Stjerne nyheder
Tilføjelse af brøker med en fællesnævner. Fratræk brøker med forskellige nævnere. Tilføjelse og subtrahering af almindelige brøker
Tilføjelse af brøker med ens nævnere
Der er to typer addition af fraktioner:
- Tilføjelse af brøker med ens nævnere
- Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere
Lad os først lære at tilføje brøker med ens nævnere. Alt er enkelt her. For at tilføje brøker med de samme nævnere, skal du tilføje deres tællere og lade nævneren være uændret. Lad os f.eks. tilføje brøkerne og . Tilføj tællere og lad nævneren være uændret:
Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker pizzaen, som er opdelt i fire dele. Tilføjer du pizza til pizza, får du pizza:
Eksempel 2. Tilføj brøker og .
Svaret viste sig at være en upassende brøk. Når slutningen af opgaven kommer, er det sædvanligt at slippe af med ukorrekte fraktioner. Slippe af med ukorrekt fraktion, skal du vælge en hel del af den. I vores tilfælde hele delen skiller sig let ud - to divideret med to er lig med en:
Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker om en pizza, der er opdelt i to dele. Tilføjer du mere pizza til pizzaen, får du en hel pizza:
Eksempel 3. Tilføj brøker og .
Igen lægger vi tællerne sammen og lader nævneren være uændret:
Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker pizzaen, som er opdelt i tre dele. Tilføjer du mere pizza til pizzaen, får du pizza:
Eksempel 4. Find værdien af et udtryk 
Dette eksempel er løst på nøjagtig samme måde som de foregående. Tællerne skal tilføjes og nævneren forblive uændret:
Lad os prøve at skildre vores løsning ved hjælp af en tegning. Tilføjer du pizzaer til en pizza og tilføjer flere pizzaer, får du 1 hel pizza og flere pizzaer.
Som du kan se, er der ikke noget kompliceret ved at tilføje brøker med de samme nævnere. Det er nok at forstå følgende regler:
- For at tilføje brøker med samme nævner, skal du tilføje deres tællere og lade nævneren være uændret;
Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere
Lad os nu lære, hvordan man tilføjer brøker med forskellige nævnere. Ved sammenlægning af brøker skal nævnerne for brøkerne være de samme. Men de er ikke altid ens.
For eksempel kan brøker tilføjes, fordi de har de samme nævnere.
Men brøker kan ikke tilføjes med det samme, da disse brøker har forskellige nævnere. I sådanne tilfælde skal brøker reduceres til samme (fælles)nævner.
Der er flere måder at reducere brøker til den samme nævner. I dag vil vi kun se på en af dem, da de andre metoder kan virke komplicerede for en begynder.
Essensen af denne metode er, at først LCM for nævnerne af begge fraktioner søges. LCM divideres derefter med nævneren af den første brøk for at opnå den første yderligere faktor. De gør det samme med den anden brøk - LCM divideres med nævneren af den anden brøk, og en anden yderligere faktor opnås.
Brøkernes tællere og nævnere ganges derefter med deres yderligere faktorer. Som et resultat af disse handlinger konverteres brøker, der havde forskellige nævnere, til brøker, der har de samme nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man tilføjer sådanne brøker.
Eksempel 1. Lad os tilføje brøkerne og
Først og fremmest finder vi det mindste fælles multiplum af nævnerne i begge brøker. Nævneren i den første brøk er tallet 3, og nævneren i den anden brøk er tallet 2. Det mindste fælles multiplum af disse tal er 6
LCM (2 og 3) = 6
Lad os nu vende tilbage til brøker og . Først divideres LCM med nævneren af den første brøk og få den første ekstra faktor. LCM er tallet 6, og nævneren i den første brøk er tallet 3. Divider 6 med 3, så får vi 2.
Det resulterende tal 2 er den første ekstra multiplikator. Vi skriver det ned til den første brøk. For at gøre dette skal du lave en lille skrå linje over brøken og skrive den ekstra faktor, der findes over den:
Vi gør det samme med den anden brøk. Vi dividerer LCM med nævneren af den anden brøk og får den anden ekstra faktor. LCM er tallet 6, og nævneren i den anden brøk er tallet 2. Divider 6 med 2, så får vi 3.
Det resulterende tal 3 er den anden ekstra multiplikator. Vi skriver det ned til den anden brøk. Igen laver vi en lille skrå linje over den anden brøk og nedskriver den ekstra faktor, der findes over den:
Nu har vi alt klar til tilføjelse. Det er tilbage at gange brøkernes tællere og nævnere med deres yderligere faktorer:
Se nøje på, hvad vi er kommet til. Vi kom til den konklusion, at brøker, der havde forskellige nævnere, blev til brøker, der havde samme nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man tilføjer sådanne brøker. Lad os tage dette eksempel til slutningen:
Dette fuldender eksemplet. Det viser sig at tilføje .
