Et legeme opnået ved at dreje en retvinklet trekant rundt om en ret linje. Revolutionens kroppe og overflader. Visuel guide (2019)

Opgave 16 Unified State Exam 2015. Rotationsorganer.

Ivanova E.N.

MBOU Secondary School nr. 8, Kamensk-Shakhtinsky

Linjestykke AB c, parallelt med dette segment og adskilt fra det med en afstand lig med 2. Find arealet af omdrejningsfladen.

Svar. Den nødvendige omdrejningsflade er den laterale overflade af en cylinder, hvis basisradius er lig med 2, generatricen er lig med 1. Arealet af denne overflade er lig med 4.

Linjestykke AB længde 1 roterer rundt om en ret linje c, vinkelret på dette segment og placeret i en afstand fra dets nærmeste ende EN i en afstand lig med 2 (lige AB Og Med ligge i samme plan). Find overfladearealet af revolution.

Svar. Den nødvendige overflade er en ring, hvis indre radius er 2, og den ydre radius er 3. Arealet af denne ring er 5.

Linjestykke AB c, vinkelret på dette segment og passerer gennem dets midte. Find overfladearealet af revolution.

Svar. Den nødvendige overflade er en cirkel med radius 1. Dens areal er lig med.

Linjestykke AB længde 2 roterer rundt om en ret linje c EN. Find overfladearealet af revolution.

Linjestykke AB c, vinkelret på dette segment og passerer gennem punktet C, dividere dette segment i forholdet 1:2. Find overfladearealet af revolution.

Svar. Den nødvendige overflade er en cirkel med radius 2. Dens areal er 4.

Linjestykke AB længde 2 roterer rundt om en ret linje c, der passerer gennem punktet EN og danner en vinkel på 30° med dette segment. Find overfladearealet af revolution.

Svar. Den nødvendige overflade er den laterale overflade af en kegle, hvis generatrix er lig med 2, basens radius er lig med 1. Dens areal er lig med 2.

Linjestykke AB længde 3 roterer rundt om en lige linje c, der passerer gennem punktet EN og fjernt fra punktet B til en afstand lig med 2. Find arealet af omdrejningsfladen.

Svar. Den nødvendige overflade er den laterale overflade af en kegle, hvis generatrix er lig med 3, basens radius er lig med 2. Dens areal er lig med 6.

Linjestykke AB længde 2 roterer rundt om en ret linje c, der passerer gennem midten af ​​dette segment og danner en vinkel på 30 grader med det. Find overfladearealet af revolution.

Svar. Den nødvendige overflade er sammensat af to laterale overflader af kegler, hvis generatorer er lig med 1, og radierne af baserne er 0,5. Dens areal er lige stor.

Linjestykke AB længde 3 roterer rundt om en lige linje c, der passerer gennem punktet C, dividere dette segment i forholdet 1:2 og danne en vinkel på 30 grader med det. Find overfladearealet af revolution.

Svar. Den nødvendige overflade er sammensat af to sideflader af kegler, hvis generatorer er lig med 2 og 1, og basernes radier er lig med henholdsvis 1 og 0,5. Dens areal er 2,5.

Linjestykke AB længde 3 roterer rundt om en lige linje c, liggende med den i samme plan og med afstand fra enderne EN Og B henholdsvis i afstand 1 og 2. Find arealet af omdrejningsfladen.

Svar. Den krævede overflade er den laterale overflade af en trunkeret kegle, hvis generatrix er lig med 3, radierne af baserne er lig med 1 og 2. Dens areal er lig med 9.

Linjestykke AB længde 2 roterer rundt om en ret linje c, liggende med den i samme plan, med afstand fra den nærmeste ende EN til en afstand lig med 1 og danner en vinkel på 30° med dette segment. Find overfladearealet af revolution.

Svar. Den krævede overflade er den laterale overflade af en afkortet kegle, hvis generatrix er lig med 2, radierne af baserne er lig med 1 og 2. Dens areal er lig med 6.

