Er det muligt at dividere med nul? Så er det muligt at dividere med nul? Division med nul i højere matematik

Gips

21.09.2019

Matematikere har en særlig sans for humor, og nogle spørgsmål i forbindelse med beregninger tages ikke længere seriøst. Det er ikke altid klart, om de forsøger at forklare dig i fuld alvor, hvorfor du ikke kan dividere med nul, eller om dette bare er endnu en joke. Men spørgsmålet i sig selv er ikke så indlysende, hvis man i elementær matematik kan nå dens løsning rent logisk, så kan der i højere matematik godt være andre begyndelsesbetingelser.

Hvornår dukkede nul op?

Tallet nul er fyldt med mange mysterier:

I Det gamle Rom De kendte ikke dette nummer, referencesystemet begyndte med I.
I lang tid argumenterede arabere og indianere for retten til at blive kaldt forfædre til nul.
Undersøgelser af mayakulturen har vist, at dette oldtidens civilisation kunne godt have været den første i forhold til at bruge nul.
Nul har ingen numerisk værdi, ikke engang en minimal værdi.
Det betyder bogstaveligt talt ingenting, fraværet af ting at tælle.

I det primitive system var der ikke noget særligt behov for en sådan figur, fraværet af noget kunne forklares ved hjælp af ord. Men med fremkomsten af civilisationer steg menneskelige behov også med hensyn til arkitektur og teknik.

For at udføre mere komplekse beregninger og udlede nye funktioner var det nødvendigt et tal, der ville indikere fuldstændigt fravær af noget.

Er det muligt at dividere med nul?

Der er to diametralt modsatte meninger:

I skolen, selv i folkeskolen, lærer de, at man aldrig skal dividere med nul. Dette forklares meget enkelt:

Lad os forestille os, at du har 20 mandarinskiver.
Ved at dividere dem med 5, giver du 4 skiver til fem venner.
At dividere med nul vil ikke fungere, fordi processen med division mellem nogen vil ikke ske.

Dette er naturligvis en billedlig forklaring, stort set forenklet og ikke helt i overensstemmelse med virkeligheden. Men det forklarer på en yderst tilgængelig måde meningsløsheden i at dividere noget med nul.

Trods alt kan man faktisk på denne måde betegne kendsgerningen om fraværet af splittelse. Hvorfor komplicere matematiske beregninger og også nedskrive fraværet af division?

Kan nul divideres med et tal?

Fra et synspunkt af anvendt matematik giver enhver division, der involverer et nul, ikke meget mening. Men skolebøger er klare efter deres mening:

Nul kan deles.
Ethvert tal kan bruges til division.
Du kan ikke dividere nul med nul.

Det tredje punkt kan forårsage en smule forvirring, da det blot nogle få afsnit ovenfor blev indikeret, at en sådan opdeling er ganske mulig. Faktisk afhænger det hele af den disciplin, du laver beregningerne i.

I dette tilfælde er det virkelig bedre for skolebørn at skrive det udtryk kan ikke bestemmes , og derfor giver det ikke mening. Men i nogle grene af algebraisk videnskab er det tilladt at skrive et sådant udtryk ved at dividere nul med nul. Især når vi taler om om computere og programmeringssprog.

Behovet for at dividere nul med et tal kan opstå, når man løser eventuelle ligheder og søger efter begyndelsesværdier. Men i så fald svaret vil altid være nul. Her, som med multiplikation, vil du ikke ende med mere end nul, uanset hvilket tal du dividerer nul med. Derfor, hvis du bemærker dette dyrebare tal i en enorm formel, så prøv hurtigt at "finde ud af", om alle beregningerne vil komme ned til en meget enkel løsning.

Hvis uendelighed divideres med nul

Det var nødvendigt at nævne uendeligt store og uendeligt små værdier lidt tidligere, fordi dette også åbner nogle smuthuller for division, herunder brug af nul. Det er rigtigt, og der er en lille hake her, fordi uendelig værdi og fuldstændig fravær af værdi er forskellige begreber.

