I denne artikel lærer du, hvordan du finder arealet af en figur afgrænset af linjer ved hjælp af integralberegninger. For første gang støder vi på formuleringen af ​​et sådant problem i gymnasiet, når vi netop har afsluttet studiet af bestemte integraler, og det er tid til at begynde den geometriske fortolkning af den erhvervede viden i praksis.

Så hvad kræves der for succesfuldt at løse problemet med at finde arealet af en figur ved hjælp af integraler:

• Evne til at lave kompetente tegninger;
• Evne til at løse et bestemt integral ved hjælp af den velkendte Newton-Leibniz formel;
• Evnen til at "se" en mere rentabel løsningsmulighed - dvs. forstå, hvordan det vil være mere bekvemt at udføre integration i et eller andet tilfælde? Langs x-aksen (OX) eller y-aksen (OY)?
• Nå, hvor ville vi være uden korrekte beregninger?) Dette inkluderer forståelse af, hvordan man løser den anden type integraler og korrekte numeriske beregninger.

Algoritme til at løse problemet med at beregne arealet af en figur afgrænset af linjer:

1. Vi bygger en tegning. Det er tilrådeligt at gøre dette på et ternet stykke papir, i stor skala. Vi underskriver navnet på denne funktion med en blyant over hver graf. Signering af graferne sker udelukkende for at lette yderligere beregninger. Efter at have modtaget en graf over den ønskede figur, vil det i de fleste tilfælde umiddelbart være klart, hvilke grænser for integration der vil blive brugt. Sådan løser vi problemet grafisk metode. Det sker dog, at grænseværdierne er brøkdele eller irrationelle. Derfor kan du foretage yderligere beregninger, gå til trin to.

2. Hvis grænserne for integration ikke er eksplicit specificeret, så finder vi grafernes skæringspunkter med hinanden og ser, om vores grafisk løsning med analytisk.

3. Dernæst skal du analysere tegningen. Afhængigt af hvordan funktionsgraferne er arrangeret, er der forskellige tilgange at finde arealet af en figur. Lad os overveje forskellige eksempler på at finde arealet af en figur ved hjælp af integraler.

3.1. Den mest klassiske og enkleste version af problemet er, når du skal finde området af en buet trapez. Hvad er en buet trapez? Dette er en flad figur begrænset af x-aksen (y = 0), lige x = a, x = b og enhver kurve kontinuerlig på intervallet fra -en Før b. Desuden er denne figur ikke-negativ og er placeret ikke under x-aksen. I dette tilfælde er arealet af det krumlinjede trapez numerisk lig med et bestemt integral, beregnet ved hjælp af Newton-Leibniz-formlen:

Eksempel 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Hvilke linjer er figuren afgrænset af? Vi har en parabel y = x2 – 3x + 3, som er placeret over aksen Åh, det er ikke-negativt, fordi alle punkter i denne parabel har positive værdier. Dernæst givet lige linjer x = 1 Og x = 3, som løber parallelt med aksen OU, er grænselinjerne for figuren til venstre og højre. Godt y = 0, det er også x-aksen, som begrænser figuren nedefra. Den resulterende figur er skraveret, som det kan ses fra figuren til venstre. I I dette tilfælde, kan du straks begynde at løse problemet. Foran os er et simpelt eksempel på en buet trapez, som vi så løser ved hjælp af Newton-Leibniz formlen.

3.2. I det foregående afsnit 3.1 undersøgte vi tilfældet, hvor en buet trapez er placeret over x-aksen. Overvej nu tilfældet, når betingelserne for problemet er de samme, bortset fra at funktionen ligger under x-aksen. Et minus tilføjes til standard Newton-Leibniz-formlen. Vi vil overveje, hvordan man løser et sådant problem nedenfor.

