Definition af en rationel ligning og metoder til at løse den. Hvordan man løser en rationel ligning

Vi har allerede lært, hvordan man løser andengradsligninger. Lad os nu udvide de undersøgte metoder til rationelle ligninger.

Hvad er et rationelt udtryk? Vi har allerede stødt på dette koncept. Rationelle udtryk er udtryk, der består af tal, variable, deres magter og symboler for matematiske operationer.

Derfor er rationelle ligninger ligninger af formen: , hvor - rationelle udtryk.

Tidligere betragtede vi kun de rationelle ligninger, der kan reduceres til lineære. Lad os nu se på de rationelle ligninger, der kan reduceres til andengradsligninger.

Eksempel 1

Løs ligningen:.

Løsning:

En brøk er lig med 0, hvis og kun hvis dens tæller er lig med 0 og dens nævner ikke er lig med 0.

Vi får følgende system:

Systemets første ligning er andengradsligning. Før vi løser det, lad os dividere alle dets koefficienter med 3. Vi får:

Vi får to rødder: ; .

Da 2 aldrig er lig med 0, skal to betingelser være opfyldt: . Da ingen af ​​rødderne af ligningen opnået ovenfor falder sammen med de ugyldige værdier af variablen, der blev opnået ved løsning af den anden ulighed, er de begge løsninger til denne ligning.

Svar:.

Så lad os formulere en algoritme til løsning af rationelle ligninger:

1. Flyt alle led til venstre side, så højre side ender med 0.

2. Transformer og forenkle venstre side, reducer alle brøker til fællesnævner.

3. Sæt lighedstegn mellem den resulterende brøk og 0 ved hjælp af følgende algoritme: .

4. Skriv de rødder ned, der blev opnået i den første ligning, og opfyld den anden ulighed i svaret.

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel 2

Løs ligningen: .

Løsning

Allerede i begyndelsen flytter vi alle led til venstre, så 0 forbliver til højre. Vi får:

Lad os nu bringe venstre side af ligningen til en fællesnævner:

Denne ligning svarer til systemet:

Systemets første ligning er en andengradsligning.

Koefficienter for denne ligning: . Vi beregner diskriminanten:

Vi får to rødder: ; .

Lad os nu løse den anden ulighed: Produktet af faktorer er ikke lig med 0, hvis og kun hvis ingen af ​​faktorerne er lig med 0.

To betingelser skal være opfyldt: . Vi finder, at af de to rødder af den første ligning, er kun den ene egnet - 3.

Svar:.

I denne lektion huskede vi, hvad et rationelt udtryk er, og lærte også, hvordan man løser rationelle ligninger, som reducerer til andengradsligninger.

I den næste lektion vil vi se på rationelle ligninger som modeller for virkelige situationer, og også se på bevægelsesproblemer.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. klasse. - M.: Uddannelse, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra, 8. 5. udg. - M.: Uddannelse, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. klasse. Tutorial til uddannelsesinstitutioner. - M.: Uddannelse, 2006.

1. Festival pædagogiske ideer "Offentlig lektion" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Lektier

Oplæg og lektion om emnet: "Rationelle ligninger. Algoritme og eksempler på løsning af rationelle ligninger"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 8. klasse
En manual til lærebogen af ​​Makarychev Yu.N. En manual til lærebogen af ​​Mordkovich A.G.

Introduktion til irrationelle ligninger

Gutter, vi lærte at løse andengradsligninger. Men matematik er ikke begrænset til kun dem. I dag vil vi lære at løse rationelle ligninger. Begrebet rationelle ligninger ligner på mange måder begrebet rationelle tal. Kun ud over tal, har vi nu introduceret en eller anden variabel $x$. Og dermed får vi et udtryk, hvor operationerne addition, subtraktion, multiplikation, division og hæve til en heltalspotens er til stede.

Lad $r(x)$ være rationelt udtryk. Et sådant udtryk kan være et simpelt polynomium i variablen $x$ eller et forhold mellem polynomier (en divisionsoperation er indført, som for rationelle tal).
Ligningen $r(x)=0$ kaldes rationel ligning.
Enhver ligning af formen $p(x)=q(x)$, hvor $p(x)$ og $q(x)$ er rationelle udtryk, vil også være rationel ligning.

