Det her matematik program finder ligningen for tangenten til grafen for funktionen \(f(x)\) ved et brugerspecificeret punkt \(a\).

Programmet viser ikke kun tangentligningen, men viser også processen med at løse problemet.

Denne online lommeregner kan være nyttig for gymnasieelever gymnasier som forberedelse til tests og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have det gjort så hurtigt som muligt? lektier i matematik eller algebra? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger.

På den måde kan du gennemføre din egen træning og/eller træning af dine yngre brødre eller søstre, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for problemløsning stiger.

Skal du finde den afledede af en funktion, så har vi til dette opgaven Find den afledede.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af funktioner, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Indtast funktionsudtrykket \(f(x)\) og tallet \(a\)

f(x)=
a=

Find tangentligningen

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Direkte hældning

Husk, at grafen for den lineære funktion \(y=kx+b\) er en ret linje. Tallet \(k=tg \alpha \) kaldes hældning af en lige linje, og vinklen \(\alpha \) er vinklen mellem denne linje og Ox-aksen

Hvis \(k>0\), så \(0 Hvis \(kLigning af tangenten til funktionens graf

Hvis punktet M(a; f(a)) hører til grafen for funktionen y = f(x), og hvis der på dette punkt kan trækkes en tangent til grafen for funktionen, som ikke er vinkelret på x-aksen, så følger det af den aflededes geometriske betydning, at tangentens vinkelkoefficient er lig med f "(a). Dernæst vil vi udvikle en algoritme til at sammensætte en ligning for en tangent til grafen for enhver funktion.

Lad en funktion y = f(x) og et punkt M(a; f(a)) være givet på grafen for denne funktion; lad det være kendt, at f"(a) eksisterer. Lad os skabe en ligning for tangenten til grafen for en given funktion i et givet punkt. Denne ligning har ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, form y = kx + b, så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og b.

Alt er klart med vinkelkoefficienten k: det er kendt, at k = f"(a). For at beregne værdien af ​​b bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f(a)) Dette betyder, at hvis vi erstatter koordinaterne for punktet M i ligningen for en ret linje, får vi den korrekte lighed: \(f(a)=ka+b\), dvs. \(b = f(a) - ka\).

Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af koefficienterne k og b i ligningen for den rette linje:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(x-a)$$

Vi modtog ligning af tangenten til grafen for en funktion\(y = f(x) \) i punktet \(x=a \).

Algoritme til at finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen \(y=f(x)\)
1. Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet \(a\)
2. Beregn \(f(a)\)
3. Find \(f"(x)\) og beregn \(f"(a)\)
4. Erstat de fundne tal \(a, f(a), f"(a) \) i formlen \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Bøger (lærebøger) Resuméer af Unified State Examination og Unified State Examination tests online Spil, puslespil Plotning af grafer over funktioner Staveordbog for det russiske sprog Ordbog over ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over sekundære uddannelsesinstitutioner i Rusland Katalog over russiske universiteter Liste af problemer Finde GCD og LCM Simplificering af et polynomium (multiplikation af polynomier)

Vigtige bemærkninger!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, skal du rydde din cache. Hvordan du gør dette i din browser er skrevet her:
2. Før du begynder at læse artiklen, skal du mest være opmærksom på vores navigator nyttig ressource Til

Ved du allerede, hvad et derivat er? Hvis ikke, så læs emnet først. Så du siger, at du kender derivatet. Lad os tjekke det nu. Find stigningen af ​​funktionen, når stigningen af ​​argumentet er lig med. Klarede du dig? Det burde virke. Find nu den afledede af funktionen i et punkt. Svar: . sket? Hvis du har problemer med nogle af disse eksempler, anbefaler jeg kraftigt, at du vender tilbage til emnet og studerer det igen. Jeg ved godt, at emnet er meget stort, men ellers nytter det ikke at gå videre. Overvej grafen for en funktion:

Lad os vælge et bestemt punkt på graflinjen. Lad dens abscisse, så er ordinaten lig. Så vælger vi punktet med abscissen tæt på punktet; dens ordinat er:

Lad os tegne en lige linje gennem disse punkter. Det kaldes en sekant (ligesom i geometri). Lad os betegne hældningsvinklen af ​​den lige linje til aksen som. Som i trigonometri måles denne vinkel fra x-aksens positive retning mod uret. Hvilke værdier kan vinklen tage? Uanset hvordan du vipper denne lige linje, vil den ene halvdel stadig stikke op. Derfor er det maksimale mulig vinkel- , og det mindst mulige - . Midler, . Vinklen er ikke inkluderet, da positionen af ​​den lige linje i dette tilfælde nøjagtigt falder sammen med, og det er mere logisk at vælge en mindre vinkel. Lad os tage et punkt i figuren, således at den rette linje er parallel med abscisseaksen og a er ordinataksen:

Af figuren kan det ses, at en. Så er stigningsforholdet:

(da den er rektangulær).

Lad os reducere det nu. Så vil punktet nærme sig punktet. Når det bliver infinitesimalt, bliver forholdet lig med den afledede af funktionen i punktet. Hvad vil der ske med sekanten? Punktet vil være uendeligt tæt på punktet, så de kan betragtes som det samme punkt. Men en lige linje, der kun har ét fælles punkt med en kurve, er ikke andet end tangent(V I dette tilfælde denne betingelse er kun opfyldt pr lille område- tæt på sagen, men det er nok). De siger, at i dette tilfælde tager sekanten grænseposition.

Lad os kalde sekantens hældningsvinkel til aksen. Så viser det sig, at den afledte

det er den afledede er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen af ​​tangenten til grafen for funktionen i et givet punkt.

Da en tangent er en linje, lad os nu huske ligningen for en linje:

Hvad er koefficienten ansvarlig for? For hældningen af ​​den lige linje. Dette er hvad det hedder: hældning . Hvad betyder det? Og det faktum, at det er lig med tangenten af ​​vinklen mellem den rette linje og aksen! Så dette er hvad der sker:

Men vi fik denne regel ved at overveje en stigende funktion. Hvad vil ændre sig, hvis funktionen er faldende? Lad os se:
Nu er vinklerne stumpe. Og stigningen af ​​funktionen er negativ. Lad os overveje igen:. På den anden side, . Vi får: , det vil sige alt er det samme som sidste gang. Lad os igen rette punktet til punktet, og sekanten vil tage en begrænsende position, det vil sige, at den bliver til en tangent til funktionens graf i punktet. Så lad os formulere den sidste regel:
Den afledede af en funktion i et givet punkt er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen i dette punkt, eller (som er den samme) hældningen af ​​denne tangent:

Det er, hvad det er geometrisk betydning af afledt. Okay, alt dette er interessant, men hvorfor har vi brug for det? Her eksempel:
Figuren viser en graf for en funktion og en tangent til den i abscissepunktet. Find værdien af ​​den afledede af funktionen i punktet.
Løsning.
Som vi for nylig fandt ud af, er værdien af ​​den afledede ved tangenspunktet lig med hældningen af ​​tangenten, som igen er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen for denne tangent til abscisseaksen: . Det betyder, at for at finde værdien af ​​den afledede, skal vi finde tangenten til tangentvinklen. På figuren har vi markeret to punkter, der ligger på tangenten, hvis koordinater er kendt for os. Så lad os afslutte det retvinklet trekant, passerer gennem disse punkter, og find tangenten til tangentvinklen!

Hældningsvinklen for tangenten til aksen er. Lad os finde tangenten til denne vinkel: . Således er den afledede af funktionen i et punkt lig med.
Svar:. Prøv det nu selv:

Svar:

At vide geometrisk betydning af afledt, kan vi meget enkelt forklare reglen om, at den afledte ved punktet for et lokalt maksimum eller minimum er lig med nul. Faktisk er tangenten til grafen i disse punkter "vandret", det vil sige parallel med x-aksen:

Hvorfor lig med vinklen mellem parallelle linjer? Selvfølgelig nul! Og tangens af nul er også nul. Så den afledte er lig med nul:

Læs mere om dette i emnet "Monotonicitet af funktioner. Ekstrempunkter."