Eksempel 2 . Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

I dette eksempel har vi en parabel y = x2 + 6x + 2, som stammer fra aksen Åh, lige x = -4, x = -1, y = 0. Her y = 0 begrænser det ønskede tal fra oven. Direkte x = -4 Og x = -1 det er de grænser, inden for hvilke det bestemte integral vil blive beregnet. Princippet om at løse problemet med at finde arealet af en figur falder næsten fuldstændig sammen med eksempel nummer 1. Den eneste forskel er, at den givne funktion ikke er positiv og også er kontinuerlig i intervallet [-4; -1] . Hvad mener du med ikke positiv? Som det fremgår af figuren, har den figur, der ligger inden for de givne x'er, udelukkende "negative" koordinater, hvilket er det, vi skal se og huske, når vi løser problemet. Vi leder efter arealet af figuren ved hjælp af Newton-Leibniz-formlen, kun med et minustegn i begyndelsen.

Artiklen er ikke færdig.

Opgave 1(om at beregne arealet af en buet trapez).

I det kartesiske rektangulære koordinatsystem xOy er der givet en figur (se figur) afgrænset af x-aksen, rette linjer x = a, x = b (a af en buet trapez. Det er påkrævet at beregne arealet af en krumliniet) trapez.
Løsning. Geometri giver os opskrifter til at beregne arealer af polygoner og nogle dele af en cirkel (sektor, segment). Ved hjælp af geometriske overvejelser kan vi kun finde en omtrentlig værdi af det krævede areal, og ræsonnere som følger.

Lad os opdele segmentet [a; b] (grundlag af en buet trapez) i n lige store dele; denne opdeling udføres ved hjælp af punkterne x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Lad os tegne lige linjer gennem disse punkter parallelt med y-aksen. Derefter vil den givne kurvelineære trapez være opdelt i n dele, i n smalle søjler. Arealet af hele trapezoidet er lig med summen af ​​søjlernes areal.

Lad os betragte den k-te kolonne separat, dvs. en buet trapez, hvis basis er et segment. Lad os erstatte det med et rektangel med samme base og højde lig f(x k) (se figur). Arealet af rektanglet er lig med \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), hvor \(\Delta x_k \) er længden af ​​segmentet; Det er naturligt at betragte det resulterende produkt som en omtrentlig værdi af arealet af den kth kolonne.

Hvis vi nu gør det samme med alle de andre søjler, kommer vi frem til følgende resultat: arealet S af en given kurvelineær trapez er omtrent lig med arealet S n af en trinformet figur bestående af n rektangler (se figur):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Her antager vi for ensartetheden af ​​notationen, at a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - længden af ​​segmentet, \(\Delta x_1 \) - længden af ​​segmentet osv.; i dette tilfælde, som vi blev enige om ovenfor, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Så \(S \approx S_n \), og denne omtrentlige lighed er mere nøjagtig, jo større n.
Per definition antages det, at det krævede område af en krumt trapez er lig med grænsen for sekvensen (S n):
$$ S = \lim_(n \til \infty) S_n $$

Opgave 2(om at flytte et punkt)
Et materialepunkt bevæger sig i en lige linje. Hastighedens afhængighed af tid er udtrykt ved formlen v = v(t). Find bevægelsen af ​​et punkt over en periode [a; b].
Løsning. Hvis bevægelsen var ensartet, så ville problemet være løst meget enkelt: s = vt, dvs. s = v(b-a). For ujævn bevægelse skal du bruge de samme ideer, som løsningen på det forrige problem var baseret på.
1) Opdel tidsintervallet [a; b] i n lige store dele.
2) Betragt et tidsrum og antag, at hastigheden i dette tidsrum var konstant, den samme som på tidspunktet t k. Så vi antager, at v = v(t k).
3) Lad os finde den omtrentlige værdi af punktets bevægelse over en periode; vi betegner denne omtrentlige værdi som s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Find den omtrentlige værdi af forskydning s:
\(s \ca. S_n \) hvor
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Den nødvendige forskydning er lig med grænsen for sekvensen (S n):
$$ s = \lim_(n \til \infty) S_n $$

Lad os opsummere. Løsninger forskellige opgaver reduceret til den samme matematiske model. Mange problemer fra forskellige områder af videnskab og teknologi fører til den samme model i løsningsprocessen. Det betyder, at denne matematiske model skal studeres specielt.

