Konstruere et afsnit ved hjælp af to punkter. Parallelle sektioner

Praktisk lektion: "Parallellepiped. Konstruktion af sektioner af et parallelepipedum."

1. Mål praktisk arbejde : . For at konsolidere viden om teoretisk materiale om polyedre,problemløsningsevner i opbygning af sektioner, evne til at analysere en tegning.

2. Didaktisk udstyr til praktisk arbejde : Arbejdsstation, modeller og udviklinger af polyedre, måleinstrumenter, sakse, lim, tykt papir.

Tid: 2 timer

Arbejdsopgaver:

Øvelse 1

Konstruer en sektion af parallelepipedummet ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plan, der passerer gennem punkterne M, N, P, liggende på linjer, henholdsvis A 1 B 1, END, DC

Prøve og rækkefølgen af ​​løsning af problemet:

1.Punkt N og P ligger i snitplanet og i planet for den nederste base af parallelepipedet. Lad os konstruere en lige linje, der går gennem disse punkter. Denne lige linje er sporet af skæreplanet på planet af bunden af ​​parallelepipedet.

2. Lad os fortsætte den lige linje, på hvilken side AB af parallelepipediet ligger. Linjerne AB og NP skærer hinanden i et eller andet punkt S. Dette punkt hører til snitplanet.

3. Da også punktet M hører til snitplanet og skærer linjen AA 1 på et tidspunkt X.

4.Punkt X og N ligger i samme plan af flade AA 1 D 1 D, forbind dem og få lige linje XN.

5. Da planerne af parallelepipedets flader er parallelle, så kan vi gennem punktet M tegne en lige linje til ansigtet A 1 B 1 C 1 D 1 , parallelt med linjen NP. Denne linje vil skære side B 1 MED 1 i punkt Y.

6. Tegn på samme måde lige linje YZ parallelt med lige linje XN. Vi forbinder Z med P og får det ønskede afsnit - MYZPNX.

Opgave 2

Mulighed 1. Konstruer et snit af parallelepipedummet АВСDA1В1С1D1 af planet defineret af følgende punkterM, NOgP

Niveau 1: Alle tre punkter ligger på de kanter, der kommer ud fra top A

Niveau 2.Mligger i ansigtet AA1D1D,Nligger på ansigtet AA1B1B,Pligger i ansigtet CC1D1D.

Niveau 3.Mligger på diagonalen B1D,Nligger på diagonalen AC1,Pligger på kanten C1D1.

Mulighed 2.Konstruer et snit af parallelepipedummet ABCDA1B1C1D1 ved et plan, der går gennem linjen DQ, hvor punktet Q ligger på kanten CC1 og punktet P, defineret som følger

Niveau 1: Alle tre punkter ligger på de kanter, der kommer frem fra toppunktet C

Niveau 2: M ligger på en fortsættelse af kant A1B1, og punkt A1 er placeret mellem punkt B1 og P.

Niveau 3: P ligger på diagonalen B1D

Arbejdsordre:

1. Studér teoretisk materiale om følgende emner:

Parallelepiped.

Højre parallelepipedum.

Skråtstillet parallelepipedum.

Modsatte flader af et parallelepipedum.

Egenskaber ved parallelepipedumdiagonaler.

Pkonceptet med et skæreplan og reglerne for dets konstruktion.

Hvilke typer polygoner opnås i sektionen af ​​en terning og parallelepipedum.

2. BygparallelepipedumABCDA 1 B 1 C 1 D 1

3. Analyser løsningen på problem nr. 1

4.Byg konsekvent en sektionparallelepipedumABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plan, der passerer gennem punkterne P, Q, R i opgave nr. 1.

5. Konstruer yderligere tre parallelepipeder og vælg sektioner på dem til problemer på niveau 1, 2 og 3

Evalueringskriterie :

Litteratur: Atanasyan L.S. Geometri: Lærebog for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kodomtsev et al. - M.: Uddannelse, 2010 Ziv B.G. Geometriproblemer: En manual for elever i klasse 7-11. almen uddannelse institutioner. / B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky. - M.: Uddannelse, 2010. V. N. Litvinenko Opgaver til udvikling af rumlige begreber. Bog for lærere. - M.: Uddannelse, 2010

Didaktisk stof til den praktiske lektionsopgave

Til opgave nr. 1:

Nogle mulige afsnit:

Konstruer sektioner af et parallelepipedum med et plan, der går gennem disse punkter

Problemer, der involverer at konstruere sektioner af en terning ved hjælp af et plan, er som regel enklere end for eksempel problemer, der involverer sektioner af en pyramide.

Vi kan tegne en ret linje gennem to punkter, hvis de ligger i samme plan. Når man konstruerer sektioner af en terning, er en anden mulighed mulig for at konstruere et spor af et skæreplan. Da det tredje plan skærer to parallelle planer langs parallelle linjer, så hvis der allerede er konstrueret en ret linje i en af ​​fladerne, og i den anden er der et punkt, gennem hvilket sektionen passerer, så kan vi tegne en linje parallelt med denne pege igennem dette punkt.

Lad os se på konkrete eksempler, hvordan man konstruerer sektioner af en terning ved hjælp af et plan.

1) Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem punkterne A, C og M.