Lad os nu fokusere på vilkårlige tangenter. Lad os sige, at vi har en funktion, for eksempel . Vi har tegnet dens graf og ønsker at tegne en tangent til den på et tidspunkt. For eksempel på et tidspunkt. Vi tager en lineal, fastgør den til grafen og tegner:

Hvad ved vi om denne linje? Hvad er det vigtigste at vide om direkte til koordinatplan? Da en lige linje er et billede af en lineær funktion, ville det være meget praktisk at kende dens ligning. Det vil sige koefficienterne i ligningen

Men vi ved det allerede! Dette er hældningen af ​​tangenten, som er lig med den afledede af funktionen på det punkt:

I vores eksempel vil det være sådan her:

Nu er der kun tilbage at finde den. Det er så simpelt som at beskyde pærer: trods alt - værdien af. Grafisk er dette koordinaten for skæringspunktet mellem linjen og ordinataksen (trods alt på alle punkter på aksen):

Lad os tegne det (så det er rektangulært). Derefter (til samme vinkel mellem tangenten og x-aksen). Hvad er og lig med? Figuren viser tydeligt, at en. Så får vi:

Vi kombinerer alle de opnåede formler i ligningen for en ret linje:

Bestem nu selv:

1. Find tangentligning til en funktion på et punkt.
2. Tangenten til en parabel skærer aksen i en vinkel. Find ligningen for denne tangent.
3. Linjen er parallel med tangenten til funktionens graf. Find abscissen af ​​tangentpunktet.
4. Linjen er parallel med tangenten til funktionens graf. Find abscissen af ​​tangentpunktet.

Løsninger og svar:

LIGNING AF EN TANGENT TIL GRAFEN AF EN FUNKTION. KORT BESKRIVELSE OG GRUNDLÆGGENDE FORMLER

Den afledede af en funktion i et bestemt punkt er lig med tangenten af ​​tangenten til grafen for funktionen i dette punkt, eller hældningen af ​​denne tangent:

Ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt:

Algoritme til at finde tangentligningen:

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For succes bestå Unified State-eksamenen, for optagelse på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk der modtog en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke modtog det. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du får brug for løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel -
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - Køb en lærebog - 499 RUR

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er givet i HELE sitets levetid.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!

Overvej følgende figur:

Den afbilder en bestemt funktion y = f(x), som er differentierbar i punkt a. Punkt M med koordinater (a; f(a)) er markeret. En sekant MR tegnes gennem et vilkårligt punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) på grafen.

Hvis nu punktet P forskydes langs grafen til punktet M, så vil den lige linje MR rotere omkring punktet M. I dette tilfælde vil ∆x vende mod nul. Herfra kan vi formulere definitionen af ​​en tangent til grafen for en funktion.

Tangent til grafen for en funktion

Tangenten til grafen for en funktion er sekantens grænseposition, da stigningen af ​​argumentet har en tendens til nul. Det skal forstås, at eksistensen af ​​den afledede af funktionen f i punktet x0 betyder, at der på dette punkt af grafen er tangent til ham.

I dette tilfælde vil tangentens vinkelkoefficient være lig med den afledede af denne funktion på dette punkt f'(x0). Dette er den geometriske betydning af derivatet. Tangenten til grafen for en funktion f, der kan differentieres i punktet x0, er en bestemt ret linje, der går gennem punktet (x0;f(x0)) og har en vinkelkoefficient f'(x0).

Tangentligning

Lad os prøve at få ligningen for tangenten til grafen for en funktion f i punktet A(x0; f(x0)). Ligningen for en ret linje med hældning k har følgende form:

Da vores hældningskoefficient er lig med den afledte f'(x0), så vil ligningen have følgende form: y = f'(x0)*x + b.