Begrebet et bestemt integral

Lad os give en matematisk beskrivelse af modellen, der blev bygget i de tre betragtede problemer for funktionen y = f(x), kontinuert (men ikke nødvendigvis ikke-negativ, som det blev antaget i de betragtede problemer) på intervallet [a; b]:
1) opdele segmentet [a; b] i n lige store dele;
2) lav summen $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) beregn $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

I løbet af matematisk analyse blev det bevist, at denne grænse eksisterer i tilfælde af en kontinuerlig (eller stykkevis kontinuerlig) funktion. Han kaldes et vist integral af funktionen y = f(x) over segmentet [a; b] og betegnet som følger:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Tallene a og b kaldes integrationsgrænserne (henholdsvis nedre og øvre).

Lad os vende tilbage til de opgaver, der er diskuteret ovenfor. Definitionen af ​​området givet i opgave 1 kan nu omskrives som følger:
\(S = \int\grænser_a^b f(x) dx \)
her er S arealet af den buede trapez, vist i figuren ovenfor. Dette er geometrisk betydning af et bestemt integral.

Definitionen af ​​forskydningen s af et punkt, der bevæger sig i en ret linje med en hastighed v = v(t) over tidsperioden fra t = a til t = b, givet i opgave 2, kan omskrives som følger:

Newton-Leibniz formel

Lad os først besvare spørgsmålet: hvad er forbindelsen mellem det bestemte integral og antiderivatet?

Svaret findes i opgave 2. På den ene side beregnes forskydningen s af et punkt, der bevæger sig i en ret linje med en hastighed v = v(t) i tidsrummet fra t = a til t = b vha. formlen
\(S = \int\grænser_a^b v(t) dt \)

På den anden side er koordinaten for et bevægende punkt en antiafledt for hastighed - lad os betegne det s(t); det betyder, at forskydningen s er udtrykt ved formlen s = s(b) - s(a). Som et resultat får vi:
\(S = \int\grænser_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
hvor s(t) er antiderivatet af v(t).

Følgende teorem blev bevist i løbet af matematisk analyse.
Sætning. Hvis funktionen y = f(x) er kontinuert i intervallet [a; b], så er formlen gyldig
\(S = \int\grænser_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
hvor F(x) er antiderivatet af f(x).

Den givne formel kaldes normalt Newton-Leibniz formel til ære for den engelske fysiker Isaac Newton (1643-1727) og den tyske filosof Gottfried Leibniz (1646-1716), som modtog det uafhængigt af hinanden og næsten samtidigt.

I praksis bruger de i stedet for at skrive F(b) - F(a) notationen \(\venstre. F(x)\right|_a^b \) (kaldes det nogle gange dobbelt substitution) og omskriv derfor Newton-Leibniz formlen i denne form:
\(S = \int\grænser_a^b f(x) dx = \venstre. F(x)\højre|_a^b \)

Når du beregner et bestemt integral, skal du først finde antiderivatet og derefter udføre en dobbeltsubstitution.

Baseret på Newton-Leibniz formlen kan vi opnå to egenskaber af det bestemte integral.

Ejendom 1. Integral af summen af ​​funktioner lig med summen integraler:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Ejendom 2. Konstantfaktoren kan tages ud af integraletegnet:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Beregning af arealer af plane figurer ved hjælp af et bestemt integral

Ved hjælp af integralet kan du beregne arealer ikke kun af krumlinjede trapezoider, men også af flade figurer mere kompleks type, for eksempel den, der er vist på figuren. Figuren P er begrænset af rette linjer x = a, x = b og grafer for kontinuerte funktioner y = f(x), y = g(x), og på segmentet [a; b] uligheden \(g(x) \leq f(x) \) gælder. For at beregne arealet S af en sådan figur går vi frem som følger:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\grænser_a^b f(x) dx - \int\grænser_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\grænser_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Så arealet S af en figur afgrænset af rette linjer x = a, x = b og grafer for funktionerne y = f(x), y = g(x), kontinuert på segmentet og sådan, at for enhver x fra segmentet [en; b] uligheden \(g(x) \leq f(x) \) er opfyldt, beregnet ved formlen
\(S = \int\grænser_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabel over ubestemte integraler (antiderivater) af nogle funktioner

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Opgave nr. 3. Lav en tegning og beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne

Anvendelse af integralet til løsning af anvendte problemer

Arealberegning

Det bestemte integral af en kontinuert ikke-negativ funktion f(x) er numerisk lig med arealet af en buet trapez afgrænset af kurven y = f(x), O x-aksen og de rette linjer x = a og x = b. I overensstemmelse hermed er arealformlen skrevet som følger:

Lad os se på nogle eksempler på beregning af arealer af plane figurer.