Men denne lille forskel i vores forhold kan i sidste ende ignoreres, beregninger udføres ved hjælp af abstrakte mængder:

Tællerne skal indeholde et uendeligt tegn.
Nævnerne er et symbolsk billede af en værdi, der har en tendens til nul.
Svaret vil være uendeligt, hvilket repræsenterer en uendelig stor funktion.

Det skal bemærkes, at vi stadig taler om den symbolske visning af en infinitesimal funktion, og ikke om brugen af nul. Intet har ændret sig med dette tegn, det kan stadig ikke opdeles i, kun som meget, meget sjældne undtagelser.

For det meste bruges nul til at løse problemer, der er inde rent teoretisk plan. Måske, efter årtier eller endda århundreder, vil al moderne computer finde praktisk brug, og de vil give en form for storslået gennembrud inden for videnskaben.

I mellemtiden drømmer de fleste matematiske genier kun om verdensomspændende anerkendelse. Undtagelsen fra disse regler er vores landsmand, Perelman. Men han er kendt for at løse et virkelig epokegørende problem med beviset for Poinqueré-formodningen og for sin ekstravagante opførsel.

Paradokser og meningsløsheden ved at dividere med nul

At dividere med nul giver for det meste ingen mening:

Division er repræsenteret som omvendt funktion af multiplikation.
Vi kan gange et hvilket som helst tal med nul og få nul som svar.
Med samme logik kunne man dividere et hvilket som helst tal med nul.
Under sådanne forhold ville det være let at komme til den konklusion, at ethvert tal ganget eller divideret med nul er lig med ethvert andet tal, som denne operation blev udført på.
Vi kasserer den matematiske operation og får den mest interessante konklusion - ethvert tal er lig med ethvert tal.

Ud over at skabe sådanne hændelser, division med nul har ingen praktisk betydning, fra ordet generelt. Selvom det er muligt at udføre denne handling, vil det ikke være muligt at få nye oplysninger.

Fra elementær matematiks synspunkt, under division med nul, er hele objektet opdelt nul gange, det vil sige ikke en enkelt gang. Kort fortalt - der sker ingen fissionsproces, derfor kan der ikke være et resultat af denne begivenhed.

Når du er i samme virksomhed som en matematiker, kan du altid stille et par banale spørgsmål, for eksempel hvorfor du ikke kan dividere med nul og få et interessant og forståeligt svar. Eller irritation, for det er nok ikke første gang, en person bliver spurgt om dette. Og ikke engang i tiende. Så pas på dine matematikervenner, lad være med at tvinge dem til at gentage én forklaring hundrede gange.

Video: dividere med nul

I denne video vil matematikeren Anna Lomakova fortælle dig, hvad der sker, hvis du dividerer et tal med nul, og hvorfor det ikke kan lade sig gøre, set fra et matematisk synspunkt:

Alle husker fra skolen, at man ikke kan dividere med nul. Folkeskolebørn får aldrig forklaret, hvorfor det ikke skal gøres. De tilbyder simpelthen at tage dette som en selvfølge sammen med andre forbud som "du kan ikke stikke fingrene i stikkontakter" eller "du skal ikke stille dumme spørgsmål til voksne."

Tallet 0 kan forestilles som en bestemt grænse, der adskiller verden af reelle tal fra imaginære eller negative. På grund af den tvetydige position adlyder mange operationer med denne numeriske værdi ikke matematisk logik. Umuligheden af at dividere med nul er et godt eksempel på dette. Og det tilladte aritmetiske operationer med nul kan gøres ved hjælp af almindeligt accepterede definitioner.

Algebraisk forklaring på umuligheden af at dividere med nul

Fra et algebraisk synspunkt kan man ikke dividere med nul, fordi det ikke giver nogen mening. Lad os tage to vilkårlige tal, a og b, og gange dem med nul. a × 0 er lig nul og b × 0 er lig nul. Det viser sig, at a × 0 og b × 0 er ens, fordi produktet i begge tilfælde er lig med nul. Således kan vi lave ligningen: 0 × a = 0 × b. Lad os nu antage, at vi kan dividere med nul: vi dividerer begge sider af ligningen med det og får, at a = b. Det viser sig, at hvis vi tillader driften af division med nul, så falder alle tallene sammen. Men 5 er ikke lig med 6, og 10 er ikke lig med ½. Der opstår usikkerhed, som lærerne helst ikke fortæller nysgerrige ungdomsskoleelever.

