Grafisk løsning af ligningssystemer og uligheder. Løsning af systemer af lineære uligheder grafisk

Lade f(x,y) Og g(x, y)- to udtryk med variable x Og på og omfang x. Derefter uligheder i formen f(x, y) > g(x, y) eller f(x, y) < g(x, y) hedder ulighed med to variable .

Betydning af variable x, y fra mange x, hvor uligheden bliver til en sand numerisk ulighed, kaldes det afgørelse og er udpeget (x, y). Løs ulighed - det betyder at finde mange sådanne par.

Hvis hvert par tal (x, y) fra sæt af løsninger til uligheden, match punktet M(x, y), får vi sættet af punkter på det plan, der er defineret af denne ulighed. Han kaldes graf over denne ulighed . Grafen for en ulighed er normalt et område på et plan.

At skildre sæt af løsninger på uligheden f(x, y) > g(x, y), fortsæt som følger. Erstat først ulighedstegnet med et lighedstegn og find en linje, der har ligningen f(x,y) = g(x,y). Denne linje opdeler flyet i flere dele. Herefter er det nok at tage et point i hver del og tjekke om uligheden er opfyldt på dette tidspunkt f(x, y) > g(x, y). Hvis det udføres på dette tidspunkt, vil det blive udført i hele den del, hvor dette punkt ligger. Ved at kombinere sådanne dele får vi mange løsninger.

Opgave. y > x.

Løsning. Først erstatter vi ulighedstegnet med et lighedstegn og konstruerer en linje i et rektangulært koordinatsystem, der har ligningen y = x.

Denne linje deler flyet i to dele. Herefter skal du tage et point i hver del og kontrollere, om uligheden er opfyldt på dette tidspunkt y > x.

Opgave. Løs grafisk uligheden
x 2 + på 2 £25.

Ris. 18.

Løsning. Først skal du erstatte ulighedstegnet med et lighedstegn og tegne en streg x 2 + på 2 = 25. Dette er en cirkel med et centrum i origo og en radius på 5. Den resulterende cirkel deler planet i to dele. Kontrol af ulighedens tilfredsstillelse x 2 + på 2 £ 25 i hver del, finder vi, at grafen er et sæt punkter på en cirkel og dele af et plan inde i cirklen.

Lad der gives to uligheder f 1(x, y) > g 1(x, y) Og f 2(x, y) > g 2(x, y).

Systemer af sæt af uligheder med to variable

System af uligheder er dig selv sammenholdt med disse uligheder. Systemløsning er enhver mening (x, y), som gør hver af ulighederne til en ægte numerisk ulighed. Mange løsninger systemer uligheder er skæringspunktet mellem sæt af løsninger på uligheder, der danner et givet system.

Sæt af uligheder er dig selv adskillelse af disse uligheder Ved helhedens løsning er enhver mening (x, y), som konverterer mindst én af sættet af uligheder til en ægte numerisk ulighed. Mange løsninger helhed er en forening af sæt af løsninger på uligheder, der danner et sæt.

Opgave. Løs ulighedssystemet grafisk

Løsning. y = x Og x 2 + på 2 = 25. Vi løser hver ulighed i systemet.

Systemets graf vil være det sæt af punkter på planet, der er skæringspunktet (dobbelt skravering) af sæt af løsninger til den første og anden ulighed.

Opgave. Løs grafisk et sæt uligheder

Løsning. Først erstatter vi ulighedstegnet med et lighedstegn og tegner streger i ét koordinatsystem y = x+ 4 og x 2 + på 2 = 16. Løs hver ulighed i befolkningen. Grafen for befolkningen vil være et sæt punkter på planet, som er foreningen af ​​sæt af løsninger til den første og anden ulighed.

Øvelser til selvstændigt arbejde

1. Løs grafisk ulighederne: a) på> 2x; b) på< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Løs grafisk ulighedssystemer:

a) b)

Den grafiske metode er en af ​​de vigtigste metoder til løsning af kvadratiske uligheder. I artiklen vil vi præsentere en algoritme til brug af den grafiske metode, og derefter overveje specielle tilfælde ved hjælp af eksempler.

Essensen af ​​den grafiske metode

Metoden er anvendelig til at løse eventuelle uligheder, ikke kun kvadratiske. Dens essens er dette: højre og venstre side af uligheden betragtes som to separate funktioner y = f (x) og y = g (x), deres grafer er plottet i et rektangulært koordinatsystem og se på hvilken af ​​graferne der er placeret over den anden, og på hvilke intervaller. Intervallerne er estimeret som følger:

Definition 1

• løsninger til uligheden f (x) > g (x) er intervaller, hvor grafen for funktionen f er højere end grafen for funktionen g;
• løsninger til uligheden f (x) ≥ g (x) er intervaller, hvor grafen for funktionen f ikke er lavere end grafen for funktionen g;
• løsninger på uligheden f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• løsninger til uligheden f (x) ≤ g (x) er intervaller, hvor grafen for funktionen f ikke er højere end grafen for funktionen g;
• Abscissen af ​​skæringspunkterne for graferne for funktionerne f og g er løsninger til ligningen f (x) = g (x).

Lad os se på ovenstående algoritme ved hjælp af et eksempel. For at gøre dette skal du tage den kvadratiske ulighed a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) og udled to funktioner fra det. Venstre side af uligheden vil svare til y = a · x 2 + b · x + c (i dette tilfælde f (x) = a · x 2 + b · x + c), og højre side y = 0 ( i dette tilfælde g (x) = 0).

Grafen for den første funktion er en parabel, den anden er en ret linje, som falder sammen med x-aksen O x. Lad os analysere parablens position i forhold til O x-aksen. For at gøre dette, lad os lave en skematisk tegning.

Parablens grene er rettet opad. Det skærer O x-aksen i punkter x 1 Og x 2. Koefficient a in I dette tilfælde positiv, da det er ham, der er ansvarlig for retningen af ​​parablens grene. Diskriminanten er positiv, hvilket indikerer tilstedeværelsen af ​​to rødder kvadratisk trinomiuma x 2 + b x + c. Vi betegner trinomiets rødder som x 1 Og x 2, og det blev accepteret x 1< x 2 , da et punkt med abscisse er afbildet på O x-aksen x 1 til venstre for abscissepunktet x 2.

