Vinklen mellem parallelle planer er ens. Vinkel mellem fly. Planernes vinkelrethed

Artiklen taler om at finde vinklen mellem planer. Efter at have givet definitionen, lad os give en grafisk illustration og overveje detaljeret metode finde ved koordinatmetode. Vi får en formel for skærende planer, som inkluderer koordinaterne for normale vektorer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materialet vil bruge data og begreber, som tidligere blev undersøgt i artikler om planet og linjen i rummet. For det første er det nødvendigt at gå videre til ræsonnement, der giver os mulighed for at have en vis tilgang til at bestemme vinklen mellem to skærende planer.

To skærende planer γ 1 og γ 2 er givet. Deres kryds får betegnelsen c. Konstruktionen af ​​χ-planet er forbundet med skæringspunktet mellem disse planer. Planet χ går gennem punktet M som en ret linje c. Skæringspunktet mellem planerne γ 1 og γ 2 vil blive lavet ved hjælp af planet χ. Vi tager betegnelsen af ​​linjen, der skærer γ 1 og χ, som linje a, og linjen, der skærer γ 2 og χ, som linje b. Vi finder, at skæringspunktet mellem linjerne a og b giver punktet M.

Placeringen af ​​punktet M påvirker ikke vinklen mellem skærende linjer a og b, og punktet M er placeret på linje c, som planet χ passerer igennem.

Det er nødvendigt at konstruere et plan χ 1 vinkelret på linjen c og forskellig fra planet χ. Skæringspunktet mellem planerne γ 1 og γ 2 ved hjælp af χ 1 vil tage betegnelsen af ​​linjerne a 1 og b 1.

Det kan ses, at når man konstruerer χ og χ 1, er linje a og b vinkelrette på linje c, så er a 1, b 1 placeret vinkelret på linje c. Finder man lige linjer a og a 1 i planet γ 1 med vinkelret på ret linje c, så kan de betragtes som parallelle. På samme måde indikerer placeringen af ​​b og b 1 i γ 2-planet med vinkelret på lige linje c deres parallelitet. Det betyder, at det er nødvendigt at foretage en parallel overførsel af planet χ 1 til χ, hvor vi får to sammenfaldende rette linjer a og a 1, b og b 1. Vi finder, at vinklen mellem skærende linjer a og b 1 er lig med vinklen på skærende linjer a og b.

Lad os se på figuren nedenfor.

Denne påstand bevises af, at der mellem skæringslinjerne a og b er en vinkel, der ikke afhænger af placeringen af ​​punktet M, det vil sige skæringspunktet. Disse linjer er placeret i planerne γ 1 og γ 2. Faktisk kan den resulterende vinkel betragtes som vinklen mellem to skærende planer.

Lad os gå videre til at bestemme vinklen mellem de eksisterende skærende planer γ 1 og γ 2.

Definition 1

Vinklen mellem to skærende planer γ 1 og γ 2 kaldes den vinkel, der dannes ved skæringen af ​​linjerne a og b, hvor planerne γ 1 og γ 2 skærer planen χ vinkelret på linje c.

Overvej figuren nedenfor.

Afgørelsen kan indgives i anden form. Når planerne γ 1 og γ 2 skærer hinanden, hvor c er linjen, hvorpå de skæres, markeres et punkt M, hvorigennem linjerne a og b trækkes vinkelret på linje c og ligger i planerne γ 1 og γ 2, så skal vinklen mellem linje a og b vil være vinklen mellem planerne. I praksis er dette anvendeligt til at konstruere vinklen mellem planer.

Ved krydsning dannes en vinkel, der er mindre end 90 grader, dvs gradsmål vinkel er gyldig på et interval af denne type (0, 90]. Samtidig kaldes disse planer vinkelrette, hvis der dannes en ret vinkel i skæringspunktet. Vinklen mellem parallelle planer betragtes som lig nul.

Den sædvanlige måde at finde vinklen mellem krydsende planer er at udføre yderligere konstruktioner. Dette hjælper med at bestemme det med nøjagtighed, og dette kan gøres ved hjælp af tegn på lighed eller lighed af en trekant, sinus og cosinus af en vinkel.

Lad os overveje at løse problemer ved at bruge et eksempel fra Unified State Exam-problemerne i blok C 2.

Eksempel 1

Givet et rektangulært parallelepipedum A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, hvor side A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, deler punkt E side A A 1 i forholdet 4:3. Find vinklen mellem planerne A B C og B E D 1.

Løsning

For klarhedens skyld er det nødvendigt at lave en tegning. Det forstår vi

En visuel repræsentation er nødvendig for at gøre det mere bekvemt at arbejde med vinklen mellem planer.

Vi bestemmer den rette linje, langs hvilken skæringen af ​​planerne A B C og B E D 1 forekommer. Punkt B er et fælles punkt. Et andet fælles skæringspunkt bør findes. Lad os overveje de lige linjer D A og D 1 E, som er placeret i samme plan A D D 1. Deres placering indikerer ikke parallelitet; det betyder, at de har et fælles skæringspunkt.

