant med et system af uligheder. A B C D

Lad os sammen løse nr. 3. For hvad k og b er sættet af punkter i koordinatplanet defineret af ulighedssystemet: a) strimmel; b) vinkel; c) tomt sæt. Svar: a) k= 2,b  3; b) k ≠ 2, b – et hvilket som helst tal; c) k = 2; b

Lad os sammen løse nummer 4. Hvilken figur giver ligningen? (mundtligt) 1) 2) 3) Nr. 5. Tegn på koordinatplanet sæt af løsninger af punkter specificeret af uligheden.

Lad os sammen løse nr. 497 (c, d), 498 (c)

Hjemmearbejde P.22 nr. 496, nr. 497 (a, b), nr. 498 (a, b), nr. 504.

Eksempel:

For at bruge præsentationseksempler skal du oprette en Google-konto og logge ind på den: https://accounts.google.com

Slide billedtekster:

Uligheder med to variable og deres systemer Lektion 3

Find fejlen! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Find fejlen! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2

Bestem uligheden 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Bestem uligheden

0 - 3 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 Bestem ulighedstegnet ≤

Løs grafisk ulighedssystemet -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1

Uligheder og systemer af uligheder af højere grader med to variable nr. 1. Tegn på koordinatplanet det sæt af punkter, der er specificeret af ulighedssystemet

Uligheder og systemer af uligheder af højere grader med to variable nr. 2. Tegn på koordinatplanet det sæt af punkter, der er specificeret af ulighedssystemet

Uligheder og systemer af uligheder af højere grader med to variable nr. 3. Tegn på koordinatplanet det sæt af punkter, der er specificeret af systemet af uligheder Lad os transformere den første ulighed i systemet:

Uligheder og ulighedssystemer af højere grader med to variable Vi opnår et ækvivalent system

Uligheder og systemer af uligheder af højere grader med to variable nr. 4. Tegn på koordinatplanet det sæt af punkter, der er specificeret af ulighedssystemet

Lad os sammen beslutte nr. 502 Samling af Galitsky. nr. 9.66 b) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4

. nr. 9.66(c) Løs sammen 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2

Vi løser sammen nr. 9.66(g) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y|

Løs uligheden: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Skriv systemet af uligheder ned

11:11 3) Hvilket tal bestemmes af mængden af løsninger til systemet af uligheder? Find arealet af hver figur. 6) Hvor mange par naturlige tal er løsninger på ulighedssystemet? Beregn summen af alle sådanne tal. Løsning af træningsøvelser 2) Nedskriv et system af uligheder med to variable, hvis løsningssæt er vist på figur 0 2 x y 2 1) Tegn systemets løsningssæt på koordinatplanet: 4) Definer ringen vist i figuren som et system af uligheder. 5) Løs ulighedssystemet y x 0 5 10 5 10

Løsning af træningsøvelser 7) Beregn arealet af figuren givet af sættet af løsninger til systemet af uligheder og find den største afstand mellem punkterne i denne figur 8) Ved hvilken værdi af m har ulighedssystemet kun én løsning? 9) Angiv nogle værdier af k og b, hvor ulighedssystemet definerer på koordinatplanet: a) en strimmel; b) vinkel.

Dette er interessant.Den engelske matematiker Thomas Harriot (Harriot T., 1560-1621) introducerede det velkendte ulighedstegn og argumenterede på følgende måde: "Hvis to parallelle segmenter tjener som et symbol på lighed, så må krydsende segmenter være et symbol på ulighed. ." I 1585 blev unge Harriot sendt af dronningen af England på en udforskningsekspedition til Nordamerika. Der så han en tatovering populær blandt indianere i formen. Det er sandsynligvis grunden til, at Harriot foreslog ulighedstegnet i to af dets former: ">" er større end... og "

Dette er interessant. Symbolerne ≤ og ≥ til ikke-streng sammenligning blev foreslået af Wallis i 1670. Oprindeligt var stregen over sammenligningstegnet og ikke under det, som det er nu. Disse symboler blev udbredt efter støtte fra den franske matematiker Pierre Bouguer (1734), fra hvem de fik deres moderne form.

Ulighed med to variablex og y kaldet en ulighed af formen:

(eller tegn)

hvor er et udtryk med disse variable.

Ved beslutning uligheder i to variable kaldes et ordnet talpar, hvorunder denne ulighed bliver til en ægte numerisk ulighed.

Løs ulighed- betyder at finde sættet af alle dets løsninger. Løsningen på en ulighed med to variable er et bestemt sæt punkter på koordinatplanet.

Den vigtigste metode til at løse disse uligheder er grafisk metode. Den består i at tegne grænselinjer (hvis uligheden er streng, tegnes linjen med en stiplet linje). Vi får grænseligningen, hvis vi i en given ulighed erstatter ulighedstegnet med et lighedstegn. Alle linjer deler sammen koordinatplanet i dele. Det nødvendige sæt af punkter, der svarer til en given ulighed eller system af uligheder, kan bestemmes ved at tage et kontrolpunkt inde i hver region i regionen.

Sættet af uligheder med to variable har formen

Løsningen til befolkningen er foreningen af alle løsninger på ulighederne.

Eksempel 1. Løs systemet

Løsning. Lad os bygge systemet ind Åh tilsvarende linjer (fig. 19):

Ligningen definerer en cirkel centreret ved OM¢(0; 1) og R = 2.

Ligningen definerer en parabel med toppunkt ved OM(0; 0).

Lad os finde løsninger på hver af de uligheder, der er inkluderet i systemet. Den første ulighed svarer til arealet inde i cirklen og selve cirklen (vi er overbevist om gyldigheden af dette, hvis vi erstatter koordinaterne for et hvilket som helst punkt fra dette område med uligheden). Den anden ulighed svarer til området under parablen.