Bestemmelse af afstanden mellem: 1 - punkt og plan; 2 - lige og fladt; 3 - fly; 4 - krydsende rette linjer betragtes sammen, da løsningsalgoritmen for alle disse problemer i det væsentlige er den samme og består af geometriske konstruktioner, der skal udføres for at bestemme afstanden mellem et givet punkt A og plan α. Hvis der er nogen forskel, består den kun i, at i tilfælde 2 og 3, før du begynder at løse problemet, skal du markere et vilkårligt punkt A på den rette linje m (tilfælde 2) eller plan β (tilfælde 3). afstande mellem skærende rette linjer, omslutter vi dem først i parallelle planer α og β og bestemmer derefter afstanden mellem disse planer.

Lad os overveje hvert af de nævnte tilfælde af problemløsning.

1. Bestemmelse af afstanden mellem et punkt og et plan.

Afstanden fra et punkt til et plan bestemmes af længden af ​​et vinkelret segment tegnet fra et punkt til planet.

Derfor består løsningen på dette problem i sekventielt at udføre følgende grafiske operationer:

1) fra punkt A sænker vi vinkelret på planet α (fig. 269);

2) find skæringspunktet M af denne perpendikulær med planen M = a ∩ α;

3) bestemme længden af ​​segmentet.

Hvis planet α generel holdning, så for at sænke en vinkelret på dette plan, er det nødvendigt først at bestemme retningen af ​​de vandrette og frontale projektioner af dette plan. At finde mødepunktet for denne vinkelrette med planet kræver også yderligere geometriske konstruktioner.

Løsningen på problemet forenkles, hvis planet α indtager en bestemt position i forhold til projektionsplanerne. I dette tilfælde udføres både projektionen af ​​vinkelret og fundet af punktet for dets møde med flyet uden yderligere hjælpekonstruktioner.

EKSEMPEL 1. Bestem afstanden fra punkt A til det frontalt fremspringende plan α (fig. 270).

LØSNING. Gennem A" tegner vi den vandrette projektion af den vinkelrette l" ⊥ h 0α, og gennem A" - dens frontale projektion l" ⊥ f 0α. Vi markerer punktet M" = l" ∩ f 0α . Siden AM || π 2, derefter [A" M"] == |AM| = d.

Fra det betragtede eksempel er det klart, hvor enkelt problemet løses, når flyet indtager en fremspringende position. Derfor, hvis et generelt positionsplan er specificeret i kildedataene, så før du fortsætter med løsningen, skal planet flyttes til en position vinkelret på ethvert projektionsplan.

EKSEMPEL 2. Bestem afstanden fra punkt K til planet specificeret af ΔАВС (fig. 271).

1. Vi overfører flyet ΔАВС til den projekterende position *. For at gøre dette bevæger vi os fra systemet xπ 2 /π 1 til x 1 π 3 /π 1: retningen af ​​den nye x 1-akse er valgt vinkelret på den vandrette projektion af trekantens vandrette plan.

2. Projicér ΔABC på et nyt plan π 3 (ΔABC-planet projiceres på π 3, i [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projicér punktet K på samme plan (K" → K" 1).

4. Gennem punktet K" 1 trækker vi (K" 1 M" 1)⊥ segmentet [C" 1 B" 1]. Den nødvendige afstand d = |K" 1 M" 1 |

Løsningen på problemet forenkles, hvis planet er defineret af spor, da der ikke er behov for at tegne projektioner af niveaulinjer.

EKSEMPEL 3. Bestem afstanden fra punkt K til planet α, angivet af sporene (fig. 272).

* Den mest rationelle måde at overføre trekantplanet til den projicerende position er at erstatte projektionsplanerne, da det i dette tilfælde er nok kun at konstruere en hjælpeprojektion.

LØSNING. Vi erstatter planet π 1 med planet π 3, til dette tegner vi en ny akse x 1 ⊥ f 0α. På h 0α markerer vi et vilkårligt punkt 1" og bestemmer dets nye vandrette projektion på planet π 3 (1" 1). Gennem punkterne X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) og 1" 1 tegner vi h 0α 1. Vi bestemmer den nye vandrette projektion af punktet K → K" 1. Fra punkt K" 1 sænker vi vinkelret til h 0α 1 og markerer punktet for dets skæringspunkt med h 0α 1 - M" 1. Længden af ​​segmentet K" 1 M" 1 vil angive den nødvendige afstand.