Opgave nr. 1. Beregn arealet afgrænset af linjerne y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Løsning. Lad os konstruere en figur, hvis areal vi skal beregne.

y = x 2 + 1 er en parabel, hvis grene er rettet opad, og parablen er forskudt opad med en enhed i forhold til O y-aksen (figur 1).

Figur 1. Graf over funktionen y = x 2 + 1

Opgave nr. 2. Beregn arealet afgrænset af linjerne y = x 2 – 1, y = 0 i området fra 0 til 1.

Løsning. Grafen for denne funktion er en parabel af grene, der er rettet opad, og parablen er forskudt i forhold til O y-aksen ned med én enhed (figur 2).

Figur 2. Graf over funktionen y = x 2 – 1

Opgave nr. 3. Lav en tegning og beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne

y = 8 + 2x – x 2 og y = 2x – 4.

Løsning. Den første af disse to linjer er en parabel med sine grene rettet nedad, da koefficienten for x 2 er negativ, og den anden linje er en ret linje, der skærer begge koordinatakser.

For at konstruere en parabel finder vi koordinaterne for dens toppunkt: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisse af toppunktet; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 er dens ordinat, N(1;9) er toppunktet.

Lad os nu finde skæringspunkterne for parablen og den rette linje ved at løse ligningssystemet:

Sæt lighedstegn mellem højre side af en ligning, hvis venstre side er ens.

Vi får 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 eller x 2 – 12 = 0, hvorfra .

Så punkterne er skæringspunkterne for en parabel og en lige linje (figur 1).

Figur 3 Grafer over funktionerne y = 8 + 2x – x 2 og y = 2x – 4

Lad os konstruere en ret linje y = 2x – 4. Den går gennem punkterne (0;-4), (2;0) på koordinatakserne.

For at konstruere en parabel kan man også bruge dens skæringspunkter med 0x-aksen, det vil sige rødderne af ligningen 8 + 2x – x 2 = 0 eller x 2 – 2x – 8 = 0. Ved at bruge Vietas sætning er det nemt for at finde dens rødder: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figur 3 viser en figur (parabolsk segment M 1 N M 2) afgrænset af disse linjer.

Den anden del af problemet er at finde arealet af denne figur. Dens areal kan findes ved hjælp af et bestemt integral ifølge formlen .

Anvendt til denne betingelse, får vi integralet:

2 Beregning af volumenet af et rotationslegeme

Det volumen af ​​legemet opnået ved rotationen af ​​kurven y = f(x) omkring O x-aksen beregnes ved hjælp af formlen:

Når man roterer rundt om O y-aksen, ser formlen sådan ud:

Opgave nr. 4. Bestem volumenet af legemet opnået fra rotationen af ​​en buet trapez afgrænset af rette linjer x = 0 x = 3 og kurve y = omkring O x-aksen.

Løsning. Lad os tegne et billede (Figur 4).

Figur 4. Graf over funktionen y =

Den nødvendige lydstyrke er

Opgave nr. 5. Beregn volumenet af legemet opnået ved rotationen af ​​en buet trapez afgrænset af kurven y = x 2 og rette linjer y = 0 og y = 4 omkring O y-aksen.

Løsning. Vi har:

Gennemgå spørgsmål

Lad funktionen være ikke-negativ og kontinuerlig på intervallet. Derefter, i henhold til den geometriske betydning af et bestemt integral, er arealet af en buet trapez afgrænset ovenfor af grafen for denne funktion, nedenunder af aksen, til venstre og højre af rette linjer og (se fig. 2) er beregnet med formlen

Eksempel 9. Find arealet af en figur afgrænset af en linje og akse.