Problemer af denne type er de enkleste af alle problemer til at konstruere sektioner af en terning. Da punkt A og C ligger i samme plan (ABC), kan vi tegne en ret linje gennem dem. Dens spor er segment AC. Det er usynligt, så vi afbilder AC med et streg. På samme måde forbinder vi punkterne M og C, som ligger i samme plan (CDD1), og punkterne A og M, der ligger i samme plan (ADD1). Trekant ACM er den nødvendige sektion.

2) Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem punkterne M, N, P.

Her ligger kun punkterne M og N i samme plan (ADD1), så vi trækker en lige linje igennem dem og får et spor MN (usynlig). Da de modsatte flader af kuben ligger i parallelle planer, skærer skæreplanet de parallelle planer (ADD1) og (BCC1) langs parallelle linjer. Vi har allerede konstrueret en af ​​de parallelle linjer - dette er MN.

Gennem punktet P trækker vi en linje parallelt med MN. Den skærer kant BB1 i punktet S. PS er sporet af skæreplanet i fladen (BCC1).

Vi tegner en lige linje gennem punkterne M og S, der ligger i samme plan (ABB1). Vi modtog et spor af MS (synligt).

Planer (ABB1) og (CDD1) er parallelle. Der er allerede en ret linje MS i planet (ABB1), så gennem punkt N i planet (CDD1) tegner vi en ret linje parallelt med MS. Denne linje skærer kant D1C1 ved punkt L. Dens spor er NL (usynlig). Punkterne P og L ligger i samme plan (A1B1C1), så vi tegner en lige linje gennem dem.

Pentagon MNLPS er den nødvendige sektion.

3) Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem punkterne M, N, P.

Punkterne M og N ligger i samme plan (ВСС1), så der kan trækkes en lige linje gennem dem. Vi får sporet MN (synligt). Planet (BCC1) er parallelt med planet (ADD1), derfor trækker vi gennem punktet P, der ligger i (ADD1), en linje parallelt med MN. Den skærer kant AD i punkt E. Vi har fået et spor PE (usynlig).

Der er ikke længere punkter, der ligger i samme plan, eller en lige linje og punkter i parallelle planer. Derfor er vi nødt til at fortsætte en af ​​de eksisterende linjer for at få et ekstra point.

Hvis vi fortsætter linjen MN, så da den ligger i planet (BCC1), skal vi lede efter skæringspunktet mellem MN og en af ​​linjerne i dette plan. Der er allerede skæringspunkter med CC1 og B1C1 - det er M og N. Tilbage er lige linjer BC og BB1. Lad os fortsætte BC og MN, indtil de skærer hinanden i punktet K. Punkt K ligger på linie BC, hvilket betyder, at det hører til planet (ABC), så vi kan tegne en ret linje gennem det og punktet E, som ligger i denne plan. Den skærer kant CD i punkt H. EH er dens spor (usynlig). Da H og N ligger i samme plan (CDD1), kan der trækkes en ret linje gennem dem. Vi får et HN (usynligt) spor.

Planer (ABC) og (A1B1C1) er parallelle. I en af ​​dem er der en linje EH, i den anden er der et punkt M. Vi kan tegne en linje parallelt med EH gennem M. Vi får MF-sporet (synligt). Tegn en ret linje gennem punkterne M og F.

Den sekskantede MNHEPF er den nødvendige sektion.

Hvis vi skulle fortsætte lige linje MN, indtil den skærer et andet lige plan (BCC1), BB1, ville vi få punkt G, der hører til planet (ABB1). Det betyder, at vi gennem G og P kan tegne en ret linje, hvis spor er PF. Dernæst tegner vi lige linjer gennem punkter, der ligger i parallelle planer og når frem til samme resultat.

Arbejde med lige PE giver samme sektion MNHEPF.

4) Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem punktet M, N, P.

Her kan vi tegne en ret linje gennem punkterne M og N, der ligger i samme plan (A1B1C1). Hendes fodaftryk er MN (synligt). Der er ikke flere punkter, der ligger i samme plan eller i parallelle planer.

Lad os fortsætte den lige linje MN. Den ligger i planet (A1B1C1), så den kan kun skære en af ​​linjerne i dette plan. Der er allerede skæringspunkter med A1D1 og C1D1 - N og M. Yderligere to lige linjer i dette plan - A1B1 og B1C1. Skæringspunktet for A1B1 og MN er S. Da det ligger på linjen A1B1, hører det til planet (ABB1), hvilket betyder, at der kan trækkes en ret linje igennem det og punktet P, som ligger i samme plan. Linjen PS skærer kant AA1 ved punkt E. PE er dens spor (synlig). Gennem punkterne N og E, der ligger i samme plan (ADD1), kan du tegne en lige linje, hvis spor er NE (usynlig). I planet (ADD1) er der en linje NE, i planet parallelt med den (BCC1) er der et punkt P. Gennem punktet P kan vi tegne en linje PL parallelt med NE. Den skærer kant CC1 ved punkt L. PL er sporet af denne linje (synlig). Punkterne M og L ligger i samme plan (CDD1), hvilket betyder, at der kan trækkes en ret linje gennem dem. Hendes spor er ML (usynlig). Pentagon MLPEN er den påkrævede sektion.