Er der en 0:0 operation?

Faktisk, hvis operationen af multiplikation med 0 er lovlig, kan nul så divideres med nul? En ligning med formen 0x 5=0 er jo ret lovlig. I stedet for tallet 5 kan du sætte 0, produktet vil ikke ændre sig. Faktisk, 0x0=0. Men du kan stadig ikke dividere med 0. Som nævnt er division simpelthen det omvendte af multiplikation. Således, hvis du i eksemplet 0x5=0 skal bestemme den anden faktor, får vi 0x0=5. Eller 10. Eller uendelig. At dividere uendelighed med nul - hvordan kan du lide det? Men hvis et tal passer ind i udtrykket, så giver det ikke mening, vi kan ikke vælge kun ét fra et uendeligt antal tal. Og i så fald betyder det, at udtrykket 0:0 ikke giver mening. Det viser sig, at selv nul ikke kan divideres med nul.

Forklaring på umuligheden af at dividere med nul fra en matematisk analyses synspunkt

I gymnasiet studerer de teorien om grænser, som også taler om umuligheden af at dividere med nul. Dette tal tolkes der som en "udefineret uendelig størrelse." Så hvis vi betragter ligningen 0 × X = 0 inden for rammerne af denne teori, vil vi opdage, at X ikke kan findes, fordi vi for at gøre dette skal dividere nul med nul. Og dette giver heller ingen mening, da både udbyttet og divisoren i dette tilfælde er ubestemte størrelser, derfor er det umuligt at drage en konklusion om deres lighed eller ulighed.

Hvornår kan man dividere med nul?

I modsætning til skolebørn kan studerende fra tekniske universiteter dividere med nul. En operation, der er umulig i algebra, kan udføres på andre områder af matematisk viden. Nye yderligere betingelser for problemet vises i dem, der tillader denne handling. At dividere med nul vil være muligt for dem, der lytter til et kursus med forelæsninger om ikke-standardanalyse, studerer Dirac delta-funktionen og bliver fortrolig med det udvidede komplekse plan.

Historien om nul

Nul er referencepunktet i alt standardsystemer regning. Europæere begyndte at bruge dette tal relativt for nylig, men vismændene Oldtidens Indien brugte nul tusinde år før det tomme tal kom i regelmæssig brug af europæiske matematikere. Allerede før indianerne var nul en obligatorisk værdi i numerisk system Maya. Disse amerikanere brugte det duodecimale talsystem, og den første dag i hver måned begyndte med et nul. Det er interessant, at blandt mayaerne faldt tegnet, der betegner "nul", fuldstændig sammen med tegnet, der betegner "uendelighed". Således konkluderede de gamle mayaer, at disse mængder er identiske og ukendelige.

Højere matematik

Division med nul er en hovedpine for gymnasiets matematik. Matematisk analyse studeret på tekniske universiteter udvider lidt begrebet problemer, der ikke har nogen løsning. For eksempel tilføjes nye til det allerede kendte udtryk 0:0, som ikke har løsninger i skolens matematikkurser: uendeligt divideret med uendeligt: ∞:∞; uendelig minus uendelig: ∞−∞; enhed hævet til en uendelig potens: 1∞; uendelig ganget med 0: ∞*0; nogle andre.

Det er umuligt at løse sådanne udtryk ved hjælp af elementære metoder. Men højere matematik tak yderligere funktioner for en række lignende eksempler giver endelige løsninger. Dette er især tydeligt i betragtning af problemer fra teorien om grænser.

Låser op for usikkerhed

I teorien om grænser er værdien 0 erstattet af en betinget infinitesimal variabel. Og udtryk, hvori, når du substituerer den ønskede værdi, opnås division med nul, transformeres.