Lad os se på eksempler på løsning af rationelle ligninger.

Eksempel 1.
Løs ligningen: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Løsning.
Lad os flytte alle udtrykkene til venstre side: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Hvis venstre side af ligningen var repræsenteret ved almindelige tal, ville vi reducere de to brøker til en fællesnævner.
Lad os gøre dette: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Vi fik ligningen: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

En brøk er lig med nul, hvis og kun hvis brøkens tæller er nul, og nævneren er ikke-nul. Derefter sidestiller vi separat tælleren med nul og finder rødderne af tælleren.
$3(x^2+2x-3)=0$ eller $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Lad os nu tjekke nævneren for brøken: $(x-3)*x≠0$.
Produktet af to tal er lig nul, når mindst et af disse tal er lig nul. Derefter: $x≠0$ eller $x-3≠0$.
$x≠0$ eller $x≠3$.
Rødderne opnået i tæller og nævner er ikke sammenfaldende. Så vi skriver begge rødder af tælleren ned i svaret.
Svar: $x=1$ eller $x=-3$.

Hvis en af ​​tællerens rødder pludselig falder sammen med roden af ​​nævneren, skal den udelukkes. Sådanne rødder kaldes uvedkommende!

Algoritme til løsning af rationelle ligninger:

1. Flyt alle udtryk indeholdt i ligningen til venstre side af lighedstegnet.
2. Konverter denne del af ligningen til algebraisk brøk: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Sæt lighedstegn mellem den resulterende tæller med nul, det vil sige løs ligningen $p(x)=0$.
4. Sæt lighedstegn mellem nævneren og nul, og løs den resulterende ligning. Hvis nævnerens rødder falder sammen med tællerens rødder, skal de udelukkes fra svaret.

Eksempel 2.
Løs ligningen: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Løsning.
Lad os løse i henhold til algoritmens punkter.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Sæt lighedstegn mellem tælleren og nul: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Sæt lighedstegn mellem nævneren og nul:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ og $x=-1$.
En af rødderne $x=1$ falder sammen med tællerens rod, så skriver vi den ikke ned i svaret.
Svar: $x=-1$.

Det er praktisk at løse rationelle ligninger ved hjælp af ændring af variable-metoden. Lad os demonstrere dette.

Eksempel 3.
Løs ligningen: $x^4+12x^2-64=0$.

Løsning.
Lad os introducere erstatningen: $t=x^2$.
Så vil vores ligning have formen:
$t^2+12t-64=0$ - almindelig andengradsligning.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Lad os introducere den omvendte substitution: $x^2=4$ eller $x^2=-16$.
Rødderne af den første ligning er et talpar $x=±2$. Den anden ting er, at den ikke har nogen rødder.
Svar: $x=±2$.

Eksempel 4.
Løs ligningen: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Løsning.
Lad os introducere en ny variabel: $t=x^2+x+1$.
Så vil ligningen have formen: $t=\frac(15)(t+2)$.
Dernæst vil vi fortsætte i henhold til algoritmen.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - rødderne falder ikke sammen.
Lad os introducere en omvendt substitution.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Lad os løse hver ligning separat:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nej rødder
Og den anden ligning: $x^2+x-2=0$.
Rødderne til denne ligning vil være tallene $x=-2$ og $x=1$.
Svar: $x=-2$ og $x=1$.

Eksempel 5.
Løs ligningen: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Løsning.
Lad os introducere erstatningen: $t=x+\frac(1)(x)$.
Derefter:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ eller $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Vi fik ligningen: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Rødderne til denne ligning er parret:
$t=-3$ og $t=2$.
Lad os introducere den omvendte substitution:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vi afgør separat.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Lad os løse den anden ligning:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Roden af ​​denne ligning er tallet $x=1$.
Svar: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Problemer, der skal løses selvstændigt

Løs ligninger:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Lektionens mål:

Uddannelsesmæssigt:

• dannelse af begrebet rationelle brøkligninger;
• overveje forskellige måder at løse rationelle brøkligninger på;
• overveje en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger, herunder betingelsen om, at brøken er lig nul;
• lære at løse rationelle brøkligninger ved hjælp af en algoritme;
• kontrollere niveauet af beherskelse af emnet ved at udføre en test.