Løsning. Funktionsgraf er en parabel, hvis grene er rettet nedad. Lad os bygge det (fig. 3). For at bestemme grænserne for integration finder vi skæringspunkterne for linjen (parablen) med aksen (lige linje). For at gøre dette løser vi ligningssystemet

Vi får: , hvor , ; derfor,,.

Ris. 3

Vi finder arealet af figuren ved hjælp af formel (5):

Hvis funktionen er ikke-positiv og kontinuerlig på segmentet, beregnes arealet af den krumlinjede trapez, der er afgrænset nedenunder af grafen for denne funktion, over af aksen, til venstre og højre af rette linjer og , beregnet af formel

. (6)

Hvis funktionen er kontinuerlig på et segment og skifter fortegn ved et begrænset antal punkter, så er arealet af den skraverede figur (fig. 4) lig med algebraisk sum tilsvarende bestemte integraler:

Ris. 4

Eksempel 10. Beregn arealet af figuren afgrænset af aksen og grafen for funktionen ved .

Ris. 5

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 5). Det nødvendige areal er summen af ​​arealerne og . Lad os finde hvert af disse områder. Først bestemmer vi grænserne for integration ved at løse systemet Vi får , . Derfor:

;

.

Således er området af den skraverede figur

(kvadrat enheder).

Ris. 6

Lad endelig den krumlinjede trapez være afgrænset over og under af graferne for funktioner kontinuerlige på segmentet og ,
og til venstre og højre - lige linjer og (fig. 6). Derefter beregnes dens areal ved formlen

. (8)

Eksempel 11. Find arealet af figuren afgrænset af linjerne og.

Løsning. Denne figur er vist i fig. 7. Lad os beregne dets areal ved hjælp af formel (8). Løsning af ligningssystemet finder vi, ; derfor,,. På segmentet har vi:. Det betyder, at vi i formel (8) tager som x, og som en kvalitet – . Vi får:

(kvadrat enheder).

Mere komplekse opgaver Beregningen af ​​arealer løses ved at opdele figuren i ikke-skærende dele og beregne arealet af hele figuren som summen af ​​arealer af disse dele.

Ris. 7

Eksempel 12. Find arealet af figuren afgrænset af linjerne , , .

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 8). Denne figur kan betragtes som en buet trapez, afgrænset nedefra af aksen, til venstre og højre - af lige linjer og ovenfra - af grafer over funktioner og. Da figuren er begrænset ovenfra af graferne for to funktioner, for at beregne dens areal, deler vi denne lige linjefigur i to dele (1 er abscissen af ​​linjernes skæringspunkt og ). Arealet af hver af disse dele findes ved hjælp af formel (4):

(kvadrat enheder); (kvadrat enheder). Derfor:

(kvadrat enheder).

Ris. 8

x= j ( på)

Ris. 9

Afslutningsvis bemærker vi, at hvis en kurvelineær trapez er begrænset af rette linjer og , akse og kontinuerlig på kurven (fig. 9), så findes dens areal af formlen

Volumen af ​​et revolutionslegeme

Lad en buet trapez, afgrænset af grafen for en funktion kontinuerlig på et segment, af en akse, af rette linjer og , rotere rundt om aksen (fig. 10). Derefter beregnes volumenet af det resulterende rotationslegeme ved hjælp af formlen

. (9)

Eksempel 13. Beregn volumenet af et legeme opnået ved at rotere rundt om aksen af ​​en buet trapez afgrænset af en hyperbel, rette linjer og akse.

Løsning. Lad os lave en tegning (fig. 11).

Af problemets betingelser følger det, at . Fra formel (9) får vi

.

Ris. 10

Ris. elleve

Volumen af ​​et legeme opnået ved rotation omkring en akse OU krumt trapez afgrænset af rette linjer y = c Og y = d, akse OU og en graf for en funktion kontinuert på et segment (fig. 12), bestemt af formlen

. (10)

x= j ( på)

Ris. 12

Eksempel 14. Beregn volumenet af et legeme opnået ved at dreje rundt om en akse OU krumt trapez afgrænset af linjer x 2 = 4på, y = 4, x = 0 (fig. 13).