Nedenfor er standard eksempel afsløre grænsen ved hjælp af almindelige algebraiske transformationer: Som det kan ses i eksemplet, fører simpel reduktion af en brøk dens værdi til et fuldstændig rationelt svar.

Når man overvejer grænserne trigonometriske funktioner deres udtryk har en tendens til at blive reduceret til den første bemærkelsesværdige grænse. Når man overvejer grænser, hvor nævneren bliver 0, når en grænse erstattes, bruges en anden bemærkelsesværdig grænse.

L'Hopital metode

I nogle tilfælde kan grænserne for udtryk erstattes af grænserne for deres afledte. Guillaume L'Hopital - fransk matematiker, grundlægger af den franske skole for matematisk analyse. Han beviste, at grænserne for udtryk er lig med grænserne for afledte af disse udtryk.

I matematisk notation ser hans regel sådan ud.

Selv i skolen forsøgte lærerne at hamre den enkleste regel ind i hovedet på os: "Ethvert tal ganget med nul er lig med nul!", – men alligevel opstår der konstant en masse polemik omkring ham. Nogle mennesker husker bare reglen og generer sig ikke med spørgsmålet "hvorfor?" "Det kan du ikke, og det er det, for det sagde de i skolen, reglen er reglen!" Nogen kan fylde en halv notesbog med formler, hvilket beviser denne regel eller omvendt dens ulogik.

Hvem har ret i sidste ende?

Under disse stridigheder ser begge mennesker med modsatrettede synspunkter på hinanden som en vædder og beviser med al deres magt, at de har ret. Selvom du ser på dem fra siden, kan du ikke se én, men to væddere, der hviler deres horn på hinanden. Den eneste forskel mellem dem er, at den ene er lidt mindre uddannet end den anden.

Oftest forsøger de, der anser denne regel for at være forkert, at appellere til logikken på denne måde:

Jeg har to æbler på mit bord, hvis jeg sætter nul æbler på dem, det vil sige, jeg lægger ikke et eneste, så forsvinder mine to æbler ikke! Reglen er ulogisk!

Æbler vil faktisk ikke forsvinde nogen steder, men ikke fordi reglen er ulogisk, men fordi en lidt anden ligning bruges her: 2 + 0 = 2. Så lad os forkaste denne konklusion med det samme - den er ulogisk, selvom den har det modsatte formål - at kalde til logik.

Hvad er multiplikation

Oprindeligt multiplikationsreglen blev kun defineret for naturlige tal: multiplikation er et tal tilføjet til sig selv et vist antal gange, hvilket betyder, at tallet er naturligt. Således kan ethvert tal med multiplikation reduceres til denne ligning:

25×3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25×3 = 25 + 25 + 25

Af denne ligning følger det at multiplikation er en forenklet addition.

Hvad er nul

Enhver person ved fra barndommen: nul er tomhed På trods af at denne tomhed har en betegnelse, bærer den ikke noget som helst. Gamle østlige videnskabsmænd tænkte anderledes - de nærmede sig spørgsmålet filosofisk og trak nogle paralleller mellem tomhed og uendelighed og så en dyb mening i dette tal. Efter alt, nul, som har betydningen af tomhed, står ved siden af evt naturligt tal, gange det tidoblet. Derfor al kontroversen om multiplikation - dette tal har så meget inkonsekvens, at det bliver svært ikke at blive forvirret. Derudover bruges nul konstant til at definere tomme cifre i decimaler, dette gøres både før og efter decimaltegnet.

Er det muligt at gange med tomhed?

Du kan gange med nul, men det er nytteløst, for uanset hvad man siger, selv når du multiplicerer negative tal, vil du stadig få nul. Det er nok bare at huske denne enkle regel og aldrig stille dette spørgsmål igen. Faktisk er alt enklere, end det ser ud ved første øjekast. Der er ingen skjulte betydninger og hemmeligheder, som gamle videnskabsmænd troede. Nedenfor vil vi give den mest logiske forklaring på, at denne multiplikation er ubrugelig, for når du ganger et tal med det, får du stadig det samme - nul.