Lad os nu beregne værdien af ​​b. For at gøre dette bruger vi det faktum, at funktionen går gennem punkt A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, herfra udtrykker vi b og får b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Vi erstatter den resulterende værdi i tangentligningen:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Overvej følgende eksempel: find ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 i punktet x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Erstat de opnåede værdier i tangentformlen, vi får: y = 1 + 4*(x - 2). Åbning af beslagene og medbringelse lignende vilkår vi får: y = 4*x - 7.

Svar: y = 4*x - 7.

Generelt skema til at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y = f(x):

1. Bestem x0.

2. Beregn f(x0).

3. Beregn f'(x)

Video lektionen "Ligning af en tangent til grafen for en funktion" demonstrerer undervisningsmateriale til at mestre emnet. I løbet af videolektionen beskrives det teoretiske materiale, der er nødvendigt for at formulere konceptet med ligningen af ​​en tangent til grafen for en funktion i et givet punkt, en algoritme til at finde en sådan tangent og eksempler på problemløsning ved hjælp af det undersøgte teoretiske materiale. .

Videotutorialen bruger metoder, der forbedrer materialets klarhed. Præsentationen indeholder tegninger, diagrammer, vigtige stemmekommentarer, animation, fremhævning og andre værktøjer.

Videolektionen begynder med en præsentation af lektionens emne og et billede af en tangent til grafen for en funktion y=f(x) i punktet M(a;f(a)). Det er kendt, at vinkelkoefficienten for tangenten plottet til grafen i et givet punkt er lig med den afledede af funktionen f΄(a) på dette punkt. Også fra algebraforløbet kender vi ligningen for den rette linje y=kx+m. Løsningen på problemet med at finde tangentligningen i et punkt præsenteres skematisk, hvilket reducerer til at finde koefficienterne k, m. Ved at kende koordinaterne til et punkt, der hører til funktionens graf, kan vi finde m ved at erstatte koordinatværdien i tangentligningen f(a)=ka+m. Fra den finder vi m=f(a)-ka. Ved at kende værdien af ​​den afledede i et givet punkt og punktets koordinater kan vi således repræsentere tangentligningen på denne måde y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Det følgende er et eksempel på at sammensætte en tangentligning efter diagrammet. Givet funktionen y=x 2, x=-2. Tager vi a=-2, finder vi værdien af ​​funktionen i et givet punkt f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Vi bestemmer den afledede af funktionen f΄(x)=2x. På dette tidspunkt er den afledte lig med f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. For at sammensætte ligningen blev alle koefficienter a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 fundet, så tangentligningen er y=4+(-4)(x+2). Forenklet ligningen får vi y = -4-4x.

Det følgende eksempel foreslår at konstruere en ligning for tangenten ved origo til grafen for funktionen y=tgx. Ved et givet punkt a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Så tangentligningen ser ud som y=x.

Som en generalisering er processen med at sammensætte en ligning, der tangerer grafen for en funktion på et bestemt punkt, formaliseret i form af en algoritme bestående af 4 trin:

• Indtast betegnelsen a for tangentpunktets abscisse;
• f(a) beregnes;
• f΄(x) bestemmes, og f΄(a) beregnes. De fundne værdier af a, f(a), f΄(a) er substitueret i tangentligningens formel y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Eksempel 1 overvejer at sammensætte tangentligningen til grafen for funktionen y=1/x i punktet x=1. For at løse problemet bruger vi en algoritme. For en given funktion i punktet a=1 er værdien af ​​funktionen f(a)=-1. Afledt af funktionen f΄(x)=1/x 2. Ved punkt a=1 er den afledte f΄(a)= f΄(1)=1. Ved hjælp af de opnåede data tegnes tangentligningen y=-1+(x-1), eller y=x-2.