Find det laterale overfladeareal af en cylinder opnået ved at dreje en enhedsfirkant ABCD omkring en lige linje AD .

Svar. Den nødvendige cylinder er vist på figuren. Radius af dens base og generatrix er lig med 1. Det laterale overfladeareal af denne cylinder er lig med 2.

Find overfladearealet af rotation af et rektangel ABCD med parterne AB = 4, BC = 3 omkring en lige linje AB Og CD .

Svar. Det ønskede legeme er en cylinder, hvis basisradius er 2, og dens generatrix er 3. Dens overfladeareal er 20.

Find overfladearealet af et legeme opnået ved at rotere en enhedsfirkant ABCD omkring en lige linje A.C. .

Svar. Det ønskede omdrejningslegeme er foreningen af ​​to kegler, hvis radier og højder er lige store. Dens overfladeareal er ens.

Find overfladearealet af kroppen opnået ved rotation retvinklet trekant ABC med ben AC=BC= 1 omkring en lige linje A.C. .

Svar. Den ønskede kegle er vist på figuren. Radius af dens base er 1, og dens generator er lig med. Overfladearealet af denne kegle er ens.

Find det samlede overfladeareal af en krop opnået ved at dreje en ligesidet trekant ABC med side 1 omkring linjen, der indeholder halveringslinjen CD denne trekant.

Svar. Den ønskede kegle er vist på figuren. Radius af dens base er 0,5, og dens generatrix er 1. Det samlede overfladeareal af denne kegle er 3/4.

Find overfladearealet af omdrejning af en ligesidet trekant ABC med side 1 omkring en lige linje AB .

Svar. Det ønskede rotationslegeme er sammensat af to kegler med en fælles base, hvis radius er ens, og højden er 0,5. Dens overfladeareal er ens.

Find volumen af ​​rotationslegemet af en ligebenet trapez ABCD med sider AD Og B.C., lig med 1, og baser AB Og CD, lig med henholdsvis 2 og 1 rundt om den lige linje AB .

Svar. Det ønskede rotationslegeme er en cylinder med en basisradius og en højde på 1, på hvis basis kegler er bygget med en højde på 0,5. Dens volumen er lige stor.

Find volumen af ​​omdrejningslegemet af en rektangulær trapez ABCD med grunde AB Og CD, lig med henholdsvis 2 og 1, med en mindre side lig med 1 omkring den lige linje AB .

Svar. Det nødvendige omdrejningslegeme er en cylinder med en basisradius og højde lig med 1, på grundlag af hvilken en kegle er bygget, højde 1. Dens volumen er lig med.

Find rumfanget af et rotationslegeme af en regulær sekskant ABCDEF med side 1 omkring en lige linje AD .

Svar. Det ønskede rotationslegeme består af en cylinder, hvis basisradius er ens, og hvis højde er 1, og to kegler med basis med radius og højde 0,5. Dens volumen er lige stor.

ABCDEF, vist på figuren og sammensat af tre enhedskvadrater, rundt om en lige linje A.F. .

Svar. Det ønskede omdrejningslegeme består af to cylindre med baser med radius 2 og 1, højde 1. Dens volumen er 5.

Find rumfanget af et omdrejningslegeme af en polygon ABCDEFGH, vist på figuren og sammensat af fire enhedskvadrater, omkring en lige linje c passerer gennem sidernes midtpunkter AB Og E.F. .

Svar. Det ønskede rotationslegeme er sammensat af to cylindre med en højde på 1 og basisradier på 1,5 og 0,5. Dens volumen er 2,5.

Find rumfanget af et omdrejningslegeme af en polygon ABCDEFGH, vist på figuren og sammensat af fem enhedskvadrater, omkring en lige linje c passerer gennem sidernes midtpunkter AB Og E.F. .

Svar. 1. Det ønskede omdrejningslegeme er en cylinder med en basisradius på 1,5 og en højde på 2, hvorfra der udskæres en cylinder med en basisradius på 0,5 og en højde på 1. Dens volumen er 4,25.