Lad os prøve at skildre vores løsning ved hjælp af en tegning. Tilføjer du pizza til en pizza, får du en hel pizza og en anden sjettedel af en pizza:
Reduktion af brøker til den samme (fælles)nævner kan også afbildes ved hjælp af et billede. Ved at reducere brøkerne og til en fællesnævner fik vi brøkerne og . Disse to fraktioner vil være repræsenteret af de samme stykker pizza. Den eneste forskel vil være, at de denne gang bliver delt i lige store andele (reduceret til samme nævner).
Den første tegning repræsenterer en brøk (fire stykker ud af seks), og den anden tegning repræsenterer en brøkdel (tre stykker ud af seks). Tilføjelse af disse stykker får vi (syv stykker ud af seks). Denne fraktion er ukorrekt, så vi fremhævede hele delen af den. Som et resultat fik vi (en hel pizza og en anden sjette pizza).
Bemærk venligst, at vi har beskrevet dette eksempel for meget detaljeret. I uddannelsesinstitutioner Det er ikke sædvanligt at skrive så detaljeret. Du skal hurtigt kunne finde LCM for både nævnere og yderligere faktorer til dem, samt hurtigt gange de fundne yderligere faktorer med dine tællere og nævnere. Mens vi var i skolen, skulle vi skrive dette eksempel som følger:
Men der er også bagsiden medaljer. Hvis du ikke tager detaljerede noter i de første faser af at studere matematik, begynder spørgsmål af den slags at dukke op. "Hvor kommer det tal fra?", "Hvorfor bliver brøker pludselig til helt andre brøker? «.
For at gøre det nemmere at tilføje brøker med forskellige nævnere kan du bruge følgende trinvise instruktioner:
- Find LCM for nævnerne af brøker;
- Divider LCM med nævneren for hver brøk og få en ekstra faktor for hver brøk;
- Multiplicer brøkernes tællere og nævnere med deres yderligere faktorer;
- Tilføj brøker, der har de samme nævnere;
- Hvis svaret viser sig at være en ukorrekt brøk, så vælg hele dens del;
Eksempel 2. Find værdien af et udtryk 
.
Lad os bruge instruktionerne ovenfor.
Trin 1. Find LCM for nævnerne af brøkerne
Find LCM for nævnerne af begge brøker. Nævnerne for brøker er tallene 2, 3 og 4
Trin 2. Divider LCM med nævneren for hver brøk og få en ekstra faktor for hver brøk
Divider LCM med nævneren af den første brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den første brøk er tallet 2. Divider 12 med 2, vi får 6. Vi fik den første ekstra faktor 6. Vi skriver den over den første brøk:
Nu dividerer vi LCM med nævneren af den anden brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den anden brøk er tallet 3. Divider 12 med 3, vi får 4. Vi får den anden yderligere faktor 4. Vi skriver den over den anden brøk:
Nu dividerer vi LCM med nævneren af den tredje brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den tredje brøk er tallet 4. Divider 12 med 4, vi får 3. Vi får den tredje ekstra faktor 3. Vi skriver den over den tredje brøk:
Trin 3. Multiplicer brøkernes tællere og nævnere med deres yderligere faktorer
Vi multiplicerer tællere og nævnere med deres yderligere faktorer:
Trin 4. Tilføj brøker med de samme nævnere
Vi kom til den konklusion, at brøker, der havde forskellige nævnere, blev til brøker, der havde de samme (fælles)nævnere. Tilbage er blot at tilføje disse fraktioner. Tilføj det:
Tilføjelsen passede ikke på én linje, så vi flyttede det resterende udtryk til den næste linje. Dette er tilladt i matematik. Når et udtryk ikke passer på én linje, flyttes det til næste linje, og det er nødvendigt at sætte et lighedstegn (=) i slutningen af den første linje og i begyndelsen af den nye linje. Lighedstegnet på den anden linje indikerer, at dette er en fortsættelse af det udtryk, der var på den første linje.
Trin 5. Hvis svaret viser sig at være en ukorrekt brøk, så vælg hele delen af det
Vores svar viste sig at være en ukorrekt brøkdel. Vi skal fremhæve en hel del af det. Vi fremhæver:
Vi fik svar
At trække brøker fra med ens nævnere
Der er to typer subtraktion af brøker:
- At trække brøker fra med ens nævnere
- At trække brøker fra med forskellige nævnere
Lad os først lære, hvordan man trækker brøker fra med ens nævnere. Alt er enkelt her. For at trække en anden fra en brøk, skal du trække tælleren for den anden brøk fra tælleren i den første brøk, men lade nævneren være den samme.