Udviklingsmæssigt:

• at udvikle evnen til at fungere korrekt med erhvervet viden og tænke logisk;
• udvikling af intellektuelle færdigheder og mentale operationer - analyse, syntese, sammenligning og generalisering;
• udvikling af initiativ, evnen til at træffe beslutninger og ikke stoppe der;
• udvikling af kritisk tænkning;
• udvikling af forskningskompetencer.

Uddannelse:

• fremme kognitiv interesse for emnet;
• fremme uafhængighed ved løsning af uddannelsesmæssige problemer;
• pleje vilje og vedholdenhed for at opnå endelige resultater.

Lektionstype: lektion - forklaring af nyt stof.

Under timerne

1. Organisatorisk øjeblik.

Hej gutter! Der er skrevet ligninger på tavlen, se nøje på dem. Kan du løse alle disse ligninger? Hvilke er ikke og hvorfor?

Ligninger, hvor venstre og højre side er rationelle brøkudtryk, kaldes rationelle brøkligninger. Hvad tror du, vi skal læse i klassen i dag? Formuler emnet for lektionen. Så åbn dine notesbøger og skriv emnet ned i lektionen "Løsning af rationelle brøkligninger."

2. Opdatering af viden. Frontalundersøgelse, mundtligt arbejde med klassen.

Og nu vil vi gentage det vigtigste teoretiske materiale, som vi skal bruge for at studere et nyt emne. Svar venligst på følgende spørgsmål:

1. Hvad er en ligning? ( Ligestilling med en variabel eller variable.)
2. Hvad hedder ligning nummer 1? ( Lineær.) En metode til løsning af lineære ligninger. ( Flyt alt med det ukendte til venstre side af ligningen, alle tal til højre. At føre lignende vilkår. Find ukendt faktor).
3. Hvad hedder ligning nummer 3? ( Firkant.) Metoder til løsning af andengradsligninger. ( Isolering af et komplet kvadrat ved hjælp af formler ved hjælp af Vietas sætning og dets følger.)
4. Hvad er proportion? ( Ligestilling mellem to forhold.) Hovedegenskaben ved proportion. ( Hvis forholdet er korrekt, så er produktet af dets ekstreme led lig med produktet af mellemleddet.)
5. Hvilke egenskaber bruges ved løsning af ligninger? ( 1. Hvis du flytter et led i en ligning fra en del til en anden, ændrer dets fortegn, får du en ligning svarende til den givne. 2. Hvis begge sider af ligningen ganges eller divideres med det samme ikke-nul tal, får du en ligning svarende til den givne.)
6. Hvornår er en brøk lig med nul? ( En brøk er lig med nul, når tælleren er nul, og nævneren ikke er nul..)

3. Forklaring af nyt materiale.

Løs ligning nr. 2 i dine notesbøger og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilken rationel brøkligning Kan du prøve at løse ved hjælp af den grundlæggende egenskab af proportioner? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Løs ligning nr. 4 i dine notesbøger og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rationel brøkligning kan du prøve at løse ved at gange begge sider af ligningen med nævneren? (nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Svar: 3;4.

Prøv nu at løse ligning nummer 7 ved hjælp af en af ​​følgende metoder.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Svar: 0;5;-2.			Svar: 5;-2.

Forklar hvorfor dette skete? Hvorfor er der tre rødder i det ene tilfælde og to i det andet? Hvilke tal er rødderne til denne rationelle brøkligning?

Indtil nu har eleverne ikke mødt begrebet en uvedkommende rod; det er faktisk meget svært for dem at forstå, hvorfor dette skete. Hvis ingen i klassen kan give en klar forklaring på denne situation, så stiller læreren ledende spørgsmål.

• Hvordan adskiller ligning nr. 2 og 4 sig fra ligning nr. 5,6,7? ( I ligning nr. 2 og 4 er der tal i nævneren, nr. 5-7 er udtryk med en variabel.)
• Hvad er roden til en ligning? ( Værdien af ​​den variabel, ved hvilken ligningen bliver sand.)
• Hvordan finder man ud af, om et tal er roden til en ligning? ( Lav et tjek.)