Find rumfanget af et rotationslegeme af en enhedsterning ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 omkring en lige linje A.A. 1 .

Svar. Det ønskede omdrejningslegeme er en cylinder, hvis radius er lig med, og hvis højde er lig med 1. Dens volumen er lig med 2.

Find volumen af ​​rotationslegemet af et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C A.A. 1 .

Svar. Det ønskede rotationslegeme er en cylinder, hvis radius og højde er lig med 1. Dens volumen er lig med.

Find rumfanget af et omdrejningslegeme af et regulært sekskantet prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, hvor alle kanter er lig med 1, rundt om en linje A.A. 1 .

Svar. Det ønskede omdrejningslegeme er en cylinder, hvis radius er lig med 2, og højden er lig med 1. Dens volumen er lig med 4.

Find rumfanget af et omdrejningslegeme i en regulær firkantet pyramide SABCD, hvis alle kanter er lig med 1, omkring en linje Med indeholdende højden SH denne pyramide.

Svar. Det ønskede omdrejningslegeme er en kegle, hvis basisradius og højde er ens.

Dens volumen er lige stor.

Find volumenet af rotationslegemet af en enhedstetraeder ABCD rundt om ribben AB .

Svar. 1. Det ønskede rotationslegeme er sammensat af to kegler med en fælles base med radius og højde på 0,5. Dens volumen er 0,25.

Find volumen af ​​omdrejningslegemet af et regulært oktaeder S'ABCDS" omkring en lige linje S"S" .

Svar. Det ønskede omdrejningslegeme består af to kegler med en fælles radius og lige høje. Dens volumen er lige stor.

Alle dihedrale vinkler af polyederet vist på figuren er lige. Find volumen af ​​omdrejningslegemet af dette polyeder omkring en linje AD .

Svar. Det ønskede rotationslegeme er en cylinder, hvis radius er lig med og højden er lig med 2. Dens volumen er lig med 10.

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra regerings kontorer på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Lad T være et omdrejningslegeme dannet ved rotation omkring abscisseaksen buet trapez, placeret i det øverste halvplan og begrænset af abscisseaksen, rette linjer x=a og x=b og grafen for den kontinuerte funktion y=f(x).

Lad os bevise, at dette er omdrejningslegemet er terninger, og dets volumen er udtrykt ved formlen

V=\pi \int\grænser_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\grænser_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Først beviser vi, at dette omdrejningslegeme er regulært, hvis vi vælger Oyz-planet vinkelret på rotationsaksen som \Pi. Bemærk, at sektionen placeret i en afstand x fra planet Oyz er en cirkel med radius f(x) og dens areal S(x) er lig med \pi f^2(x) (fig. 46). Derfor er funktionen S(x) kontinuert på grund af kontinuiteten af ​​f(x). Dernæst hvis S(x_1)\leqslant S(x_2), så betyder det at . Men projektionerne af sektionerne på planet Oyz er cirkler med radius f(x_1) og f(x_2) med centrum O, og fra f(x_1)\leqslant f(x_2) det følger, at en cirkel med radius f(x_1) er indeholdt i en cirkel med radius f(x_2) .

Så revolutionens krop er regulær. Derfor er den i terninger, og dens volumen beregnes ved formlen

V=\pi \int\grænser_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\grænser_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Hvis en buet trapez var afgrænset både under og over af kurverne y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), så

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Formel (3) kan også bruges til at beregne volumenet af et omdrejningslegeme i det tilfælde, hvor grænsen for en roterende figur er specificeret ved parametriske ligninger. I dette tilfælde skal du bruge en ændring af variabel under det bestemte integraltegn.

I nogle tilfælde viser det sig at være praktisk at nedbryde rotationslegemer ikke i lige cirkulære cylindre, men til figurer af en anden type.