Det var muligt at fortsætte den lige linje NM i begge retninger og lede efter dens skæringspunkter ikke kun med den lige linje A1B1, men også med den rette linje B1C1, som også ligger i planet (A1B1C1). I dette tilfælde trækker vi gennem punkt P to linjer på én gang: en i planet (ABB1) gennem punkterne P og S, og den anden i planet (BCC1), gennem punkterne P og R. Hvorefter det er tilbage at forbinde punkter, der ligger i samme plan: M c L, E - med N.

Som du ved, indeholder enhver matematikeksamen problemløsning som en hoveddel. Evnen til at løse problemer er hovedindikatoren for niveauet af matematisk udvikling.

Ganske ofte, i skoleeksamener såvel som i eksamener afholdt på universiteter og tekniske skoler, er der tilfælde, hvor studerende, der viser gode resultater inden for teoriområdet, som kender alle de nødvendige definitioner og teoremer, bliver forvirrede, når de løser meget enkle problemer .

I løbet af skoleårene løser hver elev en lang række problemer, men samtidig tilbydes de samme opgaver til alle elever. Og hvis nogle elever lærer generelle regler og metoder til at løse problemer, så ved andre, der har stødt på et problem af en ukendt type, ikke engang, hvordan de skal gribe det an.

En af grundene til denne situation er, at hvis nogle elever dykker ned i processen med at løse et problem og forsøger at indse og forstå generelle teknikker og metoder til at løse dem, så tænker andre ikke over det, de forsøger at løse de foreslåede problemer så hurtigt som muligt.

Mange elever analyserer ikke de problemer, der løses, og identificerer ikke generelle teknikker og metoder til at løse dem. I sådanne tilfælde løses problemer kun for at opnå det ønskede svar.

For eksempel ved mange studerende ikke engang, hvad essensen af ​​at løse byggeproblemer er. Men byggeopgaver er obligatoriske opgaver i stereometrikurset. Disse problemer er ikke kun smukke og originale i deres løsningsmetoder, men har også stor praktisk værdi.

Takket være byggeopgaver udvikles evnen til mentalt at forestille sig en eller anden. geometrisk figur rumlig tænkning udvikles, logisk tænkning, samt geometrisk intuition. Konstruktionsproblemer udvikler praktiske problemløsningsevner.

Konstruktionsproblemer er ikke enkle, da der ikke er nogen enkelt regel eller algoritme til at løse dem. Hver ny opgave er unik og kræver en individuel tilgang til løsning.

Processen med at løse ethvert byggeproblem er en sekvens af nogle mellemkonstruktioner, der fører til målet.

Konstruktionen af ​​sektioner af polyedre er baseret på følgende aksiomer:

1) Hvis to punkter af en linje ligger i et bestemt plan, så ligger hele linjen i dette plan;

2) Hvis to planer har et fælles punkt, skærer de hinanden langs en lige linje, der går gennem dette punkt.

Sætning: Hvis to parallelle planer skæres af et tredje plan, så er de rette skæringslinjer parallelle.

Konstruer et udsnit af polyederet med et plan, der går gennem punkterne A, B og C. Overvej følgende eksempler.

Sporingsmetode

JEG. Byg prismetværsnit et plan, der går gennem en given ret linje g (spor) på planet for en af ​​prismets baser og punkt A.

Case 1.

Punkt A hører til en anden base af prismet (eller en flade parallel med linje g) - skæreplanet skærer denne base (flade) langs segmentet BC parallelt med sporet g .

Tilfælde 2.

Punkt A hører til prismets sideflade:

Segment BC af lige linje AD er skæringspunktet mellem denne flade og skæreplanet.

Tilfælde 3.

Konstruktion af en sektion af et firkantet prisme med et plan, der går gennem lige linje g i planet for prismets nederste basis og punkt A på en af ​​sidekanterne.

II. Byg tværsnit af en pyramide et plan, der går gennem en given ret linje g (spor) på planet for pyramidens bund og punkt A.

For at konstruere en sektion af en pyramide med et plan er det nok at konstruere skæringerne mellem dens sideflader og skæreplanet.

Case 1.

Hvis punkt A hører til en flade parallel med den rette linje g, så skærer skæreplanet denne flade langs segmentet BC parallelt med sporet af g.

Tilfælde 2.

Hvis punkt A, der hører til sektionen, er placeret på en flade, der ikke er parallel med forsiden af ​​sporet g, så:

1) punkt D er konstrueret, hvor fladens plan skærer det givne spor g;

2) Tegn en ret linje gennem punkt A og D.

Segment BC af lige linje AD er skæringspunktet mellem denne flade og skæreplanet.

Enderne af segmentet BC tilhører også naboflader. Ved hjælp af den beskrevne metode er det derfor muligt at konstruere skæringen af ​​disse flader med skæreplanet. Etc.

Tilfælde 3.

Konstruktion af en sektion af en firkantet pyramide med et plan, der går gennem siden af ​​basen og punkt A på en af ​​sidekanterne.

Problemer med at konstruere snit gennem et punkt på et ansigt

1. Konstruer et udsnit af tetraederet ABCD ved et plan, der går gennem toppunktet C og punkterne M og N på henholdsvis flader ACD og ABC.

Punkterne C og M ligger på ansigtet ACD, hvilket betyder, at den rette linje CM ligger i dette ansigts plan (Fig. 1).