Løsning. I overensstemmelse med problemets betingelser finder vi integrationens grænser: , . Ved hjælp af formel (10) får vi:

Ris. 13

Buelængde af en plan kurve

Lad kurven givet af ligningen , hvor , ligge i planet (fig. 14).

Ris. 14

Definition. Længden af ​​en bue forstås som den grænse, til hvilken længden af ​​en stiplet linie, der er indskrevet i denne bue, tenderer, når antallet af led af den stiplede linie tenderer til uendeligt, og længden af ​​det største led har en tendens til nul.

Hvis en funktion og dens afledte er kontinuerte på segmentet, beregnes buelængden af ​​kurven med formlen

. (11)

Eksempel 15. Beregn buelængden af ​​kurven indesluttet mellem de punkter, for hvilke .

Løsning. Ud fra de problemforhold, vi har . Ved hjælp af formel (11) får vi:

.

4. Ukorrekte integraler
med uendelige grænser for integration

Ved introduktionen af ​​begrebet et bestemt integral blev det antaget, at følgende to betingelser var opfyldt:

a) grænser for integration EN og er endelige;

b) integranden er afgrænset på intervallet.

Hvis mindst en af ​​disse betingelser ikke er opfyldt, kaldes integralet ikke din egen.

Lad os først overveje upassende integraler med uendelige grænser for integration.

Definition. Lad da funktionen være defineret og kontinuerlig på intervallet og ubegrænset til højre (fig. 15).

Hvis det ukorrekte integral konvergerer, så er dette område begrænset; hvis det ukorrekte integral divergerer, så er dette område uendeligt.

Ris. 15

Et ukorrekt integral med en uendelig nedre grænse for integration defineres på samme måde:

. (13)

Dette integral konvergerer, hvis grænsen på højre side af lighed (13) eksisterer og er endelig; ellers siges integralet at være divergent.

Et ukorrekt integral med to uendelige grænser for integration er defineret som følger:

, (14)

hvor с er ethvert punkt i intervallet. Integralet konvergerer kun, hvis begge integraler på højre side af lighed (14) konvergerer.

;

G) = [vælg et komplet kvadrat i nævneren: ] = [udskiftning:

] =

Det betyder, at det ukorrekte integral konvergerer, og dets værdi er lig med .

Lad os gå videre til at overveje anvendelser af integralregning. I denne lektion vil vi analysere den typiske og mest almindelige opgave beregning af arealet af en plan figur ved hjælp af et bestemt integral. Endelig, alle leder efter mening i højere matematik- må de finde ham. Man ved aldrig. Vi bliver nødt til at bringe det tættere på i livet sommerhusområde elementære funktioner og find sit areal ved hjælp af et bestemt integral.

For at mestre materialet med succes skal du:

1) Forstå det ubestemte integral i det mindste på et mellemniveau. Dummies bør derfor først læse lektionen Ikke.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz formlen og beregne det bestemte integral. Sæt varmt op venskabelige forbindelser med bestemte integraler kan findes på siden Bestemt integral. Eksempler på løsninger. Opgaven "beregn arealet ved hjælp af et bestemt integral" involverer altid at konstruere en tegning, Derfor aktuel problemstilling Din viden og færdigheder inden for tegning vil også være der. Du skal som minimum kunne konstruere en lige linje, parabel og hyperbel.

Lad os starte med en buet trapez. En buet trapez er en flad figur afgrænset af grafen for en funktion y = f(x), akse OKSE og linjer x = -en; x = b.

Arealet af en buet trapez er numerisk lig med et bestemt integral

Ethvert bestemt integral (der findes) har en meget god geometrisk betydning. Ved lektionen Bestemt integral. Eksempler på løsninger vi sagde, at et bestemt integral er et tal. Og nu er det tid til at sige endnu et nyttigt faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det bestemte integral AREA. Det er, det bestemte integral (hvis det findes) svarer geometrisk til arealet af en bestemt figur. Overvej det bestemte integral

Integrand

definerer en kurve på planet (den kan tegnes hvis det ønskes), og selve det bestemte integral er numerisk lig med areal tilsvarende buet trapez.

Eksempel 1

, , , .