Den lige linje D A er dog placeret i planet A B C, og D 1 E i B E D 1. Fra dette får vi de lige linjer D A Og D 1 E har et fælles skæringspunkt, som er fælles for planerne A B C og B E D 1. Angiver skæringspunktet mellem linjer D A og D1E bogstavet F. Heraf får vi, at B F er den rette linje, langs hvilken planerne A B C og B E D 1 skærer hinanden.

Lad os se på figuren nedenfor.

For at få svaret er det nødvendigt at konstruere lige linjer placeret i planerne A B C og B E D 1, der passerer gennem et punkt placeret på linjen B F og vinkelret på det. Derefter betragtes den resulterende vinkel mellem disse rette linjer som den ønskede vinkel mellem planerne A B C og B E D 1.

Af dette kan vi se, at punktet A er projektionen af ​​punktet E på planet A B C. Det er nødvendigt at tegne en ret linje, der skærer linjen B F i en ret vinkel i punktet M. Det kan ses, at den rette linje A M er projektionen af lige linje E M på planen A B C, baseret på sætningen om disse perpendikulære A M ⊥ B F . Overvej billedet nedenfor.

∠ A M E er den ønskede vinkel dannet af planerne A B C og B E D 1. Ud fra den resulterende trekant A E M kan vi kun finde vinklens sinus, cosinus eller tangens og derefter selve vinklen, hvis dens to sider er kendt. Ved betingelse har vi, at længden A E findes på denne måde: lige linje A A 1 divideres med punkt E i forholdet 4:3, hvilket betyder, at den samlede længde af den rette linje er 7 dele, så A E = 4 dele. Vi finder A M.

Skal overvejes retvinklet trekant A B F. Vi har en ret vinkel A med højden A M. Ud fra betingelsen A B = 2, så kan vi finde længden A F ved ligheden mellem trekanter D D 1 F og A E F. Vi får, at A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Det er nødvendigt at finde længden af ​​siden B F i trekanten A B F ved hjælp af Pythagoras sætning. Vi får, at B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Længden af ​​siden A M findes gennem arealet af trekanten A B F. Vi har, at arealet kan være lig med både S A B C = 1 2 · A B · A F og S A B C = 1 2 · B F · A M .

Vi får at A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Så kan vi finde værdien af ​​tangenten af ​​vinklen i trekanten A E M. Vi får:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Den ønskede vinkel opnået ved skæringen af ​​planerne A B C og B E D 1 er lig med a r c t g 5, så får vi ved forenkling en r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Svar: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Nogle tilfælde af at finde vinklen mellem skærende linjer er specificeret vha koordinatplan O x y z og koordinatmetoden. Lad os se nærmere.

Hvis der gives et problem, hvor det er nødvendigt at finde vinklen mellem skærende planer γ 1 og γ 2, betegner vi den ønskede vinkel som α.

Så viser det givne koordinatsystem, at vi har koordinaterne til normalvektorerne for de skærende planer γ 1 og γ 2. Så angiver vi, at n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z er normalvektoren af ​​planet γ 1, og n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - for plan γ 2. Lad os overveje den detaljerede bestemmelse af vinklen placeret mellem disse planer i henhold til vektorernes koordinater.

Det er nødvendigt at udpege den lige linje, langs hvilken planerne γ 1 og γ 2 skærer bogstavet c. På linjen c har vi et punkt M, gennem hvilket vi tegner et plan χ vinkelret på c. Planet χ langs linjerne a og b skærer planerne γ 1 og γ 2 i punktet M. af definitionen følger, at vinklen mellem de skærende planer γ 1 og γ 2 er lig med vinklen på de skærende linjer henholdsvis a og b, der hører til disse planer.

I χ-planen plotter vi normalvektorer fra punktet M og betegner dem n 1 → og n 2 → . Vektor n 1 → er placeret på en linje vinkelret på linje a, og vektor n 2 → er placeret på en linje vinkelret på linje b. Herfra får vi, at den givne plan χ har en normalvektor for linjen a, lig med n 1 → og for linjen b, lig med n 2 →. Overvej figuren nedenfor.

Herfra får vi en formel, hvormed vi kan beregne sinus af vinklen af ​​skærende linjer ved hjælp af vektorernes koordinater. Vi fandt, at cosinus for vinklen mellem rette linier a og b er den samme som cosinus mellem skærende planer γ 1 og γ 2 er afledt af formlen cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, hvor vi har, at n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) og n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) er koordinaterne for vektorerne for de repræsenterede planer.

Vinklen mellem skærende linjer beregnes ved hjælp af formlen

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Eksempel 2

Efter betingelsen er parallelepipedummet A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 givet , hvor A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, og punkt E deler side A A 1 4: 3. Find vinklen mellem planerne A B C og B E D 1.