Lad P være skæringspunktet mellem rette linjer CM og AD. På samme måde ligger punkterne C og N i fladen ACB, hvilket betyder, at den lige linje CN ligger i denne flades plan. Lad Q være skæringspunktet mellem linjerne CN og AB. Punkterne P og Q hører til både snitplanet og fladen ABD. Derfor er segmentet PQ siden af ​​sektionen. Så trekant CPQ er den nødvendige sektion.

2. Konstruer et snit af tetraederet ABCD ved planet MPN, hvor punkterne M, N, P ligger henholdsvis på kanten AD, i fladen BCD og i flade ABC, og MN ikke er parallel med flade ABCs plan (Fig. 2).

Har du stadig spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man konstruerer et tværsnit af et polyeder?
For at få hjælp fra en vejleder -.
Den første lektion er gratis!

blog.site, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.

Ved du, hvad der kaldes sektionen af ​​polyeder ved et fly? Hvis du stadig tvivler på rigtigheden af ​​dit svar på dette spørgsmål, kan du tjekke dig selv ganske enkelt. Vi foreslår, at du tager en kort test nedenfor.

Spørgsmål. Hvad er nummeret på den figur, der viser snittet af et parallelepipedum af et plan?

Så det rigtige svar er i figur 3.

Hvis du svarer rigtigt, bekræfter det, at du forstår, hvad du har med at gøre. Men desværre garanterer selv det rigtige svar på et testspørgsmål dig ikke de højeste karakterer i lektioner om emnet "Sektioner af polyedre." Det sværeste er trods alt ikke at genkende sektioner i færdige tegninger, selvom dette også er meget vigtigt, men deres konstruktion.

Til at begynde med, lad os formulere definitionen af ​​en sektion af et polyeder. Så en sektion af et polyeder er en polygon, hvis hjørner ligger på kanterne af polyederet, og hvis sider ligger på dets flader.

Lad os nu øve os i hurtigt og præcist at konstruere skæringspunkter en given ret linje med en given plan. For at gøre dette, lad os løse følgende problem.

Konstruer skæringspunkterne for den lige linje MN med planerne for de nedre og øvre baser af det trekantede prisme ABCA 1 B 1 C 1, forudsat at punktet M hører til sidekanten CC 1, og punktet N hører til kanten BB 1.

Lad os starte med at forlænge den lige linje MN i begge retninger på tegningen (fig. 1). Derefter, for at opnå de skæringspunkter, der kræves af problemet, forlænger vi linjerne, der ligger i de øvre og nedre baser. Og nu kommer det sværeste øjeblik for at løse problemet: hvilke linjer i begge baser skal forlænges, da hver af dem har tre linjer.

For korrekt at fuldføre det sidste trin i konstruktionen er det nødvendigt at bestemme, hvilke af de direkte baser, der er i samme plan som den lige linje MN af interesse for os. I vores tilfælde er dette lige CB i de nederste og C 1 B 1 i de øvre baser. Og det er netop disse, vi forlænger, indtil de skærer den lige linje NM (fig. 2).

De resulterende punkter P og P 1 er skæringspunkterne for den lige linje MN med planerne for de øvre og nedre baser af det trekantede prisme ABCA 1 B 1 C 1 .

Efter at have analyseret det præsenterede problem, kan du fortsætte direkte til at konstruere sektioner af polyedre. Nøglepunktet her vil være ræsonnement, der vil hjælpe dig med at nå frem til det ønskede resultat. Som et resultat vil vi til sidst forsøge at skabe en skabelon, der afspejler rækkefølgen af ​​handlinger, når vi løser problemer af denne type.

Så lad os overveje følgende problem. Konstruer et snit af et trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1 af et plan, der går gennem punkterne X, Y, Z, der hører til henholdsvis kanterne AA 1, AC og BB 1.

Løsning: Lad os tegne en tegning og bestemme, hvilke punkter der ligger i samme plan.

Par af punkter X og Y, X og Z kan forbindes, fordi de ligger i samme plan.

Lad os konstruere et ekstra punkt, der vil ligge på samme flade som punkt Z. For at gøre dette forlænger vi linjerne XY og CC 1, fordi de ligger i ansigtets plan AA 1 C 1 C. Lad os kalde det resulterende punkt P.

Punkterne P og Z ligger i samme plan - i fladens plan CC 1 B 1 B. Derfor kan vi forbinde dem. Den lige linje PZ skærer kanten CB på et bestemt punkt, lad os kalde det T. Punkterne Y og T ligger i prismets nedre plan, forbinder dem. Således blev firkantet YXZT dannet, og dette er det ønskede afsnit.

Sammenfatte. For at konstruere et udsnit af et polyeder med et plan, skal du:

1) Tegn lige linjer gennem par af punkter, der ligger i samme plan.

2) find de linjer, langs hvilke polyederens snitplaner og flader skærer hinanden. For at gøre dette skal du finde skæringspunkterne for en lige linje, der hører til sektionsplanet med en lige linje, der ligger i en af ​​ansigterne.

Processen med at konstruere sektioner af polyedre er kompliceret, fordi i hver konkret tilfælde det er forskelligt. Og ingen teori beskriver det fra start til slut. Der er virkelig kun én den rigtige måde at lære at hurtigt og præcist konstruere sektioner af ethvert polyedre er en konstant praksis. Hvordan flere afsnit du bygger, jo nemmere vil det være for dig at gøre det i fremtiden.

blog.site, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.

