Eksempler på konstruktion af sektioner. Udsnit af et polyeder efter et plan

Praktisk lektion: "Parallellepiped. Konstruktion af sektioner af et parallelepipedum."

1. Mål praktisk arbejde : . For at konsolidere viden om teoretisk materiale om polyedre,problemløsningsevner i opbygning af sektioner, evne til at analysere en tegning.

2. Didaktisk udstyr til praktisk arbejde : Arbejdsstation, modeller og udviklinger af polyedre, måleinstrumenter, sakse, lim, tykt papir.

Tid: 2 timer

Arbejdsopgaver:

Øvelse 1

Konstruer en sektion af parallelepipedummet ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plan, der passerer gennem punkterne M, N, P, liggende på linjer, henholdsvis A 1 B 1, END, DC

Prøve og rækkefølgen af ​​løsning af problemet:

1.Punkt N og P ligger i snitplanet og i planet for den nederste base af parallelepipedet. Lad os konstruere en lige linje, der går gennem disse punkter. Denne lige linje er sporet af skæreplanet på planet af bunden af ​​parallelepipedet.

2. Lad os fortsætte den lige linje, på hvilken side AB af parallelepipediet ligger. Linjerne AB og NP skærer hinanden i et eller andet punkt S. Dette punkt hører til snitplanet.

3. Da også punktet M hører til snitplanet og skærer linjen AA 1 på et tidspunkt X.

4.Punkt X og N ligger i samme plan af flade AA 1 D 1 D, forbind dem og få lige linje XN.

5. Da planerne af parallelepipedets flader er parallelle, så kan vi gennem punktet M tegne en lige linje til ansigtet A 1 B 1 C 1 D 1 , parallelt med linjen NP. Denne linje vil skære side B 1 MED 1 i punkt Y.

6. Tegn på samme måde lige linje YZ parallelt med lige linje XN. Vi forbinder Z med P og får det ønskede afsnit - MYZPNX.

Opgave 2

Mulighed 1. Konstruer et snit af parallelepipedummet АВСDA1В1С1D1 af planet defineret af følgende punkterM, NOgP

Niveau 1: Alle tre punkter ligger på de kanter, der kommer ud fra top A

Niveau 2.Mligger i ansigtet AA1D1D,Nligger på ansigtet AA1B1B,Pligger i ansigtet CC1D1D.

Niveau 3.Mligger på diagonalen B1D,Nligger på diagonalen AC1,Pligger på kanten C1D1.

Mulighed 2.Konstruer et snit af parallelepipedummet ABCDA1B1C1D1 ved et plan, der går gennem linjen DQ, hvor punktet Q ligger på kanten CC1 og punktet P, defineret som følger

Niveau 1: Alle tre punkter ligger på de kanter, der kommer ud fra toppunktet C

Niveau 2: M ligger på en fortsættelse af kant A1B1, og punkt A1 er placeret mellem punkt B1 og P.

Niveau 3: P ligger på diagonalen B1D

Arbejdsordre:

1. Studér teoretisk materiale om følgende emner:

Parallelepiped.

Højre parallelepipedum.

Skråtstillet parallelepipedum.

Modsatte flader af et parallelepipedum.

Egenskaber ved parallelepipedumdiagonaler.

Pkonceptet med et skæreplan og reglerne for dets konstruktion.

Hvilke typer polygoner opnås i sektionen af ​​en terning og parallelepipedum.

2. BygparallelepipedumABCDA 1 B 1 C 1 D 1

3. Analyser løsningen på problem nr. 1

4.Byg konsekvent en sektionparallelepipedumABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plan, der passerer gennem punkterne P, Q, R i opgave nr. 1.