Løsning

Fra betingelsen er det klart, at dens sider er parvis vinkelrette. Det betyder, at det er nødvendigt at indføre et koordinatsystem O x y z med toppunktet i punktet C og koordinatakserne O x, O y, O z. Det er nødvendigt at indstille retningen til de relevante sider. Overvej figuren nedenfor.

Skærende fly A B C Og B E D 1 danner en vinkel, der kan findes ved formlen α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, hvor n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) og n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) er normale vektorer af disse fly. Det er nødvendigt at bestemme koordinaterne. Af figuren ser vi, at koordinataksen O x y falder sammen med planen A B C, det betyder, at koordinaterne for normalvektoren k → er lig med værdien n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Normalvektoren for planet B E D 1 antages at være vektorproduktet B E → og B D 1 →, hvor deres koordinater findes af koordinaterne for yderpunkterne B, E, D 1, som er bestemt ud fra betingelserne for problem.

Vi får at B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Fordi A E E A 1 = 4 3, fra koordinaterne til punkterne A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 finder vi E 2, 3, 4. Vi finder, at B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Det er nødvendigt at erstatte de fundne koordinater i formlen til beregning af vinklen gennem buen cosinus. Vi får

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinatmetoden giver et lignende resultat.

Svar: a r c cos 6 6 .

Det endelige problem betragtes med det formål at finde vinklen mellem skærende planer med de eksisterende kendte ligninger for planerne.

Eksempel 3

Beregn sinus, cosinus for vinklen og værdien af ​​vinklen dannet af to skærende linjer, som er defineret i koordinatsystemet O x y z og givet af ligningerne 2 x - 4 y + z + 1 = 0 og 3 y - z - 1 = 0.

Løsning

Når man studerer et emne generel ligning lige linje på formen A x + B y + C z + D = 0 afslørede, at A, B, C er koefficienter lig med koordinaterne for normalvektoren. Det betyder, at n 1 → = 2, - 4, 1 og n 2 → = 0, 3, - 1 er normalvektorer af de givne linjer.

Det er nødvendigt at erstatte koordinaterne for de normale vektorer af planerne i formlen til beregning af den ønskede vinkel på krydsende planer. Så får vi det

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Herfra har vi, at vinklens cosinus har formen cos α = 13 210. Så er vinklen af ​​skærende linjer ikke stump. Udskiftning i trigonometrisk identitet, finder vi, at værdien af ​​vinklens sinus er lig med udtrykket. Lad os regne ud og finde det

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13.210 = 41.210

Svar: sin α = 41.210, cos α = 13.210, α = a r c cos 13.210 = a r c sin 41.210.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Overvej to fly R 1 og R 2 med normale vektorer n 1 og n 2. Vinkel φ mellem planer R 1 og R 2 er udtrykt gennem vinklen ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) som følger: hvis ψ < 90°, så er φ = ψ (fig. 202, a); hvis ψ > 90°, så er ψ = 180° - ψ (fig. 202.6).

Det er åbenlyst, at ligestillingen under alle omstændigheder er sand

cos φ = |cos ψ|

Da cosinus af vinklen mellem vektorer, der ikke er nul, er lig med skalarproduktet af disse vektorer divideret med produktet af deres længder, har vi

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

og derfor cosinus af vinklen φ mellem planerne R 1 og R 2 kan beregnes ved hjælp af formlen

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Hvis planerne er givet ved generelle ligninger

A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 og A 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0,

så for deres normale vektorer kan vi tage vektorerne n 1 = (Ai; B1; C1) og n 2 = (A2; B2; C2).

Ved at skrive højre side af formel (1) i form af koordinater får vi

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

Opgave 1. Beregn vinklen mellem planer

x - √2 y + z- 2 = 0 og x+ √2 y - z + 13 = 0.

I I dette tilfælde A1.=1, B1 = -√2, C1 = 1, A2 =1, B2 = √2, C2 = -1.

Fra formel (2) får vi

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Derfor er vinklen mellem disse planer 60°.

Planer med normale vektorer n 1 og n 2:

a) er parallelle, hvis og kun hvis vektorerne n 1 og n 2 er collineære;

b) vinkelret hvis og kun hvis vektorerne n 1 og n 2 er vinkelrette, dvs. hvornår n 1 n 2 = 0.

Herfra skaffer vi de nødvendige og tilstrækkelige forhold parallelitet og vinkelrethed af to planer givet ved generelle ligninger.

Til at flyve

A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 og A 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D2 = 0

var parallelle, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at ligestillingen holder

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$

Hvis nogen af ​​koefficienterne A 2 , B 2 , C 2 er lig nul, antages det, at den tilsvarende koefficient A 1 , B 1 , C 1 også er lig nul

Fejl i mindst én af disse to ligheder betyder, at planerne ikke er parallelle, det vil sige, at de skærer hinanden.