De dele af parablen, der er placeret over O x-aksen, vil blive angivet med rødt, under - i blåt. Dette vil give os mulighed for at gøre tegningen mere visuel.

Lad os vælge de mellemrum, der svarer til disse dele, og markere dem på billedet med felter af en bestemt farve.

Vi markerede med rødt intervallerne (− ∞, x 1) og (x 2, + ∞), på dem er parablen over O x-aksen. De er a · x 2 + b · x + c > 0. Vi markerede med blåt intervallet (x 1 , x 2), som er løsningen på uligheden a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Lad os lave en kort opsummering af løsningen. For a > 0 og D = b 2 − 4 a c > 0 (eller D " = D 4 > 0 for en lige koefficient b) får vi:

• løsningen til den kvadratiske ulighed a x 2 + b x + c > 0 er (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) eller i en anden notation x< x 1 , x >x2;
• løsningen til den kvadratiske ulighed a · x 2 + b · x + c ≥ 0 er (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) eller i en anden form x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• at løse den kvadratiske ulighed a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• løsningen til den kvadratiske ulighed a x 2 + b x + c ≤ 0 er [ x 1 , x 2 ] eller i en anden notation x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

hvor x 1 og x 2 er rødderne af det kvadratiske trinomium a x 2 + b x + c og x 1< x 2 .

I denne figur berører parablen O x-aksen kun ved ét punkt, som er betegnet som x 0 a > 0. D=0, derfor har det kvadratiske trinomium én rod x 0.

Parablen er placeret helt over O x-aksen, med undtagelse af koordinataksens tangenspunkt. Lad os farve intervallerne (− ∞ , x 0), (x 0 , ∞) .

Lad os skrive resultaterne ned. På a > 0 Og D=0:

• løsning af den kvadratiske ulighed a x 2 + b x + c > 0 er (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) eller i en anden notation x ≠ x 0;
• løsning af den kvadratiske ulighed a x 2 + b x + c ≥ 0 er (− ∞ , + ∞) eller i en anden notation x ∈ R;
• kvadratisk ulighed a x 2 + b x + c< 0 har ingen løsninger (der er ingen intervaller, hvor parablen er placeret under aksen O x);
• kvadratisk ulighed a x 2 + b x + c ≤ 0 har en unik løsning x = x 0(det er givet af kontaktpunktet),

Hvor x 0- roden af ​​det kvadratiske trinomium a x 2 + b x + c.

Lad os overveje det tredje tilfælde, når grenene af parablen er rettet opad og ikke rører aksen O x. Parablens grene er rettet opad, hvilket betyder, at a > 0. Det kvadratiske trinomium har ingen reelle rødder pga D< 0 .

Der er ingen intervaller på grafen, hvor parablen ville være under x-aksen. Det tager vi højde for, når vi vælger en farve til vores tegning.

Det viser sig, at når a > 0 Og D< 0 løsning af kvadratiske uligheder a x 2 + b x + c > 0 Og a x 2 + b x + c ≥ 0 er sættet af alle reelle tal og ulighederne a x 2 + b x + c< 0 Og a x 2 + b x + c ≤ 0 har ingen løsninger.

Vi har tre muligheder tilbage at overveje, når parablens grene er rettet nedad. Der er ingen grund til at dvæle ved disse tre muligheder i detaljer, da når vi multiplicerer begge sider af uligheden med − 1, får vi en ækvivalent ulighed med en positiv koefficient for x 2.

Overvejelse af det foregående afsnit af artiklen forberedte os til opfattelsen af ​​en algoritme til løsning af uligheder ved hjælp af en grafisk metode. For at udføre beregninger skal vi hver gang bruge en tegning, som viser koordinatlinjen O x og parablen, der svarer til kvadratisk funktion y = a x 2 + b x + c. I de fleste tilfælde vil vi ikke afbilde O y-aksen, da den ikke er nødvendig for beregninger og kun vil overbelaste tegningen.

For at konstruere en parabel skal vi vide to ting:

Definition 2

• retningen af ​​grenene, som er bestemt af værdien af ​​koefficienten a;
• tilstedeværelsen af ​​skæringspunkter mellem parablen og abscisseaksen, som er bestemt af værdien af ​​diskriminanten af ​​kvadrattrinomialet a · x 2 + b · x + c .

Vi vil betegne skæringspunkterne og tangency på sædvanlig måde når man løser ikke-strenge uligheder og tom når man løser strenge.

At have en færdig tegning giver dig mulighed for at gå videre til næste trin i løsningen. Det involverer at bestemme de intervaller, hvor parablen er placeret over eller under O x-aksen. Intervallerne og skæringspunkterne er løsningen på den kvadratiske ulighed. Hvis der ikke er nogen skæringspunkter eller tangens, og der ikke er nogen intervaller, anses det for, at den ulighed, der er angivet i betingelserne for problemet, ikke har nogen løsninger.

Lad os nu løse flere kvadratiske uligheder ved hjælp af ovenstående algoritme.

Eksempel 1

Det er nødvendigt at løse uligheden 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 grafisk.

Løsning

Lad os tegne en graf over den kvadratiske funktion y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koefficient kl x 2 positiv, fordi den er lige 2 . Det betyder, at parablens grene vil blive rettet opad.

Lad os beregne diskriminanten af ​​det kvadratiske trinomium 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 for at finde ud af, om parablen har fælles punkter med abscisseaksen. Vi får:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Som vi ser, er D større end nul, derfor har vi to skæringspunkter: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 og x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, dvs. x 1 = − 3 Og x 2 = 1 3.

Vi løser en ikke-streng ulighed, derfor sætter vi almindelige punkter på grafen. Lad os tegne en parabel. Som du kan se, har tegningen det samme udseende som i den første skabelon, vi overvejede.

Vores ulighed har tegnet ≤. Derfor skal vi fremhæve intervallerne på grafen, hvor parablen er placeret under O x-aksen og tilføje skæringspunkter til dem.

Intervallet vi skal bruge er 3, 1 3. Vi tilføjer skæringspunkter til det og får et numerisk segment − 3, 1 3. Dette er løsningen på vores problem. Du kan skrive svaret i skemaet dobbelt ulighed: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Svar:− 3 , 1 3 eller − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Eksempel 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafisk metode.

Løsning

Variablens kvadrat har en negativ numerisk koefficient, så grenene af parablen vil være rettet nedad. Lad os beregne den fjerde del af diskriminanten D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Dette resultat fortæller os, at der vil være to skæringspunkter.