Når de tester, bemærker nogle elever, at de skal dividere med nul. De konkluderer, at tallene 0 og 5 ikke er rødderne til denne ligning. Spørgsmålet opstår: er der en måde at løse rationelle brøkligninger på, der giver os mulighed for at eliminere denne fejl? Ja, denne metode er baseret på den betingelse, at brøken er lig nul.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Hvis x=5, så er x(x-5)=0, hvilket betyder, at 5 er en uvedkommende rod.

Hvis x=-2, så x(x-5)≠0.

Svar: -2.

Lad os prøve at formulere en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger på denne måde. Børn formulerer selv algoritmen.

Algoritme til løsning af rationelle brøkligninger:

1. Flyt alt til venstre side.
2. Reducer brøker til en fællesnævner.
3. Opret et system: en brøk er lig med nul, når tælleren er lig med nul, og nævneren ikke er lig med nul.
4. Løs ligningen.
5. Tjek ulighed for at udelukke uvedkommende rødder.
6. Skriv svaret ned.

Diskussion: hvordan man formaliserer løsningen, hvis man bruger den grundlæggende egenskab proportional og multiplicerer begge sider af ligningen med en fællesnævner. (Føj til løsningen: udeluk fra dens rødder dem, der får fællesnævneren til at forsvinde).

4. Indledende forståelse af nyt materiale.

Arbejde i par. Eleverne vælger selv, hvordan de løser ligningen afhængigt af ligningstypen. Opgaver fra lærebogen “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr. 600(b,c,i); nr. 601(a,e,g). Læreren overvåger færdiggørelsen af ​​opgaven, besvarer eventuelle spørgsmål, der opstår, og yder assistance til dårligt præsterende elever. Selvtest: svar skrives på tavlen.

b) 2 – uvedkommende rod. Svar: 3.

c) 2 – uvedkommende rod. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

g) Svar: 1;1,5.

5. Opsætning af lektier.

1. Læs afsnit 25 fra lærebogen, analyser eksempel 1-3.
2. Lær en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger.
3. Løs i notesbøger nr. 600 (a, d, e); nr. 601(g,h).
4. Prøv at løse nr. 696(a) (valgfrit).

6. Udførelse af en kontrolopgave om det undersøgte emne.

Arbejdet udføres på stykker papir.

Eksempel på opgave:

A) Hvilke af ligningerne er brøkrationelle?

B) En brøk er lig med nul, når tælleren er _______________ og nævneren er _______________________.

Q) Er tallet -3 roden af ​​ligning nummer 6?

D) Løs ligning nr. 7.

Bedømmelseskriterier for opgaven:

• "5" gives, hvis eleven har udført mere end 90% af opgaven korrekt.
• "4" - 75 %-89 %
• "3" - 50%-74%
• "2" gives til en elev, der har gennemført mindre end 50 % af opgaven.
• En vurdering på 2 er ikke givet i journalen, 3 er valgfri.

7. Refleksion.

Skriv på de uafhængige arbejdsark:

• 1 – hvis lektionen var interessant og forståelig for dig;
• 2 – interessant, men ikke klart;
• 3 – ikke interessant, men forståeligt;
• 4 – ikke interessant, ikke klart.

8. Opsummering af lektionen.

Så i dag i lektionen stiftede vi bekendtskab med rationelle brøkligninger, lærte at løse disse ligninger forskellige veje, testet deres viden ved hjælp af en uddannelse selvstændigt arbejde. Du lærer resultaterne af dit selvstændige arbejde i næste lektion, og derhjemme får du mulighed for at konsolidere din viden.

Hvilken metode til at løse rationelle brøkligninger er efter din mening nemmere, mere tilgængelig og mere rationel? Hvad skal du huske, uanset metoden til løsning af rationelle brøkligninger? Hvad er "udspekulationen" ved rationelle brøkligninger?

Tak til alle, lektionen er slut.

Vi introducerede ligningen ovenfor i § 7. Lad os først huske, hvad et rationelt udtryk er. Det her - algebraisk udtryk, sammensat af tal og variablen x ved hjælp af operationerne addition, subtraktion, multiplikation, division og eksponentiering med en naturlig eksponent.

Hvis r(x) er et rationelt udtryk, så kaldes ligningen r(x) = 0 en rationel ligning.