Dette er en typisk opgavebeskrivelse. Det vigtigste punkt løsninger - tegning. Desuden skal tegningen være konstrueret HØJRE.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rækkefølge: i første omgang det er bedre at konstruere alle lige linjer (hvis de findes) og kun Derefter– parabler, hyperbler, grafer for andre funktioner. Punkt-for-punkt byggeteknikken kan findes i referencematerialet Grafer og egenskaber elementære funktioner . Der kan du også finde meget nyttigt materiale til vores lektion - hvordan man hurtigt bygger en parabel.

I dette problem kan løsningen se sådan ud.

Lad os tegne tegningen (bemærk, at ligningen y= 0 angiver aksen OKSE):

Vi vil ikke skygge for en buet trapez; her er det tydeligt hvilket område vi taler om. Løsningen fortsætter således:

På segmentet [-2; 1] funktionsgraf y = x 2 + 2 placeret over aksenOKSE, Derfor:

Svar: .

Hvem har vanskeligheder med at beregne det bestemte integral og anvende Newton-Leibniz formlen

,

henvises til foredrag Bestemt integral. Eksempler på løsninger. Når opgaven er afsluttet, er det altid nyttigt at se på tegningen og finde ud af, om svaret er rigtigt. I dette tilfælde tæller vi antallet af celler i tegningen "efter øjet" - ja, der vil være omkring 9, det ser ud til at være sandt. Det er helt klart, at hvis vi for eksempel fik svaret: 20 kvadratenheder, så er det åbenlyst, at der er begået en fejl et eller andet sted - 20 celler passer åbenbart ikke ind i den pågældende figur, højst et dusin. Hvis svaret er negativt, så blev opgaven også løst forkert.

Eksempel 2

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer xy = 4, x = 2, x= 4 og akse OKSE.

Dette er et eksempel på selvstændig beslutning. Fuldstændig løsning og svaret i slutningen af ​​lektionen.

Hvad skal man gøre, hvis den buede trapez er placeret under akslenOKSE?

Eksempel 3

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer y = e-x, x= 1 og koordinatakser.

Løsning: Lad os lave en tegning:

Hvis en buet trapez helt placeret under aksen OKSE , så kan dens areal findes ved hjælp af formlen:

I dette tilfælde:

.

Opmærksomhed! De to typer opgaver må ikke forveksles:

1) Hvis du bliver bedt om at løse blot et bestemt integral uden nogen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du bliver bedt om at finde arealet af en figur ved hjælp af et bestemt integral, så er arealet altid positivt! Derfor optræder minus i den netop omtalte formel.

I praksis er figuren oftest placeret i både det øvre og nedre halvplan, og derfor går vi fra de simpleste skoleproblemer videre til mere meningsfulde eksempler.

Eksempel 4

Find arealet af en plan figur afgrænset af linjer y = 2x – x 2 , y = -x.

Løsning: Først skal du lave en tegning. Når vi konstruerer en tegning i arealproblemer, er vi mest interesserede i linjers skæringspunkter. Lad os finde skæringspunkterne for parablen y = 2x – x 2 og lige y = -x. Dette kan gøres på to måder. Den første metode er analytisk. Vi løser ligningen:

Det betyder, at den nedre grænse for integration -en= 0, øvre grænse for integration b= 3. Det er ofte mere rentabelt og hurtigere at konstruere linjer punkt for punkt, og grænserne for integration bliver tydelige "af sig selv." Ikke desto mindre skal den analytiske metode til at finde grænser stadig nogle gange bruges, hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den detaljerede konstruktion ikke afslørede grænserne for integration (de kan være brøkdele eller irrationelle). Lad os vende tilbage til vores opgave: det er mere rationelt først at konstruere en lige linje og først derefter en parabel. Lad os lave tegningen:

Lad os gentage, at når man konstruerer punktvis, bestemmes grænserne for integration oftest "automatisk".

Og nu arbejdsformlen:

Hvis på segmentet [ -en; b] en eller anden kontinuerlig funktion f(x) større end eller lig med en eller anden kontinuerlig funktion g(x), så kan arealet af den tilsvarende figur findes ved hjælp af formlen:

Her behøver du ikke længere tænke på, hvor figuren er placeret – over aksen eller under aksen, men det betyder noget, hvilken graf der er HØJERE(i forhold til en anden graf), og hvilken er UNDER.