1. Begrebet et positionsproblem. Husk at flyet hedder skæreplan polyeder, hvis der er punkter af polyederet på begge sider af dette plan. Udsnit af et polyeder Et plan er en polygon, hvis sider er de segmenter, langs hvilke skæreplanet skærer polyederens flader.

I fig. 30 viser et trekantet prisme. (I denne projektionstegning er billederne af punkterne angivet med de samme bogstaver som de tilsvarende originale punkter). Lad os forestille os, at vi skal markere punkterne: a) M, liggende på kanten; b) N, liggende i ansigtet; c) liggende inde i prismet.

Hvis vi afbilder disse punkter, som det er gjort i figur a), så kun om punktet M vi kan groft sagt sige, at den ligger på kanten . Punktposition N Og K Det er umuligt at afgøre ud fra dette billede. Figur b) giver os allerede mulighed for at konkludere, at punktet N ligger i ansigtet, og pointen er

inde i prismet. Hvordan kan disse konklusioner drages? Faktum er, at i den anden figur sætter vi fremskrivningerne af punkterne N Og K på basisplanet parallelt med prismets sidekanter. Strengt taget, for at være sikker på, at pointen M ligger på kanten, er visuelle opfattelser alene heller ikke nok. (I det design, som billedet af prismet blev lavet med, er pointen M fungerer som en projektion af ethvert punkt på en linje parallel med designretningen og passerer gennem den.)

Hvis vi angiver, at når man designer parallelt med prismets laterale kanter, er punktet M projiceret på basen i et punkt EN, så viser en sådan selvtillid sig.

En lignende situation er vist i fig. 31. Her skal du markere punkterne: a) M på sidekanten S.A.; b) N- på kanten SAB;
V) TIL- inde i pyramiden. Forskellen er, at den højre figur bruger en central projektion af de markerede punkter på planet af bunden af ​​pyramiden fra dens top S.

For at gøre billedet klart er det i de diskuterede eksempler nødvendigt at bruge ikke et design, men to. Det første design, ved hjælp af hvilket billedet af et polyeder er lavet, kaldes ydre Det andet design er af hjælpekarakter. Det er forbundet med selve figuren - dette er som regel en projektion på et plan, der indeholder en af ​​polyederens ansigter. Vi vil kun beskæftige os med prismer og pyramider, og vælger oftest deres baseplan som et sådant fly. Assisteret design kaldes indre. Fra de betragtede eksempler er det klart, at for et prisme er det praktisk at bruge internt parallelt design, og for en pyramide - central.

Lade F 0 – en figur i rummet, som er projiceret parallelt på flyet s(udvendigt design). For at billedet af figuren skal være klart, vælger vi et bestemt plan i et andet rum end planet s, og overvej et nyt design, parallelt eller centralt, af figurens punkter F 0 til dette plan (intern projektion).

Overvej et punkt i rummet M 0 og dens projektion på planet p 0 ¢ under intern design. Lad os projicere begge disse punkter på flyet s. I dette tilfælde projektionen M point M 0 kaldes grundlæggende(eller bare en projektion), og projektionen M¢ prikker – sekundær.

Hvis for et punkt M 0 tal F 0 dens projektion og sekundære projektion er kendt, så kan vi ud fra billedet bedømme positionen af ​​dette punkt på originalen. I dette tilfælde siger de, at pointen M 0, der hører til figuren F 0 er givet på projektionstegningen. Figurbillede F 0, hvorpå hvert punkt i figuren er givet, kaldes fuld.

I projektionstegninger er det ofte nødvendigt at løse problemer med at finde skæringspunktet mellem forskellige figurer. Sådanne opgaver kaldes positionelle. Hvis et billede er komplet, kan ethvert positionsproblem løses på dette billede.

Afslutningsvis bemærker vi følgende. Hvis M 0 ¢ , N 0 ¢, K 0 ¢, ... – billeder af punkter M 0 , N 0 , K 0 , ... for internt design, derefter for eksternt design (parallelle) billeder MM¢, NN¢, KK¢, ... parallelle linjer M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... på overfladen s vil også være parallel. Hvis M 0 ¢, N 0 ¢, K 0 ¢, ... – billeder af punkter M 0 , N 0 , K 0, ... med indvendigt centralt design med center S 0, derefter billeder MM¢, NN¢, KK¢, ... direkte M 0 M 0 ¢, N 0 N 0 ¢, K 0 K 0 ¢, ... under ekstern design skære på planet s på et tidspunkt S. Dette punkt vil være billedet af punktet S 0 .

Blandt positionsproblemer vil vi kun være interesseret i problemer relateret til konstruktionen af ​​sektioner af polygoner. Lad os overveje de vigtigste metoder til at konstruere sådanne sektioner. Normalt, når man løser stereometriske problemer, er billederne af figurens punkter i projektionstegningen angivet med de samme bogstaver som de tilsvarende punkter på den originale figur. Vi vil også overholde denne regel i fremtiden.

2. Konstruktion af sektioner baseret på egenskaberne ved parallelle linjer og planer. Denne metode bruges især ofte ved konstruktion af sektioner af parallelepipeder. Dette forklares ved, at de modsatte sider af parallelepipedet er parallelle. Ifølge sætningen om skæringen af ​​parallelle planer med et tredje plan, er skæringslinjerne for parallelle flader parallelle segmenter.