Men i praksis er det mere bekvemt at bruge en lidt bredere fortolkning af begrebet "rationel ligning": dette er en ligning på formen h(x) = q(x), hvor h(x) og q(x) er rationelle udtryk.

Indtil nu kunne vi ikke løse nogen rationel ligning, men kun en, der som følge af forskellige transformationer og ræsonnementer blev reduceret til lineær ligning. Nu er vores muligheder meget større: vi vil være i stand til at løse en rationel ligning, der reducerer ikke kun til lineær
mu, men også til andengradsligningen.

Lad os huske, hvordan vi før løste rationelle ligninger, og forsøge at formulere en løsningsalgoritme.

Eksempel 1. Løs ligningen

Løsning. Lad os omskrive ligningen i formen

I dette tilfælde udnytter vi som sædvanligt, at lighederne A = B og A - B = 0 udtrykker det samme forhold mellem A og B. Dette gjorde det muligt for os at flytte udtrykket til venstre side af ligningen med modsat fortegn.

Lad os transformere venstre side af ligningen. Vi har

Lad os huske betingelserne for ligestilling brøker nul: hvis og kun hvis to relationer er opfyldt samtidigt:

1) brøkens tæller er nul (a = 0); 2) brøkens nævner er forskellig fra nul).
Ved at sidestille tælleren for brøken på venstre side af ligning (1) med nul, får vi

Det er tilbage at kontrollere opfyldelsen af ​​den anden betingelse angivet ovenfor. Relationen betyder for ligning (1), at . Værdierne x 1 = 2 og x 2 = 0,6 opfylder de angivne sammenhænge og tjener derfor som rødderne til ligning (1), og samtidig rødderne til den givne ligning.

1) Lad os omdanne ligningen til formen

2) Lad os transformere venstre side af denne ligning:

(skiftede samtidig tegnene i tælleren og
brøker).
Således antager den givne ligning formen

3) Løs ligningen x 2 - 6x + 8 = 0. Find

4) Kontroller opfyldelsen af ​​betingelsen for de fundne værdier . Tallet 4 opfylder denne betingelse, men tallet 2 gør det ikke. Det betyder, at 4 er roden af ​​den givne ligning, og 2 er en uvedkommende rod.
SVAR: 4.

2. Løsning af rationelle ligninger ved at indføre en ny variabel

Metoden til at introducere en ny variabel er bekendt for dig; vi har brugt den mere end én gang. Lad os med eksempler vise, hvordan det bruges til at løse rationelle ligninger.

Eksempel 3. Løs ligningen x 4 + x 2 - 20 = 0.

Løsning. Lad os introducere en ny variabel y = x 2 . Da x 4 = (x 2) 2 = y 2, kan den givne ligning omskrives som

y 2 + y - 20 = 0.

Dette er en andengradsligning, hvis rødder kan findes ved hjælp af kendte formler; vi får y 1 = 4, y 2 = - 5.
Men y = x 2, hvilket betyder, at problemet er blevet reduceret til at løse to ligninger:
x2=4; x 2 = -5.

Fra den første ligning finder vi, at den anden ligning ikke har nogen rødder.
Svar: .
En ligning på formen ax 4 + bx 2 + c = 0 kaldes en biquadratisk ligning ("bi" er to, dvs. en slags "dobbelt kvadratisk" ligning). Ligningen, der netop blev løst, var præcis biquadratisk. Enhver andengradsligning løses på samme måde som ligningen fra eksempel 3: indfør en ny variabel y = x 2, løs den resulterende andengradsligning med hensyn til variablen y, og vend derefter tilbage til variablen x.

Eksempel 4. Løs ligningen

Løsning. Bemærk, at det samme udtryk x 2 + 3x optræder to gange her. Det betyder, at det giver mening at indføre en ny variabel y = x 2 + 3x. Dette vil give os mulighed for at omskrive ligningen i en enklere og mere behagelig form (hvilket faktisk er formålet med at introducere en ny variabel- og forenkling af optagelsen
bliver tydeligere, og ligningens struktur bliver tydeligere):

Lad os nu bruge algoritmen til at løse en rationel ligning.