5. Konstruer yderligere tre parallelepipeder og vælg sektioner til problemer på niveau 1, 2 og 3 på dem

Evalueringskriterie :

Litteratur: Atanasyan L.S. Geometri: Lærebog for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kodomtsev et al. - M.: Uddannelse, 2010 Ziv B.G. Geometriproblemer: En manual for elever i klasse 7-11. almen uddannelse institutioner. / B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky. - M.: Uddannelse, 2010. V. N. Litvinenko Opgaver til udvikling af rumlige begreber. Bog for lærere. - M.: Uddannelse, 2010

Didaktisk stof til den praktiske lektionsopgave

Til opgave nr. 1:

Nogle mulige afsnit:

Konstruer sektioner af et parallelepipedum med et plan, der går gennem disse punkter

Afsnit- et billede af en figur opnået ved mentalt at dissekere en genstand med en eller flere planer.
Afsnittet viser kun, hvad der opnås direkte i skæreplanet.

Sektioner bruges normalt til at afsløre den tværgående form af et objekt. Tværsnitsfiguren på tegningen er fremhævet af skygge. Stiplede linjer tegnes iht almindelige regler.

Rækkefølgen af ​​sektionsdannelse:
1. Et skæreplan indføres på den del, hvor det er nødvendigt at afsløre sin form mere fuldstændigt. 2. Den del af delen, der er placeret mellem observatøren og skæreplanet, kasseres mentalt. 3. Snitfiguren roteres mentalt til en position parallel med hovedprojektionsplanet P. 4. Tværsnitsbilledet er dannet i overensstemmelse med de generelle projektionsregler.

Sektioner, der ikke er inkluderet i sammensætningen, er opdelt i:

Taget ud;
- overlejret.

Skitserede afsnit foretrækkes og kan placeres i mellemrummet mellem dele af samme type.
Konturen af ​​den udvidede sektion, samt sektionen, der indgår i sektionen, er afbildet med solide hovedlinjer.

Overlejret hedder afsnit, som placeres direkte på objektets udsyn. Konturen af ​​den overlejrede sektion er lavet med en solid tynd linje. Snitfiguren er placeret på stedet for hovedbilledet, hvor skæreplanet passerer og er skraveret.

Overlejring af sektioner: a) symmetrisk; b) asymmetrisk

Symmetriakse den overlejrede eller fjernede sektion er angivet med en tynd stiplet linje uden bogstaver og pile, og snitlinjen er ikke tegnet.

Sektioner i hullet. Sådanne sektioner er placeret i et hul i hovedbilledet og er lavet som en solid hovedlinje.
For asymmetriske sektioner placeret i et mellemrum eller overlejret er snitlinjen tegnet med pile, men ikke markeret med bogstaver.

Sektionen i mellemrummet: a) symmetrisk; b) asymmetrisk

Skitserede afsnit har:
- hvor som helst i tegnefeltet;
- i stedet for hovedvisningen;
- med en tur med tilføjelse af et "drejet" skilt

Hvis sekantplanet passerer gennem rotationsoverfladens akse, begrænser hullet eller fordybningerne, så vises deres kontur i sektionen fuldt ud, dvs. udføres efter snitreglen.

Hvis sektionen viser sig at bestå af to eller flere separate dele, skal der påføres et snit indtil ændring af synsretningen.
Skæreplanerne er valgt således, at der opnås normale tværsnit.
For flere identiske sektioner relateret til et objekt er snitlinjen betegnet med et bogstav, og et snit er tegnet.

Fjernelementer.
Detaljeelement - et separat forstørret billede af en del af et objekt for at præsentere detaljer, der ikke er angivet på det tilsvarende billede; kan afvige fra hovedbilledet i indhold. For eksempel er hovedbilledet en visning, og detaljen er et udsnit.

I hovedbilledet er en del af objektet kendetegnet ved en cirkel med vilkårlig diameter, lavet med en tynd linje fra den er der en lederlinje med en hylde, over hvilken et stort bogstav i det russiske alfabet er placeret, med en højde; større end højden af ​​de dimensionelle tal. Det samme bogstav er skrevet over forlængelseselementet og til højre for det i parentes, uden bogstavet M, er skalaen på forlængelseselementet angivet.