Opgave 1. Basen af ​​en firkantet pyramide SABCD er et parallelogram. Konstruer et udsnit af pyramiden med et plan, der går gennem punktet, der ligger på sidekanten SOM, parallelt med diagonalen BD grunde.

Hvor mange sådanne fly kan der bygges? Hvilke former kan fås i tværsnit?

Løsning. I bunden af ​​pyramiden tegner vi en vilkårlig lige linje -en, parallelt med diagonalen BD. Et fly passerer gennem denne linje og punkt -en, og den eneste der. Baseret på paralleliteten af ​​en ret linje og et plan og derfor et plan -en er det, vi leder efter.

I grundplanet er der uendeligt mange linjer parallelt med linjen B.D. derfor er der uendeligt mange planer, der opfylder betingelserne for problemet.

Typen af ​​polygon opnået i snit afhænger af antallet af flader, som planet skærer -en. Da en firkantet pyramide har fem flader, kan tværsnittet resultere i trekanter, firkanter og femkanter.

I fig. 32 viser forskellige tilfælde af retlinjeplacering -en i forhold til et parallelogram ABCD. Afhængigt af denne placering vil typen af ​​polygonafsnit naturligvis blive bestemt.

Til venstre i fig. 33 tilfældet betragtes, når den rette linje -en 1 krydser siderne AD,AB på punkter M, N henholdsvis og ligger med punktet i samme halvrum med grænsen BSD. Her er tværsnittet en trekant MKN.

Den højre figur viser tilfældet, når den lige linje -en 3 ligger med et punkt langs forskellige sider fra flyet BSD og krydser siderne DC, B.C. baser på punkter M, N henholdsvis. Lad os betegne med x skæringspunktet mellem linjer AD Og -en 3 . Da det er lige AD ligger i ansigtets plan A.S.D., så ligger pointen i dette ansigt x. På den anden side, punkt x hører til linjen -en 3 liggende i skæreplanet. Derfor vil den lige linje være skæringslinjen mellem skæreplanet og forsidens plan ASD. Dette giver dig mulighed for at finde pointen R=SDÇ KX. På samme måde giver et punkt dig mulighed for at konstruere et toppunkt TÎ B.S. det ønskede afsnit. I det betragtede tilfælde skærer skæreplanet alle pyramidens flader, og sektionen er en femkant.

Andre tilfælde af relativ position af linjen -en og undersøg selv bunden af ​​pyramiden.

Lad os overveje specielle metoder til at konstruere sektioner.

4. Sporingsmetode. Hvis skæreplanet ikke er parallelt med polyederens flade, så skærer det denne flades plan i en lige linje. Den lige linje, langs hvilken skæreplanet skærer planet af polyederens overflade kaldes efter skæreplanet på dette ansigts plan. En af metoderne til at konstruere sektioner af polyedre er baseret på at bruge sporet af et skærende plan på planet af en af ​​dets flader. Oftest, når man konstruerer sektioner af et prisme og en afkortet pyramide, vælges planet for den nedre base som et sådant plan, og i tilfælde af en pyramide, planet for dens base.

Lad os se på konstruktionen af ​​sektioner ved hjælp af sporingsmetoden ved hjælp af eksempler.

Opgave 2. Der gives et billede af et firkantet prisme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Angiv tre punkter, der tilhører dens forskellige sideflader, og konstruer en sektion, der går gennem disse tre punkter.

Løsning. Lad os huske på, at for at specificere et punkt i en projektionstegning, er det nødvendigt at specificere dets primære og sekundære projektioner. I tilfælde af et prisme blev vi enige om at bruge internt parallelt design til at specificere sekundære projektioner. Derfor for at sætte pointen M, liggende i ansigtet ABB 1 EN 1, angive dens projektion M 1 på basisplanet parallelt med prismets sidekanter. Point sættes på samme måde N Og K, liggende i ansigterne AD 1 D.A. 1 , CDD 1 C 1 (fig. 34). Lad os konstruere et spor af skæreplanet på planet af prismets nederste base. Parallelle linjer MM 1 ligger i samme plan og derfor i det generelle tilfælde skærer rette linjer hinanden på et tidspunkt x. Da den lige linje ligger i skæreplanet, og den lige linje ligger i den nederste bases plan, så er punktet x hører til sporet af skæreplanet på planet af prismets nederste base. Ligeledes point K, N og deres sekundære projektioner K 1 , N 1 giver dig mulighed for at finde det andet punkt Y, tilhørende det ønskede spor.

Lige AB, liggende i ansigtet ABB 1 EN 1, krydser stien XY på punktet Z, derfor lige MZ ligger i ansigtets plan ABB 1 EN 1 og i sekantplanet. Linjestykke TR, Hvor T=MZÇ A.A. 1 , P=MZÇ BB 1 vil være siden af ​​sektionspolygonen. Dernæst bygger vi sekventielt dens sider TR Og RQ, der passerer gennem disse punkter N Og K henholdsvis. Til sidst bygger vi siden PQ.

Opgave 3 . Et billede af en femkantet pyramide er givet SABCDE. Sætpunkter N Og K, der hører til sidekanterne S.C., SD i overensstemmelse hermed punktet M, liggende i ansigtet ASE. Konstruer et afsnit, der går gennem givne punkter.