Lad os f.eks. finde værdien af udtrykket . For at løse dette eksempel skal du trække tælleren for den anden brøk fra tælleren i den første brøk og lade nævneren være uændret. Lad os gøre det:
Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker pizzaen, som er opdelt i fire dele. Hvis du skærer pizzaer fra en pizza, får du pizzaer:
Eksempel 2. Find værdien af udtrykket.
Igen, fra tælleren for den første brøk, trækker du tælleren fra den anden brøk, og lad nævneren være uændret:
Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker pizzaen, som er opdelt i tre dele. Hvis du skærer pizzaer fra en pizza, får du pizzaer:
Eksempel 3. Find værdien af et udtryk 
Dette eksempel er løst på nøjagtig samme måde som de foregående. Fra tælleren for den første brøk skal du trække tællerne for de resterende brøker fra:
Som du kan se, er der ikke noget kompliceret ved at trække brøker fra med de samme nævnere. Det er nok at forstå følgende regler:
- For at trække en anden fra en brøk, skal du trække tælleren for den anden brøk fra tælleren i den første brøk og lade nævneren være uændret;
- Hvis svaret viser sig at være en ukorrekt brøkdel, skal du fremhæve hele delen af det.
At trække brøker fra med forskellige nævnere
For eksempel kan du trække en brøk fra en brøk, fordi brøkerne har de samme nævnere. Men du kan ikke trække en brøk fra en brøk, da disse brøker har forskellige nævnere. I sådanne tilfælde skal brøker reduceres til samme (fælles)nævner.
Fællesnævneren findes ved at bruge det samme princip, som vi brugte, når vi tilføjede brøker med forskellige nævnere. Først og fremmest skal du finde LCM for nævnerne af begge brøker. Derefter divideres LCM med nævneren af den første brøk, og den første yderligere faktor opnås, som er skrevet over den første brøk. På samme måde divideres LCM med nævneren for den anden brøk, og der opnås en anden yderligere faktor, som er skrevet over den anden brøk.
Brøkerne ganges derefter med deres yderligere faktorer. Som et resultat af disse operationer konverteres brøker, der havde forskellige nævnere, til brøker, der har de samme nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man trækker sådanne brøker fra.
Eksempel 1. Find betydningen af udtrykket:
Disse brøker har forskellige nævnere, så du skal reducere dem til den samme (fælles) nævner.
Først finder vi LCM for nævnerne af begge brøker. Nævneren i den første brøk er tallet 3, og nævneren i den anden brøk er tallet 4. Det mindste fælles multiplum af disse tal er 12
LCM (3 og 4) = 12
Lad os nu vende tilbage til brøker og
Lad os finde en ekstra faktor for den første brøk. For at gøre dette skal du dividere LCM med nævneren af den første brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den første brøk er tallet 3. Divider 12 med 3, vi får 4. Skriv en firer over den første brøk:
Vi gør det samme med den anden brøk. Divider LCM med nævneren af den anden brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den anden brøk er tallet 4. Divider 12 med 4, vi får 3. Skriv en treer over den anden brøk:
Nu er vi klar til subtraktion. Det er tilbage at gange brøkerne med deres yderligere faktorer:
Vi kom til den konklusion, at brøker, der havde forskellige nævnere, blev til brøker, der havde samme nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man trækker sådanne brøker fra. Lad os tage dette eksempel til slutningen:
Vi fik svar
Lad os prøve at skildre vores løsning ved hjælp af en tegning. Hvis du skærer pizza fra en pizza, får du pizza
Dette er den detaljerede version af løsningen. Hvis vi var i skole, skulle vi løse dette eksempel kortere. En sådan løsning vil se sådan ud:
Reduktion af brøker til en fællesnævner kan også afbildes ved hjælp af et billede. Reducerer disse brøker til en fællesnævner, fik vi brøkerne og . Disse brøker vil være repræsenteret af de samme pizzaskiver, men denne gang vil de blive opdelt i lige store dele (reduceret til samme nævner):
Det første billede viser en brøk (otte stykker ud af tolv), og det andet billede viser en brøk (tre stykker ud af tolv). Ved at skære tre stykker ud af otte stykker får vi fem stykker ud af tolv. Brøken beskriver disse fem stykker.
Eksempel 2. Find værdien af et udtryk 
Disse brøker har forskellige nævnere, så først skal du reducere dem til den samme (fælles) nævner.
Lad os finde LCM for nævnerne af disse brøker.
Brøkernes nævnere er tallene 10, 3 og 5. Det mindste fælles multiplum af disse tal er 30
LCM(10; 3; 5) = 30
Nu finder vi yderligere faktorer for hver brøkdel. For at gøre dette skal du dividere LCM med nævneren for hver brøk.