I dag ser vi igen på hvordan konstruere et udsnit af et tetraeder med et plan.
Lad os overveje det enkleste tilfælde (obligatorisk niveau), når 2 punkter af sektionsplanet hører til et ansigt, og det tredje punkt tilhører et andet ansigt.

Lad os minde dig om det algoritme til at konstruere sektioner af denne type (tilfælde: 2 punkter hører til samme ansigt).

1. Vi leder efter et ansigt, der indeholder 2 punkter af snitplanet. Tegn en lige linje gennem to punkter, der ligger på samme ansigt. Vi finder punkterne for dets skæringspunkt med kanterne af tetraederet. Den del af den lige linje, der ender i ansigtet, er siden af ​​sektionen.

2. Hvis polygonen kan lukkes, er sektionen konstrueret. Hvis det er umuligt at lukke, så finder vi skæringspunktet for den konstruerede linje og planet, der indeholder det tredje punkt.

1. Vi ser at punkterne E og F ligger på samme flade (BCD), tegner en ret linje EF i planet (BCD).
2. Find skæringspunktet for den rette linje EF med kanten af ​​tetraederet BD, dette er punkt H.
3. Nu skal du finde skæringspunktet for den rette linje EF og det plan, der indeholder det tredje punkt G, dvs. fly (ADC).
Den rette linje CD ligger i planerne (ADC) og (BDC), hvilket betyder, at den skærer den rette linie EF, og punktet K er skæringspunktet mellem den rette linie EF og planet (ADC).
4. Dernæst finder vi yderligere to punkter, der ligger i samme plan. Det er punkterne G og K, som begge ligger i venstre sideflades plan. Vi tegner en linje GK og markerer de punkter, hvor denne linje skærer kanterne af tetraederet. Det er punkterne M og L.
4. Det er tilbage at "lukke" sektionen, dvs. forbinde de punkter, der ligger på samme flade. Disse er punkter M og H, og også L og F. Begge disse segmenter er usynlige, vi tegner dem med en stiplet linje.

Tværsnittet viste sig at være en firkantet MHFL. Alle dens hjørner ligger på kanterne af tetraederet. Lad os vælge det resulterende afsnit.

Lad os nu formulere "egenskaber" for en korrekt konstrueret sektion:

1. Alle hjørner af en polygon, som er et snit, ligger på kanterne af et tetraeder (parallelpipedum, polygon).

2. Alle sider af sektionen ligger på polyederens flader.
3. Hver side af en polygon kan ikke indeholde mere end én (en eller ingen!) side af sektionen

I denne lektion vil vi se på tetraederet og dets elementer (tetraederkant, overflade, flader, toppunkter). Og vi vil løse flere problemer med at konstruere sektioner i et tetraeder vha generel metode til at bygge sektioner.

Emne: Parallelisme af linjer og planer

Lektion: Tetrahedron. Problemer med at konstruere sektioner i et tetraeder

Hvordan bygger man et tetraeder? Lad os tage en vilkårlig trekant ABC. Ethvert punkt D, ikke liggende i denne trekants plan. Vi får 4 trekanter. Overfladen dannet af disse 4 trekanter kaldes et tetraeder (fig. 1.). De indre punkter afgrænset af denne overflade er også en del af tetraederet.

Ris. 1. Tetraeder ABCD

Elementer af et tetraeder
EN,B, C, D - hjørner af et tetraeder.
AB, A.C., AD, B.C., BD, CD - tetraederkanter.
ABC, ABD, BDC, ADC - tetraeder ansigter.

Kommentar: kan tages fladt ABC bag tetraederbase, og peg derefter D er toppunktet af et tetraeder. Hver kant af tetraederet er skæringspunktet mellem to planer. For eksempel ribben AB- dette er skæringspunktet mellem fly ABD Og ABC. Hvert hjørne af et tetraeder er skæringspunktet mellem tre planer. Vertex EN ligger i fly ABC, ABD, ENDMED. Prik EN er skæringspunktet mellem de tre udpegede planer. Dette faktum er skrevet som følger: EN= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Tetrahedron definition

Så, tetraeder er en overflade dannet af fire trekanter.