Løsning. At sætte punkter K,N Og M Lad os bruge den indre centrale projektion med midten i toppen af ​​pyramiden. I dette tilfælde projektioner af punkter K Og N der vil være prikker D Og C, og projektionen af ​​punktet M– punkt (fig. 35).

Linjer og liggende i flyet skærer generelt hinanden ved punktet x, liggende i skæreplanet. På den anden side, punkt x ligger i basens plan, og derfor hører det til sporet af sekantplanet på basens plan. Det andet punkt i det ønskede spor vil være punktet. Lige AE, liggende i ansigtet ASE pyramider, krydser stien XY på punktet Z. Tegning af en lige linje ZM, find siden LP sektion polygon. For at finde snittets toppunkt konstruerer vi et punkt og derefter en ret linje.

5. Intern designmetode. Essensen af ​​denne metode er, at her, ved hjælp af intern projektion, søges snitpunkter efter deres kendte sekundære projektioner. Den interne designmetode er især praktisk at bruge i tilfælde, hvor sporet af skæreplanet er langt væk fra den givne figur. Denne metode er også uundværlig, når nogle af linjerne, der indeholder siderne af polyederens bund, skærer sporet uden for tegningen. Lad os se på anvendelsen af ​​metoden ved hjælp af eksempler.

Opgave 4. Givet et billede af et sekskantet prisme og tre punkter, der ligger på tre sideflader, hvoraf ikke to støder op til hinanden. Konstruer et udsnit af prismet med et plan, der går gennem de givne punkter.

Løsning. Lad de givne point M,L,K ligge i ansigterne , , , og M¢,L¢,K¢– deres sekundære projektioner
(Fig. 36).

Lad os finde det punkt, hvor skæreplanet skærer sidekanten. For at gøre dette, ved at bruge intern projektion for et punkt, finder vi hovedprojektionen x, liggende i skæreplanet. Søgte punkt x er skæringspunktet for en linje, der går gennem punktet X¢ parallelt med prismets sidekanter og lige M.L., liggende i skæreplanet. Prik x giver dig mulighed for at bygge et toppunkt og derefter en side QR sektioner. På samme måde konstruerer vi et punkt ved hjælp af punktet Y, lige KY og find toppen R sektioner. Dernæst bygges siderne PQ Og P.O. sektioner.

Vi udfører de resterende konstruktioner i følgende rækkefølge:

1) byg et punkt Z¢=AK¢Ç BD;

2) find pointen Z (ZÎ PK);

3) vi udfører en direkte OZ og find toppen S (SÎ DD 1) sektioner;

4) byg siderne sekventielt S.R.,ST Og TIL sektioner.

Opgave 5 . Der gives et billede af en firkantet pyramide og tre punkter, der ligger på dens sidekanter. Konstruer et afsnit, der går gennem givne punkter.

Løsning. Lade S.A.B.C.D. denne pyramide, og M,N, K– punktdata (fig. 37). Sekundære projektioner af punkter M, N, K i indvendig central fremspring fra toppen S punkter på basisplanet EN, C Og D henholdsvis. Bemærk, at i denne opgave er siderne og KN sektioner anlægges straks. Tilbage er blot at finde sektionens toppunkt L, liggende på sidekanten S.B.. For at gøre dette vil vi konstruere et punkt og "hæve" det til skæreplanet ved hjælp af intern projektion. Forbillede af et punkt X¢ i dette tilfælde vil det centrale design være pointen X=X¢SÇ MN. Vertex L, der hører til kanten S.B., ligger på en lige linje KX.

6. Kombineret metode. Essensen af ​​denne metode er at kombinere sporingsmetoden eller den interne designmetode med konstruktioner baseret på egenskaberne af parallelle linjer og planer.

Overvej følgende eksempel.

Opgave 6. Punkt M er kantens midtpunkt AD Cuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Konstruer et udsnit af en terning med et plan, der går gennem et punkt M parallelt med diagonalen ВD baser og diagonaler AB 1 sidekant AA 1 I 1 I.

Løsning. Skæreplan -en parallelt med diagonalen BD base og passerer gennem punktet M, også liggende ved bunden, så den skærer bunden i en lige linje
(Fig. 38).

Lige l vil være sporet af flyet -en på planet af den nederste bund af kuben. Lad os betegne . Spore m fly -en på ansigtsplanet ABB 1 EN 1 er opbygget tilsvarende. Denne sti går gennem punktet N, parallel AB 1 . Lad os betegne .

Du kan fortsætte med at konstruere sektionen uden at ty til særlige metoder. Vi vil dog bruge sporingsmetoden. Lad det være lige Sol krydser sporet l på punktet x. Points x og det ønskede fly -en også ligge i ansigtets plan VSS 1 I 1 . Lad os betegne med L skæringspunktet mellem en linje og en kant I 1 MED 1 . Dernæst er det praktisk at bruge sætningen om skæringen af ​​to parallelle planer med et tredje plan. I kraft af denne sætning, . Her RÎ DD 1 ,PÎ C 1 D 1 .

Bevis, at sekskanten opnået i afsnittet er regelmæssig.