I eksempel 2 er det nødvendigt at finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen y=x 3 +3x 2 -2x-2. Hovedbetingelsen er paralleliteten af ​​tangenten og den rette linje y=-2x+1. Først finder vi vinkelkoefficienten for tangenten, lig med vinkelkoefficienten for den rette linje y=-2x+1. Da f΄(a)=-2 for en given linje, så er k=-2 for den ønskede tangent. Vi finder den afledede af funktionen (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Når vi ved, at f΄(a)=-2, finder vi koordinaterne for punkt 3a 2 +6a-2=-2. Når vi har løst ligningen, får vi en 1 =0, og 2 =-2. Ved hjælp af de fundne koordinater kan du finde tangentligningen ved hjælp af en velkendt algoritme. Vi finder værdien af ​​funktionen i punkterne f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Værdien af ​​den afledte i punktet f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Ved at erstatte de fundne værdier i tangentligningen får vi for det første punkt a 1 =0 y=-2x-2, og for det andet punkt a 2 =-2 tangentligningen y=-2x-22.

Eksempel 3 beskriver sammensætningen af ​​tangentligningen for at tegne den i punktet (0;3) til grafen for funktionen y=√x. Løsningen er lavet ved hjælp af en velkendt algoritme. Tangentpunktet har koordinater x=a, hvor a>0. Værdien af ​​funktionen i punktet f(a)=√x. Den afledte af funktionen f΄(х)=1/2√х, derfor i et givet punkt f΄(а)=1/2√а. Ved at erstatte alle de opnåede værdier i tangentligningen får vi y = √a + (x-a)/2√a. Ved at transformere ligningen får vi y=x/2√а+√а/2. Når vi ved, at tangenten går gennem punktet (0;3), finder vi værdien af ​​a. Vi finder a fra 3=√a/2. Derfor √a=6, a=36. Vi finder tangentligningen y=x/12+3. Figuren viser grafen for den pågældende funktion og den konstruerede ønskede tangent.

Eleverne bliver mindet om de omtrentlige ligheder Δy=≈f΄(x)Δx og f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Tager vi x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, får vi f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), deraf f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

I eksempel 4 er det nødvendigt at finde den omtrentlige værdi af udtrykket 2,003 6. Da det er nødvendigt at finde værdien af ​​funktionen f(x)=x 6 i punktet x=2,003, kan vi bruge den velkendte formel, idet vi tager f(x)=x 6, a=2, f(a) )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Afledt i punktet f΄(2)=192. Derfor er 2,003 6 ≈65-192·0,003. Efter at have beregnet udtrykket får vi 2.003 6 ≈64.576.

Video lektionen "Ligning af en tangent til grafen for en funktion" anbefales til brug i en traditionel matematiktime på skolen. For en lærer, der underviser på afstand, vil videomateriale hjælpe med at forklare emnet mere klart. Videoen kan anbefales til eleverne at gennemgå selvstændigt, hvis det er nødvendigt for at uddybe deres forståelse af emnet.

TEKSTAFKODNING:

Vi ved, at hvis et punkt M (a; f(a)) (em med koordinaterne a og ef fra a) hører til grafen for funktionen y = f (x), og hvis det i dette punkt er muligt at tegne en tangent til grafen for funktionen, der ikke er vinkelret på aksen abscissen, så er vinkelkoefficienten for tangenten lig med f"(a) (eff primtal fra a).

Lad en funktion y = f(x) og et punkt M (a; f(a)) være givet, og det er også kendt, at f´(a) eksisterer. Lad os lave en ligning for tangenten til grafen for en given funktion i et givet punkt. Denne ligning, ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, har formen y = kx+m (y er lig med ka x plus em), så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og m. (ka og em)

Vinkelkoefficient k= f"(a). For at beregne værdien af ​​m bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f (a)). Det betyder, at hvis vi erstatter koordinaterne for punkt M ind i ligningen for den rette linje, får vi den rigtige lighed : f(a) = ka+m, hvorfra vi finder, at m = f(a) - ka.

Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af koefficienterne ki og m i ligningen for den rette linje:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(-en)+ f"(-en) (x- -en). ( y er lig med ef fra et plus ef primtal fra a, ganget med x minus a).

Vi har fået ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x) i punktet x=a.

Hvis f.eks. y = x 2 og x = -2 (dvs. a = -2), så er f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, hvilket betyder f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (så er ef af a lig med fire, ef af primtal af x er lig med to x, hvilket betyder ef primtal fra a er lig minus fire)

Ved at erstatte de fundne værdier a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 i ligningen får vi: y = 4+(-4)(x+2), dvs. y = -4x -4.