Tetraederkant- skæringslinjen mellem to planer af tetraederet.

Lav 4 lige store trekanter af 6 tændstikker. Det er umuligt at løse problemet på et fly. Og det er nemt at gøre i rummet. Lad os tage et tetraeder. 6 tændstikker er dens kanter, fire sider af tetraederet og vil være fire lige store trekanter. Problemet er løst.

Givet et tetraeder ABCD. Prik M hører til en kant af tetraederet AB, prik N hører til en kant af tetraederet ID og periode R hører til kanten DMED(Fig. 2.). Konstruer et udsnit af et tetraeder med et plan MNP.

Ris. 2. Tegning til opgave 2 - Konstruer et udsnit af et tetraeder med en plan

Løsning:
Overvej ansigtet af et tetraeder DSol. På denne side af sagen N Og P hører til ansigterne DSol, og derfor tetraederet. Men efter punktets tilstand N, P hører til skæreplanet. Midler, NP- dette er skæringslinjen mellem to planer: ansigtets plan DSol og skæreplan. Lad os antage, at de rette linjer NP Og Sol ikke parallel. De ligger i samme plan DSol. Lad os finde skæringspunktet for linjerne NP Og Sol. Lad os betegne det E(Fig. 3.).

Ris. 3. Tegning til opgave 2. Find punkt E

Prik E hører til snitplanet MNP, da den ligger på den lige linje NP, og den lige linje NP ligger helt i snitplanet MNP.

Peg også E ligger i et fly ABC, fordi den ligger på en lige linje Sol ud af flyet ABC.

Det forstår vi SPISE- skæringslinje mellem fly ABC Og MNP, siden point E Og M ligge samtidigt i to planer - ABC Og MNP. Lad os forbinde prikkerne M Og E, og fortsæt ligeud SPISE til krydset med linjen AC. Skæringspunkt for linjer SPISE Og AC lad os betegne Q.

Så i dette tilfælde NPQМ- det påkrævede afsnit.

Ris. 4. Tegning til opgave 2. Løsning af opgave 2

Lad os nu overveje sagen hvornår NP parallel B.C.. Hvis lige NP parallelt med en linje, for eksempel en ret linje Sol ud af flyet ABC, derefter lige NP parallelt med hele planet ABC.

Det nødvendige snitplan passerer gennem den lige linje NP, parallelt med flyet ABC, og skærer planet i en lige linje MQ. Altså skæringslinjen MQ parallelt med linjen NP. Vi får NPQМ- det påkrævede afsnit.

Prik M ligger på siden ENDI tetraeder ABCD. Konstruer et udsnit af tetraederet med et plan, der passerer gennem punktet M parallelt med bunden ABC.

Ris. 5. Tegning til opgave 3 Konstruer et snit af et tetraeder med en plan

Løsning:
Skæreplan φ parallelt med flyet ABC ifølge betingelsen betyder det, at dette fly φ parallelt med linjer AB, AC, Sol.
I flyet ABD gennem punktet M lad os lave en direkte PQ parallel AB(Fig. 5). Lige PQ ligger i et fly ABD. Tilsvarende i flyet ACD gennem punktet R lad os lave en direkte PR parallel AC. Har en pointe R. To skærende linjer PQ Og PR fly PQR henholdsvis parallelt med to skærende linjer AB Og AC fly ABC, hvilket betyder fly ABC Og PQR parallel. PQR- det påkrævede afsnit. Problemet er løst.

Givet et tetraeder ABCD. Prik M- indre punkt, punkt på forsiden af ​​tetraederet ABD. N- segmentets indre punkt DMED(Fig. 6.). Konstruer skæringspunktet for en linje N.M. og fly ABC.