Lad os beregne rødderne af det kvadratiske trinomium: x 1 = - 8 + 1 - 1 og x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 og x 2 = 9.

Det viser sig, at parablen skærer x-aksen i punkterne 7 Og 9 . Lad os markere disse punkter på grafen som tomme, da vi arbejder med streng ulighed. Herefter tegner du en parabel, der skærer O x-aksen i de markerede punkter.

Vi vil være interesserede i de intervaller, hvor parablen er placeret under O x-aksen. Lad os markere disse intervaller med blåt.

Vi får svaret: løsningen på uligheden er intervallerne (− ∞, 7), (9, + ∞) .

Svar:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) eller i en anden notation x< 7 , x > 9 .

I tilfælde, hvor diskriminanten af ​​et kvadratisk trinomium er nul, er det nødvendigt nøje at overveje, om man skal inkludere abscissen af ​​tangentpunkterne i svaret. For at acceptere rigtige løsning, er det nødvendigt at tage hensyn til ulighedstegnet. I strenge uligheder er tangenspunktet for x-aksen ikke en løsning på uligheden, men i ikke-strenge er det det.

Eksempel 3

Løs kvadratisk ulighed 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafisk metode.

Løsning

I dette tilfælde vil parablens grene være rettet opad. Det vil røre O x-aksen ved punkt 0, 7, siden

Lad os plotte funktionen y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Dens grene er rettet opad, da koefficienten kl x 2 positiv, og den berører x-aksen ved x-aksepunktet 0 , 7 , fordi D " = (− 7) 2 - 10 4, 9 = 0, hvorfra x 0 = 7 10 eller 0 , 7 .

Lad os sætte et punkt og tegne en parabel.

Vi løser en ikke-streng ulighed med et fortegn ≤. Derfor. Vi vil være interesserede i de intervaller, hvor parablen er placeret under x-aksen og tangenspunktet. Der er ingen intervaller i figuren, der ville tilfredsstille vores betingelser. Der er kun et kontaktpunkt 0, 7. Det er den løsning, vi leder efter.

Svar: Uligheden har kun én løsning 0, 7.

Eksempel 4

Løs kvadratisk ulighed – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Løsning

Parablens grene er rettet nedad. Diskriminanten er nul. Skæringspunkt x 0 = 4.

Vi markerer tangenspunktet på x-aksen og tegner en parabel.

Vi har at gøre med alvorlig ulighed. Derfor er vi interesserede i de intervaller, hvor parablen er placeret under O x-aksen. Lad os markere dem med blåt.

Punktet med abscisse 4 er ikke en løsning, da parablen ved det ikke er placeret under O x-aksen. Følgelig får vi to intervaller (− ∞ , 4), (4 , + ∞) .

Svar: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) eller i en anden notation x ≠ 4.

Ikke altid med negativ værdi diskriminerende ulighed vil ikke have nogen løsninger. Der er tilfælde, hvor løsningen er mængden af ​​alle reelle tal.

Eksempel 5

Løs den kvadratiske ulighed 3 x 2 + 1 > 0 grafisk.

Løsning

Koefficient a er positiv. Diskriminanten er negativ. Parablens grene vil blive rettet opad. Der er ingen skæringspunkter for parablen med O x-aksen. Lad os se på tegningen.

Vi arbejder med streng ulighed, som har et >-tegn. Det betyder, at vi er interesserede i de intervaller, hvor parablen er placeret over x-aksen. Dette er præcis tilfældet, når svaret er mængden af ​​alle reelle tal.

Svar:(− ∞, + ∞) eller så x ∈ R.

Eksempel 6

Det er nødvendigt at finde en løsning på uligheden − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafisk.

Løsning

Parablens grene er rettet nedad. Diskriminanten er negativ, derfor er der ingen fælles punkter mellem parablen og x-aksen. Lad os se på tegningen.

Vi arbejder med en ikke-streng ulighed med tegnet ≥, derfor er intervallerne, hvori parablen er placeret over x-aksen, af interesse for os. At dømme efter grafen er der ingen sådanne huller. Det betyder, at uligheden givet i problemforholdene ikke har nogen løsninger.

Svar: Ingen løsninger.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Ministeriet for undervisning og ungdomspolitik i Stavropol-territoriet

Faglig statsbudget uddannelsesinstitution

Georgievsk Regional College "Integral"

INDIVIDUELT PROJEKT

I disciplinen "Matematik: algebra, principper for matematisk analyse, geometri"

Om emnet: "Grafisk løsning af ligninger og uligheder"

Udført af en studerende fra gruppe PK-61, der studerer i specialet

"Programmering i computersystemer"

Zeller Timur Vitalievich

Leder: lærer Serkova N.A.

Leveringsdato:" " 2017

Dato for forsvar:" " 2017

Georgievsk 2017

FORKLARENDE NOTE

PROJEKTETS MÅL:

Mål: Find ud af fordelene ved den grafiske metode til løsning af ligninger og uligheder.

Opgaver:

Sammenlign de analytiske og grafiske metoder til løsning af ligninger og uligheder.

Find ud af, i hvilke tilfælde den grafiske metode har fordele.

Overvej at løse ligninger med modul og parameter.

Forskningens relevans: Analyse af materiale dedikeret til grafisk løsning ligninger og uligheder i lærebøgerne "Algebra og begyndelsen af ​​matematisk analyse" af forskellige forfattere, under hensyntagen til målene med at studere dette emne. Samt obligatoriske læringsudbytte relateret til det emne, der overvejes.

Indhold

Introduktion

1. Ligninger med parametre

1.1. Definitioner

1.2. Løsningsalgoritme

1.3. Eksempler

2. Uligheder med parametre

2.1. Definitioner

2.2. Løsningsalgoritme

2.3. Eksempler

3. Brug af grafer til at løse ligninger

3.1. Grafisk løsning andengradsligning

3.2. Ligningssystemer

3.3. Trigonometriske ligninger

4. Anvendelse af grafer til løsning af uligheder

5.Konklusion

6. Referencer

Introduktion

Studerer mange fysiske processer og geometriske mønstre fører ofte til løsning af problemer med parametre. Nogle universiteter inkluderer også ligninger, uligheder og deres systemer i eksamensopgaver, som ofte er meget komplekse og kræver en ikke-standard tilgang til løsning. I skolen betragtes denne en af ​​de sværeste dele af skolens matematikkursus kun i nogle få valgfag.