For vinkelrethed af planer

A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 og A 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D2 = 0

det er nødvendigt og tilstrækkeligt for, at ligestillingen holder

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

Opgave 2. Blandt følgende flypar:

2x + 5på + 7z- 1 = 0 og 3 x - 4på + 2z = 0,

på - 3z+ 1 = 0 og 2 på - 6z + 5 = 0,

4x + 2på - 4z+ 1 = 0 og 2 x + på + 2z + 3 = 0

angive parallel eller vinkelret. Til det første par fly

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

dvs. vinkelrethedsbetingelsen er opfyldt. Planerne er vinkelrette.

For det andet par fly

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), da \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

og koefficienterne A 1 og A 2 er lig med nul. Derfor er det andet pars planer parallelle. For det tredje par

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), siden \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

og A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, dvs. planerne i det tredje par er hverken parallelle eller vinkelrette.

Størrelsen af ​​vinklen mellem to forskellige planer kan bestemmes for en hvilken som helst relativ position af planerne.

Et trivielt tilfælde, hvis flyene er parallelle. Så betragtes vinklen mellem dem lig med nul.

Et ikke-trivielt tilfælde, hvis flyene krydser hinanden. Denne sag er genstand for yderligere diskussion. Først skal vi bruge konceptet dihedral vinkel.

9.1 Dihedral vinkel

En dihedral vinkel er to halvplaner med en fælles lige linje (som kaldes kanten af ​​den dihedral vinkel). I fig. 50 viser en dihedral vinkel dannet af halvplaner og; kanten af ​​denne dihedrale vinkel er den rette linie a, fælles for disse halvplaner.

Ris. 50. Dihedral vinkel

Den dihedriske vinkel kan måles i grader eller radianer i et ord, indtast vinkelværdien af ​​den dihedriske vinkel. Dette gøres som følger.

På kanten af ​​den dihedrale vinkel dannet af halvplanerne og, tager vi et vilkårligt punkt M. Lad os tegne strålerne MA og MB, henholdsvis liggende i disse halvplaner og vinkelret på kanten (fig. 51).

Ris. 51. Lineær dihedral vinkel

Den resulterende vinkel AMB er den lineære vinkel på den dihedrale vinkel. Vinklen " = \AMB er netop vinkelværdien af ​​vores dihedrale vinkel.

Definition. Vinkelstørrelsen af ​​en dihedral vinkel er størrelsen af ​​den lineære vinkel af en given dihedral vinkel.

Alle lineære vinkler af en dihedral vinkel er lig med hinanden (de opnås trods alt fra hinanden ved et parallelskift). Derfor denne definition korrekt: værdien "afhænger ikke af specifikt valg punkter M på kanten af ​​en dihedral vinkel.

9.2 Bestemmelse af vinklen mellem planer

Når to planer skærer hinanden, opnås fire dihedrale vinkler. Hvis de alle har samme størrelse (90 hver), så kaldes planerne vinkelrette; Vinklen mellem planerne er da 90.

Hvis ikke alle dihedrale vinkler er ens (det vil sige, at der er to spidse og to stumpe), så er vinklen mellem planerne værdien af ​​den spidse dihedrale vinkel (fig. 52).

Ris. 52. Vinkel mellem planer

9.3 Eksempler på problemløsning

Lad os se på tre problemer. Den første er enkel, den anden og tredje er cirka på niveau C2 på Unified State Examination i matematik.

Opgave 1. Find vinklen mellem to flader af et regulært tetraeder.

Løsning. Lad ABCD almindelig tetraeder. Lad os tegne medianerne AM og DM af de tilsvarende flader, samt højden af ​​tetraederet DH (fig. 53).

Ris. 53. Til opgave 1

Da de er medianer, er AM og DM også højder af ligesidede trekanter ABC og DBC. Derfor er vinklen " = \AMD den lineære vinkel på den dihedrale vinkel dannet af fladerne ABC og DBC. Vi finder den ud fra trekanten DHM:

Svar: arccos 1 3 .

Opgave 2. I en regulær firkantet pyramide SABCD (med toppunkt S) er sidekanten lig med siden af ​​basen. Punkt K er midten af ​​kant SA. Find vinklen mellem planerne

Løsning. Linje BC er parallel med AD og dermed parallel med plan ADS. Derfor skærer plan KBC plan ADS langs lige linje KL parallelt med BC (fig. 54).

Ris. 54. Til opgave 2

I dette tilfælde vil KL også være parallel med linje AD; derfor KL midterste linje trekant ADS, og punkt L er midtpunktet af DS.

Lad os finde højden af ​​pyramiden SO. Lad N være midten af ​​DO. Så er LN midterlinjen i trekanten DOS, og derfor LN k SO. Dette betyder, at LN er vinkelret på plan ABC.