Lad os finde en ekstra faktor for den første brøk. LCM er tallet 30, og nævneren for den første brøk er tallet 10. Divider 30 med 10, vi får den første ekstra faktor 3. Vi skriver den over den første brøk:
Nu finder vi en ekstra faktor for den anden fraktion. Divider LCM med nævneren af den anden brøk. LCM er tallet 30, og nævneren for den anden brøk er tallet 3. Divider 30 med 3, vi får den anden ekstra faktor 10. Vi skriver den over den anden brøk:
Nu finder vi en ekstra faktor for den tredje fraktion. Divider LCM med nævneren af den tredje brøk. LCM er tallet 30, og nævneren for den tredje brøk er tallet 5. Divider 30 med 5, vi får den tredje ekstra faktor 6. Vi skriver den over den tredje brøk:
Nu er alt klar til subtraktion. Det er tilbage at gange brøkerne med deres yderligere faktorer:
Vi kom til den konklusion, at brøker, der havde forskellige nævnere, blev til brøker, der havde de samme (fælles)nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man trækker sådanne brøker fra. Lad os afslutte dette eksempel.
Fortsættelsen af eksemplet vil ikke passe på én linje, så vi flytter fortsættelsen til næste linje. Glem ikke lighedstegnet (=) på den nye linje:
Svaret viste sig at være en almindelig brøkdel, og alt ser ud til at passe os, men det er for besværligt og grimt. Vi bør gøre det enklere. Hvad kan gøres? Du kan forkorte denne brøkdel.
For at reducere en brøk skal du dividere dens tæller og nævner med (GCD) af tallene 20 og 30.
Så vi finder gcd af tallene 20 og 30:
Nu vender vi tilbage til vores eksempel og dividerer brøkens tæller og nævner med den fundne gcd, det vil sige med 10
Vi fik svar
At gange en brøk med et tal
For at gange en brøk med et tal, skal du gange brøkens tæller med det tal og lade nævneren være uændret.
Eksempel 1. Gang en brøkdel med tallet 1.
Gang brøkens tæller med tallet 1
Optagelsen kan forstås som at den tager halv 1 gang. Tager du fx pizza én gang, får du pizza
Fra multiplikationslovene ved vi, at hvis multiplikanden og faktoren byttes om, vil produktet ikke ændre sig. Hvis udtrykket er skrevet som , så vil produktet stadig være lig med . Igen fungerer reglen for at gange et helt tal og en brøk:
Denne notation kan forstås som at tage halvdelen af en. For eksempel, hvis der er 1 hel pizza, og vi tager halvdelen af den, vil vi have pizza:
Eksempel 2. Find værdien af et udtryk
Gang brøkens tæller med 4
Svaret var en upassende brøk. Lad os fremhæve hele delen af det:
Udtrykket kan forstås som at det tager to kvarter 4 gange. Tager du for eksempel 4 pizzaer, får du to hele pizzaer
Og hvis vi bytter multiplikanten og multiplikatoren, får vi udtrykket . Det vil også være lig med 2. Dette udtryk kan forstås som at tage to pizzaer fra fire hele pizzaer:
Tallet, der ganges med brøken og nævneren af brøken, opløses, hvis de har fælles divisor, større end én.
For eksempel kan et udtryk evalueres på to måder.
Første vej. Gang tallet 4 med brøkens tæller, og lad brøkens nævner være uændret:
Anden vej. De fire ganges og de fire i brøkens nævner kan reduceres. Disse firere kan reduceres med 4, da den største fælles divisor for to firere er de fire selv:
Vi fik det samme resultat 3. Efter at have reduceret firerne, dannes der nye tal i deres sted: to enere. Men at gange en med tre og derefter dividere med en ændrer ikke noget. Derfor kan løsningen kort skrives:
Reduktionen kan udføres, selv når vi besluttede at bruge den første metode, men på tidspunktet for at gange tallet 4 og tælleren 3 besluttede vi at bruge reduktionen:
Men for eksempel kan udtrykket kun beregnes på den første måde - gange 7 med nævneren af brøken, og lad nævneren være uændret:
Dette skyldes, at tallet 7 og brøkens nævner ikke har en fælles divisor, der er større end én, og derfor ikke annullerer.
Nogle elever forkorter fejlagtigt tallet, der ganges, og tælleren for brøken. Du kan ikke gøre dette. For eksempel er følgende indtastning ikke korrekt:
At reducere en brøk betyder det både tæller og nævner vil blive divideret med det samme tal. I situationen med udtrykket udføres division kun i tælleren, da at skrive dette er det samme som at skrive . Vi ser, at division kun udføres i tælleren, og der sker ingen division i nævneren.
Multiplikation af brøker
For at gange brøker skal du gange deres tællere og nævnere. Hvis svaret viser sig at være en ukorrekt brøkdel, skal du fremhæve hele den del af det.
Eksempel 1. Find værdien af udtrykket.