1) Lad os flytte alle led i ligningen til én del:

= 0
2) Transformer venstre side af ligningen

Så vi har transformeret den givne ligning til formen

3) Ud fra ligningen - 7y 2 + 29y -4 = 0 finder vi (du og jeg har allerede løst en del andengradsligninger, så det er nok ikke værd altid at give detaljerede beregninger i lærebogen).

4) Lad os tjekke de fundne rødder ved hjælp af betingelse 5 (y - 3) (y + 1). Begge rødder opfylder denne betingelse.
Så den andengradsligning for den nye variabel y er løst:
Da y = x 2 + 3x, og y, som vi har fastslået, tager to værdier: 4 og , skal vi stadig løse to ligninger: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Rødderne af den første ligning er tallene 1 og - 4, rødderne af den anden ligning er tallene

I de betragtede eksempler var metoden til at introducere en ny variabel, som matematikere ynder at sige, passende til situationen, det vil sige, den svarede godt til den. Hvorfor? Ja, fordi det samme udtryk tydeligt optrådte i ligningen flere gange, og der var grund til at betegne dette udtryk nyt brev. Men dette sker ikke altid; nogle gange "opstår" en ny variabel kun under transformationsprocessen. Det er præcis, hvad der vil ske i det næste eksempel.

Eksempel 5. Løs ligningen
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Løsning. Vi har
x(x-3) = x2-3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Det betyder, at den givne ligning kan omskrives i formen

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Nu er en ny variabel "dukket op": y = x 2 - 3x.

Med dens hjælp kan ligningen omskrives i formen y (y + 2) = 24 og derefter y 2 + 2y - 24 = 0. Rødderne til denne ligning er tallene 4 og -6.

Vender vi tilbage til den oprindelige variabel x, får vi to ligninger x 2 - 3x = 4 og x 2 - 3x = - 6. Fra den første ligning finder vi x 1 = 4, x 2 = - 1; den anden ligning har ingen rødder.

SVAR: 4, - 1.

Lektionens indhold lektionsnoter understøttende frame lektion præsentation acceleration metoder interaktive teknologier Øve sig opgaver og øvelser selvtest workshops, træninger, cases, quests lektier diskussion spørgsmål retoriske spørgsmål fra elever Illustrationer lyd, videoklip og multimedier fotografier, billeder, grafik, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vittigheder, tegneserier, lignelser, ordsprog, krydsord, citater Tilføjelser abstracts artikler tricks for de nysgerrige krybber lærebøger grundlæggende og supplerende ordbog over begreber andet Forbedring af lærebøger og lektionerrette fejl i lærebogen opdatering af et fragment i en lærebog, elementer af innovation i lektionen, udskiftning af forældet viden med ny Kun for lærere perfekte lektioner kalenderplan for et år retningslinier diskussionsprogrammer Integrerede lektioner

\(\bullet\) En rationel ligning er en ligning repræsenteret i formen \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] hvor \(P(x), \Q(x)\ ) - polynomier (summen af ​​"X'er" i forskellige potenser, ganget med forskellige tal).
Udtrykket i venstre side af ligningen kaldes et rationelt udtryk.
ODZ (region acceptable værdier) af en rationel ligning er alle værdier af \(x\), for hvilke nævneren IKKE forsvinder, det vil sige \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) For eksempel ligninger \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] er rationelle ligninger.
I den første ligning er ODZ alle \(x\) således at \(x\ne 3\) (skriv \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); i den anden ligning – disse er alle \(x\) sådan at \(x\ne -1; x\ne 1\) (skriv \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); og i den tredje ligning er der ingen begrænsninger på ODZ, det vil sige, at ODZ er alle \(x\) (de skriver \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Sætning:
1) Produktet af to faktorer er lig med nul, hvis og kun hvis en af ​​dem er lig med nul, og den anden ikke mister betydning, derfor ligningen \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) svarer til systemet \[\begin(cases) \venstre[ \begin(samlet)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(samlet) \right.\\ \ tekst(ODZ-ligninger)\end(cases)\] 2) En brøk er lig nul, hvis og kun hvis tælleren er lig nul, og nævneren ikke er lig med nul, derfor ligningen \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) svarer til et ligningssystem \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Lad os se på et par eksempler.