Vender vi tilbage til begyndelsen, til argumentet om to æbler, 2 gange 0 ser sådan ud:

Hvis du spiser to æbler fem gange, så spiser du 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 æbler
Hvis du spiser to af dem tre gange, så spiser du 2×3 = 2+2+2 = 6 æbler
Hvis du spiser to æbler nul gange, så bliver der ikke spist noget - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

At spise et æble 0 gange betyder jo ikke at spise et eneste. Det vil være klart selv for dig selv til et lille barn. Uanset hvad man kan sige, vil resultatet være 0, to eller tre kan erstattes med absolut et hvilket som helst tal, og resultatet vil være absolut det samme. Og for at sige det enkelt, altså nul er ingenting, og hvornår har du der er ingenting, så uanset hvor meget du formerer, er det stadig det samme vil være nul. Der er ikke noget der hedder magi, og intet vil lave et æble, selvom du gange 0 med en million. Dette er den enkleste, mest forståelige og logiske forklaring på reglen om multiplikation med nul. For en person, der er langt fra alle formler og matematik, vil en sådan forklaring være nok til, at dissonansen i hovedet løser sig, og alt falder på plads.

Division

Af alt det ovenstående følger en anden ting vigtig regel:

Du kan ikke dividere med nul!

Denne regel er også vedvarende blevet hamret ind i vores hoveder siden barndommen. Vi ved bare, at det er umuligt, og det er alt sammen uden at genere os selv. unødvendig information. Hvis du uventet bliver stillet spørgsmålet, hvorfor det er forbudt at dividere med nul, så vil flertallet blive forvirret og vil ikke være i stand til klart at svare på det enkleste spørgsmål fra skolepensum, fordi der ikke er så meget polemik og polemik omkring denne regel.

Alle huskede simpelthen reglen udenad og dividerede ikke med nul, uden mistanke om, at svaret var skjult på overfladen. Addition, multiplikation, division og subtraktion er ulige af ovenstående, kun multiplikation og addition er gyldige, og alle andre manipulationer med tal er bygget ud fra dem. Det vil sige, at indgangen 10: 2 er en forkortelse af ligningen 2 * x = 10. Det betyder, at indtastningen 10: 0 er den samme forkortelse for 0 * x = 10. Det viser sig, at division med nul er en opgave, der skal find et tal, gange med 0, får du 10 Og vi har allerede fundet ud af, at et sådant tal ikke eksisterer, hvilket betyder, at denne ligning ikke har nogen løsning, og den vil a priori være forkert.

Lad mig fortælle dig,

For ikke at dividere med 0!

Klip 1 som du vil, på langs,

Bare lad være med at dividere med 0!

Meget ofte undrer mange mennesker sig over, hvorfor division med nul ikke kan bruges? I denne artikel vil vi tale meget detaljeret om, hvor denne regel kom fra, samt hvilke handlinger der kan udføres med et nul.

I kontakt med

Nul kan kaldes et af de mest interessante tal. Dette tal har ingen betydning, det betyder tomhed i ordets sandeste betydning. Men hvis et nul er placeret ved siden af et vilkårligt tal, vil værdien af dette tal blive flere gange større.

Selve nummeret er meget mystisk. Jeg brugte den igen gamle mennesker Maya. For mayaerne betød nul "begyndelse", og kalenderdage begyndte også fra nul.

Meget interessant fakta er, at nultegnet og usikkerhedstegnet lignede hinanden. Hermed ønskede mayaerne at vise, at nul er det samme identiske tegn som usikkerhed. I Europa dukkede betegnelsen nul op for relativt nylig.

Mange kender også forbuddet forbundet med nul. Enhver person vil sige det Du kan ikke dividere med nul. Det siger lærere i skolen, og børn tager normalt deres ord for det. Normalt er børn enten simpelthen ikke interesserede i at vide dette, eller de ved, hvad der vil ske, hvis de efter at have hørt et vigtigt forbud straks spørger: "Hvorfor kan du ikke dividere med nul?" Men når du bliver ældre, vækker din interesse, og du vil gerne vide mere om årsagerne til dette forbud. Der er dog rimelige beviser.