2. Bestemmelse af afstanden mellem en ret linje og et plan.

Afstanden mellem en linje og et plan bestemmes af længden af ​​et vinkelret segment, der falder fra et vilkårligt punkt på linjen til planet (se fig. 248).

Derfor er løsningen på problemet med at bestemme afstanden mellem den rette linje m og plan α ikke forskellig fra eksemplerne diskuteret i afsnit 1 til bestemmelse af afstanden mellem et punkt og et plan (se fig. 270 ... 272). Som et punkt kan du tage ethvert punkt, der hører til linje m.

3. Bestemmelse af afstanden mellem planer.

Afstanden mellem planerne bestemmes af størrelsen af ​​det vinkelrette segment, der falder fra et punkt taget på et plan til et andet plan.

Af denne definition følger det, at algoritmen til løsning af problemet med at finde afstanden mellem planerne α og β adskiller sig fra en lignende algoritme til løsning af problemet med at bestemme afstanden mellem linie m og plan α kun ved, at linie m skal tilhøre plan α , dvs. for at bestemme afstanden mellem planerne α og β følger:

1) tag en ret linje m i α-planet;

2) vælg et vilkårligt punkt A på linie m;

3) fra punkt A, sænk vinkelret l til planet β;

4) bestemme punkt M - mødepunktet for den vinkelrette l med planet β;

5) bestemme størrelsen af ​​segmentet.

I praksis er det tilrådeligt at bruge en anden løsningsalgoritme, som vil adskille sig fra den, der kun er givet ved, at flyene skal overføres til projektionspositionen, før du fortsætter med det første trin.

At inkludere denne ekstra operation i algoritmen forenkler udførelsen af ​​alle andre punkter uden undtagelse, hvilket i sidste ende fører til en enklere løsning.

EKSEMPEL 1. Bestem afstanden mellem planerne α og β (fig. 273).

LØSNING. Vi bevæger os fra systemet xπ 2 /π 1 til x 1 π 1 /π 3. Med hensyn til det nye plan π3 indtager planerne α og β en fremspringende position, derfor er afstanden mellem de nye frontale spor f 0α 1 og f 0β 1 den ønskede.

I ingeniørpraksis er det ofte nødvendigt at løse problemet med at konstruere et plan parallelt med et givet plan og fjernet fra det i en given afstand. Eksempel 2 nedenfor illustrerer løsningen på et sådant problem.

EKSEMPEL 2. Det er nødvendigt at konstruere projektioner af et plan β parallelt med et givet plan α (m || n), hvis det vides, at afstanden mellem dem er d (fig. 274).

1. Tegn vilkårlige vandrette linjer h (1, 3) og frontlinjer f (1,2) i α-planet.

2. Fra punkt 1 gendanner vi vinkelret l til planen α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. På vinkelret l markerer vi et vilkårligt punkt A.

4. Bestem længden af ​​segmentet - (positionen angiver på diagrammet den metrisk uforvrængede retning af den lige linje l).

5. Læg segmentet = d på den lige linje (1"A 0) fra punkt 1".

6. Marker på fremspringene l" og l" punkterne B" og B", svarende til punkt B 0.

7. Gennem punkt B trækker vi planet β (h 1 ∩ f 1). Til β || α, er det nødvendigt at overholde betingelsen h 1 || h og f 1 || f.

4. Bestemmelse af afstanden mellem skærende linjer.

Afstanden mellem skærende linjer bestemmes af længden af ​​den vinkelrette indesluttet mellem de parallelle planer, som de skærende linjer tilhører.

For at tegne indbyrdes parallelle planer α og β gennem skærende rette linjer m og f, er det tilstrækkeligt at trække gennem punkt A (A ∈ m) en ret linje p parallel med ret linje f, og gennem punkt B (B ∈ f) en ret linje k parallel med lige m . De skærende linjer m og p, f og k definerer de indbyrdes parallelle planer α og β (se fig. 248, e). Afstanden mellem planerne α og β er lig med den nødvendige afstand mellem de krydsende linjer m og f.