Fra punkt N sænker vi den vinkelrette NM til den rette linje BC. Den lige linje NM vil være projektionen af ​​den skrå LM på ABC-planet. Af de tre vinkelrette sætning følger så, at LM også er vinkelret på BC.

Således er vinklen " = \LMN den lineære vinkel på den dihedrale vinkel dannet af halvplanerne KBC og ABC. Vi vil lede efter denne vinkel fra den retvinklede trekant LMN.

Lad kanten af ​​pyramiden være lig med a. Først finder vi højden af ​​pyramiden:

Løsning. Lad L være skæringspunktet for linjerne A1 K og AB. Så skærer plan A1 KC plan ABC langs den lige linje CL (fig. 55).

EN C

Ris. 55. Til opgave 3

Trekanter A1 B1 K og KBL er lige store i ben og spids vinkel. Derfor er de andre ben ens: A1 B1 = BL.

Overvej trekant ACL. I den BA = BC = BL. Vinkel CBL er 120; derfor er \BCL = 30 . Også \BCA = 60 . Derfor \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Så LC? AC. Men linje AC tjener som en projektion af linje A1 C på plan ABC. Ved sætningen om tre perpendikulære konkluderer vi så, at LC ? A1 C.

Således er vinkel A1 CA den lineære vinkel af den dihedrale vinkel dannet af halvplanerne A1 KC og ABC. Dette er den ønskede vinkel. Fra den ligebenede retvinklede trekant A1 AC ser vi, at den er lig med 45.

Brug af koordinatmetoden ved beregning af en vinkel

mellem flyene

Mest generel metode finde vinklenmellem planer - koordinatmetoden (nogle gange ved hjælp af vektorer). Det kan bruges, når alle andre er blevet prøvet. Men der er situationer, hvor koordinatmetoden giver mening at anvende med det samme, nemlig når koordinatsystemet naturligt er relateret til det polyeder, der er angivet i problemformuleringen, dvs. Tre parvis vinkelrette linjer er tydeligt synlige, på hvilke koordinatakser kan angives. Sådanne polyedre er en rektangulær parallelepipedum og en regulær firkantet pyramide. I det første tilfælde kan koordinatsystemet specificeres af kanter, der strækker sig fra et toppunkt (fig. 1), i det andet - ved basens højde og diagonaler (fig. 2).

Anvendelsen af ​​koordinatmetoden er som følger.

Et rektangulært koordinatsystem i rummet introduceres. Det er tilrådeligt at introducere det på en "naturlig" måde - at "linke" det til en trio af parvise vinkelrette linjer, der har et fælles punkt.

For hvert af planerne, vinklen mellem hvilke der søges, opstilles en ligning. Den nemmeste måde at lave sådan en ligning på er at kende koordinaterne for tre punkter på planet, der ikke ligger på samme linje.

Planets ligning i generel opfattelse ligner Axe + By + Cz + D = 0.

Koefficienterne A, B, C'erne i denne ligning er koordinaterne for normalvektoren i planet (vektoren vinkelret på planet). Vi bestemmer derefter længderne og skalarproduktet af normalvektorer til planerne, vinklen mellem hvilke der søges. Hvis koordinaterne for disse vektorer(A 1, B 1; C 1) og (A 2; B 2; C 2 ), derefter den ønskede vinkelberegnet med formlen

Kommentar. Det skal huskes, at vinklen mellem vektorer (i modsætning til vinklen mellem planer) kan være stump, og for at undgå mulig usikkerhed indeholder tælleren på højre side af formlen et modul.

Løs dette problem ved hjælp af koordinatmetoden.

Opgave 1. Givet en terning ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Punkt K er midten af ​​kant AD, punkt L er midten af ​​kant CD. Hvorfor lig med vinklen mellem fly A 1 KL og A 1 AD?

Løsning . Lad oprindelsen af ​​koordinatsystemet være ved punktet EN, og koordinatakserne går langs strålerne AD, AB, AA 1 (Fig. 3). Lad os tage kanten af ​​terningen til at være lig med 2 (det er praktisk at dele det i to). Derefter punkternes koordinater A1, K, L er som følger: A1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Ris. 3

Lad os skrive flyets ligning ned En 1 K L generelt. Derefter erstatter vi koordinaterne for de valgte punkter i dette plan i det. Vi får et system af tre ligninger med fire ukendte:

Lad os udtrykke koefficienterne A, B, C til D og vi når frem til ligningen

Opdeling af begge dele i D (hvorfor D = 0?) og derefter gange med -2, får vi flyets ligning A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Så har normalvektoren til dette plan koordinater (2: -2; 1). Planligning A 1 AD er: y=0, og koordinaterne for den normale vektor til den, for eksempel (0; 2: 0). Ifølge ovenstående formel for cosinus af vinklen mellem planer får vi:

\(\sorttriangleright\) Dihedral vinkel er en vinkel dannet af to halvplaner og en ret linje \(a\), som er deres fælles grænse.