Vi fik svar. Det er tilrådeligt at reducere denne fraktion. Fraktionen kan reduceres med 2. Så vil den endelige opløsning have følgende form:
Udtrykket kan forstås som at tage en pizza fra en halv pizza. Lad os sige, at vi har en halv pizza:
Hvordan tager man to tredjedele fra denne halvdel? Først skal du dele denne halvdel i tre lige store dele:
Og tag to fra disse tre stykker:
Vi laver pizza. Husk hvordan pizza ser ud, når den er opdelt i tre dele:
Et stykke af denne pizza og de to stykker, vi tog, vil have samme dimensioner:
Med andre ord, vi taler om cirka samme størrelse pizza. Derfor er værdien af udtrykket
Eksempel 2. Find værdien af et udtryk
Multiplicer tælleren for den første brøk med tælleren i den anden brøk og nævneren for den første brøk med nævneren i den anden brøk:
Svaret var en upassende brøk. Lad os fremhæve hele delen af det:
Eksempel 3. Find værdien af et udtryk
Multiplicer tælleren for den første brøk med tælleren i den anden brøk og nævneren for den første brøk med nævneren i den anden brøk:
Svaret viste sig at være en almindelig brøk, men det ville være godt, hvis det blev forkortet. For at reducere denne brøk skal du dividere tælleren og nævneren for denne brøk med den største fælles divisor (GCD) af tallene 105 og 450.
Så lad os finde gcd'en for tallene 105 og 450:
Nu dividerer vi tælleren og nævneren for vores svar med den gcd, som vi nu har fundet, det vil sige med 15
Repræsenterer et helt tal som en brøk
Ethvert helt tal kan repræsenteres som en brøk. For eksempel kan tallet 5 repræsenteres som . Dette vil ikke ændre betydningen af fem, da udtrykket betyder "tallet fem divideret med en", og dette, som vi ved, er lig med fem:
Gensidige tal
Nu vil vi stifte bekendtskab med meget interessant emne i matematik. Det kaldes "omvendte tal".
Definition. Vend til nummer-en er et tal, der ganges med-en giver en.
Lad os erstatte i denne definition i stedet for variablen -en nummer 5 og prøv at læse definitionen:
Vend til nummer 5 er et tal, der ganges med 5 giver en.
Er det muligt at finde et tal, der, når det ganges med 5, giver et? Det viser sig, at det er muligt. Lad os forestille os fem som en brøk:
Derefter ganges denne brøk med sig selv, bare skift tæller og nævner. Med andre ord, lad os gange brøken med sig selv, kun på hovedet:
Hvad vil der ske som følge af dette? Hvis vi fortsætter med at løse dette eksempel, får vi et:
Det betyder, at det omvendte af tallet 5 er tallet, da når du ganger 5 med, får du en.
Den reciproke af et tal kan også findes for ethvert andet heltal.
Du kan også finde den reciproke af enhver anden brøk. For at gøre dette skal du bare vende den om.
At dividere en brøk med et tal
Lad os sige, at vi har en halv pizza:
Lad os dele det ligeligt mellem to. Hvor meget pizza får hver person?
Det kan ses, at man efter at have delt halvdelen af pizzaen opnåede to lige store stykker, som hver udgør en pizza. Så alle får en pizza.
Reglerne for at tilføje brøker med forskellige nævnere er meget enkle.
Lad os se på reglerne for at tilføje brøker med forskellige nævnere trin for trin:
1. Find LCM (mindste fælles multiplum) af nævnerne. Den resulterende NOC bliver fællesnævner fraktioner;
2. Reducer brøker til en fællesnævner;
3. Tilføj brøker reduceret til en fællesnævner.
På simpelt eksempel Lad os lære, hvordan man anvender reglerne for at tilføje brøker med forskellige nævnere.
Eksempel
Et eksempel på tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.
Tilføj brøker med forskellige nævnere:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Vi vil beslutte trin for trin.
1. Find LCM (mindste fælles multiplum) af nævnerne.
Tallet 12 er deleligt med 6.
Ud fra dette konkluderer vi, at 12 er det mindste fælles multiplum af tallene 6 og 12.
Svar: antallet af tallene 6 og 12 er 12:
LCM(6; 12) = 12
Den resulterende LCM vil være fællesnævneren for to brøker 1/6 og 5/12.
2. Reducer brøker til en fællesnævner.
I vores eksempel skal kun den første brøk reduceres til en fællesnævner på 12, fordi den anden brøk allerede har en nævner på 12.
Divider fællesnævneren af 12 med nævneren af den første brøk:
2 har en ekstra multiplikator.
Gang tælleren og nævneren for den første brøk (1/6) med en ekstra faktor på 2.