En anden måde kan foreslås til at bestemme afstanden mellem skærende linjer, som består i, at ved at bruge en metode til at transformere ortogonale projektioner, overføres en af ​​de skærende linjer til den fremspringende position. I dette tilfælde degenererer en projektion af linjen til et punkt. Afstanden mellem de nye projektioner af krydsende linjer (punkt A" 2 og segment C" 2 D" 2) er den nødvendige.

I fig. 275 viser en løsning på problemet med at bestemme afstanden mellem krydsende linjer a og b, givne segmenter [AB] og [CD]. Løsningen udføres i følgende rækkefølge:

1. Overfør en af ​​krydsningslinjerne (a) til en position parallelt med planet π 3; For at gøre dette skal du flytte fra systemet af projektionsplaner xπ 2 /π 1 til det nye x 1 π 1 /π 3, x 1-aksen er parallel med den vandrette projektion af den rette linje a. Bestem a" 1 [A" 1 B" 1 ] og b" 1.

2. Ved at erstatte planen π 1 med planen π 4 translaterer vi den rette linje

og til position a" 2, vinkelret på planet π 4 (den nye x 2-akse tegnes vinkelret på a" 1).

3. Konstruer en ny vandret projektion af lige linje b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Afstanden fra punkt A" 2 til lige linje C" 2 D" 2 (segment (A" 2 M" 2 ] (er den påkrævede).

Det skal erindres, at overføringen af ​​en af ​​de krydsende linjer til den fremspringende position ikke er andet end overføringen af ​​parallelitetsplanerne, hvori linjerne a og b kan være indesluttet, også til den fremspringende position.

Faktisk sikrer vi ved at flytte linie a til en position vinkelret på planet π 4, at ethvert plan, der indeholder linie a, er vinkelret på planet π 4, inklusive planen α defineret af linjerne a og m (a ∩ m, m | |. b ). Hvis vi nu tegner en linje n, parallel med a og skærende linje b, så får vi planen β, som er det andet parallelismeplan, som indeholder skæringslinjerne a og b. Siden β || α, derefter β ⊥ π 4 .

Denne artikel taler om at bestemme afstanden fra et punkt til et fly. Lad os analysere det ved hjælp af koordinatmetoden, som giver os mulighed for at finde afstanden fra et givet punkt i tredimensionelt rum. For at forstærke dette, lad os se på eksempler på flere opgaver.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Afstanden fra et punkt til et plan findes gennem den kendte afstand fra et punkt til et punkt, hvor en af ​​dem er givet, og den anden er en projektion på et givent plan.

Når et punkt M 1 med en plan χ er angivet i rummet, så kan der trækkes en ret linje vinkelret på planet gennem punktet. H 1 er deres fælles skæringspunkt. Heraf får vi, at segmentet M 1 H 1 er en vinkelret trukket fra punktet M 1 til planet χ, hvor punktet H 1 er bunden af ​​vinkelret.

Definition 1

Afstanden fra et givet punkt til bunden af ​​en vinkelret tegnet fra et givet punkt til en given plan kaldes.

Definitionen kan skrives i forskellige formuleringer.

Definition 2

Afstand fra punkt til plan er længden af ​​vinkelret tegnet fra et givet punkt til en given plan.

Afstanden fra punkt M 1 til χ-planet bestemmes som følger: afstanden fra punkt M 1 til χ-planet vil være den mindste fra et givet punkt til ethvert punkt på planet. Hvis punktet H 2 er placeret i χ-planet og ikke er lig med punktet H 2, så får vi retvinklet trekant type M 2 H 1 H 2 , som er rektangulær, hvor der er et ben M 2 H 1, M 2 H 2 - hypotenusen. Dette betyder, at det følger, at M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 betragtes som skrånende, som trækkes fra punkt M 1 til planet χ. Vi har, at den vinkelrette tegnet fra et givet punkt til planet er mindre end den skrånende tegnet fra punktet til det givne plan. Lad os se på denne sag i figuren nedenfor.

Afstand fra et punkt til et plan - teori, eksempler, løsninger

Der er en række geometriske problemer, hvis løsninger skal indeholde afstanden fra et punkt til et plan. Der kan være forskellige måder at identificere dette på. For at løse det, brug Pythagoras sætning eller trekanters lighed. Når det ifølge betingelsen er nødvendigt at beregne afstanden fra et punkt til et plan, givet i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum, løses det ved koordinatmetoden. Dette afsnit diskuterer denne metode.