(E er lig med minus fire x minus fire)

Lad os lave en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = tanx (y er lig med tangenten x) ved origo. Vi har: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , hvilket betyder f"(0) = l. Ved at erstatte de fundne værdier a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 i ligningen får vi: y=x.

Lad os opsummere vores trin til at finde ligningen for tangenten til grafen for en funktion i punktet x ved hjælp af en algoritme.

ALGORIME TIL UDVIKLING AF EN LIGNING FOR EN TANGENT TIL GRAFEN FOR FUNKTIONEN y = f(x):

1) Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet a.

2) Beregn f(a).

3) Find f´(x) og beregn f´(a).

4) Erstat de fundne tal a, f(a), f´(a) i formlen y= f(-en)+ f"(-en) (x- -en).

Eksempel 1. Lav en ligning for tangenten til grafen for funktionen y = - in

punkt x = 1.

Løsning. Lad os bruge algoritmen, idet vi tager højde for det i dette eksempel

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Erstat de tre fundne tal: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 i formlen. Vi får: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Svar: y = x-2.

Eksempel 2. Givet funktionen y = x 3 +3x 2 -2x-2. Skriv ned ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f(x), parallelt med den rette linje y = -2x +1.

Ved at bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen tager vi højde for, at i dette eksempel f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, men tangentpunktets abscisse er ikke angivet her.

Lad os begynde at tænke sådan her. Den ønskede tangent skal være parallel med den rette linje y = -2x+1. Og parallelle linjer har lige store vinkelkoefficienter. Det betyder, at tangentens vinkelkoefficient er lig med vinkelkoefficienten for den givne rette linie: k tangent. = -2. Hok cas. = f"(a). Således kan vi finde værdien af ​​a ud fra ligningen f ´(a) = -2.

Lad os finde den afledede af funktionen y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a2 +6a-2.

Fra ligningen f"(a) = -2, dvs. 3a2 +6a-2=-2 finder vi a 1 =0, a 2 =-2. Det betyder, at der er to tangenter, der opfylder problemets betingelser: en i punktet med abscisse 0, den anden i punktet med abscisse -2.

Nu kan du følge algoritmen.

1) a 1 = 0 og 2 = -2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·02 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3·(-2) 2-2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Ved at erstatte værdierne a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 i formlen, får vi:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Ved at erstatte værdierne a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 i formlen, får vi:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Svar: y=-2x-2, y=-2x+2.

Eksempel 3. Tegn en tangent til grafen for funktionen y = fra punktet (0; 3). Løsning. Lad os bruge algoritmen til at sammensætte tangentligningen, idet vi tager højde for, at i dette eksempel f(x) = . Bemærk, at her, som i eksempel 2, er tangentpunktets abscisse ikke eksplicit angivet. Ikke desto mindre følger vi algoritmen.

1) Lad x = a være abscissen af ​​tangenspunktet; det er klart, at en >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) At erstatte værdierne af a, f(a) = , f"(a) = i formlen

y=f (a) +f "(a) (x-a), vi får:

Ved betingelse passerer tangenten gennem punktet (0; 3). Ved at erstatte værdierne x = 0, y = 3 i ligningen får vi: 3 = , og derefter =6, a =36.

Som du kan se, i dette eksempel, lykkedes det kun i det fjerde trin af algoritmen at finde abscissen af ​​tangentpunktet. Hvis værdien a =36 indsættes i ligningen, får vi: y=+3

I fig. Figur 1 viser en geometrisk illustration af det betragtede eksempel: en graf for funktionen y = er konstrueret, en ret linje tegnes y = +3.

Svar: y = +3.

Vi ved, at for en funktion y = f(x), som har en afledet i punktet x, er den omtrentlige lighed gyldig: Δyf´(x)Δx (delta y er omtrent lig med eff-primtallet af x ganget med delta x)

eller mere detaljeret f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff fra x plus delta x minus ef fra x er omtrent lig med eff primtal fra x ved delta x).