\(\blacktriangleright\) For at finde vinklen mellem planerne \(\xi\) og \(\pi\) , skal du finde den lineære vinkel (og krydret eller lige) dihedral vinkel dannet af planerne \(\xi\) og \(\pi\):

Trin 1: lad \(\xi\cap\pi=a\) (skæringslinjen for planerne). I planet \(\xi\) markerer vi et vilkårligt punkt \(F\) og tegner \(FA\perp a\) ;

Trin 2: udfør \(FG\perp \pi\) ;

Trin 3: ifølge TTP (\(FG\) – vinkelret, \(FA\) – skrå, \(AG\) – projektion) har vi: \(AG\perp a\) ;

Trin 4: Vinklen \(\vinkel FAG\) kaldes den lineære vinkel på den dihedrale vinkel dannet af planerne \(\xi\) og \(\pi\) .

Bemærk, at trekanten \(AG\) er retvinklet.
Bemærk også, at planet \(AFG\) konstrueret på denne måde er vinkelret på begge planer \(\xi\) og \(\pi\) . Derfor kan vi sige det anderledes: vinkel mellem planer\(\xi\) og \(\pi\) er vinklen mellem to skærende linjer \(c\in \xi\) og \(b\in\pi\), der danner et plan vinkelret på og \(\xi\ ), og \(\pi\) .

Opgave 1 #2875

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

Givet en firkantet pyramide, hvis alle kanter er lige store, og basen er en firkant. Find \(6\cos \alpha\) , hvor \(\alpha\) er vinklen mellem dens tilstødende sideflader.

Lad \(SABCD\) være en given pyramide (\(S\) er et toppunkt), hvis kanter er lig med \(a\) . Derfor er alle sideflader ens ligesidede trekanter. Lad os finde vinklen mellem flader \(SAD\) og \(SCD\) .

Lad os gøre \(CH\perp SD\) . Fordi \(\triangle SAD=\triangle SCD\), så vil \(AH\) også være højden af ​​\(\triangle SAD\) . Derfor er \(\angle AHC=\alpha\) per definition den lineære vinkel af den dihedriske vinkel mellem fladerne \(SAD\) og \(SCD\) .
Da grundfladen er et kvadrat, så er \(AC=a\sqrt2\) . Bemærk også, at \(CH=AH\) er højden af ​​en ligesidet trekant med siden \(a\), derfor \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Derefter ved cosinussætningen fra \(\trekant AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Svar: -2

Opgave 2 #2876

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

Planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\) skærer hinanden i en vinkel, hvis cosinus er lig med \(0,2\). Planerne \(\pi_2\) og \(\pi_3\) skærer hinanden i rette vinkler, og skæringslinjen for planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\) er parallel med skæringslinjen for planerne \(\pi_2\) og \(\ pi_3\) . Find sinus for vinklen mellem planerne \(\pi_1\) og \(\pi_3\) .

Lad skæringslinjen for \(\pi_1\) og \(\pi_2\) være en ret linje \(a\), skæringslinjen for \(\pi_2\) og \(\pi_3\) være en ret linje linje \(b\), og skæringslinjen \(\pi_3\) og \(\pi_1\) – lige linje \(c\) . Siden \(a\parallel b\) , så \(c\parallel a\parallel b\) (ifølge sætningen fra afsnittet i den teoretiske reference "Geometri i rummet" \(\højrepil\) "Introduktion til stereometri, parallelitet").

Lad os markere punkterne \(A\i a, B\i b\) så \(AB\perp a, AB\perp b\) (dette er muligt siden \(a\parallel b\) ). Lad os markere \(C\in c\) så \(BC\perp c\) , derfor \(BC\perp b\) . Derefter \(AC\perp c\) og \(AC\perp a\) .
Faktisk, da \(AB\perp b, BC\perp b\) , så er \(b\) vinkelret på planet \(ABC\) . Da \(c\parallel a\parallel b\), så er linjerne \(a\) og \(c\) også vinkelrette på planet \(ABC\), og derfor på enhver linje fra dette plan, især , linjen \ (AC\) .

Den følger det \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\vinkel ABC=\vinkel (\pi_2, \pi_3)=90^\cirkel\), \(\vinkel BCA=\vinkel (\pi_3, \pi_1)\). Det viser sig, at \(\trekant ABC\) er rektangulær, hvilket betyder \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

Svar: 0,2

Opgave 3 #2877

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

Givet rette linjer \(a, b, c\), der skærer hinanden i et punkt, og vinklen mellem to af dem er lig med \(60^\circ\) . Find \(\cos^(-1)\alpha\) , hvor \(\alpha\) er vinklen mellem planen dannet af linjer \(a\) og \(c\) og planen dannet af linjer \( b\) og \(c\) . Giv dit svar i grader.