Madlavning dette arbejde, satte jeg mig som mål med en dybere undersøgelse af dette emne, idet jeg identificerede de mest rationel beslutning, hvilket hurtigt fører til et svar. Efter min mening er den grafiske metode praktisk og på en hurtig måde løsning af ligninger og uligheder med parametre.

Mit projekt undersøger hyppigt forekommende typer af ligninger, uligheder og deres systemer.

1. Ligninger med parametre

1. Grundlæggende definitioner

Overvej ligningen

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

hvor a, b, c, …, k, x er variable størrelser.

Ethvert system af variable værdier

a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

hvor både venstre og højre side af denne ligning tager reelle værdier, kaldes et system acceptable værdier variable a, b, c, …, k, x. Lad A være mængden af ​​alle tilladte værdier af a, B være mængden af ​​alle tilladte værdier af b osv., X være mængden af ​​alle tilladte værdier af x, dvs. aA, bB, …, xX. Hvis vi for hver af mængderne A, B, C, …, K vælger og fastsætter henholdsvis en værdi a, b, c, …, k og erstatter dem med ligning (1), så får vi en ligning for x, dvs. ligning med en ukendt.

Variablerne a, b, c, ..., k, som anses for konstante, når man løser en ligning, kaldes parametre, og selve ligningen kaldes en ligning indeholdende parametre.

Parametre er angivet med de første bogstaver latinske alfabet: a, b, c, d, …, k, l, m, n og de ukendte - ved bogstaverne x, y, z.

At løse en ligning med parametre betyder at angive, ved hvilke værdier af parametrene løsninger findes, og hvad de er.

To ligninger, der indeholder de samme parametre, kaldes ækvivalente, hvis:

a) de giver mening for de samme parameterværdier;

b) hver løsning af den første ligning er en løsning til den anden og omvendt.

1. Løsningsalgoritme

Find ligningens definitionsdomæne.

Vi udtrykker a som en funktion af x.

I xOa-koordinatsystemet konstruerer vi en graf af funktionen a=(x) for de værdier af x, der er inkluderet i definitionsdomænet for denne ligning.

Vi finder skæringspunkterne for den rette linje a=c, hvor c(-;+) med grafen for funktionen a=(x) Hvis den rette linje a=c skærer grafen a=( x), så bestemmer vi abscissen af ​​skæringspunkterne. For at gøre dette er det nok at løse ligningen a=(x) for x.

Vi skriver svaret ned.

1. Eksempler

I. Løs ligningen

(1)

Løsning.

Da x=0 ikke er en rod af ligningen, kan ligningen løses for en:

eller

Grafen for en funktion er to "limede" hyperbler. Antallet af løsninger til den oprindelige ligning bestemmes af antallet af skæringspunkter for den konstruerede linje og den rette linje y=a.

Hvis a  (-;-1](1;+) , så skærer den rette linje y=a grafen for ligning (1) i et punkt. Vi finder abscissen for dette punkt, når vi løser ligningen for x.

På dette interval har ligning (1) således en løsning.

Hvis a , så skærer den rette linje y=a grafen for ligning (1) i to punkter. Abscissen af ​​disse punkter kan findes fra ligningerne, og vi får

Og.

Hvis a , så skærer den rette linje y=a ikke grafen for ligning (1), derfor er der ingen løsninger.

Svar:

Hvis en  (-;-1](1;+), så;

Hvis en , så;

Hvis en  , så er der ingen løsninger.

II. Find alle værdier af parameteren a, som ligningen har tre forskellige rødder for.

Løsning.

Efter at have omskrevet ligningen i formen og overvejet et par funktioner, kan du bemærke, at de ønskede værdier af parameteren a og kun de vil svare til de positioner af funktionsgrafen, hvor den har nøjagtig tre skæringspunkter med funktionsgraf.

I xOy koordinatsystemet vil vi konstruere en graf over funktionen). For at gøre dette kan vi repræsentere det i formen, og efter at have overvejet fire opståede tilfælde, skriver vi denne funktion i formularen

Da grafen for en funktion er en ret linje, der har en hældningsvinkel til Ox-aksen lig med og skærer Oy-aksen i et punkt med koordinater (0, a), konkluderer vi, at de tre angivne skæringspunkter kun kan opnås i det tilfælde, hvor denne linje rører grafen for funktionen. Derfor finder vi den afledte

Svar: .

III. Find alle værdier af parameteren a, for hver af dem ligningssystemet

har løsninger.

Løsning.

Fra den første ligning af systemet, vi opnår ved. Derfor definerer denne ligning en familie af "semi-parables" - de højre grene af parablen "glider" med deres spidser langs abscisse-aksen.

Lad os vælge komplette firkanter i venstre side af den anden ligning og faktorisere den

Sættet af punkter i planet, der opfylder den anden ligning, er to lige linjer

Lad os finde ud af, ved hvilke værdier af parameteren a en kurve fra familien af ​​"semiparaboler" har mindst ét ​​fælles punkt med en af ​​de resulterende lige linjer.

Hvis semiparablernes toppunkter er til højre for punkt A, men til venstre for punkt B (punkt B svarer til toppunktet på "semiparablen", der berører

ret linje), så har graferne under overvejelse ikke fælles punkter. Hvis toppunktet for "semiparablen" falder sammen med punkt A, så.

Vi bestemmer tilfældet med en "semiparabola", der rører en linje fra betingelsen om eksistensen af ​​en unik løsning til systemet

I dette tilfælde ligningen

har én rod, hvorfra vi finder:

Som følge heraf har det originale system ingen løsninger på, men ved eller har mindst én løsning.

Svar: a  (-;-3] (;+).

IV. Løs ligningen

Løsning.

Ved hjælp af lighed omskriver vi den givne ligning i formen

Denne ligning svarer til systemet

Vi omskriver ligningen i formen

. (*)

Den sidste ligning er nemmest at løse ved hjælp af geometriske overvejelser. Lad os konstruere grafer for funktionerne og af grafen følger det, at graferne ikke skærer hinanden, og derfor har ligningen ingen løsninger.

Hvis, så når graferne for funktionerne falder sammen, og derfor er alle værdier løsninger til ligning (*).