For at lette yderligere diskussion, lad os ændre notationen:

i stedet for x skriver vi EN,

i stedet for x+Δx skriver vi x

I stedet for Δx skriver vi x-a.

Så vil den omtrentlige lighed skrevet ovenfor have formen:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff fra x er omtrent lig med ef fra et plus ef primtal fra a, ganget med forskellen mellem x og a).

Eksempel 4: Find en omtrentlig værdi numerisk udtryk 2,003 6 .

Løsning. Det handler om om at finde værdien af ​​funktionen y = x 6 i punktet x = 2,003. Lad os bruge formlen f(x)f(a)+f´(a)(x-a), idet vi tager højde for, at i dette eksempel f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 26 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 og derfor f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Som et resultat får vi:

2,003 6 64+192· 0,003, dvs. 2,003 6 = 64,576.

Hvis vi bruger en lommeregner, får vi:

2,003 6 = 64,5781643...

Som du kan se, er tilnærmelsesnøjagtigheden ganske acceptabel.

Eksempel 1. Givet en funktion f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Lad os skrive tangentens ligning til grafen for funktionen f(x) ved grafpunktet med abscissen x 0 = 1.

Løsning. Afledt af en funktion f(x) findes for enhver x R . Lad os finde hende:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Derefter f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentligningen har formen:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Svar. y = 10x – 8.

Eksempel 2. Givet en funktion f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Lad os skrive tangentens ligning til grafen for funktionen f(x), parallelt med linjen y = 2x – 11.

Løsning. Afledt af en funktion f(x) findes for enhver x R . Lad os finde hende:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Siden tangenten til grafen for funktionen f(x) ved abscissepunktet x 0 er parallel med linjen y = 2x– 11, så er dens hældning lig med 2, dvs. x 0) = 2. Lad os finde denne abscisse ud fra betingelsen, at 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Denne lighed er kun gyldig når x 0 = 0 og kl x 0 = 2. Da i begge tilfælde f(x 0) = 5, derefter lige y = 2x + b rører grafen for funktionen enten ved punktet (0; 5) eller ved punktet (2; 5).

I det første tilfælde er den numeriske lighed 5 = 2×0 + sand b, hvor b= 5, og i det andet tilfælde er den numeriske lighed 5 = 2×2 + sand b, hvor b = 1.

Så der er to tangenter y = 2x+ 5 og y = 2x+ 1 til grafen for funktionen f(x), parallelt med linjen y = 2x – 11.

Svar. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Eksempel 3. Givet en funktion f(x) = x 2 – 6x+ 7. Lad os skrive tangentens ligning til grafen for funktionen f(x), der passerer gennem punktet EN (2; –5).

Løsning. Fordi f(2) -5, peg derefter EN hører ikke til grafen for funktionen f(x). Lade x 0 - abscisse af tangentpunktet.

Afledt af en funktion f(x) findes for enhver x R . Lad os finde hende:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Derefter f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Tangentligningen har formen:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Siden pointen EN hører til tangenten, så er den numeriske lighed sand

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

hvor x 0 = 0 eller x 0 = 4. Det betyder, at gennem punktet EN du kan tegne to tangenter til grafen for funktionen f(x).

Hvis x 0 = 0, så har tangentligningen formen y = –6x+ 7. Hvis x 0 = 4, så har tangentligningen formen y = 2x – 9.

Svar. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Eksempel 4. Funktioner givet f(x) = x 2 – 2x+ 2 og g(x) = –x 2 – 3. Lad os skrive ligningen for den fælles tangent til graferne for disse funktioner.

Løsning. Lade x 1 - abscisse af tangenspunktet for den ønskede linje med grafen for funktionen f(x), A x 2 - abscisse af tangenspunktet for den samme linje med grafen for funktionen g(x).

Afledt af en funktion f(x) findes for enhver x R . Lad os finde hende:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Derefter f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Tangentligningen har formen:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Lad os finde den afledede af funktionen g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.