1) Løs ligningen \(x+1=\dfrac 2x\) . Lad os finde ODZ af denne ligning - dette er \(x\ne 0\) (da \(x\) er i nævneren).
Det betyder, at ODZ kan skrives som følger: .
Lad os flytte alle termerne til én del og bringe dem til en fællesnævner: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( cases) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Løsningen til den første ligning i systemet vil være \(x=-2, x=1\) . Vi ser, at begge rødder er ikke-nul. Derfor er svaret: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Løs ligningen \(\venstre(\dfrac4x - 2\højre)\cdot (x^2-x)=0\). Lad os finde ODZ af denne ligning. Vi ser, at den eneste værdi af \(x\), som venstre side ikke giver mening for, er \(x=0\) . Så ODZ kan skrives sådan: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Således svarer denne ligning til systemet:

\[\begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(samlet) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(justed) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(justed) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(samlet) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(samlet) \right.\] Faktisk, på trods af at \(x=0\) er roden til den anden faktor, hvis du erstatter \(x=0\) i den oprindelige ligning, vil det ikke give mening, fordi udtryk \(\dfrac 40\) er ikke defineret.
Løsningen til denne ligning er således \(x\in \(1;2\)\) .

3) Løs ligningen \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] I vores ligning \(4x^2-1\ne 0\) , hvorfra \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , det vil sige \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Lad os flytte alle udtryk til venstre og bringe dem til en fællesnævner:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet) \begin( justeret) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(samlet) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Venstre højrepil \quad x=-3\)

Svar: \(x\in \(-3\)\) .

Kommentar. Hvis svaret består af et begrænset sæt tal, så kan de skrives adskilt af semikolon i krøllede parenteser, som vist i de foregående eksempler.

Problemer, der kræver løsning af rationelle ligninger, støder på hvert år i Unified State Examination i matematik, så når de forbereder sig på at bestå certificeringstesten, bør kandidater helt sikkert gentage teorien om dette emne på egen hånd. Kandidater, der tager både det grundlæggende og specialiserede niveau af eksamen, skal være i stand til at klare sådanne opgaver. Efter at have mestret teorien og beskæftiget sig med praktiske øvelser om emnet " Rationelle ligninger", vil studerende være i stand til at løse problemer med et vilkårligt antal handlinger og regne med at modtage konkurrenceresultater baseret på resultaterne af at bestå Unified State Exam.

Hvordan forbereder man sig til eksamen ved hjælp af Shkolkovo uddannelsesportal?

Nogle gange viser det sig at være ret svært at finde en kilde, der fuldt ud præsenterer den grundlæggende teori til løsning af matematiske problemer. Lærebogen er måske simpelthen ikke lige ved hånden. Og at finde de nødvendige formler kan nogle gange være ret svært selv på internettet.

Shkolkovo uddannelsesportal vil fritage dig for behovet for at søge det nødvendige materiale og vil hjælpe dig med at forberede dig godt til at bestå certificeringstesten.

Alle nødvendig teori om emnet "Rationelle ligninger" udarbejdede og præsenterede vores eksperter i den mest tilgængelige form. Efter at have studeret den præsenterede information, vil eleverne være i stand til at udfylde huller i viden.

For at forberede sig til Unified State-eksamenen skal dimittender ikke kun genopfriske deres hukommelse om grundlæggende teoretisk materiale om emnet "Rationelle ligninger", men også øve sig i at udføre opgaver på konkrete eksempler. Stort udvalg opgaver præsenteres i afsnittet "Katalog".

For hver øvelse på siden har vores eksperter skrevet en løsningsalgoritme og angivet det rigtige svar. Eleverne kan øve sig i at løse problemer af forskellig sværhedsgrad afhængigt af deres færdighedsniveau. Listen over opgaver i det tilsvarende afsnit suppleres og opdateres løbende.

Studer teoretisk materiale og finpuds problemløsningsfærdigheder om emnet "Rationelle ligninger", svarende til dem, der er inkluderet i Unified State Exam tests, kan gøres online. Om nødvendigt kan enhver af de præsenterede opgaver føjes til sektionen "Favoritter". Efter endnu en gang at have gentaget den grundlæggende teori om emnet "Rationelle ligninger", vil en gymnasieelev være i stand til at vende tilbage til problemet i fremtiden for at diskutere fremskridtet med dets løsning med læreren i en algebra-lektion.