I det undersøgte eksempel er det indlysende, at parablen på segmentet er placeret over den rette linje, og derfor fra 2 x – x 2 skal trækkes fra - x.

Den færdige løsning kan se sådan ud:

Den ønskede figur er begrænset af en parabel y = 2x – x 2 ovenpå og lige y = -x under.

På segment 2 x – x 2 ≥ -x. Ifølge den tilsvarende formel:

Svar: .

Faktisk er skoleformlen for arealet af en buet trapez i det nederste halvplan (se eksempel nr. 3) et specialtilfælde af formlen

.

Fordi aksen OKSE givet af ligningen y= 0, og grafen for funktionen g(x) placeret under aksen OKSE, At

.

Og nu et par eksempler til din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Find arealet af en figur afgrænset af linjer

Når man løser problemer, der involverer beregning af areal ved hjælp af et bestemt integral, sker der nogle gange en sjov hændelse. Tegningen var udført korrekt, beregningerne var korrekte, men på grund af skødesløshed... Området med den forkerte figur blev fundet.

Eksempel 7

Lad os først lave en tegning:

Figuren, hvis område vi skal finde, er skraveret blå(se nøje på tilstanden - hvor er tallet begrænset!). Men i praksis beslutter de på grund af uopmærksomhed ofte, at de skal finde det område af figuren, der er skraveret grøn!

Dette eksempel er også nyttigt, fordi det beregner arealet af en figur ved hjælp af to bestemte integraler. Virkelig:

1) På segmentet [-1; 1] over aksen OKSE grafen er placeret lige y = x+1;

2) På et segment over aksen OKSE grafen for en hyperbel er lokaliseret y = (2/x).

Det er helt indlysende, at områderne kan (og bør) tilføjes, derfor:

Svar:

Eksempel 8

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer

Lad os præsentere ligningerne i "skole"-form

og lav en punkt-for-punkt tegning:

Fra tegningen er det tydeligt, at vores øvre grænse er "god": b = 1.

Men hvad er den nedre grænse?! Det er klart, at dette ikke er et heltal, men hvad er det?

Måske, -en=(-1/3)? Men hvor er garantien for, at tegningen er lavet med perfekt nøjagtighed, det kan det godt vise sig -en=(-1/4). Hvad hvis vi byggede grafen forkert?

I sådanne tilfælde skal du bruge ekstra tid og afklare grænserne for integration analytisk.

Lad os finde skæringspunkterne for graferne

For at gøre dette løser vi ligningen:

.

Derfor, -en=(-1/3).

Den videre løsning er triviel. Det vigtigste er ikke at blive forvirret i udskiftninger og tegn. Beregningerne her er ikke de enkleste. På segmentet

, ,

efter den tilsvarende formel:

Svar:

For at afslutte lektionen, lad os se på to mere vanskelige opgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer

Løsning: Lad os afbilde denne figur på tegningen.

For at tegne en punkt-for-punkt-tegning skal du vide udseende sinusoider. Generelt er det nyttigt at kende graferne for alle elementære funktioner samt nogle sinusværdier. De kan findes i værditabellen trigonometriske funktioner . I nogle tilfælde (for eksempel i dette tilfælde) er det muligt at konstruere en skematisk tegning, hvorpå graferne og grænserne for integration skal vises grundlæggende korrekt.

Der er ingen problemer med grænserne for integration her; de følger direkte af betingelsen:

– "x" skifter fra nul til "pi". Lad os tage en yderligere beslutning:

På et segment, grafen for en funktion y= synd 3 x placeret over aksen OKSE, Derfor:

(1) Du kan se, hvordan sinus og cosinus er integreret i ulige potenser i lektionen Integraler af trigonometriske funktioner. Vi kniber den ene sinus af.

(2) Vi bruger den trigonometriske hovedidentitet i formularen

(3) Lad os ændre variablen t=cos x, så: er placeret over aksen, derfor:

.

.

Bemærk: bemærk, hvordan integralet af tangenten i terning tages; en følge af den vigtigste bruges her trigonometrisk identitet

.