I henhold til problemets betingelser har vi, at et punkt i tredimensionelt rum med koordinater M 1 (x 1, y 1, z 1) med et plan χ er det nødvendigt at bestemme afstanden fra M 1 til; planet χ. Der bruges flere løsningsmetoder til at løse dette problem.

Første vej

Denne metode er baseret på at finde afstanden fra et punkt til en plan ved hjælp af koordinaterne for punktet H 1, som er bunden af ​​vinkelret fra punkt M 1 til planet χ. Dernæst skal du beregne afstanden mellem M 1 og H 1.

For at løse problemet på den anden måde skal du bruge normalligningen for en given plan.

Anden vej

Ved betingelse har vi, at H 1 er bunden af ​​den perpendikulære, som blev sænket fra punkt M 1 til planet χ. Derefter bestemmer vi koordinaterne (x 2, y 2, z 2) for punktet H 1. Den nødvendige afstand fra M 1 til χ-planet findes ved formlen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, hvor M 1 (x 1, y 1, z 1) og H1 (x 2, y 2, z 2). For at løse det skal du kende koordinaterne til punkt H 1.

Vi har, at H 1 er skæringspunktet for χ-planen med linjen a, som går gennem punktet M 1 placeret vinkelret på χ-planen. Det følger heraf, at det er nødvendigt at kompilere en ligning for en ret linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given plan. Det er da, vi vil være i stand til at bestemme koordinaterne for punkt H 1. Det er nødvendigt at beregne koordinaterne for skæringspunktet mellem linjen og planet.

Algoritme til at finde afstanden fra et punkt med koordinaterne M 1 (x 1, y 1, z 1) til χ-planet:

Definition 3

• opstil en ligning af ret linje a, der går gennem punkt M 1 og samtidig
• vinkelret på χ-planet;
• find og beregn koordinaterne (x 2 , y 2 , z 2) for punkt H 1, som er punkter
• skæring af linje a med plan χ;
• beregn afstanden fra M 1 til χ ved hjælp af formlen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Tredje vej

I et givet rektangulært koordinatsystem O x y z er der en plan χ, så får vi en normalligning af planen på formen cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Herfra får vi, at afstanden M 1 H 1 med punktet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) tegnet til planen χ, beregnet med formlen M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos yz-p. Denne formel er gyldig, da den blev etableret takket være teoremet.

Sætning

Hvis et punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) er givet i tredimensionelt rum, med en normalligning af planet χ på formen cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, derefter beregnes afstanden fra punktet til planen M 1 H 1 ud fra formlen M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, da x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Bevis

Beviset for sætningen handler om at finde afstanden fra et punkt til en linje. Herfra får vi, at afstanden fra M 1 til χ-planet er modulus af forskellen mellem den numeriske projektion af radiusvektoren M 1 med afstanden fra origo til χ-planet. Så får vi udtrykket M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Normalvektoren af ​​planet χ har formen n → = cos α, cos β, cos γ, og dens længde er lig med én, n p n → O M → er den numeriske projektion af vektoren O M → = (x 1, y 1 , z 1) i retningen bestemt af vektoren n → .

Lad os anvende formlen til beregning af skalarvektorer. Så får vi et udtryk for at finde en vektor af formen n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , da n → = cos α , cos β , cos γ · z og OM → = (x1, y1, z1). Koordinatformen for skrivning vil have formen n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, så M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Sætningen er bevist.

Herfra får vi, at afstanden fra punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) til planen χ beregnes ved at substituere cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 i venstre side af normalligningen for planet i stedet for x, y, z koordinater x 1, y 1 og z 1, vedrørende punkt M 1, idet der tages den absolutte værdi af den opnåede værdi.

Lad os se på eksempler på at finde afstanden fra et punkt med koordinater til en given plan.

Eksempel 1

Beregn afstanden fra punktet med koordinaterne M 1 (5, - 3, 10) til planet 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Løsning

Lad os løse problemet på to måder.

Den første metode starter med at beregne retningsvektoren for linjen a. Ved betingelse har vi, at den givne ligning 2 x - y + 5 z - 3 = 0 er en ligning for planen generel opfattelse, og n → = (2, - 1, 5) er normalvektoren for den givne plan. Den bruges som retningsvektor for en ret linje a, som er vinkelret på et givet plan. Det er nødvendigt at nedskrive den kanoniske ligning af en linje i rummet, der går gennem M 1 (5, - 3, 10) med en retningsvektor med koordinaterne 2, - 1, 5.