Når graferne skærer hinanden i et punkt, hvis abscisse er. Således, når ligning (*) har en unik løsning - .

Lad os nu undersøge, ved hvilke værdier af en de fundne løsninger til ligning (*) vil opfylde betingelserne

Lad det være så. Systemet vil antage formen

Dens løsning vil være intervallet x (1;5). I betragtning af det kan vi konkludere, at hvis den oprindelige ligning er opfyldt af alle værdier af x fra intervallet, er den oprindelige ulighed ækvivalent med den korrekte numeriske ulighed 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

På integralet (1;+∞) får vi igen den lineære ulighed 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Det samme resultat kan dog opnås ud fra visuelle og samtidig strenge geometriske overvejelser. Figur 7 viser funktionsgraferne:y= f( x)=| x-1|+| x+1| Ogy=4.

Figur 7.

På funktionens integral (-2;2) grafy= f(x) er placeret under grafen for funktionen y=4, hvilket betyder, at ulighedenf(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Uligheder med parametre.

At løse uligheder med en eller flere parametre er som udgangspunkt en mere kompleks opgave sammenlignet med et problem, hvor der ikke er parametre.

For eksempel kræver uligheden √a+x+√a-x>4, som indeholder parameteren a, naturligvis meget mere indsats at løse end uligheden √1+x + √1-x>1.

Hvad vil det sige at løse den første af disse uligheder? Dette betyder i bund og grund at løse ikke kun én ulighed, men en hel klasse, et helt sæt af uligheder, der opnås, hvis vi giver parameteren en specifik numerisk værdi. Den anden af ​​de skrevne uligheder er et specialtilfælde af den første, da den opnås fra den med værdien a = 1.

At løse en ulighed indeholdende parametre betyder således at bestemme ved hvilke værdier af parametrene uligheden har løsninger og for alle sådanne parameterværdier at finde alle løsningerne.

Eksempel 1:

Løs uligheden |x-a|+|x+a|< b, -en<>0.

At løse denne ulighed med to parametre-en u bLad os bruge geometriske overvejelser. Figur 8 og 9 viser funktionsgraferne.

Y= f(x)=| x- -en|+| x+ -en| u y= b.

Det er indlysende, at hvornårb<=2| -en| ligey= bikke passerer over kurvens vandrette segmenty=| x- -en|+| x+ -en| og derfor har uligheden i dette tilfælde ingen løsninger (figur 8). Hvisb>2| -en|, derefter linjeny= bskærer grafen for en funktiony= f(x) på to punkter (-b/2; b) u (b/2; b)(Figur 6) og uligheden i dette tilfælde gælder for –b/2< x< b/2, da for disse værdier af variablen kurveny=| x+ -en|+| x- -en| placeret under den lige linjey= b.

Svar: Hvisb<=2| -en| , så er der ingen løsninger,

Hvisb>2| -en|, såx €(- b/2; b/2).

III) Trigonometriske uligheder:

Ved løsning af uligheder med trigonometriske funktioner bruges periodiciteten af ​​disse funktioner og deres monotoni på de tilsvarende intervaller i det væsentlige. De enkleste trigonometriske uligheder. Fungeresynd xhar en positiv periode på 2π. Derfor uligheder i formen:sin x>a, sin x>=a,

synd x

Det er nok først at løse et segment af længde 2π . Vi opnår mængden af ​​alle løsninger ved at tilføje numre på formen 2 til hver af løsningerne fundet på dette segmentπ p, pЄZ.

Eksempel 1: Løs ulighedsynd x>-1/2.(Figur 10)

Lad os først løse denne ulighed på intervallet [-π/2;3π/2]. Lad os betragte dens venstre side - segmentet [-π/2;3π/2]. Her er ligningensynd x=-1/2 har én løsning x=-π/6; og funktionensynd xstiger monotont. Det betyder, at hvis –π/2<= x<= -π/6, то synd x<= synd(- π /6)=-1/2, dvs. disse værdier af x er ikke løsninger på uligheden. Hvis –π/6<х<=π/2 то synd x> synd(-π/6) = –1/2. Alle disse værdier af x er ikke løsninger på uligheden.

På det resterende segment [π/2;3π/2] funktionensynd xligningen falder også monotontsynd x= -1/2 har én løsning x=7π/6. Derfor, hvis π/2<= x<7π/, то synd x> synd(7π/6)=-1/2, dvs. alle disse værdier af x er løsninger på uligheden. TilxVi harsynd x<= synd(7π/6)=-1/2, disse x-værdier er ikke løsninger. Således er mængden af ​​alle løsninger til denne ulighed på intervallet [-π/2;3π/2] integralet (-π/6;7π/6).

På grund af funktionens periodicitetsynd xmed en periode på 2π værdier af x fra et hvilket som helst integral af formen: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, er også løsninger på uligheden. Ingen andre værdier af x er løsninger på denne ulighed.

Svar: -π/6+2πn< x<7π/6+2π n, HvornЄ Z.

Konklusion

Vi så på den grafiske metode til løsning af ligninger og uligheder; Vi så på specifikke eksempler, hvis løsning brugte sådanne egenskaber af funktioner som monotoni og paritet.Analyse af videnskabelig litteratur og matematiklærebøger gjorde det muligt at strukturere det udvalgte materiale i overensstemmelse med undersøgelsens mål, udvælge og udvikle effektive metoder til løsning af ligninger og uligheder. Papiret præsenterer en grafisk metode til løsning af ligninger og uligheder og eksempler, hvor disse metoder anvendes. Resultatet af projektet kan betragtes som kreative opgaver, som hjælpemateriale til at udvikle færdigheden til at løse ligninger og uligheder ved hjælp af den grafiske metode.

Liste over brugt litteratur

Dalinger V. A. "Geometri hjælper algebra." Forlaget "Skole - Presse". Moskva 1996

Dalinger V. A. "Alt for at sikre succes i afsluttende og optagelsesprøver i matematik." Forlaget for Omsk Pædagogiske Universitet. Omsk 1995

Okunev A. A. "Grafisk løsning af ligninger med parametre." Forlaget "Skole - Presse". Moskva 1986

Pismensky D. T. "Matematik for gymnasieelever." Forlaget "Iris". Moskva 1996

Yastribinetsky G. A. "Ligninger og uligheder indeholdende parametre." Forlaget "Prosveshcheniye". Moskva 1972

G. Korn og T. Korn "Håndbog i matematik." Forlaget "Science" fysisk og matematisk litteratur. Moskva 1977

Amelkin V.V. og Rabtsevich V.L. "Problemer med parametre". Forlaget "Asar". Minsk 1996

Internetressourcer

En af de mest bekvemme metoder til at løse kvadratiske uligheder er den grafiske metode. I denne artikel vil vi se på, hvordan kvadratiske uligheder løses grafisk. Lad os først diskutere, hvad essensen af ​​denne metode er. Dernæst vil vi præsentere algoritmen og overveje eksempler på at løse kvadratiske uligheder grafisk.