Lad os f.eks. finde volumen af ​​et legeme opnået ved at dreje en buet trapez om ordinataksen. Lad os først finde volumen opnået ved at dreje et rektangel med højden y#, ved hvis basis ligger segmentet . Dette volumen er lig med forskellen i volumen af ​​to lige cirkulære cylindre

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Men nu er det klart, at det nødvendige volumen estimeres ovenfra og nedenfra som følger:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Det følger let herfra formel for rumfanget af et omdrejningslegeme omkring ordinataksen:

V=2\pi \int\grænser_(a)^(b) xy\,dx\,.

Eksempel 4. Lad os finde rumfanget af en kugle med radius R.

Løsning. Uden tab af generalitet vil vi betragte en cirkel med radius R med centrum i origo. Denne cirkel, der roterer omkring Ox-aksen, danner en kugle. Ligningen for en cirkel er x^2+y^2=R^2, så y^2=R^2-x^2. Under hensyntagen til cirklens symmetri i forhold til ordinataksen finder vi først halvdelen af ​​det nødvendige volumen

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \venstre.(\pi\!\venstre(R^2x- \frac(x^3)(3)\højre))\højre|_(0)^(R)= \pi\ !\venstre(R^3- \frac(R^3)(3)\højre)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Derfor er volumen af ​​hele bolden lig med \frac(4)(3)\pi R^3.

Eksempel 5. Beregn rumfanget af en kegle, hvis højde h og basisradius r.

Løsning. Lad os vælge et koordinatsystem, så Ox-aksen falder sammen med højden h (fig. 47), og tage keglens toppunkt som koordinaternes oprindelse. Så vil ligningen for den rette linje OA blive skrevet på formen y=\frac(r)(h)\,x.

Ved hjælp af formel (3) får vi:

V=\pi \int\grænser_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\grænser_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \venstre.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Eksempel 6. Lad os finde volumen af ​​kroppen opnået ved at rotere omkring x-aksen af ​​astroid \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Fig. 48).

Løsning. Lad os bygge en astroid. Lad os overveje halvdelen af ​​den øvre del af astroid, placeret symmetrisk i forhold til ordinataksen. Ved at bruge formel (3) og ændre variablen under det bestemte integraltegn, finder vi grænserne for integrationen for den nye variabel t.

Hvis x=a\cos^3t=0 , så t=\frac(\pi)(2) , og hvis x=a\cos^3t=a , så t=0 . I betragtning af at y^2=a^2\sin^6t og dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, vi får:

V=\pi \int\grænser_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\grænser_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Volumenet af hele kroppen dannet af astroidens rotation vil være \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Eksempel 7. Lad os finde volumen af ​​legemet opnået ved at rotere omkring ordinataksen af ​​en krumt trapez afgrænset af x-aksen og den første bue af cykloiden \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Løsning. Lad os bruge formel (4): V=2\pi \int\grænser_(a)^(b)xy\,dx, og udskift variablen under integraltegnet under hensyntagen til, at den første bue af cykloiden dannes, når variablen t ændres fra 0 til 2\pi. Dermed,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\grænser_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \venstre.(2\pi a^3\!\venstre(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\venstre(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end(justeret)

En cylinder (mere præcist, en cirkulær cylinder) er et legeme, der består af to cirkler, kombineret ved parallel translation, og alle de segmenter, der forbinder de tilsvarende punkter i disse cirkler. Cirkler kaldes baser

cylinder, og segmenterne, der forbinder de tilsvarende punkter i cirklerne, er cylinderens generatorer. Figur 156 viser en cylinder. Cirkler med centre O er dens baser, der danner den.

Det kan bevises, at cylinderens bund er ens og ligger i parallelle planer, at cylinderens generatorer er parallelle og lige store. Cylinderens overflade består af bund- og sidefladen. Den laterale overflade er sammensat af generatrices.

En cylinder kaldes lige, hvis dens generatorer er vinkelret på basernes planer. Figur 155, b viser en skrå cylinder, og figur 155, a - en lige.