Lad linjerne skære hinanden i punktet \(O\) . Da vinklen mellem to af dem er lig med \(60^\cirkel\), kan alle tre rette linjer ikke ligge i samme plan. Lad os markere punktet \(A\) på linjen \(a\) og tegne \(AB\perp b\) og \(AC\perp c\) . Derefter \(\triangle AOB=\triangle AOC\) som rektangulær langs hypotenusen og den spidse vinkel. Derfor \(OB=OC\) og \(AB=AC\) .
Lad os gøre \(AH\perp (BOC)\) . Derefter ved sætningen om tre perpendikulære \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Siden \(AB=AC\) , så \(\trekant AHB=\trekant AHC\) som rektangulær langs hypotenusen og benet. Derfor \(HB=HC\) . Det betyder, at \(OH\) ​​er halveringslinjen for vinklen \(BOC\) (da punktet \(H\) er lige langt fra vinklens sider).

Bemærk, at vi på denne måde også konstruerede den lineære vinkel af den dihedriske vinkel dannet af planet dannet af linjerne \(a\) og \(c\) og planet dannet af linjerne \(b\) og \(c \) . Dette er vinklen \(ACH\) .

Lad os finde denne vinkel. Da vi valgte punktet \(A\) vilkårligt, så lad os vælge det således, at \(OA=2\) . Derefter i rektangulær \(\triangle AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Da \(OH\) er en halveringslinje, så er \(\vinkel HOC=30^\cirkel\) , derfor i en rektangulær \(\trekant HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Derefter fra den rektangulære \(\trekant ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Svar: 3

Opgave 4 #2910

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

Planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\) skærer langs den rette linje \(l\), hvorpå punkterne \(M\) og \(N\) ligger. Segmenterne \(MA\) og \(MB\) er vinkelrette på den rette linie \(l\) og ligger i henholdsvis planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\), og \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Find \(3\cos\alpha\) , hvor \(\alpha\) er vinklen mellem planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\) .

Trekanten \(AMN\) er retvinklet, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), hvorfra \ Trekanten \(BMN\) er retvinklet, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), hvorfra \Vi skriver cosinussætningen for trekanten \(AMB\): \ Derefter \ Da vinklen \(\alpha\) mellem planerne er skarpt hjørne, og \(\angle AMB\) viste sig at være stump, derefter \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Derefter \

Svar: 1,25

Opgave 5 #2911

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) er et parallelepipedum, \(ABCD\) er et kvadrat med siden \(a\), punktet \(M\) er bunden af ​​vinkelret faldet fra punktet \(A_1\) til planet \ ((ABCD)\) , desuden er \(M\) skæringspunktet mellem diagonalerne i kvadratet \(ABCD\) . Det er kendt, at \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Find vinklen mellem planerne \((ABCD)\) og \((AA_1B_1B)\) . Giv dit svar i grader.

Lad os konstruere \(MN\) vinkelret på \(AB\) som vist på figuren.

Da \(ABCD\) er et kvadrat med siden \(a\) og \(MN\perp AB\) og \(BC\perp AB\) , så \(MN\parallel BC\) . Da \(M\) er skæringspunktet for kvadratets diagonaler, så er \(M\) midten af ​​\(AC\), derfor er \(MN\) midterlinjen og \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) er projektionen af ​​\(A_1N\) på planet \((ABCD)\), og \(MN\) er vinkelret på \(AB\), og derefter, ved sætningen af ​​tre vinkelrette, \ (A_1N\) er vinkelret på \(AB \) og vinklen mellem planerne \((ABCD)\) og \((AA_1B_1B)\) er \(\vinkel A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Svar: 60

Opgave 6 #1854

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

I en firkant \(ABCD\) : \(O\) – skæringspunktet for diagonalerne; \(S\) – ligger ikke i kvadratets plan, \(SO \perp ABC\) . Find vinklen mellem planerne \(ASD\) og \(ABC\) hvis \(SO = 5\) og \(AB = 10\) .

Rette trekanter \(\triangle SAO\) og \(\triangle SDO\) er lige store i to sider og vinklen mellem dem (\(SO \perp ABC\) \(\Højrepil\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , fordi \(O\) – skæringspunktet for kvadratets diagonaler, \(SO\) – fælles side) \(\Højrepil\) \(AS = SD\) \(\Højrepil\) \(\trekant ASD\ ) – ligebenet. Punkt \(K\) er midten af ​​\(AD\), så er \(SK\) højden i trekanten \(\trekant ASD\), og \(OK\) er højden i trekanten \( AOD\) \(\ Højrepil\) plan \(SOK\) er vinkelret på planerne \(ASD\) og \(ABC\) \(\Højrepil\) \(\vinkel SKO\) – lineær vinkel lig med den ønskede dihedral vinkel.

I \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Højrepil\) \(\trekant SOK\) – ligebenet retvinklet trekant \(\Højrepil\) \(\vinkel SKO = 45^\cirkel\) .