Brøkudtryk er svære for et barn at forstå. De fleste har svært ved. Når man studerer emnet "tilsætning af brøker med hele tal", falder barnet i stupor og finder det svært at løse problemet. I mange eksempler skal der udføres en række beregninger før en handling udføres. For eksempel omregn brøker eller omregn en uægte brøk til en egentlig brøk.
Lad os forklare det tydeligt for barnet. Lad os tage tre æbler, hvoraf to vil være hele, og skære det tredje i 4 dele. Skil en skive fra det skårne æble, og læg de resterende tre ved siden af to hele frugter. Vi får ¼ af et æble på den ene side og 2 ¾ på den anden. Hvis vi kombinerer dem, får vi tre æbler. Lad os prøve at reducere 2 ¾ æbler med ¼, det vil sige fjern en anden skive, vi får 2 2/4 æbler.
Lad os se nærmere på operationer med brøker, der indeholder heltal:
Lad os først huske regnereglen for brøkudtryk med en fællesnævner:
Ved første øjekast er alt nemt og enkelt. Men dette gælder kun for udtryk, der ikke kræver konvertering.
Hvordan finder man værdien af et udtryk, hvor nævnerne er forskellige
I nogle opgaver skal du finde betydningen af et udtryk, hvor nævnerne er forskellige. Lad os se på et specifikt tilfælde:
3 2/7+6 1/3
Lad os finde værdien af dette udtryk ved at finde en fællesnævner for to brøker.
For tallene 7 og 3 er dette 21. Vi lader heltalsdelene være de samme, og bringer brøkdelene til 21, for dette gange vi den første brøk med 3, den anden med 7, får vi:
6/21+7/21, glem ikke, at hele dele ikke kan konverteres. Som et resultat får vi to brøker med samme nævner og beregner deres sum:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Hvad hvis resultatet af addition er en uægte brøk, der allerede har en heltalsdel:
2 1/3+3 2/3
I I dette tilfælde Vi lægger hele dele og brøkdele sammen, vi får:
5 3/3, som du ved, 3/3 er én, hvilket betyder 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
At finde summen er helt klart, lad os se på subtraktionen:
Ud fra alt det, der er blevet sagt, følger reglen for operationer med blandede tal:
- Hvis du skal trække et heltal fra et brøkudtryk, behøver du ikke at repræsentere det andet tal som en brøk, det er nok kun at udføre operationen på heltalsdelene.
Lad os selv prøve at beregne betydningen af udtrykkene:
Lad os se nærmere på eksemplet under bogstavet "m":
4 5/11-2 8/11, tælleren for den første brøk er mindre end den anden. For at gøre dette låner vi et heltal fra den første brøk, vi får,
3 5/11+11/11=3 hele 16/11, træk den anden fra den første brøk:
3 16/11-2 8/11=1 hel 8/11
- Vær forsigtig, når du udfører opgaven, glem ikke at konvertere ukorrekte brøker til blandede brøker, hvilket fremhæver hele delen. For at gøre dette skal du dividere værdien af tælleren med værdien af nævneren, så det, der sker, træder i stedet for hele delen, resten vil være tælleren, for eksempel:
19/4=4 ¾, lad os tjekke: 4*4+3=19, nævneren 4 forbliver uændret.
Sammenfatte:
Inden man starter en opgave relateret til brøker, er det nødvendigt at analysere, hvad det er for et udtryk, hvilke transformationer der skal laves på brøken for at løsningen bliver korrekt. Se efter mere rationel måde løsninger. Gå ikke den hårde vej. Planlæg alle handlinger, beslut dig først udkast, og overfør det derefter til din skolenotesbog.
For at undgå forvirring, når du løser brøkudtryk, skal du følge reglen om konsistens. Beslut alt omhyggeligt uden at skynde sig.
Handlinger med brøker.
Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")
Så hvad er brøker, typer af brøker, transformationer - vi huskede. Lad os komme til hovedspørgsmålet.
Hvad kan du gøre med brøker? Ja, alt er det samme som med almindelige tal. Addere, subtrahere, gange, dividere.
Alle disse handlinger med decimal at arbejde med brøker er ikke anderledes end at arbejde med hele tal. Det er faktisk det, der er godt ved dem, decimaler. Det eneste er, at du skal sætte kommaet korrekt.
Blandede tal, som jeg allerede har sagt, er af ringe nytte for de fleste handlinger. De mangler stadig at blive omdannet til almindelige brøker.
Men handlingerne med almindelige brøker de vil være mere snedige. Og meget vigtigere! Lad mig minde dig om: alle handlinger med brøkudtryk med bogstaver, sinus, ukendte og så videre og så videre adskiller sig ikke fra handlinger med almindelige brøker! Operationer med almindelige brøker er grundlaget for al algebra. Det er af denne grund, at vi vil analysere al denne aritmetik meget detaljeret her.
Addere og trække brøker fra.