Handlinger med nul

Først skal du bestemme, hvilke handlinger der kan udføres med nul. Eksisterer flere typer handlinger:

Tilføjelse;
Multiplikation;
Subtraktion;
Division (nul efter tal);
Eksponentiering.

Vigtig! Hvis du tilføjer nul til et hvilket som helst tal under addition, vil dette tal forblive det samme og vil ikke ændre dets numerisk værdi. Det samme sker, hvis du trækker nul fra et hvilket som helst tal.

Når man multiplicerer og dividerer tingene er lidt anderledes. Hvis gange ethvert tal med nul, så bliver produktet også nul.

Lad os se på et eksempel:

Lad os skrive dette som en tilføjelse:

Der er fem nuller i alt, så det viser sig

Lad os prøve at gange en med nul. Resultatet bliver også nul.

Nul kan også divideres med et hvilket som helst andet tal, der ikke er lig med det. I dette tilfælde vil resultatet være , hvis værdi også vil være nul. Den samme regel gælder for negative tal. Hvis nul er divideret med et negativt tal, så bliver det nul.

Du kan også konstruere et hvilket som helst tal til nul grader. I dette tilfælde vil resultatet være 1. Det er vigtigt at huske, at udtrykket "nul til magten af nul" er absolut meningsløst. Hvis du forsøger at hæve nul til en hvilken som helst potens, får du nul. Eksempel:

Vi bruger multiplikationsreglen og får 0.

Så er det muligt at dividere med nul?

Så her kommer vi til hovedspørgsmålet. Er det muligt at dividere med nul? overhovedet? Og hvorfor kan vi ikke dividere et tal med nul, givet at alle andre handlinger med nul eksisterer og anvendes? For at besvare dette spørgsmål skal du kontakte højere matematik.

Lad os starte med definitionen af begrebet, hvad er nul? Skolelærere De siger, at nul er ingenting. Tomhed. Det vil sige, at når du siger, at du har 0 håndtag, betyder det, at du slet ingen håndtag har.

I højere matematik er begrebet "nul" bredere. Det betyder slet ikke tomhed. Her kaldes nul for usikkerhed, fordi hvis vi laver lidt research, viser det sig, at når vi dividerer nul med nul, kan vi ende med et hvilket som helst andet tal, som ikke nødvendigvis er nul.

Vidste du, at de simple aritmetiske operationer, som du studerede i skolen, ikke er så lige hinanden? For det meste grundlæggende handlinger er addition og multiplikation.

For matematikere eksisterer begreberne "" og "subtraktion" ikke. Lad os sige: hvis du trækker tre fra fem, står du tilbage med to. Sådan ser subtraktion ud. Men matematikere ville skrive det på denne måde:

Det viser sig således, at den ukendte forskel er et bestemt tal, der skal lægges til 3 for at få 5. Det vil sige, at du ikke behøver at trække noget fra, du skal bare finde det passende tal. Denne regel gælder for tilføjelse.

Det er lidt anderledes med regler for multiplikation og division. Det er kendt, at multiplikation med nul fører til et nulresultat. For eksempel, hvis 3:0=x, så hvis du vender indtastningen om, får du 3*x=0. Og et tal, der blev ganget med 0, vil give nul i produktet. Det viser sig, at et tal, der ville give en anden værdi end nul i produktet med nul, ikke eksisterer. Det betyder, at division med nul er meningsløst, det vil sige, at det passer til vores regel.

Men hvad sker der, hvis du forsøger at dividere nul i sig selv? Lad os tage et ubestemt tal som x. Den resulterende ligning er 0*x=0. Det kan løses.

Hvis vi prøver at tage nul i stedet for x, får vi 0:0=0. Det virker logisk? Men hvis vi prøver at tage et hvilket som helst andet tal, for eksempel 1, i stedet for x, ender vi med 0:0=1. Den samme situation vil ske, hvis vi tager et hvilket som helst andet nummer og sæt den ind i ligningen.