Ligningen bliver x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Skæringspunkter skal bestemmes. For at gøre dette skal du forsigtigt kombinere ligningerne til et system for at flytte fra den kanoniske til ligningerne for to skærende linjer. Lad os tage dette punkt som H 1. Det forstår vi

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Herefter skal du aktivere systemet

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Lad os vende os til den gaussiske systemløsningsregel:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Vi får det H 1 (1, - 1, 0).

Vi beregner afstanden fra et givet punkt til flyet. Vi tager point M 1 (5, - 3, 10) og H 1 (1, - 1, 0) og får

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Den anden løsning er først at bringe den givne ligning 2 x - y + 5 z - 3 = 0 til normalform. Vi bestemmer normaliseringsfaktoren og får 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Herfra udleder vi ligningen for planen 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Venstre side af ligningen beregnes ved at erstatte x = 5, y = - 3, z = 10, og du skal tage afstanden fra M 1 (5, - 3, 10) til 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Vi får udtrykket:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Svar: 2 30.

Når χ-planet er specificeret ved en af ​​metoderne i afsnittet om metoder til at specificere en plan, skal du først opnå ligningen for χ-planen og beregne den nødvendige afstand ved hjælp af en hvilken som helst metode.

Eksempel 2

I tredimensionelt rum angives punkter med koordinaterne M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Beregn afstanden fra M 1 til plan A B C.

Løsning

Først skal du nedskrive ligningen for planet, der passerer gennem de givne tre punkter med koordinaterne M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Det følger heraf, at problemet har en løsning, der ligner den forrige. Det betyder, at afstanden fra punkt M 1 til plan A B C har en værdi på 2 30.

Svar: 2 30.

At finde afstanden fra et givet punkt på et plan eller til et plan, som de er parallelle med, er mere bekvemt ved at anvende formlen M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Heraf får vi, at normalligningerne for planer opnås i flere trin.

Eksempel 3

Find afstanden fra et givet punkt med koordinaterne M 1 (- 3 , 2 , - 7) til koordinatplan Omkring x y z og planet defineret af ligningen 2 y - 5 = 0.

Løsning

Koordinatplanet O y z svarer til en ligning på formen x = 0. For Oy z-planet er det normalt. Derfor er det nødvendigt at erstatte værdierne x = - 3 i venstre side af udtrykket og tage den absolutte værdi af afstanden fra punktet med koordinaterne M 1 (- 3, 2, - 7) til planet. Vi får en værdi lig med - 3 = 3.

Efter transformationen vil normalligningen for planet 2 y - 5 = 0 have formen y - 5 2 = 0. Så kan du finde den nødvendige afstand fra punktet med koordinaterne M 1 (- 3, 2, - 7) til planet 2 y - 5 = 0. Ved at erstatte og beregne, får vi 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Svar: Den nødvendige afstand fra M 1 (- 3, 2, - 7) til O y z har en værdi på 3, og til 2 y - 5 = 0 har en værdi på 5 2 - 2.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Tilbage frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle funktionerne i præsentationen. Hvis du er interesseret dette arbejde, download venligst den fulde version.

Mål:

• generalisering og systematisering af elevernes viden og færdigheder;
• udvikling af færdigheder til at analysere, sammenligne, drage konklusioner.

Udstyr:

• multimedieprojektor;
• computer;
• ark med opgavetekster

KLASSENS FREMSKRIFT

I. Organisatorisk øjeblik

II. Videnopdateringsstadiet(dias 2)

Vi gentager, hvordan afstanden fra et punkt til et plan bestemmes

III. Foredrag(dias 3-15)

I klassen vil vi se på forskellige måder at finde afstanden fra et punkt til et plan.

Første metode: trin-for-trin beregning

Afstand fra punkt M til plan α:
– lig med afstanden til planet α fra et vilkårligt punkt P, der ligger på en ret linje a, som går gennem punktet M og er parallel med planet α;
– er lig med afstanden til planet α fra et vilkårligt punkt P, der ligger på planet β, som går gennem punktet M og er parallelt med planet α.