Alle kan tilføje (fratrække) brøker med de samme nævnere (håber jeg virkelig!). Nå, lad mig minde dem, der er helt glemsomme: når man lægger til (fratrækker), ændres nævneren ikke. Tællerne lægges til (fratrækkes) for at give resultatets tæller. Type:
Kort sagt i generel opfattelse:
Hvad hvis nævnerne er forskellige? Så ved at bruge den grundlæggende egenskab for en brøk (her kommer det til nytte igen!), gør vi nævnerne ens! For eksempel:
Her skulle vi lave brøken 4/10 af brøken 2/5. Med det ene formål at gøre nævnerne ens. Lad mig bemærke, for en sikkerheds skyld, at 2/5 og 4/10 er samme brøkdel! Kun 2/5 er ubehagelige for os, og 4/10 er virkelig okay.
Forresten er dette essensen af at løse eventuelle matematiske problemer. Når vi fra ubehageligt vi laver udtryk det samme, men mere bekvemt at løse.
Et andet eksempel:
Situationen er den samme. Her får vi 48 ud af 16. Ved simpel multiplikation ved 3. Det hele er klart. Men vi stødte på noget som:
Hvordan skal man være?! Det er svært at lave en ni ud af syv! Men vi er kloge, vi kender reglerne! Lad os transformere hver brøk, så nævnerne er ens. Dette kaldes "reducer til en fællesnævner":
Wow! Hvordan vidste jeg om 63? Meget simpelt! 63 er et tal, der er deleligt med 7 og 9 på samme tid. Et sådant tal kan altid fås ved at gange nævnerne. Hvis vi for eksempel ganger et tal med 7, så vil resultatet helt sikkert være deleligt med 7!
Hvis du skal tilføje (fratrække) flere brøker, er der ingen grund til at gøre det parvis, trin for trin. Du skal blot finde den fælles nævner for alle brøker og reducere hver brøk til den samme nævner. For eksempel:
Og hvad bliver fællesnævneren? Du kan selvfølgelig gange 2, 4, 8 og 16. Vi får 1024. Mareridt. Det er lettere at vurdere, at tallet 16 er perfekt deleligt med 2, 4 og 8. Derfor er det nemt at få 16 ud fra disse tal. Dette tal vil være fællesnævneren. Lad os omdanne 1/2 til 16/8, 3/4 til 16/12 og så videre.
I øvrigt, hvis du tager 1024 som fællesnævner, vil alt fungere, i sidste ende vil alt blive reduceret. Men ikke alle vil nå dette mål, på grund af beregningerne...
Udfyld selv eksemplet. Ikke en form for logaritme... Det burde være 29/16.
Så tilføjelsen (subtraktionen) af brøker er klar, håber jeg? Det er selvfølgelig nemmere at arbejde i en forkortet version, med ekstra multiplikatorer. Men denne fornøjelse er tilgængelig for dem, der arbejdede ærligt i de lavere klasser... Og ikke glemte noget.
Og nu vil vi gøre de samme handlinger, men ikke med brøker, men med brøkudtryk. Ny rake vil blive afsløret her, ja...
Så vi skal tilføje to brøkudtryk:
Vi skal gøre nævnerne ens. Og kun med hjælp multiplikation! Dette er hvad hovedegenskaben ved en brøk dikterer. Derfor kan jeg ikke lægge en til X i den første brøk i nævneren. (det ville være rart!). Men hvis du multiplicerer nævnerne, ser du, alt vokser sammen! Så vi skriver linjen af brøken ned, efterlader et tomt mellemrum øverst, tilføjer det og skriver produktet af nævnerne nedenfor, for ikke at glemme:
Og selvfølgelig multiplicerer vi ikke noget på højre side, vi åbner ikke parentesen! Og nu, ser vi på fællesnævneren på højre side, indser vi: for at få nævneren x(x+1) i den første brøk, skal du gange tælleren og nævneren af denne brøk med (x+1) . Og i den anden brøk - til x. Dette er hvad du får:
Bemærk! Her er parenteserne! Dette er den rive, som mange mennesker træder på. Ikke parenteser, selvfølgelig, men deres fravær. Parenteserne vises, fordi vi formerer alle tæller og alle nævner! Og ikke deres individuelle stykker...
I tælleren på højre side skriver vi summen af tællere, alt er som i numeriske brøker, så åbner vi parenteserne i tælleren på højre side, dvs. Vi formerer alt og giver lignende. Der er ingen grund til at åbne parenteserne i nævnerne eller gange noget! Generelt er produktet i nævnere (hvilken som helst) altid mere behageligt! Vi får:
Så fik vi svaret. Processen virker lang og vanskelig, men den afhænger af praksis. Når du har løst eksemplerne, skal du vænne dig til det, alt bliver enkelt. De, der har mestret brøker i god tid, udfører alle disse operationer med én venstre hånd, automatisk!