Sidenavigation.

Essensen af ​​den grafiske metode

Overhovedet grafisk metode til løsning af uligheder med én variabel bruges ikke kun til at løse kvadratiske uligheder, men også andre typer uligheder. Essensen af ​​den grafiske metode til løsning af uligheder dernæst: overvej funktionerne y=f(x) og y=g(x), som svarer til venstre og højre side af uligheden, byg deres grafer i et rektangulært koordinatsystem og find ud af med hvilke intervaller grafen for en af de er lavere eller højere end den anden. De intervaller hvor

• grafen for funktionen f over grafen for funktionen g er løsninger til uligheden f(x)>g(x) ;
• grafen for funktionen f ikke lavere end grafen for funktionen g er løsninger til uligheden f(x)≥g(x) ;
• grafen for f under grafen for g er løsninger til uligheden f(x)
• grafen for en funktion f, der ikke er højere end grafen for en funktion g, er løsninger på uligheden f(x)≤g(x) .

Vi vil også sige, at abscissen af ​​skæringspunkterne for graferne for funktionerne f og g er løsninger til ligningen f(x)=g(x) .

Lad os overføre disse resultater til vores case - for at løse den kvadratiske ulighed a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Vi introducerer to funktioner: den første y=a x 2 +b x+c (med f(x)=a x 2 +b x+c) svarende til venstre side af den kvadratiske ulighed, den anden y=0 (med g ( x)=0 ) svarer til højre side af uligheden. Tidsplan kvadratisk funktion f er en parabel og grafen konstant funktion g – ret linje, der falder sammen med abscisseaksen Ox.

Dernæst, ifølge den grafiske metode til at løse uligheder, er det nødvendigt at analysere med hvilke intervaller grafen for en funktion er placeret over eller under en anden, hvilket vil give os mulighed for at nedskrive den ønskede løsning til den kvadratiske ulighed. I vores tilfælde skal vi analysere parablens position i forhold til Ox-aksen.

Afhængigt af værdierne af koefficienterne a, b og c er følgende seks muligheder mulige (til vores behov er en skematisk repræsentation tilstrækkelig, og vi behøver ikke at afbilde Oy-aksen, da dens position ikke påvirker løsninger på uligheden):

På denne tegning ser vi en parabel, hvis grene er rettet opad, og som skærer okseaksen i to punkter, hvis abscisse er x 1 og x 2. Denne tegning svarer til muligheden, når koefficienten a er positiv (den er ansvarlig for den opadgående retning af parabelgrenene), og når værdien er positiv diskriminant af et kvadratisk trinomium a x 2 +b x+c (i dette tilfælde har trinomiet to rødder, som vi betegnede som x 1 og x 2, og vi antog, at x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

For klarhedens skyld, lad os afbilde i rødt de dele af parablen, der er placeret over x-aksen, og i blåt - dem, der er placeret under x-aksen.


Lad os nu finde ud af, hvilke intervaller der svarer til disse dele. Følgende tegning hjælper dig med at identificere dem (i fremtiden vil vi foretage lignende valg i form af rektangler mentalt):


Så på abscisse-aksen blev to intervaller (−∞, x 1) og (x 2, +∞) fremhævet med rødt, på dem er parablen over Ox-aksen, de udgør en løsning på den kvadratiske ulighed a x 2 +b x +c>0 , og intervallet (x 1 , x 2) er fremhævet med blåt, er der en parabel under Ox-aksen, den repræsenterer løsningen til uligheden a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Og nu kort: for a>0 og D=b 2 −4 a c>0 (eller D"=D/4>0 for en lige koefficient b)

• løsningen til den kvadratiske ulighed a x 2 +b x+c>0 er (−∞, x 1)∪(x 2, +∞) eller i en anden notation x x2;
• løsningen til den kvadratiske ulighed a x 2 +b x+c≥0 er (−∞, x 1 ]∪ eller i en anden notation x 1 ≤x≤x 2,

hvor x 1 og x 2 er rødderne af det kvadratiske trinomium a x 2 +b x+c og x 1


Her ser vi en parabel, hvis grene er rettet opad, og som rører abscisseaksen, det vil sige, den har ét fælles punkt med sig; vi betegner dette punkts abscisse som x 0. Det præsenterede tilfælde svarer til a>0 (grenene er rettet opad) og D=0 (kvadrattrinomiet har én rod x 0). For eksempel kan du tage den kvadratiske funktion y=x 2 −4·x+4, her a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 og x 0 =2.

Tegningen viser tydeligt, at parablen er placeret over Ox-aksen overalt undtagen berøringspunktet, det vil sige på intervallerne (−∞, x 0), (x 0, ∞). For klarhedens skyld, lad os fremhæve områder på tegningen analogt med det foregående afsnit.


Vi drager konklusioner: for a>0 og D=0

• løsningen til den kvadratiske ulighed a·x 2 +b·x+c>0 er (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) eller i en anden notation x≠x 0;
• løsningen til den kvadratiske ulighed a·x 2 +b·x+c≥0 er (−∞, +∞) eller i en anden notation x∈R ;
• kvadratisk ulighed a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• den kvadratiske ulighed a x 2 +b x+c≤0 har en unik løsning x=x 0 (den er givet ved tangenspunktet),

hvor x 0 er roden af ​​kvadrattrinomiet a x 2 + b x + c.


I dette tilfælde er grenene af parablen rettet opad, og den har ikke fælles punkter med abscisseaksen. Her har vi betingelserne a>0 (grene er rettet opad) og D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0, D=02-4·2·1=-8<0 .

Det er klart, at parablen er placeret over Ox-aksen i hele dens længde (der er ingen intervaller, hvor den er under Ox-aksen, der er intet tangenspunkt).