Vi løser følgende problemer:

№1. I terning A...D 1, find afstanden fra punkt C 1 til plan AB 1 C.

Det er tilbage at beregne værdien af ​​længden af ​​segmentet O 1 N.

№2. I et regulært sekskantet prisme A...F 1, hvor alle kanter er lig med 1, skal du finde afstanden fra punkt A til planet DEA 1.

Næste metode: volumen metode.

Hvis volumenet af pyramiden ABCM er lig med V, så beregnes afstanden fra punkt M til planet α indeholdende ∆ABC ved formlen ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Når vi løser problemer, bruger vi ligheden mellem volumener af en figur, udtrykt på to forskellige måder.

Lad os løse følgende problem:

№3. Kanten AD af pyramiden DABC er vinkelret på basisplanet ABC. Find afstanden fra A til det plan, der går gennem midtpunkterne på kanterne AB, AC og AD, hvis.

Når man løser problemer koordinere metode afstanden fra punkt M til plan α kan beregnes ved hjælp af formlen ρ(M; α) = , hvor M(x 0; y 0; z 0), og planet er givet ved ligningen ax + by + cz + d = 0

Lad os løse følgende problem:

№4. I en enhedsterning A...D 1 skal du finde afstanden fra punkt A 1 til plan BDC 1.

Lad os introducere et koordinatsystem med origo i punkt A, y-aksen vil løbe langs kanten AB, x-aksen langs kanten AD og z-aksen langs kanten AA 1. Derefter koordinaterne for punkterne B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Lad os lave en ligning for et plan, der går gennem punkterne B, D, C 1.

Så – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Derfor er ρ =

Følgende metode, der kan bruges til at løse problemer af denne type, er metode til støtteproblemer.

Ansøgning denne metode består i anvendelse af kendte referenceproblemer, som er formuleret som sætninger.

Lad os løse følgende problem:

№5. I en enhedsterning A...D 1 skal du finde afstanden fra punkt D 1 til plan AB 1 C.

Lad os overveje ansøgningen vektor metode.

№6. I en enhedsterning A...D 1 skal du finde afstanden fra punkt A 1 til plan BDC 1.

Så vi så på forskellige metoder, der kan bruges til at løse denne type problemer. Valget af den ene eller anden metode afhænger af den specifikke opgave og dine præferencer.

IV. Gruppearbejde

Prøv at løse problemet på forskellige måder.

№1. Kanten på terningen A...D 1 er lig med . Find afstanden fra toppunkt C til plan BDC 1.

№2. I almindelig tetraeder ABCD med en kant, find afstanden fra punkt A til planen BDC

№3. I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lig med 1, skal du finde afstanden fra A til planet BCA 1.

№4. I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, skal du finde afstanden fra A til planet SCD.

V. Lektionsopsummering, lektier, refleksion

Online lommeregner.
Beregning af afstanden fra et punkt til et fly

Denne online-beregner beregner afstandene fra et punkt til et plan angivet i formularen generel ligning fly:
$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

En online lommeregner til at beregne afstanden fra et punkt til et fly giver ikke kun svaret på problemet, den giver detaljeret løsning med forklaringer, dvs. viser løsningsprocessen for at teste viden i matematik og/eller algebra.

Denne online lommeregner kan være nyttig for gymnasieelever gymnasier som forberedelse til tests og eksamener, når de tester viden før Unified State Exam, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have lavet dine matematik- eller algebra-lektier så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger.

På den måde kan du gennemføre din egen træning og/eller træning af dine yngre brødre eller søstre, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for problemløsning stiger.

Vores online lommeregner giver ikke kun svaret på problemet, men viser også løsningsprocessen trin for trin. Som et resultat vil du være i stand til at forstå processen med at løse problemer for at finde afstanden fra et punkt til et fly.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af tal, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Regler for indtastning af tal

Tal kan indtastes som hele eller brøktal.
I øvrigt, brøktal kan indtastes ikke kun som en decimal, men også som en almindelig brøk.

Regler for indtastning af decimalbrøker.
I decimalbrøker kan brøkdelen adskilles fra hele delen med enten et punktum eller et komma.
Du kan f.eks. indtaste decimaler sådan her: 2,5 eller sådan 1,3

Regler for indtastning af almindelige brøker.
Kun et helt tal kan fungere som tæller, nævner og heltals del af en brøk.