Ris. 6. Tegning til opgave 4

Løsning:
For at løse dette vil vi konstruere et hjælpeplan DMN. Lad det være lige DM skærer linjen AB i punktet TIL(Fig. 7.). Derefter, SKD- dette er en del af flyet DMN og tetraeder. I flyet DMN ligger og lige N.M. og den resulterende lige linje SK. Så hvis N.M. ikke parallel SK, så vil de krydse hinanden på et tidspunkt R. Prik R og der vil være det ønskede skæringspunkt for linjen N.M. og fly ABC.

Ris. 7. Tegning til opgave 4. Løsning af opgave 4

Givet et tetraeder ABCD. M- indre punkt i ansigtet ABD. R- indre punkt i ansigtet ABC. N- kantens indre punkt DMED(Fig. 8.). Konstruer et udsnit af et tetraeder med et plan, der går gennem punkterne M, N Og R.

Ris. 8. Tegning til opgave 5 Konstruer et snit af et tetraeder med en plan

Løsning:
Lad os overveje det første tilfælde, når den lige linje MN ikke parallelt med flyet ABC. I den forrige opgave fandt vi skæringspunktet for linjen MN og fly ABC. Dette er pointen TIL, det opnås ved hjælp af hjælpeplanet DMN, dvs. Det gør vi DM og vi får en pointe F. Vi udfører CF og i krydset MN vi får en pointe TIL.

Ris. 9. Tegning til opgave 5. Find punkt K

Lad os lave en direkte KR. Lige KR ligger både i snitplanet og i planet ABC. At få point P 1 Og R 2. Tilslutning P 1 Og M og som en fortsættelse får vi pointen M 1. Forbindelse af prikken R 2 Og N. Som et resultat opnår vi det ønskede afsnit P 1 P 2 NM 1. Problemet i det første tilfælde er løst.
Lad os overveje det andet tilfælde, når den lige linje MN parallelt med flyet ABC. Fly MNP går gennem en lige linje MN parallelt med flyet ABC og skærer flyet ABC langs en lige linje R1R2, derefter lige R1R2 parallelt med den givne linje MN(Fig. 10.).

Ris. 10. Tegning til opgave 5. Det nødvendige afsnit

Lad os nu tegne en lige linje R 1 M og vi får en pointe M 1.P 1 P 2 NM 1- det påkrævede afsnit.

Så vi kiggede på tetraederet, løste nogle typiske opgaver til et tetraeder. I næste lektion vil vi se på et parallelepipedum.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. udgave, rettet og udvidet - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : syg. Geometri. 10-11 klassetrin: lærebog for elever uddannelsesinstitutioner(grund- og profilniveauer)

2. Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill. Geometri. 10.-11. klassetrin: Lærebog for almene uddannelsesinstitutioner

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. udgave, stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 s. :il. Geometri. 10. klasse: Lærebog for almene uddannelsesinstitutioner med dybdegående og specialiserede studier i matematik

Yderligere webressourcer

2. Hvordan man konstruerer et tværsnit af et tetraeder. Matematik ().

3. Festival pædagogiske ideer ().

Lav problemer derhjemme om emnet "Tetrahedron", hvordan man finder kanten af ​​et tetraeder, flader af et tetraeder, hjørner og overflade af et tetraeder

1. Geometri. Klasse 10-11: lærebog for studerende på almene uddannelsesinstitutioner (grundlæggende og specialiserede niveauer) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. udgave, rettet og udvidet - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. Opgave 18, 19, 20 s

2. Peg E midterste ribben MA tetraeder MAVS. Konstruer et udsnit af tetraederet med et plan, der går gennem punkterne B, C Og E.

3. I tetraeder MABC hører punktet M til fladen AMV, punktet P hører til fladen BMC, punktet K hører til kanten AC. Konstruer et udsnit af tetraederet med et plan, der går gennem punkterne M, R, K.

4. Hvilke former kan fås som et resultat af skæringen af ​​et tetraeder med et plan?