I dette tilfælde viser det sig, at vi kan tage et hvilket som helst andet tal som en faktor. Resultatet bliver et uendeligt antal forskellige tal. Nogle gange giver division med 0 i højere matematik stadig mening, men så opstår der normalt en bestemt betingelse, takket være hvilken vi stadig kan vælge et passende tal. Denne handling kaldes "usikkerhedsoplysning". I almindelig aritmetik vil division med nul igen miste sin betydning, da vi ikke vil kunne vælge ét tal fra mængden.

Vigtig! Du kan ikke dividere nul med nul.

Nul og uendelighed

Uendelighed kan findes meget ofte i højere matematik. Da det simpelthen ikke er vigtigt for skolebørn at vide, at der også er matematiske operationer med uendelighed, kan lærere ikke forklare børn ordentligt, hvorfor de ikke kan dividere med nul.

Studerende begynder først at lære grundlæggende matematiske hemmeligheder i det første år af instituttet. Højere matematik giver et stort kompleks af problemer, der ikke har nogen løsning. De mest kendte problemer er problemer med uendelighed. De kan løses vha matematisk analyse.

Kan også anvendes i det uendelige elementære matematiske operationer: addition, multiplikation med tal. Normalt bruger de også subtraktion og division, men i sidste ende kommer de alligevel ned til to simple operationer.

Tallet 0 kan forestilles som en bestemt grænse, der adskiller verden af reelle tal fra imaginære eller negative. På grund af den tvetydige position adlyder mange operationer med denne numeriske værdi ikke matematisk logik. Umuligheden af at dividere med nul er et godt eksempel på dette. Og tilladte aritmetiske operationer med nul kan udføres ved hjælp af almindeligt accepterede definitioner.

Historien om nul

Nul er referencepunktet i alle standardtalsystemer. Europæere begyndte at bruge dette tal relativt for nylig, men vismændene i det gamle Indien brugte nul tusinde år før det tomme tal regelmæssigt blev brugt af europæiske matematikere. Selv før indianerne var nul en obligatorisk værdi i mayaernes numeriske system. Disse amerikanere brugte det duodecimale talsystem, og den første dag i hver måned begyndte med et nul. Det er interessant, at blandt mayaerne faldt tegnet, der betegner "nul", fuldstændig sammen med tegnet, der betegner "uendelighed". Således konkluderede de gamle mayaer, at disse mængder er identiske og ukendelige.

Matematiske operationer med nul

Matematiske standardoperationer med nul kan reduceres til nogle få regler.

Tilføjelse: Hvis du tilføjer nul til et vilkårligt tal, vil det ikke ændre sin værdi (0+x=x).

Subtraktion: Når du trækker nul fra ethvert tal, forbliver værdien af subtrahenden uændret (x-0=x).

Multiplikation: Ethvert tal ganget med 0 giver 0 (a*0=0).

Division: Nul kan divideres med et hvilket som helst tal, der ikke er lig med nul. I dette tilfælde vil værdien af en sådan brøk være 0. Og division med nul er forbudt.

Eksponentiering. Denne handling kan udføres med et hvilket som helst tal. Et vilkårligt tal hævet til nulpotensen vil give 1 (x 0 =1).

Nul til enhver potens er lig med 0 (0 a = 0).

I dette tilfælde opstår der straks en modsigelse: udtrykket 0 0 giver ikke mening.

Paradokser i matematik

Mange mennesker ved fra skolen, at division med nul er umuligt. Men af en eller anden grund er det umuligt at forklare årsagen til et sådant forbud. Faktisk, hvorfor eksisterer formlen til at dividere med nul ikke, men andre handlinger med dette tal er ret rimelige og mulige? Svaret på dette spørgsmål er givet af matematikere.

Sagen er, at de sædvanlige regneoperationer, som skolebørn lærer i folkeskole, faktisk ikke er nær så lige, som vi tror. Alle simple taloperationer kan reduceres til to: addition og multiplikation. Disse handlinger udgør essensen af selve talbegrebet, og andre operationer er bygget på brugen af disse to.