Nævneren kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et divisionstegn: /
Indgang: -2/3
Resultat: \(-\frac(2)(3)\)

Hele delen er adskilt fra brøken med et og-tegn: &
Indgang: -1&5/7
Resultat: \(-1\frac(5)(7)\)

x+

y+

z+ =0

M(

;

;

)

Beregn afstanden fra et punkt til et plan

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om få sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Normalplanligning. Afstand fra et punkt til et fly.

Lad et rektangulært koordinatsystem Oxyz og et vilkårligt plan \(\pi \) angives (se figur).

Lad os tegne en ret linje gennem origo, vinkelret på planet \(\pi\). Lad os kalde det normalt. Lad os med P betegne det punkt, hvor normalen skærer planet \(\pi\). På normalen introducerer vi retningen fra punkt O til punkt P. Hvis punkt O og P falder sammen, så tager vi en af ​​de to retninger på normalen. Lad \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) være de vinkler, som den rettede normal laver med koordinatakserne; p er længden af ​​segmentet OP.

Lad os udlede ligningen for denne plan \(\pi \), idet vi antager, at tallene \(\cos\alpha, \; \cos\beta, \; \cos\gamma \) og p er kendte. For at gøre dette introducerer vi en enhedsvektor n på normalen, hvis retning falder sammen med normalens positive retning. Da n er en enhedsvektor, altså
\(\begin(array)(lr) \vec(n) = (\cos\alpha; \;\; \cos\beta; \;\; \cos\gamma) & \qquad\qquad (5) \end (array)\)

Lad M (x; y; z) være et vilkårligt punkt. Den ligger på planet \(\pi \), hvis og kun hvis projektionen af ​​vektoren OM på normalen er lig med p, dvs.
$$ \begin(array)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = p & (6) \end(array) $$

Bemærk nu, at \(Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) \) og \(\vec(OM) = (x;\; y; \ ; z) \) Derefter, under hensyntagen til lighed (5)

$$ \begin(array)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) = x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma & (7) \end(array) $$

Ud fra lighederne (6) og (7) får vi, at punktet M(x; y; z) ligger på planet \(\pi \), hvis og kun hvis dets koordinater opfylder ligningen

\(\begin(array)(lr) x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (8) \end(array) \), som er det nødvendige ligning for et givet plan. Planligningen i form (8) kaldes normalplanligningen.

Sætning
Hvis punktet M* har koordinaterne x*, y*, z*, og planet er givet ved normalligningen

\(x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 \) så er afstanden d fra punkt M* til dette plan bestemt af formlen
\(d = |x^* \cos \alpha + y^* \cos\beta + z^* \cos\gamma - p | \)

Lad os nu vise, hvordan man reducerer den generelle planligning til normal form. Lade
\(\begin(array)(lr) Ax+By+Cz+D=0 & \qquad\qquad (11) \end(array) \)
er den generelle ligning for et bestemt plan, og
\(\begin(array)(lr) x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (12) \end(array) \)
er dens normale ligning. Da ligning (11) og (12) definerer den samme plan, så er koefficienterne for disse ligninger ifølge sætningen proportionale. Dette betyder, at hvis vi gange alle led (11) med en eller anden faktor \(\mu\), får vi ligningen
\(\mu Axe + \mu By + \mu Cz + \mu D=0 \)
faldende sammen med ligning (12), dvs. vi har
\(\begin(array)(lr) \mu A = \cos \alpha, \;\; \mu B = \cos\beta, \;\; \mu C = \cos\gamma, \;\; \ mu D = -p & \qquad\qquad (13) \end(array) \)

For at finde faktoren \(\mu \), kvadrerer vi de tre første af ligheder (13) og tilføjer dem; så får vi
\(\mu^2(A^2+B^2+C^2) = \cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos ^2\gamma \)
Men højre side af den sidste lighed er lig med én. Derfor,
$$ \mu = \pm \frac(1)( \sqrt(A^2+B^2+C^2)) $$

Tallet \(\mu\), ved hjælp af hvilket planets generelle ligning omdannes til en normal, kaldes denne lignings normaliserende faktor. Tegnet for \(\mu \) bestemmes af ligheden \(\mu D = -p \), dvs. \(\mu \) har et fortegn modsat tegnet for frileddet i den generelle ligning (11).