Cirkel billede

1. Ellipse og dens egenskaber. Når vi afbilder en cylinder, kegle og kugle (kugle), bliver vi nødt til at tegne ellipser. En ellipse kan defineres forskellige veje. Lad os reducere definitionen ved at komprimere et plan til en ret linje.

Ellipse kaldet en linje, som er billedet af en cirkel, når planet er komprimeret til en ret linje, der går gennem cirklens centrum (fig. 39).

Hvis der er givet en cirkel, en ret linje, der går gennem dens centrum, og et kompressionsforhold, er det let at konstruere et billede af ethvert punkt på den givne cirkel ved hjælp af ovenstående definition. Ved at konstruere flere billedpunkter og forbinde dem med en glat linje, kan du tegne en ellipse, som er et billede af en cirkel.

Oxy så dens akse Okse faldt sammen med direkte kompression l, og begyndelsen OM var centrum af cirklen w radius -en(Fig. 40). I dette koordinatsystem er cirklen w bestemmes af ligningen: eller

Det betyder, at ethvert punkt, hvis koordinater opfylder ligning (1), hører til cirklen w, og et punkt, hvis koordinater ikke opfylder (1), hører ikke hjemme.

Lade er kompressionsforholdet, er et vilkårligt punkt i planet, og M 0 – dens projektion på linjen l. Når den er komprimeret til et punkt M går til et punkt sådan . Da det er lige MM 1 parallelt med aksen Åh, derefter , og projektionen M 0 af disse punkter på kompressionslinjen Okse bestemt af koordinaterne.

Herfra, . Derfor har kompressionsformlerne formen

Omvendt bestemmer formlerne (2) komprimeringen af ​​planet til aksen Okse med kompressionsforhold , hvor punktet går til punktet .

Fra disse formler,. Erstatning x Og y ind i ligning (1), får vi:. Det betyder, at punktets koordinater M 1, som er billedet af et punkt på en cirkel, opfylder ligningen

Hvor . Dette er ligningen i systemet Oxy definerer en ellipse g, som fås ved at komprimere cirklen w til aksen Okse. Husk at ligning (3) kaldes kanonisk ligning for en ellipse.

Ved at bruge den kanoniske ligning for en ellipse kan du studere dens geometriske egenskaber. Lad os huske nogle begreber forbundet med ellipsen og dens egenskaber.

Lad ellipsen g er givet i et rektangulært koordinatsystem ved den kanoniske ligning (3). Fordi x Og y gå ind i denne ligning i anden grad, kan vi drage følgende konklusioner.

Hvis , så О g(Fig. 41). Heraf følger, at oprindelsen OM er ellipsens symmetricentrum. Symmetricentret for en ellipse kaldes dens centrum.

Hvis så , . Det følger lige linjer Okse Og Åh er ellipsens symmetriakser. Symmetriakserne for en ellipse kaldes dens akser. Hver af akserne skærer ellipsen i to punkter. Akse Okse har ligningen , derfor fra ligning (3) for punkternes abscisse EN 1 , A 2 vi har kryds. Herfra EN 1 (-en;0), EN 2 (–-en;0). Tilsvarende finder vi, at aksen Åh skærer ellipsen i punkter I 1 (0;b) Og I 2 (0;–b). Skæringspunkterne for en ellipse med dens akser kaldes toppe ellipse. Segmenter EN 1 EN 2 og I 1 I 2 også kaldet ellipse akser. Ellipse centrum OM er det fælles midtpunkt for hvert af disse segmenter.

Et segment, hvis ender hører til en ellipse, kaldes akkord denne ellipse. Akkorden af ​​en ellipse, der passerer gennem dens centrum, kaldes ellipse diameter. Midler, Ellipsens akser er dens indbyrdes vinkelrette diametre.

Bemærk, at vi har. I dette tilfælde EN 1 EN 2 >B 1 B 2 og segmenter EN 1 EN 2 , B 1 B 2 er navngivet i overensstemmelse hermed større og mindre akser ellipse. I dette tilfælde kaldes numrene i overensstemmelse hermed større og mindre akser ellipse. Når , tværtimod. Her ændres aksenavnene tilsvarende.

Lad os overveje ellipsens parametriske ligninger og metoden til at konstruere ellipsens punkter baseret på dem.

Lad segmenterne EN 1 EN 2 og I 1 I 2 er ellipsens akser. Lad os konstruere koncentriske cirkler på dem, som på diametre. w 1 og w 2 (fig. 42). Overvej strålen h starter på et punkt OM. Denne stråle skærer cirklerne w 1 og w 2 på punkter M 1 og M 2. Gennem punktet M 1 tegne en ret linje parallelt med sideaksen I 1 I 2, og gennem punktet M 2 – ret linje parallel med hovedaksen EN 1 EN 2. Lad os vise det pointen M skæringspunktet mellem disse linjer hører til en ellipse med givne akser.

Lad os vælge et rektangulært koordinatsystem Oxy starter på et punkt OM. Lad der være en pointe i dette system M har koordinater ( x;y). Lad derefter strålen h dannes med en stråle OA 1 hjørne t. Hvis så , . Siden punkterne M Og M 1 har lige abscisser, og punkterne M Og M 2 - lige ordinater,

Fra ligheder (4) , , derfor på grund af de vigtigste trigonometrisk identitet vi har, dvs. det konstruerede punkt hører til en ellipse med halvakser -en Og b.

For enhver værdi tÎ}