Svar: 45

Opgave 7 #1855

Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen

I en firkant \(ABCD\) : \(O\) – skæringspunktet for diagonalerne; \(S\) – ligger ikke i kvadratets plan, \(SO \perp ABC\) . Find vinklen mellem planerne \(ASD\) og \(BSC\) hvis \(SO = 5\) og \(AB = 10\) .

Retvinklede trekanter \(\trekant SAO\) , \(\trekant SDO\) , \(\trekant SOB\) og \(\trekant SOC\) er ens i to sider og vinklen mellem dem (\(SO \perp ABC \) \(\Højre pil\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), fordi \(O\) – skæringspunktet for kvadratets diagonaler, \(SO\) – fælles side) \(\Højrepil\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Højrepil\) \( \triangle ASD\) og \(\triangle BSC\) er ligebenede. Punkt \(K\) er midten af ​​\(AD\), så er \(SK\) højden i trekanten \(\trekant ASD\), og \(OK\) er højden i trekanten \( AOD\) \(\ Højrepil\) plan \(SOK\) er vinkelret på plan \(ASD\) . Punkt \(L\) er midten af ​​\(BC\), så er \(SL\) højden i trekanten \(\trekant BSC\), og \(OL\) er højden i trekanten \( BOC\) \(\ Højrepil\) plan \(SOL\) (alias plan \(SOK\)) er vinkelret på planet \(BSC\) . Således opnår vi, at \(\vinkel KSL\) er en lineær vinkel lig med den ønskede dihedriske vinkel.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Højrepil\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – højder i ligebenede trekanter, som kan findes ved hjælp af Pythagoras sætning: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Det kan man mærke \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Højrepil\) for en trekant \(\trekant KSL\) indeholder den omvendte Pythagoras sætning \(\Højrepil\) \(\trekant KSL\) – retvinklet \(\Højrepil\) \(\vinkel KSL = 90 ^\ cirk\) .

Svar: 90

Forberedelse af elever til at tage Unified State-eksamen i matematik begynder som regel med at gentage grundlæggende formler, herunder dem, der giver dig mulighed for at bestemme vinklen mellem fly. På trods af det faktum, at dette afsnit af geometri er dækket tilstrækkeligt detaljeret inden for skolepensum, skal mange kandidater gentage grundmateriale. Ved at forstå, hvordan man finder vinklen mellem flyene, vil gymnasieelever hurtigt kunne beregne det rigtige svar, når de løser et problem, og regne med at modtage anstændige score på resultaterne af at bestå den unified state-eksamen.

Vigtigste nuancer

For at sikre, at spørgsmålet om, hvordan man finder en dihedral vinkel, ikke forårsager vanskeligheder, anbefaler vi at følge en løsningsalgoritme, der vil hjælpe dig med at klare Unified State Examination-opgaver.

Først skal du bestemme den lige linje, langs hvilken flyene skærer hinanden.

Så skal du vælge et punkt på denne linje og tegne to vinkelrette linjer til det.

Næste skridt er at finde trigonometrisk funktion dihedral vinkel dannet af perpendikulære. Den mest bekvemme måde at gøre dette på er ved hjælp af den resulterende trekant, som vinklen er en del af.

Svaret vil være værdien af ​​vinklen eller dens trigonometriske funktion.

Forberedelse til eksamensprøven med Shkolkovo er nøglen til din succes

Under undervisningen dagen før bestå Unified State-eksamenen Mange skolebørn står over for problemet med at finde definitioner og formler, der giver dem mulighed for at beregne vinklen mellem 2 planer. En skolebog er ikke altid lige ved hånden, når det er nødvendigt. Og at finde de nødvendige formler og eksempler på dem korrekt anvendelse, herunder at finde vinklen mellem fly på internettet online, nogle gange skal du bruge meget tid.

Shkolkovo matematiske portal tilbyder en ny tilgang til at forberede sig til statseksamenen. Klasser på vores hjemmeside vil hjælpe eleverne med at identificere de sværeste sektioner for sig selv og udfylde huller i viden.

Vi har forberedt og tydeligt præsenteret alt påkrævet materiale. Grundlæggende definitioner og formler er præsenteret i afsnittet "Teoretisk information".

For bedre at forstå materialet foreslår vi også at øve de passende øvelser. Stort udvalg opgaver af forskellig grad af kompleksitet præsenteres for eksempel i afsnittet "Katalog". Alle opgaver indeholder en detaljeret algoritme til at finde det rigtige svar. Listen over øvelser på hjemmesiden bliver løbende suppleret og opdateret.

Mens de øver sig i at løse problemer, der kræver at finde vinklen mellem to planer, har eleverne mulighed for at gemme enhver opgave online som "Favoritter". Takket være dette vil de være i stand til at vende tilbage til ham påkrævet beløb tid og diskutere forløbet af sin beslutning med skole lærer eller en underviser.