I det følgende vil vi kun overveje den lige cylinder og kalde det blot en cylinder for kortheds skyld. Det kan betragtes som et legeme opnået ved at dreje et rektangel rundt om en af ​​dets sider som en akse (fig. 156).

Radius af en cylinder er radius af dens base. Cylinderens højde er afstanden mellem basernes planer. En cylinders akse er en lige linje, der går gennem midten af ​​baserne. Den er parallel med generatorerne. Tværsnittet af en cylinder med et plan, der går gennem cylinderaksen, kaldes et aksialt snit. Planet, der passerer gennem generatrixen af ​​en lige cylinder og vinkelret på det aksiale snit trukket gennem denne generatrix, kaldes cylinderens tangentplan.

I figur 157 passerer sektionen gennem cylinderens OO-akse, dvs. det er et aksialt snit.

Et plan vinkelret på cylinderens akse skærer dens sideflade langs en cirkel svarende til bundens omkreds.

Et prisme indskrevet i en cylinder er et prisme, hvis baser er lige store polygoner indskrevet i cylinderens bund. Dens laterale ribber danner cylinderen. Et prisme siges at være omskrevet om en cylinder, hvis dets baser er lige store polygoner omskrevet omkring cylinderens bund. Planerne af dens flader rører ved cylinderens sideflade.

Figur 158 viser et prisme indskrevet i en cylinder. I figur 159 er et prisme beskrevet nær en cylinder.

Eksempel. Indskriv et regulært firkantet prisme i cylinderen.

Løsning. 1) Indskriv en firkant ABCD i bunden af ​​cylinderen (fig. 158).

2) Lad os tegne generatorerne

3) Gennem tilstødende par af disse generatorer tegner vi planer, der skærer den øvre base langs akkorder

4) Det ønskede prisme (ifølge definitionerne af et regulært og indskrevet prisme).

53. Kegle.

En kegle (mere præcist, en cirkulær kegle) er en krop, der består af en cirkel - keglens bund, et punkt, der ikke ligger i denne cirkels plan - toppen af ​​keglen og alle de segmenter, der forbinder toppen af ​​keglen. kegle med spidserne af basen. Segmenterne, der forbinder keglens toppunkt med basiscirklens punkter, kaldes keglens generatorer. Keglens overflade består af en base og en sideflade. Figur 160a viser en cirkulær kegle. S er keglens toppunkt, en cirkel med centrum i punktet O er keglens bund, SA, SB og SC er keglens generatorer.

En kegle kaldes lige, hvis den lige linje, der forbinder toppen af ​​keglen med midten af ​​bunden, er vinkelret på bundens plan. Figur 160, b viser en skrå kegle, og figur 160, a - en lige. I det følgende vil vi kun overveje den lige kegle, og kalde det blot en kegle for kortheds skyld. En ret cirkulær kegle kan betragtes som en krop opnået ved at dreje en retvinklet trekant rundt om dens ben som en akse (fig. 161).

Højden af ​​en kegle er vinkelret nedad fra dens top til bundens plan. For en lige kegle falder bunden af ​​højden sammen med midten af ​​bunden. En højre kegles akse er den rette linje, der indeholder dens højde.

Sektionen af ​​en kegle af et plan, der passerer gennem dens akse, kaldes en aksial sektion. Planet, der går gennem keglens generatrix og vinkelret på det aksiale snit trukket gennem denne generatrix, kaldes keglens tangentplan.

Figur 162 viser en sektion af en kegle, der passerer gennem dens akse - den aksiale sektion af keglen.

Et plan vinkelret på keglens akse skærer keglen i en cirkel, og sidefladen - langs en cirkel med centrum på keglens akse.

Et plan vinkelret på keglens bund afskærer en mindre kegle fra den. Den resterende del kaldes en keglestub (fig. 163).