Og en bemærkning mere. Mange beskæftiger sig smart med brøker, men hænger fast på eksempler med hel tal. Ligesom: 2 + 1/2 + 3/4= ? Hvor skal den todelte fastgøres? Du behøver ikke at fastgøre den nogen steder, du skal lave en brøkdel ud af to. Det er ikke nemt, men meget simpelt! 2=2/1. Sådan her. Ethvert helt tal kan skrives som en brøk. Tælleren er selve tallet, nævneren er én. 7 er 7/1, 3 er 3/1 og så videre. Det er det samme med bogstaver. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 osv. Og så arbejder vi med disse brøker efter alle reglerne.
Nå, kendskabet til addition og subtraktion af brøker blev genopfrisket. Konvertering af brøker fra en type til en anden blev gentaget. Du kan også blive tjekket. Skal vi ordne det lidt?)
Beregn:
Svar (i uorden):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Multiplikation/division af brøker - i næste lektion. Der er også opgaver til alle operationer med fraktioner.
Hvis du kan lide denne side...
Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)
Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)
Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.
Find tæller og nævner. En brøk omfatter to tal: tallet, der er placeret over linjen, kaldes tælleren, og tallet, der er placeret under linjen, kaldes nævneren. Nævneren angiver det samlede antal dele, som en helhed er opdelt i, og tælleren er antallet af sådanne dele, der tages i betragtning.
- For eksempel i brøken ½ er tælleren 1 og nævneren er 2.
Bestem nævneren. Hvis to eller flere brøker har en fællesnævner, har sådanne brøker det samme tal under linjen, det vil sige, i dette tilfælde er en bestemt helhed opdelt i det samme antal dele. At tilføje brøker med en fællesnævner er meget simpelt, da nævneren for den summerede brøk vil være den samme som de brøker, der tilføjes. For eksempel:
- Brøkerne 3/5 og 2/5 har en fællesnævner på 5.
- Brøkerne 3/8, 5/8, 17/8 har en fællesnævner på 8.
Bestem tællere. For at tilføje brøker med en fællesnævner skal du tilføje deres tællere og skrive resultatet over nævneren for de brøker, der tilføjes.
- Brøkerne 3/5 og 2/5 har tæller 3 og 2.
- Brøk 3/8, 5/8, 17/8 har tællere 3, 5, 17.
Læg tællere sammen. I opgave 3/5 + 2/5 skal du tilføje tællere 3 + 2 = 5. I opgave 3/8 + 5/8 + 17/8 tilføjes tællere 3 + 5 + 17 = 25.
Skriv den samlede brøk. Husk, at når du tilføjer brøker med en fællesnævner, forbliver den uændret - kun tællere tilføjes.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Konverter brøken om nødvendigt. Nogle gange kan en brøk skrives som et helt tal i stedet for som en brøk eller decimal. For eksempel konverteres brøken 5/5 let til 1, da enhver brøk, hvis tæller er lig med dens nævner, er 1. Forestil dig en tærte skåret i tre dele. Hvis du spiser alle tre dele, har du spist hele (én) tærte.
- Enhver brøk kan konverteres til en decimal; For at gøre dette skal du dividere tælleren med nævneren. For eksempel kan brøken 5/8 skrives som følger: 5 ÷ 8 = 0,625.
Hvis det er muligt, forenkle brøken. En forenklet brøk er en brøk, hvis tæller og nævner ikke har fælles faktorer.
- Overvej f.eks. brøken 3/6. Her har både tæller og nævner en fælles divisor lig med 3, det vil sige, at tæller og nævner er fuldstændig delelige med 3. Derfor kan brøken 3/6 skrives således: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.
Om nødvendigt, konverter en uægte brøk til en blandet brøk (blandet tal). En uegen brøk har en tæller større end dens nævner, for eksempel 25/8 (en egen brøk har en tæller mindre end nævneren). En uægte brøk kan konverteres til en blandet brøk, som består af en heltalsdel (det vil sige et helt tal) og en brøkdel (det vil sige en egenbrøk). Følg disse trin for at konvertere en uægte brøk, såsom 25/8, til et blandet tal:
- Divider tælleren for en uægte brøk med dens nævner; skriv delkvotienten (hele svaret) ned. I vores eksempel: 25 ÷ 8 = 3 plus noget rest. I dette tilfælde er hele svaret hele delen af det blandede tal.
- Find resten. I vores eksempel: 8 x 3 = 24; trække det resulterende resultat fra den oprindelige tæller: 25 - 24 = 1, det vil sige, at resten er 1. I dette tilfælde er resten tælleren for brøkdelen af det blandede tal.
- Skriv den blandede brøk ned. Nævneren ændrer sig ikke (det vil sige, den er lig med nævneren for den uægte brøk), så 25/8 = 3 1/8.