Hvis i ligning (11) D=0, så er fortegnet for normaliseringsfaktoren valgt vilkårligt.

Bøger (lærebøger) Abstracts Unified State Examination og OGE-tests online

Ethvert plan i det kartesiske koordinatsystem kan specificeres med ligningen `Ax + By + Cz + D = 0`, hvor mindst et af tallene `A`, `B`, `C` er ikke-nul. Lad et punkt `M (x_0;y_0;z_0)` blive givet, lad os finde afstanden fra det til planet `Ax + By + Cz + D = 0`.

Lad linjen passere gennem punktet "M". vinkelret på planet 'alfa', skærer det i punktet 'K' med koordinaterne "(x; y; z)". Vektor `vec(MK)` er vinkelret på `alfa`-planet, ligesom vektoren `vecn` `(A;B;C)`, dvs. vektorerne `vec(MK)` og `vecn` collineær, `vec(MK)= λvecn`.

Siden "(x-x_0;y-y_0;z-z-0)". og `vecn(A,B,C)`, derefter `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

Punkt "K". ligger i `alfa`-planet (fig. 6), dens koordinater opfylder planens ligning. Vi erstatter `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` i ligningen `Ax+By+Cz+D=0`, vi får

"A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0",

hvorfra `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)'.

Find længden af ​​vektoren `vec(MK)`, som er lig med afstanden fra punktet "M(x_0;y_0;z_0)". til planet `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

Så afstanden `h` fra punktet `M(x_0;y_0;z_0)` til planet `Ax + By + Cz + D = 0` er som følger

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))'.

Brug den geometriske metode til at finde afstanden fra punkt `A` til planet `alpha`, find bunden af ​​den vinkelrette `A A^"`, sænket fra punkt `A` til planet `alpha`. Hvis punkt `A^ "` er placeret uden for sektionen af ​​planet `alfa`, der er angivet i opgaven, så gennem punkt `A` tegnes en lige linje `c`, parallelt med flyet`alpha`, og vælg et mere bekvemt punkt `C` på det, hvis ortogonale projektion er `C^"` hører til denne sektion af `alfa`-planet. Længde af segment `C C^"`vil være lig med den nødvendige afstand fra punkt 'A'til `alfa`-planet.

I et regulært sekskantet prisme "A...F_1", hvis alle kanter er lig med "1", skal du finde afstanden fra punkt "B" til planet "AF F_1".

Lad "O" være midten af ​​prismets nederste base (fig. 7). Den rette linje "BO" er parallel med den rette linje "AF", og derfor er afstanden fra punktet "B" til planet "AF F_1" lig med afstanden "OH" fra punktet "O" til fly `AF F_1`. I trekanten 'AOF' har vi 'AO=OF=AF=1'. Højden "OH" af denne trekant er "(sqrt3)/2". Derfor er den nødvendige afstand `(sqrt3)/2`.

Lad os vise en anden vej (ekstra volumen metode) at finde afstanden fra et punkt til et plan. Det er kendt, at volumenet af pyramiden `V` , arealet af dens base 'S'og højdelængde `h`er forbundet med formlen "h=(3V)/S". Men længden af ​​højden af ​​en pyramide er intet mere end afstanden fra dens top til bundens plan. Derfor, for at beregne afstanden fra et punkt til et plan, er det nok at finde volumen og arealet af bunden af ​​en eller anden pyramide med spidsen på dette punkt og med bunden liggende i dette plan.

Givet et regulært prisme `A...D_1`, hvor `AB=a`, `A A_1=2a`. Find afstanden fra skæringspunktet for diagonalerne for basen `A_1B_1C_1D_1` til planet `BDC_1`.

Overvej tetraederet `O_1DBC_1` (fig. 8). Den påkrævede afstand "h" er længden af ​​højden af ​​dette tetraeder, sænket fra punktet "O_1" til planen af ​​fladen "BDC_1" . For at finde det er det nok at kende volumen 'V'tetraeder `O_1DBC_1` og område trekant "DBC_1".. Lad os beregne dem. Bemærk den lige linje 'O_1C_1' vinkelret på planet 'O_1DB', fordi den er vinkelret på `BD` og "B B_1". . Dette betyder, at volumenet af tetraederet er `O_1DBC_1` lige med