For a>0 og D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 og a x 2 +b x+c≥0 er mængden af ​​alle reelle tal, og ulighederne a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Og der er stadig tre muligheder for placeringen af ​​parablen med grene rettet nedad, ikke opad, i forhold til Ox-aksen. I princippet behøver de ikke tages i betragtning, da multiplicering af begge sider af uligheden med −1 giver os mulighed for at gå til en ækvivalent ulighed med en positiv koefficient for x 2. Men det skader stadig ikke at få en idé om disse sager. Begrundelsen her er den samme, så vi vil kun skrive hovedresultaterne ned.

Løsningsalgoritme

Resultatet af alle tidligere beregninger er algoritme til grafisk løsning af kvadratiske uligheder:

Der laves en skematisk tegning på koordinatplanet, som afbilder Ox-aksen (det er ikke nødvendigt at afbilde Oy-aksen) og en skitse af en parabel svarende til den kvadratiske funktion y=a·x 2 +b·x+c. For at tegne en skitse af en parabel er det nok at præcisere to punkter:

• For det første, ved værdien af ​​koefficienten a bestemmes det, hvor dens grene er rettet (for a>0 - opad, for en<0 – вниз).
• Og for det andet, ved værdien af ​​diskriminanten af ​​kvadrattrinomiet a x 2 + b x + c bestemmes det, om parablen skærer abscisseaksen i to punkter (for D>0), rører den i et punkt (for D=0) , eller har ingen fælles punkter med Ox-aksen (ved D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Når tegningen er klar, brug den i andet trin af algoritmen

  • ved løsning af den kvadratiske ulighed a·x 2 +b·x+c>0, bestemmes de intervaller, hvor parablen er placeret over abscissen;
  • ved løsning af uligheden a·x 2 +b·x+c≥0, bestemmes intervallerne, hvormed parablen er placeret over abscisseaksen, og abscissen af ​​skæringspunkterne (eller abscissen af ​​tangentpunktet) lægges til dem;
  • ved løsning af uligheden a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • endelig, når man løser en kvadratisk ulighed på formen a·x 2 +b·x+c≤0, findes intervaller, hvor parablen er under Ox-aksen og abscissen af ​​skæringspunkterne (eller abscissen af ​​tangentpunktet ) tilføjes til dem;

  de udgør den ønskede løsning på den kvadratiske ulighed, og hvis der ikke er sådanne intervaller og ingen tangenspunkter, så har den oprindelige kvadratiske ulighed ingen løsninger.

Tilbage er blot at løse nogle få kvadratiske uligheder ved hjælp af denne algoritme.

Eksempler med løsninger

Eksempel.

Løs uligheden .

Løsning.

Vi skal løse en kvadratisk ulighed, lad os bruge algoritmen fra forrige afsnit. I det første trin skal vi skitsere grafen for den kvadratiske funktion . Koefficienten for x 2 er lig med 2, den er positiv, derfor er grenene af parablen rettet opad. Lad os også finde ud af, om parablen har fælles punkter med x-aksen; For at gøre dette vil vi beregne diskriminanten for det kvadratiske trinomium . Vi har . Diskriminanten viste sig at være større end nul, derfor har trinomialet to reelle rødder: Og , det vil sige x 1 =−3 og x 2 =1/3.

Heraf fremgår det tydeligt, at parablen skærer okseaksen i to punkter med abscisse −3 og 1/3. Vi vil afbilde disse punkter på tegningen som almindelige punkter, da vi løser en ikke-streng ulighed. Baseret på de afklarede data får vi følgende tegning (den passer til den første skabelon fra artiklens første afsnit):

Lad os gå videre til andet trin i algoritmen. Da vi løser en ikke-streng kvadratisk ulighed med tegnet ≤, er vi nødt til at bestemme de intervaller, hvor parablen er placeret under abscissen og tilføje abscissen til skæringspunkterne.

Fra tegningen er det tydeligt, at parablen er under x-aksen på intervallet (−3, 1/3), og til den lægger vi skæringspunkternes abscisser, det vil sige tallene −3 og 1/3. Som et resultat kommer vi til det numeriske interval [−3, 1/3] . Det er den løsning, vi leder efter. Det kan skrives som en dobbelt ulighed −3≤x≤1/3.

Svar:

[−3, 1/3] eller −3≤x≤1/3 .

Eksempel.

Find løsningen på den kvadratiske ulighed −x 2 +16 x−63<0 .

Løsning.

Som sædvanlig starter vi med en tegning. Den numeriske koefficient for kvadratet af variablen er negativ, −1, derfor er grenene af parablen rettet nedad. Lad os beregne diskriminanten, eller endnu bedre, dens fjerde del: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Dens værdi er positiv, lad os beregne rødderne af det kvadratiske trinomium: Og x1=7 og x2=9. Så parablen skærer okseaksen i to punkter med abscisse 7 og 9 (den oprindelige ulighed er streng, så vi vil afbilde disse punkter med et tomt centrum). Nu kan vi lave en skematisk tegning:

Da vi løser en streng kvadratisk ulighed med et tegn<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Tegningen viser, at løsningerne til den oprindelige kvadratiske ulighed er to intervaller (−∞, 7), (9, +∞) .

Svar:

(−∞, 7)∪(9, +∞) eller i en anden notation x<7 , x>9 .

Når du løser kvadratiske uligheder, når diskriminanten af ​​et kvadratisk trinomium på venstre side er nul, skal du være forsigtig med at inkludere eller udelukke tangentpunktets abscisse fra svaret. Dette afhænger af tegnet på uligheden: hvis uligheden er streng, så er det ikke en løsning på uligheden, men hvis den ikke er streng, så er den det.

Eksempel.

Har den kvadratiske ulighed 10 x 2 −14 x+4,9≤0 mindst én løsning?

Løsning.

Lad os plotte funktionen y=10 x 2 −14 x+4,9. Dens grene er rettet opad, da koefficienten for x 2 er positiv, og den rører abscisseaksen i punktet med abscissen 0,7, da D"=(−7) 2 −10 4,9=0, hvorfra eller 0,7 i formen af en decimalbrøk. Skematisk ser det sådan ud:

Da vi løser en kvadratisk ulighed med ≤-tegnet, vil dens løsning være de intervaller, hvor parablen er under Ox-aksen, samt abscissen af ​​tangentpunktet. Fra tegningen er det klart, at der ikke er et enkelt hul, hvor parablen ville være under Ox-aksen, så dens løsning vil kun være abscissen af ​​tangentpunktet, det vil sige 0,7.