En pyramide indskrevet i en kegle er en pyramide, hvis basis er en polygon indskrevet i cirklen af ​​keglens bund, og hvis top er keglens toppunkt. Sidekanterne af en pyramide indskrevet i en kegle danner keglen. En pyramide siges at være omskrevet om en kegle, hvis dens basis er en polygon omkranset omkring keglens bund, og dens top falder sammen med keglens toppunkt. Planerne af sidefladerne af den beskrevne pyramide er tangentplaner for keglen.

Figur 164 viser en pyramide indskrevet i en kegle, og figur 165 viser en kegle indskrevet i en pyramide, det vil sige en pyramide omkranset omkring en kegle.

54. Bold.

En bold er et legeme, der består af alle punkter i rummet placeret i en afstand, der ikke er større end

givet, fra et givet punkt. Dette punkt kaldes kuglens centrum, og denne afstand kaldes kuglens radius. Figur 166 viser en kugle med et centrum i et punkt med radius B. Bemærk at punkterne hører til denne kugle. Grænsen for en bold kaldes en sfærisk overflade eller kugle. I figur 166 hører punkterne A, B og D til kuglen, men f.eks. hører punkt M ikke til den. Således er "sfærepunkterne" alle punkter på bolden, der fjernes fra midten i en afstand svarende til radius. Ethvert segment, der forbinder midten af ​​en kugle til et punkt på den sfæriske overflade, kaldes også en radius. Segmentet, der forbinder to dele af den sfæriske overflade og passerer gennem midten af ​​bolden kaldes diameteren. Enderne af enhver diameter kaldes diametralt modsatte punkter på bolden.

En bold, ligesom en cylinder og en kegle, er et legeme af revolution. Den opnås ved at dreje en halvcirkel omkring dens to meter lange akse (fig. 167).

Hver sektion af en kugle ved et fly er en cirkel. Centrum af denne cirkel er bunden af ​​den vinkelrette trukket fra midten af ​​kuglen til skæreplanet.

Hvis en kugle med centrum O og radius R skæres af et plan, så fås i snittet ifølge T. 3.5 en cirkel med radius. center K. Radius af kuglens snit ved planet kan beregnes ved hjælp af formlen

Ud fra formlen er det klart, at planer lige langt fra midten skærer bolden i lige store cirkler. Sektionens radius er større, jo tættere skæreplanet er på midten af ​​kuglen, dvs. jo mindre afstanden er OK. Den største radius har et snit af et plan, der går gennem midten af ​​bolden. Radius af denne cirkel er lig med kuglens radius.

Planet, der passerer gennem midten af ​​bolden, kaldes centerplanet. Udsnittet af en kugle ved diametralplanet kaldes en storcirkel, og udsnittet af en kugle kaldes en storcirkel. I figur 168 er plan a diametralplanet, cirklen med radius K er kuglens storcirkel, og den tilsvarende cirkel er storcirklen.

Ethvert diametralt plan af en kugle er dens symmetriplan. Kuglens centrum er dens symmetricentrum.

Planet, der går gennem punkt A på den sfæriske overflade og vinkelret på radius tegnet til punkt A, kaldes tangentplanet. Punkt A kaldes kontaktpunktet (fig. 169).

Tangentplanet har kun ét fælles punkt med bolden - kontaktpunktet.

En ret linje, der går gennem punkt A på en sfærisk overflade vinkelret på radius tegnet til dette punkt, kaldes en tangent (fig. 169).

Et uendeligt antal tangenter passerer gennem ethvert punkt på den sfæriske overflade, og de ligger alle i kuglens tangentplan.

Et sfærisk segment er den del af en kugle, der er afskåret fra det af et fly. Det sfæriske lag er den del af bolden, der er placeret

mellem to parallelle planer, der skærer bolden (fig. 170).

En sfærisk sektor opnås fra et sfærisk segment og en coius som følger. Hvis et sfærisk segment er mindre end en halvkugle, så suppleres det sfæriske segment af en kegle, hvis toppunkt er i midten af ​​bolden, og basen er bunden af ​​segmentet. Hvis segmentet er større end en halvkugle, fjernes den angivne kegle fra den (fig. 171).