Addition og multiplikation

Lad os tage et standard subtraktionseksempel: 10-2=8. I skolen betragter de det ganske enkelt: Hvis du trækker to fra ti fag, er der otte tilbage. Men matematikere ser helt anderledes på denne operation. En sådan operation som subtraktion eksisterer jo ikke for dem. Dette eksempel kan skrives på en anden måde: x+2=10. For matematikere er den ukendte forskel simpelthen det tal, der skal lægges til to for at blive otte. Og her kræves ingen subtraktion, du skal blot finde den passende numeriske værdi.

Multiplikation og division behandles ens. I eksemplet 12:4=3 kan du forstå, at vi taler om at dele otte genstande i to lige store bunker. Men i virkeligheden er dette blot en omvendt formel for at skrive 3x4 = 12. Sådanne eksempler på division kan gives uendeligt.

Eksempler på division med 0

Det er her, det bliver lidt tydeligt, hvorfor du ikke kan dividere med nul. Multiplikation og division med nul følger deres egne regler. Alle eksempler på at dividere denne mængde kan formuleres som 6:0 = x. Men dette er en omvendt notation af udtrykket 6 * x = 0. Men som du ved, giver ethvert tal ganget med 0 kun 0 i produktet. Denne egenskab er iboende i selve konceptet nulværdi.

Det viser sig, at der ikke er et sådant tal, der, når det ganges med 0, giver nogen håndgribelig værdi, dvs. denne opgave har ingen løsning. Du skal ikke være bange for dette svar, det er et naturligt svar på problemer af denne type. Det er bare, at 6:0 rekorden ikke giver nogen mening, og den kan ikke forklare noget. Kort sagt kan dette udtryk forklares med det udødelige "division med nul er umulig."

Er der en 0:0 operation? Faktisk, hvis operationen af multiplikation med 0 er lovlig, kan nul så divideres med nul? En ligning med formen 0x 5=0 er jo ret lovlig. I stedet for tallet 5 kan du sætte 0, produktet vil ikke ændre sig.

Faktisk, 0x0=0. Men du kan stadig ikke dividere med 0. Som nævnt er division simpelthen det omvendte af multiplikation. Således, hvis du i eksemplet 0x5=0 skal bestemme den anden faktor, får vi 0x0=5. Eller 10. Eller uendelig. At dividere uendelighed med nul - hvordan kan du lide det?

Men hvis et tal passer ind i udtrykket, så giver det ikke mening, vi kan ikke vælge kun ét fra et uendeligt antal tal. Og i så fald betyder det, at udtrykket 0:0 ikke giver mening. Det viser sig, at selv nul ikke kan divideres med nul.

Højere matematik

uendeligt divideret med uendeligt: ∞:∞;
uendelig minus uendelig: ∞−∞;
enhed hævet til en uendelig potens: 1 ∞ ;
uendelig ganget med 0: ∞*0;
nogle andre.

Det er umuligt at løse sådanne udtryk ved hjælp af elementære metoder. Men højere matematik, takket være yderligere muligheder for en række lignende eksempler, giver endelige løsninger. Dette er især tydeligt i betragtning af problemer fra teorien om grænser.

Låser op for usikkerhed

I teorien om grænser er værdien 0 erstattet af en betinget infinitesimal variabel. Og udtryk, hvori, når du substituerer den ønskede værdi, opnås division med nul, transformeres. Nedenfor er et standardeksempel på udvidelse af en grænse ved hjælp af almindelige algebraiske transformationer:

Som du kan se i eksemplet, fører blot en reduktion af en brøk dens værdi til et fuldstændig rationelt svar.

Når man overvejer grænserne for trigonometriske funktioner, har deres udtryk en tendens til at blive reduceret til den første bemærkelsesværdige grænse. Når man overvejer grænser, hvor nævneren bliver 0, når en grænse erstattes, bruges en anden bemærkelsesværdig grænse.