Svar:

denne ulighed har en unik løsning 0,7.

Eksempel.

Løs den kvadratiske ulighed –x 2 +8 x−16<0 .

Løsning.

Vi følger algoritmen til løsning af kvadratiske uligheder og starter med at konstruere en graf. Forgreningerne af parablen er rettet nedad, da koefficienten for x 2 er negativ, −1. Lad os finde diskriminanten af ​​kvadrattrinomiet –x 2 +8 x−16, vi har D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 og derefter x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Så parablen rører okseaksen ved abscissen punkt 4. Lad os lave tegningen:

Vi ser på tegnet på den oprindelige ulighed, det er der<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

I vores tilfælde er disse åbne stråler (−∞, 4), (4, +∞) . Separat bemærker vi, at 4 - kontaktpunktets abscisse - ikke er en løsning, da parablen ved kontaktpunktet ikke er lavere end Ox-aksen.

Svar:

(−∞, 4)∪(4, +∞) eller i en anden notation x≠4 .

Vær særlig opmærksom på tilfælde, hvor diskriminanten af ​​det kvadratiske trinomium på venstre side af den kvadratiske ulighed er mindre end nul. Der er ingen grund til at skynde sig her og sige, at uligheden ikke har nogen løsninger (vi er vant til at lave en sådan konklusion for andengradsligninger med en negativ diskriminant). Pointen er, at den kvadratiske ulighed for D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Eksempel.

Find løsningen på den kvadratiske ulighed 3 x 2 +1>0.

Løsning.

Som sædvanlig starter vi med en tegning. Koefficienten a er 3, den er positiv, derfor er grenene af parablen rettet opad. Vi beregner diskriminanten: D=0 2 −4·3·1=−12 . Da diskriminanten er negativ, har parablen ingen fælles punkter med okseaksen. Den opnåede information er tilstrækkelig til en skematisk graf:

Vi løser en streng kvadratisk ulighed med et >-tegn. Dens løsning vil være alle intervaller, hvor parablen er over Ox-aksen. I vores tilfælde er parablen over x-aksen langs hele dens længde, så den ønskede løsning vil være mængden af ​​alle reelle tal.

Ox , og du skal også tilføje abscissen af ​​skæringspunkterne eller abscissen af ​​tangens til dem. Men af ​​tegningen er det tydeligt at se, at der ikke er sådanne intervaller (da parablen er overalt under abscisseaksen), ligesom der ikke er nogen skæringspunkter, ligesom der ikke er nogen tangenspunkter. Derfor har den oprindelige kvadratiske ulighed ingen løsninger.

Svar:

ingen løsninger eller i en anden post ∅.

Bibliografi.

• Algebra: lærebog for 8. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. klasse: pædagogisk. til almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2009. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra og begyndelsen af ​​matematisk analyse. 11. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner (profilniveau) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

I løbet af lektionen vil du selvstændigt kunne studere emnet "Grafisk løsning af ligninger og uligheder." I løbet af lektionen vil læreren undersøge grafiske metoder til løsning af ligninger og uligheder. Vil lære dig at bygge grafer, analysere dem og finde løsninger på ligninger og uligheder. Lektionen vil også dække specifikke eksempler om dette emne.

Emne: Numeriske funktioner

Lektion: Grafisk løsning af ligninger, uligheder

1. Lektionens emne, introduktion

Vi så på grafer for elementære funktioner, herunder grafer for potensfunktioner med forskellige eksponenter. Vi så også på reglerne for at skifte og transformere funktionsgrafer. Alle disse færdigheder skal anvendes, når det kræves grafiskløsning ligninger eller grafiske løsninguligheder.

2. Løsning af ligninger og uligheder grafisk

Eksempel 1: Løs ligningen grafisk:

Lad os bygge grafer over funktioner (fig. 1).

Grafen for en funktion er en parabel, der går gennem punkterne

Grafen for funktionen er en ret linje, lad os bygge den ved hjælp af tabellen.

Graferne skærer hinanden i punktet. Der er ingen andre skæringspunkter, da funktionen øges monotont, funktionen falder monotont, og derfor er deres skæringspunkt det eneste.

Eksempel 2: Løs ulighed

en. For at uligheden holder, skal grafen for funktionen være placeret over den rette linje (fig. 1). Dette gøres når

b. I dette tilfælde skal parablen tværtimod være under den lige linje. Dette gøres når

Eksempel 3. Løs ulighed

Lad os bygge funktionsgrafer (Fig. 2).

Lad os finde roden til ligningen, når der ikke er nogen løsninger. Der er én løsning.

For at uligheden skal holde, skal hyperbelen være placeret over linjen. Dette gælder hvornår .

Eksempel 4. Løs grafisk uligheden:

Domæne:

Lad os bygge funktionsgrafer for (fig. 3).

en. Grafen for funktionen skal være placeret under grafen; dette gøres når

b. Funktionens graf er placeret over grafen ved Men da tilstanden har et svagt fortegn, er det vigtigt ikke at miste den isolerede rod

3. Konklusion

Vi så på den grafiske metode til løsning af ligninger og uligheder; Vi så på specifikke eksempler, hvis løsning brugte sådanne egenskaber af funktioner som monotoni og paritet.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. klasse: Lærebog. Til almen uddannelse Institutioner.- 4. udg. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: ill.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. klasse: Opgavebog for studerende på almene uddannelsesinstitutioner / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4. udg. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. klasse: pædagogisk. for almenpædagogiske studerende. institutioner / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. udg., rev. og yderligere - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. 9. klasse. 16. udg. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. udg., slettet. - M.: 2010. - 224 s.: ill.

6. Algebra. 9. klasse. I 2 dele. Del 2. Opgavebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina og andre; Ed. A. G. Mordkovich. — 12. udg., rev. - M.: 2010.-223 s.: ill.

1. Højskolesektion. ru i matematik.

2. Internetprojekt “Opgaver”.

3. Uddannelsesportal "JEG VIL LØSE Unified State-eksamenen".

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. klasse: Opgavebog for studerende på almene uddannelsesinstitutioner / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - 4. udg. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nr. 355, 356, 364.